資源簡介

第06講 雙曲線及其性質(zhì)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：雙曲線的定義 4
知識點2：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì) 5
解題方法總結(jié) 7
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 8
題型二：雙曲線方程的充要條件 13
題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題 15
題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題 20
題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題 23
題型六：離心率的值及取值范圍 27
方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換 27
方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式 29
方向3：利用，其中2c為焦距長， 31
方向4：坐標(biāo)法 33
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理 34
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理 37
方向7：利用基本不等式 39
方向8：利用漸近線的斜率求離心率 41
方向9：利用雙曲線第三定義 43
方向10：利用對應(yīng)焦點焦半徑的取值范圍 45
題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題 47
題型八：利用第一定義求解軌跡 52
題型九：雙曲線的漸近線 60
題型十：共焦點的橢圓與雙曲線 66
題型十一：雙曲線的實際應(yīng)用 73
04真題練習(xí)·命題洞見 77
05課本典例·高考素材 81
06易錯分析·答題模板 84
易錯點：雙曲線焦點位置考慮不周全 84
答題模板：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 86
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）雙曲線的幾何性質(zhì) 2024年天津卷第8題，5分 2024年甲卷（理）第5題，5分2023年甲卷（文）第8題，5分 2023年天津卷第9題，5分 2023年北京卷第12題，5分 2023年I卷第16題，5分 雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在高考中雙曲線的試題以選填題為主，解答題考查雙曲線的可能性不大．在雙曲線的試題中，離不開漸近線的考查，幾乎所有雙曲線試題均涉及漸近線，因此雙曲線的試題中，最為重要的是三點：方程、漸近線、離心率．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）． （3）了解雙曲線的簡單應(yīng)用．
知識點1：雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）．用集合表示為．
注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．
（2）當(dāng)時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線．
（3）時，點的軌跡不存在．
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點：
①條件“”是否成立；②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．
【診斷自測】雙曲線的左右焦點分別是與是雙曲線左支上的一點，且，則（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
【答案】A
【解析】是雙曲線左支上的一點，
所以，解得：，
由雙曲線定義可知，，所以13.
故選：B.
知識點2：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
焦點坐標(biāo) ， ，
對稱性 關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱
頂點坐標(biāo) ， ，
范圍
實軸、虛軸 實軸長為，虛軸長為
離心率
漸近線方程 令， 焦點到漸近線的距離為 令， 焦點到漸近線的距離為
點和雙曲線 的位置關(guān)系
共焦點的雙曲線方程
共漸近線的雙曲線方程
切線方程 為切點 為切點
切線方程 對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．
切點弦所在直線方程 為雙曲線外一點 為雙曲線外一點
點為雙曲線與兩漸近線之間的點
弦長公式 設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，． 則弦長， ，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．
通徑 通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為
焦點三角形 雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的成為焦點三角形， 設(shè)，，，則， ， 焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是
等軸雙曲線 等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．
【診斷自測】（2024·山東濟(jì)南·三模）已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，
又因為過點，所以，解得，
所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：A．
解題方法總結(jié)
（1）雙曲線的通徑
過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．
（2）點與雙曲線的位置關(guān)系
對于雙曲線，點在雙曲線內(nèi)部，等價于．
點在雙曲線外部，等價于 結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析．
（3）雙曲線常考性質(zhì)
性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；
性質(zhì)2：雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（4）雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）
（5）雙曲線的切線
點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．若點在雙曲線外，則點對應(yīng)切點弦方程為
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1-1】已知，是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】充分性：當(dāng)“為定值”，但“”時，“動點的軌跡不是雙曲線”，不滿足充分性；
必要性：以，為焦點的雙曲線上的動點滿足“為定值”，滿足必要性；
因此“為定值”是“動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線”的必要不充分條件．
故選：B.
【典例1-2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線經(jīng)過點， 離心率為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，雙曲線的焦點在軸上，
設(shè)雙曲線的方程為，
因為雙曲線C經(jīng)過點，所以，
因為，所以，
所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C
【方法技巧】
求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：
（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，，，即利用待定系數(shù)法求方程．
（2）根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程．
【變式1-1】已知雙曲線中心在原點，一頂點坐標(biāo)為，且漸近線方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】雙曲線頂點在軸上，可設(shè)其方程為，
頂點坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，
，解得：，雙曲線方程為：.
故選：A.
【變式1-2】化簡方程的結(jié)果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，則由已知得，
即動點P到兩個定點A B的距離之差的絕對值等于常數(shù)，又，且，
所以根據(jù)雙曲線的定義知，動點P的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線.
設(shè)雙曲線方程為：，則，所以，
所以，所以雙曲線方程為，
即化簡方程的結(jié)果是.
故選：D.
【變式1-3】雙曲線C：的兩個焦點為、，點在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】由題，設(shè)，，因為，
所以，
因為，
所以，解得，
因為，解得，
所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
【變式1-4】（2024·西藏拉薩·二模）已知雙曲線與有相同的漸近線，且直線過雙曲線的焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過雙曲線的焦點，所以雙曲線的右焦點為，
所以.因為的漸近線方程為，所以.
結(jié)合，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
【變式1-5】若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，
可設(shè)雙曲線C的方程為，又C過點，
所以，，
整理得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故答案為：
【變式1-6】已知雙曲線，四點、、、中恰有三點在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】因為點、關(guān)于原點對稱，且雙曲線也關(guān)于原點對稱，故點、都在雙曲線上，
對于點，，，所以，，即點不在雙曲線上，
所以，點、、都在雙曲線上，所以，，解得，
因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
【變式1-7】（2024·江西南昌·一模）已知中心在原點的雙曲線的離心率為2，右頂點為，過的左焦點作軸的垂線，且與交于，兩點，若的面積為9，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
令，則，得，所以，
易知，所以…①，
又…②，…③，聯(lián)立①②③求解得：，
所以雙曲線方程為：.
故答案為：
【變式1-8】（1）若雙曲線過點，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（2）若雙曲線過點，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】（1）由，設(shè)，則，．
設(shè)所求雙曲線的方程為①或②，
把代入①，得，與矛盾，舍去；
把代入②，得．
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由漸近線方程，可設(shè)所求雙曲線的方程為①，
將點的坐標(biāo)代入①式，得，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（3）設(shè)所求雙曲線的方程為，
點在雙曲線上，
∴，即，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：；；.
題型二：雙曲線方程的充要條件
【典例2-1】雙曲線方程為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】由方程表示雙曲線，可得，
當(dāng)時，可得，解得或；
當(dāng)時，可得，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
【典例2-2】（2024·河北石家莊·二模）已知曲線，則“”是“曲線的焦點在軸上”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故充分性成立；
當(dāng)時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，
故由曲線的焦點在軸上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲線的焦點在軸上”的充分不必要條件.
故選：A
【方法技巧】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：．
【變式2-1】方程表示雙曲線的必要不充分條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如果方程表示雙曲線，則，解得：，
則方程表示雙曲線的必要不充分條件所對應(yīng)的集合必須真包含．
只有選項C滿足題意．
故選：．
【變式2-2】（2024·廣東佛山·二模）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個命題：
甲：可以是圓的方程； 乙：可以是拋物線的方程；
丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 丁：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
其中，真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】因為方程，其中，
所以當(dāng)時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；
當(dāng)時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；
當(dāng)時，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
所以真命題有3個.
故選：C.
【變式2-3】 “”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為方程表示雙曲線，故，
故，
而為的真子集，
故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A.
題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
【典例3-1】（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）設(shè)為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為 .
【答案】2
【解析】
解法一：如圖，由可知，
設(shè)，由定義
，
的面積為.
解法二：如圖，的面積為.
故答案為：2.
【典例3-2】已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與左支交于兩點，若，且雙曲線的實軸長為，則的周長為 .
