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重難點突破08 圓錐曲線的垂直弦問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 3
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 3
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 4
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 5
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點 6
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點 7
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點 8
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題 10
題型八：兩條互相垂直的弦中點范圍與最值問題 11
03 過關(guān)測試 12
1、過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
2、過橢圓的長軸上任意一點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
3、過橢圓的短軸上任意一點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
4、過橢圓內(nèi)的任意一點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
5、以為直角定點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
6、以上頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在軸上．
7、以右頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在軸上．
8、以為直角定點的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，
9、以為直角定點的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
【典例1-1】已知橢圓的左右焦點分別，若______．
請把以下兩個條件中任選一個補充在橫線上作答（若都選擇，則按照第一個解答給分）
①四點中，恰有三點在橢圓C上．
②橢圓C經(jīng)過，軸，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點D為橢圓C的上頂點，過點D作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A、B兩點，過D作直線AB的垂線垂足為M，判斷y軸上是否存在定點N，使得為定值？請證明你的結(jié)論．
【典例1-2】如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線、與橢圓交于、兩點，證明直線過定點，并求面積的最大值．
【變式1-1】已知橢圓的上、下頂點分別為，，上焦點為，，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的弦交于，兩點.當(dāng)點變化時，直線是否過定點？并說明理由.
【變式1-2】已知橢圓：（）的離心率，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作橢圓的兩條互相垂直的弦、，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點Р與定點F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)設(shè)過點A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M，N(異于點A)，求證：直線MN過定點.
【典例2-2】已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點作互相垂直的直線AM AN分別交雙曲線于M N兩點.設(shè)線段AM AN的中點分別為B C，直線OB OC（O為坐標(biāo)原點）的斜率都存在且它們的乘積為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點A作（D為垂足），請問：是否存在定點E，使得為定值？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【變式2-1】已知雙曲線C：經(jīng)過點，且雙曲線C的右頂點到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點（A，B兩點均與點P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
【典例3-1】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線l交拋物線于A，B兩點，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)過點且互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點M，N，證明：直線過定點．
【典例3-2】已知拋物線C：與橢圓E：的一個交點為，且E的離心率.
(1)求拋物線C和橢圓E的方程；
(2)過點A作兩條互相垂直的直線AP，AQ，與C的另一交點分別為P，Q，求證：直線PQ過定點.
【變式3-1】已知拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點恰在拋物線的準(zhǔn)線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點，過點作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點，證明直線恒經(jīng)過某一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【變式3-2】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是C的焦點，M是C上一點，，．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點
【典例4-1】已知橢圓的左右焦點分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，證明：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【典例4-2】已知橢圓過點，且長軸長為4.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點分別為.證明；直線必過定點.
【變式4-1】已知定點，關(guān)于原點O對稱的動點P，Q到定直線l：的距離分別為，，且，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)當(dāng)時，過點F的兩條互相垂直的直線與曲線C分別交于A，B，C，D兩點，弦AB，CD的中點分別為M，N，求證：直線MN過定點；
(3)在（2）條件下，當(dāng)M，N，F(xiàn)三點可構(gòu)成三角形時，求的取值范圍．
【變式4-2】（2024·高三·天津河西·期末）已知橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為，且離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為的左頂點，過點作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點，證明：直線經(jīng)過定點，并求這個定點的坐標(biāo)．
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點
【典例5-1】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點 若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標(biāo).
【典例5-2】（2024·黑龍江·三模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的左焦點作互相垂直的兩條直線，且與交于兩點，與交于兩點，為線段的中點，為線段的中點，證明：直線過定點.
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點
【典例6-1】已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點，交拋物線于，兩點，若線段的中點為，線段的中點為，證明：直線過定點．
【典例6-2】已知拋物線：焦點為，為上的動點，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.
(1)求的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點，交于，兩點，且，分別為線段和的中點.直線是否恒過一個定點 若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由.
【變式6-1】過點作拋物線在第一象限部分的切線，切點為A，F(xiàn)為的焦點，為坐標(biāo)原點，的面積為1．
(1)求的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點，交于P，Q兩點，且M，N分別為線段CD和PQ的中點．直線MN是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【變式6-2】已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4，點到焦點的距離為5.過點做兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點分別為.

(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點作，且垂足為，
（ⅰ）求證直線過定點，并求定點坐標(biāo)；
（ⅱ）求的最大值.
【變式6-3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點A，B和M，N.設(shè)線段，的中點分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點.
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題
【典例7-1】設(shè)橢圓的兩焦點為，，為橢圓上任意一點，點到原點最大距離為2，若到橢圓右頂點距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)橢圓的上、下頂點分別為、，過作兩條互相垂直的直線交橢圓于、，問直線是否經(jīng)過定點？如果是，請求出定點坐標(biāo)，并求出面積的最大值.如果不是，請說明理由.
