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重難點突破05 求曲線的軌跡方程
目錄
01 方法技巧與總結 2
02題型歸納與總結 3
題型一：直接法 3
題型二：定義法 4
題型三：相關點法 5
題型四：交軌法 6
題型五：參數法 8
題型六：點差法 9
題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡 10
題型八：復數與圓錐曲線的軌跡 11
題型九：向量與圓錐曲線的軌跡 12
題型十：利用韋達定理求軌跡方程 13
題型十一：四心的軌跡方程 14
03 過關測試 16
一．直接法求動點的軌跡方程
利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：
（1）建系：建立適當的坐標系
（2）設點：設軌跡上的任一點
（3）列式：列出有限制關系的幾何等式
（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡
（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應另外補充檢驗）．簡記為：建設現代化，補充說明．
注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．
二．定義法求動點的軌跡方程
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．
三．相關點法求動點的軌跡方程
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．
四．交軌法求動點的軌跡方程
在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．
五．參數方程法求動點的軌跡方程
動點的運動主要是由于某個參數的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數表示動點的坐標，即，再消參.
六．點差法求動點的軌跡方程
圓錐曲線中涉及與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程．
題型一：直接法
【典例1-1】（2024·高三·河北張家口·開學考試）已知兩點坐標分別.直線相交于點，且它們的斜率之和是3，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】已知等腰三角形的一腰的兩個端點分別是，則另一腰的一個端點的軌跡方程是（ ）
A．
B．（除去兩點）
C．（除去兩點）
D．（除去兩點）
【變式1-1】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）點到直線的距離比到點的距離大2，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】在平面直角坐標系中，若定點與動點滿足向量在向量上的投影為，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·浙江溫州·一模）動點到定點的距離與到定直線：的距離的比等于，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：定義法
【典例2-1】已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為 .
【典例2-2】已知定點和定圓，動圓和圓外切，且經過點，求圓心的軌跡方程
【變式2-1】已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】 已知，是圓上一動點，線段的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為 .
【變式2-3】已知定點，圓，過R點的直線交圓于M，N兩點過R點作直線交SM于Q點，求Q點的軌跡方程；
【變式2-4】設O為坐標原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為 ．
【變式2-5】（2024·山東青島·一模）已知，，設點P是圓上的點，若動點Q滿足：，，則Q的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-6】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知圓的方程為，直線為圓的切線，記兩點到直線的距離分別為，動點滿足，，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
題型三：相關點法
【典例3-1】設過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點．若，且，則點P的軌跡方程是 ．
【典例3-2】（2024·高三·江西·開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】已知點是橢圓上的動點，于點，若，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2024·高三·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
題型四：交軌法
【典例4-1】已知A，B分別為橢圓的左 右頂點，點M，N為橢圓上的兩個動點，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點的軌跡方程為 .
【典例4-2】已知橢圓C：的離心率為，且經過，經過定點斜率不為0的直線l交C于E，F兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.
【變式4-1】設是橢圓與x軸的兩個交點，是橢圓上垂直于的弦的端點，則直線與交點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．
(1)求點的軌跡方程；
(2)設點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標原點）為銳角，求實數的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．
【變式4-3】已知橢圓經過點，且離心率為.直線與交于兩點，連結.
(1)求面積的最大值；
(2)設直線分別與軸交于點，線段的中點為，求直線與直線的交點的軌跡方程.
【變式4-4】拋物線的對稱軸為軸，定點為坐標系原點，焦點為直線與坐標軸的交點．
(1)求的方程；
(2)已知，過點的直線交與兩點，又點在線段上（異于端點），且，求點的軌跡方程．
【變式4-5】已知矩形中，分別是矩形四條邊的中點，以矩形中心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.直線上的動點滿足.求直線與直線交點的軌跡方程.
【變式4-6】（2024·高三·湖北·期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的上焦點到一條漸近線的距離等于2.
(1)已知為上任意一點，求的最小值；
(2)已知動直線與曲線有且僅有一個交點，過點且與垂直的直線與兩坐標軸分別交于.設點.
（i）求點的軌跡方程；
（ii）若對于一般情形，曲線方程為，動直線方程為，請直接寫出點的軌跡方程.
【變式4-7】（2024·吉林·模擬預測）已知雙曲線的左 右頂點分別為，動直線過點，當直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點B到直線的距離為
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)當直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為.
（i）是否存在實數，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
（ii）求直線和交點的軌跡方程.
題型五：參數法
【典例5-1】方程(t為參數)所表示的圓的圓心軌跡方程是 (結果化為普通方程)
【典例5-2】已知是坐標原點，點滿足，且，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】已知，，當時，線段的中點軌跡方程為 ．
【變式5-2】已知O為坐標原點，，A是上的動點，連接OA，線段OA交于點B，過A作x軸的垂線交x軸于點C，過B作AC的垂線交AC于點D，則點D的軌跡方程為 ．
【變式5-3】已知在中，AB＝8，以AB的中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設，，若，則點P的軌跡方程為 ．
題型六：點差法
【典例6-1】已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是 ．
【典例6-2】已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；
(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．
【變式6-1】我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，點、、分別是相應橢圓的焦點，、和、分別是“果圓”與x軸、y軸的交點.
(1)若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
(2)當時，求的取值范圍；
(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦，求斜率為0的平行弦中點的軌跡方程.
