資源簡介

第07講 拋物線及其性質(zhì)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：拋物線的定義 4
知識點2：拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 4
解題方法總結(jié) 5
題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 7
題型二：拋物線的軌跡方程 10
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題 13
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題 21
題型五：焦半徑問題 27
題型六：拋物線的幾何性質(zhì) 33
題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì) 39
題型八：拋物線的實際應(yīng)用 50
04真題練習(xí)·命題洞見 54
05課本典例·高考素材 57
06易錯分析·答題模板 61
易錯點：拋物線焦點位置考慮不周全 61
答題模板：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 61
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）拋物線的簡單幾何性質(zhì) 2024年北京卷第11題，5分 2024年天津卷第12題，5分 2024年II卷第10題，6分 2023年北京卷第6題，5分 2023年II卷第10題，5分 2023年乙卷（文）第13題，5分 2023年I卷第22題，12分 從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，其中標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)考查比較頻繁．拋物線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，新高考主要考查拋物線的定義、方程、焦點、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）． （3）了解拋物線的簡單應(yīng)用
知識點1：拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．
【診斷自測】（2024·全國·模擬預(yù)測）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】由題得，
故焦點到準(zhǔn)線的距離為2，
故選：A．
知識點2：拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向
圖形
標(biāo)準(zhǔn) 方程
頂點
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
【診斷自測】焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】直線與坐標(biāo)軸的交點為以及，
所以拋物線的焦點為或，
當(dāng)焦點為，此時拋物線方程為，
當(dāng)焦點為時，此時拋物線的方程為，
故選：C
解題方法總結(jié)
1、點與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則
（1）弦長公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點為，準(zhǔn)線為
（2）焦點為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點弦方程
拋物線的切線方程為，為切點
切點弦方程為，點在拋物線外
與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點弦的常考性質(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1-1】（2024·四川南充·三模）已知為拋物線上一點，點到拋物線焦點的距離為，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】因為到拋物線焦點的距離為，
所以由拋物線定義知，，解得，
故選：A.
【典例1-2】已知動點P(x，y)滿足，則動點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】A
【解析】因為，得，
即動點到定點的距離等于與到定直線的距離，
直線過點，則軌跡為過點與直線垂直的直線.
故選：A
【方法技巧】
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：
（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：
（2）根據(jù)題目條件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程
【變式1-1】頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)拋物線方程為或，
依題意知，∴.
∴拋物線方程為.
故選：C.
【變式1-2】設(shè)是直線l的法向量，A、B為兩個定點，，，P為一動點，若點P滿足：，則動點P的軌跡是（ ）．
A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】A
【解析】表示點P到直線l的距離，表示點P到點B的距離，
由，得動點P到直線l的距離等于到點B的距離，且點B不在直線l上，故點P的軌跡為拋物線，
故選：B
【變式1-3】已知拋物線：的焦點為F，準(zhǔn)線l上有兩點A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】由題意得，當(dāng)時，，解得；
當(dāng)或時，，解得，所以拋物線的方程是或.
故選：C.
【變式1-4】以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】直線與軸，軸的交點分別是，
所以拋物線的焦點為或，
即或，
解得：或，
因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
故選：C.
【變式1-5】（2024·陜西西安·二模）設(shè)拋物線：的焦點為，點在上，，若以為直徑的圓過點，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】由題意，：的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
根據(jù)拋物線的定義，可得，
設(shè)以為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為，又因為圓過點，所以，
又因為點在上，所以，解得或，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
故選：C.
題型二：拋物線的軌跡方程
【典例2-1】設(shè)，點在軸上，點在軸上，且，，當(dāng)點在軸上運動時，點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，，
則，，，
因為， 則，
又因為，則，即，
可得，即．
故點的軌跡方程是．
故答案為：.
【典例2-2】（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，則線段中點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意知直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，
聯(lián)立拋物線方程，得，，
設(shè)，則，
設(shè)線段中點，則，
即，故線段中點的軌跡方程為，即，
故答案為：
【方法技巧】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
【變式2-1】（2024·湖南衡陽·三模）已知點，動圓過點，且與相切，記動圓圓心點的軌跡為曲線，則曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，點到點的距離和它到直線的距離相等，
所以點的軌跡是以為焦點的拋物線，所以的方程為，故C正確.
故選：C.
【變式2-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】如圖，
設(shè)，，則，
依題意，四邊形為矩形，
則，即，
所以，即，
則，
所以頂點的軌跡方程為，
故答案為:．
【變式2-3】（2024·陜西西安·一模）一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】定圓的圓心，半徑為2，
設(shè)動圓圓心P點坐標(biāo)為（x，y），動圓的半徑為r，d為動圓圓心到直線的距離，即r，
則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，
所以，
化簡得：．
∴動圓圓心軌跡方程為．
故選：D．
【變式2-4】到點的距離比到直線的距離小的動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，動點到點的距離等于到直線的距離，
故點的軌跡為以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為.
故選：C.
【變式2-5】已知是拋物線的焦點，是該拋物線上一動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故．
設(shè)，，的中點
，即，即
故選：．
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題
【典例3-1】已知拋物線為上一點，，當(dāng)最小時，點到坐標(biāo)原點的距離為 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，所以，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，
由上可知，取最小值時，，所以.
故答案為：.
【典例3-2】已知拋物線，圓：．若，則圓心到拋物線上任意一點距離的最小值是 ．
【答案】3
【解析】設(shè)為拋物線上任意一點，
圓的圓心,
則，
因為，且在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，.
故答案為：.
【方法技巧】
拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解．
【變式3-1】已知是拋物線上一點，為其焦點，點在圓上，則的最小值是 .
【答案】6
【解析】
拋物線準(zhǔn)線方程為,
過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，
當(dāng)過圓心作拋物線準(zhǔn)線的垂線時，三點共線時，且在線段上時，
最小，且.
故答案為：6.
