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重難點突破16 圓錐曲線中的定點、定值問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：面積定值 3
題型二：向量數量積定值 11
題型三：斜率和定值 18
題型四：斜率積定值 23
題型五：斜率比定值 29
題型六：斜率差定值 37
題型七：線段定值 44
題型八：坐標定值 52
題型九：角度定值 57
題型十：直線過定點 63
題型十一：動點在定直線上 68
題型十二：圓過定點 76
03 過關測試 82
1、定值問題
解析幾何中定值問題的證明可運用函數的思想方法來解決．證明過程可總結為“變量—函數—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當的量為變量．
（2）函數----把要證明為定值的量表示成變量的函數．
（3）定值----化簡得到的函數解析式，消去變量得到定值．
2、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
常用消參方法：
①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．
②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．
③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．
④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：
，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．
3、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．
②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．
③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．
題型一：面積定值
【典例1-1】如圖所示，已知橢圓，A，B是四條直線，所圍成的矩形的兩個頂點．若M，N是橢圓C上的兩個動點，且直線OM，ON的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】是，理由如下，
如圖所示，由仿射變換得橢圓，變為圓．
點A，B，M，N變換后對應的點分別為，，，，且，．
從而，
∵，∴，即，
于是，故．
即的面積為定值1．
【典例1-2】（2024·湖北荊州·三模）從拋物線上各點向軸作垂線段，垂線段中點的軌跡為.
(1)求的軌跡方程；
(2)是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，
①若，求的值；
②證明：三角形與三角形的面積之比為定值.
【解析】（1）設垂線段中點坐標為，則拋物線上點坐標為，
代入拋物線方程，則，即，
所以的軌跡方程：.
（2）①如圖，是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，
設，
則拋物線上過點的切線方程為，
將切線方程與拋物線方程聯立，得：
聯立，消去，整理得，
所以，
從而有，
所以拋物線上過點的切線方程為，
同理可得拋物線上過點的切線方程分別為，
兩兩聯立，可以求得交點的縱坐標分別為：
，
則，
同理可得，即，
當時，，故，即，
因此.
②易知，則直線的方程為，
化簡得即，
且，
點到直線的距離為：
，
則三角形的面積．
由（2）①知切線的方程為，
，
可知，
點到直線的距離為
，
則外切三角形的面積．
故．
因此三角形與外切三角形的面積之比為定值2．
【變式1-1】已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.
【解析】（1）根據題意，．
在橢圓上下頂點，面積的最大值.
此時.
所以，則求橢圓的方程.
（2）如圖所示，設，
聯立直線與橢圓的方程得，
.
，，
又
，
因為點到直線的距離，且，
所以．
綜上，的面積為定值．
【變式1-2】（2024·重慶·三模）已知，曲線上任意一點到點的距離是到直線的距離的兩倍.
(1)求曲線的方程；
(2)已知曲線的左頂點為，直線過點且與曲線在第一、四象限分別交于，兩點，直線、分別與直線交于，兩點，為的中點.
（i）證明：；
（ii）記，，的面積分別為，，，則是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）設曲線上任意一點坐標為，則由題意可知：
，
故曲線的方程為.
（2）(i)設直線：，，，
其中且，
，
故，；
直線：，當時，，故，
同理，為中點，
故；
；（*）
；
故，即，則，
直線的方向向量，，故.
(ii)法一：；（**）
故；，
又，故.
；
；
，
，
由（*）知，由（**）知，
故，
故，則.
法二：（利用雙曲線的第二定義）由（1）知，，同理，
故，
又，故，
又，
且由（*）知，記直線與軸相交于點，
由可得，即，即，
故；
又為的中點，故，即.
【變式1-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.
(1)求動點的軌跡的方程.
(2)過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.
【解析】（1）設，，
由題意可得：，整理得，
故求動點的軌跡方程為.
（2）由題意可知：，且，可得，
顯然直線MN的斜率不為0，設直線的方程為，，，
聯立方程，消去x得，
則，，可得，
則，
整理可得，
則，
因為，則，可得，
整理可得，
所以直線方程為，即直線過定點，
則，
此時，，
所以為定值.
題型二：向量數量積定值
【典例2-1】（2024·高三·江蘇鹽城·開學考試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.
(1)求線段的中點的軌跡方程；
(2)是否存在常數，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）①當直線存在斜率時，設、、，，
則應用點差法：，兩式聯立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化簡得（），
②當直線不存在斜率時，，
綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；
（2）①當直線存在斜率時，設直線的方程為：，
聯立并化簡得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使為定值，
只需，即，其定值為，
②當直線不存在斜率時，直線的方程為：，則有、，
又，，，，
∴，當時，也為定值，
綜上，無論直線是否有斜率，一定存在一個常數，
使為定值.
【典例2-2】（2024·上海閔行·二模）已知點分別為橢圓的左 右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.
(1)求證：；
(2)求證：為定值，并求出該定值；
【解析】（1）聯立與得：，
由直線與橢圓有一個公共點可知：，
化簡得：；
（2）由題意得：，
因為，所以∥，故，
其中，，
所以，
為定值，該定值為1；
【變式2-1】（2024·陜西寶雞·一模）橢圓經過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形.
(1)求橢圓的方程；
(2)設，過橢圓的右焦點作直線交于、兩點，試問：是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）因為橢圓的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形，該正方形的邊長為，
兩條對角線長分別為、，則，所以，，
所以，橢圓的方程可表示為，、
將點的坐標代入橢圓的方程可得，可得，則，，
故橢圓的標準方程為.
（2）當直線與軸重合時，則、為橢圓長軸的頂點，不妨設、，
則，，此時；
易知點，當直線不與軸重合時，設直線的方程為，設點、，
聯立，可得，，
由韋達定理可得，，
，，
.
綜上所述，.
【變式2-2】（2024·高三·河南南陽·期末）P為平面直角坐標系內一點，過P作x軸的垂線，垂足為M，交直線（）于Q，過P作y軸的垂線，垂足為N，交直線于R，若△OMQ，ONR的面積之和為．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)若，，，，過點G的直線l交C于D，E兩點，是否存在常數n，對任意直線l，使為定值？若存在，求出n的值及該定值，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）
設，則，，
由題意可得，，即，
故點P的軌跡C的方程為；
（2）由（1）可知C：
假設存在常數n，使（常數），
設直線l：，代入C，整理得，
設，
則，
所以
整理化簡得：對恒成立．
故，
∴，
∴或（舍去）
當直線l為x軸時
綜上，存在常數，對任意直線l，使（為定值）
【變式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
【解析】（1）由題設，，得，
橢圓的方程為.
（2）
由（1）知，由題意知，直線的斜率存在且不為0，
設直線的方程為，聯立，
消去得，其中是直線與橢圓一個交點，
所以，則，代入直線得，故.
又，將代入，得，則.
所以，為定值.
【變式2-4】已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，且，以為圓心，為半徑的圓經過點.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于，
（ⅰ）設點在第一象限，且直線與交于.若，求的值；
（ⅱ）連接交圓于點，射線上存在一點，且為定值，已知點在定直線上，求所在定直線方程.
【解析】（1）以為圓心，為半徑的圓經過點，，即，
，，，，
橢圓的方程為：.
（2）（ⅰ）由（1）得：，可設，，
由得：，即；
由得：，
，，
，，；
在中，由正弦定理得：，
，，
則由得：，
，，即，
，，
，解得：或.
（ⅱ）由題意知：圓方程為：；，；
不妨令位于第一象限，可設，
由（ⅰ）知：，
若直線斜率存在，則，直線，
由得：，，
設，則，
；
當時，為定值，此時，則，此時在定直線上；
當時，不為定值，不合題意；
若直線斜率不存在，則，，，
此時，則直線，設，
則，，，
則時，，滿足題意；
綜上所述：點在定直線上.
題型三：斜率和定值
【典例3-1】已知橢圓與雙曲線的離心率的平方和為.
(1)求的值；
(2)過點的直線與橢圓和雙曲線分別交于點，，，，在軸上是否存在一點，直線，，，的斜率分別為，，，，使得為定值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由已知得，即，∴，∴；
（2）由（1）得橢圓與雙曲線，
由已知得直線的斜率不為零，設直線的方程為，
，，，，，
將直線與橢圓聯立 得，
，，，
.
將直線與雙曲線聯立 得，
由得，又,
而，，
.
當時，為定值.
故在軸上是存在一點，使得為定值0.
【典例3-2】（2024·河南·二模）已知橢圓的焦距為2，兩個焦點與短軸一個頂點構成等邊三角形.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設，過點的兩條直線和分別交橢圓于點和點（和.不重合），直線和的斜率分別為和.若，判斷是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.
【解析】（1）由題焦距，解得，
由兩個焦點與短軸一個頂點構成等邊三角形可知，則，
所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）是定值.
已知，設，
直線的方程為，即，
代入并整理，得，
，
.