【變式6-2】已知：橢圓，求：
（1）以為中點的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．
題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡
【典例7-1】已知點是正四面體內的動點，是棱的中點，且點到棱和棱的距離相等，則點的軌跡被平面所截得的圖形為（ ）
A．線段 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
【典例7-2】（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱中，，點是面上的動點，若點到點的距離是點到直線的距離的2倍，則動點的軌跡是（ ）的一部分
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【變式7-1】已知直線平面，直線平面，且．若P是平面上一動點，且點P到直線m、n的距離相等，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【變式7-2】在長方體中，點在矩形內（包含邊線）運動，在運動過程中，始終保持到頂點的距離與到對角線所在直線距離相等，則點的軌跡是（　　）
A．線段 B．圓的一部分
C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分
【變式7-3】已知線段AB與平面所成的角為，點B為斜足，在平面上的動點P滿足，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一部分
【變式7-4】已知正方體的棱長為，點是平面內的動點，若點P到直線的距離與到直線的距離相等，則點的軌跡為（ ）

A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓
題型八：復數與圓錐曲線的軌跡
【典例8-1】已知為虛數單位，且，復數滿足，則復數對應點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】（2024·全國·模擬預測）已知為虛數單位，且，復數滿足，則復數對應點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-1】設非零復數是復平面上一定點，為復平面上的動點，其軌跡方程，為復平面上另一個動點滿足，則在復平面上的軌跡形狀是（ ）
A．雙曲線 B．圓 C．一條直線 D．拋物線
【變式8-2】（2024·陜西咸陽·三模）設復數滿足，在復平面內對應的點為，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】設復數（為虛數單位），則復數在復平面內對應的點的軌跡方程為 .
【變式8-4】設復數z滿足，則復數z所對應的點Z在復平面上的軌跡方程為 ．
題型九：向量與圓錐曲線的軌跡
【典例9-1】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【典例9-2】O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【變式9-1】在中，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心
【變式9-2】（2024·江蘇·高三統考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【變式9-3】已知，，且滿足，則點的軌跡方程為 ．
【變式9-4】（2024·湖北咸寧·模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量滿足，向量滿足，則的軌跡方程為 ；的最小值為 .
題型十：利用韋達定理求軌跡方程
【典例10-1】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為和，M是橢圓C上一點，且面積的最大值為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)記O為坐標原點，當點M與橢圓C的頂點不重合時，過點M分別作直線OM，MF，其中直線MF不過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線OM，MF與橢圓C交于異于點M的E，F兩點，直線與直線相交于點D，直線OD與直線MF相交于點N，求點N的軌跡方程．
【典例10-2】過點的直線與拋物線相交于兩點P，Q，求以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點M的軌跡方程.
【變式10-1】已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;
（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.
【變式10-2】（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，則線段中點的軌跡方程為 .
【變式10-3】已知拋物線，焦點為F
(1)若點P為C上一點，且，求點P的橫坐標.
(2)若斜率為2的直線與拋物線交于不同的兩點A，B，線段中點為M，求點M的軌跡方程．
【變式10-4】已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點）.直線在繞著定點轉動的過程中，求弦中點的軌跡方程.
【變式10-5】過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，則線段的中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式10-6】（2024·河南·校聯考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
題型十一：四心的軌跡方程
【典例11-1】設點M、N分別是不等邊的重心與外心，已知、，且．則動點C的軌跡E ；
【典例11-2】點M為橢圓上一點，為橢圓的兩個焦點，則的內心軌跡方程為 .
【變式11-1】已知橢圓C：（，）過點，且離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l：與橢圓C交y軸右側于不同的兩點A，B，證明：△MAB的內心在一條定直線上．
【變式11-2】在平面直角坐標系中，已知雙曲線經過點，點與點關于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.
(1)求的離心率；
(2)若△的重心為，點，求的最小值；
(3)若△的垂心為，求動點的軌跡方程.
【變式11-3】求解下列問題：

(1)如圖，動圓：，與橢圓：相交于A，B，C，D四點，點，分別為的左、右頂點．求直線與直線的交點M的軌跡方程．
(2)已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，點P為橢圓C上的動點，求的重心G的軌跡方程．
【變式11-4】已知的頂點A是定點，邊在定直線上滑動，， 邊上的高為3，求的外心的軌跡方程．
【變式11-5】（2024·河北石家莊·一模）已知坐標原點為，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，離心率為.
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設過雙曲線上動點的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，求的外心的軌跡方程.
1．已知兩定點，動點滿足，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．在圓上任意取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡方程是（當點經過圓與軸的交點時，規定點與點重合）（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，若動點滿足直線與直線的斜率之積為，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．已知點P是圓上的動點，作軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
6．當點在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
8．已知兩圓，動圓與圓外切，且和圓內切，則動圓的圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·江西景德鎮·三模）首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業舊址結合再利用的競賽場館，它的設計創造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當的坐標系下圓弧所在圓的方程為，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（ ）

A． B．
C． D．
10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知橢圓方程為，過平面內的點作橢圓的兩條互相垂直的切線，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·湖北·模擬預測）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動點，過點分別作兩圓的割線和，總有，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．設過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，點是正方體面內的動點，且點到棱和面的距離相等，則點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
15．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體中，，是正方形內的動點，，則滿足條件的點構成的圖形的面積等于（ ）
A． B． C． D．
16．已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為正方形對角線的交點，動點在圓柱下底面內（包括圓周）．若直線與直線所成的角為，則點形成的軌跡為（ ）
A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分 C．雙曲線的一部分 D．圓的一部分
17．在四棱柱中，已知側棱底面， 為底面上的動點．當的面積為定值時，點在底面上的運動軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
18．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為 .
