資源簡介

重難點突破09 一類與斜率和、差、商、積問題的探究
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：斜率和問題 3
題型二：斜率差問題 6
題型三：斜率積問題 8
題型四：斜率商問題 11
03 過關測試 13
1、已知是橢圓上的定點，直線（不過點）與橢圓交于，兩點，且，則直線斜率為定值．
2、已知是雙曲線上的定點，直線（不過點）與雙曲線交于，兩點，且，直線斜率為定值．
3、已知是拋物線上的定點，直線（不過點）與拋物線交于，兩點，若，則直線斜率為定值．
4、為橢圓上一定點，過點作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
5、設是直角坐標平面內不同于原點的一定點，過作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點記為，．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
6、過拋物線上任一點引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經過定點．
題型一：斜率和問題
【典例1-1】（2024·山東淄博·二模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個頂點所圍成的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設，滿足．
①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；
②求四邊形ABCD面積的最大值．
【典例1-2】如圖，已知橢圓的離心率為，短軸長為2．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與軸交于點，過點的直線與交于兩點，點為直線上任意一點，設直線與直線交于點，記的斜率分別為，求證：．
【變式1-1】（2024·四川·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與的交點為.
(1)若，求拋物線的方程及焦點的坐標；
(2)若點為軸正半軸上的任意一點，過點作直線交拋物線于兩點，點關于原點的對稱點，連接交拋物線于點，求證：.
【變式1-2】如圖所示，已知分別過橢圓的左、右焦點的動直線，相交于點P，且，與橢圓E分別交于點A，B和點C，D，直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，滿足，請問是否存在定點M，N，使得為定值？若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式1-3】（2024·江西鷹潭·二模）設橢圓E：經過點，且離心率，直線垂直x軸交x軸于T，過T的直線l1交橢圓E于，兩點，連接，，．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線PA，PB的斜率分別為，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如圖：過P作x軸的垂線l，過A作PT的平行線分別交PB，l于M，N，求的值．
【變式1-4】（2024·重慶渝中·模擬預測）已知橢圓的離心率為，點在上.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線交橢圓于兩點（異于點），過點作軸的垂線與直線交于點，設直線的斜率分別為.證明：
（i）為定值；
（ii）直線過線段的中點.
【變式1-5】（2024·四川成都·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作兩條傾斜角互補的直線，交拋物線于兩點，交拋物線于兩點，連接，設的斜率分別為，求的值；
(3)設，求的值.
題型二：斜率差問題
【典例2-1】已知橢圓的離心率為，A，B，C分別為橢圓的左頂點，上頂點和右頂點，為左焦點，且的面積為．若P是橢圓M上不與頂點重合的動點，直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點N．
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線QN和直線QC的斜率）．
【典例2-2】橢圓C：的離心率，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．
【變式2-1】在平面直角坐標系中，已知定點A(1，0)，點M在軸上運動，點N在軸上運動，點P為坐標平面內的動點，且滿足.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)點Q為圓上一點，由Q向C引切線，切點分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當Q運動時，求的取值范圍.
【變式2-2】設、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，線段的中點為，若，求的值.
【變式2-3】如圖,已知點是拋物線：的焦點,點在拋物線上,且.
（1）若直線與拋物線交于兩點,求的值;
（2）若點在拋物線上,且拋物線在點處的切線交于點,記直線的斜率分別為,且滿足,求證：的面積為定值.
【變式2-4】如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記，的面積分別為，，若，求的值；
(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．
題型三：斜率積問題
【典例3-1】（2024·河北保定·三模）設橢圓C：的左、右頂點和橢圓的左、右焦點均為E，F.P是C上的一個動點（異于E，F），已知直線EP交直線于點A，直線FP交直線于點B.直線AB與橢圓交于點M，N，O為坐標原點.
(1)若b為定值，證明：為定值；
(2)若直線OM，ON的斜率之積恒為，求b.
【典例3-2】已知橢圓左右焦點分別為橢圓的左右頂點，過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點，交橢圓于點，且與的周長之差為.
(1)求橢圓與橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓相交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
【變式3-1】（2024·高三·浙江·開學考試）如圖，已知拋物線的焦點為，過點作一條不經過的直線，若直線與拋物線交于異于原點的兩 點，點在軸下方，且在線段上．
(1)試判斷：直線的斜率之積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
(2)過點作的垂線交直線于點，若的面積為4，求點的坐標，
【變式3-2】（2024·廣東·一模）設兩點的坐標分別為. 直線相交于點，且它們的斜率之積是. 設點的軌跡方程為.
(1)求;
(2)不經過點的直線與曲線相交于、兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.
