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重難點突破14 阿基米德三角形
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：定點問題 3
題型二：交點的軌跡問題 9
題型三：切線垂直問題 13
題型四：面積問題 17
題型五：外接圓問題 24
題型六：最值問題 31
題型七：角度相等問題 36
03 過關測試 41
如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．
1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．
2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．
3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．
4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．
5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．
6、點的坐標為；
7、底邊所在的直線方程為
8、的面積為．
9、若點的坐標為，則底邊的直線方程為．
10、如圖1，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.
11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．
12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
圖1
題型一：定點問題
【典例1-1】拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：給出如下三個條件：①焦點為；②準線為；③與直線相交所得弦長為2．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；
(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線C在弦AB兩端點處的兩條切線的交點，若點Q恰在此拋物線的準線上，試判斷直線AB是否過定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，請說明理由．
【解析】（1）C：即C：，
其焦點坐標為，準線方程為，
若選①，焦點為，則，得，
所以拋物線的方程為；
若選②，準線為，則，得，
所以拋物線的方程為；
若選③，與直線相交所得的弦為2，
將代入方程中，得，
即拋物線與直線相交所得的弦長為，
解得，所以拋物線的方程為；
（2）設，，，切線：，
將其與C：聯立得，
由得，
故切線：，即；
同理：
又點滿足切線，的方程，
即有
故弦AB所在直線方程為，其過定點．
【典例1-2】（2024·山東濱州·一模）已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．
【解析】（1）設，則，，
，，
所以，可以化為，
化簡得．
所以，的方程為．
（2）由題設可設，，，
由題意知切線，的斜率都存在，
由，得，則，
所以，
直線的方程為，即，①
因為在上，所以，即，②
將②代入①得，
所以直線的方程為
同理可得直線的方程為．
因為在直線上，所以，
又在直線上，所以，
所以直線的方程為，
故直線過定點．
【變式1-1】（2024·廣東·模擬預測）已知動圓過點（0，1），且與直線：相切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)點一動點，過作曲線E兩條切線，，切點分別為，，且，直線與圓相交于，兩點，設點到直線距離為．是否存在點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）依題意，圓心的軌跡E是以F為焦點，l：y＝－1為準線的拋物線．
所以拋物線焦點到準線的距離等于2，故動圓圓心的軌跡E為x2＝4y．
（2）依題意，直線AB斜率存在，設直線AB：y＝kx＋m，．
由，得，故．
，由x2＝4y，得，故切線 PA，PB的斜率分別為
由 PA⊥PB，得：，
所以m＝1，這說明直線 AB 過拋物線E的焦點F，則切線．
聯立，消去y得：，即，
則，即，
于是P到直線AB：kx－y＋1＝0的距離．
．
設原點到直線kx－y＋1＝0的距離為，則，所以．
因為，所以， 化簡整理得，無解，
所以滿足條件的點P不存在．
【變式1-2】設點為拋物線：（）的動點，是拋物線的焦點，當時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)當在第一象限且時，過作斜率為，的兩條直線，，分別交拋物線于點，，且，證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標；
(3)是否存在定圓：，使得過曲線上任意一點作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點，時，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）∵當時，，
∴，
所以，
即拋物線的方程為；
（2）∵在第一象限且時，
∴，
設，，
由，可得，
則，
∵，
同理，又
∴，即，
∴，即，
所以，即
所以直線恒過定點；
（3）取，設的切線為，
則，即，
把代入，
解得，
直線，若直線與圓：相切，
則，又，
解得或（舍去），
下面證明過曲線上任意一點（除原點）作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點，時，總有直線也與圓相切，
設，切線為，，
由，可得，
∴，
由，可得，
所以，
∴，即，
同理可得，
故，
所以直線，
所以圓心到直線的距離為
，
又，
∴，
綜上，可得過曲線上任意一點，存在實數，使直線與圓相切.
【變式1-3】（2024·河南·模擬預測）已知動點到直線的距離比到定點的距離大1.
（1）求動點的軌跡的方程.
（2）若為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，為的中點.
①求證：軸；
②直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.
【解析】（1）由動點到直線的距離比到定點的距離大1得，
動點到直線的距離等于到定點的距離，
所以點的軌跡為頂點在原點、開口向上的拋物線，其中，
軌跡方程為.
（2）①設切點，，，所以切線的斜率為，
切線.
設，則有，化簡得.
同理可得.
所以，為方程的兩根.
則有，，所以.
因此軸.
② 因為，
所以.又因為，
所以直線，即.
即直線過定點.
題型二：交點的軌跡問題
【典例2-1】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；
(3)過（2）中的點的直線交拋物線于D，兩點，過點D，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．
【解析】（1）設拋物線的方程為，
∵拋物線的焦點到直線的距離為，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴拋物線的方程為．
（2）設，，設切點為，曲線，，
則切線的斜率為，化簡得，
設，，，則，是以上方程的兩根，
則，，
，
直線的方程為：，整理得，
∵切線的方程為，整理得，且點，在切線上，
∴，即直線的方程為：，化簡得，
又∵，∴，
故直線過定點．
（3）設，，，
過D的切線，過的切線，
則交點，
設過點的直線為，
聯立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴點滿足的軌跡方程為．
【典例2-2】已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．
【解析】（1）
設點，，則，
因為以E為圓心，以為半徑的圓的最小面積為，
所以，
所以（負值舍去），解得，
所以拋物線C的標準方程為．
（2）設，，
易得，由題意知直線MN的斜率一定存在，
則設直線MN的方程為，
聯立得，
，所以，．
由，得，則切線的斜率為，
則切線的方程為，即①．
同理可得切線的方程為②．
①②得，
代入①得，，
所以點P的軌跡方程為．
【變式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）在平面直角坐標系中，點滿足方程.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）作曲線關于軸對稱的曲線，記為，在曲線上任取一點，過點作曲線的切線，若切線與曲線交于、兩點，過點、分別作曲線的切線、，證明：、的交點必在曲線上.