，
三點共線，且與同向，
，
同理可得
，化簡得，
，
所以為定值0.
【變式3-1】橢圓：（）的左焦點為，且橢圓經過點，直線（）與交于，兩點（異于點）.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線與直線的斜率之和為定值，并求出這個定值.
【解析】（1）
由題意得：，則，
故橢圓的方程為；
（2）解法一（常規方法）：設，
聯立化簡可得：，
由于直線與橢圓交于兩點且異于，
所以且，
解得：且，
所以
故直線的斜率和為定值.
解法二（構造齊次式）：由題直線恒過定點
①當直線不過原點時，設直線為，
則，即，有
由得，
則
整理成關于的齊次式：，進而兩邊同時除以，
則
令，則
②當直線過原點時，設直線的方程為
綜上可得：直線的斜率之和為定值1
【變式3-2】（2024·寧夏銀川·一模）已知，分別是橢圓的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點為，且的方程為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若是直線上一點，過點的兩條不同直線分別交于點，和點，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
【解析】（1）因為的方程為，可知，
可知，所以橢圓的標準方程為.
（2）由可得，
因為點P在直線上，可設點，
由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在．
所以直線DE的方程為：，即，
直線MN的方程為：，即，
設，，，，
所以，消去y可得，
整理可得，
且，則，，
又因為，，
則
，
同理可得，
又因為，則，
可知，則，整理可得，
又因為，則，
所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0．
題型四：斜率積定值
【典例4-1】（2024·高三·陜西·開學考試）已知雙曲線的左焦點為F，左頂點為E，虛軸的上端點為P，且，．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設是雙曲線C上不同的兩點，Q是線段的中點，O是原點，直線的斜率分別為，證明：為定值．
【解析】（1）不妨設雙曲線C的半焦距為，
，
，
解得，
則，
故雙曲線C的方程為；
（2）設，則，
為雙曲線C上的兩點，
兩式相減得，整理得，
則，
故為定值，定值為4．
【典例4-2】已知橢圓，過點，，分別是的左頂點和下頂點，是右焦點，.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于點，，直線，分別與直線交于不同的兩點，.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）由橢圓過點，得，
由，得橢圓半焦距，則長半軸長，
所以的方程為.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設直線的方程為，，
由消去x得，顯然，
，直線的方程為，
令，得點的縱坐標，同理點的縱坐標，
因此
為定值，
所以為定值.
【變式4-1】已知橢圓左右焦點分別為橢圓的左右頂點，過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點，交橢圓于點，且與的周長之差為.
(1)求橢圓與橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓相交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
【解析】（1）設橢圓的半焦距為，由橢圓的定義可知的周長為的周長為，
又與的周長之差為，
所以，
又因橢圓左右焦點分別為橢圓的左右頂點.
，
聯立解得，從而有，
所以，解得，
所以所求橢圓的方程為，橢圓的方程為.
（2）由（1）可知橢圓的方程為，
設，則有，
于是.
【變式4-2】（2024·湖南長沙·二模）如圖，雙曲線的左 右焦點，分別為雙曲線的左 右頂點，過點的直線分別交雙曲線的左 右兩支于兩點，交雙曲線的右支于點（與點不重合），且與的周長之差為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線交雙曲線的右支于兩點.
①記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；
②試探究：是否為定值？并說明理由.
【解析】（1）設，因為與的周長之差為，
所以，即，
又因為分別為雙曲線的左、右頂點，所以，
聯立方程組，解得，所以，
故雙曲線的方程為.
（2）①由（1）知，雙曲線的方程為，
設，則，可得，
則.
② 為定值.
理由如下：
由（1）得直線的方程為，
聯立方程組，整理得，
設，則，
因為位于雙曲線的左 右兩支，所以，即，
可得，
又因為，所以直線的方程為，
根據雙曲線的對稱性，同理可得，
所以，故為定值.
【變式4-3】已知雙曲線過點，且離心率為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設過點且斜率不為0的直線與雙曲線的左右兩支交于，兩點.問：在軸上是否存在定點，使直線的斜率與的斜率的積為定值？若存在，求出該定點坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意，雙曲線的離心率為，可得，
設，則，所以，
所以雙曲線的方程可化為，
因為點在雙曲線上，所以，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）設，假設存在點，
易知直線的斜率存在，且不為0，設其方程為，
聯立雙曲線方程與直線方程，得，消去并整理，
得，
則，
且，
因為
，
，
所以當，即時，或
，
故存在定點，使直線與的斜率之積為定值．
題型五：斜率比定值
【典例5-1】設拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.
(1)求的方程；
(2)設直線與的另一個交點分別為，設直線的斜率分別為，證明：
（ⅰ）為定值；
（ⅱ）直線恒過定點.
【解析】（1）由焦半徑公式知：，，
的方程為：.
（2）由（1）知：，
可設直線方程為：，設則
直線方程為：
聯立
，將代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直線的方程為：
由得：即，
，
直線的方程為：，
直線恒過定點.
【典例5-2】如圖所示，已知點，F是橢圓的左焦點，過F的直線與橢圓交于兩點，直線分別與橢圓交于兩點．

(1)證明：直線過定點．
(2)證明：直線和直線的斜率之比為定值．
【解析】（1）證明：因為F是橢圓的左焦點，所以，
當直線斜率為0時，直線方程為，則定點在軸上；
當直線斜率不為0時，
經過與的二次曲線可以設為，
設經過四點的二次曲線系為．
因為點F在直線上，所以將代入上式，解得．
從而直線和直線的方程為．
令，得，解得或（與點重合，舍去），
故直線過定點．
（2）證明：設直線和直線的斜率分別為，，
設曲線系方程為，
因為上式等號左邊的系數為，y的系數為為互為相反數，
所以上式等號右邊也滿足該條件，前的系數為，y前的系數為，
于是，即，
所以．
【變式5-1】（2024·重慶·模擬預測）如圖，軸，垂足為D，點P在線段上，且．
(1)點M在圓上運動時，求點P的軌跡方程；
(2)記（1）中所求點P的軌跡為，過點作一條直線與相交于兩點，與直線交于點Q．記的斜率分別為，證明：是定值．
【解析】（1）設，根據題意有，
又因為M在圓上運動，所以，
即，所以點P的軌跡方程為：.
（2）
根據已知條件可知，若直線的斜率不存在，不合題意，
若直線斜率為，直線與直線平行無交點也不合題意，
所以直線的斜率存在設為，直線的方程為，
聯立，則有，且，
設，，則，
，，所以
，
對，令，得，所以，
所以，所以為定值.
【變式5-2】（2024·云南·二模）已知橢圓的離心率為，中心是坐標原點，焦點在軸上，右焦點為F，A、B分別是的上、下頂點.的短半軸長是圓的半徑，點是圓上的動點，且點不在軸上，延長BM與交于點的取值范圍為.
(1)求橢圓、圓的方程;
(2)當直線BM經過點時，求的面積;
(3)記直線AM、AN的斜率分別為，證明:為定值.
【解析】（1）設橢圓的方程為，圓的方程為.
分別是橢圓的上、下頂點，
在圓上，且AB是圓的直徑.
點是圓上的動點，且點不在軸上，
，即.
.
又點是圓上的動點，且點不在軸上，
的取值范圍為.
的取值范圍為，
，解得.
橢圓的離心率為，
，解得.
橢圓的方程為，圓的方程為
（2）由（1）得.
直線BF的方程為，即.
由得．解得或，
的延長線與橢圓交于點，
點的橫坐標是.
當直線BM經過點時，
（3）∵點在軸上，點不在軸上，BM的延長線與橢圓交于點，
點不在軸上.
存在，且.
由已知得直線AN的方程為.
由方程組得，解得或.
得點的橫坐標是.
當時，.
點的坐標是
的斜率為
又由（1）得，即.
，即為定值.
【變式5-3】（2024·河南·三模）已知點，動點滿足直線與直線的斜率之積為，動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程：
(2)直線與曲線交于兩點，且交于點，求定點的坐標，使為定值；
(3)過（2）中的點作直線交曲線于兩點，且兩點均在軸的右側，直線的斜率分別為，求的值．
【解析】（1）設是曲線上的任意一點，
因為點，且動點滿足直線與直線的斜率之積為，
可得，整理得，其中．
所以曲線的軌跡方程為.
（2）①當直線斜率存在時，設的方程為，設，
聯立方程組，整理得，
則，即，
且
所以，
因為，
所以，
所以，
化簡得，即，
所以，且均滿足，
當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，
當時，直線的方程為，過定點，記為點．
②當直線的斜率不存在時，由對稱性不妨設直線，
聯立方程組，解得，此時直線也過點，
綜上，直線過定點．
又由，所以點在以為直徑的圓上，
故當為該圓圓心，即點為的中點時，為該圓半徑，即，
所以存在定點，使為定值．
（3）設，易得直線的斜率不為0，可設直線
聯立方程組，整理得，
則，且，
則，
所以
．
題型六：斜率差定值
【典例6-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，D為橢圓C的右頂點，且.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設，過點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A點在B點左側），直線AM與直線交于點N，設直線NA，NB的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）由題知，，所以，
，
，，
橢圓的方程為：.
