資源簡介

重難點突破04 輕松搞定圓錐曲線離心率二十大模型
目錄
01 方法技巧與總結 2
02題型歸納與總結 3
題型一：建立關于a和c的一次或二次方程與不等式 3
題型二：圓錐曲線第一定義 5
題型三：圓錐曲線第二定義 10
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積） 12
題型五：利用數形結合求解 15
題型六：利用正弦定理 17
題型七：利用余弦定理 23
題型八：內切圓問題 28
題型九：橢圓與雙曲線共焦點 31
題型十：利用最大頂角 39
題型十一：基本不等式 43
題型十二：已知范圍 45
題型十三： 47
題型十四：中點弦問題 50
題型十五：已知焦點三角形兩底角 53
題型十六：利用漸近線的斜率 55
題型十七：坐標法 58
題型十八：利用焦半徑的取值范圍 62
題型十九：四心問題 64
題型二十：平面截圓錐（丹林球）問題 69
03 過關測試 76
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關系．
2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關系建立不等關系．
5、利用判別式建立不等關系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．
7、利用基本不等式，建立不等關系．
二、函數法：
1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式；
2、通過確定函數的定義域；
3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標法：
由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．
題型一：建立關于a和c的一次或二次方程與不等式
【典例1-1】（2024·高三·河北保定·開學考試）如圖，設橢圓的左焦點為，上頂點為，右頂點為，且，則的離心率為 .
【答案】
【解析】因為，則，
所以為直角三角形，又，
得，.
故答案為：
【典例1-2】（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由以為直徑的圓過橢圓的右焦點，得，即，
而，則，又，
由，得，
則，即，因此，
整理得，解得，所以橢圓的離心率為.
故選：C
【變式1-1】（2024·四川雅安·三模）設分別為雙曲線的左右焦點，過點的直線交雙曲線右支于點，交軸于點，且為線段的中點，并滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由題意，，設，則，
因為為線段的中點，所以，即，則，
因為，所以，即，
又在雙曲線上，所以，
結合整理得，所以，
解得或（舍去），由，解得.
故選：A
【變式1-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，，所以圓的方程為，
令，則，由圖可知，
令，則或，所以.
設點，因為的面積為，
所以，解得，
又因為直線的方程為，因為點在直線上，
所以令，得，所以，
因為點在橢圓上，所以，即，
所以，化簡得，
所以，所以，因為，所以，
所以.
故選：C.
題型二：圓錐曲線第一定義
【典例2-1】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，顯然點不在x軸上，，
則，
由余弦定理得，
因此，而，
于是，整理得，則，
所以的離心率為.
故選：C
【典例2-2】（2024·高三·江西·開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為
【答案】/0.5
【解析】由題意知，
所以，即，
又，即，
所以，
故答案為：
【變式2-1】（2024·高三·河北邢臺·開學考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點且與實軸垂直的直線交雙曲線于兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】設，因為為等邊三角形，則，，
又，
所以雙曲線的離心率.
故選：A
【變式2-2】（2024·高三·湖南·開學考試）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設為雙曲線的右焦點，由余弦定理可得，所以，
由雙曲線的定義可得，即，故雙曲線的離心率.
故選：D.
【變式2-3】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點，、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設，，延長交于A，
由題意知，O為的中點，故為中點，
又，即，則，
又由，則是等腰直角三角形，
故有，化簡得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故選：C.
【變式2-4】（2024·重慶渝中·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設雙曲線右焦點為，連接，
由題意可知關于原點對稱，所以，
所以是直角，由，可設，則，即
由雙曲線的定義可知：，，
則，，
由是直角得：，
則，解得：，
又由是直角得：，
則，解得：，所以離心率
故選：B.
【變式2-5】（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的內角平分線與軸的交點平分線段，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】/
【解析】
的內角平分線與軸的交點平分線段，
根據角平分線的性質可得，
根據雙曲線的定義，
又，
，
雙曲線的離心率為，
故答案為：
題型三：圓錐曲線第二定義
【典例3-1】古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】因為，
所以，
表示點到定點的距離與到定直線的距離比為，
所以.
故選：B
【典例3-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦點三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故選：D．
【變式3-1】已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設雙曲線的右準線為，
過、分別作于，于，于，
如圖所示：
因為直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
【典例4-1】（2024·山東青島·高三統考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設點，，，則且，
兩式相減，得，所以，
因為，所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，即，
因為焦點到漸近線的距離為，
所以，可得，又因為，所以，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：
【典例4-2】（2024·山東·高三校聯考開學考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，易知，
則，，
又，
所以.
故選：C
【變式4-1】（2024·江蘇·三模）已知過坐標原點且異于坐標軸的直線交橢圓于兩點，過的中點作軸的垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點，直線的斜率分別為，則 ；若，則的離心率為 .
【答案】
【解析】設，則，
設，則，則，
故，結合，可得
故答案為：，
【變式4-2】（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】由題意得，
設，可得，
即，
又直線與直線斜率之積為2，
得，
則離心率.
故選：.
【變式4-3】（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直線經過原點，設，，.
.
又，，兩式相減，得.
，.離心率為.
故選：B.
題型五：利用數形結合求解
【典例5-1】（2024·廣西·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨設，則，由勾股定理得，
又由雙曲線的定義可得，，
根據可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故雙曲線的離心率為.
故選：B.
【典例5-2】（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若的離心率，則使為直角三角形的點有（ ）個
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，可得，
因此以為直徑作圓與必有四個不同的交點，
因此中以的三角形有四個，
除此之外以為直角，為直角的各有兩個，
所以存在使為直角三角形的點共有8個.
故選：D
【變式5-1】過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令雙曲線的右焦點為，半焦距為c，取線段中點，連接，
因為切圓于，則，有，
因為，則有，，
而為的中點，于是，即，，
在中，，整理得，
所以雙曲線E的離心率.
故選：C
【變式5-2】已知點是橢圓上的一點，是的兩個焦點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，以為直徑的圓與橢圓相交，所以，
所以，
故選：D.