19．已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為 ．
20．設為橢圓的左焦點，M是橢圓上任意一點，P是線段的中點，則動點P的軌跡的方程為 ．
21．設O為坐標原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為 ．
22．（2024·廣東·一模）如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點，點在直線上，點在直線上，，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
23．已知定點B（3,0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破05 求曲線的軌跡方程
目錄
01 方法技巧與總結 2
02題型歸納與總結 3
題型一：直接法 3
題型二：定義法 5
題型三：相關點法 10
題型四：交軌法 12
題型五：參數法 23
題型六：點差法 25
題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡 29
題型八：復數與圓錐曲線的軌跡 32
題型九：向量與圓錐曲線的軌跡 34
題型十：利用韋達定理求軌跡方程 37
題型十一：四心的軌跡方程 43
03 過關測試 51
一．直接法求動點的軌跡方程
利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：
（1）建系：建立適當的坐標系
（2）設點：設軌跡上的任一點
（3）列式：列出有限制關系的幾何等式
（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡
（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應另外補充檢驗）．簡記為：建設現代化，補充說明．
注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．
二．定義法求動點的軌跡方程
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．
三．相關點法求動點的軌跡方程
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．
四．交軌法求動點的軌跡方程
在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．
五．參數方程法求動點的軌跡方程
動點的運動主要是由于某個參數的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數表示動點的坐標，即，再消參.
六．點差法求動點的軌跡方程
圓錐曲線中涉及與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程．
題型一：直接法
【典例1-1】（2024·高三·河北張家口·開學考試）已知兩點坐標分別.直線相交于點，且它們的斜率之和是3，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，則直線的斜率為，直線的斜率為，
依據題意可知，，化簡得：，
因為直線、的斜率存在，所以，
所以，
故選：A.
【典例1-2】已知等腰三角形的一腰的兩個端點分別是，則另一腰的一個端點的軌跡方程是（ ）
A．
B．（除去兩點）
C．（除去兩點）
D．（除去兩點）
【答案】A
【解析】設點，
由，得，
即，
又點與點不重合且不共線，所以需除去兩點．
故選：B．
【變式1-1】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）點到直線的距離比到點的距離大2，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據題意，設點，且點在的下方，
故點到直線的距離和到點的距離相等，
所以點的軌跡為以為焦點，以直線為準線的拋物線，
所以的軌跡方程為，
故選：D.
【變式1-2】在平面直角坐標系中，若定點與動點滿足向量在向量上的投影為，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，向量在向量上的投影為，
整理可得.
因此，點的軌跡方程為.
故選：C.
【變式1-3】（2024·浙江溫州·一模）動點到定點的距離與到定直線：的距離的比等于，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據題意可得，平方化簡可得，
進而得，
故選:A
題型二：定義法
【典例2-1】已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題，設動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,
當動圓與圓，圓外切時,,,
所以,
因為圓心,，即，又
根據雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，
所以,則動圓圓心的軌跡方程是；
故答案為：
【典例2-2】已知定點和定圓，動圓和圓外切，且經過點，求圓心的軌跡方程
【答案】雙曲線的左支
【解析】結合圖象可得，|MQ|﹣|MP|=4，可得a=2，c=4，則b=，
M的軌跡為雙曲線的左支．
故答案為雙曲線的左支．
【變式2-1】已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖，由題意得：，，其中，
所以，
由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以為焦點的橢圓，設，
則，解得：，
故動圓圓心M的軌跡方程為.
故選：D
【變式2-2】 已知，是圓上一動點，線段的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意，可知圓的標準方程為，圓心為，半徑為6．
∵線段的垂直平分線交于點，如圖，
∴，
∴，
∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓，
∴，，，
∴其軌跡方程為．
故答案為：．
【變式2-3】已知定點，圓，過R點的直線交圓于M，N兩點過R點作直線交SM于Q點，求Q點的軌跡方程；
【解析】因為，即，所以，半徑為，
如圖，根據題意可知，
又，所以，故，
又，所以，
故動點的軌跡是以 為焦點，長軸長為4的橢圓，這里，故，
所以點的軌跡方程為：.
【變式2-4】設O為坐標原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】如圖，由垂直平分線的性質可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點坐標為，故，點P的軌跡方程為.
故答案為：
【變式2-5】（2024·山東青島·一模）已知，，設點P是圓上的點，若動點Q滿足：，，則Q的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
而，可知點在的平分線上.
圓，圓心為原點，半徑，
連接，延長交于點，連接，
因為且，所以，且為中點，，
因此，，
點在以為焦點的雙曲線上，設雙曲線方程為，
可知，由，得，故，
雙曲線方程為.
故選：A.
【變式2-6】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知圓的方程為，直線為圓的切線，記兩點到直線的距離分別為，動點滿足，，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，分別過點做直線的垂線，垂足分別為，
則，，切點為
因為，所以是的中點，,
所以是梯形的中位線，所以，
又因為圓的方程為，，
所以，所以，
即，
所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，
設橢圓的方程為，
則，
所以，，
所以動點的軌跡方程為.
故選：B
題型三：相關點法
【典例3-1】設過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點．若，且，則點P的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設點，則，設，，則，
，，
，，，
又，，，
，即.
故答案為：.
【典例3-2】（2024·高三·江西·開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設點、、，
由，
所以，，可得，
因為正方形的面積為，即，即，
整理可得，因此，動點的軌跡方程為.
故選：C.
【變式3-1】已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分別為橢圓的左、右焦點，
設，G點是三角形的重心
則，得，
又是橢圓E上一動點，，即，
又G點是三角形的重心，
所以點G的軌跡方程為
故選：B
【變式3-2】已知點是橢圓上的動點，于點，若，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于點是橢圓上的動點，設，則，
又于點，則；
設，由，得，
則，代入，得，
即點的軌跡方程為，
故選：A
【變式3-3】（2024·高三·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設、，，
則有，，即，，
由題意可得，即，即.