【答案】
【解析】由雙曲線的定義知，，
兩式相加得，又，，
則，
故的周長為.
故答案為：
【方法技巧】
對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即，在焦點三角形面積問題中若已知角，則用，及余弦定理等知識；若未知角，則用．
【變式3-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，實軸長為，為雙曲線右支上一點，且滿足，則的周長為 ．
【答案】/
【解析】因為雙曲線的實軸長，解得，
所以雙曲線方程為，則，
根據(jù)雙曲線的定義可知，，
所以，
解得，，
所以的周長為,
故答案為: .
【變式3-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交該雙曲線于點、，且，，則的面積為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則根據(jù)題意可知，，
所以，，又易知，
在中，由勾股定理可得：，
解得，又，
所以，
所以的面積為．
故答案為：
【變式3-3】已知是雙曲線的左右焦點，過的直線交雙曲線右支于兩點，分別是和的內(nèi)切圓半徑，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由，得，則，
設(shè)圓與分別切于點，連接，
由圓的切線的性質(zhì)可得，
由雙曲線的定義可知，即，
設(shè)，則，得，所以，
因為軸，所以的橫坐標(biāo)也為，同理可證得的橫坐標(biāo)也為，
所以軸，且三點共線，
由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可知分別為的角平分線，
所以，
所以∽，所以，
因為，所以，得，
因為雙曲線的漸近線為，所以其傾斜角分別為和，
因為直線交雙曲線右支于兩點，所以直線的傾斜角的范圍為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，
所以，
所以，
因為，所以，
令，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上遞減，在上遞增，
因為，，，
所以，
所以，
即的取值范圍是為.
故答案為：
【變式3-4】（2024·廣東珠海·一模）已知點P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為45，則 ．
【答案】25
【解析】設(shè)P在雙曲線右支上，則，
由余弦定理得
，
所以，
又
所以，解得，結(jié)合，
則，
，
又，
故，
故.
故答案為：25
【變式3-5】（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的方程為，其左右焦點分別為，，已知點P坐標(biāo)為，雙曲線C上的點（，）滿足，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則 ， .
【答案】 2 18
【解析】
設(shè)的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為D，E，G，如圖，
則，
在雙曲線右支上，由雙曲線定義得，展開即得，
，
又，故，因，則得，
即內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，
由，得，
可得，即為的角平分線，
由于點坐標(biāo)為，內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，
則即為內(nèi)切圓的圓心，為切點，則內(nèi)切圓半徑為；
.
故答案為：2；18.
題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題
【典例4-1】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知是雙曲線上任意一點，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點到焦點距離的最小值為 ．
【答案】
【解析】所求的雙曲線方程為，則漸近線方程為，
設(shè)點，則，
點到的兩條浙近線的距離之積為，
解得：，故雙曲線方程為：，
故，故雙曲線上的點到焦點距離的最小值為．
故答案為：．
【典例4-2】雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由焦半徑公式得，，則當(dāng)時，.
故選：C.
【方法技巧】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
【變式4-1】已知雙曲線：的左焦點為，且是雙曲線上的一點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，且，，
又，
又或，
所以
即的最小值為，當(dāng)點為雙曲線左定點時去最小值.
故答案為：.
【變式4-2】（2024·高三·浙江臺州·期中）已知雙曲線，為左焦點，若，則雙曲線離心率為 ；若對于雙曲線上任意一點，線段長度的最小值為，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【解析】由，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，求出半焦距，即可得出離心率；根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，由線段長度的最小值為，得出，即可求出結(jié)果.因為雙曲線，
若，則，所以，因此雙曲線的離心率為；
因為為左焦點，所以，其中，
若對于雙曲線上任意一點，為使線段的長度最小，則點必在該雙曲線的左支上，設(shè)，則，，
所以
，因此，解得.
故答案為：；.
【變式4-3】已知 為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若內(nèi)切圓的圓心為，則圓心到圓上任意一點的距離的最小值為 .
【答案】1
【解析】設(shè)內(nèi)切圓與的三邊 的切點分別為 ，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，可得，即可得答案.由雙曲線，則 .
設(shè)內(nèi)切圓與的三邊 的切點分別為 ，
根據(jù)圓的切線性質(zhì)，可得，
又因為，∴，即，
∴內(nèi)切圓圓心在直線上.又因為圓的圓心為，半徑，
∴圓心到圓上任意一點的距離的最小值為.
故答案為：1
題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題
【典例5-1】若點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】雙曲線，則，，所以，設(shè)右焦點為，
圓，圓心為，半徑，
圓，圓心為，半徑，
且恰為雙曲線的左焦點，，
又點是雙曲線右支上的一點，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線（在之間）時取等號.
故答案為：
【典例5-2】 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和上的點，則的最大值為　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】易得雙曲線的焦點分別為(-5，0)，(5，0)，且這兩點剛好為兩圓的圓心，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)P與M、三點共線以及P與N、三點共線時所求的值最大，此時=
【方法技巧】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
【變式5-1】過雙曲線的右支上一點P，分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為 ；此時P點坐標(biāo)為 ．
【答案】 13
【解析】
圓的圓心為，半徑為；
圓的圓心為，半徑為．
設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，連接，，，，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為13，
此時P點坐標(biāo)為．
故答案為：
【變式5-2】 是雙曲線的左焦點，是右支上一點，過作與直線夾角為的直線，并與相交于點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】過作的垂線，垂足為，如圖，
因為與的夾角為，所以，
設(shè)的右焦點為，則，
到的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立．
故答案為：.
【變式5-3】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點A在雙曲線C的右支上，若，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】依題意，，即.
所以,解得，
所以，，
因為點A在雙曲線C的右支上，
所以，即，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時等號成立.
故答案為：.
【變式5-4】已知點，點P是雙曲線左支上的動點，為其右焦點，N是圓的動點，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】因為雙曲線的焦點為,
圓的圓心,恰好為雙曲線的左焦點,
，
(當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號)，
(當(dāng)且僅當(dāng),,三點共線時取等號),
，
的最小值為.
故答案為：.
【變式5-5】 P為雙曲線右支上一點，M，N分別是圓和上的點，則的最大值為 .
【答案】5
【解析】雙曲線的兩個焦點，分別為兩圓的圓心，
兩圓的半徑分別為，，易知，，
故的最大值為.
故答案為：5
【變式5-6】已知雙曲線的方程為，點，是其左右焦點，是圓上的一點，點在雙曲線的右支上，則的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由題意可得，，即，則，的坐標(biāo)分別為，，
由雙曲線的定義，得，
又是圓上的點，設(shè)圓的圓心為，半徑為，
由圖可知，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點共線（、在之間）時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
【變式5-7】 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和上的點，則|PM|－|PN|的最大值為 .
【答案】/
【解析】設(shè)雙曲線的左右焦點為，則，圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為，由圓的對稱性可得，，所以，即|PM|－|PN|的最大值為.
故答案為：
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換
【典例6-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由雙曲線的定義可知得
因為，，
設(shè)，則，
，
，
為直角三角形
，
，即，
，
故選：D
【典例6-2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點P，Q，若，則C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依題意，由，
得，即的平分線與直線PQ垂直，
設(shè)的平分線與直線PQ交于點D，如圖，
則，，又，
所以，所以，．
由題得，，設(shè)，，，
在中，，，則，，
由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，
則，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故選：A
【變式6-1】（2024·高三·河北邢臺·開學(xué)考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點且與實軸垂直的直線交雙曲線于兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】設(shè)，因為為等邊三角形，則，，
又，
所以雙曲線的離心率.
故選：A
方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式
【典例7-1】已知雙曲線的右焦點為，若a，b，c成等比數(shù)列，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，則有，
即，解得，
又，故.
故選：C.
