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重難點突破06 弦長問題及長度和、差、商、積問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：弦長問題 2
題型二：長度和問題 5
題型三：長度差問題 11
題型四：長度商問題 15
題型五：長度積問題 22
題型六：長度的范圍與最值問題 29
題型七：長度的定值問題 36
03 過關測試 44
1、弦長公式的兩種形式
①若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
②若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
題型一：弦長問題
【典例1-1】已知點、分別橢圓的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為 .
【答案】/
【解析】橢圓的右焦點，
因為直線的傾斜角為且過點，
所以直線，設，，
聯立，消去得，
所以，，
所以，，
所以，，
所以.
故答案為：
【典例1-2】已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，橢圓C上點M滿足．
(1)求橢圓C的標準方程：
(2)若過坐標原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．
【解析】（1）依題意，解得，所以橢圓方程為；
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不符合題意；所以直線的斜率存在，設直線方程為，則，消元整理得，設，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；
【變式1-1】（2024·海南·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
【解析】（1）因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；
又因為點在雙曲線上，所以，解得：，
所以雙曲線的標準方程為：
（2）設，
由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，
聯立，消去可得：，
所以，，
所以
【變式1-2】已知拋物線的焦點為.
(1)求；
(2)斜率為的直線過點，且與拋物線交于兩點，求線段的長.
【解析】（1）為拋物線的焦點，，解得：.
（2）由（1）知：拋物線；
直線，
由得：，
設，，則，
，.
【變式1-3】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為，動圓圓心的軌跡方程為，已知點，直線過點且與軌跡交于 兩點，且，求直線的方程.
【解析】如圖設圓心，，圓與軸交于、兩點，過點作軸，垂足為，則，
，
，化為；
即動圓圓心的軌跡的方程為，
設直線為，，，聯立方程得，消去得，所以，，所以，即，解得，所以直線為或
題型二：長度和問題
【典例2-1】已知 為拋物線 的焦點， 過點 的直線 與拋物線 交于 兩點， 拋物線 在 兩點處的切線交于點 .
(1)設 是拋物線 上一點， 證明: 拋物線 在點 處的切線方程為 ， 并利用切線方程求點 的縱坐標的值;
(2)點 為拋物線 上異于 的點， 過點 作拋物線 的切線， 分別與線段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)證明:
【解析】（1）由題意，曲線，可得，則，
點處的切線方程為，即，
因為， 代入可得，
設，
聯立方程組，整理得，可得，
又由切線方程可知， 拋物線在點處的切線分別為，
消去可得，消去可得，
即.
（2） (i) 設 ，
由 (1) 可知 ，
由 可知 ，
由 可知
故 .
(ii) 由拋物線性質可知， ， 同理 ，
又 ，
同理可得， ，
由均值不等式可知，
，
同理 ，
但取等條件 不同時成立，
因此 ， 證畢.
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知的內角的對邊分別為，面積為，且.
(1)證明：為等邊三角形；
(2)設的延長線上一點滿足，又平面內的動點滿足，求的最小值.
【解析】（1）因為，由正弦定理得不是最大邊,
面積,所以,所以,
由余弦定理,化簡得，，
,
所以
所以是等邊三角形.
（2）如圖建系，
設點，當時，
因為，所以,
所以,化簡得，其中，
當時，，因為，則此時不合題意，則，
當時，，因為，則此時不合題意，則，
因為是由雙曲線向右平移4個單位得到的，
易知雙曲線的焦點坐標為，則平移后焦點坐標為和，
作出雙曲線，的圖象如圖所示：
根據雙曲線定義知，則，則，
當且僅當三點共線時取等號，
當時，此時，，故此時不可能滿足，舍去；
綜上所述的最小值為10.
【變式2-1】（2024·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┤鐖D所示，由半橢圓和兩個半圓、組成曲線，其中點依次為的左、右頂點，點為的下頂點，點依次為的左、右焦點．若點分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過點作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
【解析】（1）由兩圓的方程知：圓心分別為，，即，，
，解得：，.
（2）由題意知：；
，由對稱性可知：為橢圓截直線的弦長，
設，其與橢圓交于點和
由得：，則
，，
，
當時，取得最小值，的最小值為.