故選：D.
題型四：交軌法
【典例4-1】已知A，B分別為橢圓的左 右頂點，點M，N為橢圓上的兩個動點，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】因為A，B分別為橢圓的左 右頂點，所以A(-2，0)，B(2，0)，
設MA與NB的交點為P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，
由，，得，，
兩式相乘得∶，化解得.
故答案為：.
【典例4-2】已知橢圓C：的離心率為，且經過，經過定點斜率不為0的直線l交C于E，F兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.
【解析】（1）
根據題意可得，解得，
∴求橢圓C的方程為
（2）根據題意可得直線AE：，BF：，
由可得，
所以，故，故，
同理，，故，
因為三點共線，故共線，
而，
故，整理得到：或，
若，則由可得，這與題設矛盾，故.
聯立方程，解得，
∴P點的軌跡方程為
【變式4-1】設是橢圓與x軸的兩個交點，是橢圓上垂直于的弦的端點，則直線與交點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，設直線與的交點為，則
∵共線，故①，又∵共線，故②.
由①，② 兩式相乘得（*）,
因在橢圓上，則，可得：將其代入（*）式，即得：，
化簡得：，即P的軌跡方程為.
故選：C.
【變式4-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．
(1)求點的軌跡方程；
(2)設點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標原點）為銳角，求實數的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．
【解析】（1）由題意可得，，，
則，
，
又是，的等差中項，
，
整理得點的軌跡方程為．
（2）
由（1）知，
又，平移公式為即，
代入曲線的方程得到曲線的方程為：，
即．
曲線的方程為．
如圖由題意可設M，N所在的直線方程為，
由消去得，
令，，則，
，，
又為銳角，，即，
，又，
，得或．
（3）當時，由（2）可得，對求導可得，
拋物線在點，
，處的切線的斜率分別為，
，
在點M，N處的切線方程分別為，，
由，解得交點的坐標．
滿足即，點在定直線上．
【變式4-3】已知橢圓經過點，且離心率為.直線與交于兩點，連結.
(1)求面積的最大值；
(2)設直線分別與軸交于點，線段的中點為，求直線與直線的交點的軌跡方程.
【解析】（1）由題知，，解得，
所以的方程為，
由，消并整理得，
由，解得，
設，則（※），
又直線過點，
所以的面積，
將（※）代入，得，
設，則，
又，當且僅當，即，時取等號，所以，
故面積的最大值為（當且僅當即時取得）.
（2）直線的方程為，令，得到，
所以，同理可得
故點的橫坐標.
由（1）知（※），
將（※）代入，得，故，
法1：又，所以直線的斜率，因為，所以，
設，則直線與的交點在以為直徑的圓上.
以為直徑的圓的方程是，即.
又點在橢圓內，所以，由，
消得，解得，
所以點的軌跡方程是.
法2：又，所以直線的方程為.
與聯立，解得交點的坐標為.
因為，所以，即，
又由，兩式相乘，得.
所以點的軌跡方程是.
【變式4-4】拋物線的對稱軸為軸，定點為坐標系原點，焦點為直線與坐標軸的交點．
(1)求的方程；
(2)已知，過點的直線交與兩點，又點在線段上（異于端點），且，求點的軌跡方程．
【解析】（1）因為拋物線的對稱軸為軸，所以的焦點在軸上，直線與軸的交點為，
所以，所以，解得，所以拋物線的方程為：．
（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為：，
設，聯立直線與拋物線方程：，可得：，
且，解得：且，
因為，即，則有，
整理可得：，即，
所以，又點在直線上，
所以，消得，
由且得且，
所以的軌跡方程為：（且）．
【變式4-5】已知矩形中，分別是矩形四條邊的中點，以矩形中心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.直線上的動點滿足.求直線與直線交點的軌跡方程.
【解析】依題意，，
設點，由，得，即，
由，得，即，
當時，直線，直線，
聯立消去參數得，即，
當時，得交點，滿足上述方程，
所以直線與直線交點的軌跡方程:不含點.
【變式4-6】（2024·高三·湖北·期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的上焦點到一條漸近線的距離等于2.
(1)已知為上任意一點，求的最小值；
(2)已知動直線與曲線有且僅有一個交點，過點且與垂直的直線與兩坐標軸分別交于.設點.
（i）求點的軌跡方程；
（ii）若對于一般情形，曲線方程為，動直線方程為，請直接寫出點的軌跡方程.
【解析】（1）設雙曲線的方程為，其上焦點坐標為，
一條漸近線方程為，則，解得，
所以的方程為.
設，則，要使最小，由題意知.
則
，
①當，即時，在內單調遞增，
可知當時，；
②當，即時，在內單調遞減，在內單調遞增，
可知當時，；
綜上所述：.
（2）（i）聯立得，，
由題意知，
則，解得，
且，即，
所以直線的方程為，
令得，；令得，，即，
因為，即，
可得，
所以點的軌跡方程是，方程表示去除上下頂點的雙曲線.
（ii）聯立得，，
由題意知，
則，解得，
且，即，
所以直線的方程為，
令得，；令得，，即，
因為，即，
可得，即，
點的軌跡方程是.
【變式4-7】（2024·吉林·模擬預測）已知雙曲線的左 右頂點分別為，動直線過點，當直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點B到直線的距離為
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)當直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為.
（i）是否存在實數，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
（ii）求直線和交點的軌跡方程.
【解析】（1）
故當直線過與雙曲線有且僅有一個公共點時，應與的漸近線平行
設直線，即，則點到直線的距離為
即雙曲線的標準方程為：.
