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重難點突破13 切線與切點弦問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：切線問題 3
題型二：切點弦過定點問題 10
題型三：利用切點弦結論解決定值問題 17
題型四：利用切點弦結論解決最值問題 25
題型五：利用切點弦結論解決范圍問題 32
03 過關測試 38
1、點在圓上，過點作圓的切線方程為．
2、點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
3、點在圓內，過點作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
4、點在圓上，過點作圓的切線方程為．
5、點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
6、點在圓內，過點作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為．
7、點在橢圓上，過點作橢圓的切線方程為．
8、點在橢圓外，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
9、點在橢圓內，過點作橢圓的弦（不過橢圓中心），分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
10、點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．
11、點在雙曲線外，過點作雙曲線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
12、點在雙曲線內，過點作雙曲線的弦（不過雙曲線中心），分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
13、點在拋物線上，過點作拋物線的切線方程為．
14、點在拋物線外，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
15、點在拋物線內，過點作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
題型一：切線問題
【典例1-1】已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為，，過上一點作的兩條漸近線的平行線，分別交軸于，兩點，且，內切圓的圓心到軸的距離為．
(1)求的標準方程；
(2)（ⅰ）設點為上一點，試判斷直線與C的位置關系，并說明理由；
（ⅱ）設過點的直線與交于，兩點（異于的兩頂點），在點，處的切線交于點，線段的中點為，證明：，，三點共線．
【解析】（1）如圖所示，
設，則，
不妨設直線的方程為，則直線的方程．
令，得，，
則．
設的內切圓（圓心為）分別與，，切于點，，，
則，
所以為的頂點，所以軸，的橫坐標為，所以，
故的標準方程為；
（2）（ⅰ）由，得，
結合，得，所以．
所以直線與相切．
（ⅱ）由題易得直線的斜率不為，
設直線的方程為，代入，
得，其中，
設，，則，，，
則，，
由（ⅰ），在點，處的切線方程分別為，．
兩式聯立，得，
，即，
所以，
故，，三點共線.
【典例1-2】（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率 為，直線與圓相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)橢圓方程，平面上有一點. 定義直線方程 是橢圓在點處的極線.
① 若在橢圓上，證明: 橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓 于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點. 證明: 三點共線.
【解析】（1）由已知，，則
所以直線 ，即 ，
該直線與圓 與相切，則，
所以解得，，
故橢圓的標準方程為
（2）① 由(1)得橢圓的方程是 .
因為在橢圓上，所以，即，
由定義可知橢圓在點 處的極線方程為 ，
當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線，
當時，極線方程為，即，
由，得，
所以，
所以處的極線就是過點的切線，
綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 設點，
由①可知，過點的切線方程為，
過點的切線方程為，
因為都過點，所以有，
則割線的方程為，
同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為，即，
又因為割線過點，代入割線方程得，即 ，
所以三點共線，都在直線上．
【變式1-1】在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比點到軸的距離大，設動點的軌跡為曲線，直線交曲線于兩點，是線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點．
(1)求曲線的方程；
(2)證明：曲線在點處的切線與平行；
(3)若曲線上存在關于直線對稱的兩點，求的取值范圍．
【解析】（1）設點,由；
（2）∵點在拋物線上，
∴，求導得，
在點的切線方程為，即，
②-①得，即，∴，則，
令方程為，代入得：，
點坐標為，以點為切點的切線斜率為，故曲線在處的切線與平行；
（3）若存在兩點關于直線對稱，則，
令中點，令方程為，由于在直線上，故有，
根據（2）結論可知，即，
故，
將直線與拋物線聯立得：
或．
【變式1-2】已知拋物線，焦點為.過拋物線外一點（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點，兩切線分別交軸于點.
(1)求的值；
(2)證明：
①是與的等比中項；
②平分.
【解析】（1）拋物線焦點，設點，
設拋物線的切線的方程分別為：
由整理得，，
由，
可得，同理，
則拋物線的切線的方程分別為：
則，，
則，
（2）①由（1）可得
，，
則，
，
則，故是與的等比中項；
②
，
則,又，則
故平分.
【變式1-3】（2024·江西·高三校聯考開學考試）已知拋物線，F為C的焦點，過點F的直線與C交于H，I兩點，且在H，I兩點處的切線交于點T．
(1)當的斜率為時，求；
(2)證明：．
【解析】（1）依題意，拋物線的焦點，準線方程，當l的斜率為時，l的方程為，
由，得，設，，則，
所以.
（2）依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為，
由消去y得，由（1），，
，，對求導，得，
切線的方程為，切線的方程為，
由，解得，即，
當時，，顯然；當時，直線的斜率為，因此，
所以.
題型二：切點弦過定點問題
【典例2-1】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線：.
(1)若點在：上，記G的幾何中心為點，則當取得最大值時，求點的坐標.
(2)已知動點、在C上，分別過、作拋物線的切線、，設和相交于點T，若點T恒在直線：上，求證：直線經過定點.
(3)將繞原點順時針旋轉90°得到，給定點，上有四點、、、，滿足，、均三點共線，且、都在x軸上方，設線段和的中點分別為T、S，試判斷：直線是否會經過一個定點？若會，請求出這個定點的坐標，若不會，請說明理由.
