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重難點突破01 圓中的范圍與最值問題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：斜率型 2
題型二：直線型 3
題型三：距離型 3
題型四：周長面積型 4
題型五：數量積型 4
題型六：坐標與角度型 5
題型七：長度和差型 6
題型八：方程中的參數型 7
03 過關測試 8
1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：
（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．
（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．
（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題.
2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：
（1）數形結合
（2）多與圓心聯系
（3）參數方程
（4）代數角度轉化成函數值域問題
題型一：斜率型
【典例1-1】已知實數，滿足方程，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】如果實數，滿足，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】若實數、滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·山東日照·二模）若實數滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】已知為圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型二：直線型
【典例2-1】（2024·江西吉安·寧岡中學校考一模）已知點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．5
【典例2-2】已知點是圓：上的一動點，若圓經過點，則的最大值與最小值之和為（ ）
A．4 B． C． D．
【變式2-1】點在圓上，則的范圍是 ．
【變式2-2】已知，滿足，則的范圍是 ．
【變式2-3】如果實數滿足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
題型三：距離型
【典例3-1】已知點P(m，n)在圓上運動，則的最大值為 ，最小值為 ，的范圍為 ．
【典例3-2】直線過定點Q，若為圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
【變式3-1】（2024·浙江·三模）已知，點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．32
【變式3-2】（2024·山東濟南·三模）圓上的點到直線的距離的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【變式3-3】已知，且，則的最大值為（ ）
A．9 B．12 C．36 D．48
【變式3-4】（2024·四川樂山·三模）已知圓，點是上的動點，過作圓的切線，切點分別為，直線與交于點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
題型四：周長面積型
【典例4-1】（2024·高三·河南·開學考試）若直線與圓交于A，B兩點，則當周長最小時，k＝（ ）
A． B． C．1 D．－1
【典例4-2】在直角坐標系中，已知，動點滿足，則面積的范圍為
【變式4-1】若圓C的方程為，則圓C的最小周長為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知點在直線上運動，且，點在圓上，則的面積的最大值為（ ）
A．8 B．5 C．2 D．1
題型五：數量積型
【典例5-1】已知是半徑為5的圓上的兩條動弦，，則最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點，在△ABC所在平面內有一動點P滿足，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【變式5-1】已知圓的弦的中點為，點為圓上的動點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．8 D．
【變式5-2】在矩形中，，，為矩形所在平面內的動點，且，則的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
題型六：坐標與角度型
【典例6-1】已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運動.若C上存在點Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是 .
【典例6-2】已知，滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】動圓M經過坐標原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【變式6-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）如圖，已知是圓上一點，，則的正切值的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式6-4】已知圓D：與x軸相交于A、B兩點，且圓C：，點．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型七：長度和差型
【典例7-1】已知復數，，，，，，若，且，則的最大值為 ．
【典例7-2】（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知圓上兩點，，O為坐標原點，若，則的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．12
【變式7-1】設A為直線上一點，P，Q分別在圓與圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】在定圓內過點作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則 的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-3】（2024·廣西貴港·模擬預測）已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點，設坐標原點為O，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型八：方程中的參數型
【典例8-1】（2024·山東泰安·二模）已知在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值為 ；若，則的最大值為 .