【解析】（1）由，
兩邊平方并化簡，得，即，
故點的軌跡的方程為.
（2）依題可設點，，
曲線切于點的切線的斜率為，
切線l的方程為，整理得，
依題可知曲線，，
聯立方程組，即，，
設，，則，，
設曲線上點處的切線斜率為，
切線方程為，整理得，
同理可得曲線上點處的切線方程為，
聯立方程組，解得，
因為，，
所以，，、的交點坐標為，
滿足曲線的方程，即、的交點必在曲線上.
【變式2-2】已知拋物線C：，過點的直線交拋物線交于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.
(1)設直線，的斜率分別為，，求證：；
(2)證明：點M在定直線上.
【解析】（1）證明：由題意知，直線的斜率存在，
設直線與拋物線交于不同的兩點，，
設直線的方程為，
聯立，消去得，，且，
則
由，得，
，，
.
（2）證明：直線與交于點M，設，
拋物線在點A處的切線方程為，
即，
同理，在點B處的切線方程為.
聯立，解得，
將式代入化簡得，
則點在定直線上.
題型三：切線垂直問題
【典例3-1】已知拋物線的方程為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.
（1）若點坐標為，求切線的方程；
（2）若點是拋物線的準線上的任意一點，求證：切線和互相垂直.
【解析】（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在，設切線斜率為，
點坐標為，過點的切線方程為，
聯立方程，消去，得，
由，解得，
所以切線的方程分別為和，
即切線方程分別為和；
（2）設點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，
聯立方程，消去，得，
由，得，記關于的一元二次方程的兩根為，
則分別為切線的斜率，由根與系數的關系知，
所以切線和互相垂直.
【典例3-2】已知P是拋物線的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為．
(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；
(2)設直線的斜率分別為，求證：為定值．
【解析】（1）
由拋物線C的方程為，則其準線方程為
由于點P的縱坐標為0，所以點P為，過P作拋物線C的切線，由題意知斜率存在且不為0，設其斜率為k則切線方程為
聯立
由于直線與拋物線C相切，可知，即
此時拋物線C的兩條切線方程分別為和.
（2）
點P在拋物線C的準線上，設
由題意知過點P作拋物線C的切線，斜率存在且不為0，
設其斜率為k則切線方程為
聯立
由于直線與拋物線C相切，可知，即
而拋物線C的兩條切線的斜率，即為方程的兩根
故.
【變式3-1】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點.
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)設點為拋物線準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中為切點.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）設橢圓和拋物線的方程分別為，，，
橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，
，解得，，
橢圓的方程為，拋物線的方程為．
（2）由題意知過點與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設，則切線方程為，
聯立，消去，得，
由，得，
直線，的斜率分別為，，，
為定值．
【變式3-2】如圖，已知拋物線的焦點是，準線是，拋物線上任意一點到軸的距離比到準線的距離少2.
（1）寫出焦點的坐標和準線的方程；
（2）已知點，若過點的直線交拋物線于不同的兩點（均與不重合），直線分別交于點，求證：.
【解析】（1）由題意知，任意一點到焦點的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義得拋物線標準方程為，
所以拋物線的焦點為，準線的方程為；
（2）設直線的方程為：，令，
聯立直線的方程與拋物線的方程，消去得，
由根與系數的關系得：
直線方程為：，
當時，，∴，同理得：，
∴，
∴
，
∴，∴.
題型四：面積問題
【典例4-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的準線方程為，直線l與C交于A，B兩點，且（其中O為坐標原點），過點O作交AB于點D.
(1)求點D的軌跡E的方程；
(2)過C上一點作曲線E的兩條切線分別交y軸于點M，N，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意可得，即，所以拋物線方程為
設，則，
因為，所以，
及，又由題意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因為點D在直線AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
當時，，解得；，此時；
當時，消可得，，即，
點同樣滿足該方程，
顯然D與O不重合，所以，
綜上，點D的軌跡E的方程為；
（2）因為，結合題意可得切線斜率存在且都不為0，
設切線的斜率為，的斜率分別為，則
切線方程為，即，
令，得，
，
又，消元得
因為相切，所以，
即
易知的斜率分別為是方程③的兩個根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，當且僅當，即時，取等號.
綜上，面積的最小值為8.
【典例4-2】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知拋物線，點在拋物線上．
(1)證明：以R為切點的的切線的斜率為；
(2)過外一點A（不在x軸上）作的切線AB、AC，點B、C為切點，作平行于BC的切線（切點為D），點、分別是與AB、AC的交點（如圖）．
（i）若直線AD與BC的交點為E，證明：D是AE的中點；
（ii）設三角形△ABC面積為S，若將由過外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如．再由點、確定的切線三角形，，并依這樣的方法不斷作1，2，4，…，個切線三角形，證明：這些“切線三角形”的面積之和小于．
【解析】（1）設是以為切點的的切線，則.