【變式2-2】（2024·河南安陽·安陽一中校聯考模擬預測）定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點為橢圓上異于其左、右頂點的任意一點．
(1)當時，若與橢圓有且只有一個公共點的直線恰好相交于點，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當（e為橢圓的離心率）時，設直線與橢圓交于點，直線與橢圓交于點，求的值．
【解析】（1）設，則直線的方程為，即，
記，則的方程為，
將其代入橢圓的方程，消去，得，
因為直線與橢圓有且只有一個公共點，
所以，即，
將代入上式，整理得，
同理可得，，
所以為關于的方程的兩根，
所以，．
又點在橢圓上，
所以，
所以．
（2）由橢圓，得其離心率，
所以當，即時，橢圓的標準方程為，
所以，，，恰好為橢圓的左、右焦點，
易知直線的斜率均存在且不為，
所以，
因為在橢圓上，所以，即，
所以．
設直線的斜率為，則直線的斜率為，
所以直線的方程為．
由，得，
設，則，，
所以
，
同理可得，
所以．
題型三：長度差問題
【典例3-1】（2024·河南新鄉·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．
(1)求的方程；
(2)若的面積為，求的方程；
(3)若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，
的周長為，所以，
所以，
故的方程為．
（2）易知的斜率不為0，設，
聯立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程為或．
（3）由（2）可知，
因為的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為．
【典例3-2】已知拋物線經過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．
(1)若，證明：直線過定點．
(2)已知，直線在直線的右側，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【解析】（1）證明：將點代入，得，即．
聯立得，
由，設，，則，．
因為，所以恒成立，則，
所以的方程為，故直線過定點．
（2）聯立得，則
且，即，
，
設，同理可得．
因為直線在的右側，所以，則，即．
所以，即，解得，
因為，所以滿足條件的存在，.
【變式3-1】已知拋物線：的焦點為橢圓：的右焦點F，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l過點F，交拋物線于A，C兩點，交橢圓于B，D兩點（A，B，C，D依次排序），且，求直線l的方程.
【解析】（1）由拋物線可知：，
故由得：，故，則，
則對于有：，解得，
故橢圓方程為：；
（2）過點的直線的斜率不存在時，，，，
所以直線在點的右側，與兩曲線的交點順序變成A，B，D，C的順序，
不滿足題意，如下圖；
所以過點的直線的斜率存在，
故設直線的斜率為k，則直線方程為，
聯立拋物線方程：，整理得： ，
設 ，則，
故 ，
聯立，整理得，
設，則，
則
，
又，
即，整理得 ，
解得，因為，，而，
且A，B，C，D依次排序，所以，如下圖，
故，故直線的方程為.
綜上，直線的方程為.
題型四：長度商問題
【典例4-1】（2024·內蒙古赤峰·二模）已知點P為圓 上任意一點， 線段PA的垂直平分線交直線PC于點M，設點M 的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程;
(2)若過點M 的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點，且M 為線段ST的中點.
(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個交點；
(ii)求 的取值范圍.
【解析】（1）M為的垂直平分線上一點, 則 ，
則
∴點M的軌跡為以為焦點的雙曲線, 且，
故點M的軌跡方程為
（2）( i ) 設，雙曲線的漸近線方程為：，
如圖所示：
則①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
則，得
由題可知，則，
得，即，
∴直線的方程為，即，
又∵點M在曲線H上，則 ，得，
將方程聯立，得，
得，
由，可知方程有且僅有一個解，
得直線l與曲線H有且僅有一個交點.
（ii）由（i）聯立 ，可得，同理可得， ，
則 ，
故，
當且僅當，即時取等號.
故的取值范圍為．
【典例4-2】（2024·高三·山東德州·開學考試）已知雙曲線焦點在軸上，離心率為，且過點，直線與雙曲線交于兩點，的斜率存在且不為0，直線與雙曲線交于兩點.
(1)若的中點為，直線的斜率分別為為坐標原點，求；
(2)若直線與直線的交點在直線上，且直線與直線的斜率和為0，證明：.
【解析】（1）設雙曲線方程為，
則，解得，
所以，
設
因為兩點都在雙曲線上，
所以，
兩式作差得，
整理得
則；
（2）設，設直線的方程為，
聯立，
化簡得，
，
則，
故，
，
由，所以，
從而
，即.
【變式4-1】拋物線的焦點到準線的距離為.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過焦點的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點，求.
【解析】（1）因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，
根據建系方案的不同，拋物線的標準方程有四種可能，
分別是，，，.
（2）在平面直角坐標系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時焦點，
根據題意，直線的斜率存在且不為，因此設直線的方程為，
與拋物線聯立，得關于的一元二次方程，
則，設、，
則，，，
，
則，
線段的中點坐標為，中垂線方程為，
令，解得，即中垂線與軸交于，
所以，則.
【變式4-2】（2024·湖北黃岡·模擬預測）在生活中，我們經常看到橢圓，比如放在太陽底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵橢圓的離心率為，
∴，∴，
∴橢圓的方程為，
不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，
∵，
∴，
∴為正三角形，
∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，
∴直線的斜率為，斜率倒數為，
直線的方程：，
代入橢圓方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，
∴
則，
當且僅當
故答案為：.
【變式4-3】（2024·高三·河北·開學考試）已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍.
【解析】（1）依題意，可設橢圓的方程為.
由得，又因為，所以，則，
因為橢圓經過點，代入上述方程解得，則，
所以橢圓的方程為.
（2）
由（1）可知：，
當斜率不存在時，若點與重合，與重合.此時.
若點與重合，與重合，則.
當直線斜率存在時，設直線，
聯立得消去可得，顯然，
則，可得，
整理可得，
因為，可得，
令，則，解得，即，
所以.
綜上，的取值范圍為.