【典例8-2】如圖，在直角梯形中，，點M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【變式8-1】已知，，，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】已知點，點為圓上一動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】已知過點的動直線與圓交于兩點，過分別作的切線，兩切線交于點.若動點，則的最小值為 ．
1．（多選題）已知實數x，y滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的范圍是
2．（多選題）已知圓，點為圓上一動點，為坐標原點，則下列說法中正確的是（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．直線的斜率范圍為
D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為
3．（多選題）點是圓上的動點，則下面正確的有（ ）
A．圓的半徑為3
B．既沒有最大值，也沒有最小值
C．的范圍是
D．的最大值為72
4．（多選題）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，動點C滿足，記的軌跡為.過的直線與交于兩點，直線與的另一個交點為，則( )
A．關于軸對稱 B．的面積的最大值為
C．當時， D．直線的斜率的范圍為
5．（多選題）若實數、滿足條件，則下列判斷正確的是（ ）
A．的范圍是 B．的范圍是
C．的最大值為1 D．的范圍是
6．（多選題）數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC，AB＝AC＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結論正確的是（ ）
A．圓M上點到直線的最小距離為
B．圓M上點到直線的最大距離為
C．圓M上到直線BC的距離為的點有且僅有2個
D．圓與圓M有公共點，則a的范圍是
7．（多選題）設點為圓上一點，已知點，，則下列結論正確的有（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．存在點使
D．過點作圓的切線，則切線長為
8．（多選題）（2024·高三·遼寧鞍山·開學考試）已知直線，圓為圓上任意一點，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為5
B．的最大值為
C．直線與圓相切時，
D．圓心到直線的距離最大為4
9．（多選題）（2024·江西宜春·三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數），動點M到A，B的距離之比為常數（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．面積的最大值為12 B．的最大值為72
C．若，則的最小值為10 D．當點M不在x軸上時，MO始終平分
10．（多選題）已知點在圓C：上，點，，則（ ）
A．直線與圓相切
B．點到直線的距離小于7
C．當最大時，
D．的最小值小于15°
11．（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為直線上的一點，動點與兩個定點，的距離之比為2，則（ ）
A．動點的軌跡方程為 B．
C．的最小值為 D．的最大角為
12．（多選題）已知點在圓上，點是直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，又設直線分別交軸于，兩點，則（ ）
A．的最小值為 B．直線必過定點
C．滿足的點有兩個 D．的最小值為
13．（2024·高三·山東濟寧·開學考試）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則線段的長度的范圍是 ．
14．已知與相交于點線段是圓的一條動弦，且則的范圍為
15．（2024·高三·上海閔行·開學考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點A，B間的距離為3，動點滿足，則的范圍為 .
16．（2024·江西宜春·一模）已知點，若圓上存在點滿足，則實數的取值的范圍是 .
17．已知若圓上存在點P，使得，則m的范圍 ．
18．（2024·上海·一模）已知點為圓的弦的中點，點的坐標為，且，則的范圍是 ．
19．已知，，若圓（）上恰有兩點，，使得和的面積均為，則的范圍是 ．
20．（2024·高三·河北邢臺·開學考試）已知實數滿足，則的最大值為 .
21．已知圓，動點在圓上，則面積的最大值為 ．
22．（2024·河南周口·模擬預測）已知點，為圓上一動點，為直線上一點，則的最小值為 .
23．已知滿足，則函數的最小值為 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破01 圓中的范圍與最值問題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：斜率型 2
題型二：直線型 5
題型三：距離型 7
題型四：周長面積型 10
題型五：數量積型 12
題型六：坐標與角度型 15
題型七：長度和差型 19
題型八：方程中的參數型 23
03 過關測試 27
1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：
（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．
（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．
（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題.
2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：
（1）數形結合
（2）多與圓心聯系
（3）參數方程
（4）代數角度轉化成函數值域問題
題型一：斜率型
【典例1-1】已知實數，滿足方程，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程化為，
表示的圖形是一個以為圓心，為半徑的半圓，
令，即，如圖所示，
當直線與半圓相切時，圓心到直線的距離，
解得或（負值不滿足條件，舍去），
所以的最大值為，
故選：C.
【典例1-2】如果實數，滿足，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，則表示經過原點的直線，為直線的斜率.
如果實數，滿足和，即直線同時經過原點和圓上的點.
其中圓心，半徑
從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且剛好與圓相切，設此時切點為
則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；
同理，的最小值為－1.
則的范圍是.
故選：B.
【變式1-1】若實數、滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，可得，
則直線與圓有公共點，
所以，，解得，
即的取值范圍是.
故選：B.
【變式1-2】（2024·山東日照·二模）若實數滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的幾何意義即圓上的點到定點的斜率，由圖知，斜率的范圍處在圓的兩條切線斜率之間，其中AC斜率不存在，設AB的斜率為k，
則AB的方程為，
由切線性質有，，解得，故的取值范圍為，
故選：D
【變式1-3】已知為圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
由于為圓上任意一點，
故可看作圓上任意一點到定點的斜率，
當直線與圓相切時，此時斜率最大，
由于相切時，故，此時斜率,
故的最大值為，
故選：C
題型二：直線型
【典例2-1】（2024·江西吉安·寧岡中學校考一模）已知點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【解析】由，令，則，
所以當時，的最大值為.
故選：A
【典例2-2】已知點是圓：上的一動點，若圓經過點，則的最大值與最小值之和為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為圓：經過點，
．又，所以，
可看成是直線在軸上的截距.如圖所示，
當直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時，解得，
所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為.
