資源簡介

重難點(diǎn)突破17 圓錐曲線中參數(shù)范圍與最值問題　
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：弦長最值問題 2
題型二：三角形面積最值問題 11
題型三：四邊形面積最值問題 16
題型四：弦長的取值范圍問題 22
題型五：三角形面積的取值范圍問題 28
題型六：四邊形面積的取值范圍問題 36
題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題 40
題型八：參數(shù)的取值范圍 45
03 過關(guān)測試 52
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
2、求參數(shù)范圍問題的常用方法
構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進(jìn)一步找到自變量范圍，進(jìn)而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：
（1）二次函數(shù)；（2）“對(duì)勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時(shí)，還可以從以下幾個(gè)方面考慮：
①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．
④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
題型一：弦長最值問題
【典例1-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，上 下頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為且有一個(gè)內(nèi)角為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若以線段為直徑的圓與橢圓無公共點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值.
【解析】（1）由題意可得，可得，
，或，
所以橢圓的方程為：或；
（2）由以線段為直徑的圓與橢圓無公共點(diǎn)，得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在橢圓外，
設(shè)，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，
由，可得，解得，（*）
設(shè)直線，
聯(lián)立，整理可得：，
由，
整理可得：，解得或，
且，
代入整理可得，
代入直線的方程，得，
可得，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則，
由，得，也滿足方程，
所以點(diǎn)在直線（在橢圓內(nèi)部）上，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則解得，
所以，
此時(shí)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合題意，
所以的最小值為.
【典例1-2】過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)A和B，且．點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值．
【解析】
解法一：由且，得，
說明P，Q關(guān)于橢圓調(diào)和共軛，則Q在對(duì)應(yīng)的極線上，此極線方程為，即，
故的最小值就是點(diǎn)O到直線的距離．
解法二：構(gòu)造同構(gòu)式
設(shè)點(diǎn)Q，A，B的坐標(biāo)分別為，
由題設(shè)有，則，
又Q，A，P，B四點(diǎn)共線，故可設(shè)．
則.①.②
點(diǎn)在橢圓上，將①代入橢圓方程，整理得③，
點(diǎn)在橢圓上，將②代入，整理可得④，
由③④知μ，－μ是方程的兩根，
由韋達(dá)定理得，點(diǎn)Q的軌跡方程為，
故的最小值就是點(diǎn)O到直線的距離．
解法3：定比點(diǎn)差法
設(shè)，由，得，
同理，由，得，
∴，（*）
由，作差整理得，
代入（*）式有，∴點(diǎn)Q的軌跡方程為．
故的最小值就是點(diǎn)O到直線的距離．
【變式1-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，雙曲線的頂點(diǎn)恰好是、，且一條漸近線是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），作直線交于，作直線交于，求的最小值．
【解析】（1）由橢圓得：左右焦點(diǎn)分別是，
因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)恰好是、，設(shè)雙曲線的方程為：，
所以，
又由一條漸近線是，可得，所以，
即雙曲線的方程為：，
（2）
設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：
，
可設(shè)，則
則，
同理可設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：
，
可設(shè)，則
則，
再由直線的方程為：與直線的方程為：聯(lián)立解得：
，
由于這兩直線交點(diǎn)就是點(diǎn)，則把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得：
，化簡得：，
點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），所以，即，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值.
【變式1-2】已知曲線：.
(1)若曲線為雙曲線，且漸近線方程為，求曲線的離心率；
(2)若曲線為橢圓，且在曲線上.過原點(diǎn)且斜率存在的直線和直線（與不重合）與橢圓分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且點(diǎn)滿足到直線和的距離都等于，求直線和的斜率之積；
(3)若，過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，與橢圓交于，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交直線交于點(diǎn)，求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)榍€：為雙曲線，
若焦點(diǎn)在軸，則，又漸近線方程為，
則，即，解得或（舍去），
此時(shí)曲線的離心率；
若焦點(diǎn)在軸，則，又漸近線方程為，
則，即，解得（舍去）或，
此時(shí)曲線的離心率，
綜上可得曲線的離心率為或.
（2）依題意，解得或，
當(dāng)時(shí)曲線：，符合題意；
當(dāng)時(shí)曲線：，符合題意；
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，為不失一般性設(shè)，
則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，
化簡得，
同理可得，
所以，是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，，
則有，
又點(diǎn)，所以．
（3）當(dāng)時(shí)曲線：，
不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
解得，則，
即，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，
此時(shí)，
所以直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，解得，即，
所以，
則，
因?yàn)椋?br/>所以，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
故的最小值為．
【變式1-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長為．
(1)求的方程；
(2)若的面積為，求的方程；
(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，
的周長為，所以，
所以，
故的方程為．
（2）易知的斜率不為0，設(shè)，
聯(lián)立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程為或．
（3）由（2）可知，
因?yàn)榈男甭适堑男甭实?倍，所以，
得．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為．
題型二：三角形面積最值問題
【典例2-1】已知橢圓C：＝1（）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試問的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意可知：，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，
所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由題意可知直線的斜率不為，且斜率不可能不存在（否則重合），所以設(shè)直線的方程為：，
與橢圓的方程聯(lián)立，得，
消去，得，
所以，
設(shè)，，則，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ，
直線的斜率為：，
所以直線的方程為，
令，得，
即直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，記為，
則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
【典例2-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求面積的最大值．
【解析】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不符合題意，因此，
直線：恒過定點(diǎn).
（ii）由（i）知，，
則，
因此的面積
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最大值為.
【變式2-1】（2024·廣東珠海·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓上，直線．
(1)若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，記直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，
而在橢圓上，故，
故，故橢圓方程為：，
由可得，
故即即.
