資源簡介

重難點突破11 圓錐曲線中的探索性與綜合性問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：存在點使向量數量積為定值 2
題型二：存在點使斜率之和或之積為定值 7
題型三：存在點使兩角度相等 12
題型四：存在點使等式恒成立 17
題型五：存在點使線段關系式為定值 23
題型六：存在定直線問題 29
題型七：存在定圓問題 35
03 過關測試 39
解決存在性問題的技巧：
（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．
（2）假設法：先假設存在，推證滿足條件的結論．若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在．
題型一：存在點使向量數量積為定值
【典例1-1】（2024·北京通州·二模）已知橢圓：（）的長軸長為4，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線l過橢圓E的左焦點F，且與E交于兩點（不與左右頂點重合），點在軸正半軸上，直線交軸于點P，直線交軸于點，問是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為橢圓的長軸長為，離心率為，
所以，．
所以，．所以．
所以橢圓的方程為．
（2）若直線的斜率存在，設直線的方程為，．
聯立方程組，
消去，化簡得．
則，即,
設，，
所以，．
所以直線TM的方程為，直線的方程為．
所以，．
所以，，
所以
．
所以當時，為定值，
即（負值舍）時，有定值．
當時，若直線l斜率不存在，
不妨設，，
所以，．
所以．
綜上，當時，有定值．
【典例1-2】已知橢圓橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．
(1)求橢圓方程．
(2)過點的動直線（斜率存在）與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得為銳角？若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．
【解析】（1）∵橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
∴，故，
故，∴，，故橢圓方程為：．
（2）過點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，
設，
由可得，
故且
而，
故
，
∵為銳角，恒成立，故，解得或 ．
綜上，存在（或），使得為銳角．
【變式1-1】如圖所示，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為8．
(1)求橢圓的方程．
(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，試探究：在坐標平面內是否存在定點使得以為直徑的圓恒過定點？若存在求出點的坐標；若不存在請說明理由．
【解析】（1）的周長為,
∴，,,
故橢圓．
（2）
法一:
設點，由得
∵直線與曲線相切，∴，即①
由韋達定理得,
,
∴．
令，得，則．
假設平面上存在定點滿足條件，由圖的對稱性可知，點必在軸上．
設點，則有
且，
由
整理得
滿足①式，∴
故存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點．
法二:（極點極線）．
由性質1可知存在點滿足條件，且點為極線對應的極點．
由配極原則寫出點的極線為
對比直線可得，故存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點．
【變式1-2】（2024·江蘇揚州·統考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．
(1)求的內心坐標；
(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）
∴橢圓的標準方程為，
不妨取，則；
因為中，，所以的內心在軸，設直線平分，交軸于，則為的內心，且，所以，則；
（2）∵橢圓和弦均關于軸上下對稱．若存在定點，則點必在軸上∴設
當直線斜率存在時，設方程為，直線方程與橢圓方程聯立，
消去得，
則①
∵點的橫坐標為1，均在直線上，
，整理得，
因為點在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點滿足題意
題型二：存在點使斜率之和或之積為定值
【典例2-1】（2024·四川宜賓·三模）已知橢圓E：的左右焦點分別為，，過焦點斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，過焦點斜率為的直線與橢圓E交于C，D兩點，且．
(1)求直線與的交點N的軌跡M的方程；
(2)若直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，問在（1）的軌跡M上是否存在點P，滿足，若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由已知，，則：，：，
∴點滿足，即，∴①②，
∴點P的軌跡方程是（），
又依題意可知，
綜上可知：直線與的交點N的軌跡M的方程為：（且）；
（2）由題意知直線：，與橢圓方程聯立，
消元得，，
，
同理可得，
所以，即．
由（1）知，所以，令點，，解得，
∴存在或滿足題意．
【典例2-2】（2024·四川成都·模擬預測）已知橢圓的離心率為，過點的直線與橢圓相交于兩點，當過坐標原點時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)當斜率存在時，線段上是否存在定點，使得直線與直線的斜率之和為定值．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）直線l過坐標原點O時，，，
由橢圓離心率為，得，解得，
所以橢圓C的方程為.
（2）假設存在定點，，設直線l：，，
由消去y得，
，，，
直線的斜率有
，
則當時，為定值，
所以存在定點，使得直線QA與直線QB的斜率之和恒為0.
【變式2-1】（2024·高三·河北·期末）已知，分別是橢圓：的左、右頂點，是橢圓的上頂點，且，的周長為.