故選：C．
【變式2-1】點在圓上，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】設，，即，
所以，
因為，所以.
故答案為：
【變式2-2】已知，滿足，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】因為，所以，表示以為圓心，為半徑的圓，即點為圓上的點，
令，即，當直線與圓相切時取得最值，所以，即，解得，所以
故答案為：
【變式2-3】如果實數滿足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
【答案】 / /
【解析】由，得的幾何意義為圓上的動點到原點距離的平方．
因為圓心到原點的距離為，所以圓上的動點到原點距離的最大值為，
則的最大值是．
令，則是直線在軸上的截距，
當直線與圓相切時，直線在軸上的截距，一個是最大值，一個是最小值，
此時，圓心到直線的距離，解得，
所以的最大值為．
故答案為：；.
題型三：距離型
【典例3-1】已知點P(m，n)在圓上運動，則的最大值為 ，最小值為 ，的范圍為 ．
【答案】 64 4
【解析】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，
則表示在圓上點到距離的平方，
而圓心到的距離為，
所以在圓上點到距離的最大值為8，最小值為2，
故的最大值為64，最小值為4；
又表示在圓上點到原點的距離，而圓心到原點距離為，
所以的范圍為.
故答案為：64，4，
【典例3-2】直線過定點Q，若為圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【解析】由，得，
所以直線過定點，
由，知圓心坐標，半徑為2，
所以到圓心的距離為，則在圓內，
則的最大值為，
故選：B
【變式3-1】（2024·浙江·三模）已知，點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．32
【答案】B
【解析】設，
則
，
當時，取得最大值.
故選：C.
【變式3-2】（2024·山東濟南·三模）圓上的點到直線的距離的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，
所以圓上的點到直線的距離的最大值為.
故選：C.
【變式3-3】已知，且，則的最大值為（ ）
A．9 B．12 C．36 D．48
【答案】B
【解析】設與為圓上一點，
則，得，，
即為等腰直角三角形，設為的中點，
則，得，
即點在以為圓心，2為半徑的圓上，
故，
因為點到定點D的距離的最大值為，
因此的最大值為36.
故選：C
【變式3-4】（2024·四川樂山·三模）已知圓，點是上的動點，過作圓的切線，切點分別為，直線與交于點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意作出圖形如圖所示
設，，由∽,可得，
所以，即，即，
所以，
所以，
所以點，
將點的坐標代入直線中，
化簡可得（不同時為），
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
所以的最大值為
故選：B.
題型四：周長面積型
【典例4-1】（2024·高三·河南·開學考試）若直線與圓交于A，B兩點，則當周長最小時，k＝（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】B
【解析】直線的方程可化為
所以直線恒過定點，
因為
所以點在圓內，
由圓的性質可得當時，最小，周長最小，
又，
所以，此時．
故選：C．
【典例4-2】在直角坐標系中，已知，動點滿足，則面積的范圍為
【答案】
【解析】設點，則
由已知得，
所以，即
故點的軌跡方程為，即，其圓心，半徑為．
直線AC的方程為，即
圓心到直線AC的距離
則點到邊AC的距離的最小值為，最大值為
又
則面積的最小值為，最大值為，
所以面積的范圍為．
故答案為：．
【變式4-1】若圓C的方程為，則圓C的最小周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為圓C的方程為，
所以圓C的半徑為，
所以圓C的最小周長為.
故選：D.
【變式4-2】已知點在直線上運動，且，點在圓上，則的面積的最大值為（ ）
A．8 B．5 C．2 D．1
【答案】D
【解析】設圓心到直線的距離為到直線的距離為，
又圓心坐標為，則，
又半徑為，則當最大時，，
此時面積也最大，．
故選：A．
題型五：數量積型
【典例5-1】已知是半徑為5的圓上的兩條動弦，，則最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】
如圖，連接，作，，
易知是的中點，是的中點，由勾股定理得，，
故，
故，當反向時等號成立，故C正確.
故選：C
【典例5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點，在△ABC所在平面內有一動點P滿足，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以．
因為，，所以點A在以BC為弦的優弧上運動（不含端點）．
設所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，
則MD⊥BC，，可得，，．
以B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
可得，圓M的方程為，
設，則，結合，
可得，
因為A點在圓M：上運動，
所以，可得當時，，達到最大值．
綜上所述，當時，有最大值．
故選：D．
【變式5-1】已知圓的弦的中點為，點為圓上的動點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】圓，圓心，半徑為3，如圖，
為弦的中點，，
共線時等號成立，
.
