資源簡介

拔高點突破01 定比點差法、齊次化、極點極線問題、蝴蝶問題、坎迪定理
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：定比點差法 2
題型二：齊次化 7
題型三：極點極線問題 11
題型四：蝴蝶問題 16
題型五：坎迪定理 24
03 過關測試 32
1、定比點差法是一種在解析幾何有應用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點弦問題，通過設定線段上的定比分點，利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯系與差異，通過代點、擴乘、作差等步驟，解決相應的圓錐曲線問題。定比點差法的核心思想是“設而不求”，即設定未知數但不直接求解，而是通過代數運算消去未知數，得到所需的結果。這種方法在處理復雜問題時具有獨特的優勢，能夠簡化計算過程，提高解題效率。
2、齊次化是一種數學處理方法，它通過將問題轉化為齊次形式（即各項次數相等）來簡化計算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關的問題，如過某定點的兩條直線的斜率關系。通過齊次化聯立，可以將復雜的二次曲線方程轉化為關于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問題。
3、極點極線是數學中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據關鍵地位。極點通常指圓錐曲線上的特殊點，其切線方程與曲線方程相同；對于不在曲線上的點，其關于曲線的調和共軛點軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點緊密相關的一條直線，對于曲線上的極點，其極線即為該點處的切線；對于曲線外的點，其極線則是通過該點作曲線的兩條切線所得的切點弦.
4、坎迪定理是數學領域中的一個重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內的一段弦上任意一點與圓上任意兩點相連并延長交圓于另外兩點，連接這兩延長交點與弦上另外兩點相交，所得線段長度的倒數之差為常數。
題型一：定比點差法
【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經過點
Ⅰ求橢圓的標準方程；
Ⅱ已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．
【解析】Ⅰ由題意可知解得，，
故橢圓的方程為．
證明Ⅱ由已知可得拋物線的標準方程為，
設點Q，A，B的坐標分別為，，，
由題意知，不妨設A在P，Q之間，設，，
又點Q在P，B之間，故，
，
，
由可得解得，，
點A在拋物線上，
，
即，，
由可得解得，，
點B在拋物線上，
，
即，，．
由可得，
，
，
點Q總在定直線上
【典例1-2】已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點（A點在B點的上方），若有，求橢圓的離心率．
【解析】因為，設、，
①②得：，
，，
則，
得，
∵，∴，將A代入橢圓方程
整理得：，所以或（舍）
故．
【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知，直線過橢圓的右焦點F且與橢圓交于A、B兩點，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點．
(1)若，且當軸時，△MON的面積為，求雙曲線的方程；
(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實數的值．
【解析】（1）由題設，且雙曲線的漸近線為，
當軸時，，又，△MON的面積為，
所以，故，而，可得，
所以雙曲線的方程為.
（2）對于橢圓有，而，則，
不妨假設，則且l為，
所以，又，，
令，則，故，
所以，而在橢圓上，
則，整理得，
綜上，可得.
【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求
【解析】由，可設橢圓為（），
設，，，由，
所以，．
又
由（1）-（3）得，
又．
又．
【變式1-3】已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．
【解析】設，，，由，
所以．
由
由（1）-（3）得：
，又，
又，從而．
【變式1-4】已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．
【解析】設，，，，由，得
①滿足
滿足
②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得
．
題型二：齊次化
【典例2-1】已知橢圓的中心為，長軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.
【解析】
因為，所以由勾股定理可得.
所以.
設的面積為，到的距離為，
則，因此.
所以要證明為常數，只需證明為定值.
設直線的方程為，聯立
齊次化，并整理可得，
方程的兩根為與，由韋達定理得.
因為，所以，化簡得.
由點到直線的距離公式，得，
所以為定值.
【典例2-2】如圖，過橢圓上的定點作傾斜角互補的兩直線，設其分別交橢圓于兩點，求證：直線的斜率是定值.