題型五：長度積問題
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·開學考試）已知橢圓的右頂點為，上頂點為．
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的左焦點為 點為橢圓上不同于頂點的一點，直線與軸的交點分別為，若，求點的橫坐標.
【解析】（1）由題設，
所以的方程為．
（2）
法一：設，所以
所以， 直線的方程為．
令，得
又， 直線的方程為
令，得 ，
所以 ，
所以，所以，
所以，.
所以點的橫坐標為或.
法二：由題意直線斜率存在，且不為0，設直線的方程為．
令，得
由 得．
易得．設 ，則，
，所以
直線的方程為．
令，得 ，
所以．
所以，.
所以，.
所以點的橫坐標為或.
【典例5-2】已知拋物線，為的焦點，過點的直線與交于，兩點，且在，兩點處的切線交于點，當與軸垂直時，．
(1)求的方程；
(2)證明：．
【解析】（1）由題意知，將代入，解得，
所以當與軸垂直時，，所以，
故拋物線的方程為．
（2）
證明：法一：根據題意知直線的斜率存在，，
設直線的方程為，，，
聯立得，
所以，，．
對求導，得，
所以，所以．
由得所以．
當時，根據對稱性得，，所以；
當時，，所以，
所以，所以，即．
綜上，．
法二：根據題意知直線的斜率存在，，
設直線的方程為，，，
聯立得，所以，，．
對求導，得，由得所以．
因為，，
所以．
又，所以．
【變式5-1】（2024·高三·江西·開學考試）已知雙曲線其左、右焦點分別為，若，點到其漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設過點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且，若成等比數列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．
【解析】（1）由題意可知：，即，
則，其中一條漸近線為，即，
因為點到其漸近線的距離為，則，
所以雙曲線C的標準方程.
（2）雙曲線C為“黃金雙曲線”，理由如下：
設為雙曲線C的上一點，則，即，
可得，
若為雙曲線C的上左支一點，則，則，
且，可得；
若為雙曲線C的上右支一點，則，則，
且，可得；
由題意可知：，漸近線方程為，
則直線l的斜率存在，，
設，
聯立方程，消去y可得，
則，
因為，則，可得，
即，解得，
此時，，
且，
因為，
即，則成等比數列，
所以該雙曲線為“黃金雙曲線”.
【變式5-2】（2024·高三·陜西安康·開學考試）已知動圓的圓心在軸上，且該動圓經過點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設過點的直線交軌跡于兩點，若為軌跡上位于點之間的一點，點關于軸的對稱點為點，過點作，交于點，求的最大值．
【解析】（1）因為動圓的圓心在軸上，所以設圓心坐標為，半徑為，
由題意可得，即，
又圓心是點的中點，
由中點坐標公式可得，
代入上式可得，
所以點的軌跡的方程為；
（2）由題意知在拋物線C上，則，即，
由于過點的直線交軌跡于兩點，則直線l的斜率為，
故l的方程為，聯立，得，
解得或，則，則B關于x軸的對稱點為，
由題意知直線AQ的斜率存在，設為k，直線的斜率為，則，
設直線，
因為點Q在拋物線C上，故聯立，得，
得，則，,
又，故直線BM的方程為，
聯立，解得,
因為
，
故當時，即時，取到最大值，最大值為.
【變式5-3】已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點為，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求的取值范圍．
【解析】（1）直線，經過點，，被橢圓截得的弦長為，可得．
又，，解得：，，，
橢圓的方程為．
（2）由（1）可得：圓的方程為：．
設，則以為直徑的圓的方程為：，
與相減可得：直線的方程為：，
設，，，，聯立，化為：，
，則，，
故．
又圓心到直線的距離，
，
，
令，則，
，可得，可得：．
題型六：長度的范圍與最值問題
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經過點.
(1)求C的方程；
(2)若直線l與C交于A，B兩點，且（點O為坐標原點），求的取值范圍.
【解析】（1）由題意可得，解得，
故雙曲線方程為.
（2）當直線斜率不存在時，可設，
則，
將其代入雙曲線方程，
又，解得，
此時，
當直線斜率存在時，設其方程為，設，
聯立，
故，
則
，
化簡得，此時，
所以
，
當時，此時，
當時，此時，
，故，
因此，
綜上可得.
【典例6-2】（2024·高三·廣東·開學考試）我們把各邊與橢圓的對稱軸垂直或平行的的內接四邊形叫做的內接矩形．如圖，已知四邊形是的一個邊長為1的內接正方形，，分別與軸交于，，且，為的兩個焦點．
(1)求的標準方程；
(2)設是四邊形內部的100個不同的點，線段，與軸分別交于，，記，其中，證明：，中至少有一個小于．
【解析】（1）依題意，焦距，所以，
連接，則，所以，
所以，所以，
所以的標準方程為，即.
（2）連接并延長與交于點，連接（為了便于理解，解析圖中只做了兩條，其它類似），
則，
所以由正方形的對稱性，
，
所以，
若，均不小于，則，與矛盾，
所以，中至少有一個小于.
【變式6-1】（2024·高三·浙江·開學考試）在直角坐標系中，過橢圓的右焦點的直線與截得的線段長的取值范圍是.