【解析】（1）由：可知，，
由，
故，
當且僅當、、三點共線且在、之間時，等號成立，
此時且點在直線上，
即有，即，則，
即；
（2）設，，，
由，則，
整理得，
則有，整理得，
同理可得，有，
即點、均在直線上，
即有，
即，則有，解得，
故直線經過定點，且該定點為；
（3）將繞原點順時針旋轉90°得到，
則點為拋物線焦點，
由，、均三點共線，
故、都經過，
設，，不妨設，
設，則，由，得，
故，，，，
所以，由，則同理可得．
若，則，直線過點，
若，則，直線過點．
綜上，直線過定點．
【典例2-2】已知曲線上的動點滿足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直線與交于兩點，過分別作的切線，若兩切線交于點，且點在直線上，證明：經過定點.
【解析】（1）因為，
所以曲線是以為焦點，以2為實軸長的雙曲線，
所以實半軸長，半焦距，虛半軸長，
所以曲線的方程為.
（2）由題知切線斜率均存在，所以設過點所作的切線分別為，
由題意知且，由得，
因為與相切，
所以，且，整理得.
此時可得，即.
同理.
由得.
直線的斜率為，
所以的方程為，
令，得，
即經過定點.
【變式2-1】（2024·青海海西·模擬預測）過直線上一個動點作拋物線的兩條切線，分別為切點，直線與軸分別交于兩點．
(1)證明：直線過定點，并求點的坐標；
(2)在（1）的條件下，為坐標原點，求的最大值．
【解析】（1）設的坐標分別為，點的坐標為，
由有，可得直線的方程分別為，
又由，直線的方程可化為，
同理直線的方程為，
又由點在直線上，有，
可得點都在直線上，整理為，
又由滿足方程，故直線過定點，定點的坐標為；
（2）直線的方程可化為，
聯立方程消去后整理為，
可得，
有
，
在直線的方程中，令，有，
可得，可得點的坐標為，
同理可得點的坐標為．
有，
有．
當時，令，有，
①當時，（當且僅當時取等號），
有；
②當時，（當且僅當時取等號），
有，有，有，可得．
由上知的最大值為．
【變式2-2】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知橢圓，直線，是直線上的動點，過作橢圓的切線，，切點分別為，
(1)當點坐標為時，求直線的方程；
(2)求證：當點在直線上運動時，直線恒過定點；
(3)是否存在點使得的重心恰好是橢圓的左頂點，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【解析】（1）
設，已知橢圓為，
由橢圓的切線方程，切線的方程為，
又點在該直線上，所以，
切線的方程為，
又點在該直線上，所以，
則點，都在直線上，即直線的方程是，
當點坐標為時，，
所以直線的方程是，即.
（2）由（1）知直線的方程是，
又點在直線上，所以，
得，代入的方程得，
即，所以，
解得，直線恒過定點.
（3）因為直線的方程是，所以，
代入得，
整理得，
因為的重心為，所以，，
所以，得，
解得，則，此時軸，成立，
所以點存在，坐標為.
【變式2-3】已知拋物線：過點，點B為直線上的動點，過點B向曲線C引兩條切線，切點分別為，，判斷直線是否過定點？若過定點，請求出此定點坐標，否則說明理由.
【解析】將代入可得，解得，故，
設，，
∵，∴，∴：
∵在直線上，∴，
整理有：，同理
∴，為的兩根，∴，
，
∵，又的中點
∴即，
∴過定點
題型三：利用切點弦結論解決定值問題
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）一般地，拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形，對應的三個切點形成的三角形稱為拋物線的切點三角形．如圖，，分別為拋物線的切線三角形和切點三角形，為該拋物線的焦點．當直線的斜率為時，中點的縱坐標為．
(1)求．
(2)若直線過點，直線分別與該拋物線的準線交于點，記點的縱坐標分別為，證明：為定值．
(3)若均不與坐標原點重合，證明：
【解析】（1）由題可知點均在該拋物線上，故設，，
由題意得當時，，
故，所以．
（2）由（1）得該拋物線的方程為，所以，準線為．
因為直線過點，所以與共線，
由題可知點在該拋物線上，故設，
則，，
所以，
因為，所以．
由題意知直線的斜率均存在且均不為，
易知直線的方程為，即，
令得，同理可得，
所以，
因為，所以，
所以為定值．
（3）由題意知拋物線在三點處的切線的斜率都存在且不為．
設拋物線在點處的切線方程為，
與聯立，消去并整理得，
由，解得．
所以拋物線在點處的切線方程為．
同理可得拋物線在點處的切線方程為，
在點處的切線方程為．
由，解得，所以，
同理可得，，
又，，，
所以．
由兩點間的距離公式得，
同理可得，，
所以
，
所以．
【典例3-2】（2024·四川內江·三模）已知拋物線E的準線方程為：，過焦點F的直線與拋物線E交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線E交于M、N兩點，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點.
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)證明：為定值.
【解析】（1）因為拋物線的準線為：，設，則，所以，
故拋物線E的標準方程為.
（2）易知拋物線E的焦點，
設直線AB的方程為，、，
聯立可得，
由韋達定理可得，，
接下來證明拋物線E在點A處的切線方程為，
聯立可得，即，即，
所以，直線與拋物線E只有唯一的公共點，
所以，AC的方程為，
同理可知，直線BD的方程為，
在直線AC的方程中，令，可得，即點，
同理可得點，所以，直線的方程為，即，
設點、，聯立，可得，
由韋達定理可得，，
所以，
同理可得，
所以
，
故為定值.
