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重難點(diǎn)突破07 圓錐曲線(xiàn)三角形面積與四邊形面積題型歸類(lèi)
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 4
題型一：三角形的面積問(wèn)題之 4
題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法 5
題型三：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化 6
題型四：三角形的面積比問(wèn)題之共角、等角模型 9
題型五：三角形的面積比問(wèn)題之對(duì)頂角模型 10
題型六：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線(xiàn)垂直模型 12
題型七：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形 14
03 過(guò)關(guān)測(cè)試 16
1、三角形的面積處理方法
（1）底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為高）
（2）水平寬·鉛錘高或
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．
2、三角形面積比處理方法
（1）對(duì)頂角模型
（2）等角、共角模型
3、四邊形面積處理方法
（1）對(duì)角線(xiàn)垂直
（2）一般四邊形
（3）分割兩個(gè)三角形
4、面積的最值問(wèn)題或者取值范圍問(wèn)題
一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線(xiàn)段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積，盡可能降低計(jì)算量．
題型一：三角形的面積問(wèn)題之
【典例1-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，直線(xiàn)，的斜率滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知橢圓上點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.若點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值.
【典例1-2】（2024·浙江紹興·三模）已知雙曲線(xiàn)：與直線(xiàn)：交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），過(guò)點(diǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)、分別交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)（在右支，在左支）．
(1)設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求的值；
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)，求的面積．
【變式1-1】（2024·高三·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），證明：直線(xiàn)與橢圓相切；
(3)設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上（點(diǎn)在橢圓外），過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若和的面積之和為1，求直線(xiàn)的方程.
【變式1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)過(guò)C上一點(diǎn)作曲線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)分別交y軸于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.
題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法
【典例2-1】已知橢圓的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，點(diǎn)，求三角形面積的最大值．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別向軸作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．
①求證：點(diǎn)在定直線(xiàn)上；
②求面積的最大值．
【變式2-1】（2024·天津南開(kāi)·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.
，，則，
【變式2-2】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線(xiàn)l：的距離的比是．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；
(2)當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，動(dòng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)：相切，且與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，B．求面積的最大值．
題型三：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化
【典例3-1】如圖，已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.
（1）求四邊形的面積；
（2）若對(duì)于更一般的雙曲線(xiàn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【典例3-2】（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB中點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程；
(2)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，若成等差數(shù)列，求.
【變式3-1】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)：，焦點(diǎn)在直線(xiàn)上．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別與直線(xiàn)、交于、兩點(diǎn)．
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求面積的取值范圍．
【變式3-2】（2024·河北保定·三模）設(shè)橢圓的左 右頂點(diǎn)分別為，離心率為，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，已知.直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，求的面積的最大值.
【變式3-3】（2024·河北保定·三模）已知拋物線(xiàn)：上一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線(xiàn)，并與軸相交于，兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若，求的值；
(3)若，記，的面積分別為，，求的取值范圍.
【變式3-4】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn).
(1)求證：；
(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
題型四：三角形的面積比問(wèn)題之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陜西西安·一模）已知橢圓的短軸長(zhǎng)等于焦距，且過(guò)點(diǎn)
(1)求橢圓的方程；
(2)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，記橢圓的上下頂點(diǎn)為，直線(xiàn)分別交橢圓于點(diǎn)，當(dāng)與的面積之比為時(shí)，求直線(xiàn)的斜率.
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線(xiàn)的方程；
(2)記直線(xiàn)的斜率分別為，證明：是定值；
(3)設(shè)為直線(xiàn)和的交點(diǎn)，記的面積分別為，求的最小值．
【變式4-1】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
(1)求的準(zhǔn)線(xiàn)方程；
(2)若點(diǎn)在第一象限，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求與面積之比的最大值.
【變式4-2】已知拋物線(xiàn)C：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與圓E：的另一交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與面積之比的最小值．
題型五：三角形的面積比問(wèn)題之對(duì)頂角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西呂梁·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的右焦點(diǎn)為.
(1)求的方程：
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且與線(xiàn)段交于點(diǎn).
（i）證明：到直線(xiàn)和的距離相等；
（ii）若的面積等于的面積，求的坐標(biāo).
【典例5-2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積等于．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)和分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)M，N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式5-1】（2024·陜西寶雞·三模）已知橢圓和圓經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍．
【變式5-2】（2024·高三·山東·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線(xiàn).過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)分別在第一、四象限交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于E點(diǎn)，設(shè)兩直線(xiàn)交點(diǎn)為S.若當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，.
(1)求拋物線(xiàn)的方程.
(2)若平行于x軸，證明：S在拋物線(xiàn)C上.
(3)在（2）的條件下，記的重心為R，延長(zhǎng)交于Q，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于（T在右側(cè)），設(shè)中點(diǎn)為G，求與面積之比n的取值范圍.
【變式5-3】（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求橢圓方程；
(2)直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)分別交于另一點(diǎn)、，記與的面積分別為，求的范圍．
題型六：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線(xiàn)垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B、F都在直線(xiàn)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓的兩條相互垂直的切線(xiàn)均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線(xiàn)分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
【典例6-2】（2024·河北邯鄲·三模）已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)若圓的兩條相互垂直的切線(xiàn)均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線(xiàn)分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
【變式6-1】已知直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)橢圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)與垂直相交于橢圓的左焦點(diǎn)，是四邊形的面積，求的最小值.
【變式6-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左 右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與垂直，交橢圓于兩點(diǎn)，若，求四邊形面積的范圍.