（2）證明：①當斜率為時，分別為橢圓的左、右頂點，則，，
，則直線AM：，
令，則，
點為
，
；
②當斜率不為時，設直線的方程為：，，
將直線與橢圓方程聯立：消去可得，
令，解得．
由韋達定理可得，所以，
：，令，得，
，
又
，
又，，
，
綜上，為定值.
【典例6-2】已知雙曲線經過點，右焦點為，且成等差數列.
(1)求的方程；
(2)過的直線與的右支交于兩點（在的上方），的中點為在直線上的射影為為坐標原點，設的面積為，直線的斜率分別為，試問是否為定值，如果是，求出該定值，如果不是，說明理由.
【解析】（1）因為，，成等差數列，所以，
又，所以.
將點的坐標代入C的方程得，解得，
所以，所以C的方程為.
（2）依題意可設PQ：，
由，得,
設，，，則.
，，
則，
而，
所以，
所以是定值，定值為.
【變式6-1】已知橢圓的離心率為，A，B，C分別為橢圓的左頂點，上頂點和右頂點，為左焦點，且的面積為．若P是橢圓M上不與頂點重合的動點，直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點N．
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線QN和直線QC的斜率）．
【解析】（1）由題意得，又，
解得，
∴橢圓M的標準方程為．
（2）方法一：
直線，
依題意可設直線（且），（注：P不為橢圓頂點），
由，則，
所以，
由，
，所以，
由B，P，N三點共線得，即，
得，
所以，
所以為定值．
方法二：
設直線QC的斜率為k，則直線QC的方程為：，
又，，直線AB的方程為，
由，解得，所以，
由，得，
由，
則，所以，
則，∴，
依題意B、P不重合，所以，即，
所以，
∴直線BP的方程為，
令，即，解得，
∴，
∴，
∴為定值．
方法三：
設點，則，，，
由B，P，N三點共線得，
即，
，，
聯立，得，
所以
，
所以
.
方法四：
設點，則（且）,
由B，P，N三點共線得，即，
直線，，
聯立，得，，
所以，
.
【變式6-2】（2024·高三·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問：是否存在直線，使得點M在以為直徑的圓上 請說明理由．
(3)點，直線交直線于點．設直線、的斜率分別、，求證：為定值．
【解析】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，∴雙曲線的方程為．
（2）雙曲線的左焦點為，
當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，舍去；
當直線的斜率不為0時，設，
聯立方程組，消得，易得，
設，則，可得，
∵，
則
，
即，可得與不垂直，
∴不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．
（3）由直線，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即為定值．
題型七：線段定值
【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知橢圓：.
(1)若橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，求證：；
(2)為直線：上的一個動點，，為橢圓的左、右頂點，，分別與橢圓交于，兩點，證明為定值，并求出此定值.
【解析】（1）由題意得,所以，
所以橢圓方程：，
設，，
聯立可得，
且，
則，，
，
所以；
（2）設，，，而，，
設，，
則，，
所以，，，，
因為，在橢圓：上，
所以，
所以，，
代入作差可得：.
化簡得：，所以，
綜上所述，為定值為3.
【典例7-2】如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段CH的垂直平分線交線段TC于點R，記動點R的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
(3)過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.
【解析】（1）因為，
所以，
所以，半徑，
因為線段的中垂線交線段于點，
所以，
所以，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
所以，，，
故曲線E的方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，其方程為，
與y軸不相交，不合題意，舍去，
當直線的斜率存在時，設所在直線方程為，
設，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因為直線與y軸的交點為C，所以，
所以，，
，，
又因為，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以為定值，原題得證.
（3）設，顯然的斜率存在，，，
設的方程是，
由消去y得，
則，即，
由韋達定理得，
根據已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
則或，
當時，直線的方程為，
所以直線經過定點，
當時，直線的方程為，
所以直線經過定點與M重合，舍去，
故直線經過定點，
又因為，
所以D在以線段MK為直徑的圓上.
所以F為線段MK的中點，即，
所以為定值.
【變式7-1】已知點在曲線上，為坐標原點，若點滿足，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)設是上的兩個動點，且以為直徑的圓經過點，證明：為定值．
【解析】（1）設，因為點在曲線上，所以，
因為，所以．
代入可得，
即，即的方程為；
（2）因為以為直徑的圓經過點，所以，
當為橢圓頂點時，，
當不是橢圓頂點時，可得直線的斜率存在且不等于零，
可設直線的方程為，則直線的方程為，
由，得，
所以，
同理可得，，
所以．
綜上，為定值．
【變式7-2】（2024·湖北·模擬預測）平面直角坐標系中，動點滿足，點P的軌跡為C，過點作直線l，與軌跡C相交于A，B兩點．
(1)求軌跡C的方程；
(2)求面積的取值范圍；
(3)若直線l與直線交于點M，過點M作y軸的垂線，垂足為N，直線NA，NB分別與x軸交于點S，T，證明：為定值．
【解析】（1）由題意可知：動點到定點的距離比到定點的距離大，且，
從而點的軌跡為雙曲線的右支．
設雙曲線方程為，則，，，
軌跡C的方程為：．
（2）直線l不與y軸垂直，設其方程為，
與聯立得：，，
設，，則，，解得．
設，則．
由于在單調遞減，則，故．
（3）證明：與聯立，得，．
設，，由A，S，N三點共線，得，
解得，同理有．
，
即ST的中點為，故為定值1．
【變式7-3】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知，動點滿足，動點的軌跡為曲線交于另外一點交于另外一點.
(1)求曲線的標準方程;
(2)已知是定值，求該定值;
【解析】（1）令且，因為，所以，
整理可得，
所以的標準方程為.
（2）設，，，
設直線和直線的方程分別為，，
聯立直線與橢圓方程，整理可得，
則，，
聯立直線與橢圓方程，整理可得，
可得，，
又因為，，
所以，
所以，即，
同理可得，，即，
所以.
設，，，
設，則有，
又，
可得，
同理可得，
所以.
題型八：坐標定值
【典例8-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，，的面積為.
(1)求的方程；
(2)是上位于第一象限的一點，其橫坐標為1，直線過點且與交于，兩點（均異于點），點在上，設直線，，的斜率分別為，，，若，問點的橫坐標是否為定值？若為定值，求出點的橫坐標；若不為定值，請說明理由.
【解析】（1）因為，所以，即，
又，
所以為等邊三角形，
所以，所以，
又，所以，則，
所以，
所以橢圓方程為.
（2）將代入解得，所以，
由（1）可知，則直線的斜率存在，
設直線，，，，
由得，
由，
所以，，
所以
，
因為，所以，
所以，解得，
所以點的橫坐標為定值.
【典例8-2】（2024·全國·模擬預測）一般地，拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形，對應的三個切點形成的三角形稱為拋物線的切點三角形．如圖，，分別為拋物線的切線三角形和切點三角形，為該拋物線的焦點．當直線的斜率為時，中點的縱坐標為．
(1)求．
(2)若直線過點，直線分別與該拋物線的準線交于點，記點的縱坐標分別為，證明：為定值．
(3)若均不與坐標原點重合，證明：
【解析】（1）由題可知點均在該拋物線上，故設，，
由題意得當時，，
故，所以．
（2）由（1）得該拋物線的方程為，所以，準線為．
因為直線過點，所以與共線，
由題可知點在該拋物線上，故設，
則，，
所以，
因為，所以．
由題意知直線的斜率均存在且均不為，
易知直線的方程為，即，
令得，同理可得，
所以，
因為，所以，
所以為定值．
（3）由題意知拋物線在三點處的切線的斜率都存在且不為．
設拋物線在點處的切線方程為，
與聯立，消去并整理得，
由，解得．
所以拋物線在點處的切線方程為．
同理可得拋物線在點處的切線方程為，
在點處的切線方程為．
由，解得，所以，
同理可得，，
又，，，
所以．
由兩點間的距離公式得，
同理可得，，
所以
，
所以．
【變式8-1】（2024·四川涼山·三模）已知平面內動點與兩定點，連線的斜率之積為3．
(1)求動點的軌跡的方程：
(2)過點的直線與軌跡交于，兩點，點，均在軸右側，且點在第一象限，直線與交于點，證明：點橫坐標為定值．
【解析】（1）設動點，
根據題意，
動點的軌跡的方程為.
（2）易知直線斜率不為0，設方程為，且．
設，，
由
，，
由題意易得
直線方程為①
同理，直線方程為②
由①÷②得
，
點橫坐標為定值．
題型九：角度定值
【典例9-1】拋物線：的焦點為，直線的傾斜角為且經過點，直線與拋物線交于兩點，.