題型六：利用正弦定理
【典例6-1】（2024·江西贛州·二模）已知，為雙曲線的左、右焦點，M為C左支上一點.設，，且，則C的離心率為（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【解析】
因為，
且，可知，
兩邊同時乘以可得，
即，
設，
因為M為C左支上一點，由雙曲線定義可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
又
，
所以離心率，
故選：D.
【典例6-2】（2024·山西晉中·三模）已知雙曲線的左焦點為，過點且斜率為的直線與的兩條漸近線分別交于點，且分別位于第二、三象限，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設O為坐標原點，由，得，又兩漸近線關于軸對稱，所以
直線斜率為，則，
令，則，
中，由正弦定理得，
即，解得，故，
所以的離心率
故選：B
【變式6-1】（2024·貴州貴陽·二模）已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，左頂點為是上一點，為等腰三角形，且外接圓的周長為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨設在第二象限，則在等腰中，，如下圖所示：
設，則為銳角．
外接圓周長為，
則其半徑為，由正弦定理可得，
因此，
設點坐標為，則，
即點坐標為，
由點在雙曲線上，得，
整理得，
所以離心率，
故選：C．
【變式6-2】（2024·云南·模擬預測）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節.活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為 .
【答案】/
【解析】如圖，傘的傘沿與地面接觸點是橢圓長軸的一個端點，
傘沿在地面上最遠的投影點是橢圓長軸的另一個端點，
對應的傘沿為為傘的圓心，為傘柄底端，即橢圓的左焦點，
令橢圓的長半軸長為，半焦距為，由，
得，
在中，，
則，
由正弦定理得，，解得，則，
所以該橢圓的離心率.
故答案為：.
【變式6-3】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由題意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以橢圓的離心率.
故選：B.
【變式6-4】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
【變式6-5】（2024·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質，知，
所以且，
所以且，
即且，
結合，可解得．
故答案為：.
【變式6-6】（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區武鳴高級中學校考二模）設、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在點M，，，使得離心率，則e取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由，，設，，在中，由正弦定理有：，
離心率，則：解得：，
由于，得，
顯然成立，
由有，即，得，
所以橢圓離心率取值范圍為．
故答案為：.
題型七：利用余弦定理
【典例7-1】（2024·河北衡水·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設為坐標原點，則，從而.
設的左焦點為，連接，由雙曲線的定義，得.
在中，由余弦定理，得，解得.
由，得，解得，
所以.
故選：B.
【典例7-2】（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線的焦點分別為，過的直線與的左支交于兩點．若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，由于，
且，
設，則，故，
可得，故，
在與中由余弦定理可得：
，解得，故，
又根據題意可知，故離心率
故選：B.
【變式7-1】（2024·江蘇淮安·高三統考開學考試）橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，直線與橢圓C交于另一點B，若，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由橢圓的性質可得，設，在中根據余弦定理結合橢圓的定義可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故離心率.
故答案為：
【變式7-2】（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于點，與軸交于點，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，因為，所以，，
由對稱性可得，又，所以，
所以，，
又，所以，，又，
所以由余弦定理，
所以，的離心率.
故選：A.
【變式7-3】（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為原點，若以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，且，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，可得，
又由，
在中，由余弦定理，所以，
所以，所以，離心率.
故選：B.
【變式7-4】（2024·山西陽泉·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于點，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
因為是線段的中點，且，所以，
又，所以是等邊三角形，
設的邊長為，由雙曲線的定義知，，，
所以，
又，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以
即，所以離心率.
故選：C
題型八：內切圓問題
【典例8-1】（2024·高三·廣東廣州·期中）已知點P是雙曲線右支上一點，、分別為雙曲線C的左、右焦點，的內切圓與x軸相切于點N，若，則雙曲線C的離心率為 .
【答案】2
【解析】直線分別與內切圓的切點為，如圖所示：
由切線的性質可得，
由雙曲線的定義可得，即，
所以，即，
又，因此.
設，則，
又，因此.于是，即，
所以由，可得，即.
故答案為：2.
【典例8-2】（2024·安徽六安·模擬預測）設，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上一點，若的內切圓的半徑為（為圓心），且，使得，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設，，由對稱性不妨設點在第一象限，此時點也在第一象限，
因為，所以，，
所以，又，
解得：，，
所以，
所以,解得：，所以，
代入雙曲線方程得，解得：，，
所以離心率.
故答案為：
【變式8-1】（2024·黑龍江·模擬預測）設，是雙曲線：的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為 .若內切圓圓心I的橫坐標為2，則的面積為 .
【答案】 6
【解析】設以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點設為，
則，由雙曲線的定義可得，
所以，，由勾股定理得，
即有，∴.
設內切圓與x軸相切于M，M點橫坐標為t，
則，則,
解之得
又由內切圓圓心的橫坐標為2，得，
故.
故答案為：，6
【變式8-2】（2024·吉林長春·模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，點是軸正半軸上一點，交橢圓于點A，若，且的內切圓半徑為1，則該橢圓的離心率是 ．
【答案】/
【解析】如圖，的內切圓與三邊分別切于點，
若，則，
因為，則，可得，
則，可得，
因為，
即，可得，
又因為，
即，可得，
且，解得，
所以橢圓的離心率是．
故答案為：.
【變式8-3】在平面直角坐標系中，雙曲線（，）的左、右焦點分別是，，過的直線與的左、右兩支分別交于、兩點，點在軸上，滿足，且經過的內切圓圓心，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】，∴，∴，
∵經過內切圓圓心，∴為的角平分線，
∴．∴，∴，
，，
,∴，于是，
∴為正三角形，．
中，由余弦定理，.
∴.
故答案為：.
題型九：橢圓與雙曲線共焦點
【典例9-1】（2024·四川成都·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點，若點是與在第一象限內的交點，且，設與的離心率分別為，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設橢圓與雙曲線的焦距，，
由題意可得：，，
，，，
，
，，.
，
，設，則，
，
.
故答案為：.