【變式6-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，橢圓的動(dòng)弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)垂直軸時(shí)，橢圓在，處的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)為．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若直線(xiàn)的斜率為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
題型七：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形
【典例7-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）給出如下的定義和定理：
定義：若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與的對(duì)稱(chēng)軸不平行，則稱(chēng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，公共點(diǎn)稱(chēng)為切點(diǎn)．
定理：過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．
完成下述問(wèn)題：
已知拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)為，過(guò)外一點(diǎn)（不在軸上），作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，（在軸兩側(cè)）直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn)，
(1)若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；
(2)若點(diǎn)在直線(xiàn)上，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
(3)若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，求四邊形的面積的范圍．
【典例7-2】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)與直線(xiàn)，分別與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x軸同側(cè)）．當(dāng)經(jīng)過(guò)T的焦點(diǎn)F且垂直于x軸時(shí)，．

(1)求拋物線(xiàn)T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)線(xiàn)段AC與BD交于點(diǎn)H，線(xiàn)段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N
①求證：M，H，N三點(diǎn)共線(xiàn)；
②若，求四邊形ABCD的面積．
【變式7-1】（2024·高三·四川達(dá)州·開(kāi)學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：有兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求出的坐標(biāo)；
(3)設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別是，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，順時(shí)針排列且，證明：四邊形的面積小于．
【變式7-2】已知橢圓的離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不垂直，且與橢圓交于點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，，求四邊形面積的取值范圍.
【變式7-3】已知曲線(xiàn)的焦點(diǎn)是F，A，B是曲線(xiàn)C上不同的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)使得，曲線(xiàn)C在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)D的軌跡方程；
(2)點(diǎn)E在y軸上，以EF為直徑的圓與AB的另一個(gè)交點(diǎn)恰好是AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求四邊形ADBE的面積．
【變式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）類(lèi)似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過(guò)橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問(wèn)題：已知橢圓：，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.
1．（2024·高三·安徽亳州·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交的軌跡于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若恰為軌跡上一點(diǎn)，求四邊形的面積.
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，且與橢圓在第二象限交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)和的面積分別為，求．
4．（2024·高三·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，斜率分別為的直線(xiàn)均過(guò)點(diǎn)，且分別與交于和（其中在第一象限），分別為的中點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，的角平分線(xiàn)與交于點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)的斜率（用表示）；
(2)證明：的面積大于.
5．（2024·高三·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓：，點(diǎn)（）與上的點(diǎn)之間的距離的最大值為6．
(1)求點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
①證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
②已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍．
6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)動(dòng)直線(xiàn)交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)和的傾斜角分別為和，若，求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)設(shè)（2）中定點(diǎn)為Q，記與的面積分別為和，求的取值范圍.
7．（2024·河北石家莊·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限且滿(mǎn)足直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為．當(dāng)垂直于軸時(shí)，．
(1)求的方程；
(2)若點(diǎn)為的左頂點(diǎn)且滿(mǎn)足，直線(xiàn)與交于，直線(xiàn)與交于．
①證明：為定值；
②證明：四邊形的面積是面積的2倍．
8．（2024·高三·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為.上、下頂點(diǎn)分別為，且面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)、分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)N、D，求證：與的面積相等.
9．定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”．
如圖，為橢圓的“共軛點(diǎn)對(duì)”，已知，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)．

(1)求直線(xiàn)的方程；
(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．
（i）求證：線(xiàn)段被直線(xiàn)平分；
（ii）若點(diǎn)在第二象限，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求面積的最大值．
10．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，，與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求面積的最小值．
11．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離之比為，記的軌跡為曲線(xiàn)，直線(xiàn)交右支于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交右支于，兩點(diǎn)，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：；
(3)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
12．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，BC的中垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G，若，的面積分別記為，，且，點(diǎn)A在第一象限，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
13．（2024·天津·二模）設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是三角形的面積的倍，求直線(xiàn)的方程．
14．（2024·高三·山東濰坊·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的焦距為4，離心率為分別為的左 右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)都在上.
(1)求的方程；
(2)若，求直線(xiàn)的方程；
(3)若且，求四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍.
15．（2024·湖北·一模）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為、是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．
（i）若點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：
（ii）若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率）．
16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)在曲線(xiàn)上.
(1)求曲線(xiàn)的方程；
(2)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，且滿(mǎn)足直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，若點(diǎn)為曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，且滿(mǎn)足，直線(xiàn)與交于，直線(xiàn)與交于.
①證明：為定值；
②是否存在常數(shù)，使得四邊形的面積是面積的倍？若存在求出，若不存在說(shuō)明理由.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點(diǎn)突破07 圓錐曲線(xiàn)三角形面積與四邊形面積題型歸類(lèi)
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 4
題型一：三角形的面積問(wèn)題之 4
題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法 10
題型三：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化 15
題型四：三角形的面積比問(wèn)題之共角、等角模型 25
題型五：三角形的面積比問(wèn)題之對(duì)頂角模型 30
題型六：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線(xiàn)垂直模型 37
題型七：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形 44
03 過(guò)關(guān)測(cè)試 54
1、三角形的面積處理方法
（1）底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為高）
（2）水平寬·鉛錘高或
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．
2、三角形面積比處理方法
（1）對(duì)頂角模型
（2）等角、共角模型
3、四邊形面積處理方法
（1）對(duì)角線(xiàn)垂直
（2）一般四邊形
（3）分割兩個(gè)三角形
4、面積的最值問(wèn)題或者取值范圍問(wèn)題
一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線(xiàn)段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積，盡可能降低計(jì)算量．
題型一：三角形的面積問(wèn)題之
【典例1-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，直線(xiàn)，的斜率滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知橢圓上點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.若點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值.