（1）若，求角；
（2）分別過，作拋物線的切線，，記直線，的交點為，直線的傾斜角為.試探究是否為定值，并說明理由.
【解析】（1）由拋物線的焦點為，可得，
所以拋物線的方程為.
設直線的方程為，代入，消去，
得，設，，則，
所以，
得，，所以，則或.
（2）設直線方程為，，，
將直線的方程代入，消去，得，
則①，②.
由求導，得，
所以直線，的斜率分別為，，
則，的方程分別為③，④，
解③④組成的方程組，結合①，②，得，，即，
因為，所以，所以，所以.
所以為定值.
【典例9-2】（2024·高三·廣東廣州·期中）已知橢圓C：的離心率為，焦距為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的左頂點為A，過右焦點F的直線與橢圓C交于B，D（異于點A）兩點，直線，分別與直線交于M，N兩點，試問是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）依題意知：，
解之得：，，，
所以橢圓C的方程為.
（2）由于B，D異于A，故設直線的方程為，
聯立得：
設，，則
因為，，所以設直線的方程為，
聯立得：，同理有
因為，所以，
所以
所以，即.
【變式9-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，利用公式①（其中，，，為常數），將點變換為點的坐標，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.
(1)如圖，在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉角得到點（到原點距離不變），求坐標變換公式及對應的二階矩陣；
(2)在平面直角坐標系中，求雙曲線繞原點按逆時針旋轉（到原點距離不變）得到的雙曲線方程；
(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點（在第一象限），與軸交于點.設直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）設，，則，，，
故，
，
所以坐標變換公式為，
該變換所對應的二階矩陣為；
（2）設曲線上任意一點在旋轉角是的旋轉變換下所得點坐標為.
則，即，
得，則，所求曲線方程為；
（3）
①直線斜率存在時，可設直線的方程為，
設，
由，得，
所以，，且，
當時，取，，所以直線方程為：，
直線方程與雙曲線方程聯立可得，解得或，
所以，.
所以，所以，可得；
當時，設的斜率分別為，
，，
所以，
，
所以.
因為在第一象限，所以，所以，所以.
②直線斜率不存在時，可得，
可得，，
所以，同理可得.
綜上可得，為定值，得證.
【變式9-2】已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.
(1)求圓O和橢圓C的方程；
(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.
【解析】（1）由題意可得，解得，，
所以圓的方程為，橢圓的方程為．
（2）
證明：設點P的坐標為，點Q的坐標為，
則，即，
又由，得點M的坐標為，
由，得點N的坐標為，
所以，，，
所以，
所以，即
題型十：直線過定點
【典例10-1】（2024·陜西·模擬預測）已知動圓M經過定點，且與圓內切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設軌跡C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設直線PB交直線于點T，連接AT交軌跡C于點Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.
（i）求證：為定值；
（ii）設直線，證明：直線PQ過定點.
【解析】（1）設動圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，
顯然點在圓內，則，
于是，
因此動點M的軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，
長半軸長，半焦距，則短半軸長，
所以軌跡C的方程為.
（2）（i）設，，，由（1）知，，
顯然，，而，則，
，又，即，
所以，為定值.
（ii）由消去x得，
，
由（i）得，又，
則
，解得，滿足，
因此直線PQ的方程為，
所以直線PQ過定點.
【典例10-2】（2024·廣西·模擬預測）已知圓E恒過定點，且與直線相切，記圓心E的軌跡為，直線與相交于A，B兩點，直線與相交于C，D兩點，且，M，N分別為弦的中點，其中A，C均在第一象限，直線與直線的交點為G．
(1)求圓心E的軌跡的方程；
(2)直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標？若不是，請說明理由．
【解析】（1）設圓E的圓心．因為圓E恒過定點且與直線相切，
即圓心E到點的距離與到直線的距離相等，
即圓心E的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以圓心E的軌跡方程為．
（2）直線恒過定點．
解法一：直線的方程為，直線的方程為，
設，，聯立，消去x整理得，，
則，則，則，
所以，同理可得．
當時，直線的方程為，
即
．
因為，所以直線的方程，
故當時，，此時過定點；
當時，由，得，此時直線的方程為，同樣經過點．
綜上，直線恒過定點，該定點為．
解法二：設，，由題可知直線，都恒過定點，
斜率均存在，不為0，且互相垂直，
設直線，，則直線，
聯立，去y整理得，
易得，則，則，所以，
同理可得．
若直線的斜率存在，則，
直線，，
則直線恒過定點；
若直線的斜率不存在，則，得，
直線的方程為，則直線恒過定點．
綜上，直線恒過定點，該定點為．
【變式10-1】（2024·江西·二模）已知，，M是圓O：上任意一點，關于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.
【解析】（1）連接OM，
由題意可得，且M為的中點，又O為的中點，
所以，且|.
因為線段的中垂線與直線相交于點T，
所以，
所以，
由雙曲線的定義知動點T的軌跡是以，為焦點的雙曲線.
設其方程為（，），則，，，
故曲線C的方程為.
（2）證明：由（1）知
依題意直線l的斜率存在，
設直線l的方程為，，，
由，得，
，由，得，
所以，.
則
，
整理得，
即，
解得或，
當時，直線l的方程為，
直線l過定點；
當時，直線l的方程為，
直線l過定點，不合題意，舍去.
綜上所述，直線l過定點.
【變式10-2】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F是橢圓的右焦點且橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．

(1)求橢圓C的方程．
(2)已知A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．
【解析】（1）由題意得圓圓心，半徑為4，過點，
和橢圓外切，切點必為，故，
圓圓心，半徑為，過點，
和橢圓外切，切點必為，故，
故橢圓C的方程為；
（2）設，
∵三點共線，又，
則，即（★），
又∵點均在橢圓上，則，可變形為，代入中，
整理可得，結合（★）式得（ ），
★ 式聯立解得，
同理可得，
∴直線的方程為，
即，
又，
，
∴直線DE的方程，
故直線DE過定點．
題型十一：動點在定直線上
【典例11-1】已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點，為坐標原點，直線與交于不同的兩點，．
(1)設點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；
(2)若，證明：直線與直線的交點在定直線上．
【解析】（1）設，，則．
由兩式相減得，即．
所以．
（2）解法一：
由解得所以橢圓的方程為．
將直線的方程代入橢圓的方程，化簡整理得．①
由，解得．
由韋達定理，得，．②
設，，
則直線的方程為，③
直線的方程為，④
由③④兩式解得
，
即，所以直線與直線的交點在定直線上．
解法二：
設直線（即直線）與直線（軸）的交點為，直線與直線的交點為，
則點，，構成橢圓的自極三點形，點一定在點對應的極線上，其方程為，即，
就是說直線與直線的交點在定直線上．
【典例11-2】已知橢圓經過點，離心率.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設過點且傾斜角為的直線與軸，軸分別交于點，點為橢圓上任意一點，求面積的最小值.
(3)如圖，過點作兩條直線分別與橢圓相交于點，設直線和相交于點.證明點在定直線上.
【解析】（1）由題意，點在橢圓上得，可得①
又由，所以②，
由①②聯立且，可得，
故橢圓的標準方程為；
（2）易知，則，所以，
設，聯立與有，
則，由解得，
到的距離即為在邊上高的最小值，即，
此時面積的最小值；
（3）設，則，即，
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以，
同理令，，則，
則，，
則直線的方程為
，
同理的方程為
，
兩式相減，整理得，即點在定直線上.
【變式11-1】已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）.
（i）求m的取值范圍；
（ii）設直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.
【解析】（1）
由題意可知，
因為，所以.
設，則，所以，
又，
所以.
所以雙曲線C的方程為.
（2）（i）由題意知直線l的方程為.
聯立，化簡得，
因為直線l與雙曲線左右兩支相交，所以，
即滿足：，
所以或；
（ii），
直線AD的方程為
直線BE的方程為.
聯立直線AD與BE的方程，得，
所以，
所以，
所以
.
所以點Q的橫坐標始終為1，故點Q在定直線上.
【變式11-2】已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．
(1)求點的坐標；
(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
【解析】（1）依題意，點，，解得，橢圓：，
顯然過點的橢圓的切線斜率存在，設其方程為，
由消去并整理得，
，
整理得，解得，切線方程為，由，得，
所以點的坐標是.
（2）設直線的方程為，，線段的中點，
由消去得，
則，，，
直線的方程為，則點，
于是，
，
，因此點在直線上，
所以線段的中點在定直線上.
【變式11-3】（2024·河北·三模）已知橢圓C的中心在原點O、對稱軸為坐標軸，、是橢圓上兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)橢圓C的左、右頂點分別為和，M，N為橢圓上異于、的兩點，直線MN不過原點且不與坐標軸垂直．點M關于原點的對稱點為S，若直線與直線相交于點T．
（i）設直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值；
（ii）證明：直線OT與直線MN的交點在定直線上．
【解析】（1）設橢圓C的方程為，
將A、B代入得，解得，
故橢圓C的標準方程為.