【解析】由題意可得直線不過點，且直線的斜率都存在，
設直線的方程為，，
因為
，
所以橢圓方程可化為，
聯立，
齊次化并整理可得，
由韋達定理得，
又因為，所以，
所以，故直線的斜率為定值.
【變式2-1】已知橢圓的左頂點為，，為上的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點.若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【解析】將坐標系左移2個單位長度（即橢圓右移），則橢圓方程變為，
即.
設直線為直線，平移后為直線，聯立
齊次化得，整理可得，
兩邊同除以，得，則，解得.
把代入直線中，得，當時，，
所以過定點，則直線過定點.
【變式2-2】已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設E，F是橢圓C上的兩個動點.
(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；
(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.
【解析】（1）設直線EF方程為，即，
從而.
又橢圓過點，可得
整理可得
所以
即
則
顯然這是一個關于的一元二次方程.
對于問題（1），由韋達定理得
所以，故，則
所以直線EF恒過定點.
（2）對于問題（2），由韋達定理得
所以，則，
所以直線EF恒過定點.
題型三：極點極線問題
【典例3-1】（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率 為，直線與圓相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)橢圓方程，平面上有一點. 定義直線方程 是橢圓在點處的極線.
① 若在橢圓上，證明: 橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓 于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點. 證明: 三點共線.
【解析】（1）由已知，，則
所以直線 ，即 ，
該直線與圓 與相切，則，
所以解得，，
故橢圓的標準方程為
（2）① 由(1)得橢圓的方程是 .
因為在橢圓上，所以，即，
由定義可知橢圓在點 處的極線方程為 ，
當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線，
當時，極線方程為，即，
由，得，
所以，
所以處的極線就是過點的切線，
綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 設點，
由①可知，過點的切線方程為，
過點的切線方程為，
因為都過點，所以有，
則割線的方程為，
同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為，即，
又因為割線過點，代入割線方程得，即 ，
所以三點共線，都在直線上．
【典例3-2】閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；對于拋物線，與點對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質 定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.
(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.
(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.
【解析】（1）設點，由點在直線上運動，得，
由消去并整理得，顯然，
即此方程組無實數解，于是直線與橢圓相離，即點在橢圓外，
又，都與橢圓相切，因此點和直線是橢圓的一對極點和極線，
對于橢圓，與點對應的極線方程為，
將代入，整理得，
顯然定點的坐標與的取值無關，即有，解得，所以存在定點恒在直線上，
當時，是線段的中點有在橢圓內，設，直線的斜率為，
則，兩式相減并整理得，即，
所以當時，直線的方程為，即.
（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，
由消去并整理得：，
而，則，
設，，則，，
所以，
點到直線的距離為：，
因此面積，當時，令，
求導得，即在單調遞增，則的最大值為，
由對稱性可知當時，的最大值也為，
所以面積的最大值為.
【變式3-1】閱讀材料：
（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質 定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結合閱讀材料回答下面的問題：
(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為橢圓過點P(4,0)，
則，得，又，
所以，所以，
所以橢圓C的方程為.
根據閱讀材料，與點P對應的極線方程為，即；
（2）由題意，設點Q的坐標為(,)，
因為點Q在直線上運動，所以，
聯立，得，
，該方程無實數根，
所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，
又QM，QN都與橢圓C相切，
所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.
對于橢圓，與點Q(,)對應的極線方程為，
將代入，整理得，
又因為定點T的坐標與的取值無關，
所以，解得，
所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.
當時，T是線段MN的中點，
設，直線MN的斜率為，
則，兩式相減，整理得，即，
所以當時，直線MN的方程為，即.
題型四：蝴蝶問題
【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，求的值；
(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．
【解析】（1）由題意，得解得∴，故的方程為．
（2）由（1）知，
∴直線AB的方程為，由即，
設，，
則，，
∴．
設O點到直線AB的距離為d，則．
∴．
（3）設AB直線方程，
設，，，，
由由定比分點坐標公式：，
由于A，C滿足橢圓方程，故得
兩式作差得③，
將①②代入③可得，和①進行聯立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點D在第一象限.CB的延長線交橢圓于點E，直線AE與橢圓 y軸分別交于點F G，直線CG交橢圓于點H，DA的延長線交FH于點M.