故選:D.
【變式5-2】在矩形中，，，為矩形所在平面內的動點，且，則的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】如圖，建立平面直角坐標系，設，中點為，
因為，，所以,，，，
得到，所以，
又因為，所以，
又，當且僅當（在的延長線上）三點共線時取等號，
所以，
故選：B.
題型六：坐標與角度型
【典例6-1】已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運動.若C上存在點Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
如圖圓，在直線上，
若圓存在點，使得，
當在直線上運動，極端情況，與圓相切，.
在中，，所以.
所以以為圓心，為半徑的圓與直線交于，兩點.
符合條件的點在線段之間.
所以或.
故的取值范圍為.
故答案為：
【典例6-2】已知，滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】點在圓上，,
則，
如圖，當與圓相切時，取得最小值，所以，此時點.
故選：C
【變式6-1】動圓M經過坐標原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】設動圓圓心，半徑為1，動圓M經過坐標原點，可得,即，
，當且僅當時取等號，即，
則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為
故選：C
【變式6-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑為1，
則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，
因為，且，
當最小時，則最大，可得最大，即最大，
又因為的最小值即為圓心到直線的距離為，
此時，所以取得最大值．
故選：C．
【變式6-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）如圖，已知是圓上一點，，則的正切值的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】設過三點的圓的圓心為，且，
由于，故最大，則最大，
只需要圓與圓相切于點時，最大，
則有或（舍去），，
所以,易知此時四點共線，
此時進而，故，
故選：A.
【變式6-4】已知圓D：與x軸相交于A、B兩點，且圓C：，點．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓D：的圓心，半徑為，
圓C：的圓心，半徑為，
因為圓與圓相外切，所以，所以，
且圓與軸交于，不妨記，
因為圓關于軸對稱，點與點關于軸對稱，點在軸上，
由對稱性不妨令，
當時，則，解得，
故
，
當時，則，解得，
此時，
故，
當時，則，解得，
故
，
綜上所述，的最大值為.
故選：B.
題型七：長度和差型
【典例7-1】已知復數，，，，，，若，且，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】由，得復數在復平面內對應點，復數在復平面內對應點．
，，，記與夾角為
，，所以,，
到直線的距離，
到直線的距離，
即求的最大值．
設點D為的三等分點，且，
則D到直線的距離，
，即求的最大值，
設D到直線距離為
，即求最大值．
由，，可知，
點，在圓上運動，，
故當時，取得最大值，取得最大值，
取得最大值，
故答案為：.
【典例7-2】（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知圓上兩點，，O為坐標原點，若，則的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．12
【答案】D
【解析】由圓上兩點，，
得，
設的中點為，則，
由，得，
所以，
所以點的軌跡是以為半徑，為原點的圓，
，
表示兩點到直線的距離之和的倍，
因為為的中點，
故兩點到直線的距離之和等于點到直線的距離的倍，
圓心到直線的距離，
所以點到直線的距離的最大值為，
所以的最大值是.
故選：D.
【變式7-1】設A為直線上一點，P，Q分別在圓與圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設關于直線對稱的點的坐標為，
則，解得，，
即，由對稱性可知，
對于圓，圓心，半徑，，
當且僅當A，C，三點共線時等號成立，
由于，，
則.
故選A．
【變式7-2】在定圓內過點作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則 的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，當，，，交換位置可得，故，，又，顯然能取到，故，由對勾函數性質可知，當或時，，故，
故選：D
【變式7-3】（2024·廣西貴港·模擬預測）已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點，設坐標原點為O，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圓C：的圓心為，半徑為2，
直線l的方程可化為，于是l過定點，且，
顯然，即，
又，因此，
設，，顯然，
則，其中，當時等號成立，此時，
，符合條件，
所以的最大值為．
故選：D
題型八：方程中的參數型
【典例8-1】（2024·山東泰安·二模）已知在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值為 ；若，則的最大值為 .