【解析】（1）由橢圓上頂點(diǎn)為，可得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，，
則橢圓C在點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別為，，
又在兩條切線(xiàn)上，則，，
則直線(xiàn)的方程為，
由整理得，
則，
則
，
又點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，
則的面積為，
令，，則，，
則在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)等號(hào)成立，
則面積的最小值為.
【典例1-2】（2024·浙江紹興·三模）已知雙曲線(xiàn)：與直線(xiàn)：交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），過(guò)點(diǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)、分別交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)（在右支，在左支）．
(1)設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求的值；
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)，求的面積．
【解析】（1）由題意知直線(xiàn)斜率為1，直線(xiàn)的傾斜角，
設(shè)直線(xiàn)、的傾斜角分別為、（、），
直線(xiàn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，
．
（2）聯(lián)立，
雙曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．
不妨設(shè)直線(xiàn)為，，，
聯(lián)立得，
整理得，將等式看作關(guān)于的方程：
兩根之和，兩根之積，
而其中，
由（1）得，
直線(xiàn)為，過(guò)定點(diǎn)，
又雙曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)，，
．
【變式1-1】（2024·高三·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），證明：直線(xiàn)與橢圓相切；
(3)設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上（點(diǎn)在橢圓外），過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若和的面積之和為1，求直線(xiàn)的方程.
【解析】（1）由題知，，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，
聯(lián)立消去整理得，
即，即，顯然方程有唯一解，
所以直線(xiàn)與橢圓相切.
（3）設(shè)，
將代入，解得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，所以或，所以，
由（2）可得，切線(xiàn)的方程分別為，
因?yàn)辄c(diǎn)在切線(xiàn)上，所以，
所以點(diǎn)在直線(xiàn)，即直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立得，，
則，
所以
記點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為，
則，
因?yàn)楹偷拿娣e之和為1，
所以，
解得，所以的方程為或.
【變式1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)過(guò)C上一點(diǎn)作曲線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)分別交y軸于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意可得，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕?br/>及，又由題意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因?yàn)辄c(diǎn)D在直線(xiàn)AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
當(dāng)時(shí)，，解得；，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，消可得，，即，
點(diǎn)同樣滿(mǎn)足該方程，
顯然D與O不重合，所以，
綜上，點(diǎn)D的軌跡E的方程為；
（2）因?yàn)椋Y(jié)合題意可得切線(xiàn)斜率存在且都不為0，
設(shè)切線(xiàn)的斜率為，的斜率分別為，則
切線(xiàn)方程為，即，
令，得，
，
又，消元得
因?yàn)橄嗲校裕?br/>即
易知的斜率分別為是方程③的兩個(gè)根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).
綜上，面積的最小值為8.
題型二：三角形的面積問(wèn)題之分割法
【典例2-1】已知橢圓的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，點(diǎn)，求三角形面積的最大值．
【解析】（1），
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，
過(guò)點(diǎn)，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知直線(xiàn)的斜率存在，且不過(guò)點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，，
由消去整理得，
，，
，
，
，
，
將，代入整理得，
，
又因?yàn)椋?br/>解得：，
三角形的面積，
令，
導(dǎo)函數(shù)，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
增區(qū)間為，減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，三角形的面積取得最大值，最大值為18．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別向軸作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．
①求證：點(diǎn)在定直線(xiàn)上；
②求面積的最大值．
【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，
得：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）如圖：
①設(shè)直線(xiàn)的方程為，并記點(diǎn)，，，
由消去，得，
易知
則，．
由條件，，，直線(xiàn)的方程為，
直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立解得，
所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上．
②
而，所以，
則，
令，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為．
【變式2-1】（2024·天津南開(kāi)·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.
【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，依題意，，，又，
解得，，，
所以橢圓C的方程為；
（2）由題意可得直線(xiàn)的斜率不為，故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為，
，，則，
聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓C的方程，得，
由于直線(xiàn)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故必有，則．
又，，
易知與同號(hào)，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以面積的最大值為，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為．
【變式2-2】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線(xiàn)l：的距離的比是．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；
(2)當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，動(dòng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)：相切，且與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，B．求面積的最大值．
【解析】（1）設(shè)，則，
化簡(jiǎn)得，，
當(dāng)時(shí)，，軌跡為一條直線(xiàn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)；
綜上：當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為一條直線(xiàn)，
當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，又與相切，故此時(shí)直線(xiàn)，此時(shí)三點(diǎn)共線(xiàn)，不合要求，舍去，
設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立得，
由得，顯然，
聯(lián)立得，，
由，結(jié)合，解得，
設(shè)，
則，
設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，
則
，
將代入得，
因?yàn)椋睿瑒t，
，
設(shè)，則設(shè)，則
，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
故最大值為.
題型三：三角形、四邊形的面積問(wèn)題之面積坐標(biāo)化
【典例3-1】如圖，已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.
（1）求四邊形的面積；
（2）若對(duì)于更一般的雙曲線(xiàn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，
又因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋裕S，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，，可得，即點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)且與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
且，因此，四邊形的面積為；
（2）四邊形的面積為定值，理由如下：
設(shè)點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，
則直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
直線(xiàn)的方程為，即，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
，且，
因此，（定值）.
【典例3-2】（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB中點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程；
(2)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，若成等差數(shù)列，求.
【解析】（1）設(shè)，
，
，故，
，，
，
（2），∴，
故，
成等差數(shù)列，成等差數(shù)列.
，，故，
，即，
.