(1)求的方程；
(2)已知曲線的切線被坐標軸所截的線段長為定值.
（i）求與截得的線段長；
（ii）求與截得的線段長的取值范圍.
【解析】（1）設的焦距為，設與交于.
①當與軸重合時，顯然；
②當不與軸重合時，設，
則將與聯立，整理得，
則，
所以
，
則有，因此有，解得，
所以橢圓.
（2）（i）設切點為上任意一點，
由條件，，則有，
則.
設直線交軸分別于，代入，
解得，即的橫坐標.
代入，解得，即為的縱坐標，
則有為定值，
則只能有，，解得，
否則，，均為定值，則其解有限，矛盾.
此時有.
（ii）設切線與橢圓交于，
此時令，則切線.
將切線與聯立，得，
故,則有，
因此
因為，則，
則，
所以
即
【變式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）雙曲線：有一點在雙曲線上，分別過點作漸近線平行線交軸于，且在靠近原點的一側，過點作軸垂線交以為直徑的圓于點，求的取值范圍.
【解析】
由對稱性不妨取點在第一象限，設，則，
由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，
則，，
，，
，，.
【變式6-3】（2024·新疆·二模）已知橢圓的左焦點為，上任意一點到的距離的最大值和最小值之積為1，離心率為．
(1)求的方程；
(2)設過點的直線與交于，兩點，若動點滿足，，動點在橢圓上，求的最小值．
【解析】（1）設，，
則．
又因為，所以，即，
又橢圓的離心率，所以，則，
解得，故的方程為．
（2）設，，，因為，
所以，
若，則，即與重合，與矛盾，
若，則，即與重合，與矛盾，
故，于是，將點代入，
化簡得，
同理可得，，
故，為方程的兩根，
于是，即，動點在定直線上．
令直線，當與相切時，記，的距離為，則，
聯立可得，
由，解得，又，則，
此時，解得，，即切點為，直線，的距離為，
故的最小值為．
題型七：長度的定值問題
【典例7-1】（2024·山東濟南·三模）如圖所示，拋物線的準線過點，
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.
【解析】（1）解:(1)由題意得
∴拋物線的方程為
（2）設，直線的斜率為
則直線方程為
將此式代入，得，
故
設的中垂線為直線m，設直線m與的交點為
則
故直線m的方程為
令得點P的橫坐標為
故
∴為定值8
【典例7-2】已知橢圓的短軸長為2，上頂點為M，O為坐標原點，A，B為橢圓上不同的兩點，且當三點共線時，直線的斜率之積為
(1)求橢圓的方程；
(2)若的面積為1，求的值.
【解析】（1）由題意知橢圓的短軸長為2，即，.
為橢圓的上頂點，所以.
當三點共線時，設，則.
由點在橢圓上，則,
因為，
所以，解得．
故橢圓的方程為；
（2）設過兩點的直線為，
當直線的斜率不存在時，兩點關于軸對稱，
所以
因為在橢圓上，所以，又，
所以，即，聯立，
解得
此時，所以.
當直線的斜率存在時，設其方程為，
聯立消去得，
其中①，
所以，
所以．
因為點到直線的距離，
所以，
所以，
整理得，符合①式，
此時，
綜上所述，的值為5．
【變式7-1】（2024·高三·廣東·開學考試）設為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點關于原點的對稱點為，四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過的直線交橢圓于兩點，求證：為定值.
【解析】（1）設橢圓的焦距為，因為，
所以四邊形為平行四邊形，其面積設為，則
，所以，
所以，
又，
解得，
所以橢圓的方程為.
（2），當直線與軸重合時，的方程為，
此時不妨令，則；
當直線與軸不重合時，的方程可設為，
由，得，
設，則，
綜上，為定值4.
【變式7-2】已知橢圓過點，且．
(1)求橢圓ω的方程；
(2)設O為原點，過點的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點，且直線l與x軸不重合，直線AP，AQ分別與y軸交于M，N兩點．求證為定值．
【解析】（1）因為橢圓過點，所以.
因為，所以.
所以橢圓的方程為.
（2）當直線斜率不存在時，直線的方程為.
不妨設此時，，
所以直線的方程為，即.
直線的方程為，即.
所以.
當直線斜率存在時，設直線的方程為，
由，得.
依題意，.
設，，則，.
又直線的方程為，
令，得點的縱坐標為，即，同理.
所以
.
綜上，為定值，定值為.
【變式7-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖， 在平面直角坐標系中，雙曲線的上下焦點分別為，. 已知點和都在雙曲線上， 其中為雙曲線的離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.
(i) 若，求直線的斜率；
(ii) 求證：是定值.