【典例7-2】若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點，
所以圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．
故選：B．
【變式7-1】已知雙曲線C：的上、下焦點分別為，，P是C上支上的一點（不在y軸上），與x軸交于點A，的內(nèi)切圓在邊上的切點為B，若，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)該內(nèi)切圓在上的切點分別為D，E，則有，，，
又，，則，即，解得，
由，即，得，所以．
故選：A
方向3：利用，其中2c為焦距長，
【典例8-1】已知分別是雙曲線的左 右焦點，斜率為的直線過，交的右支于點，交軸于點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，由題可知，
又因為，所以，
因為直線的斜率為，所以，
設(shè)為的中點，連接，易知，
所以，則，解得，
所以雙曲線的離心率為．
故選：A.
【典例8-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段恰被軸平分，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點，
因為O為的中點，故為的中位線，
則，而，則,
因為直線的斜率為，故中，，
故設(shè)，則，
結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，
則，
故選：C
【變式8-1】已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
由題意可得：，
因為，整理得.
故選：D.
方向4：坐標(biāo)法
【典例9-1】已知雙曲線的左焦點為為雙曲線的虛軸的一個端點，直線與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為為坐標(biāo)原點，由，得是的中點，
在中，為中位線，則，即軸，不妨設(shè)點在第一象限，
由，解得，，，
所以.
故答案為：
【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）設(shè)分別為雙曲線的左右焦點，過點的直線交雙曲線右支于點，交軸于點，且為線段的中點，并滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由題意，，設(shè)，則，
因為為線段的中點，所以，即，則，
因為，所以，即，
又在雙曲線上，所以，
結(jié)合整理得，所以，
解得或（舍去），由，解得.
故選：A
【變式9-1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為F，過坐標(biāo)原點O作C的一條漸近線的垂線l，直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，則C的離心率為（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由題意可知：，則，
不妨取一條漸近線為，則，
聯(lián)立方程，解得，
由對稱性可知：點為線段的中點，
則，
即，解得，則，
所以C的離心率為.
故選：B.
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
【典例10-1】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為原點，若以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，且 ，則的離心率為 .
【答案】2
【解析】由以為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，可得，又，
在中，由余弦定理，得，所以，
根據(jù)直線OP為漸近線可得，所以，離心率.
故答案為：2.
【典例10-2】已知雙曲線的左、右焦點分別是，過點的直線與交于兩點，且，現(xiàn)將平面沿所在直線折起，點到達(dá)點處，使面面，若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】
由題意，，所以，，
因為，所以，
又平面平面，平面平面，且面，
所以平面，又平面，所以，
所以，
，
因為，
所以由余弦定理有，
即，
所以，即，
所以或，又離心率，
所以，
故答案為：.
【變式10-1】（2024·高三·湖南·開學(xué)考試）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)為雙曲線的右焦點，由余弦定理可得，所以，
由雙曲線的定義可得，即，故雙曲線的離心率.
故選：D.
【變式10-2】已知是雙曲線的焦點，點是雙曲線上的動點，若，，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】設(shè)，又，，
中，由余弦定理有，
即，解得，
則，，
由雙曲線定義，
解得．∴雙曲線的離心率．
故答案為：．
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
【典例11-1】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
【解析】∵，則離心率，則排除A；
記，，，
則，
由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，
則，
所以B，C是正確的，D不正確.
故選：BC.
【典例11-2】已知雙曲線的左 右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：D.
【變式11-1】已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點，O為原點，雙曲線上的點P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因為，分別為雙曲線的左右焦點，
由正弦定理得到，
又因為得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化簡得.
故選：D.
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點A，點B與點A關(guān)于原點對稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離率為______．
【答案】
【解析】如圖，
根據(jù)題意，，，
∴，，
設(shè)直線的傾斜角為，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即，，，又
∴，
故答案為：．
【典例12-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點為、，若該雙曲線上存在點，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】設(shè)點，其中，易知點、，且有，則，
，
當(dāng)點在第一象限時，，，則，，且，
由基本不等式可得，
因為存在點，使得直線、的斜率之和為，則，即，
.
故答案為：.
【變式12-1】如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為______．
【答案】
【解析】設(shè)點，其中，
易知點，，且有，則，
，
當(dāng)點P在第一象限時，，，
則，，且，
由基本不等式可得，
∵存在點P，使得直線PA，PB的斜率之和為4，
則，即，
∴.
故答案為：．
方向8：利用漸近線的斜率求離心率
【典例13-1】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l 的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E 的漸近線交于M、N 兩點，若 則 E 的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．[ ，2]
【答案】A
【解析】由題意得，漸近線,
將代入得坐標(biāo)為,所以,
因為軸，所以,
由已知可得,
兩邊同時除以得,
所以，即，
解得,所以，
而雙曲線的離心率，
故選：A.
【典例13-2】若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意：的斜率要小于雙曲線漸近線的斜率，
所以.
故選:：D
【變式13-1】（2024·四川·一模）若雙曲線：的一條漸近線的斜率為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，由題知，
所以離心率，
故選：B.
【變式13-2】（2024·新疆·二模）過雙曲線的右焦點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點，過點向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，知雙曲線的漸近線方程為．
設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點到漸近線的距離．
設(shè)點，則，即．
又，
所以，
解得．
故選：A．
方向9：利用雙曲線第三定義
【典例14-1】（多選題）已知雙曲線：的左焦點為，過點作的一條漸近線的平行線交于點，交另一條漸近線于點.若，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．點到兩漸近線的距離的乘積為
D．為坐標(biāo)原點，則
【答案】ABD
【解析】雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)過左焦點F的直線與直線平行，交C于點A.
對于A：設(shè)雙曲線半焦距為c，過點與直線平行的直線的方程為，與聯(lián)立，解得，
設(shè)，由，可得，
所以，
所以，即，
所以雙曲線的離心率為，故選項A正確；
對于B：由，可得，所以，
所以漸近線方程為，故選項B正確；
對于C：A到兩漸近線距離的乘積，故選項C錯誤；
對于D：，
所以，
所以，故選項D正確．
故選：ABD.
【典例14-2】雙曲線的左右頂點為，過原點的直線與雙曲線交于兩點，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．
【答案】
【解析】由題意知：，，
若為坐標(biāo)原點，則，，四邊形為平行四邊形，
，即，；
設(shè)，則，
，
雙曲線的離心率.
故答案為：.
【變式14-1】設(shè)直線與雙曲線相交于兩點，為上不同于的一點，直線的斜率分別為，若的離心率為，則（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】由題意可知點關(guān)于原點對稱，設(shè)，則有，，
都在雙曲線上，有，，兩式相減得，
則，得，即，
又由，則.
故選：.
方向10：利用對應(yīng)焦點焦半徑的取值范圍
【典例15-1】（2024·高三·湖南衡陽·開學(xué)考試）已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A，B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】連接、、，則，，
由切線長定理可知，，又因為，
所以，，所以，，
則，
設(shè)點，則，且，所以，
，
所以，，故.
故選：B.
【典例15-2】（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，又，
所以，所以離心率，又雙曲線的離心率大于1，所以．
故選：D．
【變式15-1】已知雙曲線，的左，右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得，
因為，所以，，
因為點在雙曲線的右支上，所以，即，
所以，所以離心率，
所以雙曲線的離心率的最大值為，
故選：B.
【變式15-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，若，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，不妨設(shè)點在的右支上，由雙曲線的定義可得，
即，
由，可得，即，
又由的最小值為（當(dāng)點P為雙曲線右頂點時取得最小值），可得，即．
當(dāng)，即時，顯然成立；
當(dāng)，即時，，可得．
綜上可知，雙曲線的離心率的取值范圍為．
故選：D.