【變式3-2】已知實數(shù)，且函數(shù)，則函數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【解析】由題意得，
設(shè)，，
則點在曲線上，點在拋物線上，
的幾何意義為，兩點間距離與點到軸的距離之和．
設(shè)拋物線的焦點為，
則由拋物線的定義知，
所以，
所以，
問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到點 的距離的最小值，
設(shè)曲線上的點，到點的距離最小，
則與曲線在點處的切線垂直，
即，
所以，
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：
由圖象知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，
所以方程的解為，則．
所以，
所以函數(shù)的最小值為．
故答案為：．
【變式3-3】已知，，則的最小值是 .
【答案】
【解析】令，，，，
則點是半圓上的點，點是拋物線上的點，
而表示點P Q間距離的平方，即.
連接OQ，交半圓于點R，則，
所以，又顯然，所以，
等號當(dāng)且僅當(dāng)Q是拋物線頂點且P是半圓頂點時成立，故S的最小值是4.
故答案為：.
【變式3-4】（2024·重慶九龍坡·三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
化簡整理得，
所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓，
拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點在兩點中間）四點共線時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
【變式3-5】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點，則的最大值是 ．
【答案】4
【解析】根據(jù)拋物線方程，可得，準(zhǔn)線方程為，
作準(zhǔn)線l，M為垂足，又知，
由拋物線的定義可得，
故當(dāng)P，A，M三點共線時，取最大值，
最大值為．
故答案為：4.
【變式3-6】（2024·廣東梅州·一模）已知點P，Q分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為
【答案】
【解析】由拋物線，可得焦點坐標(biāo)為，
又由圓，可化為，
可得圓心坐標(biāo)為，半徑，
設(shè)定點，滿足成立，且，
即恒成立，
其中，代入兩邊平方可得：
，解得：，，
所以定點滿足恒成立，
可得，
如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，
此時取得最小值，
即，
設(shè)，滿足，
所以，
，
當(dāng)時，等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：
【變式3-7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）傾斜角為銳角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為線段的中點，為上一點，若的最小值為8，則這條直線的斜率為 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，
顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，
由消去并整理得，設(shè),，,，
則，，
因此線段的中點的橫坐標(biāo)，
過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可得，
當(dāng)且僅當(dāng)點是線段與拋物線的交點時取等號，而取得的最小值為8，
因此，解得，而直線的傾斜角為銳角，則，
所以直線的斜率為.
故答案為：
【變式3-8】（2024·陜西咸陽·二模）P為拋物線上任意一點，點，設(shè)點P到y(tǒng)軸的距離為d，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】由已知得點到拋物線準(zhǔn)線的距離為，又拋物線焦點，
則.
故答案為：.
【變式3-9】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，設(shè)拋物線上的動點到直線和的距離分別為，，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】由橢圓的離心率為，
且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為，
得，
所以，故，
因為拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，
所以，則拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
則拋物線上的動點到直線的距離，
則，
點到直線的距離，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時，取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
【變式3-10】（2024·高三·河南周口·期末）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，線段的中點到軸的距離為2，以為直徑的圓的半徑為，點在上，且點到的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】設(shè)線段的中點為M，過點分別作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，
垂足為，則，
由于線段的中點到軸的距離為2，以為直徑的圓的半徑為，，
故，則，則，拋物線方程為，
結(jié)合拋物線定義可得，
聯(lián)立，整理得，，
即直線與拋物線相切，
故的最小值即為F點到直線的距離，此時，
最小值為，
故答案為：3
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題
【典例4-1】（2024·江西新余·二模）已知點在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則（O為坐標(biāo)原點）的面積是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】點在拋物線上，為拋物線的焦點，
，解得，
故拋物線的方程為，,，
則的面積．
故選：A．
【典例4-2】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，過點的兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點和，其中點在第一象限，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】A
【解析】依題意，，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，
由，得，顯然，設(shè)，
，，而，同理，
四邊形的面積.
當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形的面積取得最小值32.
故選：B
【方法技巧】
解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比．
【變式4-1】已知點 M在曲線 上，過M作圓 的切線，切點分別為A，B，則四邊形MACB的面積的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】A
【解析】
如圖，設(shè)點，連接，四邊形MACB的面積為，
而，又點在曲線上，則有，
依題意，，故當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時四邊形MACB的面積取得最小值.
故選:B.
【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為拋物線的焦點，的準(zhǔn)線與軸交于一點，過的直線與交于、兩點．若的面積是的面積的3倍，且，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)、分別在第一、四象限，設(shè)，
其中，．由題意得，直線的斜率存在且不為0，
所以設(shè)直線的方程為，易知．
聯(lián)立拋物線方程與直線方程，得整理，得，
則，．由的面積是的面積的3倍，
得，則，所以，，則，
所以，解得（負值已舍去），所以．
由與拋物線的定義可知，
所以．根據(jù)的幾何意義可知．
故選：B．
【變式4-3】（2024·四川瀘州·三模）已知拋物線C：y =8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交C于P，Q兩點，于H，若，O為坐標(biāo)原點，則與的面積之比為（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由題意得：拋物線C：y =8x的焦點為，準(zhǔn)線為，
設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為，
由拋物線定義知，而，故為正三角形，可得，
不妨令直線，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去x得，解得或，
即，可得，
所以．
故選：C.
【變式4-4】（2024·安徽淮南·二模）拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，，又，，
故是等邊三角形，又的面積是，
故可得，
故.
故選：B.
【變式4-5】（2024·廣東廣州·一模）設(shè)拋物線的焦點為F，過點的直線與E相交于A，B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C，點B在線段AC上，，則與的面積之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，過點B作BD垂直準(zhǔn)線于點D，則由拋物線定義可知：，
設(shè)直線AB為， ，，，不妨設(shè)，則，
所以，解得：，則，解得：，則，
所以，解得：，則直線AB為，
所以當(dāng)時，即，解得：，則，
聯(lián)立與得：，則，
所以，其中.