【變式3-1】已知，分別為橢圓：和雙曲線：的離心率．
(1)若，求的漸近線方程；
(2)過上的動點作的兩條切線，經過兩個切點的直線與的兩條漸近線圍成三角形的面積為S，試判斷S是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由題意得，，所以，
又，解得，故雙曲線的漸近線方程為，
（2）設兩個切點，，由題意知，斜率存在，
下證切線的方程為，
聯立，得，
因為，即，則上式可化為，
所以，
直線的方程為：，
所以切線：，同理切線方程為：，
由，過點可得，可得直線的方程為，
聯立，解得；
聯立，解得；
不妨設直線與雙曲線兩漸近線交于兩點為，，
則圍成三角形的面積
因P在雙曲線上，，則為定值．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的方程為，把該拋物線整體平移，使其頂點與坐標原點重合，平移后的拋物線記作．
(1)寫出平移過程，并求拋物線的標準方程；
(2)已知是拋物線的內接三角形（點在直線的下方），過作拋物線的切線交于點，再過作拋物線的切線分別交于點，記，的面積分別為，證明為定值．
【解析】（1）因為，
若使平移后的拋物線頂點與坐標原點重合，
只需把該拋物線上所有的點向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到，
所以拋物線的標準方程為．
（2）由（1）知，則．
設，互不相等，
因為，則直線，即，
同理，直線，
聯立方程組，解得，所以，
同理得，
則，，
則
，
同理得，，
則
，
所以，則，
所以為定值．
【變式3-3】已知圓有以下性質：①過圓上一點的圓的切線方程是．②若為圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為；③若不在坐標軸上的點為圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則垂直，即，且平分線段．
(1)類比上述有關結論，猜想過橢圓上一點的切線方程（不要求證明）；
(2)過橢圓外一點作兩直線，與橢圓相切于兩點，求過兩點的直線方程；
(3)若過橢圓外一點（不在坐標軸上）作兩直線，與橢圓相切與兩點，求證:為定值，且平分線段．
【解析】（1）過橢圓上一點的切線方程為．
（2）過橢圓外一點作兩直線，
與橢圓相切于兩點，設，
由（1）的結論可得處的切線方程為，處的切線方程為，
又兩切線都過，可得，
由過兩點確定一條直線可得，過的直線方程為．
（3）由（2）可得過的直線方程為，
可得，則；
由都在橢圓上，
可得，
相減可得，
設的中點為，可得，
則，又，
則得，
則過的中點，即平分線段．
題型四：利用切點弦結論解決最值問題
【典例4-1】如圖，拋物線：上異于坐標原點的兩不同動點、滿足.
(1)求證：直線過定點；
(2)過點，分別作拋物線的切線交于點，求的面積的最小值.
【解析】（1）證明：設直線的方程為，，，
與拋物線方程聯立
得，，
，，
，所以，
而，
代入得：，解得：或（舍去），
直線的方程為，必過定點.
（2）由拋物線的方程為,得:，所以,
:,:,
聯立方程
由（1）知:,.
解得，即.
點到直線的距離,
,
所以,
因,所以,
故當時,的面積取得最小值32.
【典例4-2】（2024·河北邢臺·二模）已知定點，軸于點H，F是直線OA上任意一點，軸于點D，于點E，OE與FD相交于點G．
(1)求點G的軌跡方程C；
(2)過的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率分別為和，證明：為定值；
(3)在直線上任取一點，過點B分別作曲線C：的兩條切線，切點分別為M和N，設的面積為S，求S的最小值.
【解析】（1）設，易知直線，則，因為三點共線，
則；
（2）設，過的直線為
與聯立得，則，
又，同理，
故；
（3）設，因為，所以，
所以處切線方程為方程為：，處切線方程為：，
整理得，和，
代入上述方程，得，，因此直線的方程為，
由，整理得，
易知，所以，，
所以
，
點到直線的距離為，
，
當且僅當時，取得最小值4．
【變式4-1】（2024·高三·重慶·期中）在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，是拋物線上位于軸兩側不對稱的兩動點，且．
(1)求證：直線恒過一定點，并求出該點坐標；
(2)若點為軸上一定點，且；
（ⅰ）求出點坐標；
（ⅱ）過點作平行于軸的直線，在上任取一點作拋物線的兩條切線，切點為，，求面積的最小值．
【解析】（1）證明：由題意知，所以，所以拋物線，
設，，由條件可設直線方程，
聯立，得，
則，，
由，得，因為，，
所以，解得或，
因為是拋物線上位于軸兩側不對稱的兩動點，所以，
所以，又，所以，
所以直線方程，
所以直線恒過一定點，且定點坐標為；
（2）（ⅰ）由小問（1）可知直線方程，，，
設軸上的定點，由，
得為的角平分線，即直線與直線關于軸對稱，
則，即，
所以，化簡可得，
因為位于軸兩側不對稱，所以，所以，
因為，所以，
所以點坐標為.
（ⅱ）設，，，，，
對求導得，，
則拋物線在的切線方程為，
同理拋物線在的切線方程為，
又切線過，所以，，
所以直線的方程為，即，
整理得，所以直線過定點，
點到的距離，
聯立方程，得，
，，，
所以弦長，
所以的面積，
所以當時，即時，
的面積的最小值為.
【變式4-2】已知橢圓的離心率為，且過點．拋物線的焦點坐標為．
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)若點是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為、，直線交橢圓于兩點．
①求證直線過定點，并求出該定點坐標；
②當的面積取最大值時，求直線的方程．
【解析】（1）由于橢圓的離心率，即，得，
所以設橢圓方程為，
因為橢圓過點，所以，得，
所以橢圓方程為，
因為拋物線的焦點坐標為，
所以，得，
所以拋物線方程為；
（2）①證明：由，得，則，
設，且滿足，
設，則切線的斜率為，
所以直線為，
因為，所以切線為，
同理可得切線的方程為，
因為切線同時過點，
所以，
所以可得直線的方程為，
因為，所以，
即，
由，得，
所以直線恒過定點
②作仿射變換
則過定點，過作軸于，于，
設與軸交于，令為，則
由，得，
所以，
因為，
所以
因為，
所以
，當且僅當時取等號，
此時，所以，
所以，化簡得，
解各或，
∴或，
或．
題型五：利用切點弦結論解決范圍問題
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·開學考試）經過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.