（2）當(dāng)時(shí)，直線，故，
由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè)，不妨設(shè)在直線上方，在直線的下方，
當(dāng)過的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，
到直線的距離最大及的面積最大，
當(dāng)過的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，
到直線的距離最大及的面積最大，
由（1）可得相切時(shí)即，
當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上方，
此時(shí)到的距離為，
當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線下方；
此時(shí)到的距離為，
又
故.
【變式2-2】點(diǎn)A，B分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與右端點(diǎn)重合），P的橫坐標(biāo)非負(fù)，的中點(diǎn)是M，當(dāng)P位于下頂點(diǎn)時(shí)的面積為1，橢圓離心率為.
(1)求橢圓方程；
(2)記的面積為，的面積為，求的最小值.
【解析】（1）
由題意得，，，
聯(lián)立解得，，，
所以橢圓方程為.
（2）
，其中是下頂點(diǎn)，，
注意到，設(shè)，
所以，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最小值1，注意到，所以的最小值為1，
即的最小值為1.
【變式2-3】已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓交于另一點(diǎn)，求面積的最大值.
【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，則，，
由的左，右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，得，
即，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）顯然，設(shè)，則，
由消去得，，
則，
又，而與同號(hào)，
因此
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以面積的最大值為.
題型三：四邊形面積最值問題
【典例3-1】記橢圓的左，右頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)分別為，，，，P是E上除左右頂點(diǎn)外一點(diǎn)，記P在E處的切線為l，作直線交l于點(diǎn)，作直線交l于點(diǎn)，記直線與的交點(diǎn)為Q．
(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)求；
(3)求四邊形面積的最大值．附：橢圓在點(diǎn)處的切線為（P在橢圓上）．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，則.
由題知，直線的方程為，
直線的方程為，聯(lián)立直線和的方程有，
設(shè)，則代入，得到,
點(diǎn)Q的軌跡方程為．
（2），
同理可得，，，
由對(duì)稱性，可設(shè)，時(shí)，則，；
所以，此時(shí)；時(shí)，由對(duì)稱性可設(shè)，
設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，則由初中幾何有，，
代入有，此時(shí)．綜上所述，．
（3）由（2）同理可證明，記四邊形，，的面積分別為，，，
則，
由前面知，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；在中，有，
代入數(shù)據(jù)有，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．
綜上所述，四邊形面積的最大值為．
【典例3-2】（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，長軸長為，焦距長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長的最大值；
(3)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，若是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求直線的方程.
【解析】（1）由題意得，，
所以，
所以，
所以橢圓的方程為；
（2）依題意，, 如圖①所示，
所以,且.
因?yàn)?
當(dāng)且僅當(dāng)為的延長線與橢圓相交時(shí)取等號(hào)，
所以的周長最大值為.
（3）設(shè)，如圖②所示，
由得，，
所以，，
所以
，
因?yàn)?br/>，
所以，
因?yàn)榕c無關(guān)，
所以，即，，
此時(shí)，，
所以，
，
由題意可知，四邊形為平行四邊形，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以
，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，四邊形面積最大，
故直線的方程為或.
【變式3-1】（2024·湖南衡陽·三模）在直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，記圓心M的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)已知三點(diǎn)T，P，Q在E上，且直線TP與TQ的斜率之積為；
（i）求證：P，O，Q三點(diǎn)共線；
（ii）若，直線TQ交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，求四邊形OPAB面積的最大值．
【解析】（1）圓，圓，
設(shè)圓的半徑為，
由已知得，，從而，
故圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左頂點(diǎn)），
又，
從而軌跡的方程為.
（2）
（i）設(shè)，，，直線的斜率為，
由直線TP與TQ的斜率之積為，則存在且，
則，只需證且.
聯(lián)立，消得，
整理得：，
， ，
以代得，
故.
又，
，
故三點(diǎn)共線.
（ii）由（i）知，則，
的方程：，從而，
則，
由，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
故，即四邊形面積的最大值為.
【變式3-2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）如圖，橢圓C：()的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)P是橢圓C弧上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)，又離心率，則.
，則.
法一：則C：，點(diǎn)代入得，
法二：則，點(diǎn)代入得，
所以C方程為：.
（2）因?yàn)椋拿娣e為定值，所以只要的面積最大.
設(shè)，則①.
， ，則線段AM長度為定值.
由圖知，P在直線的上方，直線：，
P到直線的距離為
只需求的最大值.
法一：設(shè)，代入得：，
因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立①，解得：，.
法二：因?yàn)?br/>.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
所以當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為 ().
題型四：弦長的取值范圍問題
【典例4-1】已知橢圓 的左右頂點(diǎn)為A ，A ， 左右焦點(diǎn)為F ，F(xiàn) ，過F ，F(xiàn) 分別作兩條互相平行的直線l ，l ，其中l(wèi) 交E于A，B兩點(diǎn)， l 交E于C，D兩點(diǎn)， 且點(diǎn)A，C位于x軸同側(cè)， 直線A C與A A交于點(diǎn)P. 當(dāng)l 與x軸垂直時(shí)，△PF F 是面積為1的等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若直線A C與直線A A的斜率之和為1， 求直線l ，l 的方程;
(3)求 的取值范圍.
【解析】（1）
設(shè),
故直線的方程為
由,得, 所以
不妨設(shè)，
由△PF F 是等腰直角三角形可得
所以直線方程為：，同理可得方程為：，
所以交點(diǎn)，
由△PF F 是等腰直角三角形面積為1可得
解得，
又在直線上，
所以,
所以，又，
所以
所以橢圓方程.