【變式3-1】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)：，焦點(diǎn)在直線(xiàn)上．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別與直線(xiàn)、交于、兩點(diǎn)．
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求面積的取值范圍．
【解析】（1）由題可得焦點(diǎn)在軸的正半軸，在直線(xiàn)上，令，解得，
即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為：，，，
聯(lián)立：，可得，
所以，
以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為：
直線(xiàn)的方程為：,
聯(lián)立：，解得，
同理可得，
設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，所以，
由于，，
所以，
化簡(jiǎn)可得：，
由于，所以，解得，
則直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，
所以，
將，代入化簡(jiǎn)可得：
，
令，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，則，
所以，即.
故面積的取值范圍為.
【變式3-2】（2024·河北保定·三模）設(shè)橢圓的左 右頂點(diǎn)分別為，離心率為，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，已知.直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，求的面積的最大值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由可得點(diǎn)，
設(shè)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，
聯(lián)立消去得，解得.
聯(lián)立消去得，解得.
因?yàn)椋遥?br/>此時(shí)，
設(shè)，由三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，
則
，
所以.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最大值為.
【變式3-3】（2024·河北保定·三模）已知拋物線(xiàn)：上一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線(xiàn)，并與軸相交于，兩點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若，求的值；
(3)若，記，的面積分別為，，求的取值范圍.
【解析】（1）由拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，
可得，解得，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，.
聯(lián)立方程組，消去整理得，
則，所以，，
因?yàn)椋裕裕?br/>又因?yàn)椋裕瑒t，
因?yàn)椋裕瑒t.
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，不妨令，
由（2）中，，得直線(xiàn)的方程為，
令，得，同理可得，
則，，
且，，
故
，
令，則，
顯然在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
由，，可得的取值范圍為.
【變式3-4】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn).
(1)求證：；
(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，
可設(shè)函數(shù)，則，所以，
所以直線(xiàn)方程為，令，則，即點(diǎn).
設(shè)直線(xiàn)，與聯(lián)立得，所以，同理.
因?yàn)椋裕瑒t，
設(shè)直線(xiàn)，與聯(lián)立得，
又因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)，所以，代入拋物線(xiàn)，
又因?yàn)樵诘谒南笙蓿芍?
因?yàn)椋?br/>所以，
即，原命題得證.
（2）由（1）知，所以，得，即.
所以，
另由（1）知，，，
所以，即；
，，
設(shè)函數(shù)，，
則.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
題型四：三角形的面積比問(wèn)題之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陜西西安·一模）已知橢圓的短軸長(zhǎng)等于焦距，且過(guò)點(diǎn)
(1)求橢圓的方程；
(2)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，記橢圓的上下頂點(diǎn)為，直線(xiàn)分別交橢圓于點(diǎn)，當(dāng)與的面積之比為時(shí)，求直線(xiàn)的斜率.
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）
因?yàn)椋?br/>設(shè)，
則直線(xiàn)的方程的方程為，
聯(lián)立，消去可得，
，
解得，代入直線(xiàn)方程可得，故，
直線(xiàn)的方程為，由，消去可得，，
解得，故，
設(shè)與的面積分別為，則，
因?yàn)椋胰c(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合距離公式化簡(jiǎn)可得
，
由，化簡(jiǎn)解得，
當(dāng)時(shí)，，的斜率為，
當(dāng)時(shí)，，的斜率為，
綜上，直線(xiàn)的斜率.
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線(xiàn)的方程；
(2)記直線(xiàn)的斜率分別為，證明：是定值；
(3)設(shè)為直線(xiàn)和的交點(diǎn)，記的面積分別為，求的最小值．
【解析】（1）由雙曲線(xiàn)的焦距為，得，解得，
所以雙曲線(xiàn)的方程為.
（2）依題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，
由消去x并整理得，
由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，得可得 ，
解得，
則，，即，而，
所以
為定值.
（3）由（2）知，直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
于是
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
【變式4-1】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
(1)求的準(zhǔn)線(xiàn)方程；
(2)若點(diǎn)在第一象限，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求與面積之比的最大值.
【解析】（1）將代入，則，
由，故為等腰直角三角形，故，即，
所以，故準(zhǔn)線(xiàn)方程為.
（2）設(shè)，直線(xiàn)，聯(lián)立拋物線(xiàn)得，
所以，則，故，
由，則，故，直線(xiàn)，
令，則，故，
設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立拋物線(xiàn)得，
所以，則，故，
綜上，直線(xiàn)，令，則，故，
由直線(xiàn)的傾斜角為銳角，故，則，，
所以，令，則，
則，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以與面積之比的最大值.
【變式4-2】已知拋物線(xiàn)C：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與圓E：的另一交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與面積之比的最小值．
【解析】（1）依題意得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為.
（2）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸不重合，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由消去并化簡(jiǎn)得，，
設(shè)，則，
所以，
所以.
，由，而，
故解得.同理可求得.
，
同理，
所以
，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
題型五：三角形的面積比問(wèn)題之對(duì)頂角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西呂梁·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的右焦點(diǎn)為.
(1)求的方程：
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且與線(xiàn)段交于點(diǎn).
（i）證明：到直線(xiàn)和的距離相等；
（ii）若的面積等于的面積，求的坐標(biāo).
【解析】（1）根據(jù)題意有，
且由橢圓的幾何性質(zhì)可知，
所以.
所以的方程為.
（2）（i）顯然的斜率存在，設(shè)的方程為，代入的方程有：
，其中.
設(shè)，則，
若到直線(xiàn)和的距離相等，則直線(xiàn)平分，
易知軸，故只需滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率之和為0.
設(shè)的斜率分別為，則：
，
，
代入，
有，故命題得證.
（ii）由（i）知直線(xiàn)平分，即.
因?yàn)榈拿娣e等于的面積，
故，即，故.
故在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.
易知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為，與的方程聯(lián)立有，
故的坐標(biāo)為或.
【典例5-2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積等于．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)和分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)M，N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由直線(xiàn)與的斜率之積等于，得，
化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.