(1)求證：；
(2)求的面積的取值范圍.
（參考結論：點是橢圓外一點，過P作該橢圓的兩條切線，切點為A,B，則直線AB的方程為.）
【解析】（1）
證明：設點．
①當直線的斜率都存在時，
設過點與橢圓相切的直線方程為．
聯立，消去得．
．
令，整理得：．
設直線的斜率分別為．
∴．又．
∴．
∴，即為圓的直徑，
∴．
②當直線或的斜率不存在時，不妨設，
則直線的方程為．
∴點，點，也滿足．
綜上，有．
（2）設點，點．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為．
聯立，消去得，
．
令，整理得．
則．
∴直線的方程為．
化簡可得，即．
經驗證，當直線的斜率不存在時，
直線的方程為或，也滿足．
同理，可得直線的方程為．
∵在直線上，
∴，．
∴直線的方程為．
聯立，消去得．
∴，，
∴
．
又點到直線的距離．
，
令，．則．
又，
∴的面積的取值范圍為
【典例5-2】已知橢圓：和圓：，點是圓上的動點，過點作橢圓的切線，切點為A，B.
(1)若點的坐標為，證明：直線；
(2)求O到直線的距離的范圍.
【解析】（1）依題意，切線的斜率存在，設切線方程為，
由消去得，則，
設的方程兩根為，則，即直線的斜率有，
所以.
（2）設橢圓上點，當橢圓在點處的切線斜率存在時，設其方程為，
由消去得，
則，化簡得，
而，于是，即，
解得，直線的方程為，整理得，
當直線的斜率不存在時，點或，對應的切線方程分別為或，滿足上式，
因此橢圓上任意點處的切線的方程為，
則橢圓上點處的切線的方程為，
設點，顯然，由于直線，都過點，即，
顯然點的坐標都滿足方程，于是直線的方程為，
則原點O到直線的距離，而，
則當時，，當時，，
所以點O到直線的距離的取值范圍是.
【變式5-1】已知拋物線C：（p>0）的焦點為F，過F點且垂直x軸的直線l交拋物線C于M，N兩點，.
(1)求拋物線C的方程；
(2)圓Q：，點P在圓Q上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求面積的范圍.
【解析】（1）由題意知， 代入，解得＝1，
所以拋物線C的方程為
（2）設，
設切線方程為，
由得，，所以，
注意到，有，，
方程為，，所以，
則切線方程，，同理切線方程， 設，則有，，
所以AB方程為： 即
點到直線AB的距離
聯立 得
，，
，
所以，
令t= 又因為，
所以 ； ，
綜上的面積的范圍是．
【變式5-2】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線為，在點處的切線為，直線與直線交于點，當直線的傾斜角為時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)設線段的中點為，求的取值范圍．
【解析】（1）當的斜率為時，則，不妨設，
由可得，，所以，
,
即，因為，解得：．
從而拋物線的方程為
（2）由題意可知直線有斜率，
設直線，，
由可得，，則
所以，
于是，即
而
由，則，
于是拋物線在點處的切線的方程為
即
同理可得，在點處的切線的方程為
聯立 ，解得，于是 則
從而
所以，的取值范圍是
1．已知拋物線E：，過點的直線與E交于A，B兩點，設E在點A，B處的切線分別為和，與的交點為P．
(1)若點A的坐標為，求的面積（O為坐標原點）；
(2)證明：點P在定直線上．
【解析】（1）直線AB的斜率
直線AB的方程為，即
聯立方程，整理得：
設，則，
設直線AB與y軸的交點為D，則
（2）由，得
的方程為：，整理得：
同理可得的方程為：
設，聯立方程，解得
因為點T（1，2）在拋物線內部，可知直線AB的斜率存在，
設直線AB的方程為，與拋物線方程聯立得：
故，，
所以，，可得
所以點P在定直線上
2．在直角坐標系中，動圓經過點且與直線相切，記動圓圓心的軌跡為曲線C．直線y＝x＋b(其中b為非零常數)與曲線C交于兩點，設曲線C在點處的切線分別為和，已知和分別與軸交于點M，N．與的交點為T．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)求點T的橫坐標；
(3)已知與面積之比為5，求實數b的值．
【解析】（1）由題意分析可知C到點的距離等于C到與直線的距離，
故曲線C的軌跡為拋物線，且以為焦點，以為準線．
故曲線C的軌跡方程為.
（2）由得，設，，．
聯立直線和拋物線，消去y得，
則，，，得.
：，：，
聯立和，解得，，即.
故T點橫坐標為.
（3）：，令，得；
：，令，得．
.
設AB中點為H點，，將帶入得.
所以
，
所以.
已知且，解得或.
3．已知橢圓，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，且過點，點在上，且，在點處的切線交于兩點.
(1)求直線的方程（用含的式子表示）；
(2)若點，求面積的最大值.
【解析】（1）焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則雙曲線為等軸雙曲線，
設雙曲線方程為，由雙曲線過點，代入方程，
解得雙曲線，
點在上，有，
因為點在第一象限，所以可以將雙曲線變形為.
求導有，
當時，，所以的方程為：，
化簡有.