【典例7-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點分別為，.
(1)寫出橢圓右焦點的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
【變式7-1】已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，，上頂點為，坐標(biāo)原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過A點作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.
題型八：兩條互相垂直的弦中點范圍與最值問題
【典例8-1】如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點與拋物線相交于點，，當(dāng)恰好為線段的中點時，．

(1)求拋物線的方程；
(2)求的最小值．
【典例8-2】（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點、上頂點，過原點的直線交橢圓于A，B兩點，滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的下頂點為，過點作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個交點分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍．
【變式8-1】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于點，且．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，，與交于，兩點，與交于，兩點，設(shè)線段的中點為，線段的中點為，求面積的最小值．
【變式8-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點為，過焦點且斜率為的直線交拋物線于兩點，
(1)求拋物線方程；
(2)若，求的值；
(3)過點作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于四點，且分別為線段的中點，求的面積最小值．
1．已知橢圓，離心率為，點在橢圓上．
(1)求E的方程；
(2)過點作互相垂直的兩條直線與，設(shè)交E于A，B兩點，交E于C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N．探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
2．已知橢圓過點，點是橢圓的右焦點，且.過點作兩條互相垂直的弦，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線，的斜率都存在，設(shè)線段，的中點分別為，.求點到直線的距離的最大值.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點和兩點，設(shè)的中點分別為，求面積的最大值．
4．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，若_____，
請在以下兩個條件中任選一個補充在橫線上并作答．
①四點、、、中，恰有三點在橢圓上；
②橢圓經(jīng)過點，與軸垂直，且．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)是橢圓的上頂點，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于、兩點，過點作線段的垂線，垂足為，判斷在軸上是否存在定點，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.
5．已知橢圓的左頂點為，過作兩條互相垂直的直線且分別與橢圓交于兩點（異于點），設(shè)直線的斜率為，為坐標(biāo)原點.
(1)用表示點的坐標(biāo)；
(2)求證：直線過定點；
(3)求的面積的取值范圍.
6．在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點M，且它們的斜率之積是．
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)記動點M的軌跡為曲線E，過作兩條互相垂直的直線，，與曲線E交于A、B兩點，與曲線E交于C、D兩點，求的最大值．
7．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標(biāo)；
(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，直線與交于A，B兩點，直線與交于D，E兩點，的最小值；
(3)為曲線上一點，且的橫坐標(biāo)大于4．過作圓的兩條切線，分別交軸于點、，求三角形面積的取值范圍.
9．已知點P是曲線C上任意一點，點P到點的距離與到直線y軸的距離之差為1.
(1)求曲線C的方程；
(2)若過不在曲線C上的一點M作互相垂直的兩條直線，分別與曲線在y軸右側(cè)的部分相切于A，B兩點，求證：直線AB過定點，并求出定點坐標(biāo).
10．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上一點作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．
11．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知橢圓，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率，點P為該橢圓上一點，且△F1PF2的面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的上頂點B作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點D、E，求線段DE長度的最大值.
12．（2024·新疆·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G的準(zhǔn)線方程為.
(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線和，與拋物線交于P，Q兩點，與拋物線交于C，D兩點，M，N分別是線段PQ，CD的中點，求△FMN面積的最小值.
13．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知拋物線，點F為其焦點，P為T上的動點，若|PF|的最小值為1.
(1)求拋物線T的方程；
(2)過x軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線T分別相交于點和C，D，點H，K分別為的中點，求△EHK面積的最小值.
14．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．
(1)求直線的斜率k的取值范圍；
(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標(biāo)．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點突破08 圓錐曲線的垂直弦問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 3
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 3
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 9
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 13
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點 16
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點 21
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點 24
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題 29
題型八：兩條互相垂直的弦中點范圍與最值問題 34
03 過關(guān)測試 39
1、過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
2、過橢圓的長軸上任意一點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
3、過橢圓的短軸上任意一點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
4、過橢圓內(nèi)的任意一點作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點．
5、以為直角定點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
6、以上頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在軸上．
7、以右頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在軸上．
8、以為直角定點的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，
9、以為直角定點的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
【典例1-1】已知橢圓的左右焦點分別，若______．
請把以下兩個條件中任選一個補充在橫線上作答（若都選擇，則按照第一個解答給分）
①四點中，恰有三點在橢圓C上．
②橢圓C經(jīng)過，軸，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點D為橢圓C的上頂點，過點D作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A、B兩點，過D作直線AB的垂線垂足為M，判斷y軸上是否存在定點N，使得為定值？請證明你的結(jié)論．
【解析】（1）若選①：因為中有三點在橢圓上，
由于關(guān)于原點對稱，所以均在橢圓上，
又因為的橫坐標(biāo)相同，所以不在橢圓上，在橢圓上，
所以，所以，所以橢圓的方程為；
若選②：因為軸，，所以，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，，
因為，所以且，
解得，此時顯然不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，
聯(lián)立可得，
且，即，
所以，
所以
，
所以，
化簡可得，解得或，
當(dāng)時，過點，顯然不符合題意，
當(dāng)，過定點，
若時，此時為直角三角形且為斜邊，
所以當(dāng)為中點時，，即為定值；
當(dāng)時，此時重合，取，則，符合情況，
綜上所述，存在使得為定值.
