資源簡介

重難點突破02 活用隱圓的五種定義妙解壓軸題　
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長 2
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值 3
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90° 3
題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值 4
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值 4
03 過關(guān)測試 6
活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關(guān)鍵在于理解和運用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點的距離等于定長（定義圓）、到兩定點距離的平方和為定值、到兩定點的夾角為90°、邊與對角為定值且對角互補、到兩定點距離之比為定值。
解題時，首先要識別題目中的關(guān)鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡化問題，如利用直徑所對的圓周角是直角、同弦所對的圓周角相等或互補等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進(jìn)而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題，使解題過程更加清晰明了。
題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長
【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
【變式1-4】設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值為（ ）
A．5 B．10 C． D．
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值
【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個定點，動點在直線上，動點滿足，則的最小值為 ．
【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點共面，，，，則的最大值為 ．
【變式2-1】已知圓，點，設(shè)是圓上的動點，令，則的最小值為 ．
【變式2-2】已知圓:，點，.設(shè)是圓上的動點，令，則的最小值為 ．
【變式2-3】正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為 .
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°
【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為 .
【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是 .
【變式3-1】已知點，，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
，
【變式3-2】已知圓：和點，若圓上存在兩點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 .
題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值
【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是 .
【典例4-2】設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于( )
A．4 B．2 C． D．1
【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,和分別為與的中點，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為 ．
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿足.設(shè)點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)三點不共線時，則
C．在C上存在點M，使得
D．若，則的最小值為
1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A、B的距離之比為（，），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
5．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．設(shè)向量，，滿足：，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點為圓上一動點，為圓上一動點，點，則的最小值為 ．
9．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為 ．
10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．比如在平面直角坐標(biāo)系中，、，則點滿足所得點軌跡就是阿氏圓；已知點，為拋物線上的動點，點在直線上的射影為，為曲線上的動點，則的最小值為 ．則的最小值為 ．
11．（2024·山東日照·一模）已知向量滿足，，則的最大值為 ．
12．若向量，且向量，滿足，則的取值范圍是 ．
13．如圖，△是邊長為1的正三角形，點在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點有無數(shù)個，則實數(shù)的取值范圍是 ．
14．已知圓和點，若圓上存在兩點使得，則實數(shù)的取值范圍為 ．
15．已知圓C：和兩點，若圓C上存在點M，使得，則m的最小值為
16．已知，點，，點是圓上的動點，求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標(biāo)．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點突破02 活用隱圓的五種定義妙解壓軸題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長 2
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值 5
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90° 8
題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值 10
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值 12
03 過關(guān)測試 17
活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關(guān)鍵在于理解和運用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點的距離等于定長（定義圓）、到兩定點距離的平方和為定值、到兩定點的夾角為90°、邊與對角為定值且對角互補、到兩定點距離之比為定值。
解題時，首先要識別題目中的關(guān)鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡化問題，如利用直徑所對的圓周角是直角、同弦所對的圓周角相等或互補等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進(jìn)而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復(fù)雜問題，使解題過程更加清晰明了。
題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長
【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
，設(shè)，則，由得：，
令，即，
，其中銳角滿足，
因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的取值范圍是.
故選：D
【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．
∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．
∵表示圓P上的點到坐標(biāo)原點的距離，，∴的取值范圍為，
故選：C．
【變式1-1】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】問題可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，
兩圓圓心距，
由得，
解得，即.
故選：D
【變式1-2】設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，
動直線即，經(jīng)過定點，
時，動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，
時，也垂直，所以兩直線始終垂直，
又P是兩條直線的交點，，．
設(shè)，則，，
由且，可得，
，
，，
，
，
故選:D．
【變式1-3】設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
【答案】B
【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，
動直線即，經(jīng)過定點，
因為，所以動直線和動直線始終垂直，
又是兩條直線的交點，
則有，，
故（當(dāng)且僅當(dāng)時取“” ，
故選：C．
【變式1-4】設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值為（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【解析】由題意，動直線經(jīng)過定點，則，
動直線變形得，則，
由得，
∴
，
故選：B．
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值
【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個定點，動點在直線上，動點滿足，則的最小值為 ．
【答案】5
【解析】設(shè)點，由得： ，
即，即，
在以為直徑的圓上，不妨設(shè)，，
則，，
，
，其中為輔助角，
令，，則，．
，
令，，，
在，上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取得最小值，
再令，，
顯然在，上單調(diào)遞增，
故時，取得最小值，
綜上，當(dāng)，時，取得最小值25．
故的最小值為5,
故答案為：5．
【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點共面，，，，則的最大值為 ．
【答案】10
【解析】設(shè) ，由題意可得： ，
則： ，
ABC構(gòu)成三角形，則：，解得：，
由余弦定理：
，
當(dāng)時，取得最大值為10.