（2）
由圖形對(duì)稱性可得：，
所以，
設(shè),
將 和橢圓得方程聯(lián)立得
所以
,
故直線直線
（3）
易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由(2)知,
則直線，直線 ,
將兩式相乘得 ，
其中 ，
故點(diǎn)P的軌跡方程為：，即
設(shè) 則
當(dāng)時(shí)， ,
當(dāng)時(shí)，, , ,
綜上， ,
故.
【典例4-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．
(1)若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）聯(lián)立方程：，解得或，
即點(diǎn)為或，
將點(diǎn)代入雙曲線C：可得，解得，
所以.
（2）先證：在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，
顯然直線過點(diǎn)，
即，，
聯(lián)立方程，消去y可得，
即，則，解得，
所以在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.
設(shè)，，則，
可得線段OP的垂直平分線為，即，
設(shè)直線與雙曲線C切于點(diǎn)，則直線，
則，即，
且，即，整理可得，
又因?yàn)樵陔p曲線C上，則，即，
可得，解得（舍負(fù)），
則，
令，則，可得，
令，則關(guān)于x的方程有正根，
即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根，
設(shè)，
若，即，則，不合題意；
若，即，則，解得，不合題意；
若，即，則，解得；
綜上所述：，
則，即.
【變式4-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且被的準(zhǔn)線截得的弦長為.
(1)求的方程；
(2)若過的直線與的上支交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由題可知，的坐標(biāo)為，
則.
易知的方程為，不妨設(shè)與相交于點(diǎn)，，
則，整理得，
則，
可得
故的方程為.
（2）由題可知，直線的斜率一定存在，
設(shè)：，，，則，.
聯(lián)立方程組整理得，
則，
,.
由，在軸的上方，所以，，
可得.
，則.
由，得，
則，
故的取值范圍為.
題型五：三角形面積的取值范圍問題
【典例5-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.
即，解得，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）
解法一：
由（1）得，依題意設(shè)，
由消去，得，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
，
由得，，
即，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，
令且，
則，解得，且，
所以，所以的取值范圍為.
解法二：
由（1）得，依題意設(shè)，
由消去，得，
設(shè)，則，
所以，
設(shè)，則，
，
令且，
則代入可得，
消去得：，
因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，且，
所以，所以的取值范圍為.
【典例5-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的離心率為2，點(diǎn)在上，、為雙曲線的下、上頂點(diǎn)，為上支上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），直線和直線交于點(diǎn)，直線交的上支于點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)探究直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由；
(3)設(shè)，分別為和的外接圓面積，求的取值范圍
【解析】（1），點(diǎn)在上，
故，
又，
，，
的方程為.
（2）斜率存在，設(shè)：，與聯(lián)立消去得：
，設(shè)，，
則，
，，
又，
設(shè)，則，，則，則，
，
，
，
即，
化簡得，
，
（舍去），
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故點(diǎn)與重合，不合題意，
：直線過定點(diǎn)；
（3）在中，根據(jù)正弦定理得：，為外接圓的半徑，
在中，根據(jù)正弦定理得：，為外接圓的半徑，
，
，故，
由于，分別為和的外接圓面積，
故，
則，
設(shè)：，與聯(lián)立消去得：，
設(shè)，，則，，
，，
，，
因?yàn)椋裕?br/>.
【變式5-1】（2024·重慶·三模）設(shè)圓D：與拋物線C：交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，已知
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)A在第一象限，動(dòng)點(diǎn)異于點(diǎn)A，在拋物線C上，連接MB，過點(diǎn)A作交拋物線C于點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊時(shí)，求：
①點(diǎn)P的軌跡方程；
②面積的取值范圍.
【解析】（1）由圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
所以圓心，半徑為，
設(shè)與軸交于點(diǎn)，如圖所示，
因?yàn)閳AD和拋物線C都關(guān)于x軸對(duì)稱，則E，F(xiàn)兩點(diǎn)也關(guān)于x軸對(duì)稱，且，
所以在直角中，，所以，則，
又由拋物線C過點(diǎn)，即，則，
所以拋物線C方程為.
（2）聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)，，則，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
則直線的斜率為，直線，
直線的斜率為，直線，
將拋物線C代入直線AN得，
解得點(diǎn)，則直線BN的斜率為，
所以直線，
①聯(lián)立方程組，整理得，
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l的左邊，則，即，
所以，則，
又因?yàn)椋遥桑傻们遥?br/>所以點(diǎn)P的軌跡方程為且.
②設(shè)，則P到直線l的距離，
因?yàn)椋瑒t，
則，
又因?yàn)榍遥裕?br/>【變式5-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l的斜率為1時(shí)，.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，直線PO與C交于點(diǎn)Q（異于原點(diǎn)），線段MN的中點(diǎn)為R，若，求面積的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)檫^F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，故直線的斜率不為0，
不妨設(shè)l的方程為，，，
聯(lián)立l與C的方程，得，
∴，，
則，
∴由題可知當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴C的方程為.
（2）由（1）知，
將R的縱坐標(biāo)2m代入，得，
易知C的準(zhǔn)線方程為，又l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，
∴，
則直線OP的方程為，聯(lián)立OP與C的方程，得，
∴，
∴Q，R的縱坐標(biāo)相等，
∴直線軸，
∴，
∴，
∵點(diǎn)Q異于原點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，即.
題型六：四邊形面積的取值范圍問題
【典例6-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點(diǎn)，直線交右支于，兩點(diǎn)，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：；
(3)若直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，
所以 ，整理得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知直線和直線斜率若存在則均不為0且不為，
①直線的斜率不存在時(shí)，則可設(shè)直線方程為，，
則且由點(diǎn)A和點(diǎn)B在曲線E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直線斜率存在時(shí)，則可設(shè)方程為，、，
聯(lián)立，
則即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
綜上，.