【解析】（1）將點和代入雙曲線方程得：
，結合，化簡得：，解得，
雙曲線的方程為．
（2）(i) 設關于原點對稱點記為，
則．
因為，所以，
又因為，所以，即，
故三點共線．
又因為與互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，
所以．
由題意知，直線斜率一定存在，
設的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：
，故，
直線與雙曲線上支有兩個交點，所以，解得．
由弦長公式得
，
則，且由圖可知，即，
代入解得．
(ii) 因為，由相似三角形得，
所以
．
因為．
所以，故為定值．
【變式7-4】（2024·高三·湖北武漢·開學考試）已知橢圓的離心率，連接四個頂點所得菱形的面積為4.斜率為的直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)設為坐標原點，若三點不共線，且的斜率滿足，求證：為定值.
【解析】（1）因為，所以，
又連接四個頂點所得菱形的面積為，可得，
解得，所以橢圓方程為.
（2）如圖所示：
設直線的方程為：
聯立，可得：，則，
由韋達定理可得：，
由弦長公式可得：
當時，取得最大值.
（3）如圖所示：
設直線的方程為：
聯立，可得：，則
由韋達定理可得：，
又由，可得，
代入可得，即.所以，所以
故為定值.
1．已知斜率為2的直線經過橢圓的右焦點，與橢圓相交于兩點，求弦的長．
【解析】由題意可知：，
因為直線過橢圓的右焦點，且斜率為，
則直線的方程為，且直線與橢圓必相交，
方法一：解方程組，解得或，
不妨令，，
所以；
方法二：設，，
聯立方程，消去得，
則，．
所以；
方法三 設，，
聯立方程，消去得，
則，，
所以．
2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知雙曲線的左頂點是，一條漸近線的方程為．
(1)求雙曲線E的離心率；
(2)設直線與雙曲線E交于點P，Q，求線段PQ的長．
【解析】（1）由題意知，且，
，
所以雙曲線的離心率．
（2）由（1）知雙曲線方程為，
將即代入，得，
不妨設，
所以．
3．（2024·浙江·模擬預測）已知P為雙曲線C：上一點，O為坐標原點，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．
(1)若點P是直線與圓的交點，求a；
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）聯立方程：，解得或，
即點為或，
將點代入雙曲線C：可得，解得，
所以.
（2）先證：在雙曲線上一點處的切線方程為.
因為點在雙曲線上，則，
顯然直線過點，
即，，
聯立方程，消去y可得，
即，則，解得，
所以在雙曲線上一點處的切線方程為.
設，，則，
可得線段OP的垂直平分線為，即，
設直線與雙曲線C切于點，則直線，
則，即，
且，即，整理可得，
又因為在雙曲線C上，則，即，
可得，解得（舍負），
則，
令，則，可得，
令，則關于x的方程有正根，
即關于t的方程在內有根，
設，
若，即，則，不合題意；
若，即，則，解得，不合題意；
若，即，則，解得；
綜上所述：，
則，即.
4．已知橢圓：的離心率為， 點，在橢圓上運動. 當直線過橢圓右焦點并垂直于軸時，的面積為（為坐標原點）.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)延長到， 使得，且與橢圓交于點， 若直線，的斜率之積為， 求的值.
【解析】（1）由題意可得：，
解得：，，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設點，，，，則，
，
，，
且，，，
，
整理可得：，
，即，故.
5．在平面直角坐標系中，動點到的距離等于到直線的距離.
(1)求M的軌跡方程；
(2)P為不在x軸上的動點，過點作（1）中的軌跡的兩條切線，切點為A，B；直線AB與PO垂直(O為坐標原點)，與x軸的交點為R，與PO的交點為Q；
（?。┣笞C：R是一個定點；
（ⅱ）求的最小值.
【解析】（1）因為動點到的距離等于到直線的距離，所以M的軌跡為開口向右的拋物線，
又因為焦點為，所以軌跡方程為.
（2）（?。┳C明：設點，
設以為切點的切線方程為，
聯立拋物線方程,可得，由，得，
所以切線AP：，同理切線BP：
點P在兩條切線上，則，
由于均滿足方程，故此為直線AB的方程，
由于垂直即，則，
所以直線AB的方程，恒過；
（ⅱ）由（?。┲?，則，直線
聯立直線AB與直線OP的方程得，
因此，時取等號.
即的最小值是.
6．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F且互相垂直的兩條動直線分別與E交于點A，B和點C，D，當時，．
(1)求E的方程；
(2)設線段AB，CD的中點分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．
【解析】（1）由題意可知：，直線的斜率存在且不為0，
此時直線AB、CD均與拋物線相交，
設，則，
聯立方程，消去可得，
則，
可得，
若，根據拋物線的對稱性不妨令直線的傾斜角為，即，
可得，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）可知：，，，
且，
則，即，
同理可得：，
由題意可知：，
則，
因為，解得，
則，，即，.