由于該直線和有唯一公共點，故聯立后的方程組只有唯一解.
從而將第一個方程代入第二個，得到的方程只有唯一解.
此方程展開即為，從而，所以.
（2）（i）設，，則.
根據上一小問的結論，可知在和處的切線分別是和.
聯立兩直線解得，所以.
由于不在軸上，所以，故，所以的縱坐標是，從而.
而，在外，在上，所以直線的方程是.
這表明該直線通過的中點，所以直線與的交點就是的中點，即.
而，，故的中點坐標為，這就是點的坐標，所以是的中點.
（ii）
由于是的中點，和平行，故分別是的中點.
所以，.
首先有.
從而，.
而，故根據點的一般性可知對外的任意一點，該點確定的切線三角形的面積為.
再由，，可知，同理.
這就表明，不斷作個切線三角形后，第次作的所有切線三角形的面積均為任意一個第次作的切線三角形的面積的.
而，所以第次作的切線三角形的面積均為.
設所有切線三角形的面積之和為，由于第次作的切線三角形的個數為，故.
從而，這就得到
，
所以，即，結論得證.
【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線：的焦點為，點是軸下方的一點，過點作的兩條切線，且分別交軸于兩點.
(1)求證：，，，四點共圓；
(2)過點作軸的垂線，兩直線分別交于兩點，求的面積的最小值.
【解析】（1）
設，若過點且斜率為的直線與拋物線相切，則聯立后得到的關于的方程只有一個實數根.
此即關于的二次方程的判別式等于零，即，得.
另一方面，該直線與軸交于點，而該點與的連線的斜率為.
所以，過點作拋物線的切線后，該切線與軸的交點到焦點和點的連線互相垂直.
這就說明，從而，所以，，，四點共圓.
（2）由的定義知其方程為，設的斜率分別為，則根據第1小問的解析，知都是關于的方程即的根.
故，.
由于均過點，故其方程分別為和.
在中令，得，從而得到，同理.
所以.
由，可設，則，進而得到
.
所以
（這里使用了不等式）
.
另一方面，當時，的斜率分別是，可求得，.
從而此時，故.
綜上，的面積的最小值是.
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為的直線與圓：相切.
(1)求的方程；
(2)設，過點作的兩條切線，，切點分別為，，試求面積的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，拋物線的焦點，則直線：，
圓的圓心為，半徑，則，解得或（舍去），
∴拋物線的方程為.
（2）設，
對于函數，求導得，
∴切線的斜率為，
∴切線的方程為，
即，即，
同理可得切線的方程為，
又點在兩切線上，∴，
∴直線的方程為.
聯立，得，
∴
且，
點到直線的距離，
∴.
∵，∴，∴
即面積的取值范圍是.
題型五：外接圓問題
【典例5-1】（2024·福建泉州·二模）已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，拋物線C上不同兩點A，B同時滿足下列三個條件中的兩個：①；②；③直線AB的方程為．
(1)請分析說明A，B滿足的是哪兩個條件？并求拋物線C的標準方程；
(2)若直線經過點，且與（1）的拋物線C交于A，B兩點，，若，求的值；
(3)點A，B，E為（1）中拋物線C上的不同三點，分別過點A，B，E作拋物線C的三條切線，且三條切線兩兩相交于M，N，P，求證：的外接圓過焦點F．
【解析】（1）若同時滿足①②：由，可得AB過焦點，
當時，而，所以①②不同時成立
若同時滿足①③由①，可得AB過焦點，
因為直線AB的方程為，不可能過焦點，所以①③不同時成立
只能同時滿足條件②③，因為②；
且直線AB的方程為，所以，解得．
所以拋物線C的標準方程為．
（2）如圖：
設直線AB的方程為，
聯立方程組，整理得，
則．因為，直線AN，BN的斜率之和為0，
即，
所以，
即，
所以，即．
（3）設過點A，B，E的三條切線分別為，傾斜角分別為，
令，
由得：：
所以：；：；：.
聯立直線方程可得
聯立直線方程可得
又，
所以.
所以：四點共圓，即的外接圓過焦點F．
【典例5-2】已知拋物線C：，直線l：交于，兩點，當，時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)分別過點，作拋物線的切線，兩條切線交于點，且，分別交軸于，兩點，證明：的外接圓過定點．
【解析】（1）
當，時，直線，聯立得，
所以，解得，所以拋物線的方程為；
（2）
設，，因為，所以，，，
聯立并整理得，由韋達定理得，，
由得，從而，
所以直線即，令得，所以
同理直線，令得，所以
聯立、：得，所以，
因為，，所以的外接圓圓心落在直線上，
由，知線段中點，，
所以線段的垂直平分線方程為，
聯立得，
所以外接圓圓心坐標為，
所以，
所以圓的方程為，
即，
令得，所以的外接圓過定點.
