資源簡介

重難點突破12 雙切線問題的探究
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：定值問題 2
題型二：斜率問題 7
題型三：交點弦過定點問題 13
題型四：交點弦定值問題 19
題型五：交點弦最值問題 27
題型六：交點弦范圍問題 31
題型七：“筷子夾湯圓”問題 38
03 過關測試 47
雙切線問題，就是過一點做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構法.
解題思路：
①根據曲線外一點設出切線方程．
②和曲線方程聯立，求出判別式．
③整理出關于雙切線斜率的同構方程．
④寫出關于的韋達定理，并解題．
題型一：定值問題
【典例1-1】已知直線與拋物線：交于，兩點．是線段的中點，點在直線上，且垂直于軸．
(1)求證：的中點在上；
(2)設點在拋物線：上，，是的兩條切線，，是切點．若，且位于軸兩側，求證：．
【解析】（1）設，
聯立，消去得，
則，
所以
所以，則，
所以的中點坐標為，滿足，
故的中點在上；
（2）由（1）得，設直線的方程為，即，
聯立，消去得，解得或，
又位于軸兩側，故，
設點在拋物線上，又對于：有，所以
則在點處的切線方程為，
整理得，設，，
則在與處的切線方程分別為與，又兩條切線都過點，
則，，
則直線的方程為，即，
又，則點在直線上.
由（1）知，而，
則.
而
.
聯立，消去得，
則，，
則.
所以.
【典例1-2】（2024·安徽·模擬預測）已知橢圓的一條準線的方程為，點分別為橢圓的左、右頂點，長軸長與焦距之差為2．
(1)求的標準方程；
(2)過上任一點作的兩條切線，切點分別為，當四邊形的面積最大時，求的正切值．
【解析】（1）由題意得，解得所以，
所以的標準方程為．
（2）如圖，取上任意一點，設，
當位于點處時，切線與軸垂直，不合題意，故．
設切線的方程為①，
聯立
整理得，
由，得．
因為在上，所以，
故，
代入①式，整理得，同理得切線的方程為．
因為兩條切線都經過，所以，
所以直線的方程為．
聯立整理得，
所以②．顯然與異號．
由題意知，所以．
設，則，
將②式代入并整理，得．
因為，所以易知在上單調遞增，所以當時，有最小值，即有最大值，為36．所以當時，四邊形的面積最大，最大面積為6．
此時直線的方程為，故直線與軸垂直．
設與的交點為，顯然是橢圓的右焦點，
所以，
所以，
所以．
【變式1-1】（2024·云南·模擬預測）已知橢圓的離心率為，上 下頂點與其中一個焦點圍成的三角形面積為，過點作橢圓的兩條切線，切點為.
(1)求橢圓的方程；
(2)求所在直線的方程；
(3)過點作直線交橢圓于兩點，交直線于點，求的值.
【解析】（1）由題意可知：①
又，所以②，
由①②及，所以，
所以橢圓的方程為：.
（2）先證：過橢圓上一點的切線方程為，
證明如下：當過橢圓上一點的切線斜率存在時，
設切線方程為，
則可得：，
因為直線與橢圓相切，所以，
化簡可得：，
所以，代入可得：
，
于是，
故切線方程為：，即，
又，故切線的方程為：，
當過橢圓上一點的切線斜率不存在時，切線方程為，滿足題意.
所以過橢圓上一點的切線方程為，
故切線的方程為：，
同理：切線的方程為：，又因為過點，
所以，，
所以：，故直線的方程為.
（3）由題意可知直線的斜率存在，且，設直線的方程為：，
聯立橢圓的方程，
得，
令，
所以.
令，解方程組得.
又
，
所以.
題型二：斜率問題
【典例2-1】如圖，點為拋物線外任意一點，過點作拋物線兩條切線分別切于兩點，的中點為，直線交拋物線于點．
(1)證明：（為直線在軸上的截距），且直線方程為；
(2)設點處的切線，求證．
【解析】（1）∵點在拋物線上，
∴，
由，得，所以；
所以在點的切線方程為，
即，
②-①得：，即，
∴，
將點代入切線方程得：，
令方程為，代入得：，
由，得，
∴，，
∴，
∴直線過定點，
故方程為；
（2）由（1）知，所以，
因為點坐標為，所以以點為切點的切線斜率為，
故．
【典例2-2】已知P是拋物線的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為．
(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；
(2)設直線的斜率分別為，求證：為定值．
【解析】（1）
由拋物線C的方程為，則其準線方程為
由于點P的縱坐標為0，所以點P為，過P作拋物線C的切線，由題意知斜率存在且不為0，設其斜率為k則切線方程為
聯立
由于直線與拋物線C相切，可知，即
此時拋物線C的兩條切線方程分別為和.
（2）
點P在拋物線C的準線上，設
由題意知過點P作拋物線C的切線，斜率存在且不為0，
設其斜率為k則切線方程為
聯立
由于直線與拋物線C相切，可知，即
而拋物線C的兩條切線的斜率，即為方程的兩根
故.
【變式2-1】（2024·高三·浙江·期中）已知雙曲線：（，）過點，且離心率為2，，為雙曲線的上、下焦點，雙曲線在點處的切線與圓：（）交于A，B兩點.
(1)求的面積；
(2)點為圓上一動點，過能作雙曲線的兩條切線，設切點分別為，，記直線和的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）
∵，∴，∴
設過曲線上一點的切線的方程為：，
由可得，
則，即.
又因為切點為Q，所以，所以解得，
則過點的切線的方程為：.
設，，
∴交軸于點，聯立直線與圓的方程
消得，∴，.
∴，
∴.
（2）
設，，，則
設過點的雙曲線的切線方程為：，
由（1）可知，
又因為，則，即（*）
而，所以，，
則（*）式可化為，即
可得，，則切線方程為，
整理可得過點M的雙曲線的切線方程為.
同理可得過點的雙曲線的切線方程為.
又兩切線均過點，則，
因此，直線的方程為
聯立直線與雙曲線的方程，
消可得，故
所以
因為，則，則
所以.
【變式2-2】在平面直角坐標系中，點到點與到直線的距離之比為，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若點是圓上的一點（不在坐標軸上），過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記直線的斜率分別為，且，求直線的方程.