【變式3-3】（2024·廣西柳州·一模）已知橢圓的左右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，的面積為，點為橢圓的下頂點，.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)橢圓上有兩點，（異于橢圓頂點且與軸不垂直），當的面積最大時，證明：直線與的斜率之積為定值.
，即，
，，
，
，當且僅當即時等號成立，
，
【變式3-4】（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數，證明：直線過定點．
題型四：斜率商問題
【典例4-1】（2024·湖北荊州·三模）已知，圓心是原點，點，以線段為直徑的圓內切于，動點的軌跡記為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若直線，點，直線過點與曲線交于兩點，與直線交于點.
①若，求直線的斜率；
②若記直線的斜率分別為問是否為定值？如果是，請求出定值；如果不是，請說明理由.
【典例4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在圓上任取一點，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線，過點且斜率不為的直線與曲線交于，兩點.
(1)求曲線的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)已知點，設直線，的斜率分別為，，是否存在實數，使得為定值？若存在，求出值，若不存在，請說明理由.
【變式4-1】在平面直角坐標系中，拋物線：．，為上兩點，且，分別在第一、四象限．

(1)直線與正半軸交于，與負半軸交于，若，求橫坐標的取值范圍；
(2)直線與正半軸交于，與負半軸交于，記的重心為，直線，的斜率分別為，，且．
若，證明：為定值．
(3)若過，作拋物線的切線，，交點在直線上，求面積的最小值.
【變式4-2】如圖，已知橢圓C：與頂點，經過點且斜率存在的直線l交橢圓于Q，N兩點，點B與點Q關于坐標原點對稱，連接AB，AN．求證：存在實數λ，使得恒成立．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點是橢圓的右焦點，拋物線與橢圓在第一象限的公共點的橫坐標為．
(1)求拋物線與橢圓的標準方程；
(2)若分別是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于的兩點，直線的斜率是直線的斜率的3倍，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．
【變式4-4】（2024·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓C：的焦距為，離心率，過點作兩條直線，，直線交橢圓于A，B兩點，直線交橢圓于M，N兩點，A，B，M，N四點均不在坐標軸上，且A，O，M三點共線．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)記直線AM與BN的斜率分別為，且，判斷是否存在非零常數，使得．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
1．（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）已知點，點在以為直徑的圓上運動，軸，垂足為，點滿足，點的軌跡為.
(1)求的方程：
(2)過點的直線交于點，設直線的斜率分別為 ，證明為定值，并求出該定值.
2．已知橢圓的長軸長與短軸長的差為2，且離心率為為坐標原點.
(1)求的方程.
(2)過點且不與軸重合的動直線與相交于兩點，的中點為.
①證明：直線與的斜率之積為定值；
②當的面積最大時，求直線的方程.
3．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知橢圓C：的右頂點為，離心率為，過點的直線l與C交于M，N兩點．
(1)若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；
(2)過點M且垂直于x軸的直線交直線AN于點Q，證明：線段MQ的中點在定直線上．
4．已知橢圓，過點，，分別是的左頂點和下頂點，是右焦點，.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于點，，直線，分別與直線交于不同的兩點，.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
5．如圖所示，設點，點M，N是橢圓上的兩個不同的點，且直線AM與直線AN的斜率之積為．證明：直線MN過定點．
6．（2024·河北保定·三模）設橢圓的左 右頂點分別為，離心率為，且.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點為橢圓上異于的兩動點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.直線與軸相交于點，求的面積的最大值.
7．（2024·高三·遼寧鞍山·開學考試）已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；
(2)求證：直線過定點.
8．求解定值問題的三個步驟
（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數（某些變量）無關；也可令系數等于零，得出定值；
（3）得出結論．
9．（2024·高三·北京·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．
10．已知橢圓：的離心率為， 點，在橢圓上運動. 當直線過橢圓右焦點并垂直于軸時，的面積為（為坐標原點）.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)延長到， 使得，且與橢圓交于點， 若直線，的斜率之積為， 求的值.
11．設拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.
(1)求的方程；
(2)設直線與的另一個交點分別為，設直線的斜率分別為，證明：
（ⅰ）為定值；
（ⅱ）直線恒過定點.