（2）設，有，
聯立 ，消去得，
有，，
，
點到直線的距離，
則，將代入，
有
當且僅當時取等號，故面積的最大值為.
4．（2024·高三·河北保定·開學考試）已知雙曲線的實軸長為4，離心率.
(1)求的方程；
(2)過上任意一點作圓的切線，求切線斜率最大時，與的漸近線圍成的三角形面積.
【解析】（1）由題意可得，又，
所以，則雙曲線的方程為.
（2）
設切線的方程為，則原點到的距離為1，
得，即.
由，得.
因為切線過上一點，
所以，方程有解.
得，化簡得，
又，解得，
所以切線斜率最大為，此時直線為.
不妨取切線方程為，
設與的漸近線交于，
則的漸近線方程與聯立得，，
則，得，
又原點到直線的距離為1，所以面積為，
即切線斜率最大時與的漸近線圍成的三角形面積為.
5．（2024·福建泉州·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為2，離心率為2，右焦點為，為上的一個動點，
(1)若點在雙曲線右支上，在軸的負半軸上是否存在定點．使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(2)過作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點、，證明：三點共線．
【解析】（1）根據題意，有，
所以雙曲線的方程為.
設，且，
①當直線的斜率存在時，即時，
因為，所以，
，
從而，化簡整理得，，
，所以在x軸負半軸上存在點使得；
②當直線的斜率不存在時，即時，
若，則，此時P點的坐標為，
所以，則，又，所以，此時，
綜上，滿足條件的M點存在，其坐標為.
（2）設，由題意得，雙曲線和圓相交，所以聯立兩曲線方程，得，即為兩曲線四個交點的坐標，
①當時，即時，直線PG的斜率不存在，直線PE的斜率為0，
此時易得，此時點E、G關于點O對稱，故E、O、G三點共線.
②當，且或，且時，
此時直線PE、PG的斜率存在且不為零，分別設為，
設經過的直線方程為，由于直線與圓相切，
所以，即
由韋達定理得，又，所以，
由直線PE與圓的位置關系可知，，
同理直線PG的方程為，有，
聯立，消去y并整理得，，
即，
即，
令，根據韋達定理得，所以
設，又，所以，
所以，又，
兩式相減得，，
由圖可知，，所以，即.
所以點E、G關于點O對稱，此時E、O、G三點共線，
綜上得，E、O、G三點共線.
6．（2024·遼寧·三模）設拋物線的方程為，為直線上任意一點；過點作拋物線的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B（A點在第一象限）．
(1)當M的坐標為時，求過M，A，B三點的圓的方程；
(2)求證：直線AB恒過定點；
(3)當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，說明理由；若不存在，也請說明理由．
【解析】（1）當M的坐標為時，設過點的切線方程為，
與聯立，得，整理得，
令，解得或，
分別代入方程得和，故得，，
同時可求得直線MA的方程為，直線MB的方程為，
進而可知，即直線MA與直線MB互相垂直，
則過M，A，B三點的圓的直徑為線段AB，
設該圓上任一點的坐標為，則，，
所以，
從而過M，A，B三點的圓的一般方程為．
（圓的標準方程：）．
（2）設切點分別為，，
過拋物線上點的切線方程為，
與聯立，整理得，
，所以，
又因為，從而過拋物線上點的切線方程為，
即，同理可得過點的切線為，
又切線MA，MB都過點，所以得，，
即點均滿足方程，
故直線AB的方程為．
設，其為直線上任意一點，
故對任意成立，從而直線AB恒過定點．
（3）由（2）知是方程的兩實根，
故有，又，，，
所以．
①當時，，直線上任意一點均有，為直角三角形；
②當時，，，不可能為直角三角形；
③當時，，，
因為，，
所以，
若，則，整理得，
又因為，所以．
因為方程有解的充要條件是，所以當時，有，（的情況同理），
所以為直角三角形．
綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，
當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；
當或時，不是直角三角形．
7．已知直線：和圓：.
(1)判斷直線和圓的位置關系，并求圓上任意一點到直線的最大距離；
(2)過直線上的點作圓的切線，切點為，求證：經過，，三點的圓與圓的公共弦必過定點，并求出該定點的坐標.
【解析】（1）圓:的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線的距離，
所以直線和圓相離；
因為直線和圓相離，如圖：
過圓心作直線的垂線，垂足為，
要使圓上任意一點到直線的距離最大，則是線段的延長線與圓的交點，
點到直線的最大距離為；
（2）因為點在直線上，可設，
過，，三點的圓即以為直徑的圓，
圓心為，半徑為，
所以圓的方程為，
整理得，
所以過，，三點的圓方程為：，
將方程與方程相減得兩圓的公共弦方程：，即，
由得，
所以該定點的坐標為.
8．已知點M是直線l: 上一動點，過點M作圓O:切線，切點分別為P，Q.
(1)當OM的值最小時，求切線方程;
(2)試問:直線PQ是否過定點 若過，求出該定點；若不過，請說明理由.
【解析】（1）
當時，OM的長最小，根據兩直線垂直斜率之積等于，可得直線的斜率為2；
此時可得直線OM的方程為，
聯立，得交點，
當切線斜率不存在時，切線方程為，符合題意；
當切線斜率存在時，設切線方程為，則有，解得，
所以切線方程為，
綜上所述，切線方程為和.
（2）
設，則，
因此，以M為圓心，MP為半徑的圓的方程為M：，
此時圓M與圓O的公共弦為PQ，
兩圓方程相減，得到圓M與圓O的公共弦為PQ的方程為，
即，由，得，
因此直線PQ過定點.