故選：C
【變式4-6】（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連接、，
圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點，
設(shè)點，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時點與坐標(biāo)原點重合，
由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，
則，所以，，
所以，，
此時點與坐標(biāo)原點重合，且圓關(guān)于軸對稱，此時點、也關(guān)于軸對稱，
則軸，
在中，，，，則，
所以，，因此，直線的方程為.
故選：C.
題型五：焦半徑問題
【典例5-1】已知是拋物線上一點，過的焦點的直線與交于兩點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】因為是拋物線上一點，所以，得，
則拋物線的方程為．
設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
所以，故，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立．
故的最小值為9.

故選：D．
【典例5-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
如圖，，直線的方程為：代入中，消去，可整理得，，
顯然設(shè)，由韋達定理可得：（*）
因，由，
將（*）代入可得，，解得.
故選：D.
【方法技巧】
（1）．
（2）．
（3）．
【變式5-1】（2024·高三·廣東廣州·期中）直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，
由，得，則，
由，得，得，
聯(lián)立解得，，所以.
故選：C
【變式5-2】已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于，，，四點，則下列各式結(jié)果為定值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖，
分別設(shè)四點橫坐標(biāo)為，
由得焦點，準(zhǔn)線，
由定義得，，又，
所以，同理：
由消去y整理得，
設(shè)，則，即.
故選：A
【變式5-3】（2024·高三·河北·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則 ．
【答案】/
【解析】設(shè)，，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，
因為，，根據(jù)拋物線的定義可得，，
過點作軸于點，過點作軸于點，
則，所以，
所以，即，解得．
故答案為：．
【變式5-4】（2024·河南·二模）拋物線的焦點為為上一點，為軸正半軸上一點，若是等邊三角形，則直線的斜率為 ， .
【答案】
【解析】拋物線的焦點為,，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，，
當(dāng)位于第一象限時，,．
是等邊三角形，，
設(shè),，
則，
，
化簡得，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
此時,而為軸正半軸上一點，無法使得為等邊三角形，故舍去，
當(dāng)位于第四象限時，,．
是等邊三角形，，
設(shè),，
則，
，
化簡得，解得，
當(dāng)時，，
此時,而為軸正半軸上一點，無法使得為等邊三角形，故舍去，
，
當(dāng)時，，，
綜上可得，直線的斜率為，或
故答案為：；．
【變式5-5】已知拋物線C：的焦點為F，點A、B是拋物線C上不同的兩點，且A、B中點的橫坐標(biāo)為2，則 .
【答案】6
【解析】設(shè)，由A，B中點的橫坐標(biāo)為2，可得，
所以．
故答案為：6.
【變式5-6】已知拋物線的焦點為，點為上可相互重合的點，且，則的取值范圍是 ，的最小值是 .
【答案】
【解析】第一空，如圖，設(shè)，，，，
故，，，
而，故，
可得，，即有，
由，所以，
所以，所以.
第二空，，故，
而，故，即，
又，
故，
即，，故得的最小值為.
故答案為：；.
題型六：拋物線的幾何性質(zhì)
【典例6-1】（多選題）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．開口向左 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸
【答案】AD
【解析】對選項A，，開口向左，故A正確；
對選項B，，焦點為，故B錯誤；
對選項C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯誤；
對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.
故選：AD
【典例6-2】（多選題）平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線.則（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線關(guān)于軸對稱
C．當(dāng)點在曲線上時，
D．當(dāng)點在曲線上時，點到直線的距離
【答案】AC
【解析】由拋物線定義，知曲線C是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
則焦準(zhǔn)距，故其方程為，故A正確；
拋物線關(guān)于y軸對稱，不關(guān)于x軸對稱，故B錯誤；
由知 ，故C正確；
當(dāng)點在曲線上時，由于拋物線開口向上，
當(dāng)點位于原點時，到直線l的距離最小為1，
故點P到直線l的距離 ，所以D錯誤，
故選：.
【方法技巧】
在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計算．
【變式6-1】（多選題）（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點坐標(biāo)是
B．拋物線關(guān)于軸對稱
C．拋物線的準(zhǔn)線方程為
D．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4
【答案】AC
【解析】因為拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，
所以拋物線的方程為，
則拋物線的焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程為，故A、C正確；
拋物線關(guān)于軸對稱，故B錯誤；
拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，故D錯誤.
故選：AC
【變式6-2】（多選題）已知為拋物線上的三個點，且，當(dāng)點與原點О重合時，，則下列說法中，正確的是（ ）
A．拋物線方程為
B．直線AB的傾斜角必為銳角
C．若線段AC的中點縱坐標(biāo)為，AC的斜率為
D．當(dāng)AB的斜率為2時，B點的縱坐標(biāo)為
【答案】ABD
【解析】對于A中，當(dāng)點與原點重合時，直線的斜率為，
設(shè)，則，可得，
將代入拋物線方程，可得，解得，
所以拋物線方程為，所以A正確；
對于C中，因為，
若的中點縱坐標(biāo)為，則，所以C錯誤；
對于B中，設(shè)直線的斜率為，則，，
則，，
因為，可得，所以B正確；
對于D中，由可得，，
即（*），
由，可得（*）式等價于，即，
化簡得，當(dāng)時，，所以D正確.