（2）（i）由題可知，直線斜率不為0
設直線
由得：
成立
.
所以存在實數，使得成立.
（ii）直線，直線
聯立得：
所以直線和交點的軌跡方程為：
題型五：參數法
【典例5-1】方程(t為參數)所表示的圓的圓心軌跡方程是 (結果化為普通方程)
【答案】
【解析】圓化為，它表示以為圓心，為半徑的圓，
設圓心坐標為，于是得(t為參數)，消去t得：，
所以所求圓心軌跡方程是.
故答案為：
【典例5-2】已知是坐標原點，點滿足，且，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，，由題意可知，
，
所以，消去參數，得點的軌跡方程為．
故選：D．
【變式5-1】已知，，當時，線段的中點軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】因為，，
所以中點坐標為，
即，
設點為線段的中點軌跡上任一點的坐標，
，，
，
即當時，線段的中點軌跡方程為，
故答案為：
【變式5-2】已知O為坐標原點，，A是上的動點，連接OA，線段OA交于點B，過A作x軸的垂線交x軸于點C，過B作AC的垂線交AC于點D，則點D的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設
則，
由題意可得，
消參可得：
所以點的軌跡方程為．
故答案為：
【變式5-3】已知在中，AB＝8，以AB的中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設，，若，則點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題得
，
則，即，
又，為的內角，則，則有，故，
由題可設，，，則，
所以且，則，即.
故答案為：
題型六：點差法
【典例6-1】已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設這組平行直線的方程為，
聯立方程組，整理得，
由可得，
則，所以它們與橢圓交點的中點坐標為，
即這些點均在軌跡上，
即直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是.
故答案為：．
【典例6-2】已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；
(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．
【解析】（1）設弦與橢圓兩交點坐標分別為、，
設，當時，．
當時，，
兩式相減得，即(*)，
因為，，，
所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.
所以點P的軌跡方程為（在橢圓內部分）．
（2）設，在（1）中式子里，
將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內部分）．
所以，點的軌跡方程（在橢圓內部分）.
（3）在（1）中式子里，
將，，代入上式可求得．
所以直線方程為．
【變式6-1】我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，點、、分別是相應橢圓的焦點，、和、分別是“果圓”與x軸、y軸的交點.
(1)若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
(2)當時，求的取值范圍；
(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦，求斜率為0的平行弦中點的軌跡方程.
【解析】（1）因為是邊長為1的等邊三角形，
所以，，，
所以，，
故“果圓”的方程為，
（2），
又，，，
因此，
所以；
（3）當，時，
當，時，
的中點，
即斜率為0的平行弦中點的軌跡方程為：.
【變式6-2】已知：橢圓，求：
（1）以為中點的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．
【解析】（1）設弦的端點，，
可得：， ，
相減可得：，
把，， 代入可得： ．
∴以為中點的弦所在直線的方程為：，化為： ．
（2）設直線方程為：，弦的端點， ，中點．
聯立，化為 ，
，化為： ，
∴，化為： ．
得，
∴
題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡
【典例7-1】已知點是正四面體內的動點，是棱的中點，且點到棱和棱的距離相等，則點的軌跡被平面所截得的圖形為（ ）
A．線段 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
【答案】D
【解析】在正四面體中，是棱的中點，
所以，，又，平面，
所以平面，
又點的軌跡被平面所截，即點在平面內，
∴點到棱的距離為．
在平面內過點作，則為點到棱的距離，
又點到棱和棱的距離相等，即，
因此，在平面內，動點到棱和到定點的距離相等．
由拋物線的定義得，動點的軌跡是拋物線.
故選：D．
【典例7-2】（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱中，，點是面上的動點，若點到點的距離是點到直線的距離的2倍，則動點的軌跡是（ ）的一部分
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】B
【解析】由題意知，以D為原點，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標系，
則，設，
所以，
因為到的距離是到的距離的2倍，
所以，即，
整理，得，
所以點P的軌跡為雙曲線.
故選：C
【變式7-1】已知直線平面，直線平面，且．若P是平面上一動點，且點P到直線m、n的距離相等，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】B
【解析】如圖：
不妨設n在平面α內射影為b，則m與b相交，m與b垂直，
設直線n與平面α的距離為d，
則在平面α內，以m為x軸，b為y軸建立平面直角坐標系，
則P到m的距離為，P到b的距離為，從而P到直線n的距離為
所以，即，故軌跡為雙曲線．
故選：C．
【變式7-2】在長方體中，點在矩形內（包含邊線）運動，在運動過程中，始終保持到頂點的距離與到對角線所在直線距離相等，則點的軌跡是（　　）
A．線段 B．圓的一部分
C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分
【答案】D
【解析】如圖所示，在長方體中，可得平面，
因為平面，所以，
所以，點到直線的距離等于，
又因為點到頂點的距離與到對角線所在直線距離相等，
所以點到線的距離與到對角線所在直線距離相等，
過點作的角平分線，類比到角平分面，此面與底面的交的是直線，
又由點在矩形內（包含邊線）運動，所以點的軌跡是線段.
故選：A.
【變式7-3】已知線段AB與平面所成的角為，點B為斜足，在平面上的動點P滿足，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一部分
【答案】B
【解析】因為平面上的動點滿足，可理解為在以為軸的圓錐的側面上，
再由斜線段與平面所成的角為，可知的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義．
故可知動點的軌跡是橢圓．
故選：C.