7．（2024·高三·廣東·開學考試）已知雙曲線的離心率為，焦距為．
(1)求的標準方程；
(2)若過點作直線分別交的左 右兩支于兩點，交的漸近線于，兩點，求的取值范圍．
【解析】（1）因為的離心率為，焦距為，
所以，解得，所以．
所以的標準方程為．
（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，
不妨設分別在左 右位置，聯立，得，
聯立，得，
所以，
聯立，得，
設，則，
由，即，
所以，
所以，
又，所以，
所以的取值范圍為．
8．（2024·河南安陽·一模）如圖，已知直線，M是平面內一個動點，且MA與相交于點A（A位于第一象限），，且MB與相交于點B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點）的面積為．
(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)過點的直線l與C相交于P，Q兩點，是否存在定直線l′:，使以PQ為直徑的圓與直線l′相交于E，F兩點，且為定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設，所在直線方程為，
聯立方程得，同理，
，
所以四邊形OAMB的面積為：
，
所以，
所以動點M的軌跡C的方程為．
（2）假設存在定直線l′：，使為定值．
設，PQ中點，直線l方程為，
聯立方程，
由，得，
，
，
，
設G到直線l′：的距離，
，
因為為定值，所以為定值．
由為定值，
故即，即當時，為定值，
此時．
所以存在定直線，使為定值．
9．若點為雙曲線上一點，，點A為雙曲線的右頂點，過點P作直線l交雙曲線C于點Q，l于y軸相交于點B，點D為y軸上一動點，O為原點.
(1)求雙曲線的方程．
(2)若四點共圓.
①求的值；
②若，求直線的斜率.
【解析】（1）由題意可得：，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知：雙曲線的方程為，則，
①因為四點共圓，則，
由題意可知：直線l的斜率存在，設，
聯立方程，解得或，
可知，
則，
又因為B的坐標為，則，
又因為，
則，
且，則，所以；
②如圖，四點共圓，，
連接，因為四點共圓，則，
可知，可得，即.
因為，則，
可知三點共線，且，可得，
則直線，則，
由可知，則，可得直線，
代入可得：
，解得或，
因此直線的斜率為或0.
10．已知橢圓C：，、分別為橢圓C的左、右焦點，過作與x軸不重合的直線l與橢圓交于A、B兩點．當l垂直于x軸時，．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點D、E分別為線段、的中點，點M、N分別為線段AE、BD的中點．
（i）求證：為定值；
（ii）設面積為S，求S的取值范圍．
【解析】（1）在橢圓C中，令，可得，故有，而，，解得，，，故橢圓C的標準方程為．
（2）（?。┰Ol：，將l與C聯立可得：．
設，，則，．
則，，，．
①當l與x軸垂直時，，此時，故；
②當l與x軸不垂直時，也有．
綜上，．故，
而，故．
（ⅱ）由（?。┛芍?，故：．
令，解得．
恒過定點．設到MN與AB的距離分別為與，的面積為，則．
故
．
令，則，
因為在上單調遞增，故，則．
綜上所述，S的取值范圍為．
11．（2024·四川內江·三模）已知拋物線E的準線方程為：，過焦點F的直線與拋物線E交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線E交于M、N兩點，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點.
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)證明：為定值.
【解析】（1）因為拋物線的準線為：，設，則，所以，
故拋物線E的標準方程為.
（2）易知拋物線E的焦點，
設直線AB的方程為，、，
聯立可得，
由韋達定理可得，，
接下來證明拋物線E在點A處的切線方程為，
聯立可得，即，即，
所以，直線與拋物線E只有唯一的公共點，
所以，AC的方程為，
同理可知，直線BD的方程為，
在直線AC的方程中，令，可得，即點，
同理可得點，所以，直線的方程為，即，
設點、，聯立，可得，
由韋達定理可得，，
所以，
同理可得，
所以
，
故為定值.
12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的右焦點為點F，橢圓上頂點為點A，右頂點為點B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)是否存在過原點O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點為點C，且與直線AF交于點D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）依題意，，解得，
又因為，所以．
（2）設直線的方程為，橢圓的方程為，
設點，聯立方程組，整理得，
解得，①，
直線AF方程為，
設點，
，聯立方程組，解得，②，
又因為，
設，則有，
即，所以，所以．
所以，則有，
代入①②有，解得，
由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．
13．（2024·江蘇·三模）已知為等軸雙曲線上一點，且到的兩條漸近線的距離之積等于.
(1)求的方程；
(2)設點在第一象限，且在漸近線的上方，分別為的左 右頂點，直線分別與軸交于點.過點作的兩條切線，分別與軸交于點（在的上方），證明：.
【解析】（1）設，
為等軸雙曲線上一點，
，
雙曲線漸近線為，
，
，
的方程為.
（2）設，
直線方程為，直線的方程為，
，
設過且與雙曲線相切的直線為，
聯立，
得，
，
即，
設直線的斜率分別為，則，
方程，
，
同理方程，
，
，
，
，
，
，
.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破06 弦長問題及長度和、差、商、積問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：弦長問題 2
題型二：長度和問題 3
題型三：長度差問題 5
題型四：長度商問題 6
題型五：長度積問題 7
題型六：長度的范圍與最值問題 8
題型七：長度的定值問題 10
03 過關測試 13
1、弦長公式的兩種形式
①若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
②若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
題型一：弦長問題
【典例1-1】已知點、分別橢圓的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為 .