故選：ABD．
【變式6-3】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：，圓．若C與交于M，N兩點，圓與x軸的負半軸交于點P，則（ ）
A．若為直角三角形，則圓的面積為
B．
C．直線PM與拋物線C相切
D．直線PN與拋物線C有兩個交點
【答案】ABC
【解析】記拋物線C的焦點為，坐標(biāo)原點為O，
則圓的圓心為F，半徑．
對于選項A：由拋物線與圓的對稱性可知，點M，N關(guān)于x軸對稱，
若為直角三角形，則，
則直線MN過焦點F且與x軸垂直，則，圓的面積為，故A正確；
對于選項B：，故B正確；
對于選項C，D：設(shè)，由拋物線定義可知，，
又因為，則，所以直線PM的方程為，
與拋物線C：聯(lián)立可得，，則，
故，所以直線PM與拋物線C相切，
由拋物線與圓的對稱性可知直線PN也與拋物線C相切，故C正確，D錯誤．
故選：ABC．
【變式6-4】（多選題）（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知點A是拋物線上的動點，為坐標(biāo)原點，為焦點，，且三點順時針排列，則（ ）
A．當(dāng)點在軸上時，
B．當(dāng)點在軸上時，點A的坐標(biāo)為
C．當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，
D．若，則點A與點關(guān)于軸對稱
【答案】ABC
【解析】因為，所以為等邊三角形，
對于A，當(dāng)點在軸上時，又三點順時針排列，所以大致圖像如圖，
此時所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，
解得或，所以，故A正確；
對于B，當(dāng)點在軸上時，又三點順時針排列，
所以此時A點在軸下方，且所在直線方程為，
與聯(lián)立，消去得，解得或，
當(dāng)時，，即A點坐標(biāo)為，故B正確；
對于C，當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，又三點順時針排列，
所以此時A點在軸上方，且所在直線方程為，
與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故C正確；
對于D，當(dāng)時，得A點橫坐標(biāo)為，此時A點可能在軸上方，也可能在軸下方.
因為三點順時針排列，
所以當(dāng)A點在軸上方時，可得點A與點關(guān)于軸對稱；
當(dāng)A點在軸下方時，可得此時點在軸上，點A與點不關(guān)于軸對稱；故D錯誤；
故選：ABC.
【變式6-5】（多選題）（2024·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（ ）
A． B．四邊形的面積為100
C． D．的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，
所以，，故A正確；
如圖以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
所以拋物線的方程為，
連接，由拋物線的定義可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；
連接，因為，所以，
所以，
故，故C正確；
根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，
當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，，
當(dāng)與重合時，最小，最小值為，
當(dāng)與重合，點在拋物線上時，因為，直線，
與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，
則，，
所以；
當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，
與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，
則，，當(dāng)，
即時取等號，故此時；
當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；
綜上，，故D正確.
故選：ACD.
題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì)
【典例7-1】（多選題）已知拋物線的焦點為，圓與拋物線交于，兩點，點為劣弧上不同于，的一個動點，過點作平行于軸的直線交拋物線于點，則（ ）
A．點的縱坐標(biāo)的取值范圍是
B．等于點到拋物線的準(zhǔn)線的距離
C．圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2
D．周長的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】如下圖所示：
∵圓的圓心為，半徑，
因此圓與軸正半軸的交點為，
∵拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
由，得，故點的縱坐標(biāo)，故A錯誤；
由拋物線的定義可得等于點到拋物線的準(zhǔn)線的距離，故B正確；
易知圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，故C正確；
的周長為，故D正確.
故選：BCD
【典例7-2】（多選題）已知拋物線的焦點為，是經(jīng)過拋物線焦點的弦，是線段的中點，經(jīng)過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是，其中交拋物線于點，連接，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．Q是線段的一個三等分點 D．
【答案】ABD
【解析】如圖，由拋物線的定義，
對于A，得，，又，則，A正確；
對于B，由，，得，所以.
而，所以，所以，
可知，所以，B正確；
對于D，在中，，可知，所以，D正確；
對于C，由，可知，所以，即Q是的中點，C不正確.
故選：ABD.
【方法技巧】
拋物線焦點弦性質(zhì)總結(jié)：拋物線任意一條焦點弦兩端點與拋物線頂點連線斜率之積為-1；焦點弦被焦點平分且被其垂直平分；過焦點弦兩端點作準(zhǔn)線垂線，垂足間距離等于焦點弦長。
【變式7-1】（多選題）過拋物線的焦點的直線與相交于兩點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由題意可得，即，所以，故A正確，B錯誤；
設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，
消去可得，則，
所以，故C正確；
又，
則
，故D錯誤；
故選：AC.
【變式7-2】（多選題）已知點O為坐標(biāo)原點，直線與拋物線相交于A、B兩點，焦點為F，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．線段的中點到x軸的距離為2
【答案】AC
【解析】由拋物線，可得焦點，則直線過拋物線的焦點，
聯(lián)立方程組，整理得到，顯然，
設(shè)，可得，
對于A中，由拋物線的定義，可得，所以A正確；
對于B中，由 ，
所以與不垂直，所以B錯誤；
對于C中，由，可得，
由拋物線定義，可得，
則，所以C正確；
對于D中，線段的中點的到軸的距離為，所以D錯誤.
故選：AC.
【變式7-3】（多選題）（2024·黑龍江大慶·一模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，直線經(jīng)過且與交于兩點，其中點A在第一象限，線段的中點在軸上的射影為點.若，則（ ）
A．的斜率為
B．是銳角三角形
C．四邊形的面積是
D．
【答案】ABD
【解析】由題意可知：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，即，
設(shè)，
則，可得，
因為，即，
可知為等邊三角形，即，
且∥x軸，可知直線的傾斜角為，斜率為，故A正確；
則直線，
聯(lián)立方程，解得或，
即，，則，
可得，
在中，，且，
可知為最大角，且為銳角，所以是銳角三角形，故B正確；
四邊形的面積為，故C錯誤；
因為，所以，故D正確；
故選：ABD.
【變式7-4】（多選題）（2024·高三·安徽蚌埠·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，線段的中點為．過點，分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點，，過點向的準(zhǔn)線作垂線，交拋物線于點，交準(zhǔn)線于點，為坐標(biāo)原點，則（ ）
A．以為直徑的圓與直線相切 B．
C．當(dāng)時，點，，共線 D．
【答案】ABC
【解析】如圖：
設(shè)直線：，帶入，并整理得：.
設(shè)，，則，，.
所以，，，， .
則，
.
所以，，所以以為直徑的圓與直線相切，故A正確；
又，，所以，故B正確；
，，因為，所以直線與直線不平行，所以不成立，故D錯誤；
對D：如圖：
當(dāng)時，因為，所以為等邊三角形，又，所以或，
當(dāng)時，，則，，，
所以，，
因為,所以點，，共線；
當(dāng)時，同理可證點，，共線.