（1）設直線AE CG的斜率分別為 ，求證：為定值；
（2）求直線FH的斜率k的最小值；
（3）證明：動點M在一個定曲線上運動.
【解析】（1）由對稱性，設，，，
則，得，
故，，則，
（2）由，
聯立，
由根與系數的關系可得 ，所以，
所以，可得，
又，聯立，
由根與系數的關系可得 ，所以，
所以可得：，
所以
，
由圖知，所以即,
當且僅當即取等.
所以直線FH的斜率k的最小值為.
（3）易知，
令 可得，
所以，
，
所以 ，
因為，
所以，
即M在曲線上.
【變式4-1】設橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，直線與橢圓相切．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)斜率為的直線過，與橢圓交于兩點，延長，分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證為定值．
【解析】（1）與橢圓相切，，
將代入橢圓方程得：，，則，
橢圓的標準方程為：.
（2）
由（1）得：，，則直線，
設，，，，
則直線的方程為：，
由得：，
，則，，
；同理可得：；
，
，即為定值.
【變式4-2】設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；
(2)設直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
【解析】（1）拋物線C的方程為
（2） 解法一：
設，直線，
聯立直線，得，，
聯立直線，得，，
∴，同理可得，
由斜率公式可得，，∴．
解法二：三點共線
設，
由M、N、F三點共線，得，
由M、D、A三點共線，得，
由N、D、B三點共線，得，
則，AB過定點（4，0）．
【變式4-3】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F是橢圓的右焦點且______，從下列條件中任選一個補充在上面問題中并作答：注：如果選擇多個條件作答，按第一個計分．
條件①：橢圓C的離心率，焦點到相應準線的距離是3．
條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．
(1)求橢圓C的方程．
(2)已知A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．
【解析】（1）若選①，則，解得，故橢圓C的方程為；
若選②，易知圓圓心，半徑為4，過點，和橢圓外切，切點必為，故，
圓圓心，半徑為，過點，和橢圓外切，切點必為，故，
故橢圓C的方程為；
（2）設，因為三點共線，又，則，
即（★），又因為點均在橢圓上，則，可變形為，代入中，
整理可得，結合（★）式得（ ），
★ 式聯立解得，
同理可得，所以直線的方程為，即，
又，所以直線DE的方程為，故直線DE過定點.
題型五：坎迪定理
【典例5-1】橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.
【解析】（1），由題意，，
所以橢圓的方程.
（2）設，，，過的動直線：，代入橢圓的方程得：
，得：，，
，
分別由，，及，，三點共線，得：，，
兩式相除得：
，
得：，即在直線上.