【典例9-2】（2024·遼寧·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】D
【解析】設，由余弦定理得，即；
在橢圓中，等于橢圓的長軸長，因此，
在雙曲線中，等于雙曲線的實軸長，因此，
則．
所以，
當且僅當時等號成立
故選：A
【變式9-1】（多選題）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別是，的離心率，點M是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（ ）
A．面積為
B．若，則
C．若，則的取值范圍為
D．若，則的取值范圍為
【答案】DBD
【解析】設，，，，不妨設M在第一象限．
∴，，∴，，．
.
對于A，在中，由余弦定理可得，
，
，A正確．
對于B，在中，由余弦定理可得，
即，
∴．
∴
∴，∴．B正確；
對于C，當時，
即，所以，所以．∵，
∴．設，∴，
所以．C錯誤；
對于D，，記，
∴，即．D正確；
故選：ABD.
【變式9-2】（多選題）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，,且共焦點的離心率分別為，則下列結論正確的是（ ）

A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
【答案】DD
【解析】A.由題意可知，，，
得，故A正確；
B.中，若，設橢圓和雙曲線的半焦距為，
根據余弦定理，，
整理為，
而，故B錯誤；
C. 若，則，則，
則，
，
當時，等號成立，這與矛盾，所以，故C錯誤；
D.在橢圓中，，
，
整理為，
在雙曲線中，，
整理為，
所以，即，
而，則，故D正確.
故選：AD
【變式9-3】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點，的內切圓圓心為Q，，O為坐標原點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為
C．過作直線的垂線，垂足為H，點H的軌跡是雙曲線
D．兩個曲線在P點處的切線互相垂直
【答案】DBD
【解析】A選項，因為，
所以，
又，
故，
則⊥，
由橢圓定義可得，
由雙曲線定義可得，
解得，
由勾股定理得，即，
化簡得，
即，
又，所以，A正確；
B選項，若，由余弦定理得，
即，
由（1）得，
代入上式得，即，
即，
因為又，所以，
由基本不等式得，即，
解得，當且僅當時，等號成立，
則的最小值為，B正確；
C選項，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點，
因為平分，由三線合一得，為的中點，
則，
連接，由中位線性質得，
故點H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯誤；
D選項，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：
當時，故切線的斜率存在，設切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
則橢圓的切線斜率為，切線方程為，
整理得到，
其中，故，即，
當時，此時或，
當時，切線方程為，滿足，
當時，切線方程為，滿足，
綜上：橢圓在處的切線方程為；
下面證明：上一點的切線方程為，
理由如下：設過點的切線方程為，與聯立得，
，
由
化簡得，
因為，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因為，，
所以，
聯立，兩式相乘得，，
從而，
故，
即，
令，則，即，
解得，即，
故橢圓：在點處的切線斜率為，
雙曲線在點處的切線斜率為，
又，故，
化簡得，
又，所以，故
則斜率乘積為，
故兩曲線在點處的切線互相垂直，D正確.
故選：ABD
題型十：利用最大頂角
【典例10-1】已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖：
當P在上頂點時，最大，此時，
則，
所以，
即，，
所以，
則，
所以橢圓的離心率的取值范圍是，
故選：A
【典例10-2】設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當橢圓的焦點在軸上時，
由橢圓的對稱性得,所以，
所以，
所以橢圓的離心率，
因為橢圓的離心率.
當橢圓的焦點在軸上時，同理可得.
綜合得.
故選：B
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連接，當不為橢圓的上、下頂點時，設直線、分別與圓切于點A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
連接，則，∴．
又是上任意一點，則，
又，∴，
則由，得，
又，∴．
故選：C．
【變式10-2】（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，
，
點的軌跡是以原點為圓心，半焦距為半徑的圓，
又點總在橢圓內部，
該圓內含于橢圓，即，，
，．
故選：A．
題型十一：基本不等式
【典例11-1】設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示：
設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
【典例11-2】設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可設直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性不妨設為第一象限的點，即，
則，，因為，
所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
【變式11-1】（2024·山西運城·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設P在x軸上方，設，，
∴
當且僅當取等號，
∵直線l上存在點P滿足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
題型十二：已知范圍
【典例12-1】（2024·四川省南充市白塔中學高三開學考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知點、、、，則線段的方程為，
在線段上取一點，滿足，則，
，，
所以，，
整理可得，
由題意可知，關于的方程在時有兩個不等的實根，
則，可得，可得，
所以，.
故選：D.
【典例12-2】已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設點，
，因為，
所以，即，
結合可得，所以.
故選：B.
【變式12-1】（2024·全國·高三開學考試）設，分別是橢圓的左 右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，由橢圓的方程可得，，，
則，即，
由P在橢圓上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故選：B
題型十三：
【典例13-1】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
設點，可得，
則，解得，
由橢圓的幾何性質可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.
故選：C.
【典例13-2】已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，則根據橢圓的焦半徑公式可得 ，
所以根據題意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因為P在橢圓上，
所以 ，即，
因為 ，所以，
即 ，解得 ，
而橢圓離心率范圍為 ，故 .
故選：A
【變式13-1】已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，
而，當且僅當點在橢圓右頂點時等號成立，
即，即，則，即.
故選：D．
【變式13-2】已知雙曲線的左右焦點分別為，且.點為雙曲線與圓的交點，直線（為坐標原點）交雙曲線于另一點，且，則 ，雙曲線的離心率的最小值為 .
【答案】 3
【解析】由題意知M在雙曲線右支上，，
設，設點，則，
即，
則，
即，
又，
所以，所以，所以.
點在雙曲線C右支上，所以，所以.
由對稱性可得為的中點，
在中，，
即，
又在中，，
所以，
由于，故，
故，
所以雙曲線的離心率的最小值為.
故答案為：.
題型十四：中點弦問題
【典例14-1】（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，
設，
因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為，
所以，
則，
由直線l與C相交于A，B兩點，
得，
兩式相減得，
即，
所以，
即，所以，
則，
所以，
所以離心率.
故答案為：.
【典例14-2】已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
設，由題意可知直線的方程為，
線段的中點是直線與直線的交點，
聯立，解得，所以，
另一方面，聯立，得.
易知，由韋達定理得，解得，
所以，故離心率，故D正確.