【典例1-2】如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線、與橢圓交于、兩點，證明直線過定點，并求面積的最大值．
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
所以，橢圓的方程為．
（2）易知點，設(shè)點、，則，
若直線軸，則，，
所以，，不合乎題意，
設(shè)的直線方程為，
聯(lián)立，整理得，
，
由韋達(dá)定理可得，．
因為，且，，
所以，
，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
所以，直線的方程為，
，
則．
令，
則，
由對勾函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)在上為增函數(shù) ，
則．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，
此時最大值為．
【變式1-1】已知橢圓的上、下頂點分別為，，上焦點為，，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的弦交于，兩點.當(dāng)點變化時，直線是否過定點？并說明理由.
【解析】（1）由題意，橢圓焦點在軸上，且，則.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）如圖：
由題意：直線的斜率一定存在，設(shè)直線：，
聯(lián)立，消去得：，
設(shè)，則，.
設(shè)，用代替得：，.
所以直線得方程為：
令，得：
所以直線過定點.
【變式1-2】已知橢圓：（）的離心率，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作橢圓的兩條互相垂直的弦、，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．
【解析】（1），，
又，，
故橢圓的方程為
（2）
法一：當(dāng)直線的斜率不存在時，
設(shè)，，
代入，得：（舍），
此時：
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，聯(lián)立得：
，，
，，
，
，
代入整理得：，
，
當(dāng)，此時：，過定點，舍去．
當(dāng)，此時：，過定點
綜上有，直線始終過定點
法二：利用齊次式：依題意可知：設(shè)：，
橢圓的方程為，，
則：，
即：
A：當(dāng)，的斜率存在時，，
即：
，，
此時：，
即：，故，
此時直線是否過定點．
B：當(dāng)，的斜率一個為0，另一個不存在時，不妨取，，
此時直線：，也過點，
綜上有，直線始終過定點．
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點Р與定點F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)設(shè)過點A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M，N(異于點A)，求證：直線MN過定點.
【解析】（1）設(shè)P(x，y)，
因為P與定點F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，
所以，
化簡得，
所以曲線E的方程為.
（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為，，
分別聯(lián)立，解得M(，)，N(，－)，
此時直線MN的方程為，過點(，0)；
當(dāng)直線MN斜率存在時設(shè)其方程為，()
由，消去y得，
所以，即，
，，
因為AM⊥AN，
所以，即，
即，
即，
將，代入化簡得：，
所以或，
當(dāng)時，直線MN方程為(不符合題意舍去)，
當(dāng)時，直線MN方程為，MN恒過定點(，0)，
綜上所述直線MN過定點(，0).
【典例2-2】已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點作互相垂直的直線AM AN分別交雙曲線于M N兩點.設(shè)線段AM AN的中點分別為B C，直線OB OC（O為坐標(biāo)原點）的斜率都存在且它們的乘積為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點A作（D為垂足），請問：是否存在定點E，使得為定值？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設(shè) ，線段AM AN的中點分別為 ，
由已知，得；
兩式相減，得，即①
根據(jù)中點坐標(biāo)及斜率公式，得
，，，.代入①，
得②同理，得③，②③相乘，得.
∵，，∴④
由，與④聯(lián)立，得，，
雙曲線的方程為：.
（2）①當(dāng)時，設(shè)，，，，
由AM AN互相垂直，得，
由解得（此時無實數(shù)解，故舍去），或（此時M N至少一個點與A重合，與條件不符，故舍去）.綜上，此時無符合條件的解.
②當(dāng)不成立時，設(shè)直線，
代入得，且
∵
∴，即，
解得：或.
當(dāng)時，過點，與條件不符，舍去.
∴ ，，過定點
∴ AP中點，由于（D為垂足），故.
綜上所述，存在定點，使得為定值.
【變式2-1】已知雙曲線C：經(jīng)過點，且雙曲線C的右頂點到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點（A，B兩點均與點P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．
【解析】（1）已知雙曲線C：經(jīng)過點，
則，
右頂點為，不妨取漸近線為，即，
則，
從而可解得，
所以雙曲線C的方程為；
（2）設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，
則，
，
，
因為，則，
即，
即，
即，
整理得，
所以.
