資源簡介

第08講 直線與圓錐曲線的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷 4
知識點2：弦長公式 4
知識點3：點差法 6
題型一：直線與圓錐曲線的位置關系 7
題型二：求中點弦所在直線方程問題 11
題型三：求弦中點的軌跡方程問題 14
題型四：利用點差法解決對稱問題 19
題型五：利用點差法解決斜率之積問題 23
題型六：弦長問題 27
題型七：三角形面積問題 35
題型八：四邊形面積問題 41
04真題練習·命題洞見 48
05課本典例·高考素材 53
06易錯分析·答題模板 57
答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長 57
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與圓錐曲線的位置關系 （2）弦長問題 （3）中點弦問題 2024年北京卷第13題，5分 2024年甲卷（理）第20題，12分 2023年I卷第22題，12分 2023年II卷第21題，12分 2023年甲卷（理）第20題，12分 2022年I卷第21題，12分 2022年II卷第21題，12分 從近五年的全國卷的考查情況來看，本節是高考的熱點，特別是解答題中，更是經常出現．直線與圓錐曲線綜合問題是高考的熱點，涉及直線與圓錐曲線關系中的求弦長、面積及弦中點、定點、定值、參數取值范圍和最值等問題．多屬于解答中的綜合問題．近兩年難度上有上升的趨勢，但更趨于靈活．
復習目標： （1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用． （2）經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質． （3）了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質． （4）通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想．
知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，則
（1）直線與圓錐曲線相交 ；
（2）直線與圓錐曲線相切 ；
（3）直線與圓錐曲線相離 .
【診斷自測】3．已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】D
【解析】對于直線，整理得，
令，解得，
故直線過定點.
∵，則點在橢圓C的內部，
所以直線l與橢圓C相交.
故選：A.
知識點2：弦長公式
設，根據兩點距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡，得
（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
【診斷自測】已知橢圓的離心率為e，且過點和．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關于直線對稱，求．
【解析】（1）由題意知：，∴
，∴，所以橢圓；
（2）法一 設及AB中點，由題意知
，，以上兩式相減得：，
可化為：即，故，
又∵M在直線上，所以，解得：，
即，直線，化簡為：
聯立 整理得：，由韋達定理知
由弦長公式得：．
法二 設直線，
聯立， 整理得：
，則中點，滿足直線方程，解得
所以AB：
聯立 整理得：，由韋達定理知
由弦長公式得：．
知識點3：點差法
（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，
運用點差法求的斜率；設，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．
【診斷自測】以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點和，直線與橢圓相交于兩點，為線段的中點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點的坐標為，求直線的方程；
【解析】（1）設橢圓的方程為，
由已知可得，，解得，
所以，橢圓的方程為.
（2）設，
則有，，
兩式作差可得，
所以有.
又，
所以有，
所以直線的斜率，
所以，直線的方程為，整理可得，.
題型一：直線與圓錐曲線的位置關系
【典例1-1】直線與曲線的公共點的個數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】當時，曲線，即，雙曲線右半部分；
一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；
當時，曲線，即，橢圓的左半部分；
畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：
根據圖像知有個公共點.
故選：B
【典例1-2】直線與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于直線恒過點，
要使直線與橢圓恒有公共點，
則只要在橢圓的內部或在橢圓上即可，
即 ，解可得且，
故實數m的取值范圍為.
故選：C．
【方法技巧】
（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．
（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．
【變式1-1】已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因為點不在拋物線上，易知當直線斜率不存在時，直線方程為，滿足題意；
當直線斜率時，易知滿足條件；
當直線斜率存在且時，設直線方程為，
由，整理得到，
由，解得.
綜上所述：滿足條件的直線有條.
故選：D
【變式1-2】若直線與曲線C: 交于不同的兩點，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】聯立方程組，整理得，
設方程的兩根為，
因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，
則滿足，解得，
又由，解得,
所以的取值范圍是.
故選：D.
【變式1-3】已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲線可化為，
當時，，則，
故此時曲線為橢圓的上半部分；
當時，，則，
故此時曲線為雙曲線的上半部分，且漸近線方程為；
直線，表示一組斜率為的平行直線，
如圖，當直線過點時，，解得；
當直線與橢圓上半部分相切時，
由，消化簡得，
由，解得，
又直線與橢圓上半部分相切，則，故，
要使直線與曲線恰有三個不同交點，
結合圖形可得，實數的取值范圍為.
故選：D.
【變式1-4】（2024·廣東肇慶·模擬預測）已知雙曲線，則過點與有且只有一個公共點的直線共有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
【答案】B
【解析】分析條件可得：點在雙曲線的漸近線上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點有相同橫坐標，如圖：
所以過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線只有兩條：
一條是切線：，一條是過點且與另一條漸近線平行的直線.
故選：C
題型二：求中點弦所在直線方程問題
【典例2-1】若橢圓的弦恰好被點平分，則的直線方程為 .