【答案】 3
【解析】如圖：以為原點，以所在的直線為,軸建立如圖所示的坐標系，
則，，，，
動點在以點為圓心且與相切的圓上，
設圓的半徑為，
，，
，
，
圓的方程為，
設點的坐標為，則，
，故的最大值為，
，，
，
，，
，
，
，
故的最大值為3，
故答案為：，3
【典例8-2】如圖，在直角梯形中，，點M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，以為原點建立直角坐標系，設中點為，易得，則中點，，
故以為直徑的圓的方程為，過作軸平行線交軸于，交半圓于，則，設，
則，又，
故，則，其中，
顯然當時，取最大值.
故選：D.
【變式8-1】已知，，，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設點，因為，所以，
點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
又直線的方程為：，，圓心到直線的距離，所以到直線的距離最大值為
則面積的最大值為.
故選：.
【變式8-2】已知點，點為圓上一動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為點為圓上一動點，故設，
則，
令，則，
即，則，
其中為輔助角，，
則，整理得，
故的最大值為，
故選：A
【變式8-3】已知過點的動直線與圓交于兩點，過分別作的切線，兩切線交于點.若動點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】如下圖所示，連接、，則、，所以四邊形對角互補，則、、、四點在以為直徑的圓上.
設，則該圓的圓心為，半徑為，則該圓的方程為
，又該圓和圓的交點弦即為，故直線所在的方程為，整理得，又因為點在直線上，故，即點的軌跡為，又因為的坐標為，因為，所以在圓上運動，故的最小值為到直線的距離減去半徑，即，即的最小值為.
故答案為：
1．（多選題）已知實數x，y滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為
C．的最大值為 D．的范圍是
【答案】DBD
【解析】因為實數x，y滿足方程，
所以，得圓心為，半徑為1，
對于AB，設，則兩直線與圓有公共點，
所以，
解得，，
所以的最大值為，的最大值為，所以AB正確，
對于C，因為原點到圓心的距離為，
所以圓上的點到原點的距離，
所以，所以，
所以的最大值為，所以C錯誤，
對于D， 表示出圓上的點到直線的距離，
因為圓心到直線的距離為，
所以，即，所以D正確，
故選：ABD
2．（多選題）已知圓，點為圓上一動點，為坐標原點，則下列說法中正確的是（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．直線的斜率范圍為
D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為
【答案】DC
【解析】圓的圓心，半徑，
又，所以，即點在圓外，
所以，故A正確；
，當且僅當在線段與圓的交點時取等號，故B錯誤；
設直線，根據題意可得點到直線的距離，解得，故C正確；
設的中點為，則，又，
所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，
所以公共弦方程為，故D錯誤．
故選：AC．
3．（多選題）點是圓上的動點，則下面正確的有（ ）
A．圓的半徑為3
B．既沒有最大值，也沒有最小值
C．的范圍是
D．的最大值為72
【答案】AC
【解析】圓轉化為，
則圓的圓心為，半徑為2，選項A錯誤.
設，則直線與圓有交點，即，
整理得，解得或.
既沒有最大值，也沒有最小值，選項B正確.
設，，
則，其中.
則的取值范圍為，選項C正確.
又，則，
因此
其中.
則的最大值為，選項D錯誤.
故選：BC.
4．（多選題）（2024·高三·福建福州·期末）已知，，動點C滿足，記的軌跡為.過的直線與交于兩點，直線與的另一個交點為，則( )
A．關于軸對稱 B．的面積的最大值為
C．當時， D．直線的斜率的范圍為
【答案】DC
【解析】設，由得， ，
整理得的方程為，其軌跡是以為圓心，半徑的圓．
由圖可知，由于，所以當垂直時，即時，的面積的最大值，
所以，選項B錯誤；
因為，所以，所以，
又軌跡的軌跡關于軸對稱，所以關于軸對稱，選項A正確；
當時， ，則為等腰直角三角形， ，選項C正確；
當直線與圓相切時， ，此時，
所以，所以切線的傾斜角為和，
由圖可知，可得直線的斜率的取值范圍為，選項D錯誤.
