資源簡介

第05講 橢圓及其性質(zhì)
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：橢圓的定義 4
知識點2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì) 4
解題方法總結(jié) 7
題型一：橢圓的定義與標準方程 7
題型二：橢圓方程的充要條件 8
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題 9
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題 11
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題 12
題型六：離心率的值及取值范圍 13
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換 13
方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式 14
方向3：利用最大頂角滿足 14
方向4：坐標法 15
方向5：找?guī)缀侮P系，利用余弦定理 16
方向6：找?guī)缀侮P系，利用正弦定理 16
方向7：利用基本不等式 17
方向8：利用焦半徑的取值范圍為 18
方向9：利用橢圓第三定義 18
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題 19
題型八：利用第一定義求解軌跡 22
題型九：橢圓的實際應用 23
04真題練習·命題洞見 26
05課本典例·高考素材 27
06易錯分析·答題模板 29
易錯點：橢圓焦點位置考慮不周全 29
答題模板：求橢圓的標準方程 29
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）橢圓的定義及其標準方程 （2）橢圓的幾何性質(zhì) 2024年II卷第5題，5分 2023年甲卷（理）第20題，12分 2023年I卷II卷第5題，5分 2023年北京卷第19題，15分 2023年甲卷（理）第12題，5分 2022年甲卷（理）第10題，5分 橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)．
復習目標： （1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程． （2）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）． （3）掌握橢圓的簡單應用．
知識點1：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當時，點的軌跡是線段；
當時，點的軌跡不存在．
【診斷自測】已知點，，動點滿足，則動點P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在
知識點2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍 且 且
頂點 、 、 、 、
軸長 長軸長，短軸長 長軸長，短軸長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準線方程
點和橢圓 的關系
切線方程 （為切點） （為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積 ①，（為短軸的端點） ② ③ 焦點三角形中一般要用到的關系是
焦半徑 左焦半徑： 又焦半徑： 上焦半徑： 下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
弦長公式 設直線與橢圓的兩個交點為，，， 則弦長 （其中是消后關于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
【診斷自測】一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
解題方法總結(jié)
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
題型一：橢圓的定義與標準方程
【典例1-1】（2024·全國·模擬預測）過四點，，，中的三點的一個橢圓標準方程可以是 ，這樣的橢圓方程有 個．
【典例1-2】已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的長軸長與焦距的比值為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
【變式1-1】方程表示的曲線是 ，其標準方程是 .
【變式1-2】已知橢圓的焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和兩點，則橢圓的標準方程為 .
【變式1-3】已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為 ．
【變式1-4】（2024·高三·廣東揭陽·期末）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標準方程為 .
【變式1-5】過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是 ．
【變式1-6】（2024·山西太原·三模）已知點 分別是橢圓 的左、右焦點，是上一點，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓 的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
題型二：橢圓方程的充要條件
【典例2-1】（2024·山西呂梁·二模）若函數(shù)，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【典例2-2】方程表示橢圓的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【方法技巧】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）命題“實數(shù)”是命題“曲線表示橢圓”的一個（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（2024·高三·遼寧大連·期末）已知曲線“表示焦點在軸上的橢圓”的一個充分非必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】對于方程表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線 B．若為負角，則曲線為雙曲線
C．若為正角，則曲線為橢圓 D．若為橢圓，則其焦點在軸上
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
【典例3-1】已知雙曲線：與橢圓：有公共的焦點，，且與在第一象限的交點為M，若的面積為1，則a的值為 ．
【典例3-2】（2024·廣東惠州·模擬預測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
【方法技巧】
焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.
【變式3-1】（2024·高三·廣東深圳·期中）已知分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓上一點且，則的面積為 .
【變式3-2】該橢圓的左右焦點為，點是上一點，滿足，則的面積為 ．
【變式3-3】（2024·云南昆明·昆明市第三中學校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點分別為，點為上異于長軸端點的任意一點，的角平分線交線段于點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-5】（2024·高三·河北秦皇島·開學考試）已知橢圓的上頂點為，左焦點為，線段的中垂線與交于兩點，則的周長為 ．
【變式3-6】設分別是離心率為的橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，且，則（ ）
A． B． C． D．
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題
【典例4-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知為橢圓上一點，若的右焦點的坐標為，點滿足，，若的最小值為，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】已知是橢圓的上頂點，點是橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【方法技巧】
利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化.