9．已知動點與定點的距離等于點到的距離，設動點的軌跡為曲線．橢圓的一個焦點與曲線的焦點相同，且長軸長是短軸長的倍．
(1)求與的標準方程；
(2)有心圓錐曲線（橢圓，圓，雙曲線）有下列結論：若為曲線上的點，過點作的切線，則切線的方程為．利用上述結論，解答問題：過作橢圓的切線（為切點），求的面積．
【解析】（1）由拋物線定義可知，曲線為拋物線，為拋物線的焦點，
則，所以的方程為；
由，即，又，
所以，故橢圓的標準方程.
（2）設，
由上述結論知，過點的橢圓的切線方程分別為，
因為在兩條切線上，所以，
即，
則點的坐標都滿足方程，
故直線的方程為，
聯立，得，解得，
所以，
而點到直線的距離，
所以.
10．設拋物線的方程為，點為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．
(1)當的坐標為時，求過，，三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；
(2)求證：直線恒過定點．
【解析】（1）當的坐標為時，設過點的切線方程為，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因為的中點，且,
從而過，，三點的圓的圓心為，半徑為，
故其方程為．
圓心坐標為，半徑為，圓與直線相切
（2）由已知得，求導得，切點分別為,，,，
故過點,的切線斜率為，從而切線方程為,即,
又切線過點,，所以得①,即,
同理可得過點,的切線為，
又切線過點,，所以得②即,
即點,,,均滿足,故直線的方程為,
又,為直線上任意一點，故對任意成立，
所以，，從而直線恒過定點,
11．已知點到直線：的距離和它到定點的距離之比為常數．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)若點是直線上一點，過作曲線的兩條切線分別切于點與點，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點處的切線為）
【解析】（1）設，則，化簡得：，
所以點M 的軌跡E的方程為.
（2）設，，，則切線為，切線為，
將點分別代入得，所以直線為，
點到的距離，當時，．
另一方面，聯立直線與得，
所以，則，
當時，．所以．
故時，最小值為.
12．如圖所示，已知橢圓，上頂點為A，過點A作圓的兩條切線分別與橢圓C相交于點B，D（不同于點A）．當r變化時，試問：直線BD是否過某個定點？若過某個定點，求出該定點；若不過某個定點，請說明理由．
【解析】設過點A的直線方程為，
因為直線與圓相切，所以由點到直線的距離公式得，
上式兩邊平方，化簡得，
設兩條切線AB，AD的斜率分別為，，則，
將橢圓向下平移1個單位得，即，
此時橢圓的上頂點，
設平移后的直線的方程為，，
與橢圓聯立得，
整理得，
兩邊同時除以，化簡得，
由韋達定理得，
即，
所以，解得，
故直線的方程為，直線恒過定點，
平移回原坐標系后，直線BD恒過定點．
13．已知圓，直線.
(1)若點P在直線l上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為，求證：過點的圓過定點，并求出所有定點的坐標；
(2)若點P在直線l上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為,求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標.
【解析】（1）是圓O的切線切點為
所以.
所以點在以為直徑的圓上，
點P在直線l上運動，所以設點，
則以為直徑的圓方程為：，
即：，
令，解得或
所以圓過定點和
（2）由（1）知，過的圓方程為：，
同時點在圓上，
所以直線AB即兩個圓的公共弦方程所在的直線方程，
兩個圓的方程相減得：，即兩個圓的公共弦方程所在的直線方程；
令，解得.
故直線過定點
14．（2024·高三·山東·開學考試）已知拋物線是上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，則稱三角形為拋物線的外切三角形．
(1)當點的坐標為為坐標原點，且時，求點的坐標；
(2)設外切三角形的垂心為，試判斷是否在定直線上，若是，求出該定直線；若不是，請說明理由；
(3)證明：三角形與外切三角形的面積之比為定值．
【解析】（1）由題意可知，即為，
求導得，則，由直線的點斜式化簡得切線的方程為
為切線與軸的交點，則點的坐標為．
（2）設，
由（1）易知，則拋物線在A點處的切線的方程為，
同理可得切線的方程為，
直線和直線聯立可得交點．
同理可得．
設垂心的坐標為，則．
由可知，
即．
同理可得．
兩式相減可得，即．
因此垂心在定直線上．
（3）易知，則直線的方程為，
化簡得
且，
點到直線的距離為
，
則三角形的面積．
由（2）知切線的方程為
可知，
點到直線的距離為
，
則外切三角形的面積．
故．
因此三角形與外切三角形的面積之比為定值2．
解法二：因為，所以
由（2）得
所以
所以．
15．已知點A，B是圓上的動點，且，直線PA，PB為圓的切線，當點A，B變動時，點P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點，斜率為k的直線與曲線交于點M，N，點Q為曲線上縱坐標最大的點，求證：直線MQ，NQ的斜率之和為定值．
【解析】（1）設，在中，PB為圓的切線，所以，
的面積為S，試判斷S是否為定值 若是，請求出該定值；若不是，說明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由題意得，所以，
解得，又，所以．
故雙曲線的漸近線方程為；
（ⅱ）證明：設直線AB的方程為，
由消元得：且，
故，故，
所以故，
又直線的方程為，
所以，同理，
所以
，
故．
（2）設兩個切點為，由題意知斜率存在，
直線方程為，
聯立，故，
由可得，
整理得到：，
故，故，所以，
同理直線方程為，
由過P點可得可得直線的方程為，
不妨設直線與x軸交于點，與兩條漸近線的交點分別為，，
由可得；同理
則圍成三角形的面積為：
，
因P在雙曲線上，，則為定值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破13 切線與切點弦問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：切線問題 3
題型二：切點弦過定點問題 5
題型三：利用切點弦結論解決定值問題 6
題型四：利用切點弦結論解決最值問題 9
題型五：利用切點弦結論解決范圍問題 10
03 過關測試 12
1、點在圓上，過點作圓的切線方程為．
2、點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
3、點在圓內，過點作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
4、點在圓上，過點作圓的切線方程為．
5、點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
6、點在圓內，過點作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為．
7、點在橢圓上，過點作橢圓的切線方程為．
8、點在橢圓外，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
9、點在橢圓內，過點作橢圓的弦（不過橢圓中心），分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
10、點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．
11、點在雙曲線外，過點作雙曲線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
12、點在雙曲線內，過點作雙曲線的弦（不過雙曲線中心），分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
13、點在拋物線上，過點作拋物線的切線方程為．
14、點在拋物線外，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．
15、點在拋物線內，過點作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．
題型一：切線問題
【典例1-1】已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為，，過上一點作的兩條漸近線的平行線，分別交軸于，兩點，且，內切圓的圓心到軸的距離為．
(1)求的標準方程；
(2)（ⅰ）設點為上一點，試判斷直線與C的位置關系，并說明理由；
（ⅱ）設過點的直線與交于，兩點（異于的兩頂點），在點，處的切線交于點，線段的中點為，證明：，，三點共線．
【典例1-2】（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率 為，直線與圓相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)橢圓方程，平面上有一點. 定義直線方程 是橢圓在點處的極線.