(1)求橢圓的方程.
(2)為坐標原點，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，直線，的斜率分別為，.是否存在常數，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）因為，所以，則，
又的周長為，所以，解得，
則，故橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，，，
聯立方程組，整理得，
，
由韋達定理得，，
又，所以，
又，，
所以，
令，即，則為定值，
故存在，使得為定值.
【變式2-2】（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是直線：（其中是實半軸長，是半焦距）上不同于原點的一個動點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點．
(1)求的值；
(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點，滿足，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由題可得雙曲線E：，
則，
∴左、右焦點分別為，，直線l的方程為：
設，
，同理可得．
∴；
（2）設，如圖，
直線方程為，
代入雙曲線方程可得：，
所以，則，
則，
，
，
．
同理，
即，
即，
∴或，
又，
若．無解，舍去．
∴，解得，，或，，
若，，由A在直線上可得，，
∴．此時，
若，，由A在直線上可得，，
∴此時
∴存在點，或，滿足．
題型三：存在點使兩角度相等
【典例3-1】（2024·重慶·一模）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點．
(1)求點的軌跡方程；
(2)設過點的直線與點的軌跡交于點，且點在第一象限內．已知，請問是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）連接，則，
點的軌跡是以點，為焦點的雙曲線，
點的軌跡方程為:.
（2）因為點的軌跡方程為:，則.
當直線的方程為時，則，解得（負舍，） 則，
而，易知此時為等腰直角三角形，
其中，
即，即:，
下證：對直線斜率存在的情形也成立，
設，其中，且，因為，則，且，
即，
，
，
，
結合正切函數在上的圖象可知，.
【典例3-2】（2024·湖南邵陽·一模）已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖所示，設點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）依題意得
解得，
橢圓的標準方程為.
（2）存在點，使，點的坐標為.理由如下：
直線過點，與橢圓交于不同的兩點.且都在軸上方.
直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為.
聯立方程消去可得：.
此時，設，則.
，
.
存在點滿足條件.
點坐標為.
【變式3-1】（2024·新疆阿勒泰·統考三模）已知橢圓的左右焦點分別為，分別為橢圓的上，下頂點，到直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別交x軸于兩點．問：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）中由面積公式得，
即，得，
橢圓方程為；
（2）如圖，
假設存在點使得，設，
，即，
，即，
直線與橢圓交于不同的兩點，易知關于對稱，
設，則，
由（1）知，直線的方程是，令得，
直線方程是，令得，
由，得，
又在橢圓上，所以，即，
，即.
所以存在點，使得成立．
【變式3-2】已知橢圓經過點且兩個焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設，為橢圓上不同的兩個點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且、、三點共線.其中為坐標原點.問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.
【解析】（1）依題意可得，，又，解得，
所以橢圓方程為，則離心率
（2）因為、、三點共線，根據橢圓的對稱性可知、關于點對稱，
設點，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
所以點，．
假設存在M使，，
所以，又，所以，
即，所以，
設，則，，
所以，即，
又，所以，所以，解得，
所以.
題型四：存在點使等式恒成立
【典例4-1】已知橢圓C的焦點坐標是，，過點垂直于長軸的直線l交橢圓C于B、D兩點，且．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過定點且斜率為k的直線l與橢圓C相交于不同兩點M，N，試判斷：在x軸上是否存在點，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設橢圓的標準方程為，
由已知可得，又，解得，
所以所求橢圓的標準方程為．
（2）
設直線l：，的中點，
假設在x軸上是否存在點，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則，
由，
所以，
由于直線l與橢圓C相交于不同兩點，
所以或，
所以，
因為，所以，
當時，，所以，
當時，，而，所以，
存在點，使得以AM，A還看過9．（2024·廣東·三模）已知拋物線：，過點的直線l交C于P，Q兩點，當PQ與x軸平行時，的面積為16，其中O為坐標原點.