故選：D.
【變式14-1】（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，則，
則，兩式相減可得，
，即，
即，，故.
故選：B
【變式14-2】（2024·全國·高三開學考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：設，則，
所以，又AB的中點為，
所以，所以，由題意知，
所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.
故選：C.
法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，
代入并整理得，
因為為線段AB的中點，所以，整理得，
所以C的離心率.故A，B，D錯誤.
故選：C.
題型十五：已知焦點三角形兩底角
【典例15-1】已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；
故選：B
【典例15-2】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
【解析】∵，則離心率，則排除A；
記，，，
則，
由正弦定理結合分比定理可知：，
則，
所以B，C是正確的，D不正確.
故選：BC.
【變式15-1】已知雙曲線的左 右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：D.
題型十六：利用漸近線的斜率
【典例16-1】（2024·山東淄博·二模）若雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，則離心率e為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（a＞0，b＞0）漸近線方程為，則.
離心率.
故選：B.
【典例16-2】（2024·新疆·二模）過雙曲線的右焦點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點，過點向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，知雙曲線的漸近線方程為．
設雙曲線的半焦距為，則右焦點到漸近線的距離．
設點，則，即．
又，
所以，
解得．
故選：A．
【變式16-1】（2024·高三·安徽亳州·開學考試）已知雙曲線，點在上，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設點，則，即，
又兩條漸近線方程為，即，
故有，
所以．
故選：B．
【變式16-2】（2024·福建泉州·模擬預測）設雙曲線E的中心為O，一個焦點為F，過F作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、．若，則E的離心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】設雙曲線的方程為，且，
則E的兩條漸近線方程分別為，．
設直線的傾斜角為，則，
易得≌，所以，且，
從而，
所以，故，即，
整理，得，
故E的離心率等于．
故選：C
【變式16-3】（2024·四川遂寧·模擬預測）設為雙曲線的左、右焦點，直線過左焦點且垂直于一條漸近線，直線與雙曲線的漸近線分別交于點，點在第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于漸近線的方程分別為，且，
直線，所以，
由于，
所以,
所以是的中點，結合可得,
又，所以，
故，所以，
即，故，
故選：B
題型十七：坐標法
【典例17-1】（2024·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線的上、下焦點，過點且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點，且在第四象限，四邊形為平行四邊形．若直線的傾斜角，則的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
如圖所示，由雙曲線的對稱性可知也在雙線的漸近線上，且在第二象限，
由軸可知軸，設．
又在漸近線上，
所以，則，
因為，所以，
故，
故答案為：.
【典例17-2】（2024·吉林延邊·二模）已知坐標平面xOy中，點，分別為雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為的中點，點I為的外心，若O、I、D三點共線，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，，
不妨設點在第二象限，則，
由D為的中點，O、I、D三點共線知直線OD垂直平分，
則，有，且，
解得，，所以，
將即，代入雙曲線的方程，
得，化簡可得，即；
當點M在第三象限時，同理可得．
故答案為：.
【變式17-1】（2024·山東青島·三模）已知 為坐標原點，橢圓的左，右焦點分別為，左、右頂點分 別為，焦距為，以 為直徑的圓與橢圓 在第一和第三象限分別交于 兩點.且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 為直徑的圓的方程為，
聯立，解得，
所以，
又，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或（舍去）.
所以.
故橢圓的離心率為.
故選：D.
【變式17-2】（2024·浙江·模擬預測）雙曲線C：的左、右焦點為，，直線l過點且平行于C的一條漸近線，l交C于點P，若，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】設，由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結果，不妨令P點在x軸下方，如圖：
設、，，雙曲線其中一條漸近線為，
直線的方程為，①
由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②
由點在雙曲線上，得，③
聯立①③，得，聯立①②，得，
則，即，因此，
所以離心率．
故選：C
【變式17-3】（2024·山西臨汾·二模）已知點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，線段MF與圓相切于點．若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設為橢圓的左焦點，且其焦距為，連接，
設圓的圓心為，半徑，
作圖如下：
由，，，
則，，所以，
因為，所以，
因為與圓，所以，即，
易知，則，可得，則，
在中，，則，
由，則，所以.
故選：B.
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
【典例18-1】已知雙曲線的左 右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】依題意，點在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，
點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.
故答案為：
【典例18-2】（2024·吉林長春·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由雙曲線定義可知，，，結合 可得，從而，又因為雙曲線的離心率大于 ，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
【變式18-1】設雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由條件得，所以，即，
又因為，所以，
即，得，
又，所以．
故選：C
【變式18-2】在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
【變式18-3】已知左、右焦點為，的橢圓：（），圓：，點A是橢圓與圓的交點，直線交橢圓于點B.若，則橢圓的離心率是 .
【答案】
【解析】設：與x軸的交點為P，Q，不妨設，，，
根據阿波羅尼斯圓的定義，得到，又，則，
設與軸正方向形成的角為，則，，代入得 ，
在中，，
由余弦定理得，解得，即.
故答案為：.
題型十九：四心問題
【典例19-1】（2024·湖北·模擬預測）斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為 .
【答案】2
【解析】不妨取的中點.
因為的重心為，且在中線上，
所以.
由中點弦結論知，，
，
，
因為，
所以，
，
又由，可得的外心為的中點，
于是由中點弦結論知，又，
所以，即.
由得，，
解得，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：2.
【典例19-2】（2024·福建龍巖·一模）斜率為的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，且滿足，點分別是的重心，點是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】取的中點，依題意，點是中點，點分別在上，
設，由兩式相減得，
直線斜率，直線斜率，則，
直線的斜率分別為，同理，又，
因此，解得，
所以橢圓的離心率.
故答案為：
【變式19-1】已知點，分別為雙曲線的左，右焦點，點，在的右支上，且點恰好為的外心，若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】如圖，
連接，∵點恰好為的外心，∴，
由，得，同理，
又，∴，∴△是等邊三角形，
∴，∴，解得．
故答案為：
【變式19-2】雙曲線，斜率為的直線與交于兩點，點在上，且，的外心為，的重心為，的重心為，，則的離心率 ．
【答案】
【解析】
設，，.