① 若在橢圓上，證明: 橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓 于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點. 證明: 三點共線.
【變式1-1】在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比點到軸的距離大，設動點的軌跡為曲線，直線交曲線于兩點，是線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點．
(1)求曲線的方程；
(2)證明：曲線在點處的切線與平行；
(3)若曲線上存在關于直線對稱的兩點，求的取值范圍．
【變式1-2】已知拋物線，焦點為.過拋物線外一點（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點，兩切線分別交軸于點.
(1)求的值；
(2)證明：
①是與的等比中項；
②平分.
【變式1-3】（2024·江西·高三校聯考開學考試）已知拋物線，F為C的焦點，過點F的直線與C交于H，I兩點，且在H，I兩點處的切線交于點T．
(1)當的斜率為時，求；
(2)證明：．
題型二：切點弦過定點問題
【典例2-1】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線：.
(1)若點在：上，記G的幾何中心為點，則當取得最大值時，求點的坐標.
(2)已知動點、在C上，分別過、作拋物線的切線、，設和相交于點T，若點T恒在直線：上，求證：直線經過定點.
(3)將繞原點順時針旋轉90°得到，給定點，上有四點、、、，滿足，、均三點共線，且、都在x軸上方，設線段和的中點分別為T、S，試判斷：直線是否會經過一個定點？若會，請求出這個定點的坐標，若不會，請說明理由.
【典例2-2】已知曲線上的動點滿足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直線與交于兩點，過分別作的切線，若兩切線交于點，且點在直線上，證明：經過定點.
【變式2-1】（2024·青海海西·模擬預測）過直線上一個動點作拋物線的兩條切線，分別為切點，直線與軸分別交于兩點．
(1)證明：直線過定點，并求點的坐標；
(2)在（1）的條件下，為坐標原點，求的最大值．
【變式2-2】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知橢圓，直線，是直線上的動點，過作橢圓的切線，，切點分別為，
(1)當點坐標為時，求直線的方程；
(2)求證：當點在直線上運動時，直線恒過定點；
(3)是否存在點使得的重心恰好是橢圓的左頂點，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【變式2-3】已知拋物線：過點，點B為直線上的動點，過點B向曲線C引兩條切線，切點分別為，，判斷直線是否過定點？若過定點，請求出此定點坐標，否則說明理由.
題型三：利用切點弦結論解決定值問題
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）一般地，拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形，對應的三個切點形成的三角形稱為拋物線的切點三角形．如圖，，分別為拋物線的切線三角形和切點三角形，為該拋物線的焦點．當直線的斜率為時，中點的縱坐標為．
(1)求．
(2)若直線過點，直線分別與該拋物線的準線交于點，記點的縱坐標分別為，證明：為定值．
(3)若均不與坐標原點重合，證明：
【典例3-2】（2024·四川內江·三模）已知拋物線E的準線方程為：，過焦點F的直線與拋物線E交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線E交于M、N兩點，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點.
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)證明：為定值.
【變式3-1】已知，分別為橢圓：和雙曲線：的離心率．
(1)若，求的漸近線方程；
(2)過上的動點作的兩條切線，經過兩個切點的直線與的兩條漸近線圍成三角形的面積為S，試判斷S是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的方程為，把該拋物線整體平移，使其頂點與坐標原點重合，平移后的拋物線記作．
(1)寫出平移過程，并求拋物線的標準方程；
(2)已知是拋物線的內接三角形（點在直線的下方），過作拋物線的切線交于點，再過作拋物線的切線分別交于點，記，的面積分別為，證明為定值．
【變式3-3】已知圓有以下性質：①過圓上一點的圓的切線方程是．②若為圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為；③若不在坐標軸上的點為圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則垂直，即，且平分線段．
(1)類比上述有關結論，猜想過橢圓上一點的切線方程（不要求證明）；
(2)過橢圓外一點作兩直線，與橢圓相切于兩點，求過兩點的直線方程；
(3)若過橢圓外一點（不在坐標軸上）作兩直線，與橢圓相切與兩點，求證:為定值，且平分線段．
題型四：利用切點弦結論解決最值問題
【典例4-1】如圖，拋物線：上異于坐標原點的兩不同動點、滿足.