(1)求的方程；
(2)已知點，，（）為拋物線上任意三點，記面積為，分別在點A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點為D，與的交點為E，與的交點為F，記面積為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）當PQ與x軸平行時，，
因為P，Q兩點均在拋物線C上，
所以，
即，
因為的面積為16，
所以，
解得，
則的方程為；
（2）直線AC的斜率為：，
則：，
直線與的交點為T，
則點T為，
所以
（ ）
（ ）
所以：
由，得，
令，則的斜率，
則有：，即：，
同理：：，：，
與相交得：，得：；
同理可得：，；
同理由（ ）可知
所以，
所以存在，使得
【典例4-2】（2024·高三·貴州·期中）已知橢圓：的離心率為，且經過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作直線與橢圓相交與，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得兩條不同直線，恰好關于軸對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意得，解得，
橢圓的標準方程為；
（2）
在軸上假設存在點，使得，恰好關于軸對稱，
設，，直線：，，
聯立，得，則，，
因為，恰好關于軸對稱，所以，即，
即，即
整理可得，
則，即得，即．
故在軸上存在定點，使得兩條不同直線，恰好關于軸對稱.
【變式4-1】（2024·北京·三模）已知橢圓 的離心率為，其長軸的兩個端點分別為，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點為橢圓上除，外的任意一點，直線交直線于點，點 為坐標原點：過點且與直線垂直的直線記為，直線交軸于點，交直線于點，問：是否存在點使得與的面積相等 若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【解析】（1）由題意，，又，所以，
則，所以橢圓C的方程為.
（2）
設，且，則 ，
又因為，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
令，得，所以點的坐標為，
因為，所以直線的斜率為，
因為，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
因為，，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
所以，
聯立直線和直線的方程，
消去得，即，
整理有：，
因為，所以，
所以，解得點的橫坐標，
，，
要使得與的面積相等，應有，
整理有，即，
解得，，因為，（舍去），所以，
由可得點P的坐標為.
題型五：存在點使線段關系式為定值
【典例5-1】（2024·河南新鄉·三模）已知橢圓的左、右頂點分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點，直線與的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)分別是橢圓的左、右焦點，是內切圓的圓心，試問平面上是否存在定點，使得為定值 若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設，則，即，
顯然點，依題意，，
解得，由橢圓的焦距是2，得，則，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，因為，則，
由（1）知，則直線的方程為，即，
從而點到直線的距離，
即，即.
因為，所以，所以，
所以，即，
因為，所以，
因為，所以，即，點在以為焦點，長軸長為2的橢圓上，
故存在定點，使得.
【典例5-2】（2024·河南濮陽·模擬預測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．
(1)求的方程；
(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數，使得為定值？若存在，求出常數的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設雙曲線的半焦距為，
由題意可得，解得，所以的方程為．
（2）假設存在常數滿足條件，由（1）知，
設直線，
聯立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以兩點在軸同側，所以．
此時，即，所以．
設，將代入拋物線方程，得，
則，
所以
．
所以．
故當時，為定值，所以，當時，為定值．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的一個頂點在圓上，對任意實數，上存在兩點關于直線對稱，直線與交于點，與交于點在之間，且時．
(1)求的標準方程．
(2)是否存在與不重合的定點，使得成立，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1），
因為圓上存在兩點關于直線對稱，
所以圓心在直線上，則，得．
因為的一個頂點在圓上，所以點在圓上，
所以．
當時，直線的方程為，
代入，得，則．
因為圓的半徑為1，
所以，
解得，
所以的標準方程為．
（2）假設存在與不重合的定點，使得，即，
當時，點關于軸對稱，所以，
所以點在軸上．
設．
聯立得，得，
設，
則，
得．
由可得，
所以，
即，
即，
因為，所以．
得．即存在定點，使得．
【變式5-2】（2024·廣東江門·模擬預測）已知橢圓的右焦點為，順次連接橢圓E的四個頂點恰好構成一個邊長的菱形．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線與橢圓有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，是否存在兩定點，使得點滿足恒為定值？若存在，請求出定點的坐標若不存在，請說明理由．
(3)對于第（2）問，如果推廣到一般的橢圓．求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？
【解析】（1）由題意，，
解得，橢圓E的標準方程.
（2）設，聯立，消y得，
由，得：①，
所以，
直線的方程為：
令，得，令，得
的坐標滿足②，③
又，
所以的軌跡方程為，
由橢圓定義，知存在定點，使得.
方法二：的坐標滿足②，③
解得：，代入①得
所以，的軌跡方程為.
（3）設，聯立，消y得：，
，得：，④
由④式得：
直線的方程為：
令，得，令，得
的坐標滿足⑤，⑥
解得：，代入④得．
的軌跡方程為
所以，點的軌跡是以焦點，長軸長為的橢圓.