【變式5-1】已知拋物線：，焦點為，過作軸的垂線，點在軸下方，過點作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點，，分別交于，兩點．
(1)若，與拋物線相切于，兩點，求點的坐標；
(2)證明：的外接圓過定點；
(3)求面積的最小值．
【解析】（1）∵，與拋物線相切于，兩點，
設在左側，則，，
由得，所以，
所以的斜率為，的斜率為，
此時方程：，即．
方程：，即，聯立得；
（2）設過的兩條切線分別與拋物線切于，，
由（1）知直線的斜率為，所以直線方程為，即，
直線的斜率為，直線方程為，即，
所以且，，
設外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上，而的中點為，所以，
設外接圓方程為：過，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圓過定點；
（3）：，所以，，
所以，
到的距離為，所以，
設，，，由，
，當且僅當時等號成立．
所以，
令，，
在上單調遞減，上單調遞增，
所以，所以面積的最小值.
【變式5-2】設拋物線 的焦點為 ，點 在拋物線的準線上. 過點 作拋物線的兩條切線，切點分別為 . 已知拋物線上有一動點 ，位于點 之間. 若拋物線在點 處的切線與切線 相交于點 . 求證：
(1)直線 經過點 ;
(2)的外接圓過定點.
【解析】（1）由題意知，拋物線的焦點為，準線方程為，
設，點，則，
得直線的方程為，且，化簡得①.
同理可得，切線的方程為②.
又因為切線過點，所以有；同理可得.
所以直線的方程為，故直線經過點.
（2）設點，由（1）可知曲線在點處的切線方程為.
聯立方程組，得且，，解得，
即，同理解得，
由（1），設過點P的切線方程為，
，消去y，得，，得，
記關于的一元二次方程的兩根為，其中分別為切線PA、PB的斜率，
則，所以，故線段即為的外接圓的直徑.
設直線AB方程為，由，消去可得，
則，
因為，
所以
將代入上式，可得，
所以的外接圓過定點.
題型六：最值問題
【典例6-1】（2024·河南駐馬店·模擬預測）已知拋物線：的焦點為，點在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過上兩點分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點恰好在直線上．
（1）求的方程；
（2）設線段中點的縱坐標為，求證：當取得最小值時，．
【解析】（1）由題意，得，且的最小值等于點到直線的距離，
即，解得（負值舍去），
∴拋物線的方程為．
（2）由，得，故，設，，
則切線方程分別為，，
設兩切線的交點為，
代入切線方程并整理可得：，，
即，是方程的實數根．
則，，
則線段中點縱坐標為
，
∴當時，取最小值．
此時，，，，，
則
．
∴．
解法二：（同解法一）
∴當時，取最小值．
此時，，由得，
故，
∴．
【典例6-2】如圖已知是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，與軸分別交于.
（1）求證：直線過定點，并求出該定點；
（2）設直線與軸相交于點，記兩點到直線的距離分別為；求當取最大值時的面積.
【解析】（1）設過點與拋物線相切的直線方程為：，
由，得，
因為相切，所以，即得，
設是該方程的兩根，由韋達定理得：，
分別表示切線斜率的倒數，且每條切線對應一個切點，所以切點，
所以，
所以直線為：，得，
直線方程為：，
所以過定點.
（2）由（1）知，
由（1）知點坐標為，，所以直線方程為：，
即：，所以，
分居直線兩側可得
，
所以
，
∴
∴當且僅當等號成立，
又由，令得：，
.
【變式6-1】在直角坐標系中，已知拋物線，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，當在軸上時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)求點到直線距離的最大值.
【解析】（1）當在軸上時，即，由題意不妨設則，
設過點的切線方程為，與聯立得，
由直線和拋物線相切可得，，所以
由得，∴，，
由可得，解得，
∴拋物線的方程為；
（2），∴，
設，，則，又，所以
即，同理可得，
又為直線上的動點，設，
則，，
由兩點確定一條直線可得的方程為，
即，∴直線恒過定點，
∴點到直線距離的最大值為.
【變式6-2】從拋物線的焦點發出的光經過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質被廣泛應用在生產生活中．如圖，已知拋物線，從點發出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點，經過拋物線兩次反射后，反射光線由G點射出，經過點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點E，過點E向圓M作兩條切線EA和EB，切點分別為A、B，求的取值范圍．
【解析】（1）由題設，令，，根據拋物線性質知：直線必過焦點，
所以，則，整理得，，則，
所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，，且，，，
所以，
而，
令，則，
所以，，
綜上，，
又，，若，則，
由，當，即時，無最大值，
所以，即，故，，
令，則，
令，在上恒成立，即遞減，所以.
題型七：角度相等問題
【典例7-1】（2024·廣西·二模）已知拋物線，過點作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．
(1)證明：P在定直線上；
(2)若F為拋物線C的焦點，證明：．
【解析】（1）證明：設，，則，
直線的方程為，即，
又因為直線過點，所以，即，
設直線的方程為，與拋物線方程聯立，解得或，
又因為直線與拋物線相切，所以，即，
所以直線的方程為，即，
同理直線的方程為，
由，解得，即，
故點P在直線上．
（2）證明：∵，，
注意到兩角都在內，可知要證．即證.
而，，
所以，
又，
所以，同理，
即有，故．
【典例7-2】如圖所示，設拋物線C：的焦點為F，動點P在直線l：上運動，過P作拋物線C的兩條切線，，切點分別為A，B，求證：.