【典例1-2】已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，橢圓C上點M滿足．
(1)求橢圓C的標準方程：
(2)若過坐標原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．
【變式1-1】（2024·海南·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
【變式1-2】已知拋物線的焦點為.
(1)求；
(2)斜率為的直線過點，且與拋物線交于兩點，求線段的長.
【變式1-3】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為，動圓圓心的軌跡方程為，已知點，直線過點且與軌跡交于 兩點，且，求直線的方程.
題型二：長度和問題
【典例2-1】已知 為拋物線 的焦點， 過點 的直線 與拋物線 交于 兩點， 拋物線 在 兩點處的切線交于點 .
(1)設 是拋物線 上一點， 證明: 拋物線 在點 處的切線方程為 ， 并利用切線方程求點 的縱坐標的值;
(2)點 為拋物線 上異于 的點， 過點 作拋物線 的切線， 分別與線段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)證明:
【典例2-2】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知的內角的對邊分別為，面積為，且.
(1)證明：為等邊三角形；
(2)設的延長線上一點滿足，又平面內的動點滿足，求的最小值.
【變式2-1】（2024·寧夏銀川·銀川一中校考一模）如圖所示，由半橢圓和兩個半圓、組成曲線，其中點依次為的左、右頂點，點為的下頂點，點依次為的左、右焦點．若點分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過點作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
【變式2-2】（2024·河南安陽·安陽一中校聯考模擬預測）定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點為橢圓上異于其左、右頂點的任意一點．
(1)當時，若與橢圓有且只有一個公共點的直線恰好相交于點，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當（e為橢圓的離心率）時，設直線與橢圓交于點，直線與橢圓交于點，求的值．
題型三：長度差問題
【典例3-1】（2024·河南新鄉·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．
(1)求的方程；
(2)若的面積為，求的方程；
(3)若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【典例3-2】已知拋物線經過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．
(1)若，證明：直線過定點．
(2)已知，直線在直線的右側，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【變式3-1】已知拋物線：的焦點為橢圓：的右焦點F，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l過點F，交拋物線于A，C兩點，交橢圓于B，D兩點（A，B，C，D依次排序），且，求直線l的方程.
題型四：長度商問題
【典例4-1】（2024·內蒙古赤峰·二模）已知點P為圓 上任意一點， 線段PA的垂直平分線交直線PC于點M，設點M 的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程;
(2)若過點M 的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點，且M 為線段ST的中點.
(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個交點；
(ii)求 的取值范圍.
【典例4-2】（2024·高三·山東德州·開學考試）已知雙曲線焦點在軸上，離心率為，且過點，直線與雙曲線交于兩點，的斜率存在且不為0，直線與雙曲線交于兩點.
(1)若的中點為，直線的斜率分別為為坐標原點，求；
(2)若直線與直線的交點在直線上，且直線與直線的斜率和為0，證明：.
【變式4-1】拋物線的焦點到準線的距離為.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過焦點的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點，線段的中垂線交拋物線的對稱軸于點，求.
【變式4-2】（2024·湖北黃岡·模擬預測）在生活中，我們經?？吹綑E圓，比如放在太陽底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的最小值是 ．
【變式4-3】（2024·高三·河北·開學考試）已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍.
題型五：長度積問題
【典例5-1】（2024·高三·北京海淀·開學考試）已知橢圓的右頂點為，上頂點為．
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的左焦點為 點為橢圓上不同于頂點的一點，直線與軸的交點分別為，若，求點的橫坐標.
【典例5-2】已知拋物線，為的焦點，過點的直線與交于，兩點，且在，兩點處的切線交于點，當與軸垂直時，．
(1)求的方程；
(2)證明：．
【變式5-1】（2024·高三·江西·開學考試）已知雙曲線其左、右焦點分別為，若，點到其漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設過點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且，若成等比數列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．
【變式5-2】（2024·高三·陜西安康·開學考試）已知動圓的圓心在軸上，且該動圓經過點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設過點的直線交軌跡于兩點，若為軌跡上位于點之間的一點，點關于軸的對稱點為點，過點作，交于點，求的最大值．
【變式5-3】已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點為，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求的取值范圍．
題型六：長度的范圍與最值問題
【典例6-1】（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經過點.
(1)求C的方程；
(2)若直線l與C交于A，B兩點，且（點O為坐標原點），求的取值范圍.
【典例6-2】（2024·高三·廣東·開學考試）我們把各邊與橢圓的對稱軸垂直或平行的的內接四邊形叫做的內接矩形．如圖，已知四邊形是的一個邊長為1的內接正方形，，分別與軸交于，，且，為的兩個焦點．
(1)求的標準方程；
(2)設是四邊形內部的100個不同的點，線段，與軸分別交于，，記，其中，證明：，中至少有一個小于．
【變式6-1】（2024·高三·浙江·開學考試）在直角坐標系中，過橢圓的右焦點的直線與截得的線段長的取值范圍是.
(1)求的方程；
(2)已知曲線的切線被坐標軸所截的線段長為定值.
（i）求與截得的線段長；
（ii）求與截得的線段長的取值范圍.