題型六：存在定直線問題
【典例6-1】（2024·上海虹口·二模）已知橢圓的焦距為，點在橢圓上，動直線與橢圓相交于不同的兩點，且直線的斜率之積為1.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線為的法向量為，求直線的方程；
(3)是否存在直線，使得為直角三角形？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由已知條件可知，
所以，
所以橢圓的標準方程為；
（2）因為直線為的法向量為，
所以直線的斜率為，方程為，
聯立，得，解得（舍去），
從而，
因為直線的斜率之積為1，所以直線的方程為，
同理可得點的坐標為，
所以直線的斜率，
所以直線的方程為，即；
（3）假設存在滿足條件的直線，
設直線的方程為，
聯立，得，解得（舍去），
因為直線的斜率之積為1，所以直線的方程為，
同理可得，
故直線的斜率
，
當為直角三角形時，只有或，
于是或，
若，由，可得，從而，
若，由，可得，從而，
所以存在，直線的斜率為.
【典例6-2】（2024·安徽阜陽·三模）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）
由已知C：，點A的坐標為，得，
焦點，，.
所以，，故C：.
（2）設l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯立得：，
由已知得，，設，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
【變式6-1】（2024·河南安陽·一模）如圖，已知直線，M是平面內一個動點，且MA與相交于點A（A位于第一象限），，且MB與相交于點B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點）的面積為．
(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)過點的直線l與C相交于P，Q兩點，是否存在定直線l′:，使以PQ為直徑的圓與直線l′相交于E，F兩點，且為定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設，所在直線方程為，
聯立方程得，同理，
，
所以四邊形OAMB的面積為：
，
所以，
所以動點M的軌跡C的方程為．
（2）假設存在定直線l′：，使為定值．
設，PQ中點，直線l方程為，
聯立方程，
由，得，
，
，
，
設G到直線l′：的距離，
，
因為為定值，所以為定值．
由為定值，
故即，即當時，為定值，
此時．
所以存在定直線，使為定值．
【變式6-2】（2024·上海·三模）已知橢圓：，、分別為左、右焦點，直線過交橢圓于、兩點.
(1)求橢圓的離心率；
(2)當，且點在軸上方時，求、兩點的坐標；
(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由橢圓方程知，，，
所以，
所以離心率.
（2），，設，且.
所以，，
，，
又在橢圓上，滿足，即，
，解得，即.
所以直線：，
聯立，解得或，
所以；
（3）設，，，，
直線：，
聯立，得.
則，.
直線的方程：，令得縱坐標；
直線的方程：，令得的縱坐標.
則，
若，即，
，
，，
代入根與系數的關系，得，解得.
存在直線或滿足題意.
題型七：存在定圓問題
【典例7-1】（2024·高三·湖北武漢·期末）已知雙曲線（，），點是的右焦點，的一條漸近線方程為.
(1)求的標準方程；
(2)過點的直線與的右支交于兩點，以為直徑的圓記為，是否存在定圓與圓內切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由.
【解析】（1）設雙曲線的焦距為，
因為點是的右焦點，的一條漸近線方程為
所以，解得，所以的標準方程為
（2）存在定圓滿足題意，方程為，理由如下：
因為過點的直線與的右支交于兩點，所以直線斜率不為0，
設直線方程為，，
由，得，
，
，，
所以，，
由直線與的右支交于兩點可知，解得，
又因為
，
所以圓的方程為，
由對稱性可知，若存在定圓與圓相內切，則定圓圓心一定在軸上，
不妨設定圓方程為，
則由圓與圓相內切可知，，
即，
整理得，，
因為上式與無關，
所以，解得，
所以存在定圓滿足題意
【典例7-2】（2024·江蘇宿遷·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若，是雙曲線上的兩個動點，且恒有，是否存在定圓與直線相切？若存在，求出定圓的方程，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設雙曲線的焦距為，因為直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，
可得，所以，
因為，可得，且，
所以，解得或（舍去），
又因為點在雙曲線上，所以，
聯立方程組得或（舍去），
所以雙曲線方程為：．
（2）（ⅰ）若直線的斜率不存在，設方程為，
因為，再設，則，可得，
由，聯立方程組，解得，可得原點到直線的距離為．
（ⅱ）若直線的斜率存在，設方程為，
又，設，則，即，
則，（*）
聯立方程組，整理得
當且，即且時，
，
代入（*）得，
即（其中），
原點到直線的距離為，
綜合（ⅰ）（ⅱ），存在以原點為圓心，半徑為的圓與直線相切，
所求定圓的方程為．
【變式7-1】（2024·安徽·一模）橢圓的上頂點為，圓在橢圓內．
(1)求的取值范圍；
(2)過點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．
【解析】（1）設為橢圓上任意一點，，則．
則．故．
（2）
由題意可知，設，因為，故切線的斜率都存在．
又直線的方程為，即為，
直線的方程為．
則，故．
而，故，又因為．
故，同理．
故直線的方程為．
若直線與圓相切，則，令．
故，即．故，或．
故存在滿足條件的圓，其方程為．
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設，是否存在x軸上的定點P，使得的內心在x軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）∵的周長為8，的最大面積為，
∴，解得，或，．
∴橢圓C的方程為或等．
（2）
由（1）及易知，
不妨設直線MN的方程為：，，，，
聯立，得．
則，，
若的內心在x軸上，則，
∴，即，即，
可得．
則，得，即．
當直線MN垂直于x軸，即時，顯然點也是符合題意的點．
故在x軸上存在定點，使得的內心在x軸上.