【解析】（1）根據題意可得，即，
整理可得，
因此曲線的方程為；
（2）如下圖所示：
設，則，
又點不在坐標軸上，所以且；
因此直線的方程為，直線的方程為，
又直線與橢圓相切與點，
聯立整理可得
可得，即，
整理可得，
又，可得；
直線與橢圓相切與點，同理可得，
所以是關于的一元二次方程的兩個不同的實數根，
因此，
再由可得，即；
所以直線的斜率為，
因此直線的方程為.
題型三：交點弦過定點問題
【典例3-1】在平面直角坐標系中，動點到的距離等于到直線的距離.
(1)求M的軌跡方程；
(2)P為不在x軸上的動點，過點作（1）中的軌跡的兩條切線，切點為A，B；直線AB與PO垂直(O為坐標原點)，與x軸的交點為R，與PO的交點為Q；
（?。┣笞C：R是一個定點；
（ⅱ）求的最小值.
【解析】（1）因為動點到的距離等于到直線的距離，所以M的軌跡為開口向右的拋物線，
又因為焦點為，所以軌跡方程為.
（2）（ⅰ）證明：設點，
設以為切點的切線方程為，
聯立拋物線方程,可得，由，得，
所以切線AP：，同理切線BP：
點P在兩條切線上，則，
由于均滿足方程，故此為直線AB的方程，
由于垂直即，則，
所以直線AB的方程，恒過；
（ⅱ）由（?。┲瑒t，直線
聯立直線AB與直線OP的方程得，
因此，時取等號.
即的最小值是.
【典例3-2】（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.
(1)求E的方程；
(2)直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標.
【解析】（1）
由已知，，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，
設的方程為，,
聯立，得，則，
則，
所以，
解得，
故拋物線E的方程為：.
（2）設直線的方程為，，，
聯立，得，
，即，
所以，，
令，當時，
可化為，則，
則在處的切線的方程為：，
即，
同理可得切線的方程為：，
聯立與的方程，解得，
所以，則，滿足，
則直線的方程為，
所以直線過定點，該定點坐標為.
【變式3-1】已知拋物線，直線與交于，兩點，且．
(1)求的值；
(2)過點作的兩條切線，切點分別為，，證明：直線過定點；
(3)直線過的焦點，與交于，兩點，在，兩點處的切線相交于點，設，當時，求面積的最小值．
【解析】（1）將代入中得，
故，解得；
（2）由（1）知拋物線，令，可得，
由求導可得，
設，
則直線的方程分別為，
將代入上面兩個方程得，結合
整理得，
所以是方程的兩根，所以，
而直線的方程為，
即，
即，
則直線過定點；
（3）由題意得，直線的斜率不為0，
設直線，
聯立得，得，則，
聯立，解得，故，即，
由，得，結合根與系數的關系可知，
從而，所以，
而，故，
由于在時為增函數，
因此當時，的面積取得最小值.
【變式3-2】已知橢圓E：的長軸為雙曲線的實軸，且離心率為.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)已知橢圓在其上一點處的切線方程為.過直線上任意一點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B.M為橢圓的左頂點.
①證明：直線過定點；
②求面積的最大值.
【解析】（1）由條件可知，
，則，
則橢圓的標準方程為.
（2）①設切點，，，又橢圓E在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程，
由條件，將點坐標代入直線PA的方程得，代入直線PB的方程得，
則A、B兩點都在直線上，
則切點弦AB直線方程為，
直線AB過定點.
②，設直線過定點為，
顯然直線不可能水平，故設直線方程為：，
，
，
因為直線恒過橢圓內點，所以恒成立，
，，
，
令，
，
當，為減函數，
所以當時，最大值為.
題型四：交點弦定值問題
【典例4-1】（2024·河北·三模）已知橢圓：的離心率為，是橢圓的短軸的一個頂點．
(1)求橢圓的方程．
(2)設圓：，過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別為，．設兩切線的斜率均存在，分別為，，問：是否為定值？若不是，說明理由；若是，求出定值．
【解析】（1）由題意得，又，
解得，故橢圓方程為；
（2）是，，理由如下：
設，當時，此時兩切線中的一條切線斜率不存在，舍去，
故，，
設過點與橢圓相切的直線為，
與聯立得，
由得，，
整理得，
過點與橢圓相切的兩直線斜率分別為，，
所以
【典例4-2】（2024·江蘇·一模）已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，直線l：與x軸交于點M，且，
(1)求C的方程；
(2)B為l上的動點，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點P，Q，
①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數列；
②⊙N經過B，P，Q三點，是否存在點B，使得，？若存在，求；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由右焦點為，得，
因為，所以，
若，則，得，無解，
若，則，得，所以，因此C的方程.
（2）設，易知過B且與C相切的直線斜率存在，
設為，
聯立，消去y得，
由，得，
設兩條切線BP，BQ的斜率分別為，，則，.
①設BF的斜率為，則，
因為，所以BP，BF，BQ的斜率成等差數列，
②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以PQ的中垂線為，
易得BP中點為，所以BP的中垂線為，
聯立，解得，
所以，，
要使，即，整理得，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合題意的點B，使得，此時.
法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以PQ的中垂線為，
因為BP中點為，所以BP的中垂線為，
聯立，解得，
要使，則，所以，即，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合題意的點B，使得，此時.
法3：要使，即或，
從而，又，所以，
因為，
所以，解得，，所以，
故存在符合題意的點B，使得，此時.
法4：要使，即或，
從而，
在中，令，得，故，
同理可得，
因此，，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合題意的點B，使得，此時.
法5：要使，即或，
在中，令，得，故，
同理可得，
由等面積法得，
即，整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合題意的點B，使得，此時.
【變式4-1】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；
(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．
【解析】（1）設拋物線的方程為，
∵拋物線的焦點到直線的距離為，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴拋物線的方程為．
（2）設，，設切點為，曲線，，
則切線的斜率為，化簡得，
設，，，則，是以上方程的兩根，
則，，
，
直線的方程為：，整理得，
∵切線的方程為，整理得，且點，在切線上，
∴，即直線的方程為：，化簡得，
又∵，∴，
故直線過定點．
（3）設，，，
過的切線，過的切線，
則交點，
設過點的直線為，
聯立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴點滿足的軌跡方程為．
【變式4-2】如圖，設拋物線方程為 (p＞0)，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（1）求直線AB與軸的交點坐標；
（2）若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在E點處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請說明理由.