（2）由題意得，，
設直線MN的方程為，，，，則．
（i）由題意可得：，即，
所以，
當且僅當，（或，）時等號成立．
（ii）聯立方程，消去x得，
由得且，
故，，即
由、S、T三點共線得，即；
由、N、T三點共線得，即；
兩式相加得
，
則直線OT斜率為，可得直線OT方程為
由得，即．
故直線OT與直線MN的交點在定直線上．
題型十二：圓過定點
【典例12-1】已知橢圓的離心率為，、分點是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于、的一點，面積的最大值是2．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記直線、的斜率分別為、，且直線、與直線分別交于、兩點．
①求、的縱坐標之積；
②試判斷以為直徑的圓是否過定點．若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【解析】（1）由題意可得，
解得，．
故橢圓的標準方程為．
（2）①由（1）可知，．
直線的方程為，
聯立解得則．
同理可得
故，
設，則．
因為點在橢圓上，所以，所以，
則，
故．
②法一：由①可知，，
設存在定點，則，．
由題意可知，則，
所以恒成立，所以，．
故以為直徑的圓過定點，．
法二：由題意可知在軸的兩側，則以為直徑的圓與軸有兩個交點，
設以為直徑的圓與軸的兩個交點分別為（在的左側），
直線與軸的交點為，
則，
因為，所以，
則，即以為直徑的圓過定點.
【典例12-2】（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點的橫坐標分別為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過點的直線與拋物線交于點，問：以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出這個定點；若不過定點，請說明理由.
【解析】（1）因為點的橫坐標分別為，所以，
則，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由題意，知直線的斜率存在，設，過點的直線的方程為，直線的斜率分別為.
當時，，
因為，所以以為直徑的圓過原點.
以下證明當時，以為直徑的圓過原點.
由，消去，得，
由根與系數的關系，得，
，
所以，所以以為直徑的圓過原點.
綜上，以為直徑的圓過原點.
【變式12-1】已知橢圓的長軸長為4，離心率為，點是橢圓上異于頂點的任意一點，過點作橢圓的切線，交軸于點A，直線過點且垂直于，交軸于點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試判斷以為直徑的圓能否過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．
【解析】（1）因為，
所以．
所以橢圓的方程為．
（2）解法一：設點，直線的方程為，
代入，整理得，
因為是方程的兩個相等實根，所以，解得．
所以直線的方程為，
令，得點A的坐標為．
又因為，所以．
所以點A的坐標為．
又直線的方程為，
令，得點的坐標為．
所以以為直徑的圓的方程為．
整理得．
令，得，
所以以為直徑的圓恒過定點和．
解法二：設點，
根據切線方程可知直線的方程為，所以點A的坐標為．
又直線的方程為，令，得點坐標為，
所以以為直徑的圓方程為
整理得，令，得，
所以以為直徑的圓恒過定點和．
【變式12-2】（2024·山東泰安·模擬預測）已知拋物線，焦點為，點在上，直線∶與相交于兩點，過分別向的準線作垂線，垂足分別為.
(1)設的面積分別為，求證：；
(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點，并求出點的坐標.
【解析】（1）將代入，得，所以拋物線方程為，
由題意知，設，
由得，，，
所以，
所以
，即.
（2）直線的斜率，
故直線的方程為，令得，
所以點的坐標為，同理，點的坐標為，
設線段的中點為，則
=，
又=
，
所以以為直徑的圓為，
即，令得或，
故以為直徑的圓過定點和.
1．（2024·全國·模擬預測）已知復平面上的點對應的復數滿足，設點的運動軌跡為．點對應的數是0．
(1)證明是一個雙曲線并求其離心率；
(2)設的右焦點為，其長半軸長為，點到直線的距離為（點在的右支上），證明：；
(3)設的兩條漸近線分別為，過分別作的平行線分別交于點，則平行四邊形的面積是否是定值？若是，求該定值；若不是，說明理由．
【解析】（1）設復數，
則
兩邊平方得
所以是一個焦點在實軸上，頂點為，漸近線為的雙曲線．
其離心率.
（2）由（1）的計算得，，，則直線，
設，則，
，
由得，代入得
所以，原式得證．
（3）由（1）得的兩條漸近線，，
由對稱性，不妨設，則，
所以，同理得．
聯立和：，得，
易知直線，所以點到直線的距離
由（1），所以
而，所以
，故平行四邊形的面積為定值．
2．（2024·湖南常德·三模）已知O為坐標原點，橢圓C：的上、下頂點為A、B，橢圓上的點P位于第二象限，直線PA、PB、PO的斜率分別為，且.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過原點O分別作直線PA、PB的平行線與橢圓相交，得到四個交點，將這四個交點依次連接構成一個四邊形，則此四邊形的面積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請求出其取值范圍.
【解析】（1）由題意可得，
設，則，
∵，∴，
化簡得：①，
又在橢圓上，②，
由①②得，
又，∴，
故橢圓C的標準方程；
（2）設直線的平行線與橢圓相交于點、（在上方），
直線的平行線與橢圓相交于點、（在上方），
∴直線的方程為，直線的方程為，
又，∴，
聯立，解得，
∴，
聯立，解得，
∴，
設直線EF的傾斜角為，直線GH的傾斜角為，，
∴，
則，
，
∴四邊形面積為：
，
故該四邊形的面積為定值.
3．已知一張紙上畫有半徑為的圓，在圓內有一個定點，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線為．
(1)若曲線的焦點在軸上，求其標準方程；
(2)在（1）的條件下，是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與曲線恒有兩個交點，且，（為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由；
(3)在（1）的條件下，是曲線上異于上頂點、下頂點的任一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為，證明：線段的長為定值，并求出定值．
【解析】（1）設折痕與的交點為，
由題意知：與關于折痕對稱，，
，
曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓，
不妨設，，則，，，
曲線的標準方程為：.
（2）①當直線斜率不存在時，設其方程為：，
則，，
若，則，解得：，
此時圓的方程為：；
②當直線斜率存在時，設其方程為：，，，
由得：，則，即；
，；
，
則，即（滿足），
又與圓相切，圓的半徑，
圓的方程為：；
綜上所述：存在滿足題意的圓，圓的方程為.
（3）
由題意知：，，設，
則直線，令，解得：；
直線，令，解得：；
設圓的圓心，半徑為，
，，
；
又，，，
即線段的長為定值.
4．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓，短軸長為，左、右焦點分別為，，P是橢圓C上的一個動點，面積的最大值為2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求的取值范圍；
(3)過橢圓的左頂點A作直線軸，M為直線l上的動點，B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點Q．試判斷數量積，是否為定值，如果為定值，求出定值；如果不是定值，說明理由．
【解析】（1）設點，
則，當且僅當時“＝”，．
又，∴，∴，
從而橢圓C的方程為．
（2）∵橢圓，∴，．
∵P為橢圓C上一點，∴，
∴
．
又，∴．
（3）設直線BM的斜率為k，則直線BM的方程為，設，
將代入橢圓C的方程中并化簡得，
解得，，∴，
從而，．
令，得，所以，．
又，
∴（定值），
（定值），
綜上可知，，均為定值．
5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖， 在平面直角坐標系中，雙曲線的上下焦點分別為，. 已知點和都在雙曲線上， 其中為雙曲線的離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.
(i) 若，求直線的斜率；
(ii) 求證：是定值.
【解析】（1）將點和代入雙曲線方程得：
，結合，化簡得：，解得，
雙曲線的方程為．
（2）(i) 設關于原點對稱點記為，
則．
因為，所以，
又因為，所以，即，
故三點共線．
又因為與互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，
所以．
由題意知，直線斜率一定存在，
設的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：
，故，
直線與雙曲線上支有兩個交點，所以，解得．
由弦長公式得
，
則，且由圖可知，即，
代入解得．
(ii) 因為，由相似三角形得，
所以
．
因為．
所以，故為定值．
6．已知橢圓，設動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為．問：是否存在兩個點，，使得為定值？若存在，求，的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】設動點，則由，
得，即，
∵點在橢圓上，
設分別為直線的斜率，
由題意知，
故，
所以，則點P是橢圓上的點，
所以，所以該橢圓的左右焦點為，，
滿足為定值，
因此存在兩個定點，，使得為定值，
綜上，存在符合題意的點，，坐標為，即橢圓的兩個焦點．
7．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知雙曲線的實軸長為2，設為的右焦點，為的左頂點，過的直線交于A，B兩點，當直線AB斜率不存在時，的面積為9．
(1)求的方程；
(2)當直線AB斜率存在且不為0時，連接TA，TB分別交直線于P，Q兩點，設為線段PQ的中點，記直線AB，FM的斜率分別為，證明：為定值．
【解析】（1）依題意，，解得，
設的焦距為2c，則，
將代入方程，可得，
所以的面積為，
解得，
所以的方程為；
（2）由方程得,
設直線，
與的方程聯立可得，
所以，
設直線，令，解得，所以，
同理可得，，
所以
，故
所以，又，所以．
8．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知拋物線的焦點為，是拋物線上一點，且．
(1)求拋物線的方程．
(2)若是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于兩點（均與點不重合），設直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）因為點在拋物線上，所以，
因為，所以，聯立，解得，
所以拋物線的方程為．
（2）由在拋物線上，得，即，
顯然，過點的直線斜率不為0，故設直線方程為，，
由，得，
，或，
，，，
，，
所以
，
故為定值．
9．（2024·河南新鄉·三模）已知橢圓的左、右頂點分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點，直線與的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)分別是橢圓的左、右焦點，是內切圓的圓心，試問平面上是否存在定點，使得為定值 若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設，則，即，
顯然點，依題意，，
解得，由橢圓的焦距是2，得，則，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，因為，則，
由（1）知，則直線的方程為，即，
從而點到直線的距離，
即，即.