12．如圖所示，已知點，F是橢圓的左焦點，過F的直線與橢圓交于兩點，直線分別與橢圓交于兩點．

(1)證明：直線過定點．
(2)證明：直線和直線的斜率之比為定值．
13．（2024·廣西·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為和，的周長為6，記頂點M的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)已知點E，F，P，Q在C上，且直線EF與PQ相交于點A，記EF，PQ的斜率分別為，．
（ⅰ）設EF的中點為G，PQ的中點為H，證明：存在唯一常數，使得當時，；
（ⅱ）若，當最大時，求四邊形EPFQ的面積．
14．（2024·福建福州·模擬預測）已知雙曲線的上、下頂點分別為．
(1)若直線與交于兩點，記直線與的斜率分別為，求的值；
(2)過上一點作拋物線的切線和，切點分別為，證明：直線與圓相切．
15．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點；
（ii）求面積的最大值．
16．（2024·全國·模擬預測）已知點，直線與拋物線交于B，C兩點（均不同于點A）．設直線AB，AC的斜率分別為，有．
(1)證明：直線經過定點．
(2)若B，C兩點在軸的異側，則存在幾條直線，使的面積為4？
17．（2024·高三·貴州·開學考試）已知雙曲線的離心率為，實軸長為6，A為雙曲線C的左頂點，設直線l過定點，且與雙曲線C交于E，F兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破09 一類與斜率和、差、商、積問題的探究
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：斜率和問題 3
題型二：斜率差問題 12
題型三：斜率積問題 22
題型四：斜率商問題 29
03 過關測試 40
1、已知是橢圓上的定點，直線（不過點）與橢圓交于，兩點，且，則直線斜率為定值．
2、已知是雙曲線上的定點，直線（不過點）與雙曲線交于，兩點，且，直線斜率為定值．
3、已知是拋物線上的定點，直線（不過點）與拋物線交于，兩點，若，則直線斜率為定值．
4、為橢圓上一定點，過點作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
5、設是直角坐標平面內不同于原點的一定點，過作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點記為，．
（1）若，則直線過定點；
（2）若，則直線過定點．
6、過拋物線上任一點引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經過定點．
題型一：斜率和問題
【典例1-1】（2024·山東淄博·二模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個頂點所圍成的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設，滿足．
①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；
②求四邊形ABCD面積的最大值．
【解析】（1）由題意，2ab=4，
又，解得，
所以橢圓的標準方程為．
（2）如圖所示
①設直線AB的方程為，設
聯立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直線和直線的斜率之和為定值0．
②由①，不妨取，則
設原點到直線AB的距離為d，則
又，所以
當且僅當時取等號．
．
即四邊形ABCD的面積的最大值為4．
【典例1-2】如圖，已知橢圓的離心率為，短軸長為2．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與軸交于點，過點的直線與交于兩點，點為直線上任意一點，設直線與直線交于點，記的斜率分別為，求證：．
【解析】（1）由條件可得，解得，
故橢圓的方程為；
（2）設，，若直線與軸不重合時，
設直線的方程為，點，
代入橢圓方程整理得，顯然，
則，
，
若直線與軸重合時，則，
此時，而，故．
綜上所述，．
【變式1-1】（2024·四川·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與的交點為.
(1)若，求拋物線的方程及焦點的坐標；
(2)若點為軸正半軸上的任意一點，過點作直線交拋物線于兩點，點關于原點的對稱點，連接交拋物線于點，求證：.
【解析】（1）設直線方程為：，
由拋物線的性質可知：.
聯立消得：，
，
，解得，
拋物線的方程：，焦點.
（2）設，則，直線的方程為，
聯立消得：，，
，
而，
又知，
所以.
【變式1-2】如圖所示，已知分別過橢圓的左、右焦點的動直線，相交于點P，且，與橢圓E分別交于點A，B和點C，D，直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，滿足，請問是否存在定點M，N，使得為定值？若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】設點，，，．
設點，，將點代入得．
從而直線的方程為，則①．
橢圓方程為，即．
整理得．
上式兩邊同除以得．
由韋達定理得．
同理可設，將點和代入得，則②．
同理可得．
由得，整理得．
因為，所以，即．
所以點在橢圓上，所以存在點M，N使得為定值，點M，N的坐標分別為，．
【變式1-3】（2024·江西鷹潭·二模）設橢圓E：經過點，且離心率，直線垂直x軸交x軸于T，過T的直線l1交橢圓E于，兩點，連接，，．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線PA，PB的斜率分別為，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如圖：過P作x軸的垂線l，過A作PT的平行線分別交PB，l于M，N，求的值．
【解析】（1）由題意知
解得，
所以橢圓E的方程為；
（2）（ⅰ）易知，，，，
設直線的方程為，由直線過知，
聯立方程
得，
變形得：，
即；
（ⅱ）設直線的傾斜角分別為,
則，，，,，，
在中，，
在中，，
所以
由知，，即，
故.
【變式1-4】（2024·重慶渝中·模擬預測）已知橢圓的離心率為，點在上.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線交橢圓于兩點（異于點），過點作軸的垂線與直線交于點，設直線的斜率分別為.證明：
（i）為定值；
（ii）直線過線段的中點.
【解析】（1）由題可知：，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）（i）①當直線的斜率為0時，則不妨設，，
所以為定值.
②當直線的斜率不為0時，設直線，，，
聯立直線與橢圓的方程，消去整理得，
則，，，所以，
所以
.