【解析】（1）設，，拋物線方程可變為，
所以，所以，，
直線的方程為，直線方程為，
則解得，，
又，所以直線的方程為，
化簡得， 令，，
又， 所以，
所以直線AB與軸的交點坐標為.
（2）記，設點，
可得直線的方程為，
由可得，同理，
所以
，
所以，同理，
所以，
設，記，則，，，，，
于是，
所以
，
所以.
題型五：交點弦最值問題
【典例5-1】已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線E上，且到原點的距離為.過拋物線焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，分別在點A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點.
(1)證明：點P在一條定直線上；
(2)求的面積最小值．
【解析】（1）由題意可得:，解得：，所以拋物線的方程為；
由拋物線焦點，易知直線l的斜率存在，則設直線l的方程為．
由，消去y并整理，得．．
設，，則，．
對求導，得，∴直線的斜率，則直線AP的方程為，即．
同理得直線的方程為．
設點，聯立直線與的方程，，即．
即點P在直線上；
（2）由，
點P到直線的距離，
得的面積，當且僅當時等號成立．
所以面積的最小值為16，此時直線l的方程為．
【典例5-2】已知拋物線，動圓，為拋物線上一動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為.
(1)若求的最小值；
(2)若過圓心作拋物線的兩條切線，切點分別為.
（Ⅰ）求證：直線過定點；
（Ⅱ）若線段的中點為，連交拋物線于點，記的面積為，求的表達式及其最小值.
【解析】（1）由題意
當且僅當最小時，最小.
設，又，
所以
記為，則，
在上單調遞減；
在上單調遞增.
時有最小值，此時，且，
所以最小值為.
（2）由已知，設
（Ⅰ），所以切線，
切線過，所以，
同理，所以直線過兩點.
所以直線方程為過定點.
（Ⅱ）聯立，得，
，
，而，
軸，點橫坐標，
，
即，且，當且僅當時成立.
綜上的最小值為.
【變式5-1】（2024·山東臨沂·一模）動圓與圓和圓都內切，記動圓圓心的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點處的切線方程為：，試運用該性質解決以下問題：點為直線上一點（不在軸上），過點作的兩條切線，切點分別為.
（i）證明：直線過定點；
（ii）點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，設的面積分別為，求的最大值.
【解析】（1）設動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，
因為與，都內切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，
設的方程為：，
則，，所以，
故的方程為：.
（2）（i）證明：設，，，
由題意中的性質可得，切線方程為，
切線方程為，
因為兩條切線都經過點，所以，，
故直線的方程為：，顯然當時，，
故直線經過定點.
（ii）設直線的方程為：，
聯立，整理得，
由韋達定理得，
又，所以直線的方程為，
令得，
，
所以直線經過定點，又，
所以
，
所以，當且僅當時，即時取等號.
題型六：交點弦范圍問題
【典例6-1】設拋物線的焦點為為上一點．已知點的縱坐標為，且點到焦點的距離是．點為圓上的點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，記兩切線的斜率分別為．
(1)求拋物線的方程；
(2)若點的坐標為，求值；
(3)設直線與軸分別交于點，求的取值范圍．
【解析】（1）將代入中，得，所以，
由題意可知，，
因為點到焦點的距離是，
所以,解得，
故拋物線的方程為.
（2）設切線方程為，
由，消去，得，
因為切線與拋物線有一個交點，
所以，得，
所以.
（3）設，設直線的方程為，
，消去，得，
因為直線與拋物線有一個交點，
，解得，
所以直線的方程為，令，則，，
同理直線的方程為,令，則，，
設代入，得，則直線的方程為，
由，消去，得，
所以，
所以，，
所以
又在圓上，
所以，即，
故.
綜上可知，的取值范圍為.
【典例6-2】如圖，設拋物線的焦點為F，點P是半橢圓上的一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點M、N．
（1）證明：；
（2）求的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，直線PA的斜率存在且不為0，設點P的坐標為，
直線PA方程為．
令，可知點M的坐標為．
由，消去x得．
因為直線與拋物線只有一個交點，
故，即．
因為點F的坐標為，
故，．
則．
因此，亦即．
（2）設直線PB的方程為．
由（1）可知，n滿足方程．
故m，n是關于t的方程的兩個不同的實根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
則，
因為，
所以．
因此，的取值范圍是．
【變式6-1】已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）經過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.
（i）當直線的斜率都存在時，記直線的斜率分別為.求證：；
（ii）求的取值范圍.
【解析】（1）∵橢圓的左焦點，∴.
將代入，得.
又，∴，.
∴橢圓的標準方程為.
（2）（i）設點，設過點與橢圓相切的直線方程為.
由，消去，得.
.
令，整理得.
由已知，則.
又，∴.
（ii）設點，.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為.
由，消去，得.
.
令，整理得.
則.
∴直線的方程為.
化簡，可得，即.
經驗證，當直線的斜率不存在時，
直線的方程為或，也滿足.
同理，可得直線的方程為.
∵在直線，上，∴，.
∴直線的方程為.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又由（i）可知當直線，的斜率都存在時，；
易知當直線或斜率不存在時，也有.
∴為圓的直徑，即.
∴.
又，∴.
∴的取值范圍為.