（3）由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，
且曲線E的漸近線方程為，
故可分別設(shè)直線和直線的方程為和，且，
聯(lián)立得，設(shè)、，
則，
，，
故，
因?yàn)镻是中點(diǎn)，所以即，
同理可得，
所以P到兩漸近線的距離分別為，
，
Q到兩漸近線的距離分別為，
，
由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接，
則四邊形面積為
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以四邊形面積的取值范圍為.
【典例6-2】（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，、為雙曲線上的點(diǎn).
(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；
(2)若，求直線的方程；
(3)若，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.
【解析】（1）由題，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，
因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（2）顯然，直線不與x軸重合，設(shè)直線方程為，
由，得，
由，得，
其中，恒成立，
，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直線的方程為.
（3）延長交雙曲線于點(diǎn)P，延長交雙曲線于點(diǎn)Q.則由對(duì)稱性得，
四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.
由題，設(shè)，直線程為，直線方程，
由第（2）問，易得，
因?yàn)椋茫蚨?br/>平行線與之間的距離為，
因此，.
令，則，
得在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
故（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），
所以，四邊形面積的取值范圍為.
題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題
【典例7-1】橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【解析】（1）由拋物線方程，得焦點(diǎn)．
設(shè)橢圓的方程：．
解方程組得．
由于拋物線、橢圓都關(guān)于軸對(duì)稱，
∴，，∴．
∴又，
因此，，解得，并推得．
故橢圓的方程為．
（2）由（1）知，
①若垂直于軸，則，
∴
②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為
由得
∵，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)．
∴
，則
綜上，
所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值
【典例7-2】（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.
(1)求的軌跡方程；
(2)直線，分別交動(dòng)直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）由題意設(shè)點(diǎn)，由于，
故，整理得，
即的軌跡方程為；
（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，
設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，
直線，同理求得，
又直線的方程為，
令，得，即，
故
，
當(dāng)時(shí)，取到最大值12，
即存在最大值，最大值為12.
【變式7-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的橢圓C過點(diǎn)與點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別交直線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為且，
因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)與點(diǎn)，所以，解得.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線，
由，得，
即，則.
直線的方程分別為.
令，則.
則，
，
所以
.
因?yàn)椋?
即的取值范圍為.
所以存在最小值，且最小值為.
【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線C上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù)．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的上頂點(diǎn)T為圓心作半徑為的圓，設(shè)圓T與曲線C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．
【解析】（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù)
∴；化簡整理得：
（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，不妨設(shè)．
由于點(diǎn)在橢圓上，所以．
由已知，則，，
∴
由于，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
此時(shí)，
故圓T的方程為．
【變式7-3】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，且滿足（為橢圓的離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過且斜率存在的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為、，求的值．
【解析】（1）由題意知，
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，
，即，
，
由韋達(dá)定理可得，，
，，，
，，
令，
若，則關(guān)于的一元二次方程有解，
則，整理可得，
設(shè)的最大值和最小值分別為、，
則、為一元二次方程的兩不等實(shí)根，由韋達(dá)定理得；
若，則，滿足不等式，但不是的最值.
綜上所述，．
題型八：參數(shù)的取值范圍
【典例8-1】如圖，已知拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，過拋物線內(nèi)一點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與拋物線交于點(diǎn)，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率為的直線過點(diǎn)，且與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋瑒t在中，，
由拋物線的定義得，，
故，則，即，
設(shè)，則，解得，
過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>故，，
所以，解得；
（2）由（1）可知拋物線方程為：，設(shè)，，
設(shè)，聯(lián)立，整理得：，
因?yàn)椋裕?br/>由韋達(dá)定理得，，
因?yàn)椋瑒t，故，
故，
將代入（*）式得，
因?yàn)榇嬖冢沟茫?br/>所以有對(duì)有解，
而，所以，
解得，或，
因?yàn)椋?
【典例8-2】（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知橢圓C：過定點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條動(dòng)直線交橢圓于，直線的傾斜角互補(bǔ)，為橢圓C的右焦點(diǎn).
(1)設(shè)是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線為垂足，求.
(2)在中，記，若直線AB的斜率為，求的最大值.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，解得；
所以橢圓C的方程為，故，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，所以，
故，，
所以．
（2）不妨設(shè)，的外接圓半徑為，
則由正弦定理得，
所以.
如圖，過作直線的垂線，垂足為，
過作于點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可得，
所以，即，
所以，又，得，
則，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)，
所以的最大值為.
【變式8-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，四邊形的面積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為．
①若直線的傾斜角為，求線段的長度；
②試問是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒有，說明理由．
【解析】（1）由題知，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，
①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線的方程為，
由，消得到，
所以，
所以.
②由（1）知，易知，
設(shè)直線，由，消得到，
所以，
設(shè)直線的斜率分別為，且，
所以，
得到，又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，
又，所以的最大值為.
【變式8-2】（2024·陜西榆林·三模）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，且在拋物線的準(zhǔn)線上，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)設(shè)經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則橢圓半焦距，
當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，此時(shí)，
則，
所以橢圓方程為.
（2）當(dāng)軸時(shí)，顯然，
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由消去得，，
設(shè)，線段的中點(diǎn)，
則，
線段的垂直平分線方程為，
令，得，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是或，
所以的取值范圍是.