(1)求證：直線過定點；
(2)過點，分別作拋物線的切線交于點，求的面積的最小值.
【典例4-2】（2024·河北邢臺·二模）已知定點，軸于點H，F是直線OA上任意一點，軸于點D，于點E，OE與FD相交于點G．
(1)求點G的軌跡方程C；
(2)過的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率分別為和，證明：為定值；
(3)在直線上任取一點，過點B分別作曲線C：的兩條切線，切點分別為M和N，設的面積為S，求S的最小值.
【變式4-1】（2024·高三·重慶·期中）在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，是拋物線上位于軸兩側不對稱的兩動點，且．
(1)求證：直線恒過一定點，并求出該點坐標；
(2)若點為軸上一定點，且；
（ⅰ）求出點坐標；
（ⅱ）過點作平行于軸的直線，在上任取一點作拋物線的兩條切線，切點為，，求面積的最小值．
【變式4-2】已知橢圓的離心率為，且過點．拋物線的焦點坐標為．
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)若點是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為、，直線交橢圓于兩點．
①求證直線過定點，并求出該定點坐標；
②當的面積取最大值時，求直線的方程．
題型五：利用切點弦結論解決范圍問題
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·開學考試）經過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.
(1)求證：；
(2)求的面積的取值范圍.
（參考結論：點是橢圓外一點，過P作該橢圓的兩條切線，切點為A,B，則直線AB的方程為.）
【典例5-2】已知橢圓：和圓：，點是圓上的動點，過點作橢圓的切線，切點為A，B.
(1)若點的坐標為，證明：直線；
(2)求O到直線的距離的范圍.
【變式5-1】已知拋物線C：（p>0）的焦點為F，過F點且垂直x軸的直線l交拋物線C于M，N兩點，.
(1)求拋物線C的方程；
(2)圓Q：，點P在圓Q上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求面積的范圍.
【變式5-2】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線為，在點處的切線為，直線與直線交于點，當直線的傾斜角為時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)設線段的中點為，求的取值范圍．
1．已知拋物線E：，過點的直線與E交于A，B兩點，設E在點A，B處的切線分別為和，與的交點為P．
(1)若點A的坐標為，求的面積（O為坐標原點）；
(2)證明：點P在定直線上．
2．在直角坐標系中，動圓經過點且與直線相切，記動圓圓心的軌跡為曲線C．直線y＝x＋b(其中b為非零常數)與曲線C交于兩點，設曲線C在點處的切線分別為和，已知和分別與軸交于點M，N．與的交點為T．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)求點T的橫坐標；
(3)已知與面積之比為5，求實數b的值．
3．已知橢圓，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，且過點，點在上，且，在點處的切線交于兩點.
(1)求直線的方程（用含的式子表示）；
(2)若點，求面積的最大值.
4．（2024·高三·河北保定·開學考試）已知雙曲線的實軸長為4，離心率.
(1)求的方程；
(2)過上任意一點作圓的切線，求切線斜率最大時，與的漸近線圍成的三角形面積.
5．（2024·福建泉州·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為2，離心率為2，右焦點為，為上的一個動點，
(1)若點在雙曲線右支上，在軸的負半軸上是否存在定點．使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(2)過作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點、，證明：三點共線．
6．（2024·遼寧·三模）設拋物線的方程為，為直線上任意一點；過點作拋物線的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B（A點在第一象限）．
(1)當M的坐標為時，求過M，A，B三點的圓的方程；
(2)求證：直線AB恒過定點；
(3)當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，說明理由；若不存在，也請說明理由．
7．已知直線：和圓：.
(1)判斷直線和圓的位置關系，并求圓上任意一點到直線的最大距離；
(2)過直線上的點作圓的切線，切點為，求證：經過，，三點的圓與圓的公共弦必過定點，并求出該定點的坐標.
12．如圖所示，已知橢圓，上頂點為A，過點A作圓的兩條切線分別與橢圓C相交于點B，D（不同于點A）．當r變化時，試問：直線BD是否過某個定點？若過某個定點，求出該定點；若不過某個定點，請說明理由．
13．已知圓，直線.
(1)若點P在直線l上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為，求證：過點的圓過定點，并求出所有定點的坐標；
(2)若點P在直線l上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為,求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標.
14．（2024·高三·山東·開學考試）已知拋物線是上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點，則稱三角形為拋物線的外切三角形．
(1)當點的坐標為為坐標原點，且時，求點的坐標；
(2)設外切三角形的垂心為，試判斷是否在定直線上，若是，求出該定直線；若不是，請說明理由；
(3)證明：三角形與外切三角形的面積之比為定值．
15．已知點A，B是圓上的動點，且，直線PA，PB為圓的切線，當點A，B變動時，點P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點，斜率為k的直線與曲線交于點M，N，點Q為曲線上縱坐標最大的點，求證：直線MQ，NQ的斜率之和為定值．
16．已知橢圓，分別為雙曲線的左，右頂點，分別為和的離心率．
(1)若．
（ⅰ）求的漸近線方程；
（ⅱ）過點的直線l交的右支于兩點，與直線交于兩點，記坐標分別為，求證：；
(2)從上的動點引的兩條切線，經過兩個切點的直線與的兩條漸近線圍成三角形的面積為S，試判斷S是否為定值 若是，請求出該定值；若不是，說明理由．
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