（2）若存在點(diǎn)P使得與的面積相等，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，
因?yàn)椋裕?
作直線(xiàn)，作于，于，則，
所以，同理，所以可得，
整理得，解得；
因?yàn)椋?
故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
【變式5-1】（2024·陜西寶雞·三模）已知橢圓和圓經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)橢圓焦距為，
由題意可得，有①，
又因?yàn)橹本€(xiàn)方程為，
所以②，
聯(lián)立①②解得：，，
故橢圓方程為.
（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，
，，
由，得，
顯然，
所以，
因?yàn)椋?br/>，
所以，
因?yàn)椋?br/>又，
設(shè)，則，
解得且，
所以，
綜上可得的取值范圍為．
【變式5-2】（2024·高三·山東·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線(xiàn).過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)分別在第一、四象限交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于E點(diǎn)，設(shè)兩直線(xiàn)交點(diǎn)為S.若當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，.
(1)求拋物線(xiàn)的方程.
(2)若平行于x軸，證明：S在拋物線(xiàn)C上.
(3)在（2）的條件下，記的重心為R，延長(zhǎng)交于Q，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于（T在右側(cè)），設(shè)中點(diǎn)為G，求與面積之比n的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)槿舢?dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，,
不妨設(shè)，則，即，
代入拋物線(xiàn)方程有，所以；
（2）由（1）知，C的準(zhǔn)線(xiàn)，
不妨設(shè)，，
若平行于x軸，則，
所以，整理得，
聯(lián)立方程有，
又在拋物線(xiàn)C和直線(xiàn)上，即，
則有，此時(shí)，即，
則S在拋物線(xiàn)C上，證畢；
（3）在（2）的條件下可知兩點(diǎn)重合，由重心的性質(zhì)不難知Q為線(xiàn)段的中點(diǎn)，
同（2），仍設(shè)，，
則，
聯(lián)立，
所以，
且，
則，
可知，整理得，
設(shè)，
與C聯(lián)立有，
所以，即，
由于Q為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以到直線(xiàn)的距離相等，
則，
設(shè)，
若，則，顯然，所以；
若，則；
若，則，所以；
綜上.
【變式5-3】（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求橢圓方程；
(2)直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)分別交于另一點(diǎn)、，記與的面積分別為，求的范圍．
【解析】（1）由離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得，又，
解得，所以橢圓；
（2）設(shè)，則，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
設(shè)，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
題型六：四邊形的面積問(wèn)題之對(duì)角線(xiàn)垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B、F都在直線(xiàn)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓的兩條相互垂直的切線(xiàn)均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線(xiàn)分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)B、F都在直線(xiàn)上，所以，，又，
所以，，，
所以橢圓的方程為：，
（2）
由題知的斜率存在且不為0．
設(shè)．
因?yàn)榕c圓相切，所以，得．
聯(lián)立與的方程，
可得，
設(shè)，，
，
則，．
所以，
將代入，可得．
用替換，可得．
四邊形的面積．
令，則，可得，
再令，，則，
可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，
即四邊形面積的最小值為．
【典例6-2】（2024·河北邯鄲·三模）已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)若圓的兩條相互垂直的切線(xiàn)均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線(xiàn)分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，
所以解得
故的方程為．
（2）由題知的斜率存在且不為0．
設(shè)．
因?yàn)榕c圓相切，所以，得．
聯(lián)立與的方程，可得，
設(shè)，，則，．
所以，
將代入，可得．
用替換，可得．
四邊形的面積．
令，則，可得，
再令，，則，可得，
即四邊形面積的最小值為．
【變式6-1】已知直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)橢圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)與垂直相交于橢圓的左焦點(diǎn)，是四邊形的面積，求的最小值.
【解析】（1）聯(lián)立，消去得
直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
，解得
即橢圓的方程為；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
設(shè)，
聯(lián)立，消去得，
則，解得，
由韋達(dá)定理得，
，
，
，
存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且的取值范圍是.
（3）橢圓的左焦點(diǎn)為，
當(dāng)對(duì)角線(xiàn)與中有一個(gè)斜率不存在，另一個(gè)斜率為零時(shí)，
，
當(dāng)對(duì)角線(xiàn)與的斜率即存在，又不為零時(shí)，
設(shè)，
則，
聯(lián)立，消去得，
則，
，
同理：，
令，
則，
因?yàn)椋?br/>，
綜合得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
即的最小值為.
【變式6-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左 右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與垂直，交橢圓于兩點(diǎn)，若，求四邊形面積的范圍.
【解析】（1）設(shè)，由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，所以，所以離心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以橢圓的方程為.
①當(dāng)直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)的斜率不存在，另一條直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，四邊形的面積.
②當(dāng)直線(xiàn)的斜率都存在，且都不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由，可得，.所以.
所以.
設(shè)的方程為，同理可得.
所以四邊形的面積
，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，即此時(shí).
由①②可知，四邊形面積的范圍為.