【變式8-3】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求m的取值范圍．
【解析】（1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的方程為
拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為，則橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，即．
由，解得，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）得，則，設(shè)，，，
結(jié)合題意可設(shè)直線l的方程為．
由，消y得，
直線l過橢圓焦點(diǎn)，必有，∴，
則
，，
∵，∴，
∴，
兩邊同除以，有，
∴，
∴
∴m的取值范圍為．
1．已知橢圓的離心率，且過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.
【解析】（1）橢圓過點(diǎn)，得①，
，，即②，
由①②聯(lián)立解得，則橢圓方程為
（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，
故直線的斜率存在，則設(shè)直線為：，
設(shè)，
聯(lián)立，得，
則，即或，
，
則，
點(diǎn)到直線的距離為，
則，
令，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立，
故面積的最大值為.
2．（2024·新疆·三模）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過拋物線：焦點(diǎn)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，的最小值為4.連接，并延長分別交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A與點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)N均不在同一象限，與的面積分別記為，.
(1)求和的方程；
(2)記，求的最小值.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立,
整理得，所以，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，
又因?yàn)殡x心率為，所以，則，
所以橢圓的方程為，拋物線的方程為.
（2）
由（1）可得，，所以，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，整理得，解得，
同理可設(shè)直線的方程為，可解得，
.
所以當(dāng)時(shí)，有最小值.
3．（2024·四川自貢·三模）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為且.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)P、Q（P在Q上方），線段上存在點(diǎn)M使得，求的最小值.
【解析】（1）由題意即，解得，所以，
所以橢圓E的方程為；
（2）因?yàn)椋渣c(diǎn)在橢圓E外，設(shè)，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立得，
由得，
解得或，所以，，
由得，所以，
則，消去k得；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也滿足，
所以點(diǎn)M在直線上且在橢圓E的內(nèi)部，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，
則，解得，
所以，此時(shí)直線方程為，
由得，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，使得的最小值為.
4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：的離心率為，右焦點(diǎn)F到橢圓E上任意一點(diǎn)的最小距離為1．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)A，B為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，C與A，B不重合），連接，交于點(diǎn)Q．
①求證：點(diǎn)Q在定直線上：
②設(shè)，，求的最大值．
【解析】（1）由題意得，，
所以橢圓E的方程為.
（2）①由（1），，，故可設(shè)直線，
聯(lián)立，
則，設(shè)，
則，，，
由題意可知直線與直線斜率存在，
則，，
聯(lián)立
，
所以，故點(diǎn)Q在定直線上.
②由上以及，得：
，，
故，， 即，，
所以，
因?yàn)椋剩宰畲笾禐椋吹淖畲笾禐?
5．（2024·江蘇南京·二模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，且不與軸垂直，的周長為，直線與交于另一點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，如圖.

(1)求的方程：
(2)若過作，垂足為.
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求的最大值.
【解析】（1）由橢圓定義可知，，
所以的周長為，所以，
又因?yàn)闄E圓離心率為，所以，所以，
又，所以橢圓的方程：
（2）(i)設(shè)點(diǎn)，，，，
則直線的方程為，則，
由得，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，故，
又，
同理，，
由，，三點(diǎn)共線，得，
所以，
直線的方程為
由對(duì)稱性可知，如果直線過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
故直線過定點(diǎn).
（ii）由題意知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為以，為直徑的圓（除，外），
圓心為，半徑為，故.
6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．
(1)若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點(diǎn)，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．
【解析】（1）
因?yàn)榈拈L軸長為8，短軸長為4，所以，，
聯(lián)立方程，得，
又與有唯一的公共點(diǎn)，所以，
即，的橫坐標(biāo)為，
把代入中，，所以，
過且與垂直的直線為，則，
所以，，又，所以，
即，所以的軌跡方程為．
（2）
因?yàn)榈拈L軸長為4，短軸長為2，所以，
，左焦點(diǎn)，
當(dāng)斜率為0時(shí)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無交點(diǎn)，
當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，
由得，
設(shè)，則，
，
橢圓在軸上方對(duì)應(yīng)方程為，
則點(diǎn)處切線斜率為，
點(diǎn)處切線方程為，即，
同理可得點(diǎn)處的切線方程為，
由得，
代入①得，
所以，所以，
而，
所以，即，又，
所以．
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，．
所以面積的最小值為.
7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)設(shè)A，B為的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)M的直線與直線相交于點(diǎn)N，直線BM與BN的斜率之積為．記和的面積分別為，，求的最大值．
【解析】（1）設(shè)，由題意，
化簡得線的軌跡方程為．
（2）解法1：
，，設(shè)，則，
所以直線AM與BM的斜率之積為．
因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，
所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．
因?yàn)椋O(shè)，
由得，．
由對(duì)稱性知MN經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，因?yàn)椋?br/>由，得，所以MN經(jīng)過定點(diǎn)．
所以
設(shè)，因?yàn)椋裕O(shè)，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以．
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，取等號(hào)時(shí)，，．
于是當(dāng)，時(shí)，取最大值．
解法2：
，，設(shè)，則，
所以直線AM與BM的斜率之積為．
因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．
因?yàn)椋O(shè)，
由得，．
由，
知，
故點(diǎn)N在上．
由對(duì)稱性知MN經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>由，得，所以MN經(jīng)過定點(diǎn)．
可知MN不垂直于y軸，設(shè)，
聯(lián)立得，
因?yàn)椋裕?br/>因此
由，得，
當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
于是取最大值．
解法3：
可知BM不垂直于x軸，設(shè)BM的斜率為k，則，
聯(lián)立得．
由得，從而．
所以的斜率為，
故．
因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，
所以．
由得，從而．
所以，
當(dāng)時(shí)，，所以MN經(jīng)過定點(diǎn)．
因此．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以．
于是當(dāng)，時(shí)，取最大值．
8．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線與交于不重合的兩點(diǎn).