【變式6-2】（2024·山東·校聯考模擬預測）已知圓為坐標原點，點在圓上運動，為過點的圓的切線，以為準線的拋物線恒過點，拋物線的焦點為，記焦點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過動點的兩條直線均與曲線相切，切點分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）分別過作的垂線，垂足分別為，連接，
由拋物線的定義，可得，則．
因為，所以焦點的軌跡是以為焦點的橢圓，
其中，
所以拋物線的焦點的軌跡方程為
（2）設點，過點的直線的斜率為，則方程為，
聯立方程組，消得，，
整理得，
，即，所以點在方程為的圓上．
設點在橢圓上，則，則，
由知，滿足：
則，即，故，
從而得切線的方程為
整理得，點滿足方程，則，
同理可得
即點滿足方程，所以的方程為．
消得，
，，
．
設，點到直線的距離為，
；
．
所以．
題型七：“筷子夾湯圓”問題
【典例7-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）在平面直角坐標系中，過直線上任一點作該直線的垂線，，線段的中垂線與直線交于點．
(1)當在直線上運動時，求點的軌跡的方程；
(2)過向圓引兩條切線，與軌跡的另一個交點分別
①判斷：直線與圓的位置關系，并說明理由；
②求周長的最小值．
【解析】（1）
由垂直平分線的性質可知：，
所以點P的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，
則軌跡C的方程為；
（2）
①不妨設，
可得直線PA的方程為，
整理得，
因為該直線為圓的切線，所以
即
同理得，
所以是方程的兩根，
此時，
易知直線AB的方程為即，
則點N到AB的距離，故直線AB與圓N相切；
②易知
而點到直線AB的距離，
所以，
不妨設，
記，
可得
易知，
當時，，
可得單調遞增；
當時，，
當時，，可得單調遞減；
當時，，可得單調遞增，
又，所以的面積最小值為，
當且僅當或，即或時，等號成立，
又
故周長的最小值為．
【典例7-2】（2024·河南·三模）已知橢圓的左 右頂點分別為，上 下頂點分別為，記四邊形的內切圓為，過上一點引圓的兩條切線（切線斜率均存在且不為0），分別交于點（異于）.
(1)求直線與的斜率之積的值；
(2)記為坐標原點，試判斷三點是否共線，并說明理由.
【解析】（1）由題意得，
故直線的方程為，即.
由對稱性可知圓的圓心坐標為，
因為點到直線的距離為，
所以圓的半徑為，所以圓，
設，則，
由題可設圓的切線方程為，
則圓心到切線的距離為，
整理得，
設過點所引的圓的兩條切線的斜率分別為，
則，由，得，
代入式中，可得，
故直線與的斜率之積為；
（2）不妨設直線的方程為，
則圓心到直線的距離為，解得，
直線與橢圓的方程聯立可得，
設，則，將代入，
可得，
由（1）可設直線的方程為，
設，同理可得，
因此，
設直線，則，解得，
將直線與橢圓聯立，則，
設，則，
將代入，得，
設直線， 同理可得，
故，
所以P，O，Q三點共線．
【變式7-1】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長，點在拋物線上，圓（其中）.
(1)若為圓上的動點，求線段長度的最小值；
(2)設是拋物線上位于第一象限的一點，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點.證明：直線經過定點.
【解析】（1）由題意得橢圓的方程：，所以短半軸
所以，所以拋物線的方程是.
設點，則，
所以當時，線段長度取最小值.
（2）是拋物線上位于第一象限的點，
，且.
設，則：
直線，即，即.
直線，即.
由直線與圓相切得，即.
同理，由直線與圓相切得.
所以是方程的兩個解，
.
代入方程得，
解得
直線恒過定點.
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，四邊形的內切圓的半徑為，過橢圓上一點T引圓的兩條切線（切線斜率存在且不為0），分別交橢圓于點P，Q．
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究直線與的斜率之積是否為定值，并說明理由；
(3)記點O為坐標原點，求證：P，O，Q三點共線．
【解析】（1）由題意得，則直線的方程為．
由可得，
所以橢圓的方程為．
（2）由題意得，
切線的斜率存在且不為0，并設為，取，則，
此時切線方程為，則．
整理得．
設過點引圓的兩條切線斜率分別為，則①．
由得，
將其代入①式得，
故直線與的斜率之積為．
（3）設直線，則，解得．
將直線與橢圓聯立，則．
因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以.
設，則，
將代入可得．
設直線，則，整理得．
同理，將直線與橢圓聯立，則．
設，則，
將代入可得，
顯然．
設直線，則，解得，
將直線與橢圓聯立，則，
設，則，
將代入得．
設直線，則，解得．
將直線與橢圓聯立，則．
設，則．
將代入得，
故．
所以，，，且，
所以P，O，Q三點共線．
【變式7-3】已知A，B為拋物線C：上的兩點，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O為坐標原點．
(1)求C的方程．
(2)過C的焦點F作圓M：的兩條切線，．
（i）證明：，的斜率之積為定值．
（ii）若，與C分別交于點D，E和H，G，求的最小值．
【解析】（1）易知A，B關于x軸對稱，連接AB，交x軸于點M，如圖：
不妨設，則，
由題意得，得，
則，得，故C的方程為．
（2）（i）證明：由（1）得，易得，的斜率均不為0，
如圖：
設：，：．
由，得，同理可得
則m，n可以看作方程的兩根，易得，
所以，所以，的斜率之積為，是定值．
（ii）設，，，，
由，得，易得，則，
所以，同理可得，
由，得，則得，，
所以
，
當，即時，取得最小值，且最小值為.
1．已知點，分別為橢圓：（）的左、右頂點，點，直線交于點，，且是等腰直角三角形．
(1)求橢圓的方程；
(2)過圓上一點（不在坐標軸上）作橢圓的兩條切線．記、、的斜率分別為、、，求證：．
【解析】（1）因為是等腰直角三角形，，則，，
設，由，得，
則，解得，即，
將代入橢圓方程，得，則，
所以橢圓E的方程為.
（2）設，且，
設過點的直線與橢圓相切，
聯立，化簡得，
由得，
點在直線上，得，代入上式得，
整理得，
因為是橢圓的兩條切線，所以是上面方程的兩根，
由韋達定理得，
由得，所以，
又，所以.
2．（2024·全國·二模）如圖，過點的動直線交拋物線于兩點.
(1)若，求的方程；
(2)當直線變動時，若不過坐標原點，過點分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點，問：是否存在唯一的直線，使得？并說明理由.
【解析】（1）由，得直線的斜率為，方程為，即，
由消去得：，設，
則，由，得，解得，
所以拋物線的方程是.