2．（2024·廣東·二模）在平面直角坐標系中，若A，B兩點在一曲線C上，曲線C在A，B均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱AB是曲線C的一條“切線相依割線”．
(1)證明：準線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；
(2)試探究雙曲線在第一象限內是否存在“切線相依割線”，若存在，請求出所有的“切線相依割線”，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）證明：由準線平行于x軸，故拋物線圖象開口向上，為二次函數，
設，，則AB斜率為，
，故A，B處均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值為，等于直線AB的斜率，故AB為切線相依割線，由于AB可以任取，故準線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”．
（2）設，，其中，，，則AB斜率為，
設雙曲線在A點處切線方程為l：，則將其代入雙曲線方程，消去y有，
令，得，故，
同理，雙曲線在B點處切線斜率為，故其均值為，
由A，B在雙曲線上，故，，兩式相減得，故，
假設存在“切線相依割線”，則，即，
化簡得，設AB：，
則，即，
當時，即，得，不合題意，
當時，與雙曲線在第一象限內至多有一個焦點，不合題意，
故雙曲線在第一象限內不存在“切線相依割線”．
3．已知橢圓的右焦點的坐標為，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過右焦點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意可知：，橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4，
所以，即，，所以橢圓的標準方程為：.
（2）由題意可知直線的斜率不為，所以設直線的方程為：，
與橢圓的方程聯立，得
消去，得，
所以，
設，，則，
由根與系數的關系，得 ，
直線的斜率為：，
所以直線的方程為，
令，得，
即直線與軸交于一個定點，記為，
則，等號成立當且僅當.
4．已知圓的方程為，點的坐標為．點為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)點是圓上異于點和的任一點，直線與軌跡交于點，，直線與軌跡交于點，．設為坐標原點，直線，，，的斜率分別為，，，，問：是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由圖可知，因為，所以，
則點的軌跡是橢圓，且，
點的軌跡的方程為
（2）設直線的方程為，聯立
齊次化得，
整理可得，
即，方程的兩根為，，
則．
同理可得．
由條件知，∴．
整理得，故．
5．設為橢圓的左、右焦點，直線l過交橢圓于A，B兩點．試從① 若點M，N在該橢圓上且關于原點對稱，P為該橢圓上異于M，N的一點，且；②的周長為8；③的最小值為8這三個條件中選擇一個作為已知條件，并解答問題．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)是否存在直線l，使得的重心為？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）
選①：設，，，由，，在橢圓上，
可得， ，
，
所以，所以.
故橢圓方程為.
選②：三角形的周長為，.
故橢圓方程為.
選③：因為，
所以，
當且僅當時取等號，.
故橢圓方程為.
（2）由題可設直線l的方程為，
由可得，易知，
設，則，，
所以.
又，所以的重心為.
令，解得，
所以當直線l的方程為時，的重心為.
6．（2024·高三·北京海淀·開學考試）已知橢圓，與x軸不重合的直線l經過左焦點，且與橢圓G相交于兩點，弦的中點為M，直線與橢圓G相交于兩點．
(1)若直線l的斜率為1，求直線的斜率；
(2)是否存在直線l，使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）
設，則，
由A、B在橢圓上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直線的斜率為；
（2）假設存在直線滿足題意，不妨設其方程為，設，
由，則，
所以，
且，
則，易得，
由橢圓對稱性可設，則，
由，
所以
，
易知，
則，
即存在直線或滿足題意.