【解析】證明：設切A、B的坐標分別為和（）.
可得切線的方程為；切線的方程為，
解得點P的坐標為，.
則，，.
由于點P在拋物線外，即.
∴.
同理有，
所以
綜上可知：.
【變式7-1】已知，分別是橢圓的上、下焦點，直線過點且垂直于橢圓長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)若動點在直線上運動，且過點作軌跡的兩條切線、，切點為A、B，試猜想與的大小關系，并證明你的結論的正確性.
【解析】（1），，
橢圓半焦距長為，，，
，
動點到定直線與定點的距離相等，
動點的軌跡是以定直線為準線，定點為焦點的拋物線，
軌跡的方程是；
（2）猜想
證明如下：由（1）可設，
，
，則，
切線的方程為：
同理，切線的方程為：
聯立方程組可解得的坐標為，
在拋物線外，
，，
同理
【變式7-2】（2024·廣東汕頭·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知圓與拋物線交于點M，N（異于原點O），MN恰為該圓的直徑，過點E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．
(1)求證：點P的縱坐標為定值；
(2)若F是拋物線C的焦點，證明：．
【解析】（1）由對稱性可知交點坐標為(1，1)，(-1，1)，
代入拋物線方程可得2p=1，
所以拋物線的方程為x2=y，
設，，
所以，
所以直線AB的方程為，
即，
因為直線AB過點C(0，2)，
所以，所以①.
因為，所以直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，
直線PA的方程為，
即，
同理直線PB的方程為，
聯立兩直線方程，可得P
由①可知點P的縱坐標為定值-2.
（2），，
注意到兩角都在內，
可知要證， 即證，
，，
所以，
又，所以，
同理式得證.
1．過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；
(2)利用題給的結論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；
(3)設是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點（異于A，B兩點），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．
【解析】（1）由題意得，，
由，
所以
（2）設，
聯立，，
設方程的兩根為，則，
由，所以，
聯立直線可得，
代入方程中，得，即，
故的面積.
因為在圓上，所以且，
于是，
顯然此式在上單調遞增，故，
也即，因此，
由題干知“囧邊形”面積，所以“囧邊形”面積的取值范圍為.
（3）由（2）知，,
設，過的切線，即，
過點切線交得，同理，
因為，
.
所以，即.
2．拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為
阿基米德三角形
對于拋物線給出如下三個條件：
①焦點為②準線為③與直線相交所得弦長為．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線的方程
(2)已知是中拋物線的阿基米德三角形，點是拋物線在弦兩端點處的兩條切線的交點，若直線經過點，試判斷點是否在一條定直線上如果是，求出定直線方程如果不是，請說明理由．
【解析】（1）即為，
若選①，拋物線方程為，
選②，由準線為知，，解得，所以拋物線方程為.
選③，代入，解得，所以弦長為，解得，
所以拋物線方程為.
（2）令，，，則，,
，,
即為，
又即，
同理，，
，
而過點即
點在直線上
3．在平面直角坐標系中，圓：外的點在軸的上半部分運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）若從點作曲線的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過定點.
【解析】（1）設，依題意，.
因為在圓外，所以到上點的最小距離為，
依題意得，即，
化簡得點的軌跡方程為（）
（2）已知直線的斜率一定存在.
不妨設直線的方程為.
聯立，整理得，其中，
設，，則，.①
由拋物線的方程可得：，∴.
∴過的拋物線的切線方程為，
又代入整理得：.
切線過，代入整理得：
同理可得.
∴，為方程的兩個根，
∴，.②
聯立①②，得，.
則直線的方程為，直線恒過定點.
4．（2024·內蒙古赤峰·二模）已知曲線上的任意一點到點的距離比到直線的距離少1，動點在直線上，過點作曲線的兩條切線，其中為切點.
（1）求曲線的方程；
（2）判斷直線是否能恒過定點？若能，求定點坐標；若不能，說明理由.
【解析】（1）曲線上的任意一點到點的距離比到直線的距離少1
得動點到點的距離與到直線：的距離相等
又由拋物線的定義可知，曲線為拋物線，焦點為，準線為：
曲線的方程為
（2）設點，，
由，即，
得.
拋物線在點處的切線的方程為
即.
，
，
點在切線上，
①，
同理②
綜合①、②得，點，的坐標都滿足方程
即直線：恒過拋物線焦點
5．已知曲線上的動點滿足到點的距離比到直線的距離小
．
（1）求曲線的方程；
（2）動點在直線上，過點分別作曲線的切線、，切點為、．
（ⅰ）求證：直線恒過一定點，并求出該定點的坐標；
（ⅱ）在直線上是否存在一點，使得為等邊三角形（點也在直線上）？若存在,求出點坐標,若不存在,請說明理由
【解析】（1）因為到點的距離與到直線的距離相等，故的軌跡為拋物線且方程為.
（2）（ⅰ）設點，則，
則曲線在處的切線方程為：即，
同理，曲線在處的切線方程為：，
由得到，因在直線上，所以即，
又，整理得到，
故直線恒過.
（ⅱ）設直線，由得到，故中點的橫坐標為，縱坐標為，，
設的中點為，的中垂線與的交點為，則，，
當時， ，
故時，，也滿足上式，
因為為等邊三角形，故，
即，
解得，故，
當時，，令，故得，故，
同理當時，，
綜上，.