（2）由（1）知，拋物線的方程是，
直線不垂直于軸，設直線，顯然，
由消去并整理得，，
則，
設拋物線在處的切線方程為，由消去得：
，由，得，
于是拋物線在處的切線方程為，
同理拋物線在處的切線方程為，設點，
由，，得，，
即點，于是直線的斜率分別為，
若存在直線，使得，則，
設直線的傾斜角分別為，則，
由，得或，因此，
即，則，
，
整理得，
化簡得，令，
求導得，顯然，
即恒成立，則函數在R上單調遞增，而，
因此存在唯一，使得
所以存在唯一的直線，使得.
3．已知拋物線：，焦點為，過作軸的垂線，點在軸下方，過點作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點，，分別交于，兩點．
(1)若，與拋物線相切于，兩點，求點的坐標；
(2)證明：的外接圓過定點；
(3)求面積的最小值．
【解析】（1）∵，與拋物線相切于，兩點，
設在左側，則，，
由得，所以，
所以的斜率為，的斜率為，
此時方程：，即．
方程：，即，聯立得；
（2）設過的兩條切線分別與拋物線切于，，
由（1）知直線的斜率為，所以直線方程為，即，
直線的斜率為，直線方程為，即，
所以且，，
設外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上，而的中點為，所以，
設外接圓方程為：過，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圓過定點；
（3）：，所以，，
所以，
到的距離為，所以，
設，，，由，
，當且僅當時等號成立．
所以，
令，，
在上單調遞減，上單調遞增，
所以，所以面積的最小值.
4．已知橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為是橢圓在第一象限上的點，滿足.
(1)求橢圓的方程；
(2)過直線上的一點，作橢圓的兩條切線，切點分別為，證明：.
【解析】（1）
由可得：，，，設，
由可得：，則，解得，
代入橢圓的方程得，解得，故，
故橢圓的方程為.
（2）
證明：設，
設直線的方程為，即，
代入橢圓的方程整理得，，
由相切可知：，
化簡整理得：.
由關于一元二次方程判別式：，
故方程有兩個相等實根，由韋達定理得：，
故直線的方程為，整理得：.
同理直線的方程為.
而同時在直線上，故
故都在直線上，即直線的方程為.
當時，直線的斜率，
又，故，故
當時，易知直線的方程為，
又因為直線的方程為，顯然，
綜上所述，.
5．已知圓，直線．
(1)若直線l與圓O相切，求m的值；
(2)當時，已知P為直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當切線長最短時，求弦所在直線的方程．
【解析】（1）（1）設圓心O到直線l的距離為d，因為直線l與圓O相切，
所以，
解得；
（2）當時，直線，連接，則，
所以O，A，P，B四點共圓，切線長，
故最短當且僅當最短，即時最短，
因為，所以，此時，
所以，
聯立得，
故以為直徑的圓的方程為，
因為弦即圓O與上述圓的公共弦，
所以弦所在直線方程為．
6．（2024·湖南·一模）已知雙曲線的漸近線方程為，的半焦距為，且．
(1)求的標準方程．
(2)若為上的一點，且為圓外一點，過作圓的兩條切線（斜率都存在），與交于另一點與交于另一點，證明：
（?。┑男甭手e為定值；
（ⅱ）存在定點，使得關于點對稱．
【解析】（1）因為的漸近線方程為，所以，
則，所以，
因為，所以，得.
因為，所以，可得，
所以，
故的標準方程為.
（2）證明：（i）設，如下圖所示：
設過點的切線的斜率為，則切線方程為，
即，所以，
即，
因此的斜率是上式中方程的兩根，即.
又因為，所以
所以的斜率之積為定值，且定值為.
（ii）不妨設直線的斜率為，直線的斜率為，
聯立，得.
因為，
所以，
則，同理可得，
所以.
因為，所以，所以，
得.
因為都在上，所以或（舍去），
所以存在定點，使得關于點對稱.
7．左、右焦點分別為的橢圓經過點，為橢圓上一點，的重心為，內心為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若為直線上一點，過點作橢圓的兩條切線為切點，問直線是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【解析】（1）因為橢圓焦點在軸上，且過點，
所以，
設內切圓的半徑為，點的坐標為，
則重心的坐標為，
因為，所以．
由面積可得，
即，結合，解得，
即所求的橢圓方程為則橢圓方程為．
（2）設，
則切線的方程分別為，
因為點在兩條切線上，所以，
故直線的方程為．
又因為點為直線上，
所以，即直線的方程可化為，
整理得，
由解得，
因此，直線過定點．
8．（2024·高三·西藏林芝·期末）已知橢圓，直線經過橢圓的左頂點和上頂點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線上是否存在一點，過點作橢圓的兩條切線分別切于點與點，點在以為直徑的圓上，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意，直線經過點和，解得：，故橢圓的標準方程為：.
（2）
如圖，假設直線上存在點，使點在以為直徑的圓上.
不妨點設，依題意，,則兩條切線斜率必存在，
分別設的斜率為，則，,
由消去，整理得：
因直線與橢圓相切，
故，
整理得：①
又由消去，可得：，
故由，整理得：②
由①②可得：為方程的兩根，
因，故則，即，且
又由可得：即（*），
又點在直線上，則，即代入（*），解得：，
當時，，當時，，
即存在點和,
經檢驗它們都滿足，
故存在點使點在以為直徑的圓上，點坐標為或.
9．（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓過點，和，且圓與軸交于點，點是拋物線的焦點.
(1)求圓和拋物線的方程；
(2)過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點，分別作拋物線的切線，兩條切線交于點，試判斷直線與圓的另一個交點是否為定點，如果是，求出點的坐標；如果不是，說明理由．
【解析】（1）因為圓過點和，
所以圓心在直線上，設圓心為，半徑為，
又圓過點，所以，，
則圓的方程為，
令，解得，所以，則，所以，
所以拋物線的方程為.
（2）依題意直線的斜率必存在，不妨設為，則直線的方程為，
即，由整理得，
其中，解得或，則，，
設，，過，點的拋物線的切線的斜率分別為、，
又，所以，則、，
所以過點的切線方程為，即，
同理可得過點的切線方程為，
由，解得，即，
所以點在直線上，而點也在直線上，
所以直線與圓的另一個交點就是直線與圓的交點，
由，解得或，
所以直線與圓的另一個交點為定點.