因為，所以，所以，
所以，即，
因為，所以，
因為，所以，即，點在以為焦點，長軸長為2的橢圓上，
故存在定點，使得.
10．（2024·江蘇鹽城·一模）已知拋物線：，圓：，為坐標原點.
(1)若直線：分別與拋物線相交于點A，（在B的左側）、與圓相交于點S，（S在的左側），且與的面積相等，求出的取值范圍；
(2)已知，，是拋物線上的三個點，且任意兩點連線斜率都存在.其中，均與圓相切，請判斷此時圓心到直線的距離是否為定值，如果是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由.
【解析】（1）因為與的面積相等，且與的高均為原點到直線的距離，
所以，則，
設，，，，
則，即，
直線：代入拋物線，得，
因為直線與拋物線交于，兩點，
所以，則，
直線：代入圓：，
得，
因為直線與圓于S，T兩點，所以，
即，
即，
所以，
由，得，
又，則，
將其代入得，解得；
將其代入得，解得.
綜上，的取值范圍為.
（2）由題，易知直線，，斜率一定存在，
設，，，
則，
則直線的方程為：，
即，即，
因為圓：的圓心為，半徑為，
因為直線與圓相切，則，
平方化簡得：，
看成關于，為變量的式子得：，
同理得直線與圓C相切，化簡式子后得：，
所以可以同構出直線的方程為：，
所以圓心到直線的距離為：
，
此時圓心到直線的距離為定值，定值為.
11．設橢圓，，分別是C的左、右焦點，C上的點到的最小距離為1，P是C上一點，且的周長為6．
(1)求C的方程；
(2)過點且斜率為k的直線l與C交于M，N兩點，過原點且與l平行的直線與C交于A，B兩點，求證：為定值．
【解析】（1）由題意知橢圓，C上的點到的最小距離為1，
P是C上一點，且的周長為6，
設橢圓的焦距為2c，則，解得，
故C的方程為；
（2）證明：由題意知，故直線l的方程為，
設，聯立，
得，由于直線l過橢圓焦點，必有，
故，
故，
由題意知直線的方程為，聯立，得，
設，則不妨取，
故，
故，即為定值.
12．（2024·內蒙古赤峰·三模）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點 ，設點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段ST的中點.
（i）證明：直線與曲線有且僅有一個交點；
（ii） 求證：是定值.
【解析】（1）圓的圓心為，半徑，
因為線段的垂直平分線交直線于點， 則，
，
∴點的軌跡為以、為焦點的雙曲線，
設雙曲線方程為，則，，所以，
所以點的軌跡方程為
（2）（ i ） 設 ，，，
若，則，即直線的方程為，顯然滿足直線與曲線有且僅有一個交點；
若，顯然，由題可知，則，，
因為雙曲線的漸近線方程為，不妨令，，
所以，，
，即，
即，
∴直線的方程為，即，
又∵點在上，，則，
即直線的方程為，
將方程聯立，得，
，由，可知方程有且僅有一個解，
∴與有且僅有一個交點；
（ii）由 （i ）聯立 ，可得，
同理可得，
，
所以是定值.
13．（2024·湖北·模擬預測）已知為拋物線：的焦點，，，是上三個不同的點，直線，，分別與軸交于，，，其中的最小值為4.
(1)求的標準方程；
(2)的重心位于軸上，且，，的橫坐標分別為，，，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）因為直線通過拋物線的焦點，所以線段為拋物線的焦點弦，
如圖，設，，線段的中點，
由拋物線的定義可得，
由平面幾何的性質得當且僅當軸時，取得最小值為，所以，
所以拋物線的標準方程為.
（2）依題知直線的傾斜角不為0，則設直線的方程為.
設，，，
由，得，則，
因為的重心位于軸上，所以，
所以，，所以，
，，
因為A，E，C三點共線，所以，
所以，
顯然，解得，，同理可得，
又
，
則
，所以為定值1.
14．（2024·湖南岳陽·三模）已知動圓過定點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)已知、兩點的坐標分別為、，直線、的斜率分別為、，證明：；
(2)若點、是軌跡上的兩個動點且，設線段的中點為，圓與動點的軌跡交于不同于的三點、、，求證：的重心的橫坐標為定值．
【解析】（1）設點，
依題有，
化簡并整理成，
圓心的軌跡的方程為
，，
又，
所以，
所以.
（2）顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，
由，消并整理成，
在判別式大于零時，，
又，所以，
所以，，
，
所以線段的中點坐標為，
設，
則，消得，
所以的軌跡方程是，
圓過定點，設其方程為，
由，得，
設、、的橫坐標分別為，，，
因為、、異于，所以，，都不為零，
故的根為，，，
令，
即有，
所以，
故的重心的橫坐標為定值．
15．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）橢圓的焦點為和，短軸長為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓上、下頂點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點（不與、兩點重合）.
①求證：與的交點的縱坐標為定值；
②已知直線，求直線、、圍成的三角形面積最小值.
【解析】（1）根據題意可得，，，
則，所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）①因為直線過點，
可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，
可設直線，，，
聯立方程，消去可得，
則，
由根與系數的關系可得：，，
因為，，
可得直線，直線，
所以
．
即，解得，
所以直線，的交點在直線上.
②設直線與直線，的交點分別為，，
則由（1）可知：直線，直線．
聯立和方程，
解得，，
因為，
又因為點到直線的距離，
可得，只需求的最小值．
由弦長公式可得
．
令，則．
可得
，
當且僅當，即時等號成立．
即的最小值為，可得面積的最小值為．
故直線，，圍成的三角形面積的最小值為.
16．已知圓：，為圓心，動直線過點，且與圓交于，兩點，記弦的中點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過作兩條斜率分別為，的直線，交曲線于，兩點，且，求證：直線過定點．
【解析】（1）因為是弦的中點，
所以，即，
所以點的軌跡為以為直徑的圓，所以曲線的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，
設直線的方程為，
代入，得.
設，，則，是方程的兩解，
則，，，
根據根與系數的關系，得，
即.
若，則直線過點，舍去；
所以，即，
直線的方程為，故直線過定點.
當直線斜率不存在時，設直線：，
與曲線的方程聯立，可得，，則，解得，
故直線的方程為，恒過點.
綜上，直線過定點.
17．（2024·北京海淀·二模）已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點.以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為.
(1)求栯圓的方程；
(2)設過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于不同的兩點，與直線交于點.點在軸上，為坐標平面內的一點，四邊形是菱形.求證：直線過定點.
【解析】（1）由題意可設橢圓的方程為.
因為以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為，
所以且，
所以.所以.
所以橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，
令，得，即.
由得.
設，則.
設的中點為，則.
所以.
因為四邊形為菱形，
所以為的中點，.
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為.
令得.所以.
設點的坐標為，則，
即.
所以直線的方程為，即.
所以直線過定點.
18．已知圓，圓動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設不經過點的直線與曲線相交于兩點，直線與直線的斜率均存在且斜率之和為，直線是否過定點，若過定點，寫出定點坐標．
【解析】（1）設動圓的半徑為，
因為動圓與圓外切,所以.
因為動圓于圓外切,所以,
則,
由橢圓的定義可知,曲線是以為左、右焦點，長軸長為4的橢圓.
設橢圓方程為,
則，故,
所以曲線的方程為.
（2）①當直線斜率存在時,設直線:，
19．（2024·北京·模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.
【解析】（1）由題可得：，，又；解得；
故橢圓的方程為：.