【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為，點C在橢圓E上且異于兩點，分別為直線上的點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)求的值；
(3)設直線與橢圓E的另一個交點為D，證明：直線過定點．
【解析】（1）因為橢圓長軸長為4，離心率為，所以，
則橢圓方程為；
（2）易知，設，
則，所以，
又C在橢圓上，即，
故；
（3）由上知，則，
與橢圓方程聯立，
由韋達定理知，，
①若直線斜率不存在，
即
，
即，
解之得，過定點；
②若直線斜率存在，
則，
整理得，
過定點
綜上所述恒過定點.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知不過坐標原點且斜率為1的直線與橢圓交于點，，為的中點．
(1)求直線的斜率；
(2)設，直線，與橢圓的另一個交點分別為，（均異于橢圓頂點），證明：直線過定點．
【解析】（1）解法一：設直線AB的方程為，
將代入，得，
由，得，
設，，，則，
所以，，即，
故直線OM的斜率為．
解法二：設，，，
則，，
兩式作差，得，
所以．
因為直線AB的斜率為1，
所以，得，故直線OM的斜率為．
（2）由題意知直線CD的斜率存在，設直線CD的方程為，，，
則，直線PC的方程為，
與聯立，并結合化簡可得，
則，，，
故，
同理，
故，
所以，
故直線CD的方程為，直線CD過定點．
【變式5-2】在平面直角坐標系中，如圖，已知的左、右頂點為、，右焦點為，設過點的直線、與橢圓分別交于點、，其中，，．
（1）設動點滿足，求點的軌跡；
（2）設，，求點的坐標；
（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關）．
【解析】（1）設點，則，，，
由，得，
化簡得，
故所求點的軌跡為直線．
（2）將，分別代入橢圓方程，以及，，
得，，
直線方程為，即，
直線方程為，即，
聯立方程組，解得，
所以點的坐標為．
（3）點的坐標為，
直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，，
解得、，
若，且,得，
此時直線的方程為，過點；
若，則，直線的斜率，
直線的斜率，
所以,所以直線過點，
因此直線必過軸上一定點.
【變式5-3】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，過點M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．
【解析】證明：連結BD，設，，直線CD的方程為：，代入橢圓方程，整理得，，∴，
，
又，∴（定值）．
【變式5-4】已知橢圓的左右頂點分別為A和B，離心率為，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點N，探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.
【解析】（1）由題設， ，，且
所以，
橢圓方程為；
（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），設直線的方程為，
聯立方程組，得，
因為，設，
所以，
設直線的方程為，直線的方程為，
則，即，
而，
∴，
∴x=4，即直線與直線的交點在直線x=4上.
【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設分別是橢圓的左 右頂點，點為橢圓的上頂點.
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.
（3）設，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.
【解析】（1），
，，，解得
即橢圓的方程為.
（2）橢圓的方程為，由題意，設另一焦點為，
設，由線段的中點在y軸上，得軸，所以，
代入橢圓方程得，即
；
（3）證明：由題意，設點P的坐標為，
直線：，與橢圓方程聯立
消去得：
由韋達定理得即；
同理；
當，即即時，
直線的方程為；
當時，直線：
化簡得，恒過點；
綜上所述，直線恒過點.
1．已知橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線交橢圓于，（點位于軸上方）兩點，且（為坐標原點）的面積為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線交橢圓于，（，異于點）兩點，且直線與的斜率之積為，求點到直線距離的最大值.
【解析】（1）由題意可得解得
所以橢圓的標準方程為.
（2）解法1：韋達定理
設點，，由（1）易求得，
當直線的斜率不存在時，設其方程為（且），
所以由，且，得到，
即，解得或（舍）
此時點到直線的距離為，
當直線的斜率存在時，設其方程為，
聯立消去并整理得.
則，，，
所以，即.
所以，
，
整理得，即，
所以或.
若，則直線的方程為，
所以直線過點，不合題意；
若，則直線的方程為，
所以直線過定點.
又因為，所以點在橢圓內.
則點到直線的距離為.
所以點到直線距離的最大值為.
解法2：齊次式法
易求得，設點，，則，
橢圓的方程為，即，
，
設直線的方程為，聯立并齊次化，得
整理得，
即，
方程的兩根為，，由韋達定理得，
從而，與對照，
則解得故直線過定點，
、JKK;顯然，點到直線距離的最大值為.
2．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數的取值范圍，并求橢圓的方程.
(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結論進行解答)
極點與極線是法國數學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是原點）對應的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.
①設直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；
②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.
【解析】（1）由題意焦點在軸上，所以，解得，即的范圍為，
且，解得，
所以橢圓方程為.
（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：
設，則Q在P的極線上，
現在如果經過P的直線交橢圓于：
那么，代入橢圓就得到，
所以
，
由韋達定理有，
此時要證明的是：，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
也就是，
這顯然成立，所以結論得證.