故C正確.
故選：ABC
【變式7-5】（多選題）（多選）設(shè)拋物線的焦點為，點在拋物線上，，若軸上存在點，使得，則的值可以為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AD
【解析】
由題意，，則以為直徑的圓過點，，
設(shè)點，由拋物線定義知，可得，
因為圓心是的中點，
所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為，
由已知可得圓的半徑也為，
據(jù)此可知該圓與軸相切于點，
故圓心縱坐標(biāo)為2，則點縱坐標(biāo)為4，即點，
代入拋物線方程得，解得或.
故選：AD.
【變式7-6】（多選題）已知拋物線上三點，，，F(xiàn)為拋物線的焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程為
B．若，則
C．若三點共線，則
D．若，則的中點到軸距離的最小值為2
【答案】ABD
【解析】對A，把點代入拋物線，得，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；
對B，因為，，，，
所以，，，
又由，得，
所以，故B正確；
對C，因為三點共線，所以線段是焦點弦，
設(shè)直線：，
聯(lián)立得，
所以，故C不正確；
對D，設(shè)的中點為，
因為，，
所以，得，
即的中點到軸距離的最小值為，故D正確.
故選：ABD
【變式7-7】（多選題）（多選）已知是拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線與相交于兩點，與相交于兩點，直線為拋物線的準(zhǔn)線，則（ ）
A．有可能為銳角 B．以為直徑的圓與相切
C．的最小值為32 D．和面積之和的最小值為32
【答案】ACD
【解析】，故焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
設(shè)，，
則．
聯(lián)立消去得，
有，
則，
故恒為鈍角，故A錯誤．
設(shè)線段的中點為，由題可得點的坐標(biāo)為，
，
故，，
則以為直徑的圓是以為圓心，為半徑，
圓心到的距離為，與半徑相等，故以為直徑的圓與相切，故B正確．
由B中分析得，
同理可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確．
由，得，
同理可得，
即
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)時，由拋物線的對稱性及直線的對稱性可得，即可同時取等，故D正確．故選:BCD．
【變式7-8】（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，則（ ）
A．的最小值為2 B．以線段為直徑的圓與軸相切
C． D．
【答案】AC
【解析】由題意可知，拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，直線的斜率不為零，
設(shè)直線為，，
由，得，
因為，
所以，
所以，
所以，
對于A，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為4，所以A錯誤，
對于B，因為線段的中點為，，則
到軸的距離為，而以線段為直徑的圓的半徑為，
所以圓心到軸的距離等于圓的半徑，所以以線段為直徑的圓與軸相切，所以B正確，
對于C，因為
，所以C正確，
對于D，因為
，所以D錯誤，
故選：BC
【變式7-9】（多選題）（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與交于兩點，過的中點作軸的平行線交于點.設(shè)的中點為，直線的斜率分別為，則（ ）
A．點在上
B．過點且與相切的直線與直線平行
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
由題意知直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，
則，則，
即，由軸，得，
則的中點為，滿足方程，故點在上，故A正確；
由，得，
所以在點處的切線的斜率為，
所以，故B正確；
由拋物線的定義，得，
，
所以，故C錯誤；
由，同理可得，
所以，故D正確.
故選：ABD.
題型八：拋物線的實際應(yīng)用
【典例8-1】省級保護文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn)永寧橋建筑風(fēng)格獨特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋當(dāng)石拱橋拱頂離水面時，水面寬，當(dāng)水面下降時，水面的寬度為 米
【答案】
【解析】建利坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為且，
則根據(jù)題意可知圖中坐標(biāo)為，
所以，可得，
所以拋物線方程為，
令，代入方程，解得，
可得到水面兩點坐標(biāo)分別為
所以水面的寬度為米．
故答案為：
【典例8-2】在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中安全拋物線達到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的最遠水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為 米．
【答案】60
【解析】如圖，以安全拋物線達到的最大高度點為坐標(biāo)原點，平行于底面的直線為x軸，
和地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則拋物線方程為，由題意可知，
代入可得，
即安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為60米，
故答案為：60
【方法技巧】
拋物線的實際應(yīng)用總結(jié)：拋物線在工程設(shè)計、物理運動軌跡分析、光學(xué)設(shè)計、建筑設(shè)計及橋梁工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。例如，衛(wèi)星天線、探照燈、拱橋及投籃路徑等均可視為拋物線應(yīng)用實例，體現(xiàn)了其重要的實用價值。
【變式8-1】位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線的一部分．該橋的高度為米，跨徑為米，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為 米．（結(jié)果用，表示）
【答案】
【解析】如圖所示，以橋頂為坐標(biāo)原點，橋形的對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，
結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過點，則，解得，故橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為．
故答案為：．
.
【變式8-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬 ，杯深 ，稱為拋物線酒杯. 在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的最大值為 .
【答案】/
【解析】由題可知，設(shè)拋物線方程為，
因為，所以，
解得，所以拋物線方程為，
在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，
設(shè)玻璃球截面所在圓的方程為，
依題意，需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，
即，則有恒成立，可得，
解得，所以玻璃球的半徑的取值范圍為.
故答案為：.
【變式8-3】上世紀90年代，南京江寧區(qū)和陜西洛南縣就建立了深厚的友誼，1993年江寧區(qū)出資幫助洛南修建了寧洛橋，增強了兩地之間的友誼.如今人行道兩側(cè)各加寬6米，建成了“彩虹橋”（圖1），非常美麗.橋上一拋物線形的拱橋（圖2）跨度，拱高，在建造時每隔相等長度用一個柱子支撐，則支柱的長度為 .（精確到0.01）

【答案】4.59
【解析】以為原點，方向分別為軸正向，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系：
由題意，，所以，，
又拋物線開口向下，所以設(shè)，將點的坐標(biāo)代入，
解得，所以拋物線方程為，
又由題意在建造時每隔相等長度用一個柱子支撐，由圖可知有14個空格，
因此每一個空格的長度為，所以，所以設(shè)點，
又因為點在拋物線上，所以將其坐標(biāo)代入拋物線方程得.