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
【典例3-1】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線l交拋物線于A，B兩點，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)過點且互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點M，N，證明：直線過定點．
【解析】（1）拋物線的焦點，則直線的方程為：，
由消去y并整理得，，顯然，設(shè)，
則，因此，解得，
所以拋物線的方程為：.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，點，
由消去x得，，當(dāng)時，，
由，得，
顯然，因此，滿足，則直線：，過定點，
所以直線過定點.
【典例3-2】已知拋物線C：與橢圓E：的一個交點為，且E的離心率.
(1)求拋物線C和橢圓E的方程；
(2)過點A作兩條互相垂直的直線AP，AQ，與C的另一交點分別為P，Q，求證：直線PQ過定點.
【解析】（1）因為點在拋物線C：上，
所以，得，所以拋物線方程為，
因為點在橢圓E：上，離心率，
所以，解得，
所以橢圓方程為
（2）由題意可知直線的斜率不為零，所以設(shè)直線為，，
由，得，
由，得，則，
由題意可知直線，的斜率均存在且不為零，
所以，，
因為，所以，
所以，則，
所以，得，所以直線為，
所以，所以直線恒過定點
【變式3-1】已知拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點恰在拋物線的準(zhǔn)線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點，過點作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點，證明直線恒經(jīng)過某一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）由已知得，設(shè)，則中點為，
關(guān)于直線對稱，
點R在直線l上，
，解得，即．
又由，得直線的斜率，
，解得，
∴．
（2）證明：設(shè)直線的方程為，、均不與M重合，
由得，
，．
由（1）得，
，，
又由得，即，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
直線的方程為，即，
∴直線恒過定點．
【變式3-2】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是C的焦點，M是C上一點，，．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．
【解析】（1）由，可得，
代入．
解得或（舍），
所以拋物線的方程為：．
（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由，得，從而，
則．
所以，
，
∵，
∴，
故，
整理得．即，
從而或，
即或．
若，則，過定點，與Q點重合，不符合；
若，則，過定點．
綜上，直線過異于Q點的定點．
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點
【典例4-1】已知橢圓的左右焦點分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，證明：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）拋物線焦點坐標(biāo)為，故.
設(shè)，由拋物線定義得：點P到直線的距離為t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由橢圓定義，得，
，
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)，
聯(lián)立，
即，
，代入直線方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直線MN過定點.
【典例4-2】已知橢圓過點，且長軸長為4.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點分別為.證明；直線必過定點.
【解析】（1）依題意，，故，而，
所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，設(shè)直線的方程為，，
由，得直線的方程為，
由消去得：，
則，故，
于是，由代替，得，
當(dāng)，即時，直線：，過點，
當(dāng)，即時，直線的斜率為，
直線：，令，
因此直線恒過點，
當(dāng)直線之一垂直于軸，另一條必垂直于軸，直線為軸，過點，
所以直線恒過點.
【變式4-1】已知定點，關(guān)于原點O對稱的動點P，Q到定直線l：的距離分別為，，且，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)當(dāng)時，過點F的兩條互相垂直的直線與曲線C分別交于A，B，C，D兩點，弦AB，CD的中點分別為M，N，求證：直線MN過定點；
(3)在（2）條件下，當(dāng)M，N，F(xiàn)三點可構(gòu)成三角形時，求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)，則，
由可得，化簡可得，
故曲線C的方程為，表示焦點為的橢圓，
（2）由（1）知：C的方程為，
設(shè)直線方程為，,
聯(lián)立與可得，
故故，進(jìn)而，故，
用替換，可得，
故直線方程為，化簡得，
進(jìn)而，故直線過定點
當(dāng)時，直線直線，此時,
直線顯然經(jīng)過點，
故直線恒過定點
（3）由（2）知，，
所以
，
由于,故，
由于根據(jù)奇偶性不妨只考慮，則，
記，，則，
對于可知，故，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，
故在取最大值，，故此時面積最大值為，
當(dāng)時，，故
【變式4-2】（2024·高三·天津河西·期末）已知橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為，且離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為的左頂點，過點作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點，證明：直線經(jīng)過定點，并求這個定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）由橢圓定義知：，解得：，
又離心率，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由（1）知：；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，
由得：，
則，解得：，
，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
當(dāng)時，直線恒過點，不合題意；
當(dāng)時，直線，恒過定點；
當(dāng)直線斜率不存在且恒過時，即，
由得：，，滿足題意；
綜上所述：直線恒過定點.
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點
【典例5-1】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點 若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點坐標(biāo)為，
依題意漸近線方程為，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦點，
設(shè)直線：，，，
由聯(lián)立直線與雙曲線，
化簡得，，
故，，
，
又，則，
同理可得：
，
，
化簡得，
故直線過定點.
【典例5-2】（2024·黑龍江·三模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的左焦點作互相垂直的兩條直線，且與交于兩點，與交于兩點，為線段的中點，為線段的中點，證明：直線過定點.