接下來我們回到原題，
①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，
而，
所以，這表明Q是和的交點，
又由于，故，
設，而，，，
所以，也就是E是的中點；
②設，那么，所以，
這表明的方程是，即，
所以恒過點.
3．（2024·云南昆明·模擬預測）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．
(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；
(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；
(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．
【解析】（1）由題意知，當時，，所以或．
由定義可知橢圓在點處的極線方程為，
所以橢圓在點處的極線方程為，即
點處的極線方程為，即
（2）因為在橢圓上，所以，
由定義可知橢圓在點處的極線方程為，
當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線．
當時，極線方程為．
聯立，得．
．
綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線；
（3）設點，，，
由（2）可知，過點的切線方程為，
過點N的切線方程為．
因為，都過點，所以有，
則割線的方程為；
同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為．
又因為割線過點，代入割線方程得．
所以，，三點共線，都在直線上．
4．（2024·重慶·模擬預測）已知橢圓：的右焦點為，點，是橢圓上關于原點對稱的兩點，其中點在第一象限內，射線，與橢圓的交點分別為，.
（1）若，，求橢圓的方程；
（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.
【解析】（1）由，根據橢圓的對稱性知軸，過右焦點
所以，，，
則，由，可得
解得，代入橢圓方程得，解得，
所以，即，所以，故橢圓方程為；
（2）設，，令，則，
代入橢圓方程得，即，
又，所以，化簡得到 ①
同理：令，同理解得，代入橢圓方程同理可得 ②
由題知，解得，③
①②得，將③式代入得，故，
故橢圓方程為.
5．（2024·山東濟南·二模）已知橢圓C的焦點坐標為和，且橢圓經過點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若，橢圓C上四點M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.
【解析】（1）由題意可知，c=1，
設橢圓方程為，將點代入橢圓方程，
得，
解得（舍），，
所以橢圓方程為.
（2）設，，，，，
因為，所以，即，
又，都在橢圓上，
所以，，
即，
②-①得，
即……③，
又，同理得……④
④-③得，
所以.
6．已知橢圓C：，，為其左右焦點，P為橢圓C上一動點，直線交橢圓于點A，直線橢圓交于點B，設，，求證：為定值．
【解析】設，，，
由于，由定比分點公式可得
將，，代入橢圓方程有
得 ③，
得
兩邊同除整理得
所以，即
又，即
解得
同理:
所以.
7．（2024·河北滄州·一模）已知橢圓經過點，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.
【解析】（1）由題意得，解得，.
所以橢圓的方程是；
（2）設直線的方程為，、、，
由，得.
，則有，，
由，得，由，可得，
，
，
綜上，點在定直線上.
8．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點的一點，點滿足．
（1）若點的坐標為，求橢圓的方程；（2）設過點的一條直線交橢圓于兩點，且，直線的斜率之積，求實數的值．
【解析】試題解析：（1）因為，而，
所以．
代入橢圓方程，得，①
又橢圓的離心率為，所以，②
由①②，得，
故橢圓的方程為．
（2）設，
因為，所以．
因為，所以，
即
于是
代入橢圓方程，得，
即，③
因為在橢圓上，所以． ④
因為直線的斜率之積為，即，結合②知． ⑤
將④⑤代入③，得，
解得．
9．在直角坐標系xOy中，點到直線的距離等于點到原點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)點A，B，C，D在上，A，B是關于軸對稱的兩點，點位于第一象限，點位于第三象限，直線AC與軸交于點，與軸交于點，且B，H，D三點共線，證明：直線CD與直線AC的斜率之比為定值．
【解析】（1）設，則，
兩邊平方，化簡得，
故的方程為.
（2）證明:設點的方程為，則，因為，所以
從而直線BD的方程為
聯立可得，所以，則，
所以
聯立可得，所以，則，所以.
所以直線CD的斜率為.
所以直線與直線的斜率之比為.