綜上，為定值.
（ii）設線段的中點為，易得，
可得直線的方程為，則，
直線的方程為，則，
所以，
由（i）知，，所以，
又直線的方程為，所以點在直線上，
即直線過線段的中點.
【變式1-5】（2024·四川成都·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作兩條傾斜角互補的直線，交拋物線于兩點，交拋物線于兩點，連接，設的斜率分別為，求的值；
(3)設，求的值.
【解析】（1）設切點，
因為，所以，，
以點為切點的切線的斜率為，
以點為切點的切線的方程為，
∵切線過點，所以，
∴，同理， ，
所以為方程的兩根，
∴，，
，
∴，，∵
∴ ，∴拋物線方程為.
（2）設方程為，聯立和拋物線方程，得
∴， ，
解得：，
設，，，
∴，同理，.
∴.
∴.
（3），
∴，
由（2）可得，，
同理，
∴，∴點共圓，
，
題型二：斜率差問題
【典例2-1】已知橢圓的離心率為，A，B，C分別為橢圓的左頂點，上頂點和右頂點，為左焦點，且的面積為．若P是橢圓M上不與頂點重合的動點，直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點N．
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線QN和直線QC的斜率）．
【解析】（1）由題意得，又，
解得，
∴橢圓M的標準方程為．
（2）方法一：
直線，
依題意可設直線（且），（注：P不為橢圓頂點），
由，則，
所以，
由，
，所以，
由B，P，N三點共線得，即，
得，
所以，
所以為定值．
方法二：
設直線QC的斜率為k，則直線QC的方程為：，
又，，直線AB的方程為，
由，解得，所以，
由，得，
由，
則，所以，
則，∴，
依題意B、P不重合，所以，即，
所以，
∴直線BP的方程為，
令，即，解得，
∴，
∴，
∴為定值．
方法三：
設點，則，，，
由B，P，N三點共線得，
即，
，，
聯立，得，
所以
，
所以
.
方法四：
設點，則（且）,
由B，P，N三點共線得，即，
直線，，
聯立，得，，
所以，
.
【典例2-2】橢圓C：的離心率，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．
【解析】（1）由橢圓的離心率，則，
又，
解得：，，
則橢圓的標準方程為：；
（2）證明：因為，P不為橢圓頂點，則可設直線BP的方程為
聯立整理得．
則，故，則．
所以
又直線AD的方程為．
聯立，解得
由三點，共線，
得，所以．
的斜率為．
則．
為定值．
【變式2-1】在平面直角坐標系中，已知定點A(1，0)，點M在軸上運動，點N在軸上運動，點P為坐標平面內的動點，且滿足.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)點Q為圓上一點，由Q向C引切線，切點分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當Q運動時，求的取值范圍.
【解析】(1) 設N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因為
所以，即
因為
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)設Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由題意知:切線斜率存在，設為k
切線方程為:y-y0＝k(x-x0)，
聯立，化簡得:ky2-4y+4y0-4kx0=0
△＝16-16k(y-kx0)=0
∴將代入得
，
∴.
∴的取值范圍是
【變式2-2】設、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，線段的中點為，若，求的值.
【解析】（1）設，.
又、都在拋物線上，
即所以，.
由兩式相減得，
直線的斜率為，.
兩邊同除以，且由已知得，
所以，即.
所以拋物線的方程為.
（2）設，，.
因為
所以，所以，
設直線的斜率為，則直線，
由消得.
由，得，即.
所以直線，
同理得直線.
聯立以上兩個方程解得
又，
所以，
所以.
【變式2-3】如圖,已知點是拋物線：的焦點,點在拋物線上,且.
（1）若直線與拋物線交于兩點,求的值;
（2）若點在拋物線上,且拋物線在點處的切線交于點,記直線的斜率分別為,且滿足,求證：的面積為定值.
【解析】（Ⅰ）設,由題意,得,
故,即
代入中,得,所以,
所以拋物線方程為,
聯立方程,得
消去,得,
,記,
根據根與系數的關系,得,
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,拋物線方程為,,
設,,,
因為直線MP,MQ的斜率分別為,
則,
又因為,所以,
直線,直線,
易得
因為直線,
如圖,過S作y軸平行線交PQ于點E,
將的值代入直線PQ的方程,可得,
所以.
所以的面積為定值32.
【變式2-4】如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記，的面積分別為，，若，求的值；
(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．
【解析】（1）設橢圓的焦距為．
依題意可得，，
解得，．
故．
所以橢圓的標準方程為．
（2）設點，，，．
若，則，即有，①
設直線的方程為，與橢圓方程，
可得，
則，，②
將①代入②可得，解得，
則；
（3）由（2）得
，，
所以直線的方程為，
令，得，即．
所以．
所以，
，
，
.