【答案】
【解析】由題意，直線斜率存在，設，，則有，，
在橢圓上，有，，
兩式相減，得，即，
得，即直線的斜率為，
則的直線方程為，即.
故答案為：
【典例2-2】已知為橢圓內一點，經過作一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為 .
【答案】
【解析】易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為，
弦所在的直線與橢圓相交于，兩點，
設，，
則，①
②
①-②得，
，，
，
∴此弦所在的直線方程為，
即．
故答案為：.
【方法技巧】
點差法
【變式2-1】已知雙曲線方程是，過定點作直線交雙曲線于兩點，并使為的中點，則此直線方程是 ．
【答案】
【解析】設得，兩式相減化簡得直線的斜率，即得直線的方程.由題得，設
所以，
兩式相減得，
由題得，
所以，
因為，所以，
所以直線的方程為即.
故答案為：
【變式2-2】過點P(2，2)作拋物線的弦AB，恰好被P平分，則弦AB所在的直線方程是
【答案】x-y=0
【解析】由題得直線存在斜率，
設，，，，弦所在直線方程為：，
即，
聯立，消去整理得．
不滿足題意，
當時，
由題得且，
弦恰好是以為中點，
．
解得．滿足
所以直線方程為，
故答案為：x-y=0
【變式2-3】拋物線的一條弦被平分，那么這條弦所在的直線方程是 .
【答案】
【解析】設弦的兩個端點的坐標，用點差法，即：代入拋物線方程后作差，代入點坐標得到弦所在的直線的斜率，由點斜式求出直線的方程.設弦的兩個端點為，
分別代入拋物線方程，得：
①-②得：，即，
又因為被點平分，所以，則，
即弦所在的直線的斜率.
所以這條線所在的直線方程為：，即.
故答案為：.
題型三：求弦中點的軌跡方程問題
【典例3-1】已知橢圓內有一點，弦過點，則弦中點的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設，中點，
則，相減得，
斜率存在時，
∴，
又是中點，且直線過點，
所以，化簡得，
斜率不存在時，方程為，中點為適合上述方程．
∴點的軌跡方程是．
故答案為：．
【典例3-2】斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是 ．
【答案】(或).
【解析】設直線為，與雙曲線交點為，
聯立雙曲線可得：，則，即或，
所以，故，則弦中點為，
所以弦的中點的軌跡方程為(或).
故答案為：(或)
【方法技巧】
點差法
【變式3-1】直線（是參數）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設，中點，
則.
，
過定點，
.
又，（1），（2）
得：，
. 于是，即.
又弦中點軌跡在已知拋物線內，
聯立
故弦的中點軌跡方程是
【變式3-2】已知橢圓.
(1)求過點且被點平分的弦所在直線的方程；
(2)過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.
【解析】（1）因為，
所以在橢圓的內部，則所求弦必然存在，
設這條弦與橢圓交于點，
由中點坐標公式知，
把代入，則，
作差整理得，可得，
所以這條弦所在的直線方程為，即.
（2）由題意可知：過點引橢圓的割線的斜率存在且不為0，
設割線方程為，
聯立方程，消去得，
則，解得，
設過點的直線與橢圓截得的弦的中點，交點為，
根據橢圓性質可知，則，
令，則，
可得，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，
且，可知，
則，所以，
則，可得，
把代入，則，
兩式相減得，整理得，
即，整理得.
【變式3-3】已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；
(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．
【解析】（1）設弦與橢圓兩交點坐標分別為、，
設，當時，．
當時，，
兩式相減得，即(*)，
因為，，，
所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.
所以點P的軌跡方程為（在橢圓內部分）．
（2）設，在（1）中式子里，
將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內部分）．
所以，點的軌跡方程（在橢圓內部分）.
（3）在（1）中式子里，
將，，代入上式可求得．
所以直線方程為．
【變式3-4】已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點）.直線在繞著定點轉動的過程中，求弦中點的軌跡方程.
【解析】設直線為，設，
由，得，
因為點在拋物線上，
所以，
所以，解得或（舍去），
由，得，
由，得，
則，得，
所以直線恒過定點，
設，則，
因為點在拋物線上，
所以，
兩式相減得，
當時，，即，
因為直線恒過定點，所以，
所以，所以，
當，亦滿足上式
所以所求為.
題型四：利用點差法解決對稱問題
【典例4-1】已知，在拋物線上存在兩個不同的點關于直線對稱，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設拋物線上關于直線對稱的兩點為，，
則，兩式相減得，
由條件可知，，即，
所以中點的縱坐標為，橫坐標為，即中點坐標為，
由題意可知，中點應在拋物線內，即，得.
故答案為：
【典例4-2】已知雙曲線C：．
(1)若直線與雙曲線C有公共點，求實數k的取值范圍；
(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且A，B關于點對稱，求直線l的方程．
【解析】（1）雙曲線C的漸近線方程為，要使直線與雙曲線C有公共點，則有，即實數k的取值范圍為．
（2）設點，．∵點恰好為線段AB的中點，
∴，．
由，兩式相減可得，
，
即，∴，
∴直線l的斜率，
∴直線l的方程為，
即．
【方法技巧】
點差法
【變式4-1】（2024·江西南昌·模擬預測）已知點在拋物線上，也在斜率為1的直線上.