7．（2024·廣西桂林·三模）雙曲線C：的左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線為，過且傾斜角為的直線為，已知，之間的距離為．
(1)求C的方程；
(2)若過點的直線l與C的左、右兩支分別交于兩點（點不在x軸上），判斷是否存在實數k使得．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設，因為，之間的距離為，
所以，，則，
所以C的方程為．
（2）由（1）知，易知直線l的斜率存在且不為0，
設直線l：，，，
聯立方程組，消去x，得，
所以，
因為，
所以，同理．
因為直線l過點且與C的左、右兩支分別交于M，N兩點，
所以M，N兩點在x軸同側，∴，此時，即．
所以
，
所以．
所以存在，使得．
8．橢圓經過點，且離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設是直線上任意一點，是經過橢圓右焦點的一條弦（不經過點）．記直線，，的斜率依次為，，，問是否存在常數，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由橢圓離心率，則，即，
所以橢圓方程為，
又橢圓過點，則，解得，，
所以橢圓方程為.
（2）由已知，經過橢圓右焦點，不經過點，
可知直線的斜率一定存在，設，
當直線斜率為時，，，
則，，，
此時，
當直線斜率不為時，
如圖，設直線的方程為，點，，
聯立直線與橢圓，得，，
則，，
設，，于是，即．
又，則，
，
綜上所述存在常數，使得．
9．（2024·全國·二模）如圖，過點的動直線交拋物線于兩點.
(1)若，求的方程；
(2)當直線變動時，若不過坐標原點，過點分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點，問：是否存在唯一的直線，使得？并說明理由.
【解析】（1）由，得直線的斜率為，方程為，即，
由消去得：，設，
則，由，得，解得，
所以拋物線的方程是.
（2）由（1）知，拋物線的方程是，
直線不垂直于軸，設直線，顯然，
由消去并整理得，，
則，
設拋物線在處的切線方程為，由消去得：
，由，得，
于是拋物線在處的切線方程為，
同理拋物線在處的切線方程為，設點，
由，，得，，
即點，于是直線的斜率分別為，
若存在直線，使得，則，
設直線的傾斜角分別為，則，
由，得或，因此，
即，則，
，
整理得，
化簡得，令，
求導得，顯然，
即恒成立，則函數在R上單調遞增，而，
因此存在唯一，使得
所以存在唯一的直線，使得.
10．（2024·湖南永州·二模）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點為線段的中點，過點且斜率為的直線交于兩點，的面積最大值為．
(1)求的方程；
(2)設直線分別交于點，直線的斜率為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意可知當M位于橢圓的短軸端點時，的面積最大，
即，即，
由橢圓的離心率為，即，即，
結合，
解得，
故橢圓的方程為；
（2）設，而，
當MN斜率不為0時，M，N均不在x軸上，
則直線MP的方程為，
聯立，，
由于MP過點D，D在橢圓內部，則必有，
則，代入MP方程可得，
同理可得，
故，
又因為三點共線，所以，
即，故，則，
所以此時存在實數，使得；
當MN斜率為0時，M，N均在x軸上，則P，Q也在x軸上，
此時，也符合題意；
綜上存在實數，使得；
11．已知橢圓的離心率為，且a，b的等比中項為2．
(1)求C的方程；
(2)若直線與C交于點A，B兩點，直線過點A且與C交于另外一點，直線過點B，且與C交于另外一點．
（ⅰ）設，，證明：；
（ⅱ）若直線的斜率為，判斷是否存在常數m，使得k是m，的等比中項，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為C的離心率為，所以，
整理得，所以，
因為a，b的等比中項為2，所以，
即，，，
所以C的方程為．
（2）（ⅰ）與聯立得，
則，則或，
所以，
因為，且，
所以，
所以，即得證．
（ⅱ）由（ⅰ）知，．
因為直線經過點，，直線經過點，，
設，則，．
又，，
所以，所以，9的一個等比中項為k，
即存在，使得k是m，的等比中項．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破11 圓錐曲線中的探索性與綜合性問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：存在點使向量數量積為定值 2
題型二：存在點使斜率之和或之積為定值 3
題型三：存在點使兩角度相等 5
題型四：存在點使等式恒成立 6
題型五：存在點使線段關系式為定值 7
題型六：存在定直線問題 9
題型七：存在定圓問題 10
03 過關測試 11
解決存在性問題的技巧：
（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．
（2）假設法：先假設存在，推證滿足條件的結論．若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在．
題型一：存在點使向量數量積為定值
【典例1-1】（2024·北京通州·二模）已知橢圓：（）的長軸長為4，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線l過橢圓E的左焦點F，且與E交于兩點（不與左右頂點重合），點在軸正半軸上，直線交軸于點P，直線交軸于點，問是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請說明理由．
【典例1-2】已知橢圓橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．
(1)求橢圓方程．
(2)過點的動直線（斜率存在）與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得為銳角？若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．
【變式1-1】如圖所示，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為8．
(1)求橢圓的方程．
(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，試探究：在坐標平面內是否存在定點使得以為直徑的圓恒過定點？若存在求出點的坐標；若不存在請說明理由．
【變式1-2】（2024·江蘇揚州·統考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．
(1)求的內心坐標；
(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．
題型二：存在點使斜率之和或之積為定值
【典例2-1】（2024·四川宜賓·三模）已知橢圓E：的左右焦點分別為，，過焦點斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，過焦點斜率為的直線與橢圓E交于C，D兩點，且．
(1)求直線與的交點N的軌跡M的方程；
(2)若直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，問在（1）的軌跡M上是否存在點P，滿足，若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．