【變式7-4】已知正方體的棱長為，點是平面內的動點，若點P到直線的距離與到直線的距離相等，則點的軌跡為（ ）

A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓
【答案】D
【解析】過點在平面內作，垂足為點，連接，
在正方體中，平面，平面，則，
因為點P到直線的距離與到直線的距離相等，即，
即點到直線的距離等于點到點的距離，
由拋物線的定義可知，點的軌跡為拋物線.
故選：A.
題型八：復數與圓錐曲線的軌跡
【典例8-1】已知為虛數單位，且，復數滿足，則復數對應點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，表示點，
故復數的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓.
故選：C
【典例8-2】（2024·全國·模擬預測）已知為虛數單位，且，復數滿足，則復數對應點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，由題意知，則復數對應點的軌跡方程為.
故選：C．
【變式8-1】設非零復數是復平面上一定點，為復平面上的動點，其軌跡方程，為復平面上另一個動點滿足，則在復平面上的軌跡形狀是（ ）
A．雙曲線 B．圓 C．一條直線 D．拋物線
【答案】A
【解析】因為，所以，代入，得，
兩邊同乘，得，所以在復平面上的軌跡形狀是以為圓心，為半徑的圓.
故選:B
【變式8-2】（2024·陜西咸陽·三模）設復數滿足，在復平面內對應的點為，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由在復平面內對應的點為，且復數滿足，
由復數的模的幾何意義可得：在復平面內對應的點到復數在復平面內對應的點的距離為1，即，
則點的軌跡方程為，
故選：D.
【變式8-3】設復數（為虛數單位），則復數在復平面內對應的點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意，，故，故的軌跡方程為
故答案為：
【變式8-4】設復數z滿足，則復數z所對應的點Z在復平面上的軌跡方程為 ．
【答案】或
【解析】設，，
復數滿足，，
化為：，
，解得，．
①時，可得：，解得：，此時復數所對應的點在復平面上的軌跡方程為．
②，可得：，解得：，此時復數所對應的點在復平面上的軌跡方程為．
故答案為：或.
題型九：向量與圓錐曲線的軌跡
【典例9-1】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】D
【解析】由題意，當時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，∴動點的軌跡一定通過的重心，如圖，故選A．
【典例9-2】O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【答案】D
【解析】由題設，
而所在直線過中點，即與邊上的中線重合，且，
所以P的軌跡一定通過的重心.
故選：D
【變式9-1】在中，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】設線段的中點為，則、互為相反向量，
所以，，
因為，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分線段，
因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.
故選：D.
【變式9-2】（2024·江蘇·高三統考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【解析】設，，
以為原點，、方向為、軸正方向如圖建立空間直角坐標系，
，
，，
則，，，，則，
設，則，
，
，即，
即點的軌跡方程為，
而直線平分線段，即點的軌跡為線段的垂直平分線，
根據三角形外心的性質可得點的軌跡一定過的外心，
故選：A.
【變式9-3】已知，，且滿足，則點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設，，
由可得，，
上式的幾何意義是：
與點，的距離之和是，且，
即，
所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，
則，，
所以點的軌跡方程為：.
故答案為：.
【變式9-4】（2024·湖北咸寧·模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量滿足，向量滿足，則的軌跡方程為 ；的最小值為 .
【答案】
【解析】根據題意不妨設，，
則，，
由可得；
而，由題意得，
如圖所示，設則，問題式即求拋物線上一點到直線距離最小值，由對稱性不妨求到直線距離最小值即.
即的最小值為.
題型十：利用韋達定理求軌跡方程
【典例10-1】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為和，M是橢圓C上一點，且面積的最大值為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)記O為坐標原點，當點M與橢圓C的頂點不重合時，過點M分別作直線OM，MF，其中直線MF不過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線OM，MF與橢圓C交于異于點M的E，F兩點，直線與直線相交于點D，直線OD與直線MF相交于點N，求點N的軌跡方程．
【解析】（1）由題可知，，解得，
∴橢圓C的標準方程為．
（2）由（1）知，，設，，則，
設直線的方程為，
由消去x并整理得，
∴，
∴，，且，∴，
設點，由三點共線得，即，
由三點共線得，即，
∴
，
所以直線的斜率，
∴直線的方程為，
由解得，，
∴點的軌跡方程為．
【典例10-2】過點的直線與拋物線相交于兩點P，Q，求以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點M的軌跡方程.
【解析】設，，，
由題意過點的直線的斜率存在，設直線的方程為，
與拋物線方程聯立，可得，，
且可得且，
所以由可得，
因為四邊形是平行四邊形，所以，
即，可得，
因為，而且，可得或，
所以的軌跡方程為（或）.
【變式10-1】已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;
（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.
【解析】（1）設，BC中點為()，F(2，0)，
則有，，
兩式相減，得 ，
即， ①
F(2，0)為三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得 ，素以直線BC的方程為.
（2）由AB⊥AC得，所以 ②
設直線BC方程為，與橢圓方程聯立消元，得，
所以，， ，
代入②式得，解得(舍)或，
所以，所以直線過定點，
設，則，即，
所以所求點D的軌跡方程是.
【變式10-2】（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，則線段中點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意知直線的斜率不為0，設的方程為，
聯立拋物線方程，得，，
設，則，
設線段中點，則，
即，故線段中點的軌跡方程為，即，
故答案為：
【變式10-3】已知拋物線，焦點為F
(1)若點P為C上一點，且，求點P的橫坐標.
(2)若斜率為2的直線與拋物線交于不同的兩點A，B，線段中點為M，求點M的軌跡方程．
【解析】（1）拋物線的焦點，準線方程為，
由拋物線定義結合已知，其中為點的橫坐標，
解得，即點P的橫坐標為3；
（2）
因為直線的斜率為，所以可設直線的方程為，
設，
聯立拋物線方程得，
，由，解得，
所以，所以，
所以點M的軌跡方程為.