由于，故的外心就是線段的中點，即.
而三角形重心的坐標就是三個頂點的平均值，故，.
所以.
而都在上，，故，.
這就得到.
而的斜率為，故，所以.
由又可以得到，，.
從而，，.
故，所以.
這就得到，所以離心率.
故答案為：.
【變式19-3】已知雙曲線：虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【答案】
【解析】如圖，設的垂心為，則有,
不妨設,則，
因為在漸近線上，所以，
直線與交于，兩點，
所以，解得，
所以
又因為,
所以，
整理得，，所以，
故答案為: .
【變式19-4】（2024·河南新鄉·三模）已知雙曲線虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【答案】
【解析】設的垂心為，則，
不妨設，則，代入漸近線方程，解得，
則，因為直線與雙曲線交于點，，
則，兩點的坐標分別為：，，
因為，
化簡可得，
所以雙曲線的離心率為，
故答案為：．
題型二十：平面截圓錐（丹林球）問題
【典例20-1】“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”，利用這個原理，小強在家里用兩個射燈(射出的光錐視為圓錐)在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【解析】設，由于，所以，在等邊三角形中，
點為的中點，于是，在平面中，由橢圓的對稱性可知，
，連接，延長與交于點，
由于為中點，所以在中，，
由勾股定理可得，
在中，，，，由余弦定理可得
，
在中，由于，所以，
于是有，
設橢圓短軸的兩個頂點為，連接分別交圓錐于，
由于，所以，
由于為圓錐母線，所以，
從而有，
在中，由勾股定理可得，
所以在橢圓中，，，
則，
則離心率為.
故答案為：.
【典例20-2】（2024·江西南昌·一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓 雙曲線 拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數學家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側面相交所得曲線為，則曲線的離心率為 .
【答案】/
【解析】如圖，是圓錐與球的切點，是球心，P是截口上任一點，
連接，則，所以，，
所以是矩形，
連接，則，
因為圓錐的母線與軸夾角的正切值為，即，
所以，
根據對稱性得 ,
所以，故兩圓的公切線長為6
連接，PA，OP，設OP與球的切線交于K，與球的切線交于H，則，
所以 ，得，
在中，，
所以，得
曲線的離心率為
故答案為：
【變式20-1】（2024·河北·模擬預測）數學家Geminad Dandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面 截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為 ．

【答案】/
【解析】令兩個球分別與截面相切于點，在截口曲線上任取一點，過點作圓錐的母線，
分別與兩個球相切于，均為球的切線，則，同理，
因此，由切點的產生方式知，長為定值，
于是截口曲線上任意點到定點的距離和為定值，該曲線是以點為焦點的橢圓，
作出幾何體的軸截面，如圖，設，依題意，，
則，橢圓的長軸長，半焦距為c，
則，因此，所以離心率.
故答案為：
【變式20-2】（2024·廣東廣州·一模）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球，球的半徑分別為4和2，球心距離，截面分別與球，球相切于點（是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于 .
【答案】
【解析】設，
由，解得，
所以，
所以，
設直線與圓錐的母線相交于點， 圓錐的母線與球相切于兩點，如圖所示，
則，
兩式相加得，即，
過作，垂直為，
則四邊形為矩形，所以，，
所以橢圓的離心率為.
故答案為：
【變式20-3】如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為3的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/0.75
【解析】依題意，作截面，如圖所示，
圓是內切圓，圓切于，切于，，圓半徑即球半徑為，
所以，，
則在中，，所以，
故在中，，
所以，即，
根據橢圓在圓錐中的截面與二面球相切的切點為橢圓的焦點可知：為橢圓的一個焦點，
又因為，所以，故，
所以該橢圓的離心率為.
故答案為：.
.
1．（2024·安徽·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為F，過坐標原點O作C的一條漸近線的垂線l，直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，則C的離心率為（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由題意可知：，則，
不妨取一條漸近線為，則，
聯立方程，解得，
由對稱性可知：點為線段的中點，
則，
即，解得，則，
所以C的離心率為.
故選：B.
2．（2024·湖北武漢·三模）已知橢圓C： （）的左、右焦點分別為，，P為C上一點，滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，取弦的中點D，連接，則，即，因為，
所以，因為O為的中點，所以D是的中點，所以，
因為，所以OD垂直平分弦，因為，，
所以，所以，
由橢圓定義可得，，
所以，解得，，
所以離心率為，
故選：A．
3．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，的垂直平分線經過點，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】
因為的垂直平分線經過點，
則，
記橢圓長半軸長為，雙曲線實半軸長為
由橢圓定義得，所以，
由雙曲線定義知：，所以，
故，所以，
所以，
當且僅當時等號成立.
故選：B.
4．（2024·江西新余·二模）如圖，已知為雙曲線上一動點，過作雙曲線的切線交軸于點，過點作于點，，則雙曲線的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，則，令，則，故，
過點作軸于點，則，
由，軸，故與相似，
故，及，
即.
又，所以，所以，
即，則．
其中雙曲線上一點的切線方程，證明如下：
不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）．
由，得，所以，
則在的切線斜率，
所以在點處的切線方程為：，
又有，化簡即可得切線方程為：．
故選：B.
5．（2024·四川自貢·三模）設，分別為雙曲線（，）的上，下焦點，過點的直線與的一條漸近線交于點，若軸，且點到的距離為，則 的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線方程為，上焦點，下焦點，
由，解得，不妨取，
則直線的方程為，即，
又點到的距離為，則，
即，又，所以，即，
所以離心率.
故選：B
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）設雙曲線：（，）的右焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【解析】由雙曲線的幾何性質知道，，，
∵，
∴，∴離心率.
故選：D.
7．（2024·浙江紹興·三模）已知直線與橢圓C：交于，兩點，以線段為直徑的圓過橢圓的左焦點，若，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取右焦點，連接、，由在以線段為直徑的圓上，
故，結合對稱性可知四邊形為矩形，有，
有，又，
由，則，，
由橢圓定義可得，
故，
則.
故選：C.