6．已知動點P在x軸及其上方，且點P到點的距離比到x軸的距離大1.
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若點Q是直線上任意一點，過點Q作點P的軌跡C的兩切線QA QB，其中A B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標.
【解析】（1）設點，則，即
化簡得
∵∴.
∴點的軌跡方程為.
（2）對函數求導數.
設切點，則過該切點的切線的斜率為，
∴切線方程為.
即，
設點，由于切線經過點Q，
∴
設，則兩切線方程是，，
所以過兩點的直線方程是，
即
∴當，時，方程恒成立.
∴對任意實數t，直線恒過定點.
7．（2024·高三·全國·課后作業）設為拋物線：上的兩個動點，過分別作拋物線的切線，與軸分別交于兩點，且與相交于點，若．
（1）求點的軌跡方程；
（2）求證：的面積為一個定值，并求出這個定值．
【解析】（1）設，，，
，，
聯立，消去并整理得，
所以，得，
則，即，
同理可得，
在中，令，得，依題意可得，所以，則，
同理可得，
因為，所以，
聯立，解得，
所以，
所以.
所以點的軌跡方程為.
（2）證明：設直線的方程為．
聯立,消去，并整理得，
所以，，
點到直線的距離，
，
所以，
即的面積為定值2．
8．如圖所示，拋物線E：y2＝2px(p＞0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2.過劣弧AB上動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M.
(1)求p的值；
(2)求動點M的軌跡方程．
【解析】（1）由點A的橫坐標為2，可得點A的坐標為(2，2)，代入y2＝2px，解得p＝1.
（2）由（1）知拋物線E：y2＝2x，
設C，D，y1≠0，y2≠0.切線l1的斜率為k，則切線l1：y－y1＝k，
代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－＝0，
由Δ＝0，解得k＝，∴l1的方程為y＝x＋，
同理l2的方程為y＝x＋.
聯立解得
易知CD的方程為x0x＋y0y＝8，
其中x0，y0滿足＝8，x0∈[2，2 ]，
由得x0y2＋2y0y－16＝0，
則代入
可得M(x，y)滿足可得
代入＝8，并化簡，得－y2＝1.
考慮到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，
∴動點M的軌跡方程為－y2＝1，x∈[－4，－2]．
9．（2024·高三·陜西咸陽·期末）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同兩點，為拋物線上任意一點（與不重合），直線分別交拋物線的準線于點.
（Ⅰ）寫出焦點的坐標和準線的方程；
（Ⅱ）求證：.
【解析】（I）由拋物線方程知：焦點，準線為：
（II）設直線的方程為：
令，，
由消去得：，則.
直線方程為：
即
當時，
同理得：
，

10．（2024·江蘇·模擬預測）拋物級的焦點到直線的距離為2.
（1）求拋物線的方程；
（2）設直線交拋物線于，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證： .
【解析】（1）由題意知：，
則焦點到直線的距離為：，
所以拋物線的方程為：；
（2）證明：
把直線代入消得：，
又，
利用韋達定理得，
由題意設切線的斜率為，切線的斜率為，點坐標為，
由（1）可得：，
則，
所以，
則切線的方程為：，切線的方程為：，
則，
利用韋達定理化簡整理得：，
把代入整理得：
，
則，
，
則
11．設拋物線的焦點為，過的直線與交于，兩點．
(1)若，求的方程．
(2)以，為切點分別作拋物線的兩條切線，證明：兩條切線的交點一定在定直線上，且．
【解析】（1）由題意得，設直線的方程為，，，
聯立消元得，所以，．
因為，
由題設知，解得，所以的方程為．
（2）設與拋物線相切的切線方程為，
則化簡得．
由，可得．
將點坐標代入方程，可得，，
所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，
聯立方程組可得，，
所以交點在定直線上．
當時，顯然成立；
當時，，則，所以．
綜上所述，．
12．已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．
(1)求拋物線C的方程：
(2)當面積的最大值時，求點P的坐標．（O為坐標原點）
【解析】（1）因為準線方程為，所以，解得，
拋物線C的方程為．
（2）設，，則，
對求導可得，
故過M的切線方程為，即，
故，
故MP：，
同理可得NP：，
因為兩切線均經過，
所以
，均在直線上，
可知MN：，當得，，解得，
則MN與y軸的交點坐標為．
聯立，整理得，
由韋達定理，，，
則，
又因為在圓，則，
代入可得，
，
因為，所以，．
構造，，，
易知在上恒成立，故在上單調遞增，
當時，取得最小值，此時取到最大值，點P的坐標為．
13．已知拋物線與雙曲線有共同的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，拋物線的焦點為，
由雙曲線可得，
即可得，解得，
所以的方程為
（2）如圖所示，
設，則，
聯立方程組整理得，
所以，且，
所以
由，可得，則，
所以拋物線的過點的切線方程是，
將代入上式整理得，
同理可得拋物線的過點的切線方程為，
由解得，
所以，
所以到直線的距離，
所以的面積
，
當時，，
所以面積的最小值為.
14．（2024·河南·三模）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，圓經過拋物線的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，設的方程為，
因為圓經過拋物線的焦點，
所以，解得，
所以的方程為.