【變式6-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，橢圓的動(dòng)弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)垂直軸時(shí)，橢圓在，處的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)為．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若直線(xiàn)的斜率為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）由題意知，，解得，，，
所以橢圓的方程為，，
將代入橢圓方程得，
不妨取，
設(shè)橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
聯(lián)立，得，
所以，
整理得，解得，
所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)在軸上，
令，則，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為,．
（2）根據(jù)題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，,，,，
聯(lián)立，得，
所以，，，
所以，
因?yàn)檩S，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以,，
所以直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的方程為，
同理可得，，
所以，
故為定值．
故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由于故，即,
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
題型七：四邊形的面積問(wèn)題之一般四邊形
【典例7-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）給出如下的定義和定理：
定義：若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與的對(duì)稱(chēng)軸不平行，則稱(chēng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，公共點(diǎn)稱(chēng)為切點(diǎn)．
定理：過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．
完成下述問(wèn)題：
已知拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)為，過(guò)外一點(diǎn)（不在軸上），作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，（在軸兩側(cè)）直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn)，
(1)若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；
(2)若點(diǎn)在直線(xiàn)上，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
(3)若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，求四邊形的面積的范圍．
【解析】（1）由題意知，直線(xiàn)，的斜率均不為零，其斜率都存在且異號(hào)，
設(shè)，因?yàn)椋?br/>不妨設(shè)，則方程為，即，，，
所以線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度為.
（2）設(shè)，直線(xiàn)，
聯(lián)立，可得.
在軸兩側(cè)，，，
所以點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，整理得，
同理可求得點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
由，可得，
又在直線(xiàn)上，，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
（3）由（2）可得在曲線(xiàn)上，.
由（1）可知，
，
令在單調(diào)遞減，
四邊形的面積的范圍為
【典例7-2】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)與直線(xiàn)，分別與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x軸同側(cè)）．當(dāng)經(jīng)過(guò)T的焦點(diǎn)F且垂直于x軸時(shí)，．

(1)求拋物線(xiàn)T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)線(xiàn)段AC與BD交于點(diǎn)H，線(xiàn)段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N
①求證：M，H，N三點(diǎn)共線(xiàn)；
②若，求四邊形ABCD的面積．
【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F且垂直于x軸時(shí)，且，
可得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①設(shè)是拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，
則，所以，
同理設(shè)是拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，
則，所以，
又因?yàn)椋傻茫裕?br/>同理，令，可得，
，令，可得，
所以點(diǎn)，H，N三點(diǎn)共線(xiàn).
②由①知，同理，
所以，可得
，可得
兩式相減，可得，可得，（交于），
因?yàn)榍遥裕?br/>可得，又為中點(diǎn)，則平分，
所以，且，
所以.
【變式7-1】（2024·高三·四川達(dá)州·開(kāi)學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：有兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求出的坐標(biāo)；
(3)設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別是，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，順時(shí)針排列且，證明：四邊形的面積小于．
【解析】（1）由題，橢圓的另一焦點(diǎn)為，
因此，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”定義：
點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足所以或
于是有兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）設(shè)．
設(shè)所在直線(xiàn)為，則的方程為．
設(shè)點(diǎn)，則
兩式相減得．
又，于是，則，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．
所以線(xiàn)段被直線(xiàn)平分．
設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
則四邊形的面積．
又，則有．
設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，則當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值．
由消去得
令，解得．
當(dāng)時(shí)，方程為，即，解得，
則此時(shí)點(diǎn)或點(diǎn)必有一個(gè)和點(diǎn)重合，不符合條件，
從而直線(xiàn)與不可能相切，
即小于直線(xiàn)和平行直線(xiàn)（或）的距離，
所以．
【變式7-2】已知橢圓的離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不垂直，且與橢圓交于點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，，求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）由得，且，
令代入橢圓方程可得，故，
所以，，
所以橢圓.
（2）由題可知，設(shè)直線(xiàn)，
由消得，
恒正，，，
，
又，
，（此處也可以用點(diǎn)差法，由得，
，所以）
由，得，，即為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，
所以點(diǎn)，到直線(xiàn)的距離之和為
，
則
，
因?yàn)椋?br/>所以的取值范圍.
【變式7-3】已知曲線(xiàn)的焦點(diǎn)是F，A，B是曲線(xiàn)C上不同的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)使得，曲線(xiàn)C在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)D的軌跡方程；
(2)點(diǎn)E在y軸上，以EF為直徑的圓與AB的另一個(gè)交點(diǎn)恰好是AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求四邊形ADBE的面積．
【解析】（1）曲線(xiàn)就是拋物線(xiàn)，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
存在實(shí)數(shù)使得，則、、三點(diǎn)共線(xiàn)，
顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由消去，整理得，，設(shè)，，
則，，由，求導(dǎo)得，切線(xiàn)斜率，
曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，即，
同理得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，
由，得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）當(dāng)時(shí)，由，得，則，
于是，解得，，，由對(duì)稱(chēng)性不妨取，
，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，，
由點(diǎn)在以點(diǎn)為直徑的圓上，得，
設(shè)，則，即，解得，則，
將直線(xiàn)的方程，即，
則點(diǎn)到的距離，
因此，
由（1）點(diǎn)，即，點(diǎn)到的距離
因此，
顯然、在兩側(cè)，所以四邊形ADBE的面積．
【變式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）類(lèi)似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過(guò)橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問(wèn)題：已知橢圓：，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)椋?br/>，代入橢圓得：，
點(diǎn)的軌跡方程為：.
（2）
設(shè)，由（1）則，
①當(dāng)直線(xiàn)不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，由，知為中點(diǎn)，
，
直線(xiàn)：，
代入橢圓：的方程得：
即：，設(shè)，，
由根與系數(shù)關(guān)系，
，
設(shè)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
；
它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.
②當(dāng)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸重合時(shí)，
不妨取，，，
或，，，
綜上所述：四邊形的面積是.
1．（2024·高三·安徽亳州·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．
【解析】（1）由題意知，
解得，
則橢圓的方程為．
（2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)，
聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓消去并整理得，
由韋達(dá)定理得
，
因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線(xiàn)的距離，
則平行四邊形的面積．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交的軌跡于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若恰為軌跡上一點(diǎn)，求四邊形的面積.