【方法技巧】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍．具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法．
題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題
【典例16-1】（多選題）雙曲線C：的左右頂點分別為A、B，P、Q兩點在C上，且關(guān)于x軸對稱（ ）
A．以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為
B．雙曲線C的離心率為
C．直線與的斜率之積為
D．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2
【答案】ACD
【解析】對于A，C的焦點和頂點分別為，
從而以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為，故A錯誤；
對于B，雙曲線C的離心率為，故B正確；
對于C，顯然異于，不妨設(shè)，
注意到都在雙曲線上面，且，
所以直線與的斜率之積為，故C正確；
對于D，雙曲線C：的一個焦點、一條漸近線可以分別是，，
而點到直線的距離是，故D正確.
故選：BCD.
【典例16-2】（多選題）（2024·高三·山西呂梁·開學(xué)考試）已知雙曲線，則的（ ）
A．焦點在軸上 B．焦距為3
C．離心率為 D．漸近線為
【答案】AC
【解析】因為雙曲線，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故焦點在軸上，，
故焦距為，離心率為，漸近線為，
故A，C正確，B，D錯誤.
故選：AC
【方法技巧】
處理雙曲線的問題的時候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因為雙曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．
【變式16-1】（多選題）（2024·湖北·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點為，若為其圖象上任意一點，則（ ）
A．是它的一條對稱軸 B．它的離心率為
C．點是它的一個焦點 D．
【答案】ABD
【解析】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，
容易知道是實軸，是虛軸，坐標(biāo)原點是對稱中心，
聯(lián)立實軸方程與反比例函數(shù)表達(dá)式得實軸頂點，
所以，其中一個焦點坐標(biāo)應(yīng)為而不是，
由雙曲線定義可知．
故選：ABD.
【變式16-2】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的周長為16
C．的面積為 D．
【答案】AB
【解析】由已知，雙曲線右焦點，即，故A項正確．且拋物線方程為．
對于B項，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，
整理可得．，解得或（舍去負(fù)值），
所以，代入可得，．
設(shè)，又，所以，，，則的周長為16，故B項正確；
對于C項，易知，故C項錯誤；
對于D項，由余弦定理可得，，故D項錯誤．
故選：AB
【變式16-3】（多選題）下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（ ）
A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線
C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點
【答案】ABD
【解析】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；
雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，
故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；
焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，
根據(jù)點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；
橢圓的焦點為，根據(jù)C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.
故選：ABD
【變式16-4】（多選題）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點P滿足PA=2，則PF的長度可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】設(shè)，則，，，
則，得或，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時．
故選：AB．
【變式16-5】（多選題）（2024·河北滄州·三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點，且，，關(guān)于的平分線的對稱點恰好在上，則（ ）
A．的實軸長為2
B．的離心率為
C．的面積為
D．的平分線所在直線的方程為
【答案】ACD
【解析】由題意，
在中，
∵關(guān)于的平分線的對稱點恰好在上，
∴，，三點共線，且，
∵，∴.
設(shè)，，
根據(jù)雙曲線定義可得，，
解得，，即，∴.
在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得，
∴的實軸長為2，所以A正確；
又，，∴的離心率為，所以B不正確；
的面積為，∴C正確；
∵，∴，
∵，易得的平分線的傾斜角為，
∴的平分線所在直線的方程為，即，所以D正確.
故選：ACD.
題型八：利用第一定義求解軌跡
【典例17-1】（2024·高三·云南·階段練習(xí)）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，，直線與相交于點，且它們的斜率之積為，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)點，則的斜率為，的斜率為，
故，
所以，故D正確.
故選：D
【典例17-2】已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運(yùn)動軌跡為曲線C，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圓M：，得圓心，半徑，
由圓N：，得圓心，半徑．
設(shè)圓P的半徑為r，則有，．
兩式相減得，
所以圓心P的運(yùn)動軌跡為以、為焦點的雙曲線的左支，
又，所以C的方程為．
故選：B．
【方法技巧】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
【變式17-1】過橢圓右焦點F的圓與圓O：外切，則該圓直徑FQ的端點Q的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由橢圓，得橢圓半焦距，即有，則橢圓的左焦點為，
設(shè)以FQ為直徑的圓的圓心為C，如圖，
由圓O與圓C外切，得，又，，
則，
因此Q的軌跡是以、F為焦點，實軸長的雙曲線的右支，即，，
所以雙曲線方程：．
故選：C
【變式17-2】已知動圓與圓及圓都外切，那么動圓圓心軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圓：，圓心，半徑 ，
圓：，圓心，半徑 ，
設(shè)動圓圓心，半徑為，由動圓與圓，都外切，
得，則，
因此圓心的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線左支，
即，半焦距，虛半軸長，
所以動圓圓心的軌跡方程是.
故選：B
【變式17-3】設(shè)是橢圓與x軸的兩個交點，是橢圓上垂直于的弦的端點，則直線與交點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，設(shè)直線與的交點為，則
∵共線，故①，又∵共線，故②.
由①，② 兩式相乘得（*）,
因在橢圓上，則，可得：將其代入（*）式，即得：，
化簡得：，即P的軌跡方程為.
故選：C.
【變式17-4】已知圓，動圓與圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題可得圓圓心，半徑為；圓圓心，半徑為
由圖設(shè)動圓P與圓，圓外切切點分別為A，B.則共線，共線.
則，注意到，
則，又，則點P軌跡為以為焦點雙曲線的右支.
設(shè)雙曲線方程為：，由題可得.
故相應(yīng)軌跡方程為：.
故選：A
【變式17-5】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當(dāng)點運(yùn)動時，點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為雙曲線與直線有唯一的公共點，
所以直線與雙曲線相切，
聯(lián)立，消去并整理得，
所以，即，
將代入，得，
得，因為，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以過點且與垂直的直線為，
令，得，令，得，
則，，
由，得，，
代入，得，即，
故選：D
【變式17-6】（2024·廣東·一模）如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點，點在直線上，點在直線上，，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】
以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
因為，所以 ，
所以 ，又因為 ，
所以 ，所以.
因為 ，所以直線的方程為 ①，
因為 ，所以直線的方程為 ②.
由①可得 ，代入②化簡可得 ，
結(jié)合圖象易知點可到達(dá) ，但不可到達(dá) ，
所以點的軌跡方程為 ，
故答案為：
【變式17-7】已知圓，圓，若動圓M與圓均外切，則動圓圓心的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
設(shè)動圓的半徑為，由動圓與圓，都外切，得，
則，因此點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，
設(shè)方程為，則，
所以M的軌跡方程為.
故答案為：.
【變式17-8】已知點為圓上的動點，點，延長至，使得，線段的垂直平分線交直線于點，記的軌跡為.則的方程為 .
【答案】
【解析】連接，如下圖所示：
因為為的中點，所以，
由垂直平分線的性質(zhì)可知：，
所以，
所以的軌跡是以為焦點且實軸長為的雙曲線，
所以，所以，
所以軌跡方程為，
故答案為：.
【變式17-9】已知橢圓的方程為，其左 右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意知，
設(shè)直線為，，
由三點共線及三點共線，
得，
兩式相乘化簡，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：
【變式17-10】已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點，且，直線l與直線m交于P點，則點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線l的方程為，直線m的方程為，
所以，
不妨設(shè)點，，，，
所以，，
因為，
所以，
所以，
即．
故答案為：
題型九：雙曲線的漸近線
【典例18-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標(biāo)原點作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】雙曲線的右焦點為，連接，
由關(guān)于原點對稱，也關(guān)于原點對稱，可知四邊形是平行四邊形，
又，，則有，，
又由雙曲線的定義得，解得，
再由余弦定理：，
即，得，
再由，
故漸近線方程為：，
故答案為：.
【典例18-2】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為 ．
【答案】/0.5
【解析】拋物線，即的焦點為，雙曲線的漸近線方程為，
所以點到直線的距離．
故答案為：
【方法技巧】
掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求；由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由漸近線方程可得出，的關(guān)系式，為求雙曲線方程提供了一個條件．另外，焦點到漸近線的距離為虛半軸長．
【變式18-1】（2024·山東煙臺·三模）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，其右焦點為F，若直線與在第一象限的交點為P且軸，則實數(shù)k的值為 .