故答案為：4.59
【變式8-4】有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為 m.
【答案】3.8
【解析】由題意，如圖建系：
則，，，，
如圖可設(shè)，拋物線方程為，將代入，可得，求得，
故拋物線方程為，
將代入拋物線方程，可得，
.
故答案為：3.8.
1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
2．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，
不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，
因為且，則為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由題意得，，則，
即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
4．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，
則拋物線的準(zhǔn)線為，
令，則，解得，所以,
又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
5．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
1．設(shè)拋物線的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點M（不同于拋物線的頂點）反射，證明反射光線平行于拋物線的對稱軸．
【解析】不妨假設(shè)點M在第一象限， 設(shè)M(a,b)(b> 0),
拋物線在第一象限內(nèi)的解析式為(x>0),從而有
記拋物線在點M處的切線為直線l，過點M且垂直于切線l的直線記為m，則直線l的斜率是，直線m的斜率是，
所以直線m的方程為，
設(shè)點F關(guān)于直線m的對稱點為N(s,t),線段FN的中點為Q，則點Q在直線m上,
且直線FN⊥m，由題意可知,則，
從而有①
因為FN⊥m，所以直線FN的斜率②，由②可得③,
將③代入①可得，
化簡得④，
因為點M(a, b)在上，所以,將代入④可解得t = b，所以點M的縱坐標(biāo)等于點N的縱坐標(biāo)，所以FN//x軸,
即符合題意的反射光線平行于拋物線的對稱軸.
同理可證，當(dāng)點M在第四象限時，符合題意的反射光線平行于拋物線的對稱軸.
綜上可知，符合題意的反射光線平行于拋物線的對稱軸.
2．已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡方程．
【解析】設(shè)，
則，
整理，得，．
動點的軌跡方程是，．
故答案為：，．
3．正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線()上，求這個正三角形的邊長.
【解析】設(shè)正三角形的頂點、在拋物線上，且設(shè)點、，
則，，
又，∴，即，
∴，又∵，，，
∴，由此可得，即線段關(guān)于軸對稱，
∵軸垂直于，且，
∴，
∵，
∴，
∴.
4．從拋物線上各點向x軸作垂線段，求垂線段的中點的軌跡方程，并說明它是什么曲線.
【解析】設(shè)拋物線上的點M(x0，y0)，過M作MQ⊥x軸于Q，設(shè)線段MQ中點P(x，y)，
于是有，而，即，從而得，
當(dāng)M為拋物線頂點時，可視為過M作x軸垂線的垂足Q與點M重合，其中點P與M重合，坐標(biāo)也滿足上述方程，
所以垂線段的中點的軌跡方程是，它是頂點在原點，焦點為，開口向右的拋物線.
5．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，若水位下降1米后，則水面寬多少米？
【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為
由題意可得,將點A代入拋物線，得 ，
所以方程為：,
設(shè)點，則，解得，
所以水面寬為米．
6．如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點，求證：．
【解析】由得，設(shè)，
則有，，，即，
所以.
7．圖，M是拋物線上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角，求．
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，過M作MB垂直于直線，垂足為B，作FA⊥MB于A，直線與x軸交于點K，如圖：
則軸，即，四邊形ABKF是矩形，中，，
由拋物線定義知，，而，
則，解得，
所以=4.
易錯點：拋物線焦點位置考慮不周全
易錯分析： 在處理拋物線問題時，焦點位置的考慮至關(guān)重要。若焦點位置分析不周全，易導(dǎo)致解題方向偏差，如誤判拋物線的開口方向、頂點坐標(biāo)及準(zhǔn)線位置等。因此，需準(zhǔn)確判斷焦點位置，結(jié)合拋物線性質(zhì)全面分析，避免陷入易錯陷阱。
答題模板：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、模板解決思路
解決拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題，首先判斷其開口方向和頂點坐標(biāo)。根據(jù)開口方向設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)方程形式，然后利用已知條件如頂點、焦點或準(zhǔn)線求解參數(shù)p，最后代入得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2、模板解決步驟
第一步：確定開口方向與頂點，選對應(yīng)方程形式；
第二步：利用已知條件（焦點、頂點、準(zhǔn)線）求p；
第三步：代入求得的p值，寫出最終的標(biāo)準(zhǔn)方程。
【易錯題1】點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，
點到準(zhǔn)線的距離為，解得，
所以拋物線方程為；
當(dāng)時，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，
點到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），
所以拋物線方程為．
所以拋物線的方程為或．
故選：C
【易錯題2】頂點在原點，經(jīng)過點，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】設(shè)出拋物線方程為或，代入點的坐標(biāo)求出參數(shù)值可得．設(shè)拋物線方程為，則，，方程為，
或設(shè)方程為，則，，方程為．
所以拋物線方程為或．
故選：D．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第07講 拋物線及其性質(zhì)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：拋物線的定義 4
知識點2：拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 4
解題方法總結(jié) 5
題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 7
題型二：拋物線的軌跡方程 8
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題 9
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題 10
題型五：焦半徑問題 11
題型六：拋物線的幾何性質(zhì) 12
題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì) 14
題型八：拋物線的實際應(yīng)用 16
04真題練習(xí)·命題洞見 18
05課本典例·高考素材 19
06易錯分析·答題模板 21
易錯點：拋物線焦點位置考慮不周全 21
答題模板：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 21
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）拋物線的簡單幾何性質(zhì) 2024年北京卷第11題，5分 2024年天津卷第12題，5分 2024年II卷第10題，6分 2023年北京卷第6題，5分 2023年II卷第10題，5分 2023年乙卷（文）第13題，5分 2023年I卷第22題，12分 從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，其中標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)考查比較頻繁．拋物線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，新高考主要考查拋物線的定義、方程、焦點、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）． （3）了解拋物線的簡單應(yīng)用
知識點1：拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．
【診斷自測】（2024·全國·模擬預(yù)測）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知識點2：拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向
圖形
標(biāo)準(zhǔn) 方程
頂點
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
【診斷自測】焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
解題方法總結(jié)
1、點與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則
（1）弦長公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點為，準(zhǔn)線為
（2）焦點為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點弦方程
拋物線的切線方程為，為切點
切點弦方程為，點在拋物線外
與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點弦的?？夹再|(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1-1】（2024·四川南充·三模）已知為拋物線上一點，點到拋物線焦點的距離為，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【典例1-2】已知動點P(x，y)滿足，則動點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【方法技巧】
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：
（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：
（2）根據(jù)題目條件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程
【變式1-1】頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】設(shè)是直線l的法向量，A、B為兩個定點，，，P為一動點，若點P滿足：，則動點P的軌跡是（ ）．
A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
【變式1-3】已知拋物線：的焦點為F，準(zhǔn)線l上有兩點A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式1-4】以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式1-5】（2024·陜西西安·二模）設(shè)拋物線：的焦點為，點在上，，若以為直徑的圓過點，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
題型二：拋物線的軌跡方程
【典例2-1】設(shè)，點在軸上，點在軸上，且，，當(dāng)點在軸上運動時，點的軌跡方程為 ．
【典例2-2】（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，則線段中點的軌跡方程為 .