8．（2024·福建泉州·模擬預測）橢圓的左右焦點分別為，點，線段，分別交于兩點，過點作的切線交于，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓的左右焦點分別為，
點，且，設，
則有，解得，
由，所以，又，所以，
又橢圓在處的切線方程為，
所以，所以，所以，
所以，所以，解得,
所以橢圓的離心率為.
故選：B.
9．（2024·高三·湖北武漢·開學考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的周長為，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根據雙曲線定義知：的周長為，而，
所以，而的周長為，
所以，即，所以，解得，
雙曲線離心率的取值范圍是.
故選：D
10．（2024·陜西安康·模擬預測）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為坐標原點.以為圓心作與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓，切點分別為，記四邊形的面積為，過右焦點作直線垂直于軸，交雙曲線于兩點，記的面積為.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意，知雙曲線的左焦點（為半焦距）到漸近線的距離為，
所以四邊形的面積.
將代入雙曲線的方程，得，
即，所以.
由，知，即，所以.
又，所以，兩邊同時除以，并整理，得，
解得，所以（負值舍去）.
故選：D.
11．（2024·重慶·模擬預測）已知橢圓的左焦點為，直線與C分別交于兩點（A在x軸上方），與y軸交于點為坐標原點．若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，直線l過點F，如圖所示，
所以，而，
所以．
由
．
解得．
設C的右焦點為，
在中，由余弦定理可得
，
解得．
由橢圓的定義知，
則C的離心率．
故選：D．
12．（2024·高三·湖南衡陽·開學考試）已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A，B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】連接、、，則，，
由切線長定理可知，，又因為，
所以，，所以，，
則，
設點，則，且，所以，
，
所以，，故.
故選：B.
13．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為右支上的一點，滿足，以點為圓心、為半徑的圓與線段相交于A，B兩點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因為，所以，所以是直角三角形，
過點O作于點C，又，
在中，由勾股定理得
易得,，所以是的中位線，所以
由雙曲線第一定義可知：，所以，
在中，由勾股定理得，，即，又因為雙曲線中，所以，
所以.
故選：D.
14．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐標系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，是線段的中點，是軸上一點(非原點)，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】設且，則，
因為，所以，得，
設直線的方程為，，
由，得，
由，得，
所以，
所以，①
，
因為，是線段的中點，
所以，即，化簡得，
由①，得，所以，
所以，
所以離心率，
故選：B
15．（2024·陜西銅川·三模）已知為橢圓的左 右焦點，點在上且位于第一象限，圓與線段的延長線 線段以及軸均相切，的內切圓的圓心為.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知及平面幾何知識可得圓心在的角平分線上.
如圖，設圓與軸的切點分別為，由平面幾何知識可得，
直線為兩圓的公切線，公切點也在的角平分線上，
則，所以，
由橢圓的定義知，則，
，
，
.
又圓與圓的面積之比為圓與圓的半徑之比為3，
所以，即，故橢圓的離心率.
故選：A
16．（2024·高三·江蘇南京·期中）已知直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的離心率可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，
則，則，故，
因為線段的中點為
所以，
故，
又，則，即，
因為，即，
故橢圓的離心率，
故橢圓離心率范圍為.
故選：D.
17．已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由橢圓的定義，可知，
所以當最小時，最大，
由橢圓的性質得，過橢圓焦點的弦中垂直于長軸的弦最短，
當直線AB垂直于軸時，取得最小值，此時，
由解得，此時的離心率.
故選：A.
18．（2024·廣東東莞·模擬預測）若雙曲線C：的右支上存在，到點的距離相等，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據題意，結合雙曲線的對稱性可知，
存在以點為圓心的圓與雙曲線的右支有四個交點，
所以當雙曲線上的點到點P的距離最小時，點Q不可為雙曲線的右頂點，
設點，則，
又因為由，可得，
所以，
要使最小，，則，解得，
所以，
又因為雙曲線中，所以.
故選：A
19．（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）已知雙曲線的右焦點為，過的直線與交于點，且滿足的直線恰有三條，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意知道直線與雙曲線兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線同一支相交．
顯然滿足的直線有1條為x軸，為左右頂點，長度為實軸長，.
當直線過，剛好垂直x軸時，令，可求得.此時直線只有1條.
加上前面的1條，總共2條，不滿足題意.
如圖，
運用雙曲線對稱性知道時，剛好有2條，總共3條，滿足題意.
即.則.又由于，
則雙曲線的離心率的取值范圍為.
故答案為：.
20．（2024·江蘇南通·二模）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內壁所形成的橢圓經過母線中點D時，橢圓的離心率等于 ．

【答案】
【解析】如圖所示：
設,因,故，
又，
由余弦定理，，
即，
設橢圓中心為，作圓錐的軸截面，與底面直徑交于，與橢圓交于，，
連交于，以點為原點，為軸，建立直角坐標系，
過點作，
則，
，
則，
，
則，
又由得：，
,
從而，
則得，
不妨設橢圓方程為，把和點坐標代入方程，
解得，
則，
故.
故答案為：.
21．如圖所示圓錐，為母線的中點，點為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長度成等比數列，一個平面過，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】令，則，又，，的長度成等比數列，
所以，即，
由題意，顯然，在直角△中，則，
所以△為等腰直角三角形，故圓錐軸截面為等腰直角三角形且，
所以，即橢圓長軸長，則，
軸截面如下圖示：該橢圓的短軸與圓錐底面平行，過作交于，交于，則，
為中點，所以為中點，即為橢圓中心，
過作交于，
綜上，有△△均為等腰直角三角形，故，則，
同理△△，故，則，
所以，即，
綜上，橢圓離心率為.
故答案為：
22．（2024·四川德陽·一模）已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線交于點，，橢圓和雙曲線的離心率分別是、，那么 （點為坐標原點）．
【答案】
【解析】設橢圓的長半周長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距都為，
并設，根據橢圓的定義和雙曲線的定義可得，
在中，由余弦定理得，
即
在中，由余弦定理得，
即
又由,
兩式相加，則，
又由，所以，
所以，即.