【典例2-2】（2024·四川成都·模擬預測）已知橢圓的離心率為，過點的直線與橢圓相交于兩點，當過坐標原點時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)當斜率存在時，線段上是否存在定點，使得直線與直線的斜率之和為定值．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式2-1】（2024·高三·河北·期末）已知，分別是橢圓：的左、右頂點，是橢圓的上頂點，且，的周長為.
(1)求橢圓的方程.
(2)為坐標原點，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，直線，的斜率分別為，.是否存在常數，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【變式2-2】（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是直線：（其中是實半軸長，是半焦距）上不同于原點的一個動點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點．
(1)求的值；
(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點，滿足，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．
題型三：存在點使兩角度相等
【典例3-1】（2024·重慶·一模）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點．
(1)求點的軌跡方程；
(2)設過點的直線與點的軌跡交于點，且點在第一象限內．已知，請問是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
【典例3-2】（2024·湖南邵陽·一模）已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖所示，設點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【變式3-1】（2024·新疆阿勒泰·統考三模）已知橢圓的左右焦點分別為，分別為橢圓的上，下頂點，到直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別交x軸于兩點．問：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式3-2】已知橢圓經過點且兩個焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設，為橢圓上不同的兩個點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且、、三點共線.其中為坐標原點.問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.
題型四：存在點使等式恒成立
【典例4-1】已知橢圓C的焦點坐標是，，過點垂直于長軸的直線l交橢圓C于B、D兩點，且．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過定點且斜率為k的直線l與橢圓C相交于不同兩點M，N，試判斷：在x軸上是否存在點，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)求的方程；
(2)已知點，，（）為拋物線上任意三點，記面積為，分別在點A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點為D，與的交點為E，與的交點為F，記面積為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【典例4-2】（2024·高三·貴州·期中）已知橢圓：的離心率為，且經過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作直線與橢圓相交與，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得兩條不同直線，恰好關于軸對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
【變式4-1】（2024·北京·三模）已知橢圓 的離心率為，其長軸的兩個端點分別為，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點為橢圓上除，外的任意一點，直線交直線于點，點 為坐標原點：過點且與直線垂直的直線記為，直線交軸于點，交直線于點，問：是否存在點使得與的面積相等 若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
題型五：存在點使線段關系式為定值
【典例5-1】（2024·河南新鄉·三模）已知橢圓的左、右頂點分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點，直線與的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)分別是橢圓的左、右焦點，是內切圓的圓心，試問平面上是否存在定點，使得為定值 若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.
【典例5-2】（2024·河南濮陽·模擬預測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．
(1)求的方程；
(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數，使得為定值？若存在，求出常數的值；若不存在，請說明理由．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的一個頂點在圓上，對任意實數，上存在兩點關于直線對稱，直線與交于點，與交于點在之間，且時．
(1)求的標準方程．
(2)是否存在與不重合的定點，使得成立，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式5-2】（2024·廣東江門·模擬預測）已知橢圓的右焦點為，順次連接橢圓E的四個頂點恰好構成一個邊長的菱形．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線與橢圓有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，是否存在兩定點，使得點滿足恒為定值？若存在，請求出定點的坐標若不存在，請說明理由．
(3)對于第（2）問，如果推廣到一般的橢圓．求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？
題型六：存在定直線問題
【典例6-1】（2024·上海虹口·二模）已知橢圓的焦距為，點在橢圓上，動直線與橢圓相交于不同的兩點，且直線的斜率之積為1.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線為的法向量為，求直線的方程；
(3)是否存在直線，使得為直角三角形？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.