【解析】（1）由雙曲線的一條漸近線方程為，
且點在上，
有解得故雙曲線的方程為.
（2）由題意可知不與漸近線平行，
當(dāng)與坐標(biāo)軸平行時，顯然直線與軸重合.
當(dāng)不與坐標(biāo)軸平行時，左焦點為，
不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立
消去并整理得，，
設(shè)，則
所以，所以.
又直線互相垂直，用替換，則可得.
當(dāng)，即時，直線的方程為，直線過；
當(dāng)時，直線的斜率為，
所以直線的方程為，
令，所以直線過.
綜上，直線恒過點.
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點所在直線過定點
【典例6-1】已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點，交拋物線于，兩點，若線段的中點為，線段的中點為，證明：直線過定點．
【解析】（1）由對稱性可知等邊三角形的頂點在上，
代入得：，解得：，
所以拋物線方程為：；
（2）由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，
則直線方程為，
由聯(lián)立得：，
設(shè)，則，
故，同理得
故直線MN方程為
整理得：，故直線MN過定點
【典例6-2】已知拋物線：焦點為，為上的動點，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.
(1)求的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點，交于，兩點，且，分別為線段和的中點.直線是否恒過一個定點 若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由.
【解析】（1）拋物線：焦點為，準(zhǔn)線為，
設(shè)到的距離為，因為位于的上方區(qū)域，
根據(jù)拋物線的定義可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
又的最小值為，所以，解得，
所以拋物線：.
（2）依題意直線和的斜率均存在且不為，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，，
聯(lián)立方程得，消去并整理得，
則，則，，
所以，
因為為的中點，所以，同理，
所以直線的方程為，
整理得，所以直線恒過點.
【變式6-1】過點作拋物線在第一象限部分的切線，切點為A，F(xiàn)為的焦點，為坐標(biāo)原點，的面積為1．
(1)求的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點，交于P，Q兩點，且M，N分別為線段CD和PQ的中點．直線MN是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【解析】（1）由題，，
設(shè)切點，則切線方程為，,
的坐標(biāo)代入，得，解得，由于，所以，
由的面積，解得，
所以的方程為．
（2）由題意可知，直線和斜率都存在且均不為0，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去并整理得，，
則，
設(shè)，，則，，
所以，
因為為CD中點，所以，
同理可得，
所以，直線MN的方程為，
整理得，所以，直線MN恒過定點．
【變式6-2】已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4，點到焦點的距離為5.過點做兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點分別為.

(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點作，且垂足為，
（ⅰ）求證直線過定點，并求定點坐標(biāo)；
（ⅱ）求的最大值.
【解析】（1）由題可知，，解得，或（舍），
所以，拋物線的方程為.
（2）（ⅰ）設(shè)直線，，，
聯(lián)立，可得，則得，，
，同理，
①時，，
②當(dāng)時，
，即，
所以直線恒過點，
（ⅱ）又，所以點在以為直徑的圓上，且軌跡方程為，
由幾何圖形關(guān)系可知，的最大值為：.
【變式6-3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點A，B和M，N.設(shè)線段，的中點分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點.
【解析】（1）因為拋物線的焦點F為，
雙曲線的漸近線方程為：，即，
則，解得，故拋物線的方程為：.
（2）設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為，，則點P的坐標(biāo)為.
由題意可設(shè)直線的方程為，
由得，，
因為直線與曲線C交于A，B兩點，所以，，
所以點P的坐標(biāo)為.
由題知，直線的斜率為，同理可得點Q的坐標(biāo)為.
當(dāng)時，有，此時直線PQ的斜率，
所以直線PQ的方程為，整理得，
于是直線PQ恒過定點.
當(dāng)時，直線PQ的方程為，也過定點.
綜上，直線PQ恒過定點.
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題
【典例7-1】設(shè)橢圓的兩焦點為，，為橢圓上任意一點，點到原點最大距離為2，若到橢圓右頂點距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)橢圓的上、下頂點分別為、，過作兩條互相垂直的直線交橢圓于、，問直線是否經(jīng)過定點？如果是，請求出定點坐標(biāo)，并求出面積的最大值.如果不是，請說明理由.
【解析】（1）∵點到原點最大距離為2，故，
∵到橢圓右頂點距離為，∴，
解得：或5（舍去5），
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)：，聯(lián)立，
得：，
∴，，
∵，∴，
即
，
利用韋達(dá)定理代入化簡得：，
解得：（舍去）或，
∴直線過定點，
此時，，
，
令，上式①，
而，∴①，
∴面積的最大值為.
【典例7-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點分別為，.