【解析】（1）設(shè),則,化簡(jiǎn)可得
（2）以為鄰邊作平行四邊形,則直線(xiàn)與x軸不重合,設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，
設(shè)，，
聯(lián)立，消去x得，
所以，
則.
求得O到直線(xiàn)的距離，
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線(xiàn)互相平分
所以
所以在橢圓上，可得
所以平行四邊形面積
所以四邊形面積是.
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，且與橢圓在第二象限交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)和的面積分別為，求．
【解析】（1）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，知，
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，
因?yàn)椋裕茫?br/>所以，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，
所以，，
所以，，
化簡(jiǎn)整理得，
所以，，
解得（舍去），或，
所以；
（2）由（1）知，則，
所以橢圓方程為，
因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，，
所以，
所以直線(xiàn)為，
由，得，
化簡(jiǎn)整理得，
所以，得，或，
所以，，
所以.
4．（2024·高三·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，斜率分別為的直線(xiàn)均過(guò)點(diǎn)，且分別與交于和（其中在第一象限），分別為的中點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，的角平分線(xiàn)與交于點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)的斜率（用表示）；
(2)證明：的面積大于.
【解析】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立得，
由已知方程的判別式，
設(shè)，
則，，
所以
故中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得，
故.
（2）設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，
則有，
的傾斜角為，斜率為，
故FQ：，
當(dāng)時(shí)，，
故.
，
即，
當(dāng)，且時(shí)，
令可得，，
所以，
，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
此時(shí)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
記點(diǎn)到的距離為，
當(dāng)時(shí)，由于，
故，故，又，
故此時(shí)的面積；
當(dāng)時(shí)，，又，
故此時(shí)的面積；
綜上所述，的面積大于.
5．（2024·高三·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓：，點(diǎn)（）與上的點(diǎn)之間的距離的最大值為6．
(1)求點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
①證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
②已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，所以，
所以（），
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
，解得或（舍去），
所以，所以當(dāng)時(shí)，．
（2）①證明：由題意可知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為（），
，，，聯(lián)立直線(xiàn)和的方程，
得消去并化簡(jiǎn)，得，
所以，
解得，且．
又點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，則，且，，
所以直線(xiàn)的方程為，
所以，
因?yàn)?br/>，
所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．
②由①知直線(xiàn)的方程為，設(shè)，則，
，將，代入，
可得，由，且，
得的取值范圍為．
由消去并化簡(jiǎn)得，
則，
，．
，
原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
所以，
令，由的取值范圍為，得的取值范圍為．
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)椋?br/>所以的取值范圍是，
所以面積的取值范圍為．
6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)動(dòng)直線(xiàn)交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)和的傾斜角分別為和，若，求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)設(shè)（2）中定點(diǎn)為Q，記與的面積分別為和，求的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由題意，
由，得，
化簡(jiǎn)得
所求曲線(xiàn)的方程為.
（2）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，所以的斜率不為零，
故設(shè)直線(xiàn)的方程為
聯(lián)立方程組，消并整理得，
設(shè)，，，，
于是，，，
由于，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為，
則，
所以，即，
進(jìn)而，
整理得，
將，代入可得，
化簡(jiǎn)得，
由于，所以，
則直線(xiàn)方程為，
故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
（3）由題意可知，則直線(xiàn)方程為，且，
，其中分別為到直線(xiàn)的距離，
所以
代入，，，
由于且，故，
解得或，故，
故.
.
7．（2024·河北石家莊·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限且滿(mǎn)足直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為．當(dāng)垂直于軸時(shí)，．
(1)求的方程；
(2)若點(diǎn)為的左頂點(diǎn)且滿(mǎn)足，直線(xiàn)與交于，直線(xiàn)與交于．
①證明：為定值；
②證明：四邊形的面積是面積的2倍．
【解析】（1）當(dāng)垂直軸時(shí)，由直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，故，
設(shè)，則，解得，
即，則，解得，
故的方程為；
（2）（2）①設(shè)，
由知，
將得，
即．
由為上點(diǎn)，則
．
又直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，故，即．
因此；
②由題直線(xiàn)斜率不為0，設(shè)
由①聯(lián)立，
消去得，
，
由，
即，
即．
因此有．
面積，
四邊形的面積，
即若要證，只需證．
設(shè)，故只需證即可．
直線(xiàn)，
聯(lián)立解得，
同理得．
故故問(wèn)題得證．
8．（2024·高三·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為.上、下頂點(diǎn)分別為，且面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)、分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)N、D，求證：與的面積相等.
【解析】（1）由題意可得，注意到，，解得，故橢圓方程為；
（2）
由題意，
因?yàn)辄c(diǎn)不與橢圓頂點(diǎn)重合，所以直線(xiàn)斜率存在且不為0，且不等于，
所以設(shè)，
聯(lián)立，顯然，
由韋達(dá)定理可知，從而，
所以，
在中令，得，所以，
易知，聯(lián)立，所以，
注意到直線(xiàn)的斜率為，
所以，
聯(lián)立，所以，
記點(diǎn)到的距離、點(diǎn)到的距離依次為，
則，
同理，
綜上所述，與的面積相等，命題得證.