23．設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題可知三點橫坐標相等，設在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破04 輕松搞定圓錐曲線離心率二十大模型
目錄
01 方法技巧與總結 2
02題型歸納與總結 3
題型一：建立關于a和c的一次或二次方程與不等式 3
題型二：圓錐曲線第一定義 4
題型三：圓錐曲線第二定義 5
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積） 5
題型五：利用數形結合求解 6
題型六：利用正弦定理 7
題型七：利用余弦定理 9
題型八：內切圓問題 10
題型九：橢圓與雙曲線共焦點 10
題型十：利用最大頂角 12
題型十一：基本不等式 13
題型十二：已知范圍 13
題型十三： 14
題型十四：中點弦問題 14
題型十五：已知焦點三角形兩底角 15
題型十六：利用漸近線的斜率 16
題型十七：坐標法 17
題型十八：利用焦半徑的取值范圍 17
題型十九：四心問題 18
題型二十：平面截圓錐（丹林球）問題 19
03 過關測試 22
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關系．
2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關系建立不等關系．
5、利用判別式建立不等關系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．
7、利用基本不等式，建立不等關系．
二、函數法：
1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式；
2、通過確定函數的定義域；
3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標法：
由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．
題型一：建立關于a和c的一次或二次方程與不等式
【典例1-1】（2024·高三·河北保定·開學考試）如圖，設橢圓的左焦點為，上頂點為，右頂點為，且，則的離心率為 .
【典例1-2】（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·四川雅安·三模）設分別為雙曲線的左右焦點，過點的直線交雙曲線右支于點，交軸于點，且為線段的中點，并滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式1-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型二：圓錐曲線第一定義
【典例2-1】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·江西·開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為
【變式2-1】（2024·高三·河北邢臺·開學考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點且與實軸垂直的直線交雙曲線于兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2-2】（2024·高三·湖南·開學考試）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【變式2-3】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點，、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2024·重慶渝中·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-5】（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的內角平分線與軸的交點平分線段，則雙曲線的離心率為 ．
題型三：圓錐曲線第二定義
【典例3-1】古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．5
【典例3-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式3-1】已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
【典例4-1】（2024·山東青島·高三統考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
【典例4-2】（2024·山東·高三校聯考開學考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·江蘇·三模）已知過坐標原點且異于坐標軸的直線交橢圓于兩點，過的中點作軸的垂線，垂足為，直線交橢圓于另一點，直線的斜率分別為，則 ；若，則的離心率為 .
【變式4-2】（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【變式4-3】（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型五：利用數形結合求解
【典例5-1】（2024·廣西·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若的離心率，則使為直角三角形的點有（ ）個
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式5-1】過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】已知點是橢圓上的一點，是的兩個焦點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型六：利用正弦定理
【典例6-1】（2024·江西贛州·二模）已知，為雙曲線的左、右焦點，M為C左支上一點.設，，且，則C的離心率為（ ）
A． B．3 C．2 D．
【典例6-2】（2024·山西晉中·三模）已知雙曲線的左焦點為，過點且斜率為的直線與的兩條漸近線分別交于點，且分別位于第二、三象限，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·貴州貴陽·二模）已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，左頂點為是上一點，為等腰三角形，且外接圓的周長為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·云南·模擬預測）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮于春分時節開展油紙傘文化藝術節.活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為 .
【變式6-3】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-5】（2024·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【變式6-6】（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區武鳴高級中學校考二模）設、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在點M，，，使得離心率，則e取值范圍為 ．
題型七：利用余弦定理
【典例7-1】（2024·河北衡水·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線的焦點分別為，過的直線與的左支交于兩點．若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·江蘇淮安·高三統考開學考試）橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，直線與橢圓C交于另一點B，若，則橢圓C的離心率為 ．
【變式7-2】（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于點，與軸交于點，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·山東·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為原點，若以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，且，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【變式7-4】（2024·山西陽泉·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于點，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
題型八：內切圓問題
【典例8-1】（2024·高三·廣東廣州·期中）已知點P是雙曲線右支上一點，、分別為雙曲線C的左、右焦點，的內切圓與x軸相切于點N，若，則雙曲線C的離心率為 .
【典例8-2】（2024·安徽六安·模擬預測）設，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上一點，若的內切圓的半徑為（為圓心），且，使得，則雙曲線的離心率為 ．
【變式8-1】（2024·黑龍江·模擬預測）設，是雙曲線：的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為 .若內切圓圓心I的橫坐標為2，則的面積為 .
【變式8-2】（2024·吉林長春·模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，點是軸正半軸上一點，交橢圓于點A，若，且的內切圓半徑為1，則該橢圓的離心率是 ．
【變式8-3】在平面直角坐標系中，雙曲線（，）的左、右焦點分別是，，過的直線與的左、右兩支分別交于、兩點，點在軸上，滿足，且經過的內切圓圓心，則的離心率為 ．
題型九：橢圓與雙曲線共焦點
【典例9-1】（2024·四川成都·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有相同的左右焦點，若點是與在第一象限內的交點，且，設與的離心率分別為，則的取值范圍為 .
【典例9-2】（2024·遼寧·模擬預測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【變式9-1】（多選題）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別是，的離心率，點M是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（ ）
A．面積為
B．若，則
C．若，則的取值范圍為
D．若，則的取值范圍為
【變式9-2】（多選題）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，,且共焦點的離心率分別為，則下列結論正確的是（ ）

A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
【變式9-3】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點，的內切圓圓心為Q，，O為坐標原點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為
C．過作直線的垂線，垂足為H，點H的軌跡是雙曲線
D．兩個曲線在P點處的切線互相垂直
題型十：利用最大頂角
【典例10-1】已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【變式10-2】（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型十一：基本不等式
【典例11-1】設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】（2024·山西運城·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
題型十二：已知范圍
【典例12-1】（2024·四川省南充市白塔中學高三開學考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-1】（2024·全國·高三開學考試）設，分別是橢圓的左 右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
題型十三：
【典例13-1】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例13-2】已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式13-1】已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式13-2】已知雙曲線的左右焦點分別為，且.點為雙曲線與圓的交點，直線（為坐標原點）交雙曲線于另一點，且，則 ，雙曲線的離心率的最小值為 .