（2）設直線與的交點為，根據題意，作圖如下：
由題可知，直線的斜率存在，又過點，故設其方程為，
聯立，可得，顯然其，
設兩點坐標為，則；
因為都垂直于軸，故，
則方程為：，方程為：，
聯立方程可得：，
故，也即直線與的交點在定直線上.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破16 圓錐曲線中的定點、定值問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：面積定值 3
題型二：向量數量積定值 4
題型三：斜率和定值 7
題型四：斜率積定值 8
題型五：斜率比定值 10
題型六：斜率差定值 12
題型七：線段定值 13
題型八：坐標定值 15
題型九：角度定值 16
題型十：直線過定點 18
題型十一：動點在定直線上 19
題型十二：圓過定點 21
03 過關測試 22
1、定值問題
解析幾何中定值問題的證明可運用函數的思想方法來解決．證明過程可總結為“變量—函數—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當的量為變量．
（2）函數----把要證明為定值的量表示成變量的函數．
（3）定值----化簡得到的函數解析式，消去變量得到定值．
2、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
常用消參方法：
①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．
②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．
③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．
④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：
，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．
3、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．
②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．
③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．
題型一：面積定值
【典例1-1】如圖所示，已知橢圓，A，B是四條直線，所圍成的矩形的兩個頂點．若M，N是橢圓C上的兩個動點，且直線OM，ON的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【典例1-2】（2024·湖北荊州·三模）從拋物線上各點向軸作垂線段，垂線段中點的軌跡為.
(1)求的軌跡方程；
(2)是上的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，
①若，求的值；
②證明：三角形與三角形的面積之比為定值.
【變式1-1】已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.
【變式1-2】（2024·重慶·三模）已知，曲線上任意一點到點的距離是到直線的距離的兩倍.
(1)求曲線的方程；
(2)已知曲線的左頂點為，直線過點且與曲線在第一、四象限分別交于，兩點，直線、分別與直線交于，兩點，為的中點.
（i）證明：；
（ii）記，，的面積分別為，，，則是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【變式1-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.
(1)求動點的軌跡的方程.
(2)過點A的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.
題型二：向量數量積定值
【典例2-1】（2024·高三·江蘇鹽城·開學考試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.
(1)求線段的中點的軌跡方程；
(2)是否存在常數，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【典例2-2】（2024·上海閔行·二模）已知點分別為橢圓的左 右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.
(1)求證：；
(2)求證：為定值，并求出該定值；
【變式2-1】（2024·陜西寶雞·一模）橢圓經過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形.
(1)求橢圓的方程；
(2)設，過橢圓的右焦點作直線交于、兩點，試問：是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
【變式2-2】（2024·高三·河南南陽·期末）P為平面直角坐標系內一點，過P作x軸的垂線，垂足為M，交直線（）于Q，過P作y軸的垂線，垂足為N，交直線于R，若△OMQ，ONR的面積之和為．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)若，，，，過點G的直線l交C于D，E兩點，是否存在常數n，對任意直線l，使為定值？若存在，求出n的值及該定值，若不存在，請說明理由．
【變式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
【變式2-4】已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，且，以為圓心，為半徑的圓經過點.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于，
（ⅰ）設點在第一象限，且直線與交于.若，求的值；
（ⅱ）連接交圓于點，射線上存在一點，且為定值，已知點在定直線上，求所在定直線方程.
題型三：斜率和定值
【典例3-1】已知橢圓與雙曲線的離心率的平方和為.
(1)求的值；
(2)過點的直線與橢圓和雙曲線分別交于點，，，，在軸上是否存在一點，直線，，，的斜率分別為，，，，使得為定值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【典例3-2】（2024·河南·二模）已知橢圓的焦距為2，兩個焦點與短軸一個頂點構成等邊三角形.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設，過點的兩條直線和分別交橢圓于點和點（和.不重合），直線和的斜率分別為和.若，判斷是否為定值，若是，求出該值；若否，說明理由.
【變式3-1】橢圓：（）的左焦點為，且橢圓經過點，直線（）與交于，兩點（異于點）.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線與直線的斜率之和為定值，并求出這個定值.
【變式3-2】（2024·寧夏銀川·一模）已知，分別是橢圓的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點為，且的方程為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若是直線上一點，過點的兩條不同直線分別交于點，和點，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
題型四：斜率積定值
【典例4-1】（2024·高三·陜西·開學考試）已知雙曲線的左焦點為F，左頂點為E，虛軸的上端點為P，且，．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設是雙曲線C上不同的兩點，Q是線段的中點，O是原點，直線的斜率分別為，證明：為定值．
【典例4-2】已知橢圓，過點，，分別是的左頂點和下頂點，是右焦點，.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于點，，直線，分別與直線交于不同的兩點，.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【變式4-1】已知橢圓左右焦點分別為橢圓的左右頂點，過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點，交橢圓于點，且與的周長之差為.
(1)求橢圓與橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓相交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
【變式4-2】（2024·湖南長沙·二模）如圖，雙曲線的左 右焦點，分別為雙曲線的左 右頂點，過點的直線分別交雙曲線的左 右兩支于兩點，交雙曲線的右支于點（與點不重合），且與的周長之差為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線交雙曲線的右支于兩點.
①記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；
②試探究：是否為定值？并說明理由.
【變式4-3】已知雙曲線過點，且離心率為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設過點且斜率不為0的直線與雙曲線的左右兩支交于，兩點.問：在軸上是否存在定點，使直線的斜率與的斜率的積為定值？若存在，求出該定點坐標；若不存在，請說明理由.
題型五：斜率比定值
【典例5-1】設拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.
(1)求的方程；
(2)設直線與的另一個交點分別為，設直線的斜率分別為，證明：
（ⅰ）為定值；
（ⅱ）直線恒過定點.
【典例5-2】如圖所示，已知點，F是橢圓的左焦點，過F的直線與橢圓交于兩點，直線分別與橢圓交于兩點．

(1)證明：直線過定點．
(2)證明：直線和直線的斜率之比為定值．
【變式5-1】（2024·重慶·模擬預測）如圖，軸，垂足為D，點P在線段上，且．
(1)點M在圓上運動時，求點P的軌跡方程；
(2)記（1）中所求點P的軌跡為，過點作一條直線與相交于兩點，與直線交于點Q．記的斜率分別為，證明：是定值．
【變式5-2】（2024·云南·二模）已知橢圓的離心率為，中心是坐標原點，焦點在軸上，右焦點為F，A、B分別是的上、下頂點.的短半軸長是圓的半徑，點是圓上的動點，且點不在軸上，延長BM與交于點的取值范圍為.
(1)求橢圓、圓的方程;
(2)當直線BM經過點時，求的面積;
(3)記直線AM、AN的斜率分別為，證明:為定值.
【變式5-3】（2024·河南·三模）已知點，動點滿足直線與直線的斜率之積為，動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程：
(2)直線與曲線交于兩點，且交于點，求定點的坐標，使為定值；
(3)過（2）中的點作直線交曲線于兩點，且兩點均在軸的右側，直線的斜率分別為，求的值．
題型六：斜率差定值
【典例6-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，D為橢圓C的右頂點，且.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設，過點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A點在B點左側），直線AM與直線交于點N，設直線NA，NB的斜率分別為，，求證：為定值.
【典例6-2】已知雙曲線經過點，右焦點為，且成等差數列.
(1)求的方程；
(2)過的直線與的右支交于兩點（在的上方），的中點為在直線上的射影為為坐標原點，設的面積為，直線的斜率分別為，試問是否為定值，如果是，求出該定值，如果不是，說明理由.
【變式6-1】已知橢圓的離心率為，A，B，C分別為橢圓的左頂點，上頂點和右頂點，為左焦點，且的面積為．若P是橢圓M上不與頂點重合的動點，直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點N．
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線QN和直線QC的斜率）．
【變式6-2】（2024·高三·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問：是否存在直線，使得點M在以為直徑的圓上 請說明理由．
(3)點，直線交直線于點．設直線、的斜率分別、，求證：為定值．
題型七：線段定值
【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知橢圓：.
(1)若橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，求證：；
(2)為直線：上的一個動點，，為橢圓的左、右頂點，，分別與橢圓交于，兩點，證明為定值，并求出此定值.
【典例7-2】如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段CH的垂直平分線交線段TC于點R，記動點R的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
(3)過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.
【變式7-1】已知點在曲線上，為坐標原點，若點滿足，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)設是上的兩個動點，且以為直徑的圓經過點，證明：為定值．
【變式7-2】（2024·湖北·模擬預測）平面直角坐標系中，動點滿足，點P的軌跡為C，過點作直線l，與軌跡C相交于A，B兩點．
(1)求軌跡C的方程；
(2)求面積的取值范圍；
(3)若直線l與直線交于點M，過點M作y軸的垂線，垂足為N，直線NA，NB分別與x軸交于點S，T，證明：為定值．
【變式7-3】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知，動點滿足，動點的軌跡為曲線交于另外一點交于另外一點.
(1)求曲線的標準方程;
(2)已知是定值，求該定值;
題型八：坐標定值
【典例8-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，，的面積為.
(1)求的方程；
(2)是上位于第一象限的一點，其橫坐標為1，直線過點且與交于，兩點（均異于點），點在上，設直線，，的斜率分別為，，，若，問點的橫坐標是否為定值？若為定值，求出點的橫坐標；若不為定值，請說明理由.