(1)求拋物線和直線的方程；
(2)若點在拋物線上，且關于直線對稱，求直線的方程.
【解析】（1）因為在拋物線上，所以，解得：
所以拋物線為：，
又直線的斜率為1，所以直線方程為：，即.
（2）由（1）設直線的方程為，
由消去x得：，有，解得，
設，則，于是線段的中點坐標為，
顯然點在直線上，即，解得，符合題意，
所以直線的方程為.
【變式4-2】已知橢圓的焦距為，左右焦點分別為、，圓與圓相交，且交點在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若，試問E上是否存在P、Q兩點關于l對稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為圓與圓相交，且交點在橢圓上，所以，，
設，，的中點，
，①－② ，
，
，
則橢圓E的方程：；
（2）假設存在P、Q兩點關于l對稱，設直線PQ的方程為，
，，PQ中點，
，
，
，，即，
由N在l上，，此時，
故存在P、Q兩點關于l對稱，直線PQ的方程為．
【變式4-3】已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點關于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設，則
∵在橢圓上，則
兩式相減得，整理得
∴，即，則
又∵點在橢圓C：上，則
聯立解得
∴橢圓C的方程為
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q兩點關于l：對稱，設直線PQ與直線l的交點為N，則N為線段PQ的中點，連接ON
∵，則，即
由（1）可得，則，即直線
聯立方程，解得
即
∵，則在橢圓C外
∴假定不成立，不存在P，Q兩點關于l對稱
【變式4-4】雙曲線C的離心率為，且與橢圓有公共焦點．
（1）求雙曲線C的方程．
（2）雙曲線C上是否存在兩點A，B關于點（4，1）對稱？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．
【解析】（1）橢圓：，
所以雙曲線.
所以雙曲線的方程為.
（2）畫出圖象如下圖所示，設，
，
兩式相減并化簡得，即，
所以直線的方程為.
題型五：利用點差法解決斜率之積問題
【典例5-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓，過點作傾斜角為的直線與交于，兩點，當為線段的中點時，直線（為坐標原點）的斜率為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，所以，
兩式相減得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以橢圓的離心率.
故選：D.
【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為中點，為坐標原點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，，，
則，，，
所以，所以，
將，兩點坐標代入橢圓方程可得：，
兩式作差可得：，
所以，則，
故選：D
【方法技巧】
點差法
【變式5-1】橢圓與直線交于M，N兩點，連接原點與線段中點所得直線的斜率為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，則，
兩式相減得，
由已知橢圓與直線交于M，N兩點，可知，
故，即，
設線段中點為，則，而，
連接原點與線段中點所得直線的斜率為，即，
故，即，
故選：A
【變式5-2】已知點是離心率為2的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點分別是線段的中點，為坐標原點，直線的斜率分別是，若，則 ．
【答案】15
【解析】因為雙曲線的離心率為2，所以，
不妨設，
因為點在上，所以，兩式相減，
得，
因為點是的中點，所以，
所以，即，
所以，同理，
因為，所以．
故答案為：15
【變式5-3】拋物線的焦點為，過的直線與該拋物線交于不同的兩點、，若，則線段的中點與原點連線的斜率為 .
【答案】
【解析】依題意的斜率存在，設直線方程為，
代入得，
因為，所以，
所以，所以，
則，，
所以的中點坐標為，
所以線段的中點與原點連線的斜率為.
故答案為：
【變式5-4】已知橢圓，O為坐標原點，直線l交橢圓于A，B兩點，M為AB的中點.若直線l與OM的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，，，
將A，B兩點坐標代入橢圓C的方程可得，，
兩式相減可得.
又因為M為AB的中點，所以，
所以，
所以，，
又直線l與OM的斜率之積為，
所以，即，
所以橢圓C的離心率.
故選：D.
題型六：弦長問題
【典例6-1】（2024·海南·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
【解析】（1）因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；
又因為點在雙曲線上，所以，解得：，
所以雙曲線的標準方程為：
（2）設，
由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，
聯立，消去可得：，
所以，，
所以
【典例6-2】（云南省2024屆高三9月名校聯考數學卷）動圓經過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則 .
【答案】6
【解析】
如圖，設動圓的圓心，由題意得，
兩邊取平方，，化簡得，故圓心的軌跡方程為.
聯立方程，消去整理得，
設，則，
故.
故答案為：6.
【方法技巧】
在弦長有關的問題中，一般有三類問題：
（1）弦長公式：．
（2）與焦點相關的弦長計算，利用定義；
（3）涉及到面積的計算問題．
【變式6-1】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其中左焦點為，長軸長為4．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l：與橢圓C交于不同兩點P、Q，求弦長．
【解析】（1）由題意可設，
則，即，且，可得，
所以橢圓方程為.