題型十四：中點弦問題
【典例14-1】（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
【典例14-2】已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式14-1】（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式14-2】（2024·全國·高三開學考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A． B． C． D．
題型十五：已知焦點三角形兩底角
【典例15-1】已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A． B． C． D．2
【變式15-1】已知雙曲線的左 右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型十六：利用漸近線的斜率
【典例16-1】（2024·山東淄博·二模）若雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，則離心率e為（　　）
A． B． C． D．
【典例16-2】（2024·新疆·二模）過雙曲線的右焦點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點，過點向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-1】（2024·高三·安徽亳州·開學考試）已知雙曲線，點在上，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-2】（2024·福建泉州·模擬預測）設雙曲線E的中心為O，一個焦點為F，過F作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、．若，則E的離心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【變式16-3】（2024·四川遂寧·模擬預測）設為雙曲線的左、右焦點，直線過左焦點且垂直于一條漸近線，直線與雙曲線的漸近線分別交于點，點在第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型十七：坐標法
【典例17-1】（2024·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線的上、下焦點，過點且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點，且在第四象限，四邊形為平行四邊形．若直線的傾斜角，則的離心率的取值范圍是 ．
【典例17-2】（2024·吉林延邊·二模）已知坐標平面xOy中，點，分別為雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為的中點，點I為的外心，若O、I、D三點共線，則雙曲線C的離心率為 ．
【變式17-1】（2024·山東青島·三模）已知 為坐標原點，橢圓的左，右焦點分別為，左、右頂點分 別為，焦距為，以 為直徑的圓與橢圓 在第一和第三象限分別交于 兩點.且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式17-2】（2024·浙江·模擬預測）雙曲線C：的左、右焦點為，，直線l過點且平行于C的一條漸近線，l交C于點P，若，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
【變式17-3】（2024·山西臨汾·二模）已知點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，線段MF與圓相切于點．若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
【典例18-1】已知雙曲線的左 右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
【典例18-2】（2024·吉林長春·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【變式18-1】設雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式18-2】在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【變式18-3】已知左、右焦點為，的橢圓：（），圓：，點A是橢圓與圓的交點，直線交橢圓于點B.若，則橢圓的離心率是 .
題型十九：四心問題
【典例19-1】（2024·湖北·模擬預測）斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為 .
【典例19-2】（2024·福建龍巖·一模）斜率為的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，且滿足，點分別是的重心，點是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為 .
【變式19-1】已知點，分別為雙曲線的左，右焦點，點，在的右支上，且點恰好為的外心，若，則雙曲線的離心率為 ．
【變式19-2】雙曲線，斜率為的直線與交于兩點，點在上，且，的外心為，的重心為，的重心為，，則的離心率 ．
【變式19-3】已知雙曲線：虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【變式19-4】（2024·河南新鄉·三模）已知雙曲線虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
題型二十：平面截圓錐（丹林球）問題
【典例20-1】“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”，利用這個原理，小強在家里用兩個射燈(射出的光錐視為圓錐)在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為 ．
【典例20-2】（2024·江西南昌·一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓 雙曲線 拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數學家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側面相交所得曲線為，則曲線的離心率為 .
【變式20-1】（2024·河北·模擬預測）數學家Geminad Dandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面 截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為 ．

【變式20-2】（2024·廣東廣州·一模）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球，球的半徑分別為4和2，球心距離，截面分別與球，球相切于點（是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于 .
【變式20-3】如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為3的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為 ．
1．（2024·安徽·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為F，過坐標原點O作C的一條漸近線的垂線l，直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，則C的離心率為（ ）．
A．3 B． C．2 D．
2．（2024·湖北武漢·三模）已知橢圓C： （）的左、右焦點分別為，，P為C上一點，滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，的垂直平分線經過點，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
4．（2024·江西新余·二模）如圖，已知為雙曲線上一動點，過作雙曲線的切線交軸于點，過點作于點，，則雙曲線的離心率為（ ）

A． B． C． D．
5．（2024·四川自貢·三模）設，分別為雙曲線（，）的上，下焦點，過點的直線與的一條漸近線交于點，若軸，且點到的距離為，則 的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）設雙曲線：（，）的右焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．（2024·浙江紹興·三模）已知直線與橢圓C：交于，兩點，以線段為直徑的圓過橢圓的左焦點，若，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建泉州·模擬預測）橢圓的左右焦點分別為，點，線段，分別交于兩點，過點作的切線交于，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·高三·湖北武漢·開學考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的周長為，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·陜西安康·模擬預測）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為坐標原點.以為圓心作與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓，切點分別為，記四邊形的面積為，過右焦點作直線垂直于軸，交雙曲線于兩點，記的面積為.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重慶·模擬預測）已知橢圓的左焦點為，直線與C分別交于兩點（A在x軸上方），與y軸交于點為坐標原點．若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·高三·湖南衡陽·開學考試）已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A，B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為右支上的一點，滿足，以點為圓心、為半徑的圓與線段相交于A，B兩點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
14．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐標系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，是線段的中點，是軸上一點(非原點)，且，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
15．（2024·陜西銅川·三模）已知為橢圓的左 右焦點，點在上且位于第一象限，圓與線段的延長線 線段以及軸均相切，的內切圓的圓心為.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·高三·江蘇南京·期中）已知直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的離心率可能是（ ）
A． B． C． D．
17．已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
18．（2024·廣東東莞·模擬預測）若雙曲線C：的右支上存在，到點的距離相等，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）已知雙曲線的右焦點為，過的直線與交于點，且滿足的直線恰有三條，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
20．（2024·江蘇南通·二模）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當水面與紙杯內壁所形成的橢圓經過母線中點D時，橢圓的離心率等于 ．

21．如圖所示圓錐，為母線的中點，點為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長度成等比數列，一個平面過，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為 ．
22．（2024·四川德陽·一模）已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線交于點，，橢圓和雙曲線的離心率分別是、，那么 （點為坐標原點）．
23．設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
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