【典例8-2】（2024·全國·模擬預測）一般地，拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形，對應的三個切點形成的三角形稱為拋物線的切點三角形．如圖，，分別為拋物線的切線三角形和切點三角形，為該拋物線的焦點．當直線的斜率為時，中點的縱坐標為．
(1)求．
(2)若直線過點，直線分別與該拋物線的準線交于點，記點的縱坐標分別為，證明：為定值．
(3)若均不與坐標原點重合，證明：
【變式8-1】（2024·四川涼山·三模）已知平面內動點與兩定點，連線的斜率之積為3．
(1)求動點的軌跡的方程：
(2)過點的直線與軌跡交于，兩點，點，均在軸右側，且點在第一象限，直線與交于點，證明：點橫坐標為定值．
題型九：角度定值
【典例9-1】拋物線：的焦點為，直線的傾斜角為且經過點，直線與拋物線交于兩點，.
（1）若，求角；
（2）分別過，作拋物線的切線，，記直線，的交點為，直線的傾斜角為.試探究是否為定值，并說明理由.
【典例9-2】（2024·高三·廣東廣州·期中）已知橢圓C：的離心率為，焦距為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的左頂點為A，過右焦點F的直線與橢圓C交于B，D（異于點A）兩點，直線，分別與直線交于M，N兩點，試問是否為定值 若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【變式9-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，利用公式①（其中，，，為常數），將點變換為點的坐標，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.
(1)如圖，在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉角得到點（到原點距離不變），求坐標變換公式及對應的二階矩陣；
(2)在平面直角坐標系中，求雙曲線繞原點按逆時針旋轉（到原點距離不變）得到的雙曲線方程；
(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點（在第一象限），與軸交于點.設直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.
【變式9-2】已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.
(1)求圓O和橢圓C的方程；
(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.
題型十：直線過定點
【典例10-1】（2024·陜西·模擬預測）已知動圓M經過定點，且與圓內切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設軌跡C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設直線PB交直線于點T，連接AT交軌跡C于點Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.
（i）求證：為定值；
（ii）設直線，證明：直線PQ過定點.
【典例10-2】（2024·廣西·模擬預測）已知圓E恒過定點，且與直線相切，記圓心E的軌跡為，直線與相交于A，B兩點，直線與相交于C，D兩點，且，M，N分別為弦的中點，其中A，C均在第一象限，直線與直線的交點為G．
(1)求圓心E的軌跡的方程；
(2)直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標？若不是，請說明理由．
【變式10-1】（2024·江西·二模）已知，，M是圓O：上任意一點，關于點M的對稱點為N，線段的垂直平分線與直線相交于點T，記點T的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)設（）為曲線C上一點，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點（異于E點）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過定點.
【變式10-2】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F是橢圓的右焦點且橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．

(1)求橢圓C的方程．
(2)已知A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．
題型十一：動點在定直線上
【典例11-1】已知橢圓的離心率為，，分別為的上、下頂點，為坐標原點，直線與交于不同的兩點，．
(1)設點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；
(2)若，證明：直線與直線的交點在定直線上．
【典例11-2】已知橢圓經過點，離心率.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設過點且傾斜角為的直線與軸，軸分別交于點，點為橢圓上任意一點，求面積的最小值.
(3)如圖，過點作兩條直線分別與橢圓相交于點，設直線和相交于點.證明點在定直線上.
【變式11-1】已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）.
（i）求m的取值范圍；
（ii）設直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.
【變式11-2】已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．
(1)求點的坐標；
(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
【變式11-3】（2024·河北·三模）已知橢圓C的中心在原點O、對稱軸為坐標軸，、是橢圓上兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)橢圓C的左、右頂點分別為和，M，N為橢圓上異于、的兩點，直線MN不過原點且不與坐標軸垂直．點M關于原點的對稱點為S，若直線與直線相交于點T．
（i）設直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值；
（ii）證明：直線OT與直線MN的交點在定直線上．
題型十二：圓過定點
【典例12-1】已知橢圓的離心率為，、分點是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于、的一點，面積的最大值是2．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記直線、的斜率分別為、，且直線、與直線分別交于、兩點．
①求、的縱坐標之積；
②試判斷以為直徑的圓是否過定點．若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【典例12-2】（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點的橫坐標分別為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過點的直線與拋物線交于點，問：以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出這個定點；若不過定點，請說明理由.
【變式12-1】已知橢圓的長軸長為4，離心率為，點是橢圓上異于頂點的任意一點，過點作橢圓的切線，交軸于點A，直線過點且垂直于，交軸于點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試判斷以為直徑的圓能否過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由．
【變式12-2】（2024·山東泰安·模擬預測）已知拋物線，焦點為，點在上，直線∶與相交于兩點，過分別向的準線作垂線，垂足分別為.
(1)設的面積分別為，求證：；
(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過定點，并求出點的坐標.
1．（2024·全國·模擬預測）已知復平面上的點對應的復數滿足，設點的運動軌跡為．點對應的數是0．
(1)證明是一個雙曲線并求其離心率；
(2)設的右焦點為，其長半軸長為，點到直線的距離為（點在的右支上），證明：；
(3)設的兩條漸近線分別為，過分別作的平行線分別交于點，則平行四邊形的面積是否是定值？若是，求該定值；若不是，說明理由．
2．（2024·湖南常德·三模）已知O為坐標原點，橢圓C：的上、下頂點為A、B，橢圓上的點P位于第二象限，直線PA、PB、PO的斜率分別為，且.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過原點O分別作直線PA、PB的平行線與橢圓相交，得到四個交點，將這四個交點依次連接構成一個四邊形，則此四邊形的面積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請求出其取值范圍.
3．已知一張紙上畫有半徑為的圓，在圓內有一個定點，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線為．
(1)若曲線的焦點在軸上，求其標準方程；
(2)在（1）的條件下，是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與曲線恒有兩個交點，且，（為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由；
(3)在（1）的條件下，是曲線上異于上頂點、下頂點的任一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為，證明：線段的長為定值，并求出定值．
4．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓，短軸長為，左、右焦點分別為，，P是橢圓C上的一個動點，面積的最大值為2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求的取值范圍；
(3)過橢圓的左頂點A作直線軸，M為直線l上的動點，B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點Q．試判斷數量積，是否為定值，如果為定值，求出定值；如果不是定值，說明理由．
5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖， 在平面直角坐標系中，雙曲線的上下焦點分別為，. 已知點和都在雙曲線上， 其中為雙曲線的離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.
(i) 若，求直線的斜率；
(ii) 求證：是定值.
6．已知橢圓，設動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為．問：是否存在兩個點，，使得為定值？若存在，求，的坐標；若不存在，請說明理由．
7．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知雙曲線的實軸長為2，設為的右焦點，為的左頂點，過的直線交于A，B兩點，當直線AB斜率不存在時，的面積為9．
(1)求的方程；
(2)當直線AB斜率存在且不為0時，連接TA，TB分別交直線于P，Q兩點，設為線段PQ的中點，記直線AB，FM的斜率分別為，證明：為定值．
8．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知拋物線的焦點為，是拋物線上一點，且．
(1)求拋物線的方程．
(2)若是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于兩點（均與點不重合），設直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
9．（2024·河南新鄉·三模）已知橢圓的左、右頂點分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點，直線與的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)分別是橢圓的左、右焦點，是內切圓的圓心，試問平面上是否存在定點，使得為定值 若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.
13．（2024·湖北·模擬預測）已知為拋物線：的焦點，，，是上三個不同的點，直線，，分別與軸交于，，，其中的最小值為4.
(1)求的標準方程；
(2)的重心位于軸上，且，，的橫坐標分別為，，，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
14．（2024·湖南岳陽·三模）已知動圓過定點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)已知、兩點的坐標分別為、，直線、的斜率分別為、，證明：；
(2)若點、是軌跡上的兩個動點且，設線段的中點為，圓與動點的軌跡交于不同于的三點、、，求證：的重心的橫坐標為定值．
15．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）橢圓的焦點為和，短軸長為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓上、下頂點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點（不與、兩點重合）.
①求證：與的交點的縱坐標為定值；
②已知直線，求直線、、圍成的三角形面積最小值.
16．已知圓：，為圓心，動直線過點，且與圓交于，兩點，記弦的中點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過作兩條斜率分別為，的直線，交曲線于，兩點，且，求證：直線過定點．
17．（2024·北京海淀·二模）已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點.以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為.
(1)求栯圓的方程；
(2)設過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于不同的兩點，與直線交于點.點在軸上，為坐標平面內的一點，四邊形是菱形.求證：直線過定點.
18．已知圓，圓動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設不經過點的直線與曲線相交于兩點，直線與直線的斜率均存在且斜率之和為，直線是否過定點，若過定點，寫出定點坐標．
19．（2024·北京·模擬預測）已知橢圓的離心率為，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設過點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點，過分別作軸的垂線，垂足為點，求證：直線與的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.
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