【答案】
【解析】因為雙曲線：（，）的漸近線方程為，依題意有，
即，又右焦點為，且軸，所以，
所以，
故答案為：.
【變式18-2】（2024·上海奉賢·三模）若曲線得右頂點，若對線段上任意一點，端點除外，在上存在關(guān)于軸對稱得兩點、使得三角形為等邊三角形，則正數(shù)得取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由任意點線段上，端點除外，在上存在關(guān)于軸對稱得兩點使得為等邊三角形，
即存在點使得，所以存在點使得，
由雙曲線的其中一條漸近線方程為，
則滿足的斜率大于或等于，即，所以，
又由，所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【變式18-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于軸上方的兩點，為原點，若直線垂直平分，則 .
【答案】
【解析】
因為垂直平分，
所以，又，
所以，
故，
因為分別為，的中點，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
【變式18-4】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為F，過F的直線與的左、右兩支分別交于P，Q兩點，且，則C的漸近線方程為 .
【答案】
【解析】如圖所示，由，不妨設(shè)，則，
雙曲線的右焦點為，由雙曲線的定義可知，，
由得，，則，①
在中，，②
在中，，③
由①②得，，所以，④
由①③得，，所以，⑤
由④⑤得，故，
故的漸近線方程為.
故答案為：
【變式18-5】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過右焦點作其中一條漸近線的垂線，垂足為，且直線與另一條漸近線交于點，設(shè)為坐標(biāo)原點，則的面積為 .
【答案】
【解析】由題意，得雙曲線的漸近線方程為.
不妨設(shè)直線為過右焦點且與漸近線垂直的直線，
則直線的方程為，聯(lián)立，
解得，即.
同理，聯(lián)立，解得，即，
所以.
故答案為：.
【變式18-6】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線上一點，且軸，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交兩條漸近線于，兩點，若四邊形的面積為，則的面積為 .
【答案】
【解析】由已知得，所以，且，
所以雙曲線的兩條漸近線是，所以四邊形是矩形，
且
所以四邊形的面積，
所以，所以，
所以的面積為，
故得解.
題型十：共焦點的橢圓與雙曲線
【典例19-1】已知橢圓與雙曲線共焦點（記為，），點是該橢圓與雙曲線的一個公共點，則的面積為 .
【答案】
【解析】因為橢圓與雙曲線共焦點，
所以有，
因為該橢圓與雙曲線是中心對稱圖形和軸對稱圖形，
所以不妨設(shè)點是在第一象限，左、右焦點分別為，，
設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可知：，
由余弦定理可知：，
所以有，
因此的面積為，
故答案為：
【典例19-2】設(shè)橢圓雙曲線共焦點，，離心率分別為，，其中．設(shè)曲線，在第一、三象限的交點分別為點，，若四邊形為矩形，則 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
由橢圓和雙曲線的定義得，
設(shè)，
所以，，
因為，所以，
即，得，
又因為，解得．
故答案為：
【方法技巧】
橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為：．
【變式19-1】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)的半焦距為c（），則，又，
所以，又直線與的一條漸近線平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
即的最小值為．
故答案為：
【變式19-2】（2024·寧夏中衛(wèi)·三模）已知橢圓與雙曲線共焦點，過橢圓上一點的切線與軸、軸分別交于、兩點（、為橢圓的兩個焦點）．又為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，下列說法所有正確的序號是 ．
①；
②當(dāng)點在第一象限時坐標(biāo)為；
③直線的斜率與切線的斜率之積為定值；
④的角平分線（點在上）長為．
【答案】①④
【解析】對于①，雙曲線的焦點坐標(biāo)為，所以，，，，①正確；
對于②，由于橢圓的對稱性，設(shè)點為第一象限內(nèi)的點，
設(shè)點，則，先證明橢圓在其上一點處的切線方程為.
聯(lián)立，可得，即，解得.
所以，橢圓在其上一點處的切線方程為.
所以點、，由基本不等式可得，可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，，②錯誤；
對于③，，，所以，，③錯誤；
對于④，以為直徑的圓的方程為，
，則點在圓上，則，
，由等面積法可得，解得.
故答案為：①④.
【變式19-3】（2024·陜西榆林·三模）橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，交點到兩焦點的距離分別為，焦距為，利用余弦定理得到，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得到，代入求解.設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，
交點到兩焦點的距離分別為，焦距為，
則，
又，，故，，
所以，
化簡得，
即 .
故選：B
【變式19-4】已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點），若，則與的離心率之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
故焦點坐標(biāo)為、，
則橢圓的離心率為，
由，，則，
過點作于點，由為中點，
故，，
由，故，
則，，
由雙曲線定義可知，，
故，則離心率為，
故與的離心率之和為.
故選：B.
【變式19-5】（多選題）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
【答案】ABD
【解析】對于A，橢圓，雙曲線，
由橢圓 雙曲線的定義可知，，解得，故A正確；
對于B，令，
由余弦定理得，
當(dāng)時，，即，因此，故B正確；
當(dāng)時，，即，有，
而，則有，解得，故C錯誤；
，
，解得，
而，因此，故D正確.
故選：ABD.
【變式19-6】（多選題）若是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，共焦點，，，，的離心率分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．， B．
C．若，則 D．若，則的最小值為2
【答案】AC
【解析】依題意，，解得，A不正確；
令，由余弦定理得： ，
因為在橢圓中，在雙曲線中，，
所以，故B選項正確；
當(dāng)時，，即，
所以，即，
所以，，故C選項正確；
當(dāng)時，，即，
所以，，有，
因為，
所以，，解得，D不正確；
故選：BC
題型十一：雙曲線的實際應(yīng)用
【典例20-1】（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為 ．

【答案】
【解析】如圖所示，雙曲線，其中一條漸近線方程為，
由直線，其中，
聯(lián)立方程組，解得，
聯(lián)立方程組，解得，
所以截面圓環(huán)的面積為，即旋轉(zhuǎn)面的面積為，
根據(jù)“冪勢既同，則積不容異”，
可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，
所以該幾何體的體積為.
故答案為：.
【典例20-2】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類似雙曲線的一支， O為雙曲線的一支的頂點.小明經(jīng)過測量得知，該雙曲線的漸近線相互垂直，且與垂直，，若該雙曲線的焦點位于直線上，則在點O以下的焦點距點O .
【答案】
【解析】設(shè)該雙曲線的方程為.
因為漸近線相互垂直，所以.
由題意知，，
解得，
故該雙曲線的一個焦點位于點O以下.
故答案為：
【方法技巧】
雙曲線在實際應(yīng)用中展現(xiàn)出多樣性和重要性.在光學(xué)領(lǐng)域，其反射特性被用于設(shè)計高精度望遠(yuǎn)鏡；在建筑方面，雙曲線冷卻塔優(yōu)化了流體流動，提高了能源效率；此外，在通信和導(dǎo)航系統(tǒng)中，雙曲線定位技術(shù)實現(xiàn)了精準(zhǔn)定位.這些應(yīng)用體現(xiàn)了雙曲線在科學(xué)技術(shù)和工程實踐中的廣泛價值和深遠(yuǎn)影響.
【變式20-1】如圖，從某個角度觀察籃球，可以得到一個對稱的平面圖形，籃球的外形輪廓為圓，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，，設(shè)該雙曲線的中心在原點，實軸在軸上，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為，則，
因為，所以，所以，
因為坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，
所以在雙曲線上，
代入可得，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為
故答案為：
【變式20-2】如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面，水面寬. 若水面下降，則水面寬是 ．（結(jié)果精確到）
【答案】
【解析】以雙曲線的對稱軸為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，
頂點為，，
將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，，解得，
水面下降米后，即，
代入雙曲線方程得，解得，
寬度為.