（2）設，
將直線與橢圓聯立，得，解得或
所以弦長.
【變式6-2】在平面直角坐標系中，已知點，動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線交于兩點，且，求直線的方程．
【解析】（1）根據題意由可知，
動點的軌跡為以為焦點，實軸長為的雙曲線，
即，所以，
所以可得的方程為；
（2）如下圖所示：
依題意設，
聯立與的方程，
消去整理可得，則；
且，解得；
所以，
解得，滿足，符合題意；
所以直線的方程為.
【變式6-3】已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，且點為線段的中點．
(1)求線段所在的直線方程．
(2)求線段的長．
【解析】（1）設點，點，線段所在的直線方程的斜率為k
1°當斜率k不存在時，線段所在的直線方程為，
解方程得
所以，或，
此時，線段的中點坐標為，不合題意；
2°當斜率k存在時，，在拋物線上，，．
兩式相減，得．
∵點是的中點，∴，即
，
直線的方程為，即；
綜上，線段所在的直線方程為.
（2）由（1）知，直線方程為：，與拋物線方程聯立得：
消元得，
，，
．
【變式6-4】已知橢圓：的離心率為且橢圓經過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的左焦點作斜率為的直線交橢圓于、兩點，求．
【解析】（1）
由題意得，解得，
橢圓的方程為；
（2）由（1）得，橢圓的左焦點，右焦點，
則直線的方程為：，設，，
聯立，消去，得，顯然，
則，
所以．
【變式6-5】（2024·四川德陽·二模）已知直線與橢圓相切于點，直線的斜率為，設直線與橢圓分別交于點、(異于點)，與直線交于點.
（1）求直線m的方程：
（2）證明：成等比數列
【解析】（1）由題知直線的斜率存在，設直線的方程為，
由只有一組實數解，
即只有一實根，
得.
解得.
故直線的方程為.
（2）設直線的方程為，
則且，則，
由，得，
所以，
所以.
即，
即 成等比數列.
【變式6-6】（2024·河南開封·二模）已知橢圓的左，右焦點分別為，，上頂點為，且．
(1)求的離心率；
(2)射線與交于點，且，求的周長．
【解析】（1）依題意可得上頂點，左，右焦點分別為，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以離心率；
（2）由（1）可得，，則橢圓方程為，
射線的方程為，
聯立，整理可得，
解得或，則，即，
所以，解得，則，
所以的周長．
【變式6-7】（2024·陜西寶雞·二模）已知點B是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點P.
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）直線與E交于點M，N，且，求m的值.
【解析】
（1）由條件可得
所以動點P的軌跡E是以為焦點的橢圓，設其方程為
所以，所以
所以方程為
（2）設
聯立可得
所以由得
因為
所以可解得
題型七：三角形面積問題
【典例7-1】（2024·高三·河南焦作·開學考試）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.
(1)求C的標準方程；
(2)若，直線l：交橢圓C于E，F兩點，且的面積為，求t的值.
【解析】（1）由題意得，，，
又，則，
則，
所以C的標準方程為.
（2）由題意設，，如圖所示：
聯立，
整理得， ，
則，，
故.
設直線l與x軸的交點為，
又，則，
故，
結合，解得.
【典例7-2】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，得，拋物線的方程為.
（2）設，
聯立，消去得，
，
，
易知，直線恒過定點，
故△的面積，
故△面積的最小值為.
【方法技巧】
三角形的面積處理方法：底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）
【變式7-1】（2024·福建泉州·二模）已知橢圓，離心率為，點在橢圓C上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若，，過直線交橢圓于、兩點，且直線傾斜角為，求的面積．
【解析】（1）因為橢圓的離心率，
所以，點代入橢圓C得：；聯立解得，，
所以，所求橢圓方程為
（2）直線的斜率，
故直線的方程為：，．
與橢圓方程聯立，消去得：，
∴或．
∴的面積為
【變式7-2】（2024·遼寧·模擬預測）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．
(1)求點M的軌跡方程；
(2)求面積的最大值．
【解析】（1）設，則，
設，則，，
設，則，
故即，所以即
所以即的軌跡方程為：.
（2）由（1）可得，故直線.
到的距離為，
故面積，
因為，故即，
當且僅當時等號成立，故面積的最大值為.
【變式7-3】（2024·上海·二模）已知雙曲線.
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，求雙曲線的標準方程；
（2）設雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，若，且的面積為9，求的值.
【解析】（1）因為雙曲線的漸近線為，而它的一條漸近線為,
所以,
所以雙曲線的標準方程為,
（2）因為，所以,
因為的面積為9，所以,
又因為，
所以,
所以,
又因為,
所以，所以，所以.