10．如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．
(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；
(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；
(3)對于（2）中的中的在，，，，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）
【解析】（1）橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心，
橢圓方程為
焦點坐標為，
離心率
（2）證明：將直線的方程代入橢圓方程，得
整理得
根據韋達定理，得，，
所以①
將直線的方程代入橢圓方程，同理可得②
由 ①、②得
所以結論成立.
（3）證明：設點，點
由、、共線，得
解得
由、、共線，同理可得
由變形得
所以
即
11．（2024·湖南·一模）已知過橢圓的左焦點，作斜率為的直線，交橢圓于兩點.
（1）若原點到直線的距離為，求直線的方程；
（2）設點，直線與橢圓交于另一點，直線與橢圓交于另一點.設的斜率為，則是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】(1)由橢圓，可知，
所以可設過點F且斜率為k的直線l的方程為，
即，設原點O到直線l的距離為d，則，
依題意有，
所以所求的直線l的方程為或.
(2)設，，，，
因為點，所以可設直線AM的方程為，
聯立方程，消去y得，
整理，得.（*）
所以，是方程（*）的兩實根，所以，所以，
所以.
所以
同理，，即.
所以
，
所以（定值）.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)拔高點突破01 定比點差法、齊次化、極點極線問題、蝴蝶問題、坎迪定理
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：定比點差法 2
題型二：齊次化 4
題型三：極點極線問題 5
題型四：蝴蝶問題 7
題型五：坎迪定理 10
03 過關測試 13
1、定比點差法是一種在解析幾何有應用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點弦問題，通過設定線段上的定比分點，利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯系與差異，通過代點、擴乘、作差等步驟，解決相應的圓錐曲線問題。定比點差法的核心思想是“設而不求”，即設定未知數但不直接求解，而是通過代數運算消去未知數，得到所需的結果。這種方法在處理復雜問題時具有獨特的優勢，能夠簡化計算過程，提高解題效率。
2、齊次化是一種數學處理方法，它通過將問題轉化為齊次形式（即各項次數相等）來簡化計算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關的問題，如過某定點的兩條直線的斜率關系。通過齊次化聯立，可以將復雜的二次曲線方程轉化為關于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問題。
3、極點極線是數學中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據關鍵地位。極點通常指圓錐曲線上的特殊點，其切線方程與曲線方程相同；對于不在曲線上的點，其關于曲線的調和共軛點軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點緊密相關的一條直線，對于曲線上的極點，其極線即為該點處的切線；對于曲線外的點，其極線則是通過該點作曲線的兩條切線所得的切點弦.
4、坎迪定理是數學領域中的一個重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內的一段弦上任意一點與圓上任意兩點相連并延長交圓于另外兩點，連接這兩延長交點與弦上另外兩點相交，所得線段長度的倒數之差為常數。
題型一：定比點差法
【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經過點
Ⅰ求橢圓的標準方程；
Ⅱ已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．
【典例1-2】已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點（A點在B點的上方），若有，求橢圓的離心率．
【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知，直線過橢圓的右焦點F且與橢圓交于A、B兩點，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點．
(1)若，且當軸時，△MON的面積為，求雙曲線的方程；
(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實數的值．
【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求
【變式1-3】已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．
【變式1-4】已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．
題型二：齊次化
【典例2-1】已知橢圓的中心為，長軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.
【典例2-2】如圖，過橢圓上的定點作傾斜角互補的兩直線，設其分別交橢圓于兩點，求證：直線的斜率是定值.
【變式2-1】已知橢圓的左頂點為，，為上的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點.若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【變式2-2】已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設E，F是橢圓C上的兩個動點.
(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；
(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.
題型三：極點極線問題
【典例3-1】（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率 為，直線與圓相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)橢圓方程，平面上有一點. 定義直線方程 是橢圓在點處的極線.
① 若在橢圓上，證明: 橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓 于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點. 證明: 三點共線.
【典例3-2】閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；對于拋物線，與點對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質 定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.
(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.