【變式2-1】已知圓，點，設(shè)是圓上的動點，令，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，，
，
當(dāng)取得最小值時，取得最小值，
由圓，則圓心，半徑，
易知，則.
故答案為：.
【變式2-2】已知圓:，點，.設(shè)是圓上的動點，令，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】
由已知，，
設(shè)，，，
所以，
因為，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，
由的最小值為，
所以的最小值為.
故答案為：.
【變式2-3】正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)點，則由，
得，
整理得，
即點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，
圓心M到點D的距離為，所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°
【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，，，
以所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
因為，，與的夾角為，
所以，，設(shè)，
即，，，
所以，，
因為，所以，即，
圓心坐標(biāo)為，半徑，表示點到坐標(biāo)原點的距離即為圓上的點到坐標(biāo)原點的距離，
因為圓心到原點的距離為，所以.
故答案為：.
【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是 .
【答案】
【解析】向量為單位向量，且，
不妨設(shè)，令，
則，
即，它表示以為圓心，為半徑的圓，
可知表示圓上的點到原點距離，故其最大值是.
故答案為：.
【變式3-1】已知點，，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】圓即為：，
其圓心為（3，4），半徑為1，
設(shè)AB的中點為M，
因為點，，
所以M（0，0），
以AB為直徑的圓的方程為：，
，
若圓上存在點，使得，
則圓C與圓M有公共點，即，
解得，
所以實數(shù)的最大值是6.
故選：C
【變式3-2】已知圓：和點，若圓上存在兩點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】圓： ，則半徑為，，
如上圖，對于直線上任意一點，
當(dāng)均為圓的切線時最大，
由題意，即時，此時為滿足題設(shè)條件的臨界點，
此時有.
當(dāng)在臨界點之間移動時，有，即，
即有：，解得：.
故答案為：.
題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值
【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是 .
【答案】/
【解析】設(shè)，則由得，可得，
由得，
因此，表示圓上的點到直線上的點的距離；
故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.
故答案為：
【典例4-2】設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于( )
A．4 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】
因為，，所以,.
如圖所以，設(shè)，則,,.
所以，所以，所以四點共圓.
不妨設(shè)為圓M，因為,所以.
所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.
所以當(dāng)為圓M的直徑時，取得最大值4.
故選：A.
【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,和分別為與的中點，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以的中點為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，.
當(dāng)在邊上時，設(shè)，則；
當(dāng)在邊上時，設(shè)，則；
當(dāng)在邊上時，設(shè)，則；
當(dāng)在邊上時，設(shè)，則.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選D.
【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為 ．
【答案】27
【解析】畫出圖像如下圖所示，由于、為定值，故在以為弦的圓上運動，由正弦定理得，故圓心的坐標(biāo)為，的最大值即為的值，也即是的值，由兩點間的距離公式有.
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時，，此時，交點為.
當(dāng)時，由，斜率為，
由，斜率為，，
綜上，.
又， 直線恒過，
，直線恒過，
若為的交點，則，設(shè)點，
所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，
則圓心為的中點，圓的半徑為，
故的軌跡方程為，
即，則有.
又，易知O、Q在該圓內(nèi)，
又由題意可知圓上一點滿足，取，
則，滿足.
下面證明任意一點都滿足，即，
，
又，
.
所以，
又，
所以，
如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，且位于之間時，等號成立
即最小值為.
故選：A.
【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，令，則，
由題知圓是關(guān)于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點，則，
整理得：，
比較兩方程可得：，，，即，，點，
當(dāng)點M位于圖中的位置時，的值最大，最大為.
故選：B.
【變式5-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
則，
化簡整理得，
所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，
拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.
故選：D.
【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，
當(dāng)點不共線時，，又，因此∽，
則有，當(dāng)點共線時，有，則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)點M是線段BN與圓O的交點時取等號，
所以的最小值為.
故選：C
【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿足.設(shè)點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)三點不共線時，則
C．在C上存在點M，使得
D．若，則的最小值為
【答案】B
【解析】設(shè)，由，得，化簡得，故A正確；
當(dāng)三點不共線時，，所以是的角平分線，所以，故B正確；
設(shè),則，化簡得，因為，所以C上不存在點M，使得，故C錯
誤；
因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，等號成立，故D正確.
故選：C.
1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，所以，
又，所以．
因為且，所以，
整理可得，
又動點M的軌跡是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因為，
所以的最小值為．
故選：C．
2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A、B的距離之比為（，），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，則 ，所以，
整理，得，，點M位于圖中、的位置時，的值最小可得答案.設(shè)，令，則，
由題知圓是關(guān)于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點，則，整理得：
，
比較兩方程可得：，，，
即，，點，
當(dāng)點M位于圖中、的位置時，
的值最小，最小為.