【變式7-4】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，直線與交于兩點，且當，時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)若，求面積的最小值．
【解析】（1）當，時，直線的解析式為．
設，，聯立消去并整理得，
，，
，解得．
，
，
整理得，解得（舍負），
拋物線的方程為．
（2）由（1）知，，設，，聯立
消去并整理得，，，
，．
，，
即，
整理得．
將，，代入上式得．
又，，且，
解得或．
點到直線的距離，
，
的面積．
又或，
當時，的面積最小，且最小面積為．
【變式7-5】（2024·河南·三模）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，圓經過拋物線的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，設的方程為，
因為圓經過拋物線的焦點，
所以，解得，
所以的方程為.
（2）如圖所示，
設，則，聯立方程組整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，則，所以拋物線的過點A的切線方程是，
將代入上式整理得，
同理可得拋物線的過點的切線方程為
由解得，所以，
所以到直線的距離，
所以的面積，
當時，，
所以面積的最小值為.
題型八：四邊形面積問題
【典例8-1】已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點．
(1)求a，b的值及C的離心率；
(2)若動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側，求四邊形的面積的取值范圍．
【解析】（1）因為，在橢圓C：上，
所以,解得，，
所以，C的離心率為；
（2）由（1）得，，
故，
因為動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側，
所以四邊形的面積，
當且僅當P，Q分別為上頂點和下頂點時，等號成立.
【典例8-2】已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標為1，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于 和 四點，求四邊形面積的最小值.
【解析】（1）由已知知：，解得，
故拋物線的方程為：.
（2）由（1）知：，設直線的方程為：，、，則直線的方程為：，
聯立得，則，所以，，
∴，
同理可得，
∴四邊形的面積，
當且僅當，即時等號成立，
∴四邊形面積的最小值為2.
【方法技巧】
四邊形或多個圖形面積的關系的轉化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點（尤其是有平行條件的時候），可將面積的關系轉化，降低計算量．特殊的，對角線互相垂直的四邊形，面積=對角線長度乘積的一半．
【變式8-1】（2024·湖南·三模）已知橢圓，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，直線與橢圓交于M、N兩點，且M點位于第一象限．
（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；
（2）若，求四邊形的面積的最大值．
【解析】（1）證明：設，則，
∵，，∴，，
∵在橢圓上，∴
∴為定值．
（2）設，依題意：，點在第一象限，∴．
聯立：得：，
∴，，
設到的距離為，到的距離為，
∴，，
∴．
又∵
（當時取等號），
∴．
∴四邊形的面積的最大值為
【變式8-2】（2024·江蘇鎮江·三模）如圖，橢圓C：()的中心在原點，右焦點，橢圓與軸交于兩點，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)P是橢圓C弧上動點，當四邊形的面積最大時，求P點坐標.
【解析】（1）設，又離心率，則.
，則.
法一：則C：，點代入得，
法二：則，點代入得，
所以C方程為：.
（2）因為，而的面積為定值，所以只要的面積最大.
設，則①.
， ，則線段AM長度為定值.
由圖知，P在直線的上方，直線：，
P到直線的距離為
只需求的最大值.
法一：設，代入得：，
因為，得.
當時，聯立①，解得：，.
法二：因為
.
所以，
當且僅當時，.
所以當四邊形的面積最大時，此時點P坐標為 ().
【變式8-3】已知定點，圓，為圓上的動點，線段的垂直平分線和半徑相交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過的直線與軌跡交于兩點，若點滿足，求四邊形面積的最大值．
【解析】（1）因為為圓上的動點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，
所以由線段垂直平分線的性質可得：，
所以，
故點的軌跡是以、為焦點的橢圓．其中，，
所以，
故點的軌跡的方程為．
（2）由題意，設直線的方程為，，，
聯立，整理可得：，
所以，
所以
點到直線的距離，
所以
當且僅當，即時等號成立，
因為
所以
所以四邊形面積的最大值為．
【變式8-4】已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)求四邊形面積的最大值；
【解析】（1）由題意，得，解得，
所以橢圓方程為，
，，，
則離心率為.
（2）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，
代入橢圓的方程，得，，
又因為，，
所以四邊形的面積,
當直線的斜率存在時，設的方程為，
設 ，
聯立方程，消去，得，
由題意，可知恒成立，
則，，
四邊形的面積
令，則四邊形的面積
，，
所以，
綜上所述，四邊形面積的最大值.
【變式8-5】已知點，點B為直線上的動點，過點B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點P．
(1)求點P的軌跡的方程；
(2)設與x軸交于點M，直線與交于點G（異于P），求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）由題意點到直線的距離與到點的距離相等，所以點P的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，
所以方程為.
（2）設直線的方程為，，則.
如圖，設與軸的交點為，則易知為的中位線，所以.
聯立，得，，
不妨設，則，
四邊形面積為
,
當且僅當時，取到最小值，所以四邊形面積的最小值為.
1．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D.
2．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】將直線與橢圓聯立，消去可得，
因為直線與橢圓相交于點，則，解得，
設到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或（舍去），
故選：C.