(1)若的離心率為2，求證：對(duì)于給定的或，以為直徑的圓經(jīng)過軸上一定點(diǎn).
(2)若，為軸上一點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，求其面積的最小值.
【解析】（1），即，，
故可設(shè)，，，
設(shè)，，
聯(lián)立，得，且，
所以，則，
設(shè)，易知：，所以，，
有，
即，
所以，得，且該解同時(shí)滿足以上方程，故該圓經(jīng)過定點(diǎn).
（2）時(shí)，，令，
聯(lián)立，得，
，，
設(shè)中點(diǎn)為，，
，又在軸上，
所以，得，，
由于斜率為正的漸近線為：，，故在的異支上，
，，
所以，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以.
9．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知點(diǎn)P為圓 上任意一點(diǎn)， 線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M 的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程;
(2)若過點(diǎn)M 的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M 為線段ST的中點(diǎn).
(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
(ii)求 的取值范圍.
【解析】（1）M為的垂直平分線上一點(diǎn), 則 ，
則
∴點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線, 且，
故點(diǎn)M的軌跡方程為
（2）( i ) 設(shè)，雙曲線的漸近線方程為：，
如圖所示：
則①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
則，得
由題可知，則，
得，即，
∴直線的方程為，即，
又∵點(diǎn)M在曲線H上，則 ，得，
將方程聯(lián)立，得，
得，
由，可知方程有且僅有一個(gè)解，
得直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
（ii）由（i）聯(lián)立 ，可得，同理可得， ，
則 ，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故的取值范圍為．
10．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)過且斜率非負(fù)的直線與的左 右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.
【解析】（1）由題意可知，，即，故的方程為：.
因?yàn)樵诘谝幌笙蓿环猎O(shè)，則可變形為，
則，代入得：，所以切線方程為，
令得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）
顯然直線的斜率存在且不為，
設(shè)，則，
聯(lián)立方程，整理得：，
，
由三點(diǎn)共線得：，即，
整理得：，
所以，整理得，
滿足，所以直線過定點(diǎn)，則且線段垂直于x軸，
令分別表示到的距離，
結(jié)合圖，顯然，僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)兩式中等號(hào)成立，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
11．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)且.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；
(3)過點(diǎn)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)，求證：.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的漸近線為，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，所以，
又，故，
又解得，故雙曲線的方程為.
（2）
如圖，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，滿足題意；
如圖，當(dāng)斜率存在時(shí)，由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合看圖可得，
當(dāng)直線過點(diǎn)且平行于雙曲線的漸近線時(shí)，直線與雙曲線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)，，
此時(shí)直線方程為：，即
綜上：直線的方程為或.
（3）由題，直線斜率存在，
設(shè)直線方程為，即，，
聯(lián)立，整理得：，
則
由弦長公式：
令，則,
則,，則
令,與同正負(fù).，此時(shí)，則，即單調(diào)遞增，
則，且，
則，使得
則當(dāng)，即，則單調(diào)遞減.
當(dāng)，即，則單調(diào)遞增.
則在出取得最小值,且，
故
即，原命題得證.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為動(dòng)點(diǎn)，滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，連接，.
（ⅰ）記直線，的斜率分別為，，求證：為定值；
（ⅱ）直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，
由，，得，，所以的方程為.
（2）（ⅰ）設(shè)直線：（）
因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以.
變形可得，即
所以
整理得（*）
設(shè)，則（*）式除以得
此時(shí)，是方程的兩根，所以，
所以，得證.
（ⅱ）設(shè)直線：，由，可得；
設(shè)直線：，同理可得；
.
由得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.
13．（2024·山東日照·三模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，離心率為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，.
（i）求證：為定值；
（ii）記，，的面積分別為，，，若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍.
【解析】（1）設(shè)雙曲線C：，由題意得，，
則，，
所以雙曲線的方程為.
（2）（i）如圖：
設(shè)，，，
由與，得，
即，，
將代入的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②.
由①②知，，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根.
顯然，由韋達(dá)定理知，所以為定值.
（ii）由，即，
整理得：，
又，不妨設(shè)，則，
整理得，
又，故，
而由（2）知，，故，
代入，
令，得，
由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，
所以的取值范圍是，
所以的取值范圍為.
14．已知雙曲線：（）與雙曲線有相同的漸近線.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的左支上，滿足，證明：直線過定點(diǎn)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)到直線距離的最大值.
【解析】（1）雙曲線與雙曲線有相同的漸近線方程，
所以，即，又，從而，
所以雙曲線的方程為；
（2）顯然直線不與軸平行，可設(shè)其方程為，
由，得，
設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得，，
因?yàn)椋裕?br/>即，
整理得，即，
而顯然直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以，，
故直線經(jīng)過定點(diǎn)，得證.
（3）設(shè)點(diǎn)在直線上的投影為，由（2）知直線經(jīng)過定點(diǎn)，
所以當(dāng)與點(diǎn)重合，即直線直線時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值，
此時(shí)，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.
15．（2024·安徽·三模）已知雙曲線的離心率為2，動(dòng)直線與的左 右兩支分別交于點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
(1)求的方程；
(2)若點(diǎn)到的距離為的左 右頂點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，求的最小值
【解析】（1）設(shè)的半焦距為，
由題意知離心率，可得，
聯(lián)立方程組，整理得，
其中且，
則，
解得，所以雙曲線的方程為.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為1，可得，則.
聯(lián)立方程組，整理得，
其中，
且，
因?yàn)橹本€與的左 右兩支分別交于點(diǎn)，可得，所以，
又因?yàn)椋剩?br/>且，
因?yàn)椋剩?br/>由（1）可知，則，
故，
又由，故，
即的最小值為.