題型三：斜率積問題
【典例3-1】（2024·河北保定·三模）設橢圓C：的左、右頂點和橢圓的左、右焦點均為E，F.P是C上的一個動點（異于E，F），已知直線EP交直線于點A，直線FP交直線于點B.直線AB與橢圓交于點M，N，O為坐標原點.
(1)若b為定值，證明：為定值；
(2)若直線OM，ON的斜率之積恒為，求b.
【解析】（1）證明：易知，，設P（m，n），則，即，
直線PE：，聯立，則，
所以，
直線PF：，，則，
所以，
所以；
（2）設直線AB：，則，，
則，即，
令直線AB與橢圓聯立，消去y，整理得，
需滿足，設，，則，，
因為，，
所以，
所以，所以，
整理得，所以，
所以，解得.
【典例3-2】已知橢圓左右焦點分別為橢圓的左右頂點，過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點，交橢圓于點，且與的周長之差為.
(1)求橢圓與橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓相交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
【解析】（1）設橢圓的半焦距為，由橢圓的定義可知的周長為的周長為，
又與的周長之差為，
所以，
又因橢圓左右焦點分別為橢圓的左右頂點.
，
聯立解得，從而有，
所以，解得，
所以所求橢圓的方程為，橢圓的方程為.
（2）由（1）可知橢圓的方程為，
設，則有，
于是.
【變式3-1】（2024·高三·浙江·開學考試）如圖，已知拋物線的焦點為，過點作一條不經過的直線，若直線與拋物線交于異于原點的兩 點，點在軸下方，且在線段上．
(1)試判斷：直線的斜率之積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
(2)過點作的垂線交直線于點，若的面積為4，求點的坐標，
【解析】（1）若的斜率不存在，則點不存在或與原點重合；
若的斜率不存在，則點A與原點重合，因此，直線與的斜率均存在，
設直線，
代入拋物線方程得：，
設則，，
，
所以直線的斜率之積為定值1.
（2）由題意可知，的斜率為，方程為，
設點，所以直線，
解方程組，得，
因此直線與的交點坐標為，
因為，由（1）得，
所以直線，解方程組，
得，得，
所以為的中點，從而，
，
所以因為，解得或，
因此，所求的點的坐標為與．
【變式3-2】（2024·廣東·一模）設兩點的坐標分別為. 直線相交于點，且它們的斜率之積是. 設點的軌跡方程為.
(1)求;
(2)不經過點的直線與曲線相交于、兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.
【解析】（1）設點的坐標為，因為點的坐標是，
所以直線 的斜率，
同理，直線 的斜率，
由已知，有，
化簡，得點的軌跡方程為，
即點的軌跡是除去 兩點的橢圓.
（2）證明：設
①當直線斜率不存在時，可知 ，
且有，
解得，此時直線為 0，
②當直線斜率存在時，設直線 ，則此時有：
聯立直線方程與橢圓方程 ，
消去 可得： ，
根據韋達定理可得： ，，
所以，
所以，
所以
所以，則或，
當時，則直線 恒過點與題意不符，舍去，
故，直線恒過原點，
結合①，②可知，直線恒過原點 ，原命題得證.
【變式3-3】（2024·廣西柳州·一模）已知橢圓的左右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，的面積為，點為橢圓的下頂點，.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)橢圓上有兩點，（異于橢圓頂點且與軸不垂直），當的面積最大時，證明：直線與的斜率之積為定值.
【解析】（1）由題意可得：在中，，即，所以，
橢圓：中，令可得，
所以，可得，所以，
所以，因為，，
則，
可得，所以，，
所以橢圓的標準方程為：.
（2）設直線的方程為：，，，
由可得：，
，即，
，，
所以
，
點到直線的距離，
所以的面積為
，當且僅當即時等號成立，
，
所以當的面積最大時，直線與的斜率之積是.
【變式3-4】（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數，證明：直線過定點．
【解析】（1）由已知得，，所以，
又點在上，故，
解得，，
所以雙曲線的方程為：．
（2）當斜率不存在時，顯然不滿足條件．
當斜率存在時，設其方程為，與方程聯立聯立，消去得，
由已知得，且，
設，，則，，
直線，的斜率分別為，，
由已知，故，
即，
所以，
化簡得，又已知不過點，故，
所以，即，
故直線的方程為，所以直線過定點．
題型四：斜率商問題
【典例4-1】（2024·湖北荊州·三模）已知，圓心是原點，點，以線段為直徑的圓內切于，動點的軌跡記為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若直線，點，直線過點與曲線交于兩點，與直線交于點.
①若，求直線的斜率；
②若記直線的斜率分別為問是否為定值？如果是，請求出定值；如果不是，請說明理由.