3．（2021年天津高考數學試題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，
則拋物線的準線為，
令，則，解得，所以,
又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
4．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】設點，因為，，所以
，
而，所以當時，的最大值為．
故選：A．
5．（多選題）（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
【答案】DC
【解析】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.
故選：AC.
6．（多選題）（2022年新高考全國II卷數學真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【答案】DCD
【解析】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
1．已知拋物線的方程為，直線l繞點旋轉，討論直線l與拋物線的公共點個數，并回答下列問題：
（1）畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關系，從圖中你發現直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況？
（2）與直線l的方程組成的方程組解的個數與公共點的個數是什么關系？
【解析】(1)直線l與拋物線的位置關系有相交、相切、相離三種，如圖：其中相交時有相交于兩個公共點和相交只有一個公共點(圖中直線l0)，
觀察圖形知，直線l與拋物線只有一個公共點時，直線l與拋物線相切(圖中直線l1，l2)和相交于一個公共點(圖中直線l0與x軸平行)；
(2)直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，方程為，即，
由消去x得：，
k=0時，y=1，，方程組只有一個解，由圖知直線l與拋物線相交，只有一個公共點，直線l的斜率為0；
時，，
或時，方程組有兩個相同的實數解，由圖知直線l與拋物線相切，只有一個公共點，直線l的斜率分別為；
時，方程組有兩個不同的實數解，由圖知直線l與拋物線交于兩點，直線l的斜率；
時，方程組沒有實數解，由圖知直線l與拋物線相離，沒有公共點，直線l的斜率；
直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-2，顯然方程組沒有實數解，由圖知直線l與拋物線相離，沒有公共點，直線l的斜率不存在，
所以拋物線與直線l的方程組成的方程組解的個數與拋物線與直線l公共點的個數相等.
2．過拋物線的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑畫圓，觀察它與拋物線的準線l的關系，你能得到什么結論？相應于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結論嗎？
【解析】取AB的中點M，分別過A、B、M作準線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，
在直角梯形APQB中，
故圓心M到準線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．
圓半徑為r，則 ，分別過點A，B做右準線的垂線，則構成一個直角梯形，
兩底長分別為 ,（e為離心率）
圓心到準線的距離d為梯形的中位線長即
∵橢圓0＜e＜1，∴，∴相離
雙曲線e＞1，可得d＜r，相交．
3．綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡．這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚．例如，某天文儀器廠設計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支．已知，是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，試根據圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．
【解析】對于雙曲線，有，，，
，
雙曲線的方程為；
拋物線的頂點的橫坐標是，
拋物線的方程為．
4．在拋物線上求一點，使得點到直線的距離最短．
【解析】根據題意設，
所以點到直線的距離為：
當且僅當時等號成立，此時
所以當時，點到直線的距離最短，為
5．設拋物線的頂點為O，經過焦點且垂直于對稱軸的直線交拋物線于B，C兩點，經過拋物線上一點P且垂直于軸的直線與軸交于點Q．求證：是和的比例中項．
【解析】設拋物線方程為，則焦點為，
聯立解得，
則，，
設，則，
，
則，
所以是和的比例中項.
6．如果直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍.
【解析】直線方程與雙曲線方程聯立：得：,
當時，即時，直線與漸近線平行，有一個公共點，舍去；
當時，<0，即或，無公共點.
綜上所述：或.
答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長
1、模板解決思路
首先，聯立直線與圓錐曲線方程，消去一個變量得到關于另一個變量的二次方程。然后，利用韋達定理求出交點橫（縱）坐標和。最后，利用弦長公式（涉及兩點間距離公式和根的判別式）求出弦長。
2、模板解決步驟
第一步：聯立直線與圓錐曲線的方程，通過消元法得到一個關于x或y的二次方程。
第二步：利用二次方程的求根公式，求出交點的坐標和（利用韋達定理，即根與系數的關系）。
第三步：根據弦長公式，代入交點坐標和，求出弦長。
【經典例題1】已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則 ．
【答案】
【解析】設雙曲線與直線交于兩點，
由消去整理得，則，解得，且，
所以．
由，解得，所以．
故答案為：
【經典例題2】若直線和橢圓交于兩點，則線段的長為 ．
【答案】
【解析】由消y得．
設，，則，，
所以．
故答案為：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第08講 直線與圓錐曲線的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷 4
知識點2：弦長公式 4
知識點3：點差法 5
題型一：直線與圓錐曲線的位置關系 6
題型二：求中點弦所在直線方程問題 7
題型三：求弦中點的軌跡方程問題 7
題型四：利用點差法解決對稱問題 8
題型五：利用點差法解決斜率之積問題 10
題型六：弦長問題 11
題型七：三角形面積問題 14
題型八：四邊形面積問題 16
04真題練習·命題洞見 19
05課本典例·高考素材 20
06易錯分析·答題模板 22
答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長 22
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與圓錐曲線的位置關系 （2）弦長問題 （3）中點弦問題 2024年北京卷第13題，5分 2024年甲卷（理）第20題，12分 2023年I卷第22題，12分 2023年II卷第21題，12分 2023年甲卷（理）第20題，12分 2022年I卷第21題，12分 2022年II卷第21題，12分 從近五年的全國卷的考查情況來看，本節是高考的熱點，特別是解答題中，更是經常出現．直線與圓錐曲線綜合問題是高考的熱點，涉及直線與圓錐曲線關系中的求弦長、面積及弦中點、定點、定值、參數取值范圍和最值等問題．多屬于解答中的綜合問題．近兩年難度上有上升的趨勢，但更趨于靈活．
復習目標： （1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用． （2）經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質． （3）了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質． （4）通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想．
知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，則
（1）直線與圓錐曲線相交 ；
（2）直線與圓錐曲線相切 ；
（3）直線與圓錐曲線相離 .