【方法技巧】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
【變式2-1】（2024·湖南衡陽·三模）已知點，動圓過點，且與相切，記動圓圓心點的軌跡為曲線，則曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為 ．
【變式2-3】（2024·陜西西安·一模）一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】到點的距離比到直線的距離小的動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-5】已知是拋物線的焦點，是該拋物線上一動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題
【典例3-1】已知拋物線為上一點，，當(dāng)最小時，點到坐標(biāo)原點的距離為 .
【典例3-2】已知拋物線，圓：．若，則圓心到拋物線上任意一點距離的最小值是 ．
【方法技巧】
拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解．
【變式3-1】已知是拋物線上一點，為其焦點，點在圓上，則的最小值是 .
【變式3-2】已知實數(shù)，且函數(shù)，則函數(shù)的最小值為 ．
【變式3-3】已知，，則的最小值是 .
【變式3-4】（2024·重慶九龍坡·三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為 .
【變式3-5】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點，則的最大值是 ．
【變式3-6】（2024·廣東梅州·一模）已知點P，Q分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為
【變式3-7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）傾斜角為銳角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為線段的中點，為上一點，若的最小值為8，則這條直線的斜率為 .
【變式3-8】（2024·陜西咸陽·二模）P為拋物線上任意一點，點，設(shè)點P到y(tǒng)軸的距離為d，則的最小值為 ．
【變式3-9】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，設(shè)拋物線上的動點到直線和的距離分別為，，則的最小值為 ．
【變式3-10】（2024·高三·河南周口·期末）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，線段的中點到軸的距離為2，以為直徑的圓的半徑為，點在上，且點到的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為 .
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題
【典例4-1】（2024·江西新余·二模）已知點在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則（O為坐標(biāo)原點）的面積是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【典例4-2】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，過點的兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點和，其中點在第一象限，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【方法技巧】
解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比．
【變式4-1】已知點 M在曲線 上，過M作圓 的切線，切點分別為A，B，則四邊形MACB的面積的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．9
【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為拋物線的焦點，的準(zhǔn)線與軸交于一點，過的直線與交于、兩點．若的面積是的面積的3倍，且，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式4-3】（2024·四川瀘州·三模）已知拋物線C：y =8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交C于P，Q兩點，于H，若，O為坐標(biāo)原點，則與的面積之比為（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【變式4-4】（2024·安徽淮南·二模）拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【變式4-5】（2024·廣東廣州·一模）設(shè)拋物線的焦點為F，過點的直線與E相交于A，B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C，點B在線段AC上，，則與的面積之比（ ）
A． B． C． D．
【變式4-6】（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
題型五：焦半徑問題
【典例5-1】已知是拋物線上一點，過的焦點的直線與交于兩點，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【典例5-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【方法技巧】
（1）．
（2）．
（3）．
【變式5-1】（2024·高三·廣東廣州·期中）直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【變式5-2】已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于，，，四點，則下列各式結(jié)果為定值的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2024·高三·河北·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則 ．
【變式5-4】（2024·河南·二模）拋物線的焦點為為上一點，為軸正半軸上一點，若是等邊三角形，則直線的斜率為 ， .
【變式5-5】已知拋物線C：的焦點為F，點A、B是拋物線C上不同的兩點，且A、B中點的橫坐標(biāo)為2，則 .
【變式5-6】已知拋物線的焦點為，點為上可相互重合的點，且，則的取值范圍是 ，的最小值是 .