【典例6-2】（2024·安徽阜陽·三模）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【變式6-1】（2024·河南安陽·一模）如圖，已知直線，M是平面內一個動點，且MA與相交于點A（A位于第一象限），，且MB與相交于點B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點）的面積為．
(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)過點的直線l與C相交于P，Q兩點，是否存在定直線l′:，使以PQ為直徑的圓與直線l′相交于E，F兩點，且為定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，請說明理由．
【變式6-2】（2024·上海·三模）已知橢圓：，、分別為左、右焦點，直線過交橢圓于、兩點.
(1)求橢圓的離心率；
(2)當，且點在軸上方時，求、兩點的坐標；
(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
題型七：存在定圓問題
【典例7-1】（2024·高三·湖北武漢·期末）已知雙曲線（，），點是的右焦點，的一條漸近線方程為.
(1)求的標準方程；
(2)過點的直線與的右支交于兩點，以為直徑的圓記為，是否存在定圓與圓內切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由.
【典例7-2】（2024·江蘇宿遷·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若，是雙曲線上的兩個動點，且恒有，是否存在定圓與直線相切？若存在，求出定圓的方程，若不存在，請說明理由．
【變式7-1】（2024·安徽·一模）橢圓的上頂點為，圓在橢圓內．
(1)求的取值范圍；
(2)過點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設，是否存在x軸上的定點P，使得的內心在x軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
2．（2024·廣東·二模）在平面直角坐標系中，若A，B兩點在一曲線C上，曲線C在A，B均存在不垂直于x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱AB是曲線C的一條“切線相依割線”．
(1)證明：準線平行于x軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；
(2)試探究雙曲線在第一象限內是否存在“切線相依割線”，若存在，請求出所有的“切線相依割線”，若不存在，請說明理由．
3．已知橢圓的右焦點的坐標為，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過右焦點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.
4．已知圓的方程為，點的坐標為．點為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)點是圓上異于點和的任一點，直線與軌跡交于點，，直線與軌跡交于點，．設為坐標原點，直線，，，的斜率分別為，，，，問：是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
5．設為橢圓的左、右焦點，直線l過交橢圓于A，B兩點．試從① 若點M，N在該橢圓上且關于原點對稱，P為該橢圓上異于M，N的一點，且；②的周長為8；③的最小值為8這三個條件中選擇一個作為已知條件，并解答問題．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)是否存在直線l，使得的重心為？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
6．（2024·高三·北京海淀·開學考試）已知橢圓，與x軸不重合的直線l經過左焦點，且與橢圓G相交于兩點，弦的中點為M，直線與橢圓G相交于兩點．
(1)若直線l的斜率為1，求直線的斜率；
(2)是否存在直線l，使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
7．（2024·廣西桂林·三模）雙曲線C：的左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線為，過且傾斜角為的直線為，已知，之間的距離為．
(1)求C的方程；
(2)若過點的直線l與C的左、右兩支分別交于兩點（點不在x軸上），判斷是否存在實數k使得．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
8．橢圓經過點，且離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設是直線上任意一點，是經過橢圓右焦點的一條弦（不經過點）．記直線，，的斜率依次為，，，問是否存在常數，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
9．（2024·全國·二模）如圖，過點的動直線交拋物線于兩點.
(1)若，求的方程；
(2)當直線變動時，若不過坐標原點，過點分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點，問：是否存在唯一的直線，使得？并說明理由.
10．（2024·湖南永州·二模）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點為線段的中點，過點且斜率為的直線交于兩點，的面積最大值為．
(1)求的方程；
(2)設直線分別交于點，直線的斜率為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
11．已知橢圓的離心率為，且a，b的等比中項為2．
(1)求C的方程；
(2)若直線與C交于點A，B兩點，直線過點A且與C交于另外一點，直線過點B，且與C交于另外一點．
（ⅰ）設，，證明：；
（ⅱ）若直線的斜率為，判斷是否存在常數m，使得k是m，的等比中項，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
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