【解析】（1）設的中點為，切點為，連接，，取關于軸的對稱點，
連接，則，
故，
所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
其中，，則，則曲線C的方程為；
（2）設
依題意，直線的斜率必定存在，設，
，可得，恒成立，
則有，，
①若，則有，
解得，故其斜率為；
②易得，， ，同理可得，
則，而，
由，，則，則，
故，即定值為.
【典例4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在圓上任取一點，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線，過點且斜率不為的直線與曲線交于，兩點.
(1)求曲線的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)已知點，設直線，的斜率分別為，，是否存在實數，使得為定值？若存在，求出值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設點，，則，由，
即，
因此，而，即，
所以曲線的方程為．
（2）設直線為，，，
由，消去整理得，
由，則，
所以，，
所以
，
令，，則，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以面積的最大值為.
（3）存在，，使得為定值.
依題意，，且，，
則，
所以，
，
要使為定值，則，解得或（舍去），
所以存在，使得為定值.
【變式4-1】在平面直角坐標系中，拋物線：．，為上兩點，且，分別在第一、四象限．

(1)直線與正半軸交于，與負半軸交于，若，求橫坐標的取值范圍；
(2)直線與正半軸交于，與負半軸交于，記的重心為，直線，的斜率分別為，，且．
若，證明：為定值．
(3)若過，作拋物線的切線，，交點在直線上，求面積的最小值.
【解析】（1）設，，由題意知，設直線：，
又直線與正半軸交于，與負半軸交于，
則，，
聯立，整理得，
所以，，
則，
，
若，則，
解得，，
又，則橫坐標的取值范圍為；
（2）因為為重心，所以，
由（1）可得
設，，
又直線與正半軸交于，與負半軸交于，
則，，
由直線：，則，，，
所以，
由，則，即，
又，
，
因此時，為定值．
（3）設過點的切線方程為，
則聯立方程，化簡可得，
因為直線與拋物線相切，則，得，
而為拋物線上一點，則，
代入可得，得，
，則，即，
即過點的切線方程為．
因此過的切線：,
過的切線： ,
又切線與切線的交點在直線上，可設，
，，
即，的坐標都滿足方程，
所以，直線方程為，
故直線過定點，因此,
由聯立可得，,
可得，，
則，
當且僅當時取等號.
所以面積的最小值為.
【變式4-2】如圖，已知橢圓C：與頂點，經過點且斜率存在的直線l交橢圓于Q，N兩點，點B與點Q關于坐標原點對稱，連接AB，AN．求證：存在實數λ，使得恒成立．
【解析】設，由，可得．
設，則
,
∴．
又N，E，Q三點共線，則，即，∴．
∵，則，
∴存在實數，使得恒成立．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點是橢圓的右焦點，拋物線與橢圓在第一象限的公共點的橫坐標為．
(1)求拋物線與橢圓的標準方程；
(2)若分別是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于的兩點，直線的斜率是直線的斜率的3倍，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．
【解析】（1）由拋物線的定義知，，
拋物線的標準方程為，
．
設橢圓的左焦點為，則，
連接，由橢圓的定義知，
解得，
又，則，
，
橢圓的標準方程為．
（2）由（1）知，
若直線的斜率為0，由橢圓的對稱性知直線的斜率與直線的斜率互為相反數，不滿足題意，故直線的斜率不能為0，
設，直線的方程為，
代入并整理，得，
①
．
由題知，
，
，解得．
將代入①得，
直線的方程為，則直線過定點．
【變式4-4】（2024·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓C：的焦距為，離心率，過點作兩條直線，，直線交橢圓于A，B兩點，直線交橢圓于M，N兩點，A，B，M，N四點均不在坐標軸上，且A，O，M三點共線．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)記直線AM與BN的斜率分別為，且，判斷是否存在非零常數，使得．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意得，，
所以，，
則，
所以橢圓C的標準方程為．
（2）如圖所示：
由題意可知A，M是橢圓C上不在坐標軸上的兩點，且A，M關于坐標原點O對稱，
設，則，，，且，．
設直線：，，
聯立方程可得，消去y，得，
則，所以．
因為，，
所以，
所以，
所以．
同理，設直線：，，
因為，，
所以，
所以，
所以．
因為直線AM與BN的斜率分別為，，所以，
，所以，
所以存在非零常數，使得，且．
1．（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）已知點，點在以為直徑的圓上運動，軸，垂足為，點滿足，點的軌跡為.
(1)求的方程：
(2)過點的直線交于點，設直線的斜率分別為 ，證明為定值，并求出該定值.
【解析】（1）依題意，點在圓上運動，設，
由，得，
則，又，即，
所以的方程為.