【變式10-4】已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點）.直線在繞著定點轉動的過程中，求弦中點的軌跡方程.
【解析】設直線為，設，
由，得，
因為點在拋物線上，
所以，
所以，解得或（舍去），
由，得，
由，得，
則，得，
所以直線恒過定點，
設，則，
因為點在拋物線上，
所以，
兩式相減得，
當時，，即，
因為直線恒過定點，所以，
所以，所以，
當，亦滿足上式
所以所求為.
【變式10-5】過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，則線段的中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】拋物線的焦點為，設點、，
若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
設直線的方程為，聯立可得，
，由韋達定理可得，所以，，
設線段的中點為，則，，則，
所以，，化簡可得.
因此，線段的中點的軌跡方程為.
故選：D.
【變式10-6】（2024·河南·校聯考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】或
【解析】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.
由可得，故，
故在處的切線方程為，即，
同理在點處的切線方程為，
聯立，即.
聯立直線與拋物線方程：，消去得，
由題或.
由韋達定理，，
得，其中或，故點的軌跡方程為：或.
故答案為：或
題型十一：四心的軌跡方程
【典例11-1】設點M、N分別是不等邊的重心與外心，已知、，且．則動點C的軌跡E ；
【答案】
【解析】設點，則的重心，
∵是不等邊三角形，∴，
再設的外心，
∵已知，∴MN∥AB，∴，
∵點N是的外心，∴，
即，
化簡整理得軌跡E的方程是.
∴動點C的軌跡E是指焦點在軸上的標準位置的一個橢圓（去掉其頂點）．
故答案為：.
【典例11-2】點M為橢圓上一點，為橢圓的兩個焦點，則的內心軌跡方程為 .
【答案】
【解析】如圖，設的內心為，連接交軸于點，連接
在中是的角平分線.
根據內角平分線性質定理得到.
同理可得.
所以，根據等比定理得：
在橢圓中，
所以
設，則
同理
又，則，可得
所有
由，得，
所以，代入橢圓方程.
得，由，則.
所以的內心軌跡方程為：
故答案為：
【變式11-1】已知橢圓C：（，）過點，且離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l：與橢圓C交y軸右側于不同的兩點A，B，證明：△MAB的內心在一條定直線上．
【解析】（1）依題意有，解得，
所以橢圓C的標準方程為．
（2）設，，
聯立，消整理得，
則，解得，
可得，，
所以，
所以，
所以，
又，
所以恒成立，則的平分線總垂直于x軸，
所以的內心在定直線上．
【變式11-2】在平面直角坐標系中，已知雙曲線經過點，點與點關于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.
(1)求的離心率；
(2)若△的重心為，點，求的最小值；
(3)若△的垂心為，求動點的軌跡方程.
【解析】（1）因為雙曲線經過點，所以，解得，
所以的離心率，
（2）易知.設.
因為△的重心為 ，所以,解得,
因為，所以，即.
因為不共線，所以 且，
所以的軌跡不含兩點.
故，當且僅當時，等號成立，
即的最小值為.
（3）因為為△的垂心，所以，
設，
當直線或的斜率為0時，點的坐標為或，
此時點與點重合，不合題意，舍.
當直線或的斜率不為0時，直線與的斜率存在，
則，
由（2）知，則，
則.
因為，所以，
，則，得，
則，因為構成三角形，故不能在軌跡上，
綜上，動點的軌跡方程為（去除點）.
【變式11-3】求解下列問題：

(1)如圖，動圓：，與橢圓：相交于A，B，C，D四點，點，分別為的左、右頂點．求直線與直線的交點M的軌跡方程．
(2)已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，點P為橢圓C上的動點，求的重心G的軌跡方程．
【解析】（1）由橢圓：，知，.
設點A的坐標為，由曲線的對稱性，得點B的坐標為.
設點M的坐標為，則直線的方程為①；
直線的方程為②.
由①②相乘得③.
又點在橢圓C上，所以④.
將④代入③得（，）.
因此點M的軌跡方程為（，）
（由于A，B僅在y軸的左側，因此點M的軌跡只能在第三象限）.
（2）依題意知點，，設點，.
由三角形重心坐標關系可得即代入，
得的重心G的軌跡方程為.
【變式11-4】已知的頂點A是定點，邊在定直線上滑動，， 邊上的高為3，求的外心的軌跡方程．
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，
根據題意可設：，的外心，
則線段的中點，線段的中點，
則，，，
由題意可知：，
則有，消去可得：，
所以的外心的軌跡方程為：.
【變式11-5】（2024·河北石家莊·一模）已知坐標原點為，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，離心率為.
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設過雙曲線上動點的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，求的外心的軌跡方程.
【解析】（Ⅰ）由已知可得：且，
即，，所以雙曲線的方程為；
（Ⅱ）設，，且由已知得，漸近線方程為，
聯立，解得：，所以；
聯立，解得：，所以；
法一：設的外心，則由得：
即——①，同理——②，
①②兩式相乘得，
又∵
所以的外心的軌跡方程為；
法二：設的外心，
線段的中垂線方程為：，線段的中垂線方程為：，
聯立，解得
∵，
即，
代入得
所以的外心的軌跡方程為；
1．已知兩定點，動點滿足，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】動點滿足，則，其中，
化簡可得．
故選：B．
2．在圓上任意取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡方程是（當點經過圓與軸的交點時，規定點與點重合）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設點的坐標為，點的坐標為，
依題意點在圓上，可得，
所以點的軌跡方程為.