(1)寫出橢圓右焦點的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
【解析】（1）由橢圓的方程，可得，可得，所以，即右焦點的坐標(biāo)為，離心率,所以橢圓右焦點的坐標(biāo)為，離心率.
（2）證明：當(dāng)直線AB，CD的斜率存在且不為0時，
設(shè)直線AB的方程為，
設(shè)聯(lián)立，
整理可得：，
可得，，
所以AB的中點，
同理可得的坐標(biāo)，即，
當(dāng)，的橫坐標(biāo)不相等時，則，
所以MN的方程為，
整理可得
所以直線恒過定點.
當(dāng)，的橫坐標(biāo)相等時，，即時，則軸，
且此時MN的方程為，顯然也過，
可證得直線MN必過定點.
（3）由（2）可得直線MN必過的定點，
可得
，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，所以，
所以面積的最大值為.
【變式7-1】已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，，上頂點為，坐標(biāo)原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過A點作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點，求面積的最大值.
【解析】（1）由已知可得，解得，，，，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)的直線方程為，，，
聯(lián)立方程整理得，
所以，
因為，
所以，
即.
所以.
整理得，解得或（舍去），
所以
所以，
令，
則，
此時最大值為.
題型八：兩條互相垂直的弦中點范圍與最值問題
【典例8-1】如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點與拋物線相交于點，，當(dāng)恰好為線段的中點時，．

(1)求拋物線的方程；
(2)求的最小值．
【解析】（1）解法一：設(shè)直線，
聯(lián)立，得，
所以．
又因為是的中點，所以，
又
，
代入化簡得，解得．
故拋物線的方程為．
解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標(biāo)都為，
代入拋物線方程得，
化簡得．
則，，
因為是的中點，所以，即．
又因為，
將代入化簡得，
即，所以拋物線的方程為．
（2）解法一：
，
由（1）可得，，
因為
，
同理，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即所求最小值為．
，
而，
所以CD的傾斜角為或，同理可求得，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)或時，等號成立，即所求最小值為．
【典例8-2】（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點、上頂點，過原點的直線交橢圓于A，B兩點，滿足．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的下頂點為，過點作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個交點分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點為，連接，
由對稱性知四邊形是平行四邊形，所以，．
由橢圓定義知，則，．
設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，則，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．則，
所以直線，
如圖所示，
設(shè)，
聯(lián)立，消去并整理得，．．．
所以，所以，．．
所以，．
同理可得：，所以，
所以，
由，得，
整理得，得，．
又，所以，所以或．
所以的取值范圍為．
【變式8-1】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于點，且．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，，與交于，兩點，與交于，兩點，設(shè)線段的中點為，線段的中點為，求面積的最小值．
【解析】（1）由題意可設(shè)點，則，得，①
因為，所以由拋物線的定義得，得．②
將②代入①中，得，解得，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
如圖，易得，不妨設(shè)直線的方程為，代入，得，
設(shè)，，點坐標(biāo)為
則，，
從而，
因直線，故直線的方程為，
則同理可得．
所以的面積為

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故面積的最小值為4．
【變式8-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點為，過焦點且斜率為的直線交拋物線于兩點，
(1)求拋物線方程；
(2)若，求的值；
(3)過點作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于四點，且分別為線段的中點，求的面積最小值．
【解析】（1）拋物線的頂點在原點，焦點為，拋物線方程為：；
（2）由題意知：，可設(shè)直線，，，
，，即，
由得：，，
，即，
解得：，；
（3）由題意知：直線的斜率均存在，
不妨設(shè)，，，，，
則；
由得：，則，即；
，，，
；同理可得：
，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
面積的最小值為.
1．已知橢圓，離心率為，點在橢圓上．
(1)求E的方程；
(2)過點作互相垂直的兩條直線與，設(shè)交E于A，B兩點，交E于C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N．探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由題意，，
解得，，
則E的方程
（2）法一：與面積之比為定值，定值為4，理由如下：
設(shè)直線，，，
討論：①當(dāng)，且時，
聯(lián)立，可得，
，則，
所以，，
所以，
設(shè)，同理可得．
所以（，且），
所以直線，即，
所以直線MN恒過定點；
②當(dāng)時，不妨設(shè)直線；，
可發(fā)現(xiàn)軸，且MN過，
③當(dāng)時，直線MN依然過，但無法形成三角形．
綜上，直線MN恒過點，
設(shè)點O，K到直線MN的距離分別是，．
法二：與面積之比為定值，定值為4，理由如下：
設(shè)直線，，，
討論：①當(dāng)，且時，
聯(lián)立，可得，
，則，
所以，，
所以，
設(shè)，同理可得．
所以（，且），
所以直線，即，
則點O到直線MN的距離，
則點F到直線MN的距離，
所以，
②當(dāng)時，不妨設(shè)直線；，可發(fā)現(xiàn)，
則點O到直線MN的距離，點F到直線MN的距離，
所以，
③當(dāng)時，無法形成三角形．
綜上，與面積之比為定值，定值為4.