（2）依題意，直線斜率存在，設直線的方程為，
由，得，則，
又，
則
，
所以為定值.
2．已知橢圓的長軸長與短軸長的差為2，且離心率為為坐標原點.
(1)求的方程.
(2)過點且不與軸重合的動直線與相交于兩點，的中點為.
①證明：直線與的斜率之積為定值；
②當的面積最大時，求直線的方程.
【解析】（1）設的半焦距為，
由已知，得解得
故的方程為.
（2）
①由題可設.
將，消去，得.
當，即時，有.
所以，即，
可得，所以，即直線與的斜率之積為定值.
②由（1）可知
又點到直線的距離，
所以的面積.
設，則，
當且僅當，即時等號成立，且滿足.
所以當的面積最大時，直線的方程為或.
3．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知橢圓C：的右頂點為，離心率為，過點的直線l與C交于M，N兩點．
(1)若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；
(2)過點M且垂直于x軸的直線交直線AN于點Q，證明：線段MQ的中點在定直線上．
【解析】（1）由題意知，
解得，，，
所以C的方程為，
顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為：，，，
由，得，
由方程的判別式，可得，
所以，，
易得，所以，，
所以
，
（2）證明：設線段MQ的中點為，又，，
所以，，即，又A，N，Q三點共線，
所以，即，
所以，又，
又
所以
，
所以，即線段MQ的中點在定直線上．
4．已知橢圓，過點，，分別是的左頂點和下頂點，是右焦點，.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于點，，直線，分別與直線交于不同的兩點，.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）由橢圓過點，得，
由，得橢圓半焦距，則長半軸長，
所以的方程為.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設直線的方程為，，
由消去x得，顯然，
，直線的方程為，
令，得點的縱坐標，同理點的縱坐標，
因此
為定值，
所以為定值.
5．如圖所示，設點，點M，N是橢圓上的兩個不同的點，且直線AM與直線AN的斜率之積為．證明：直線MN過定點．
【解析】縱坐標不變，橫坐標變為原來的，得到平面．
通過仿射變換后，橢圓變為圓．
于是．
同理，故．
如圖所示，連接，，則，，故直線，的傾斜角與，互余．
從而，，故．
∵，∴
設直線與軸交于點，點，到直線的距離分別為，．
從而，故，即，此時是的中點．
∵點，，且易知點，∴直線必過定點．
因此，直線MN也過點．
6．（2024·河北保定·三模）設橢圓的左 右頂點分別為，離心率為，且.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點為橢圓上異于的兩動點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.直線與軸相交于點，求的面積的最大值.
【解析】（1）因為，
所以解得
所以橢圓的標準方程為；
（2）由可得點，
設，直線，直線，
聯立消去得，解得.
聯立消去得，解得.
因為，且，
此時，
設，由三點共線，所以，
則
，
所以.
所以，
當且僅當，即時等號成立.
所以的最大值為.
7．（2024·高三·遼寧鞍山·開學考試）已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；
(2)求證：直線過定點.
【解析】（1）由題意，可得，
所以橢圓，且
設，則，即，
可得，
所以為定值.
（2）解法一：設，則，
可得，
設直線，，
聯立方程，消去x可得，
則，解得，
且，
則，
整理可得，
則，
因為，則，解得，
所以直線過定點
解法二：設，則，
直線，可知與橢圓必相交，
聯立方程，消去y可得，
則，解得，
同理，
直線的斜率存在時，，
則，
令，；
當的斜率不存在時，則，解得；
綜上所述：直線過定點
8．求解定值問題的三個步驟
（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數（某些變量）無關；也可令系數等于零，得出定值；
（3）得出結論．
9．（2024·高三·北京·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．
【解析】（1）由的周長為16，及橢圓的定義，可知：，即，
又離心率為所以
．
所以橢圓C的方程為：．
（2）依題意，直線l與x軸不重合，
設l的方程為：．
聯立得：，
因為在橢圓內，所以，
即，易知該不等式恒成立，
設，
由韋達定理得．
又，則
注意到，即：
.
10．已知橢圓：的離心率為， 點，在橢圓上運動. 當直線過橢圓右焦點并垂直于軸時，的面積為（為坐標原點）.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)延長到， 使得，且與橢圓交于點， 若直線，的斜率之積為， 求的值.
【解析】（1）由題意可得：，
解得：，，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設點，，，，則，
，
，，
且，，，
，
整理可得：，
，即，故.
11．設拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.
(1)求的方程；
(2)設直線與的另一個交點分別為，設直線的斜率分別為，證明：
（ⅰ）為定值；
（ⅱ）直線恒過定點.
【解析】（1）由焦半徑公式知：，，
的方程為：.
（2）由（1）知：，
可設直線方程為：，設則
直線方程為：
聯立
，將代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直線的方程為：
由得：即，
，
直線的方程為：，
直線恒過定點.