故答案為：.
【變式20-3】若 是三個雷達(dá)觀察哨，在的正東，兩地相距，在的北偏東30°，兩地相距，在某一時刻，觀察哨發(fā)現(xiàn)某種信號，測得該信號的傳播速度為，后 兩個觀察哨同時發(fā)現(xiàn)該信號，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，指出發(fā)出了這種信號的點的坐標(biāo) .
【答案】
【解析】由題意，點，，即，
則線段的中點為，直線的斜率，
所以線段的垂直平分線的斜率，
所以線段的垂直平分線的方程為即，
設(shè)，由可得點在線段的垂直平分線上，
又，所以點在以 為焦點的雙曲線的左支上，
該雙曲線的方程為，
所以，解得.
所以點的坐標(biāo)為.
故答案為：.
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設(shè)，
，由，求得，
因為，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
則由得，
由得，
則，
由雙曲線第一定義可得：，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，則，
解得，
所以雙曲線的漸近線為，
當(dāng)漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；
當(dāng)漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D.
5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖，
因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，
所以，
所以.
設(shè),則，所以，所以.
因為,所以，所以，所以，
所以，
因為，
所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
1．已知雙曲線與直線有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點．當(dāng)點M運(yùn)動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？
【解析】聯(lián)立方程可得，
因為有唯一公共點且，則，
整理得，可解得點坐標(biāo)為，即，其中，
于是，過點M且與l垂直的直線為，
可得，即，
則，即，其中，
所以點的軌跡方程是（），軌跡是焦點在軸上，實軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個頂點），
如果將此題推廣到一般雙曲線，直線，其它條件不變，可得點的軌跡方程是，軌跡是焦點在軸上，實軸長為，虛軸長為的雙曲線（去掉兩個頂點）.
2．設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，求和的取值范圍．
【解析】設(shè)橢圓和雙曲線的焦半徑分別為，由題意得雙曲線的漸近線方程為，
所以，則，
所以，
3．M是一個動點，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂直，垂足B位于第四象限．若四邊形OAMB（O為原點）的面積為3，求動點M的軌跡方程．
【解析】設(shè)，根據(jù)題意可知點在和相交的右側(cè)區(qū)域，
所以點到直線的距離，到直線的距離，
即
所以動點M的軌跡方程：.
4．設(shè)動點M與定點的距離和M到定直線的距離的比是，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
【解析】設(shè)動點，設(shè)d為點M到直線l的距離，
由題意得，即，
左右同時平方，化簡可得，
所以，
令，
所以，即，
所以動點M的軌跡方程為，為焦點在x軸，實軸長為2a，虛軸長為的雙曲線.
5．相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程．
【解析】以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)爆炸點為，
則，
根據(jù)雙曲線的定義可得，M在雙曲線上，且，
所以，
所以，
所以點M的軌跡方程為：.
6．如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓O上任意一點．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓O上運(yùn)動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

【解析】連接QA，如圖所示：
因為l為PA的垂直平分線，
所以，
所以為定值，
又因為點A在圓外，所以，
根據(jù)雙曲線定義，點Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為實軸的雙曲線.
易錯點：雙曲線焦點位置考慮不周全
易錯分析： 考慮雙曲線焦點位置時，易錯點在于未全面分析雙曲線的實軸、虛軸與坐標(biāo)軸的關(guān)系。若僅依據(jù)直觀判斷，可能誤設(shè)焦點位置，導(dǎo)致后續(xù)計算錯誤。因此，應(yīng)準(zhǔn)確判斷雙曲線的實軸、虛軸與x、y軸的相對位置，再確定焦點坐標(biāo)，避免誤判。
【易錯題1】已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為 .
【答案】或2
【解析】由題設(shè)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓心，半徑為，
若雙曲線為時，漸近線為且，
所以圓心到雙曲線漸近線的距離為，
由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系知：，故，得：，又，
所以，故.
若雙曲線為時，漸近線為且，
所以圓心到雙曲線漸近線的距離為，
由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系知：，故，得：，又，
所以，故.
綜上，雙曲線的離心率為或2.
故答案為：或2.
【易錯題2】若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長為8，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的方程可設(shè)為
由，解得，此時雙曲線的方程為
當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的方程可設(shè)為
由，解得，此時雙曲線的方程為
故選：C
答題模板：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、模板解決思路
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般“先定型，再定量”，即先確定焦點是在x 軸上還是在y軸上，再設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知條件確定的值.
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點位置，設(shè)出雙曲線的方程.
第二步：根據(jù)已知條件建立方程，求出待定系數(shù)。
第三步：寫出雙曲線的方程.
【典型例題1】已知雙曲線：（，）的焦距為6，且直線與雙曲線的右支有交點，則當(dāng)雙曲線的離心率最小時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】解法一 由題，雙曲線的半焦距，故雙曲線的左、右焦點分別為，,
當(dāng)雙曲線的離心率最小時，取得最大值，
設(shè)直線與雙曲線的右支的一個交點為，則最大．
記點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，
所以．因為，又，
所以，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
解法二 由于雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越大，離心率越小，雙曲線的開口越小，
要保證直線與雙曲線的右支有交點，則當(dāng)雙曲線的離心率最小時，與雙曲線的右支相切,
與，聯(lián)立得：，
則，解得，又，所以，，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：.
【典型例題2】已知雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，焦距為8，且的離心率與它的一條漸近線的斜率之比恰好為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為a，b，c，
由已知得，即，又焦距為8，
所以，，，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第06講 雙曲線及其性質(zhì)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：雙曲線的定義 4
知識點2：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì) 4
解題方法總結(jié) 7
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 7
題型二：雙曲線方程的充要條件 10
題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題 11
題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題 13
題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題 14
題型六：離心率的值及取值范圍 16
方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換 16
方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式 17
方向3：利用，其中2c為焦距長， 18
方向4：坐標(biāo)法 19
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理 19
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理 20
方向7：利用基本不等式 21
方向8：利用漸近線的斜率求離心率 22
方向9：利用雙曲線第三定義 23
方向10：利用對應(yīng)焦點焦半徑的取值范圍 24
題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題 25
題型八：利用第一定義求解軌跡 27
題型九：雙曲線的漸近線 31
題型十：共焦點的橢圓與雙曲線 32
題型十一：雙曲線的實際應(yīng)用 35
04真題練習(xí)·命題洞見 38
05課本典例·高考素材 39
06易錯分析·答題模板 41
易錯點：雙曲線焦點位置考慮不周全 41
答題模板：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 41
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）雙曲線的幾何性質(zhì) 2024年天津卷第8題，5分 2024年甲卷（理）第5題，5分2023年甲卷（文）第8題，5分 2023年天津卷第9題，5分 2023年北京卷第12題，5分 2023年I卷第16題，5分 雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在高考中雙曲線的試題以選填題為主，解答題考查雙曲線的可能性不大．在雙曲線的試題中，離不開漸近線的考查，幾乎所有雙曲線試題均涉及漸近線，因此雙曲線的試題中，最為重要的是三點：方程、漸近線、離心率．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）． （3）了解雙曲線的簡單應(yīng)用．
知識點1：雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）．用集合表示為．
注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．
（2）當(dāng)時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線．
（3）時，點的軌跡不存在．
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點：
①條件“”是否成立；②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．
【診斷自測】雙曲線的左右焦點分別是與是雙曲線左支上的一點，且，則（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
知識點2：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
焦點坐標(biāo) ， ，
對稱性 關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱
頂點坐標(biāo) ， ，
范圍
實軸、虛軸 實軸長為，虛軸長為
離心率
漸近線方程 令， 焦點到漸近線的距離為 令， 焦點到漸近線的距離為
點和雙曲線 的位置關(guān)系
共焦點的雙曲線方程
共漸近線的雙曲線方程
切線方程 為切點 為切點
切線方程 對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．
切點弦所在直線方程 為雙曲線外一點 為雙曲線外一點
點為雙曲線與兩漸近線之間的點
弦長公式 設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，． 則弦長， ，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．
通徑 通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為
焦點三角形 雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的成為焦點三角形， 設(shè)，，，則， ， 焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是
等軸雙曲線 等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．
【診斷自測】（2024·山東濟(jì)南·三模）已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
解題方法總結(jié)
（1）雙曲線的通徑
過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．
（2）點與雙曲線的位置關(guān)系
對于雙曲線，點在雙曲線內(nèi)部，等價于．
點在雙曲線外部，等價于 結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析．
（3）雙曲線常考性質(zhì)
性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；
性質(zhì)2：雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（4）雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）
（5）雙曲線的切線
點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．若點在雙曲線外，則點對應(yīng)切點弦方程為
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1-1】已知，是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例1-2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線經(jīng)過點， 離心率為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：
（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，，，即利用待定系數(shù)法求方程．
（2）根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程．
【變式1-1】已知雙曲線中心在原點，一頂點坐標(biāo)為，且漸近線方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】化簡方程的結(jié)果是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】雙曲線C：的兩個焦點為、，點在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【變式1-4】（2024·西藏拉薩·二模）已知雙曲線與有相同的漸近線，且直線過雙曲線的焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【變式1-5】若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【變式1-6】已知雙曲線，四點、、、中恰有三點在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【變式1-7】（2024·江西南昌·一模）已知中心在原點的雙曲線的離心率為2，右頂點為，過的左焦點作軸的垂線，且與交于，兩點，若的面積為9，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【變式1-8】（1）若雙曲線過點，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（2）若雙曲線過點，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
題型二：雙曲線方程的充要條件
【典例2-1】雙曲線方程為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【典例2-2】（2024·河北石家莊·二模）已知曲線，則“”是“曲線的焦點在軸上”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：．
【變式2-1】方程表示雙曲線的必要不充分條件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·廣東佛山·二模）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個命題：
甲：可以是圓的方程； 乙：可以是拋物線的方程；
丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 丁：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
其中，真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2-3】 “”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
【典例3-1】（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）設(shè)為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為 .