故選：B.
3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是單位向量，∴.
∵
且.
∴，又∵，
∴ (θ是與的夾角)．
又，
∴，
∴.
根據(jù)一元二次不等式的解法，
解得.
故選：D.
4．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2
則圓和圓相交，
又圓的圓心為，半徑為
兩圓圓心距，
由得，
解得，即．
故選：D．
5．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得動直線經(jīng)過定點，
動直線經(jīng)過定點，
且兩條直線互相垂直，且相交于點，
所以，即，
由基本不等式可得，
即，可得，
故選：C.
6．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，
動直線，即，經(jīng)過點定點，
動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，
又是兩條直線的交點，
，．
設(shè)，則，，
由且，可得，
，
，，
，，
，，
，，
故選：B．
7．設(shè)向量，，滿足：，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，，，
，又，，
設(shè)，，，則，，
又，，
、、、四點共圓，
當(dāng)最大時，有，為該圓的半徑，
由，所以，
在中，由正弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)是的平分線時，取等號，此時的最大值為圓的直徑大小為.
故選：A．
8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點為圓上一動點，為圓上一動點，點，則的最小值為 ．
【答案】9
【解析】由為圓上一動點，得，
由為圓上一動點，得，
又.
因為，所以，
于是.
當(dāng)共線且時取得最小值，即.
所以，
當(dāng)共線時等號成立.
故答案為：9．
9．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為
【答案】
【解析】如圖，在軸上取點，
，，，，
（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點時取等號），
.
故答案為：.
10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．比如在平面直角坐標(biāo)系中，、，則點滿足所得點軌跡就是阿氏圓；已知點，為拋物線上的動點，點在直線上的射影為，為曲線上的動點，則的最小值為 ．則的最小值為 ．
【答案】 ；
【解析】設(shè)，由題意，即，整理得．
因為圓可以看作把圓向左平移兩個單位得到的，那么點平移后變?yōu)椋愿鶕?jù)阿氏圓的定義，滿足，
結(jié)合拋物線定義，
（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線，且，在，之間時取等號），此時，
故的最小值為．
（當(dāng)且僅當(dāng)M，Q，F(xiàn)三點共線時等號成立），
根據(jù)光學(xué)的最短光程原理，我們從C點發(fā)出一束光，想讓光再經(jīng)過F點，光所用的時間一定是最短的，由于介質(zhì)不變，自然可以把時間最短看作光程最短。
而光的反射性質(zhì)為法線平分入射光線與反射光線的夾角，并且法線垂直于過這一點的切線。于是我們得到，當(dāng)過點M的切線與的角平分線垂直，即當(dāng)過點M的圓的切線與直線平行且離直線近時，取得最小值，此時切線方程為，聯(lián)立可得，此時，
所以.
故答案為：；.
11．（2024·山東日照·一模）已知向量滿足，，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】
設(shè)，以O(shè)A所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），
因，則設(shè)，
由可得：
即，整理得：，∴點C在以為圓心，1為半徑的圓上，
則表示點A，C的距離，即圓上的點與的距離，∵圓心到點A的距離為，∴的最大值為.
故答案為：.
12．若向量，且向量，滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè),因為向量，且向量滿足，
所以，
化為，
則點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，
表示上的點到原點的距離，
因為圓心到原點的距離為2，半徑為，
所以的最大值為，最小值為，所以的范圍是，
故答案為：.
13．如圖，△是邊長為1的正三角形，點在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點有無數(shù)個，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則設(shè)則
化簡得即
當(dāng)時，點不存在；
當(dāng)時，點只有一個；
當(dāng)時，點的軌跡是一個圓形，有無數(shù)個；
故答案為：
14．已知圓和點，若圓上存在兩點使得，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】圓：，則半徑為，圓心，
如圖，對于直線上任意一點，
當(dāng)，均為圓的切線時最大，
由題意，即時，此時為滿足題設(shè)條件的臨界點，
此時有，
當(dāng)在臨界點之間移動時，有，即，
即有，解得，
故答案為：.
15．已知圓C：和兩點，若圓C上存在點M，使得，則m的最小值為
【答案】3
【解析】根據(jù)題意，點，，則AB的中點為，，
則以AB的中點為圓心，半徑的圓為，設(shè)該圓為圓O，
若圓C上存在點M，使得，則圓C與圓O有交點，必有，即，
又由，解可得：，
即m的最小值為3；
故答案為：3．
16．已知，點，，點是圓上的動點，求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標(biāo)．
【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，
.
當(dāng)時，即時，取最大值74，
解得，，點坐標(biāo)為.
當(dāng)時，即，取最小值34，
解得，，點坐標(biāo)為．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