12．如圖所示，已知點，F是橢圓的左焦點，過F的直線與橢圓交于兩點，直線分別與橢圓交于兩點．

(1)證明：直線過定點．
(2)證明：直線和直線的斜率之比為定值．
【解析】（1）證明：因為F是橢圓的左焦點，所以，
當直線斜率為0時，直線方程為，則定點在軸上；
當直線斜率不為0時，
經過與的二次曲線可以設為，
設經過四點的二次曲線系為．
因為點F在直線上，所以將代入上式，解得．
從而直線和直線的方程為．
令，得，解得或（與點重合，舍去），
故直線過定點．
（2）證明：設直線和直線的斜率分別為，，
設曲線系方程為，
因為上式等號左邊的系數為，y的系數為為互為相反數，
所以上式等號右邊也滿足該條件，前的系數為，y前的系數為，
于是，即，
所以．
13．（2024·廣西·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為和，的周長為6，記頂點M的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)已知點E，F，P，Q在C上，且直線EF與PQ相交于點A，記EF，PQ的斜率分別為，．
（ⅰ）設EF的中點為G，PQ的中點為H，證明：存在唯一常數，使得當時，；
（ⅱ）若，當最大時，求四邊形EPFQ的面積．
【解析】（1）由點的坐標分別為和，其中的周長為，
可得，則，
又由橢圓定義可知，動點在以為焦點，且長軸長為4的橢圓上，
又不能在直線上，所以橢圓的方程為．
（2）（ⅰ）設，，，設直線EF的方程為，
聯立，整理得，可得，
則，，即，
同理可得，所以，
欲使，則，即，所以，
所以存在唯一常數，使得當時，．
（ⅱ）由（ⅰ）知，且，
則，
即，同理可得，
因為，所以，
記，
所以，
當且僅當，即時取等，
由橢圓的對稱性，不妨設此時，，且直線EF和PQ的夾角為，
則，可得，
此時， ，且，
所以四邊形EPFQ的面積為．
14．（2024·福建福州·模擬預測）已知雙曲線的上、下頂點分別為．
(1)若直線與交于兩點，記直線與的斜率分別為，求的值；
(2)過上一點作拋物線的切線和，切點分別為，證明：直線與圓相切．
【解析】（1）由雙曲線可知其焦點坐標為，
如圖：
易知，.
由得：，整理得：，.
，設，.
則，，所以.
因為：，，
所以.
（2）證明：由，求導得：.
設，，，則，
則切線的方程為：，
同理切線的方程為：，
為，的交點，聯立以及，
可得：.
因為直線必存在斜率，設直線方程為：，
代入得，需滿足，
則，，所以，
又在雙曲線上，所以.
所以原點到直線的距離：.
所以直線與圓相切．
15．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程．
(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．
（i）證明：直線過定點；
（ii）求面積的最大值．
【解析】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，點，設直線的方程為，設，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當時，直線過點，不符合題意，因此，
直線：恒過定點.
（ii）由（i）知，，
則，
因此的面積
，當且僅當，即時取等號，
所以面積的最大值為.
16．（2024·全國·模擬預測）已知點，直線與拋物線交于B，C兩點（均不同于點A）．設直線AB，AC的斜率分別為，有．
(1)證明：直線經過定點．
(2)若B，C兩點在軸的異側，則存在幾條直線，使的面積為4？
【解析】（1）設直線的方程為（一定存在，且．
聯立，得整理，得．
由，得，即．
設，則．
由題意，得．同理可得．
由，得．
化簡，得，故，即．
故直線的方程為，所以直線經過定點．
（2）
由及，可得，解得或．
因為及，所以，且，解得且．
由弦長公式，得．
由點到直線的距離公式，得點到直線的距離，
所以的面積為．
設函數，則．
因為當且時，恒成立（當時，），
所以當時，；當時，．
故在區間上單調遞減，在區間，上單調遞增．
因為的面積為4，所以．
又，
所以由零點存在定理，可知方程有唯一實根，
所以存在唯一一條直線，使的面積為4．
17．（2024·高三·貴州·開學考試）已知雙曲線的離心率為，實軸長為6，A為雙曲線C的左頂點，設直線l過定點，且與雙曲線C交于E，F兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．
【解析】（1）因為雙曲線的實軸長為6，所以，
因為雙曲線的離心率為，所以，解得，
由，得，則C的方程為．
（2）
設，，因為直線過定點，顯然直線l不垂直于軸，則設直線，
聯立方程組，消去x得，
由，得，
則，，
因為A為雙曲線C的左頂點，所以，
直線AE的斜率，直線AF的斜率，
所以
，
即直線AE與AF的斜率之積為定值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