10．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的最大面積為1．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點為直線上的任意一點，過點作橢圓的兩條切線（切點分別為），試證明動直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．
【解析】（1）∵橢圓的離心率為，
橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的最大面積為1，
∴，
解得，
∴橢圓的方程為．
（2）證明：設切點為，則切線方程為，
∵兩條切線都過上任意一點，
∴得到，
∴都在直線上，
又，
由，得，
即對任意的，直線始終經過定點．
∴動直線恒過一定點．
11．已知橢圓的離心率為，依次連接四個頂點得到的圖形的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點.
【解析】（1）由題可得，即，，得①，
依次連接四個頂點得到的圖形的面積為，即，即②，
由①②可得，
橢圓的方程為：.
（2）設，，，
由題知，直線上一點作橢圓的兩條切線斜率存在，
設過點且與橢圓相切的直線方程為：，
聯立方程得，
，
整理得，即，
在橢圓上，，即，，
，即，
，解得，
過點且與橢圓相切的直線方程為：，
，即，
整理可得以為切點的橢圓的切線方程為，
同理，以為切點的橢圓的切線方程為，
又兩切線均過點，故，且，
整理化簡得，且，
點，均在直線上，
直線的方程為，直線過定點.
12．已知橢圓經過點，橢圓的左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于、），且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若點為直線上的動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，證明直線經過定點，并求出定點的坐標．
【解析】（1）由題意得，，設，
則，，所以，
又，即，
則，可得．
又因為點在橢圓上，則．
由，解得，
所以橢圓的標準方程為；
（2）設點，，，
由題意可知切線，的斜率存在，
則切線的方程為，即，
切線的方程為，即，
即有，
則兩切線、相交于點，
即有，
即點、滿足方程，
即直線MN的方程為，經過定點．
13．已知拋物線的焦點與橢圓的上頂點重合，點是直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為．
(1)求拋物線的方程．
(2)證明直線過定點，并且求出定點坐標．
【解析】（1）由題意橢圓的上頂點為，
，∴，∴．
（2）法一（同構法）．
設點，，．
由，∴直線的斜率為，∴
即
同理可得
∵點，代入得
∵點，代入得
∴點、都滿足關系
∴①
又點，∴，代入①得
故直線恒過定點．
法二（配極原則）．
設定點為，由題目可知點所在直線是點對應的極線，∴由配極原則可得
即
對比的系數可得
∴直線恒過定點．
14．已知拋物線C：，直線l：交于，兩點，當，時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)分別過點，作拋物線的切線，兩條切線交于點，且，分別交軸于，兩點，證明：的外接圓過定點．
【解析】（1）
當，時，直線，聯立得，
所以，解得，所以拋物線的方程為；
（2）
設，，因為，所以，，，
聯立并整理得，由韋達定理得，，
由得，從而，
所以直線即，令得，所以
同理直線，令得，所以
聯立、：得，所以，
因為，，所以的外接圓圓心落在直線上，
由，知線段中點，，
所以線段的垂直平分線方程為，
聯立得，
所以外接圓圓心坐標為，
所以，
所以圓的方程為，
即，
令得，所以的外接圓過定點.
15．已知橢圓的左頂點和右焦點分別為，右準線為直線，圓．
(1)若點A在圓上，且橢圓的離心率為，求橢圓的方程；
(2)若直線上存在點，使為等腰三角形，求橢圓的離心率的取值范圍；
(3)若點在（1）中的橢圓上，且過點可作圓的兩條切線，切點分別為，求弦長的取值范圍．
【解析】（1）對，令，則．
∴，
又∵，
∴，
橢圓的方程為：．
（2）由圖知為等腰三角形，，
∴，，
又，∴，即橢圓離心率取值范圍為．
（3）解法一：連接交于，連接，
則由圓的幾何性質知：為的中點，
，．
∴，
，
∴，設，則且，
∴，
∴，∴；
解法二：圓外一點作圓的兩條切線，切點分別為，
則四點共圓，且為直徑，
故此圓的方程為，
即，
與相減得，
切點弦方程為，即，
點為橢圓上一點，設，
則點對應的極線（即切點弦）方程為，
由于圓的圓心為，半徑為，
弦心距，
當時，取得最小值，最小值為，
當時，取得最大值，最大值為，
即，
故，
所以．
16．已知⊙C：（C為圓心）內部一點與圓周上動點Q連線AQ的中垂線交CQ于M，
(1)求點M的軌跡方程；
(2)若點M的軌跡為曲線X，設為圓上任意一點，過作曲線X的兩條切線，切點分別為，判斷是否為定值 若是，求出定值；若不是，說明理由.
【解析】（1）
因為，點與圓周上動點Q連線AQ的中垂線交CQ于M，
連接，則，
其中，，
所以，
所以點M的軌跡是以為焦點，長軸為4的橢圓，
所以，即，，
所以軌跡方程為.
（2）
如圖所示，當平行于軸時，恰好平行于軸，，，；
當不平行于軸時，設，設過點的直線為，
聯立，得，
令得，
化簡得，設，則，
又，故，即.
綜上所述，.
17．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知拋物線上任意一點滿足的最小值為（為焦點）.
(1)求的方程；
(2)過點的直線經過點且與物線交于兩點，求證：；
(3)過作一條傾斜角為的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線.兩條切線交于點，過任意作一條直線交拋物線于，交直線于點，則滿足什么關系？并證明.
【解析】（1）設，則，
因為，所以的最小值為，即，得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）得，設，，，
則，同理，，
所以
，
又，即，
聯立，得，由韋達定理得，
綜上所述：.
（3）滿足的關系為：.
由題意，直線，
聯立，得，
由，得，所以拋物線在A處的切線斜率為，
所以拋物線在A處的切線為，
同理，在處的切線為，
聯立可得，
設，
則
（*），
聯立，得，則，
聯立，得，
所以，
所以，即.
18．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為坐標原點，在橢圓上僅存在個點，使得為直角三角形，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知點是橢圓上一動點，且點在軸的左側，過點作的兩條切線，切點分別為、.求的取值范圍.
【解析】（1）當軸時，存在兩個點，使得為直角三角形，
當軸時，存在兩個點，使得為直角三角形，
當時，由題意可知，存在兩個點，使得為直角三角形，
設點，其中，則，可得，
且，，
則，可得，
由題意可知，，則，
當點為橢圓短軸的頂點時，到軸的距離最大，此時，的面積取最大值，
即，則，故，
因此，橢圓的方程為.