16．（2024·浙江寧波·二模）已知雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線的傾斜角分別為.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求證：為定值；
(2)若，直線與軸交于點(diǎn)，求與的外接圓半徑之比的最大值.
【解析】（1）（i），所以直線.
直線與聯(lián)立可得，解得或，所以.
所以，所以；
（ii）法1：①直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，設(shè)
由得
所以.
當(dāng)時(shí)，由（i）可得；
當(dāng)時(shí)，設(shè)的斜率分別為.
.
所以，
.
所以.
因?yàn)樵诘谝幌笙蓿裕裕?
②直線斜率不存在時(shí)，可得，
可得，
所以，同理可得.
綜上可得，為定值，得證.
法2：①時(shí)，由（i）可得；
②時(shí)，設(shè)的斜率分別為.
設(shè)，由在直線上可得.
與聯(lián)立可得，
即，
所以就是方程的兩根.
所以，
，
因?yàn)樵诘谝幌笙蓿裕裕?
綜上可得，為定值，得證.
（2）由（1）可得時(shí)，.
①不存在，則，由①（i）可得，所以，
所以.
②不存在，則，則，
此時(shí)，由圖可得.
③法1：若和均存在，設(shè)，則
與雙曲線聯(lián)立可得.
所以.
所以，
所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，
從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
（按逆時(shí)針排列）
(1)當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值；
(3)求四邊形面積的最大值．
附：若方程有4個(gè)實(shí)根，，，，則，．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，理由如下：
此時(shí)，
又，
，
由，
故四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
且⊥，
為正方形；
（2），
將代入，，
化簡得
，
設(shè)，
由“公式”知，
，
故
．
（3）記，，，．
當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，設(shè)，
．
當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形取等．
當(dāng)在外部時(shí)，設(shè)，
.
綜上，四邊形面積最大值為8．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點(diǎn)突破17 圓錐曲線中參數(shù)范圍與最值問題　
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：弦長最值問題 2
題型二：三角形面積最值問題 4
題型三：四邊形面積最值問題 6
題型四：弦長的取值范圍問題 7
題型五：三角形面積的取值范圍問題 8
題型六：四邊形面積的取值范圍問題 10
題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題 10
題型八：參數(shù)的取值范圍 12
03 過關(guān)測試 14
1、求最值問題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
2、求參數(shù)范圍問題的常用方法
構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進(jìn)一步找到自變量范圍，進(jìn)而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：
（1）二次函數(shù)；（2）“對(duì)勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時(shí)，還可以從以下幾個(gè)方面考慮：
①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．
④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
題型一：弦長最值問題
【典例1-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，上 下頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為且有一個(gè)內(nèi)角為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若以線段為直徑的圓與橢圓無公共點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值.
【典例1-2】過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)A和B，且．點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值．
【變式1-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，雙曲線的頂點(diǎn)恰好是、，且一條漸近線是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），作直線交于，作直線交于，求的最小值．
【變式1-2】已知曲線：.
(1)若曲線為雙曲線，且漸近線方程為，求曲線的離心率；
(2)若曲線為橢圓，且在曲線上.過原點(diǎn)且斜率存在的直線和直線（與不重合）與橢圓分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且點(diǎn)滿足到直線和的距離都等于，求直線和的斜率之積；
(3)若，過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，與橢圓交于，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交直線交于點(diǎn)，求的最小值.
【變式1-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長為．
(1)求的方程；
(2)若的面積為，求的方程；
(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
題型二：三角形面積最值問題
【典例2-1】已知橢圓C：＝1（）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試問的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【典例2-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求面積的最大值．
【變式2-1】（2024·廣東珠海·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓上，直線．
(1)若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，記直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．
【變式2-2】點(diǎn)A，B分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與右端點(diǎn)重合），P的橫坐標(biāo)非負(fù)，的中點(diǎn)是M，當(dāng)P位于下頂點(diǎn)時(shí)的面積為1，橢圓離心率為.
(1)求橢圓方程；
(2)記的面積為，的面積為，求的最小值.
【變式2-3】已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓交于另一點(diǎn)，求面積的最大值.
題型三：四邊形面積最值問題
【典例3-1】記橢圓的左，右頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)分別為，，，，P是E上除左右頂點(diǎn)外一點(diǎn)，記P在E處的切線為l，作直線交l于點(diǎn)，作直線交l于點(diǎn)，記直線與的交點(diǎn)為Q．
(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)求；
(3)求四邊形面積的最大值．附：橢圓在點(diǎn)處的切線為（P在橢圓上）．
【典例3-2】（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，長軸長為，焦距長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長的最大值；
(3)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，若是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求直線的方程.
【變式3-1】（2024·湖南衡陽·三模）在直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，記圓心M的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)已知三點(diǎn)T，P，Q在E上，且直線TP與TQ的斜率之積為；
（i）求證：P，O，Q三點(diǎn)共線；
（ii）若，直線TQ交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，求四邊形OPAB面積的最大值．
【變式3-2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）如圖，橢圓C：()的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)P是橢圓C弧上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).
題型四：弦長的取值范圍問題
【典例4-1】已知橢圓 的左右頂點(diǎn)為A ，A ， 左右焦點(diǎn)為F ，F(xiàn) ，過F ，F(xiàn) 分別作兩條互相平行的直線l ，l ，其中l(wèi) 交E于A，B兩點(diǎn)， l 交E于C，D兩點(diǎn)， 且點(diǎn)A，C位于x軸同側(cè)， 直線A C與A A交于點(diǎn)P. 當(dāng)l 與x軸垂直時(shí)，△PF F 是面積為1的等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若直線A C與直線A A的斜率之和為1， 求直線l ，l 的方程;
(3)求 的取值范圍.