故選：AC
5．（多選題）若實數、滿足條件，則下列判斷正確的是（ ）
A．的范圍是 B．的范圍是
C．的最大值為1 D．的范圍是
【答案】AD
【解析】對于選項A、B、C利用基本不等式進行化簡求解即可，對于選項D，利用數形結合進行判斷求解對于A，，故，化簡得，
，所以，，A錯
對于B，，又因為實數、滿足條件，故，所以，，B對
對于C，由于，所以，，
故，化簡得，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，C錯
對于D， 即求該斜率的取值范圍，明顯地，當過定點的直線的斜率不存在時，
即時，直線與圓相切，
當過定點的直線的斜率存在時，令，
則可看作圓上的動點到定點的連線的斜率，
可設過定點的直線為：，
該直線與圓相切，圓心到直線的距離設為，
可求得，化簡得，故，故D對
故選：BD
6．（多選題）數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC，AB＝AC＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結論正確的是（ ）
A．圓M上點到直線的最小距離為
B．圓M上點到直線的最大距離為
C．圓M上到直線BC的距離為的點有且僅有2個
D．圓與圓M有公共點，則a的范圍是
【答案】DD
【解析】由題意，可得如下示意圖：
∵為等腰三角形且AB＝AC，知：外心、重心在的中垂線上，由“歐拉線”定義即為“歐拉線”且B、C中點在直線上，而，
∴直線：，而圓M與直線知，
∴圓M：，且直線：
圓心M到直線的距離，圓上點與直線距離范圍為，故A正確，B錯誤；
圓心M到直線BC的距離，故C錯誤；
圓與圓M有公共點，即，所以，故D正確.
故選：AD
7．（多選題）設點為圓上一點，已知點，，則下列結論正確的有（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．存在點使
D．過點作圓的切線，則切線長為
【答案】DD
【解析】對于A，設，則點到直線的距離，
解得，得的最大值為，故A正確；
對于B，令，
則點到直線的距離，
解得，得的最小值為，故B錯誤；
對于C，假設存在點使，設，則
，化簡得，
因此滿足的點在圓上，此圓圓心為，
半徑為，而，因此與圓外離，所以不存在點使，故C錯誤；
對于D，圓的圓心為，半徑為，則過點作圓的切線，
則切線長為，故D正確.
故選：AD.
8．（多選題）（2024·高三·遼寧鞍山·開學考試）已知直線，圓為圓上任意一點，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為5
B．的最大值為
C．直線與圓相切時，
D．圓心到直線的距離最大為4
【答案】AC
【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.
，是圓上的點，
所以的最大值為，A選項錯誤.
如圖所示，當直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，
此時，且，B選項正確.
直線，即，過定點，
若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，
即，解得，所以C選項正確.
圓心到直線的距離，
當時，，
當時，，所以D選項錯誤.
故選：BC
9．（多選題）（2024·江西宜春·三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數），動點M到A，B的距離之比為常數（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．面積的最大值為12 B．的最大值為72
C．若，則的最小值為10 D．當點M不在x軸上時，MO始終平分
【答案】DBD
【解析】對于A，設點，由，得，
化為，所以點M的軌跡是以點為圓心、4為半徑的圓，
所以面積的最大值為，故A正確；
對于B，設線段AB的中點為N，，
當點M的坐標為時取等號，故的最大值為72，故B正確；
對于C，顯然點在圓外，點在圓內，，當B，M，Q三點共線且點M在線段BQ之間時，，故C錯誤；
對于D，由，，有，當點M不在x軸上時，
由三角形內角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分線，故D正確．
故選：ABD．
10．（多選題）已知點在圓C：上，點，，則（ ）
A．直線與圓相切
B．點到直線的距離小于7
C．當最大時，
D．的最小值小于15°
【答案】ACD
【解析】對于A：圓：的圓心，半徑，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，
可知直線與圓相離，A錯誤；
對于B：因為圓心到直線的距離，
所以圓上的點到直線的距離最大值為，B正確；
對于C：當直線與圓相切（圖中位置）時，最大，
此時，C正確；
對于D：直線與圓相切（圖中位置）時，最小，
由，
又
得，
又，
可得，
又，
因為，
所以，又為銳角，
所以，D正確.
故選：BCD.
11．（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為直線上的一點，動點與兩個定點，的距離之比為2，則（ ）
A．動點的軌跡方程為 B．
C．的最小值為 D．的最大角為
【答案】DCD
【解析】設，依題意有，化簡得，
所以動點的軌跡方程為，A選項正確；
方程表示圓心為半徑為2的圓，圓心到直線的距離，
所以的最小值為，B選項錯誤；
，當三點共線時，有最小值，
最小值為點到直線的距離，C選項正確；
的最大時，與圓相切，此時，，，D選項正確；
故選：ACD
12．（多選題）已知點在圓上，點是直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，又設直線分別交軸于，兩點，則（ ）
A．的最小值為 B．直線必過定點
C．滿足的點有兩個 D．的最小值為
【答案】ACD
【解析】圓的圓心為，半徑，
則到直線的距離，
則，故A錯誤；
設，以為直徑的圓，
又圓，兩圓的方程相減得，即，
由，解得，因此直線過定點，故B正確；
對于直線，令，則，即，
令，則，所以，
則的中點為，，
則以為直徑的圓的方程為，又，
則，所以以為直徑的圓與圓相交，所以滿足的點有兩個，故C正確；
因為，，設，，則，
則，即
又，，所以，
所以，
當且僅當在線段與圓的交點時取得最小值，故D正確.