（2）如圖所示，
設，則，聯立方程組整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，則，所以拋物線的過點A的切線方程是，
將代入上式整理得，
同理可得拋物線的過點的切線方程為
由解得，所以，
所以到直線的距離，
所以的面積，
當時，，
因為，所以，
即當時，，所以面積的最小值為.
16．（2024·高三·浙江嘉興·期末）已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y軸的距離大.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.
【解析】（1）根據題意，拋物線上的任意一點到焦點的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義可知：，，拋物線C的方程為.
（2）設動點，切點，.
設過A的切線PA方程為，與拋物線方程聯立，
消去x整理得，，所以，
所以切線PA方程為，同理可得切線PB方程為，
聯立解得兩切線的交點，所以有.
因為，
又G在定直線，所以有，即P的軌跡為，
因為P在拋物線外，所以.
如圖，取AB中點Q，則，
所以，因為，
所以，所以，所以當時，.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破14 阿基米德三角形
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：定點問題 3
題型二：交點的軌跡問題 5
題型三：切線垂直問題 6
題型四：面積問題 7
題型五：外接圓問題 9
題型六：最值問題 10
題型七：角度相等問題 11
03 過關測試 13
如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．
1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．
2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．
3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．
4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．
5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．
6、點的坐標為；
7、底邊所在的直線方程為
8、的面積為．
9、若點的坐標為，則底邊的直線方程為．
10、如圖1，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.
11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．
12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
圖1
題型一：定點問題
【典例1-1】拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：給出如下三個條件：①焦點為；②準線為；③與直線相交所得弦長為2．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；
(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線C在弦AB兩端點處的兩條切線的交點，若點Q恰在此拋物線的準線上，試判斷直線AB是否過定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，請說明理由．
【典例1-2】（2024·山東濱州·一模）已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．
【變式1-1】（2024·廣東·模擬預測）已知動圓過點（0，1），且與直線：相切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)點一動點，過作曲線E兩條切線，，切點分別為，，且，直線與圓相交于，兩點，設點到直線距離為．是否存在點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【變式1-2】設點為拋物線：（）的動點，是拋物線的焦點，當時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)當在第一象限且時，過作斜率為，的兩條直線，，分別交拋物線于點，，且，證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標；
(3)是否存在定圓：，使得過曲線上任意一點作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點，時，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【變式1-3】（2024·河南·模擬預測）已知動點到直線的距離比到定點的距離大1.
（1）求動點的軌跡的方程.
（2）若為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，為的中點.
①求證：軸；
②直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.
題型二：交點的軌跡問題
【典例2-1】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；
(3)過（2）中的點的直線交拋物線于D，兩點，過點D，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．
【典例2-2】已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．
【變式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）在平面直角坐標系中，點滿足方程.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）作曲線關于軸對稱的曲線，記為，在曲線上任取一點，過點作曲線的切線，若切線與曲線交于、兩點，過點、分別作曲線的切線、，證明：、的交點必在曲線上.
【變式2-2】已知拋物線C：，過點的直線交拋物線交于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.
(1)設直線，的斜率分別為，，求證：；
(2)證明：點M在定直線上.
題型三：切線垂直問題
【典例3-1】已知拋物線的方程為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.
（1）若點坐標為，求切線的方程；
（2）若點是拋物線的準線上的任意一點，求證：切線和互相垂直.
【典例3-2】已知P是拋物線的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為．
(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；
(2)設直線的斜率分別為，求證：為定值．
【變式3-1】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點.
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)設點為拋物線準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中為切點.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【變式3-2】如圖，已知拋物線的焦點是，準線是，拋物線上任意一點到軸的距離比到準線的距離少2.
（1）寫出焦點的坐標和準線的方程；
（2）已知點，若過點的直線交拋物線于不同的兩點（均與不重合），直線分別交于點，求證：.
題型四：面積問題
【典例4-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的準線方程為，直線l與C交于A，B兩點，且（其中O為坐標原點），過點O作交AB于點D.
(1)求點D的軌跡E的方程；
(2)過C上一點作曲線E的兩條切線分別交y軸于點M，N，求面積的最小值.
【典例4-2】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知拋物線，點在拋物線上．
(1)證明：以R為切點的的切線的斜率為；
(2)過外一點A（不在x軸上）作的切線AB、AC，點B、C為切點，作平行于BC的切線（切點為D），點、分別是與AB、AC的交點（如圖）．
（i）若直線AD與BC的交點為E，證明：D是AE的中點；
（ii）設三角形△ABC面積為S，若將由過外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如．再由點、確定的切線三角形，，并依這樣的方法不斷作1，2，4，…，個切線三角形，證明：這些“切線三角形”的面積之和小于．
【變式4-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線：的焦點為，點是軸下方的一點，過點作的兩條切線，且分別交軸于兩點.
(1)求證：，，，四點共圓；
(2)過點作軸的垂線，兩直線分別交于兩點，求的面積的最小值.
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為的直線與圓：相切.
(1)求的方程；
(2)設，過點作的兩條切線，，切點分別為，，試求面積的取值范圍.