2．已知橢圓過點，點是橢圓的右焦點，且.過點作兩條互相垂直的弦，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線，的斜率都存在，設(shè)線段，的中點分別為，.求點到直線的距離的最大值.
【解析】（1），則，則為橢圓上頂點，故，
故橢圓的方程為；
（2）由，斜率均存在，故可設(shè)直線方程為：，
設(shè)，，聯(lián)立：，
消去得：，，
，，
即，將上式中的換成，同理可得：，
①若直線斜率不存在，此時，解得：，
則直線過點；
②若直線 率存在，則，
直線為，得，
直線過點；
綜上，直線恒過定點，因為，故斜率不為0，
設(shè)直線，，當(dāng)時，.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點和兩點，設(shè)的中點分別為，求面積的最大值．
【解析】（1）由題意知．又，所以．
把點代入橢圓方程，得，解得．
故橢圓的方程為．
（2）由題意知直線的斜率均存在且不為零．
設(shè)直線的方程為，且．
由消去，得．
所以，．
而，
所以．同理得．
若，則，此時直線的斜率不存在，可得直線．
此時，所以；
若，則直線的斜率為，
可得直線：．
化簡，得．所以直線過定點．
所以
．
令，則．
因為，所以在上單調(diào)遞減．
所以，即.
綜上，.
所以當(dāng)時，的面積取得最大值．
4．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，若_____，
請在以下兩個條件中任選一個補充在橫線上并作答．
①四點、、、中，恰有三點在橢圓上；
②橢圓經(jīng)過點，與軸垂直，且．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)是橢圓的上頂點，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于、兩點，過點作線段的垂線，垂足為，判斷在軸上是否存在定點，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.
【解析】（1）選①，因為、關(guān)于原點對稱，則、都在橢圓上，
則，即點不在橢圓上，故點在橢圓上，
所以，，解得，故橢圓的方程為，
則，所以，橢圓的離心率為.
選②，因為經(jīng)過點，與軸垂直，且，則，
由勾股定理可得，
所以，，則，
所以，橢圓的離心率為.
（2）證明：已知是橢圓的上頂點，
若直線的斜率不存在，則點、關(guān)于軸對稱，
設(shè)點，則，其中，且，
則，不合乎題意，
所以，直線的斜率必然存在，
設(shè)直線的方程為，、，
由可得，
，
所以，，
又，，
，
，
化簡整理有，得或，
當(dāng)時，直線經(jīng)過點，不滿足題意；
當(dāng)時滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點.
又為過點作線段的垂線的垂足，
當(dāng)點為線段的中點時，若點與點重合，則；
當(dāng)點與點不重合時，由直角三角形的幾何性質(zhì)可得.
故當(dāng)點為線段的中點時，為定值，且.
5．已知橢圓的左頂點為，過作兩條互相垂直的直線且分別與橢圓交于兩點（異于點），設(shè)直線的斜率為，為坐標(biāo)原點.
(1)用表示點的坐標(biāo)；
(2)求證：直線過定點；
(3)求的面積的取值范圍.
【解析】（1）由橢圓，可得，則，
直線的斜率都存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，則和是方程的兩個根據(jù)，可得，
解得，則，所以點，
同理可得點.
（2）證明：當(dāng)，即時，直線的方程為，經(jīng)過點.
當(dāng)，即時，直線的斜率為，
直線的方程為，
令，可得，直線也過點.
綜上可知，直線恒過定點.
（3）由題意，可得的面積，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，而在上單調(diào)遞增，
的值域為，所以的面積的取值范圍是.
6．在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點M，且它們的斜率之積是．
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)記動點M的軌跡為曲線E，過作兩條互相垂直的直線，，與曲線E交于A、B兩點，與曲線E交于C、D兩點，求的最大值．
【解析】（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為，
因為直線，的斜率之積是，
所以，
所以，
因為點M與，兩點不重合，
所以點M的軌跡方程為．
（2）顯然直線，的斜率都存在且不為0，
設(shè)，，
，，，，
聯(lián)立，得，
顯然，
所以，
所以，
同理，
因為直線，相互垂直，所以，
所以
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，
所以的最大值為．
7．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標(biāo)；
(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．
【解析】（1）由題意：，則，
故橢圓的方程為；
（2）證明：當(dāng)斜率均存在時，設(shè)直線方程為：，
設(shè)，則，
聯(lián)立得，得，
直線過橢圓焦點，必有，
則，故，
將上式中的換成，則同理可得：，
如，得，則直線斜率不存在，
此時直線過點，設(shè)點為P，下證動直線過定點.