題型六：拋物線的幾何性質(zhì)
【典例6-1】（多選題）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．開口向左 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸
【典例6-2】（多選題）平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線.則（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線關(guān)于軸對稱
C．當(dāng)點在曲線上時，
D．當(dāng)點在曲線上時，點到直線的距離
【方法技巧】
在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計算．
【變式6-1】（多選題）（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點坐標(biāo)是
B．拋物線關(guān)于軸對稱
C．拋物線的準(zhǔn)線方程為
D．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4
【變式6-2】（多選題）已知為拋物線上的三個點，且，當(dāng)點與原點О重合時，，則下列說法中，正確的是（ ）
A．拋物線方程為
B．直線AB的傾斜角必為銳角
C．若線段AC的中點縱坐標(biāo)為，AC的斜率為
D．當(dāng)AB的斜率為2時，B點的縱坐標(biāo)為
【變式6-3】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：，圓．若C與交于M，N兩點，圓與x軸的負半軸交于點P，則（ ）
A．若為直角三角形，則圓的面積為
B．
C．直線PM與拋物線C相切
D．直線PN與拋物線C有兩個交點
【變式6-4】（多選題）（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知點A是拋物線上的動點，為坐標(biāo)原點，為焦點，，且三點順時針排列，則（ ）
A．當(dāng)點在軸上時，
B．當(dāng)點在軸上時，點A的坐標(biāo)為
C．當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，
D．若，則點A與點關(guān)于軸對稱
【變式6-5】（多選題）（2024·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（ ）
A． B．四邊形的面積為100
C． D．的取值范圍為
題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì)
【典例7-1】（多選題）已知拋物線的焦點為，圓與拋物線交于，兩點，點為劣弧上不同于，的一個動點，過點作平行于軸的直線交拋物線于點，則（ ）
A．點的縱坐標(biāo)的取值范圍是
B．等于點到拋物線的準(zhǔn)線的距離
C．圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2
D．周長的取值范圍是
【典例7-2】（多選題）已知拋物線的焦點為，是經(jīng)過拋物線焦點的弦，是線段的中點，經(jīng)過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是，其中交拋物線于點，連接，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．Q是線段的一個三等分點 D．
【方法技巧】
拋物線焦點弦性質(zhì)總結(jié)：拋物線任意一條焦點弦兩端點與拋物線頂點連線斜率之積為-1；焦點弦被焦點平分且被其垂直平分；過焦點弦兩端點作準(zhǔn)線垂線，垂足間距離等于焦點弦長。
【變式7-1】（多選題）過拋物線的焦點的直線與相交于兩點，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（多選題）已知點O為坐標(biāo)原點，直線與拋物線相交于A、B兩點，焦點為F，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．線段的中點到x軸的距離為2
【變式7-3】（多選題）（2024·黑龍江大慶·一模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，直線經(jīng)過且與交于兩點，其中點A在第一象限，線段的中點在軸上的射影為點.若，則（ ）
A．的斜率為
B．是銳角三角形
C．四邊形的面積是
D．
【變式7-4】（多選題）（2024·高三·安徽蚌埠·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，線段的中點為．過點，分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點，，過點向的準(zhǔn)線作垂線，交拋物線于點，交準(zhǔn)線于點，為坐標(biāo)原點，則（ ）
A．以為直徑的圓與直線相切 B．
C．當(dāng)時，點，，共線 D．
【變式7-5】（多選題）（多選）設(shè)拋物線的焦點為，點在拋物線上，，若軸上存在點，使得，則的值可以為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式7-6】（多選題）已知拋物線上三點，，，F(xiàn)為拋物線的焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程為
B．若，則
C．若三點共線，則
D．若，則的中點到軸距離的最小值為2
【變式7-7】（多選題）（多選）已知是拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線與相交于兩點，與相交于兩點，直線為拋物線的準(zhǔn)線，則（ ）
A．有可能為銳角 B．以為直徑的圓與相切
C．的最小值為32 D．和面積之和的最小值為32
【變式7-8】（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，則（ ）
A．的最小值為2 B．以線段為直徑的圓與軸相切
C． D．
【變式7-9】（多選題）（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與交于兩點，過的中點作軸的平行線交于點.設(shè)的中點為，直線的斜率分別為，則（ ）
A．點在上
B．過點且與相切的直線與直線平行
C．
D．
題型八：拋物線的實際應(yīng)用
【典例8-1】省級保護文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn)永寧橋建筑風(fēng)格獨特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋當(dāng)石拱橋拱頂離水面時，水面寬，當(dāng)水面下降時，水面的寬度為 米
【典例8-2】在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中安全拋物線達到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的最遠水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為 米．
【方法技巧】
拋物線的實際應(yīng)用總結(jié)：拋物線在工程設(shè)計、物理運動軌跡分析、光學(xué)設(shè)計、建筑設(shè)計及橋梁工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。例如，衛(wèi)星天線、探照燈、拱橋及投籃路徑等均可視為拋物線應(yīng)用實例，體現(xiàn)了其重要的實用價值。
【變式8-1】位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線的一部分．該橋的高度為米，跨徑為米，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為 米．（結(jié)果用，表示）
【變式8-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬 ，杯深 ，稱為拋物線酒杯. 在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的最大值為 .
【變式8-3】上世紀90年代，南京江寧區(qū)和陜西洛南縣就建立了深厚的友誼，1993年江寧區(qū)出資幫助洛南修建了寧洛橋，增強了兩地之間的友誼.如今人行道兩側(cè)各加寬6米，建成了“彩虹橋”（圖1），非常美麗.橋上一拋物線形的拱橋（圖2）跨度，拱高，在建造時每隔相等長度用一個柱子支撐，則支柱的長度為 .（精確到0.01）

【變式8-4】有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為 m.
1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過，且l與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
1．設(shè)拋物線的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點M（不同于拋物線的頂點）反射，證明反射光線平行于拋物線的對稱軸．
2．已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡方程．
3．正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線()上，求這個正三角形的邊長.
4．從拋物線上各點向x軸作垂線段，求垂線段的中點的軌跡方程，并說明它是什么曲線.
5．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，若水位下降1米后，則水面寬多少米？
6．如圖，直線與拋物線相交于A，B兩點，求證：．
7．圖，M是拋物線上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角，求．
易錯點：拋物線焦點位置考慮不周全
易錯分析： 在處理拋物線問題時，焦點位置的考慮至關(guān)重要。若焦點位置分析不周全，易導(dǎo)致解題方向偏差，如誤判拋物線的開口方向、頂點坐標(biāo)及準(zhǔn)線位置等。因此，需準(zhǔn)確判斷焦點位置，結(jié)合拋物線性質(zhì)全面分析，避免陷入易錯陷阱。
答題模板：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、模板解決思路
解決拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題，首先判斷其開口方向和頂點坐標(biāo)。根據(jù)開口方向設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)方程形式，然后利用已知條件如頂點、焦點或準(zhǔn)線求解參數(shù)p，最后代入得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2、模板解決步驟
第一步：確定開口方向與頂點，選對應(yīng)方程形式；
第二步：利用已知條件（焦點、頂點、準(zhǔn)線）求p；
第三步：代入求得的p值，寫出最終的標(biāo)準(zhǔn)方程。
【易錯題1】點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【易錯題2】頂點在原點，經(jīng)過點，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