【典例3-2】已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與左支交于兩點，若，且雙曲線的實軸長為，則的周長為 .
【方法技巧】
對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即，在焦點三角形面積問題中若已知角，則用，及余弦定理等知識；若未知角，則用．
【變式3-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，實軸長為，為雙曲線右支上一點，且滿足，則的周長為 ．
【變式3-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交該雙曲線于點、，且，，則的面積為 ．
【變式3-3】已知是雙曲線的左右焦點，過的直線交雙曲線右支于兩點，分別是和的內(nèi)切圓半徑，則的取值范圍是 .
【變式3-4】（2024·廣東珠海·一模）已知點P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為45，則 ．
【變式3-5】（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的方程為，其左右焦點分別為，，已知點P坐標(biāo)為，雙曲線C上的點（，）滿足，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則 ， .
題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題
【典例4-1】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知是雙曲線上任意一點，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點到焦點距離的最小值為 ．
【典例4-2】雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
【變式4-1】已知雙曲線：的左焦點為，且是雙曲線上的一點，則的最小值為 .
【變式4-2】（2024·高三·浙江臺州·期中）已知雙曲線，為左焦點，若，則雙曲線離心率為 ；若對于雙曲線上任意一點，線段長度的最小值為，則實數(shù)的值為 .
【變式4-3】已知 為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若內(nèi)切圓的圓心為，則圓心到圓上任意一點的距離的最小值為 .
題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題
【典例5-1】若點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為 ．
【典例5-2】 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和上的點，則的最大值為　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【方法技巧】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
【變式5-1】過雙曲線的右支上一點P，分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為 ；此時P點坐標(biāo)為 ．
【變式5-2】 是雙曲線的左焦點，是右支上一點，過作與直線夾角為的直線，并與相交于點，則的最小值為 ．
【變式5-3】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點A在雙曲線C的右支上，若，則的最小值為 ．
【變式5-4】已知點，點P是雙曲線左支上的動點，為其右焦點，N是圓的動點，則的最小值為 ．
【變式5-5】 P為雙曲線右支上一點，M，N分別是圓和上的點，則的最大值為 .
【變式5-6】已知雙曲線的方程為，點，是其左右焦點，是圓上的一點，點在雙曲線的右支上，則的最小值是 ．
【變式5-7】 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和上的點，則|PM|－|PN|的最大值為 .
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換
【典例6-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（ ）.
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點P，Q，若，則C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式6-1】（2024·高三·河北邢臺·開學(xué)考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過點且與實軸垂直的直線交雙曲線于兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式
【典例7-1】已知雙曲線的右焦點為，若a，b，c成等比數(shù)列，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】已知雙曲線C：的上、下焦點分別為，，P是C上支上的一點（不在y軸上），與x軸交于點A，的內(nèi)切圓在邊上的切點為B，若，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
方向3：利用，其中2c為焦距長，
【典例8-1】已知分別是雙曲線的左 右焦點，斜率為的直線過，交的右支于點，交軸于點，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段恰被軸平分，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【變式8-1】已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
方向4：坐標(biāo)法
【典例9-1】已知雙曲線的左焦點為為雙曲線的虛軸的一個端點，直線與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為 ．
【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）設(shè)分別為雙曲線的左右焦點，過點的直線交雙曲線右支于點，交軸于點，且為線段的中點，并滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式9-1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為F，過坐標(biāo)原點O作C的一條漸近線的垂線l，直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，則C的離心率為（ ）．
A．3 B． C．2 D．
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
【典例10-1】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為原點，若以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，且 ，則的離心率為 .
【典例10-2】已知雙曲線的左、右焦點分別是，過點的直線與交于兩點，且，現(xiàn)將平面沿所在直線折起，點到達(dá)點處，使面面，若，則雙曲線的離心率為 ．
【變式10-1】（2024·高三·湖南·開學(xué)考試）已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【變式10-2】已知是雙曲線的焦點，點是雙曲線上的動點，若，，則雙曲線的離心率為 .