【診斷自測】3．已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
知識點2：弦長公式
設，根據兩點距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡，得
（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
【診斷自測】已知橢圓的離心率為e，且過點和．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關于直線對稱，求．
知識點3：點差法
（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，
運用點差法求的斜率；設，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．
【診斷自測】以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點和，直線與橢圓相交于兩點，為線段的中點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點的坐標為，求直線的方程；
題型一：直線與圓錐曲線的位置關系
【典例1-1】直線與曲線的公共點的個數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例1-2】直線與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．
（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．
【變式1-1】已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1-2】若直線與曲線C: 交于不同的兩點，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-4】（2024·廣東肇慶·模擬預測）已知雙曲線，則過點與有且只有一個公共點的直線共有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
題型二：求中點弦所在直線方程問題
【典例2-1】若橢圓的弦恰好被點平分，則的直線方程為 .
【典例2-2】已知為橢圓內一點，經過作一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為 .
【方法技巧】
點差法
【變式2-1】已知雙曲線方程是，過定點作直線交雙曲線于兩點，并使為的中點，則此直線方程是 ．
【變式2-2】過點P(2，2)作拋物線的弦AB，恰好被P平分，則弦AB所在的直線方程是
【變式2-3】拋物線的一條弦被平分，那么這條弦所在的直線方程是 .
題型三：求弦中點的軌跡方程問題
【典例3-1】已知橢圓內有一點，弦過點，則弦中點的軌跡方程是 .
【典例3-2】斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是 ．
【方法技巧】
點差法
【變式3-1】直線（是參數）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是 .
【變式3-2】已知橢圓.
(1)求過點且被點平分的弦所在直線的方程；
(2)過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.
【變式3-3】已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；
(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．
【變式3-4】已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點）.直線在繞著定點轉動的過程中，求弦中點的軌跡方程.
題型四：利用點差法解決對稱問題
【典例4-1】已知，在拋物線上存在兩個不同的點關于直線對稱，則的取值范圍是 .
【典例4-2】已知雙曲線C：．
(1)若直線與雙曲線C有公共點，求實數k的取值范圍；
(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且A，B關于點對稱，求直線l的方程．
【方法技巧】
點差法
【變式4-1】（2024·江西南昌·模擬預測）已知點在拋物線上，也在斜率為1的直線上.
(1)求拋物線和直線的方程；
(2)若點在拋物線上，且關于直線對稱，求直線的方程.
【變式4-2】已知橢圓的焦距為，左右焦點分別為、，圓與圓相交，且交點在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若，試問E上是否存在P、Q兩點關于l對稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請說明理由．
【變式4-3】已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點關于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【變式4-4】雙曲線C的離心率為，且與橢圓有公共焦點．
（1）求雙曲線C的方程．
（2）雙曲線C上是否存在兩點A，B關于點（4，1）對稱？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．
題型五：利用點差法解決斜率之積問題
【典例5-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓，過點作傾斜角為的直線與交于，兩點，當為線段的中點時，直線（為坐標原點）的斜率為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為中點，為坐標原點，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
點差法
【變式5-1】橢圓與直線交于M，N兩點，連接原點與線段中點所得直線的斜率為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】已知點是離心率為2的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點分別是線段的中點，為坐標原點，直線的斜率分別是，若，則 ．
【變式5-3】拋物線的焦點為，過的直線與該拋物線交于不同的兩點、，若，則線段的中點與原點連線的斜率為 .
【變式5-4】已知橢圓，O為坐標原點，直線l交橢圓于A，B兩點，M為AB的中點.若直線l與OM的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型六：弦長問題
【典例6-1】（2024·海南·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
【典例6-2】（云南省2024屆高三9月名校聯考數學卷）動圓經過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則 .