（2）設點、，先證明出拋物線在點處的切線方程為，
聯立可得，即，解得，
所以，拋物線在點處的切線方程為，
同理可知，拋物線在點處的切線方程為，
聯立可得，
所以，，則，即點，
因為點在軸左側，則，即，
因為點在橢圓上，則，
設，其中，則，，
所以，
，
因為，則，則，
所以，，
因此，的取值范圍是.
19．已知圓C的圓心在第一象限內，圓C關于直線對稱，與x軸相切，被直線截得的弦長為．若點P在直線上運動，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B點．
(1)求四邊形面積的最小值：
(2)求直線過定點的坐標．
【解析】（1）由題設，令圓心且，與x軸相切，故半徑，
由圓被直線截得的弦長為，而到直線的距離為，
所以（負值舍），
綜上，圓，如下圖示，且，
要使四邊形面積最小，只需最小，即最小，而，
所以，只需最小，僅當直線時，最小為，
所以，則.
（2）設，，
由，則，
所以①，而②，
將②減去①得：，同理，
所以切點弦所在直線方程可表示為，
上述方程化為，則，
所以直線恒交于點，直線過定點的坐標為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破12 雙切線問題的探究
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：定值問題 2
題型二：斜率問題 3
題型三：交點弦過定點問題 4
題型四：交點弦定值問題 6
題型五：交點弦最值問題 7
題型六：交點弦范圍問題 8
題型七：“筷子夾湯圓”問題 10
03 過關測試 12
雙切線問題，就是過一點做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構法.
解題思路：
①根據曲線外一點設出切線方程．
②和曲線方程聯立，求出判別式．
③整理出關于雙切線斜率的同構方程．
④寫出關于的韋達定理，并解題．
題型一：定值問題
【典例1-1】已知直線與拋物線：交于，兩點．是線段的中點，點在直線上，且垂直于軸．
(1)求證：的中點在上；
(2)設點在拋物線：上，，是的兩條切線，，是切點．若，且位于軸兩側，求證：．
【典例1-2】（2024·安徽·模擬預測）已知橢圓的一條準線的方程為，點分別為橢圓的左、右頂點，長軸長與焦距之差為2．
(1)求的標準方程；
(2)過上任一點作的兩條切線，切點分別為，當四邊形的面積最大時，求的正切值．
【變式1-1】（2024·云南·模擬預測）已知橢圓的離心率為，上 下頂點與其中一個焦點圍成的三角形面積為，過點作橢圓的兩條切線，切點為.
(1)求橢圓的方程；
(2)求所在直線的方程；
(3)過點作直線交橢圓于兩點，交直線于點，求的值.
題型二：斜率問題
【典例2-1】如圖，點為拋物線外任意一點，過點作拋物線兩條切線分別切于兩點，的中點為，直線交拋物線于點．
(1)證明：（為直線在軸上的截距），且直線方程為；
(2)設點處的切線，求證．
【典例2-2】已知P是拋物線的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為．
(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；
(2)設直線的斜率分別為，求證：為定值．
【變式2-1】（2024·高三·浙江·期中）已知雙曲線：（，）過點，且離心率為2，，為雙曲線的上、下焦點，雙曲線在點處的切線與圓：（）交于A，B兩點.
(1)求的面積；
(2)點為圓上一動點，過能作雙曲線的兩條切線，設切點分別為，，記直線和的斜率分別為，，求證：為定值.
【變式2-2】在平面直角坐標系中，點到點與到直線的距離之比為，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若點是圓上的一點（不在坐標軸上），過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記直線的斜率分別為，且，求直線的方程.
題型三：交點弦過定點問題
【典例3-1】在平面直角坐標系中，動點到的距離等于到直線的距離.
(1)求M的軌跡方程；
(2)P為不在x軸上的動點，過點作（1）中的軌跡的兩條切線，切點為A，B；直線AB與PO垂直(O為坐標原點)，與x軸的交點為R，與PO的交點為Q；
（ⅰ）求證：R是一個定點；
（ⅱ）求的最小值.
【典例3-2】（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.
(1)求E的方程；
(2)直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標.
【變式3-1】已知拋物線，直線與交于，兩點，且．
(1)求的值；
(2)過點作的兩條切線，切點分別為，，證明：直線過定點；
(3)直線過的焦點，與交于，兩點，在，兩點處的切線相交于點，設，當時，求面積的最小值．
【變式3-2】已知橢圓E：的長軸為雙曲線的實軸，且離心率為.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)已知橢圓在其上一點處的切線方程為.過直線上任意一點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B.M為橢圓的左頂點.
①證明：直線過定點；
②求面積的最大值.
題型四：交點弦定值問題
【典例4-1】（2024·河北·三模）已知橢圓：的離心率為，是橢圓的短軸的一個頂點．
(1)求橢圓的方程．
(2)設圓：，過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別為，．設兩切線的斜率均存在，分別為，，問：是否為定值？若不是，說明理由；若是，求出定值．
【典例4-2】（2024·江蘇·一模）已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，直線l：與x軸交于點M，且，
(1)求C的方程；
(2)B為l上的動點，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點P，Q，
①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數列；
②⊙N經過B，P，Q三點，是否存在點B，使得，？若存在，求；若不存在，請說明理由.
【變式4-1】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；
(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．
【變式4-2】如圖，設拋物線方程為 (p＞0)，M為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（1）求直線AB與軸的交點坐標；
（2）若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在E點處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請說明理由.
題型五：交點弦最值問題
【典例5-1】已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線E上，且到原點的距離為.過拋物線焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，分別在點A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點.
(1)證明：點P在一條定直線上；
(2)求的面積最小值．
【典例5-2】已知拋物線，動圓，為拋物線上一動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為.
(1)若求的最小值；
(2)若過圓心作拋物線的兩條切線，切點分別為.
（Ⅰ）求證：直線過定點；
（Ⅱ）若線段的中點為，連交拋物線于點，記的面積為，求的表達式及其最小值.