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
【典例11-1】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A． B． C． D．2
【典例11-2】已知雙曲線的左 右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點，O為原點，雙曲線上的點P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點A，點B與點A關(guān)于原點對稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離率為______．
【典例12-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點為、，若該雙曲線上存在點，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．
【變式12-1】如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為______．
方向8：利用漸近線的斜率求離心率
【典例13-1】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l 的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E 的漸近線交于M、N 兩點，若 則 E 的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．[ ，2]
【典例13-2】若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式13-1】（2024·四川·一模）若雙曲線：的一條漸近線的斜率為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式13-2】（2024·新疆·二模）過雙曲線的右焦點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點，過點向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
方向9：利用雙曲線第三定義
【典例14-1】（多選題）已知雙曲線：的左焦點為，過點作的一條漸近線的平行線交于點，交另一條漸近線于點.若，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．點到兩漸近線的距離的乘積為
D．為坐標(biāo)原點，則
【典例14-2】雙曲線的左右頂點為，過原點的直線與雙曲線交于兩點，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．
【變式14-1】設(shè)直線與雙曲線相交于兩點，為上不同于的一點，直線的斜率分別為，若的離心率為，則（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
方向10：利用對應(yīng)焦點焦半徑的取值范圍
【典例15-1】（2024·高三·湖南衡陽·開學(xué)考試）已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A，B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例15-2】（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式15-1】已知雙曲線，的左，右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式15-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，若，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍．具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法．
題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題
【典例16-1】（多選題）雙曲線C：的左右頂點分別為A、B，P、Q兩點在C上，且關(guān)于x軸對稱（ ）
A．以C的焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程為
B．雙曲線C的離心率為
C．直線與的斜率之積為
D．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2
【典例16-2】（多選題）（2024·高三·山西呂梁·開學(xué)考試）已知雙曲線，則的（ ）
A．焦點在軸上 B．焦距為3
C．離心率為 D．漸近線為
【方法技巧】
處理雙曲線的問題的時候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因為雙曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．
【變式16-1】（多選題）（2024·湖北·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點為，若為其圖象上任意一點，則（ ）
A．是它的一條對稱軸 B．它的離心率為
C．點是它的一個焦點 D．
【變式16-2】（多選題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的周長為16
C．的面積為 D．
【變式16-3】（多選題）下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（ ）
A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線
C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點
【變式16-4】（多選題）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點P滿足PA=2，則PF的長度可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式16-5】（多選題）（2024·河北滄州·三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點，且，，關(guān)于的平分線的對稱點恰好在上，則（ ）
A．的實軸長為2
B．的離心率為
C．的面積為
D．的平分線所在直線的方程為
題型八：利用第一定義求解軌跡
【典例17-1】（2024·高三·云南·階段練習(xí)）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，，直線與相交于點，且它們的斜率之積為，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例17-2】已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運(yùn)動軌跡為曲線C，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
【變式17-1】過橢圓右焦點F的圓與圓O：外切，則該圓直徑FQ的端點Q的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-2】已知動圓與圓及圓都外切，那么動圓圓心軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-3】設(shè)是橢圓與x軸的兩個交點，是橢圓上垂直于的弦的端點，則直線與交點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-4】已知圓，動圓與圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-5】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當(dāng)點運(yùn)動時，點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-6】（2024·廣東·一模）如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點，點在直線上，點在直線上，，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
【變式17-7】已知圓，圓，若動圓M與圓均外切，則動圓圓心的軌跡方程為 .
【變式17-8】已知點為圓上的動點，點，延長至，使得，線段的垂直平分線交直線于點，記的軌跡為.則的方程為 .
【變式17-9】已知橢圓的方程為，其左 右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
【變式17-10】已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點，且，直線l與直線m交于P點，則點P的軌跡方程為 ．
題型九：雙曲線的漸近線
【典例18-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標(biāo)原點作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的漸近線方程為 ．
【典例18-2】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為 ．
【方法技巧】
掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求；由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由漸近線方程可得出，的關(guān)系式，為求雙曲線方程提供了一個條件．另外，焦點到漸近線的距離為虛半軸長．
【變式18-1】（2024·山東煙臺·三模）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，其右焦點為F，若直線與在第一象限的交點為P且軸，則實數(shù)k的值為 .
【變式18-2】（2024·上海奉賢·三模）若曲線得右頂點，若對線段上任意一點，端點除外，在上存在關(guān)于軸對稱得兩點、使得三角形為等邊三角形，則正數(shù)得取值范圍是 ．
【變式18-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于軸上方的兩點，為原點，若直線垂直平分，則 .
【變式18-4】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為F，過F的直線與的左、右兩支分別交于P，Q兩點，且，則C的漸近線方程為 .
【變式18-5】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，過右焦點作其中一條漸近線的垂線，垂足為，且直線與另一條漸近線交于點，設(shè)為坐標(biāo)原點，則的面積為 .
【變式18-6】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線上一點，且軸，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交兩條漸近線于，兩點，若四邊形的面積為，則的面積為 .
題型十：共焦點的橢圓與雙曲線
【典例19-1】已知橢圓與雙曲線共焦點（記為，），點是該橢圓與雙曲線的一個公共點，則的面積為 .
【典例19-2】設(shè)橢圓雙曲線共焦點，，離心率分別為，，其中．設(shè)曲線，在第一、三象限的交點分別為點，，若四邊形為矩形，則 ．
【方法技巧】
橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為：．
【變式19-1】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為 ．
【變式19-2】（2024·寧夏中衛(wèi)·三模）已知橢圓與雙曲線共焦點，過橢圓上一點的切線與軸、軸分別交于、兩點（、為橢圓的兩個焦點）．又為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，下列說法所有正確的序號是 ．
①；
②當(dāng)點在第一象限時坐標(biāo)為；
③直線的斜率與切線的斜率之積為定值；
④的角平分線（點在上）長為．
【變式19-3】（2024·陜西榆林·三模）橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式19-4】已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點），若，則與的離心率之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式19-5】（多選題）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
【變式19-6】（多選題）若是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，共焦點，，，，的離心率分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．， B．
C．若，則 D．若，則的最小值為2
題型十一：雙曲線的實際應(yīng)用
【典例20-1】（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為 ．

【典例20-2】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類似雙曲線的一支， O為雙曲線的一支的頂點.小明經(jīng)過測量得知，該雙曲線的漸近線相互垂直，且與垂直，，若該雙曲線的焦點位于直線上，則在點O以下的焦點距點O .
【方法技巧】
雙曲線在實際應(yīng)用中展現(xiàn)出多樣性和重要性.在光學(xué)領(lǐng)域，其反射特性被用于設(shè)計高精度望遠(yuǎn)鏡；在建筑方面，雙曲線冷卻塔優(yōu)化了流體流動，提高了能源效率；此外，在通信和導(dǎo)航系統(tǒng)中，雙曲線定位技術(shù)實現(xiàn)了精準(zhǔn)定位.這些應(yīng)用體現(xiàn)了雙曲線在科學(xué)技術(shù)和工程實踐中的廣泛價值和深遠(yuǎn)影響.
【變式20-1】如圖，從某個角度觀察籃球，可以得到一個對稱的平面圖形，籃球的外形輪廓為圓，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，，設(shè)該雙曲線的中心在原點，實軸在軸上，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【變式20-2】如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面，水面寬. 若水面下降，則水面寬是 ．（結(jié)果精確到）
【變式20-3】若 是三個雷達(dá)觀察哨，在的正東，兩地相距，在的北偏東30°，兩地相距，在某一時刻，觀察哨發(fā)現(xiàn)某種信號，測得該信號的傳播速度為，后 兩個觀察哨同時發(fā)現(xiàn)該信號，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，指出發(fā)出了這種信號的點的坐標(biāo) .
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
1．已知雙曲線與直線有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點．當(dāng)點M運(yùn)動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？
2．設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，求和的取值范圍．
3．M是一個動點，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂直，垂足B位于第四象限．若四邊形OAMB（O為原點）的面積為3，求動點M的軌跡方程．
4．設(shè)動點M與定點的距離和M到定直線的距離的比是，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
5．相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程．
6．如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓O上任意一點．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓O上運(yùn)動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

易錯點：雙曲線焦點位置考慮不周全
易錯分析： 考慮雙曲線焦點位置時，易錯點在于未全面分析雙曲線的實軸、虛軸與坐標(biāo)軸的關(guān)系。若僅依據(jù)直觀判斷，可能誤設(shè)焦點位置，導(dǎo)致后續(xù)計算錯誤。因此，應(yīng)準(zhǔn)確判斷雙曲線的實軸、虛軸與x、y軸的相對位置，再確定焦點坐標(biāo)，避免誤判。
【易錯題1】已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為 .
【易錯題2】若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長為8，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
答題模板：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、模板解決思路
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般“先定型，再定量”，即先確定焦點是在x 軸上還是在y軸上，再設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知條件確定的值.
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點位置，設(shè)出雙曲線的方程.
第二步：根據(jù)已知條件建立方程，求出待定系數(shù)。
第三步：寫出雙曲線的方程.
【典型例題1】已知雙曲線：（，）的焦距為6，且直線與雙曲線的右支有交點，則當(dāng)雙曲線的離心率最小時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【典型例題2】已知雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，焦距為8，且的離心率與它的一條漸近線的斜率之比恰好為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