題型五：外接圓問題
【典例5-1】（2024·福建泉州·二模）已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，拋物線C上不同兩點A，B同時滿足下列三個條件中的兩個：①；②；③直線AB的方程為．
(1)請分析說明A，B滿足的是哪兩個條件？并求拋物線C的標準方程；
(2)若直線經過點，且與（1）的拋物線C交于A，B兩點，，若，求的值；
(3)點A，B，E為（1）中拋物線C上的不同三點，分別過點A，B，E作拋物線C的三條切線，且三條切線兩兩相交于M，N，P，求證：的外接圓過焦點F．
【典例5-2】已知拋物線C：，直線l：交于，兩點，當，時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)分別過點，作拋物線的切線，兩條切線交于點，且，分別交軸于，兩點，證明：的外接圓過定點．
【變式5-1】已知拋物線：，焦點為，過作軸的垂線，點在軸下方，過點作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點，，分別交于，兩點．
(1)若，與拋物線相切于，兩點，求點的坐標；
(2)證明：的外接圓過定點；
(3)求面積的最小值．
【變式5-2】設拋物線 的焦點為 ，點 在拋物線的準線上. 過點 作拋物線的兩條切線，切點分別為 . 已知拋物線上有一動點 ，位于點 之間. 若拋物線在點 處的切線與切線 相交于點 . 求證：
(1)直線 經過點 ;
(2)的外接圓過定點.
題型六：最值問題
【典例6-1】（2024·河南駐馬店·模擬預測）已知拋物線：的焦點為，點在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過上兩點分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點恰好在直線上．
（1）求的方程；
（2）設線段中點的縱坐標為，求證：當取得最小值時，．
【典例6-2】如圖已知是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，與軸分別交于.
（1）求證：直線過定點，并求出該定點；
（2）設直線與軸相交于點，記兩點到直線的距離分別為；求當取最大值時的面積.
【變式6-1】在直角坐標系中，已知拋物線，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，當在軸上時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)求點到直線距離的最大值.
【變式6-2】從拋物線的焦點發出的光經過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質被廣泛應用在生產生活中．如圖，已知拋物線，從點發出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點，經過拋物線兩次反射后，反射光線由G點射出，經過點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點E，過點E向圓M作兩條切線EA和EB，切點分別為A、B，求的取值范圍．
題型七：角度相等問題
【典例7-1】（2024·廣西·二模）已知拋物線，過點作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．
(1)證明：P在定直線上；
(2)若F為拋物線C的焦點，證明：．
【典例7-2】如圖所示，設拋物線C：的焦點為F，動點P在直線l：上運動，過P作拋物線C的兩條切線，，切點分別為A，B，求證：.
【變式7-1】已知，分別是橢圓的上、下焦點，直線過點且垂直于橢圓長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)若動點在直線上運動，且過點作軌跡的兩條切線、，切點為A、B，試猜想與的大小關系，并證明你的結論的正確性.
【變式7-2】（2024·廣東汕頭·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知圓與拋物線交于點M，N（異于原點O），MN恰為該圓的直徑，過點E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．
(1)求證：點P的縱坐標為定值；
(2)若F是拋物線C的焦點，證明：．
1．過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；
(2)利用題給的結論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；
(3)設是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點（異于A，B兩點），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．
2．拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形，對于拋物線給出如下三個條件：
①焦點為②準線為③與直線相交所得弦長為．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線的方程
(2)已知是中拋物線的阿基米德三角形，點是拋物線在弦兩端點處的兩條切線的交點，若直線經過點，試判斷點是否在一條定直線上如果是，求出定直線方程如果不是，請說明理由．
3．在平面直角坐標系中，圓：外的點在軸的上半部分運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）若從點作曲線的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過定點.
4．（2024·內蒙古赤峰·二模）已知曲線上的任意一點到點的距離比到直線的距離少1，動點在直線上，過點作曲線的兩條切線，其中為切點.
（1）求曲線的方程；
（2）判斷直線是否能恒過定點？若能，求定點坐標；若不能，說明理由.
5．已知曲線上的動點滿足到點的距離比到直線的距離小1．
（1）求曲線的方程；
（2）動點在直線上，過點分別作曲線的切線、，切點為、．
（ⅰ）求證：直線恒過一定點，并求出該定點的坐標；
（ⅱ）在直線上是否存在一點，使得為等邊三角形（點也在直線上）？若存在,求出點坐標,若不存在,請說明理由
6．已知動點P在x軸及其上方，且點P到點的距離比到x軸的距離大1.
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若點Q是直線上任意一點，過點Q作點P的軌跡C的兩切線QA QB，其中A B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標.
7．（2024·高三·全國·課后作業）設為拋物線：上的兩個動點，過分別作拋物線的切線，與軸分別交于兩點，且與相交于點，若．
（1）求點的軌跡方程；
（2）求證：的面積為一個定值，并求出這個定值．
8．如圖所示，拋物線E：y2＝2px(p＞0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2.過劣弧AB上動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M.
12．已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．
(1)求拋物線C的方程：
(2)當面積的最大值時，求點P的坐標．（O為坐標原點）
13．已知拋物線與雙曲線有共同的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
14．（2024·河南·三模）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，圓經過拋物線的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
15．（2024·云南·二模）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在y軸的正半軸上，直線l：經過拋物線C的焦點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線1與拋物線C相交于A B兩點，過A B兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線相交于點P.求面積的最小值.
16．（2024·高三·浙江嘉興·期末）已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y軸的距離大.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.
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