【變式5-1】（2024·山東臨沂·一模）動圓與圓和圓都內切，記動圓圓心的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點處的切線方程為：，試運用該性質解決以下問題：點為直線上一點（不在軸上），過點作的兩條切線，切點分別為.
（i）證明：直線過定點；
（ii）點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，設的面積分別為，求的最大值.
題型六：交點弦范圍問題
【典例6-1】設拋物線的焦點為為上一點．已知點的縱坐標為，且點到焦點的距離是．點為圓上的點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，記兩切線的斜率分別為．
(1)求拋物線的方程；
(2)若點的坐標為，求值；
(3)設直線與軸分別交于點，求的取值范圍．
【典例6-2】如圖，設拋物線的焦點為F，點P是半橢圓上的一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點M、N．
（1）證明：；
（2）求的取值范圍．
【變式6-1】已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）經過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點.
（i）當直線的斜率都存在時，記直線的斜率分別為.求證：；
（ii）求的取值范圍.
【變式6-2】（2024·山東·校聯考模擬預測）已知圓為坐標原點，點在圓上運動，為過點的圓的切線，以為準線的拋物線恒過點，拋物線的焦點為，記焦點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過動點的兩條直線均與曲線相切，切點分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
題型七：“筷子夾湯圓”問題
【典例7-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）在平面直角坐標系中，過直線上任一點作該直線的垂線，，線段的中垂線與直線交于點．
(1)當在直線上運動時，求點的軌跡的方程；
(2)過向圓引兩條切線，與軌跡的另一個交點分別
①判斷：直線與圓的位置關系，并說明理由；
②求周長的最小值．
【典例7-2】（2024·河南·三模）已知橢圓的左 右頂點分別為，上 下頂點分別為，記四邊形的內切圓為，過上一點引圓的兩條切線（切線斜率均存在且不為0），分別交于點（異于）.
(1)求直線與的斜率之積的值；
(2)記為坐標原點，試判斷三點是否共線，并說明理由.
【變式7-1】在平面直角坐標系中，拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長，點在拋物線上，圓（其中）.
(1)若為圓上的動點，求線段長度的最小值；
(2)設是拋物線上位于第一象限的一點，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點.證明：直線經過定點.
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，四邊形的內切圓的半徑為，過橢圓上一點T引圓的兩條切線（切線斜率存在且不為0），分別交橢圓于點P，Q．
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究直線與的斜率之積是否為定值，并說明理由；
(3)記點O為坐標原點，求證：P，O，Q三點共線．
【變式7-3】已知A，B為拋物線C：上的兩點，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O為坐標原點．
(1)求C的方程．
(2)過C的焦點F作圓M：的兩條切線，．
（i）證明：，的斜率之積為定值．
（ii）若，與C分別交于點D，E和H，G，求的最小值．
1．已知點，分別為橢圓：（）的左、右頂點，點，直線交于點，，且是等腰直角三角形．
(1)求橢圓的方程；
(2)過圓上一點（不在坐標軸上）作橢圓的兩條切線．記、、的斜率分別為、、，求證：．
2．（2024·全國·二模）如圖，過點的動直線交拋物線于兩點.
(1)若，求的方程；
(2)當直線變動時，若不過坐標原點，過點分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點，問：是否存在唯一的直線，使得？并說明理由.
3．已知拋物線：，焦點為，過作軸的垂線，點在軸下方，過點作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點，，分別交于，兩點．
(1)若，與拋物線相切于，兩點，求點的坐標；
(2)證明：的外接圓過定點；
(3)求面積的最小值．
4．已知橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為是橢圓在第一象限上的點，滿足.
(1)求橢圓的方程；
(2)過直線上的一點，作橢圓的兩條切線，切點分別為，證明：.
5．已知圓，直線．
(1)若直線l與圓O相切，求m的值；
(2)當時，已知P為直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當切線長最短時，求弦所在直線的方程．
6．（2024·湖南·一模）已知雙曲線的漸近線方程為，的半焦距為，且．
(1)求的標準方程．
(2)若為上的一點，且為圓外一點，過作圓的兩條切線（斜率都存在），與交于另一點與交于另一點，證明：
（?。┑男甭手e為定值；
（ⅱ）存在定點，使得關于點對稱．
7．左、右焦點分別為的橢圓經過點，為橢圓上一點，的重心為，內心為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若為直線上一點，過點作橢圓的兩條切線為切點，問直線是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
8．（2024·高三·西藏林芝·期末）已知橢圓，直線經過橢圓的左頂點和上頂點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線上是否存在一點，過點作橢圓的兩條切線分別切于點與點，點在以為直徑的圓上，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
9．（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓過點，和，且圓與軸交于點，點是拋物線的焦點.
(1)求圓和拋物線的方程；
(2)過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點，分別作拋物線的切線，兩條切線交于點，試判斷直線與圓的另一個交點是否為定點，如果是，求出點的坐標；如果不是，說明理由．
10．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的最大面積為1．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點為直線上的任意一點，過點作橢圓的兩條切線（切點分別為），試證明動直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．
11．已知橢圓的離心率為，依次連接四個頂點得到的圖形的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點.
(3)若點在（1）中的橢圓上，且過點可作圓的兩條切線，切點分別為，求弦長的取值范圍．
16．已知⊙C：（C為圓心）內部一點與圓周上動點Q連線AQ的中垂線交CQ于M，
(1)求點M的軌跡方程；
(2)若點M的軌跡為曲線X，設為圓上任意一點，過作曲線X的兩條切線，切點分別為，判斷是否為定值 若是，求出定值；若不是，說明理由.
17．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知拋物線上任意一點滿足的最小值為（為焦點）.
(1)求的方程；
(2)過點的直線經過點且與物線交于兩點，求證：；
(3)過作一條傾斜角為的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線.兩條切線交于點，過任意作一條直線交拋物線于，交直線于點，則滿足什么關系？并證明.
18．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為坐標原點，在橢圓上僅存在個點，使得為直角三角形，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知點是橢圓上一動點，且點在軸的左側，過點作的兩條切線，切點分別為、.求的取值范圍.
19．已知圓C的圓心在第一象限內，圓C關于直線對稱，與x軸相切，被直線截得的弦長為．若點P在直線上運動，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B點．
(1)求四邊形面積的最小值：
(2)求直線過定點的坐標．
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