【方法技巧】
在弦長有關的問題中，一般有三類問題：
（1）弦長公式：．
（2）與焦點相關的弦長計算，利用定義；
（3）涉及到面積的計算問題．
【變式6-1】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其中左焦點為，長軸長為4．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l：與橢圓C交于不同兩點P、Q，求弦長．
【變式6-2】在平面直角坐標系中，已知點，動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線交于兩點，且，求直線的方程．
【變式6-3】已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，且點為線段的中點．
(1)求線段所在的直線方程．
(2)求線段的長．
【變式6-4】已知橢圓：的離心率為且橢圓經過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的左焦點作斜率為的直線交橢圓于、兩點，求．
【變式6-5】（2024·四川德陽·二模）已知直線與橢圓相切于點，直線的斜率為，設直線與橢圓分別交于點、(異于點)，與直線交于點.
（1）求直線m的方程：
（2）證明：成等比數列
【變式6-6】（2024·河南開封·二模）已知橢圓的左，右焦點分別為，，上頂點為，且．
(1)求的離心率；
(2)射線與交于點，且，求的周長．
【變式6-7】（2024·陜西寶雞·二模）已知點B是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點P.
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）直線與E交于點M，N，且，求m的值.
題型七：三角形面積問題
【典例7-1】（2024·高三·河南焦作·開學考試）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.
(1)求C的標準方程；
(2)若，直線l：交橢圓C于E，F兩點，且的面積為，求t的值.
【典例7-2】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.
【方法技巧】
三角形的面積處理方法：底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）
【變式7-1】（2024·福建泉州·二模）已知橢圓，離心率為，點在橢圓C上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若，，過直線交橢圓于、兩點，且直線傾斜角為，求的面積．
【變式7-2】（2024·遼寧·模擬預測）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．
(1)求點M的軌跡方程；
(2)求面積的最大值．
【變式7-3】（2024·上海·二模）已知雙曲線.
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，求雙曲線的標準方程；
（2）設雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，若，且的面積為9，求的值.
【變式7-4】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，直線與交于兩點，且當，時，．
(1)求拋物線的方程；
(2)若，求面積的最小值．
【變式7-5】（2024·河南·三模）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸的正半軸上，圓經過拋物線的焦點.
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.
題型八：四邊形面積問題
【典例8-1】已知，在橢圓C：上，，分別為C的左、右焦點．
(1)求a，b的值及C的離心率；
(2)若動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側，求四邊形的面積的取值范圍．
【典例8-2】已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標為1，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于 和 四點，求四邊形面積的最小值.
【方法技巧】
四邊形或多個圖形面積的關系的轉化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點（尤其是有平行條件的時候），可將面積的關系轉化，降低計算量．特殊的，對角線互相垂直的四邊形，面積=對角線長度乘積的一半．
【變式8-1】（2024·湖南·三模）已知橢圓，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，直線與橢圓交于M、N兩點，且M點位于第一象限．
（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；
（2）若，求四邊形的面積的最大值．
【變式8-2】（2024·江蘇鎮江·三模）如圖，橢圓C：()的中心在原點，右焦點，橢圓與軸交于兩點，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)P是橢圓C弧上動點，當四邊形的面積最大時，求P點坐標.
【變式8-3】已知定點，圓，為圓上的動點，線段的垂直平分線和半徑相交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過的直線與軌跡交于兩點，若點滿足，求四邊形面積的最大值．
【變式8-4】已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)求四邊形面積的最大值；
【變式8-5】已知點，點B為直線上的動點，過點B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點P．
(1)求點P的軌跡的方程；
(2)設與x軸交于點M，直線與交于點G（異于P），求四邊形面積的最小值．
1．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021年天津高考數學試題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
5．（多選題）（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
6．（多選題）（2022年新高考全國II卷數學真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
1．已知拋物線的方程為，直線l繞點旋轉，討論直線l與拋物線的公共點個數，并回答下列問題：
（1）畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關系，從圖中你發現直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況？
（2）與直線l的方程組成的方程組解的個數與公共點的個數是什么關系？
2．過拋物線的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑畫圓，觀察它與拋物線的準線l的關系，你能得到什么結論？相應于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結論嗎？
3．綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡．這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚．例如，某天文儀器廠設計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支．已知，是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，試根據圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．
4．在拋物線上求一點，使得點到直線的距離最短．
5．設拋物線的頂點為O，經過焦點且垂直于對稱軸的直線交拋物線于B，C兩點，經過拋物線上一點P且垂直于軸的直線與軸交于點Q．求證：是和的比例中項．
6．如果直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍.
答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長
1、模板解決思路
首先，聯立直線與圓錐曲線方程，消去一個變量得到關于另一個變量的二次方程。然后，利用韋達定理求出交點橫（縱）坐標和。最后，利用弦長公式（涉及兩點間距離公式和根的判別式）求出弦長。
2、模板解決步驟
第一步：聯立直線與圓錐曲線的方程，通過消元法得到一個關于x或y的二次方程。
第二步：利用二次方程的求根公式，求出交點的坐標和（利用韋達定理，即根與系數的關系）。
第三步：根據弦長公式，代入交點坐標和，求出弦長。
【經典例題1】已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則 ．
【經典例題2】若直線和橢圓交于兩點，則線段的長為 ．
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