故選：D.
3．已知，若動點滿足直線與直線的斜率之積為，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，由題意可得，整理可得，
即動點的軌跡方程為，
故選：A．
4．已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，，
由點是的中點，得，可得，
又點在圓上運動，所以，
將上式代入可得，，
化簡整理得點的軌跡方程為：.
故選：B
5．已知點P是圓上的動點，作軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
不妨設，則滿足；
易知，
又線段的中點為，可得；
即，代入方程可得，
整理得.
故選：D
6．當點在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，，
為中點，，則，即，
又在橢圓上，，即，
點軌跡方程為：.
故選：D.
7．如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，,，則,．
為線段的中點，
，即，．
又點在圓上，
，即．
故點的軌跡方程為．
故選：A
8．已知兩圓，動圓與圓外切，且和圓內切，則動圓的圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖，
設動圓的半徑為，則，，
則，
所以動圓圓心的軌跡是以，為焦點，以為實軸長的雙曲線的右支.
因為，
所以.
故動圓圓心的軌跡方程為.
故選：D.
9．（2024·江西景德鎮·三模）首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業舊址結合再利用的競賽場館，它的設計創造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當的坐標系下圓弧所在圓的方程為，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意知：，又，
直線方程為：，即；
由得：或，
即或，
為靠近軸的切點，；
設飛行軌跡的拋物線方程為：，則，
在點處的切線斜率為，，解得：，
，解得：，，
即拋物線方程為：.
故選：A.
10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知橢圓方程為，過平面內的點作橢圓的兩條互相垂直的切線，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設點，當切線斜率存在且不為0時，設切線方程為，
聯立，消去得，
則，
即，兩切線垂直故其斜率之積為-1，則由根與系數關系知，即.
當切線斜率不存在或為0時，此時點坐標為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為.
故選：A.
11．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為雙曲線與直線有唯一的公共點，
所以直線與雙曲線相切，
聯立，消去并整理得，
所以，即，
將代入，得，
得，因為，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以過點且與垂直的直線為，
令，得，令，得，
則，，
由，得，，
代入，得，即，
故選：D
12．（2024·湖北·模擬預測）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動點，過點分別作兩圓的割線和，總有，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因為圓，圓心，半徑，
圓，圓心，半徑，
由，可得，
所以，即，
由割線定理可知，過的切線是到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，
過分別做圓的切線，切點為，
則，，所以，
連接，
則，，
所以，
即，所以，
即，
設，則，
化簡可得，
所以點的軌跡方程是，
故選:A
13．設過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得：，設，
因為，所以，
解得：，
因為，所以
所以，
因為，
所以，
即.
故選：D
14．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，點是正方體面內的動點，且點到棱和面的距離相等，則點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】B
【解析】如圖：連接，過做于點.
因為是正方體，點在平面上，所以，所以線段的長度為點到棱的距離，
又，平面，平面平面，
平面平面，所以平面，所以線段的長度為點到平面的距離.
在平面內，點到定點的距離與到定直線的距離相等，且，所以點的軌跡為拋物線.
故選：C
15．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體中，，是正方形內的動點，，則滿足條件的點構成的圖形的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，連接，則，
如圖，在平面上，分別以為軸建立平面直角坐標系，
則，設，
由，得，
即，整理得，
設直線與交于點，
則點在內部(含邊界)，即滿足條件的點構成的圖形為及其內部，
易知，∴，
∴．
故選：A．
16．已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為正方形對角線的交點，動點在圓柱下底面內（包括圓周）．若直線與直線所成的角為，則點形成的軌跡為（ ）
A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分 C．雙曲線的一部分 D．圓的一部分
【答案】A
【解析】由直線與直線所成的角為，得直線在以直線為軸的圓錐面上，
與軸成角的平面截圓錐面所得交線為拋物線，因此點形成的軌跡為拋物線的一部分.
故選：B
17．在四棱柱中，已知側棱底面， 為底面上的動點．當的面積為定值時，點在底面上的運動軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
【答案】D
【解析】如圖所示，側棱底面，為底面上的動點，
因為的面積為定值，的長度恒定，
所以點到線段的距離為定值，
則點在以為軸的圓柱的側面上，
又點在平面上，所以點的軌跡為橢圓.
故選：A．
18．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設動圓圓心的坐標為，半徑為，
則由題意可得，，相減可得，
故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，
由題意可得，，，
故點的軌跡方程為．
故答案為：
19．已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設線段中點為，， 則，
即，
因為點為圓上的點，所以
所以，化簡得：
故答案為：
20．設為橢圓的左焦點，M是橢圓上任意一點，P是線段的中點，則動點P的軌跡的方程為 ．
【答案】
【解析】對橢圓，其左焦點的坐標為，設點的坐標分別為，
因為點是線段的中點，故可得，即，
又點在橢圓上，故，即，整理得：.
故答案為：.
21．設O為坐標原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】如圖，由垂直平分線的性質可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點坐標為，故，點P的軌跡方程為.
故答案為：
22．（2024·廣東·一模）如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點，點在直線上，點在直線上，，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】
以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系.
因為，所以 ，
所以 ，又因為 ，
所以 ，所以.
因為 ，所以直線的方程為 ①，
因為 ，所以直線的方程為 ②.
由①可得 ，代入②化簡可得 ，
結合圖象易知點可到達 ，但不可到達 ，
所以點的軌跡方程為 ，
故答案為：
23．已知定點B（3,0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是 ．
【答案】．
【解析】設，則，
設，
由為的角平分線，
可得，
即有，
可得,，
即，，
可得，，
則，
即為．
故答案為：．
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