【典例4-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．
(1)若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；
(2)求的取值范圍．
【變式4-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且被的準(zhǔn)線截得的弦長為.
(1)求的方程；
(2)若過的直線與的上支交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.
題型五：三角形面積的取值范圍問題
【典例5-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.
【典例5-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的離心率為2，點(diǎn)在上，、為雙曲線的下、上頂點(diǎn)，為上支上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），直線和直線交于點(diǎn)，直線交的上支于點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)探究直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由；
(3)設(shè)，分別為和的外接圓面積，求的取值范圍
【變式5-1】（2024·重慶·三模）設(shè)圓D：與拋物線C：交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，已知
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)A在第一象限，動(dòng)點(diǎn)異于點(diǎn)A，在拋物線C上，連接MB，過點(diǎn)A作交拋物線C于點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊時(shí)，求：
①點(diǎn)P的軌跡方程；
②面積的取值范圍.
【變式5-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l的斜率為1時(shí)，.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，直線PO與C交于點(diǎn)Q（異于原點(diǎn)），線段MN的中點(diǎn)為R，若，求面積的取值范圍.
題型六：四邊形面積的取值范圍問題
【典例6-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點(diǎn)，直線交右支于，兩點(diǎn)，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：；
(3)若直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
【典例6-2】（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，、為雙曲線上的點(diǎn).
(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；
(2)若，求直線的方程；
(3)若，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.
題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題
【典例7-1】橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【典例7-2】（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.
(1)求的軌跡方程；
(2)直線，分別交動(dòng)直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
【變式7-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的橢圓C過點(diǎn)與點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別交直線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線C上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù)．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的上頂點(diǎn)T為圓心作半徑為的圓，設(shè)圓T與曲線C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．
【變式7-3】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，且滿足（為橢圓的離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過且斜率存在的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為、，求的值．
題型八：參數(shù)的取值范圍
【典例8-1】如圖，已知拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，過拋物線內(nèi)一點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與拋物線交于點(diǎn)，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率為的直線過點(diǎn)，且與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【典例8-2】（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知橢圓C：過定點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條動(dòng)直線交橢圓于，直線的傾斜角互補(bǔ)，為橢圓C的右焦點(diǎn).
(1)設(shè)是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線為垂足，求.
(2)在中，記，若直線AB的斜率為，求的最大值.
【變式8-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，四邊形的面積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為．
①若直線的傾斜角為，求線段的長度；
②試問是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒有，說明理由．
【變式8-2】（2024·陜西榆林·三模）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，且在拋物線的準(zhǔn)線上，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)設(shè)經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.
【變式8-3】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求m的取值范圍．
1．已知橢圓的離心率，且過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.
2．（2024·新疆·三模）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過拋物線：焦點(diǎn)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，的最小值為4.連接，并延長分別交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A與點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)N均不在同一象限，與的面積分別記為，.
(1)求和的方程；
(2)記，求的最小值.
3．（2024·四川自貢·三模）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為且.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)P、Q（P在Q上方），線段上存在點(diǎn)M使得，求的最小值.
4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：的離心率為，右焦點(diǎn)F到橢圓E上任意一點(diǎn)的最小距離為1．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)A，B為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，C與A，B不重合），連接，交于點(diǎn)Q．
①求證：點(diǎn)Q在定直線上：
②設(shè)，，求的最大值．
5．（2024·江蘇南京·二模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，且不與軸垂直，的周長為，直線與交于另一點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，如圖.

(1)求的方程：
(2)若過作，垂足為.
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）求的最大值.
6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．
(1)若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點(diǎn)，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．
7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)設(shè)A，B為的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)M的直線與直線相交于點(diǎn)N，直線BM與BN的斜率之積為．記和的面積分別為，，求的最大值．
8．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線與交于不重合的兩點(diǎn).
(1)若的離心率為2，求證：對(duì)于給定的或，以為直徑的圓經(jīng)過軸上一定點(diǎn).
(2)若，為軸上一點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，求其面積的最小值.
9．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知點(diǎn)P為圓 上任意一點(diǎn)， 線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M 的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程;
(2)若過點(diǎn)M 的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M 為線段ST的中點(diǎn).
(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
(ii)求 的取值范圍.
10．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)過且斜率非負(fù)的直線與的左 右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.
11．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)且.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；
(3)過點(diǎn)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)，求證：.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為動(dòng)點(diǎn)，滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，連接，.
（ⅰ）記直線，的斜率分別為，，求證：為定值；
（ⅱ）直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求的最小值.
13．（2024·山東日照·三模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，離心率為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，.
（i）求證：為定值；
（ii）記，，的面積分別為，，，若，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍.
14．已知雙曲線：（）與雙曲線有相同的漸近線.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的左支上，滿足，證明：直線過定點(diǎn)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)到直線距離的最大值.
15．（2024·安徽·三模）已知雙曲線的離心率為2，動(dòng)直線與的左 右兩支分別交于點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
(1)求的方程；
(2)若點(diǎn)到的距離為的左 右頂點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，求的最小值
16．（2024·浙江寧波·二模）已知雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線的傾斜角分別為.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求證：為定值；
(2)若，直線與軸交于點(diǎn)，求與的外接圓半徑之比的最大值.
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線與曲線有4個(gè)交點(diǎn)（按逆時(shí)針排列）
(1)當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值；
(3)求四邊形面積的最大值．
附：若方程有4個(gè)實(shí)根，，，，則，．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