(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.
【變式3-1】閱讀材料：
（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質 定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結合閱讀材料回答下面的問題：
(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
題型四：蝴蝶問題
【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，求的值；
(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．
【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點D在第一象限.CB的延長線交橢圓于點E，直線AE與橢圓 y軸分別交于點F G，直線CG交橢圓于點H，DA的延長線交FH于點M.
（1）設直線AE CG的斜率分別為 ，求證：為定值；
（2）求直線FH的斜率k的最小值；
（3）證明：動點M在一個定曲線上運動.
【變式4-1】設橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，直線與橢圓相切．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)斜率為的直線過，與橢圓交于兩點，延長，分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證為定值．
【變式4-2】設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；
(2)設直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
【變式4-3】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F是橢圓的右焦點且______，從下列條件中任選一個補充在上面問題中并作答：注：如果選擇多個條件作答，按第一個計分．
條件①：橢圓C的離心率，焦點到相應準線的距離是3．
條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．
(1)求橢圓C的方程．
(2)已知A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．
題型五：坎迪定理
【典例5-1】橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.
【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為，點C在橢圓E上且異于兩點，分別為直線上的點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)求的值；
(3)設直線與橢圓E的另一個交點為D，證明：直線過定點．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知不過坐標原點且斜率為1的直線與橢圓交于點，，為的中點．
(1)求直線的斜率；
(2)設，直線，與橢圓的另一個交點分別為，（均異于橢圓頂點），證明：直線過定點．
【變式5-2】在平面直角坐標系中，如圖，已知的左、右頂點為、，右焦點為，設過點的直線、與橢圓分別交于點、，其中，，．
（1）設動點滿足，求點的軌跡；
（2）設，，求點的坐標；
（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關）．
【變式5-3】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，過點M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．
【變式5-4】已知橢圓的左右頂點分別為A和B，離心率為，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點N，探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.
【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設分別是橢圓的左 右頂點，點為橢圓的上頂點.
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.
（3）設，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.
1．已知橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線交橢圓于，（點位于軸上方）兩點，且（為坐標原點）的面積為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線交橢圓于，（，異于點）兩點，且直線與的斜率之積為，求點到直線距離的最大值.
2．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數的取值范圍，并求橢圓的方程.
(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結論進行解答)
極點與極線是法國數學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是原點）對應的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.
①設直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；
②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.
3．（2024·云南昆明·模擬預測）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．
(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；
(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；
(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．
4．（2024·重慶·模擬預測）已知橢圓：的右焦點為，點，是橢圓上關于原點對稱的兩點，其中點在第一象限內，射線，與橢圓的交點分別為，.
（1）若，，求橢圓的方程；
（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.
5．（2024·山東濟南·二模）已知橢圓C的焦點坐標為和，且橢圓經過點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若，橢圓C上四點M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.
6．已知橢圓C：，，為其左右焦點，P為橢圓C上一動點，直線交橢圓于點A，直線橢圓交于點B，設，，求證：為定值．
7．（2024·河北滄州·一模）已知橢圓經過點，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.
8．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點的一點，點滿足．
（1）若點的坐標為，求橢圓的方程；（2）設過點的一條直線交橢圓于兩點，且，直線的斜率之積，求實數的值．
9．在直角坐標系xOy中，點到直線的距離等于點到原點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)點A，B，C，D在上，A，B是關于軸對稱的兩點，點位于第一象限，點位于第三象限，直線AC與軸交于點，與軸交于點，且B，H，D三點共線，證明：直線CD與直線AC的斜率之比為定值．
10．如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．
(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；
(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；
(3)對于（2）中的中的在，，，，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）
11．（2024·湖南·一模）已知過橢圓的左焦點，作斜率為的直線，交橢圓于兩點.
（1）若原點到直線的距離為，求直線的方程；
（2）設點，直線與橢圓交于另一點，直線與橢圓交于另一點.設的斜率為，則是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
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