故選：BCD
13．（2024·高三·山東濟寧·開學考試）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則線段的長度的范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意知，，
則圓心，半徑，
如圖，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，
連接AB，CA，CB，CP，則，易知，
所以，有，，
所以，得，
當最小時，取得最大值，即點C到直線的距離為
，此時，所以；
又三點不共線，AB為圓C的一條弦，所以，
所以，即線段AB的長度的取值范圍為.
故答案為：
14．已知與相交于點線段是圓的一條動弦，且則的范圍為
【答案】
【解析】直線，即，
直線過定點，且斜率存在.
直線，即，
直線過定點，直線與軸不平行.
線段的中點為，，
由于，所以，
所以點的軌跡是以線段為直徑的圓，
即點的軌跡是圓（除點）.
圓的圓心為，半徑為，
設是的中點，連接，則垂直平分，
則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
即點的軌跡是圓，
，即圓（除點）上的點，
與圓上的點的距離，
，
所以，即，
所以.
故答案為：
15．（2024·高三·上海閔行·開學考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點A，B間的距離為3，動點滿足，則的范圍為 .
【答案】
【解析】以中點為原點，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，
因為，所以，.
設，因為，所以，
整理得，即.
.
又，
則，則.
故答案為：
16．（2024·江西宜春·一模）已知點，若圓上存在點滿足，則實數的取值的范圍是 .
【答案】
【解析】設，則，
，即，
在以為圓心，2為半徑的圓上，由題意該圓與圓有公共點，
所以，解得．
故答案為：．
17．已知若圓上存在點P，使得，則m的范圍 ．
【答案】
【解析】設點，由得：，整理得：，
于是得點P的軌跡是以原點O為圓心，m為半徑的圓，而圓的圓心，半徑為2，
顯然圓O與圓C有公共點P，因此有，而，解得，
所以m的范圍是.
故答案為：
18．（2024·上海·一模）已知點為圓的弦的中點，點的坐標為，且，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】設，
，
， ，
，即，
，所以 .
因為的軌跡是以為圓心，為半徑的圓
所以的取值范圍為，即
則的范圍是
故答案為：
19．已知，，若圓（）上恰有兩點，，使得和的面積均為，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】，使得和的面積均為，只需到直線 的距離為2，直線的方程為，圓心到直線的距離為1，
當時，圓（）上恰有一點到AB的距離為2，不合題意；
若時，圓（）上恰有三個點到AB的距離為2，不合題意；
當時，圓（）上恰有兩個點到AB的距離為2，符合題意，則.
20．（2024·高三·河北邢臺·開學考試）已知實數滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因為，所以，
所以點在圓上，其中圓心為，半徑為，
又，其中表示點與點連線的斜率，
又，所以點在圓外，
由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，設過點的直線的方程為，
即，則，解得或，
即的最大值為，最小值為，
所以的最大值為.
故答案為：
21．已知圓，動點在圓上，則面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】因為圓化為標準方程為；
圓心，半徑，
圓化為標準方程為；
圓心，半徑，
可得，；
則面積；
當，即時，
的面積最大，其最大值為．
故答案為：
22．（2024·河南周口·模擬預測）已知點，為圓上一動點，為直線上一點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】不妨設x軸上定點使得滿足，，
則，整理得，，
又，所以，則，
解得，所以，使得，
要使最小，則最小，
所以B，M，N三點共線，且MN垂直于直線時取得最小值，如圖所示.
故的最小值為點B到直線的距離.
故答案為：
23．已知滿足，則函數的最小值為 ．
【答案】
【解析】由，
得
，
表示兩點之間的距離，
表示兩點之間的距離，
則，
設，使得，
由阿氏圓性質知，
則，
當且僅當三點共線，且在線段上時，取等號，
所以的最小值為．
故答案為：.
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