若直線斜率存在，則，
直線為，
令，得，
即直線過定點；
當(dāng)斜率有一條不存在時，不妨設(shè)AB斜率不存在，則CD斜率為0，
此時M即為F，N即為O點，直線也過定點，
綜上，直線過定點；
（3）由第（2）問可知直線過定點，
故
，
令，，
則，則在單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得最大值，此時取得最大值，此時.
8．在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線，直線與交于A，B兩點，直線與交于D，E兩點，的最小值；
(3)為曲線上一點，且的橫坐標(biāo)大于4．過作圓的兩條切線，分別交軸于點、，求三角形面積的取值范圍.
【解析】（1）依題意該動圓的圓心到點與到直線的距離相等，
又點不在直線上，
根據(jù)拋物線的定義可知該該動圓圓心的軌跡是以為焦點、為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程.
（2）設(shè)，
依題意直線、的斜率存在且不為，不妨設(shè)為、，且，
直線的方程為，
聯(lián)立方程，得，顯然，
∴，
同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線的定義可知：
，
當(dāng)且僅當(dāng)（或）時取等號.
的最小值.
（3）由題設(shè)，則且，直線、的斜率存在且不為，
設(shè)，令可得，
設(shè)，令可得，
由于直線與圓相切，所以，
化簡可得:，
由于直線與圓相切，
同理可得:，
故是關(guān)于的方程的兩個根，
所以，，且，
故
因為，
所以
因為，所以，所以，
所以，即當(dāng)時取最小值，最小值為，
所以三角形面積的取值范圍為.
9．已知點P是曲線C上任意一點，點P到點的距離與到直線y軸的距離之差為1.
(1)求曲線C的方程；
(2)若過不在曲線C上的一點M作互相垂直的兩條直線，分別與曲線在y軸右側(cè)的部分相切于A，B兩點，求證：直線AB過定點，并求出定點坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)，當(dāng)時，符合題意；
當(dāng)時，因曲線C上的點P到點的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1，
則點P到點的距離與到直線的距離相等，
因此，曲線C是以點為焦點，頂點在原點的拋物線，其方程為：，
所以曲線C的方程是：，
（2）顯然，過點M的拋物線C的切線斜率存在且不為0，設(shè)切線方程為：，
由消去x并整理得：，
依題意，，
設(shè)切線，斜率分別為，則，，
設(shè)，，因此，，，于是得，，
，直線AB上任意點，，
由得：，化簡整理得：，
則直線AB的方程為：，因直線，互相垂直，則，即，
于是得直線AB：，即，
無論取何值，直線AB都過點，
所以直線AB過定點，定點坐標(biāo)為.
10．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上一點作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．
【解析】（1），解得：
故拋物線C的方程為：..
（2）由題可得，直線的斜率不為
設(shè)直線：，，
聯(lián)立，得：，
，..
由，則，即
于是
，所以
或.
當(dāng)時，
直線：，恒過定點，不合題意，舍去.
當(dāng)，，直線：，恒過定點
綜上可知，直線恒過定點.
11．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知橢圓，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率，點P為該橢圓上一點，且△F1PF2的面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的上頂點B作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點D、E，求線段DE長度的最大值.
【解析】（1）由已知可得，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為
聯(lián)立方程，消去得，
所以，
由題意可得，則
由題意可得
，
所以，
化簡整理得，解得或，
當(dāng)時，直線過定點不符合題意，
所以，
所以
，
令，
則
，
當(dāng)時，.
12．（2024·新疆·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G的準(zhǔn)線方程為.
(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線和，與拋物線交于P，Q兩點，與拋物線交于C，D兩點，M，N分別是線段PQ，CD的中點，求△FMN面積的最小值.
【解析】（1）設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，
由題意得，解得，則焦點，
故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）,由題意知直線的斜率都存在且不為，
設(shè)直線的方程為,
則直線的方程為,
由得，則，
所以,
所以,
所以.
用替換可得，所以.
所以
,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立，
所以面積的最小值為16.
13．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知拋物線，點F為其焦點，P為T上的動點，若|PF|的最小值為1.
(1)求拋物線T的方程；
(2)過x軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線T分別相交于點和C，D，點H，K分別為的中點，求△EHK面積的最小值.
【解析】（1）拋物線定義，，∵，∴，∴拋物線T的方程為：
（2）由題意可知，直線AB不與y軸垂直，所以設(shè)直線AB的方程為.
設(shè)A（），B（）
由
∴，同理
∴
同理
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故△EHK面積的最小值為4.
14．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．
(1)求直線的斜率k的取值范圍；
(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0
直線，分別為，，
聯(lián)立得，
由得，則或，
同理，則，
所以k的取值范圍為．
（2）設(shè)，，由（1）得，
所以，則，
所以，則，
同理，
則直線的方程為，
化簡整理得
因此直線經(jīng)過一個定點．
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