【變式6-2】（2024·高三·北京·自主招生）雙曲線：有一點在雙曲線上，分別過點作漸近線平行線交軸于，且在靠近原點的一側，過點作軸垂線交以為直徑的圓于點，求的取值范圍.
【變式6-3】（2024·新疆·二模）已知橢圓的左焦點為，上任意一點到的距離的最大值和最小值之積為1，離心率為．
(1)求的方程；
(2)設過點的直線與交于，兩點，若動點滿足，，動點在橢圓上，求的最小值．
題型七：長度的定值問題
【典例7-1】（2024·山東濟南·三模）如圖所示，拋物線的準線過點，
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.
【典例7-2】已知橢圓的短軸長為2，上頂點為M，O為坐標原點，A，B為橢圓上不同的兩點，且當三點共線時，直線的斜率之積為
(1)求橢圓的方程；
(2)若的面積為1，求的值.
【變式7-1】（2024·高三·廣東·開學考試）設為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點關于原點的對稱點為，四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過的直線交橢圓于兩點，求證：為定值.
【變式7-2】已知橢圓過點，且．
(1)求橢圓ω的方程；
(2)設O為原點，過點的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點，且直線l與x軸不重合，直線AP，AQ分別與y軸交于M，N兩點．求證為定值．
【變式7-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖， 在平面直角坐標系中，雙曲線的上下焦點分別為，. 已知點和都在雙曲線上， 其中為雙曲線的離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.
(i) 若，求直線的斜率；
(ii) 求證：是定值.
【變式7-4】（2024·高三·湖北武漢·開學考試）已知橢圓的離心率，連接四個頂點所得菱形的面積為4.斜率為的直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)設為坐標原點，若三點不共線，且的斜率滿足，求證：為定值.
1．已知斜率為2的直線經過橢圓的右焦點，與橢圓相交于兩點，求弦的長．
2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知雙曲線的左頂點是，一條漸近線的方程為．
(1)求雙曲線E的離心率；
(2)設直線與雙曲線E交于點P，Q，求線段PQ的長．
3．（2024·浙江·模擬預測）已知P為雙曲線C：上一點，O為坐標原點，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．
(1)若點P是直線與圓的交點，求a；
(2)求的取值范圍．
4．已知橢圓：的離心率為， 點，在橢圓上運動. 當直線過橢圓右焦點并垂直于軸時，的面積為（為坐標原點）.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)延長到， 使得，且與橢圓交于點， 若直線，的斜率之積為， 求的值.
5．在平面直角坐標系中，動點到的距離等于到直線的距離.
(1)求M的軌跡方程；
(2)P為不在x軸上的動點，過點作（1）中的軌跡的兩條切線，切點為A，B；直線AB與PO垂直(O為坐標原點)，與x軸的交點為R，與PO的交點為Q；
（ⅰ）求證：R是一個定點；
（ⅱ）求的最小值.
6．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F且互相垂直的兩條動直線分別與E交于點A，B和點C，D，當時，．
(1)求E的方程；
(2)設線段AB，CD的中點分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．
7．（2024·高三·廣東·開學考試）已知雙曲線的離心率為，焦距為．
(1)求的標準方程；
(2)若過點作直線分別交的左 右兩支于兩點，交的漸近線于，兩點，求的取值范圍．
8．（2024·河南安陽·一模）如圖，已知直線，M是平面內一個動點，且MA與相交于點A（A位于第一象限），，且MB與相交于點B（B位于第四象限），若四邊形OAMB（O為原點）的面積為．
(1)求動點M的軌跡C的方程；
(2)過點的直線l與C相交于P，Q兩點，是否存在定直線l′:，使以PQ為直徑的圓與直線l′相交于E，F兩點，且為定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，請說明理由．
9．若點為雙曲線上一點，，點A為雙曲線的右頂點，過點P作直線l交雙曲線C于點Q，l于y軸相交于點B，點D為y軸上一動點，O為原點.
(1)求雙曲線的方程．
(2)若四點共圓.
①求的值；
②若，求直線的斜率.
10．已知橢圓C：，、分別為橢圓C的左、右焦點，過作與x軸不重合的直線l與橢圓交于A、B兩點．當l垂直于x軸時，．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點D、E分別為線段、的中點，點M、N分別為線段AE、BD的中點．
（i）求證：為定值；
（ii）設面積為S，求S的取值范圍．
11．（2024·四川內江·三模）已知拋物線E的準線方程為：，過焦點F的直線與拋物線E交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線E交于M、N兩點，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點.
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)證明：為定值.
12．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的右焦點為點F，橢圓上頂點為點A，右頂點為點B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)是否存在過原點O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點為點C，且與直線AF交于點D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
13．（2024·江蘇·三模）已知為等軸雙曲線上一點，且到的兩條漸近線的距離之積等于.
(1)求的方程；
(2)設點在第一象限，且在漸近線的上方，分別為的左 右頂點，直線分別與軸交于點.過點作的兩條切線，分別與軸交于點（在的上方），證明：.
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