9．定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”．
如圖，為橢圓的“共軛點(diǎn)對(duì)”，已知，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)．

(1)求直線(xiàn)的方程；
(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．
（i）求證：線(xiàn)段被直線(xiàn)平分；
（ii）若點(diǎn)在第二象限，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求面積的最大值．
【解析】（1）由已知，點(diǎn)在直線(xiàn)上，
又因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，
所以所求直線(xiàn)的方程為：．
（2）（i）方法1：因?yàn)椋?br/>設(shè)，則，
兩式相減得，
整理得，
即，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．
所以線(xiàn)段被直線(xiàn)平分．
方法2：因?yàn)椋?br/>所以設(shè)，
由，
由韋達(dá)定理得，于是，
從而，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．
（ii）由（i）可知為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，
所以．
由解得，設(shè)，
由，
由，
由韋達(dá)定理得．
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
所以，所以的最大值為．
10．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，，與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求面積的最小值．
【解析】（1）由題意可設(shè)點(diǎn)，則，得，①
因?yàn)椋杂蓲佄锞€(xiàn)的定義得，得．②
將②代入①中，得，解得，
故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
如圖，易得，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，得，
設(shè)，，點(diǎn)坐標(biāo)為
則，，
從而，
因直線(xiàn)，故直線(xiàn)的方程為，
則同理可得．
所以的面積為

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故面積的最小值為4．
11．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離之比為，記的軌跡為曲線(xiàn)，直線(xiàn)交右支于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交右支于，兩點(diǎn)，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：；
(3)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離之比為，
所以 ，整理得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知直線(xiàn)和直線(xiàn)斜率若存在則均不為0且不為，
①直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則可設(shè)直線(xiàn)方程為，，
則且由點(diǎn)A和點(diǎn)B在曲線(xiàn)E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直線(xiàn)斜率存在時(shí)，則可設(shè)方程為，、，
聯(lián)立，
則即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
綜上，.
（3）由題意可知直線(xiàn)和直線(xiàn)斜率若存在則斜率大于1或小于，
且曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程為，
故可分別設(shè)直線(xiàn)和直線(xiàn)的方程為和，且，
聯(lián)立得，設(shè)、，
則，
，，
故，
因?yàn)镻是中點(diǎn)，所以即，
同理可得，
所以P到兩漸近線(xiàn)的距離分別為，
，
Q到兩漸近線(xiàn)的距離分別為，
，
由上知兩漸近線(xiàn)垂直，故四邊形是矩形，連接，
則四邊形面積為
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以四邊形面積的取值范圍為.
12．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，BC的中垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G，若，的面積分別記為，，且，點(diǎn)A在第一象限，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【解析】（1）由，可知焦點(diǎn)．
不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題意可知點(diǎn)．由點(diǎn)P在橢圓上，得．
又因?yàn)椋矗瑒t，可得，解得．
所以，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，由得，，所以切線(xiàn)l的方程為
，即．
代入橢圓方程，得．
由，得．
設(shè)點(diǎn)，，，則．
，
則GE的方程為，即，
令，得．
在直線(xiàn)l的方程中令，得．
，，
，，可得．于是，
可得．
化簡(jiǎn)得，解得，
符合．
所以（舍去），進(jìn)而，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
13．（2024·天津·二模）設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是三角形的面積的倍，求直線(xiàn)的方程．
【解析】（1）依題意，，，令橢圓半焦距為c，由，得，，
所以橢圓的方程為.
（2）顯然直線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，
由消去得：，
則，解得，，又，
由（1）知，，，
由，得，
即，解得，滿(mǎn)足，
所以直線(xiàn)的方程.
14．（2024·高三·山東濰坊·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的焦距為4，離心率為分別為的左 右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)都在上.
(1)求的方程；
(2)若，求直線(xiàn)的方程；
(3)若且，求四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍.
【解析】（1）由題意可得，解得，
故曲線(xiàn)的方程為，
（2）根據(jù)題意知直線(xiàn)的斜率不為零，設(shè)直線(xiàn)的方程為，
得，都在右支上，
由，消去可得，
易知，其中恒成立，
，
代入，消元得，
所以，解得，滿(mǎn)足，
所以直線(xiàn)的方程為，
（3），，則分別在兩支上，且都在的上方或的下方，不妨設(shè)都在的上方，又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，
延長(zhǎng)交雙曲線(xiàn)與點(diǎn)，延遲交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2被，由題設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，
由第（2）問(wèn)易得，
因?yàn)椋裕?br/>兩條直線(xiàn)與間的距離，
所以，
令，，
所以，
設(shè)，則，在上恒為減函數(shù)，
所以在上恒為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)即，取得最小值為12，
所以當(dāng)且，求四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍為.
15．（2024·湖北·一模）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為、是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．
（i）若點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：
（ii）若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率）．
【解析】（1）由題意得，又，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）（i）由（1）可得，
連接，因?yàn)椋?br/>所以，
，
，所以，
所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，
解得或（舍去），
.
（ii）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為：，
又，，直線(xiàn)的方程為，
由，解得，
所以，
由，得，
由，
則，所以，
則，
，
依題意、不重合，所以，即，
所以，
直線(xiàn)的方程為，
令即，解得，
，
，
為定值.
16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)在曲線(xiàn)上.
(1)求曲線(xiàn)的方程；
(2)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，且滿(mǎn)足直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，若點(diǎn)為曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，且滿(mǎn)足，直線(xiàn)與交于，直線(xiàn)與交于.
①證明：為定值；
②是否存在常數(shù)，使得四邊形的面積是面積的倍？若存在求出，若不存在說(shuō)明理由.
【解析】（1）顯然，設(shè)，
由，得，由，得，
則直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立消去得，即，
所以曲線(xiàn)的方程為.
（2）①顯然直線(xiàn)不垂直于軸，設(shè)直線(xiàn)，，而，
顯然，由，得，
則，
整理得，
又直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，則，即，
因此，所以，即為定值.
②由①，消去并整理得，
，，
，即有，則，
，
的面積，
四邊形的面積，
設(shè)，則，
直線(xiàn)，直線(xiàn)，聯(lián)立解得，
同理，
，因此，
所以存在常數(shù)，使得四邊形的面積是面積的倍，.
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