【變式4-1】如果點P是橢圓上一個動點，是橢圓的左焦點，那么的最大值是 ，最小值是 ．
【變式4-2】已知動點在橢圓上，過點P作圓的切線，切點為M，則的最小值是 ．
【變式4-3】（2024·山東濰坊·二模）如圖，菱形架ABCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用鉸鏈首尾連接而成.已知A，C可在帶滑槽的直桿上滑動；另一根帶滑槽的直桿DH長度為4，且一端記為H，另一端用鉸鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子（可在帶滑槽的直桿上滑動）.若將H，B固定在桌面上，且兩點之間距離為2，轉(zhuǎn)動桿HD，則點P到點B距離的最大值為 .
【變式4-4】點在圓上移動，點在橢圓上移動，則線段的最大值為 ．
【變式4-5】已知點，P是橢圓上的動點，則的最大值是 ．
【變式4-6】已知圓，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
【典例5-1】已知點 在橢圓 上，點 ，則 的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
【典例5-2】已知橢圓的右焦點為，點，點是上的動點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【方法技巧】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
【變式5-1】設橢圓的右焦點為，動點在橢圓上，點是直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】已知橢圓方程是其左焦點，點是橢圓內(nèi)一點，點是橢圓上任意一點，若的最大值為，最小值為，那么（ ）
A． B．4 C．8 D．
【變式5-3】設是橢圓上一點，，分別是兩圓和上的點，則的最小值、最大值分別為（ ）
A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
【典例6-1】（2024·高三·江蘇南京·開學考試）已知是橢圓上一點，是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】橢圓C：的左、右焦點分別為、，直線過且與橢圓交于A、B兩點（A在B左側(cè)），若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為 .
方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式
【典例7-1】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知橢圓的左 右焦點分別為上一點滿足，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】已知直線過橢圓的一個焦點與交于兩點，若當垂直于軸時，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】已知，分別是橢圓的左、右焦點，是坐標原點，是橢圓上一點，與軸交于點．若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
方向3：利用最大頂角滿足
【典例8-1】（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
【變式8-1】已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
【變式8-2】（2024·廣東·廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
方向4：坐標法
【典例9-1】焦點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】（2024·新疆烏魯木齊·三模）設M，N，P是橢圓上的三個點，O為坐標原點，且四邊形OMNP為正方形，則橢圓的離心率為 ；
【變式9-2】（2024·山東泰安·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，點M，N在C上，且滿足且，若，則C的離心率為 .
方向5：找?guī)缀侮P系，利用余弦定理
【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于點，與軸交于點，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
方向6：找?guī)缀侮P系，利用正弦定理
【典例11-1】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【變式11-1】過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【變式11-2】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-1】設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-2】（2024·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為
【典例13-1】在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【典例13-2】（2024·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【變式13-1】已知P為橢圓上一點，為橢圓焦點，且，則橢圓離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式13-2】（2024·全國·模擬預測）若直線與橢圓相交于兩點，以為直徑的圓經(jīng)過左焦點，且，則橢圓的離心率的取值范圍是 ．
方向9：利用橢圓第三定義
【典例14-1】已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【典例14-2】（2024·全國·模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓上異于的一點．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式14-1】（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學校考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關系，知道中任意兩者間的等式關系或不等關系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標法.
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
【典例15-1】（多選題）（2024·高三·廣西南寧·開學考試）橢圓C：的焦點為，，上頂點為A，直線與橢圓C的另一個交點為B，若，則（ ）
A．橢圓C的焦距為2 B．的周長為8
C．橢圓C的離心率為 D．的面積為
【典例15-2】（多選題）已知橢圓，且兩個焦點分別為，，是橢圓上任意一點，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為 B．的周長為12
C．的最小值為3 D．的最大值為16
【方法技巧】
標準方程
圖形
性質(zhì) 焦點 ， ，
焦距
范圍 ， ，
對稱性 關于軸、軸和原點對稱
頂點 ， ，
軸 長軸長，短軸長
離心率 （注：離心率越小越圓，越大越扁）
【變式15-1】（多選題）（2024·安徽·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（ ）
A．C的離心率為 B．
C．的最大值為 D．使為直角的點P有4個
【變式15-2】（多選題）（2024·安徽合肥·一模）已知橢圓的左 右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（ ）
A．存在點，使
B．
C．的最小值為
D．周長的最大值為8
【變式15-3】（多選題）（2024·高三·安徽合肥·期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（ ）
A． B．的最大值為8
C．的取值范圍是 D．的取值范圍是
【變式15-4】（多選題）（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設在上，則（ ）
A．“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為 B．的離心率為
C．旋轉(zhuǎn)前的橢圓標準方程為 D．
【變式15-5】（多選題）已知橢圓的左 右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，若的最小值為4，則（ ）
A．橢圓的短軸長為
B．的最大值為8
C．離心率為
D．橢圓上不存在點，使得
【變式15-6】（多選題）（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．橢圓的離心率為
C．是橢圓的一個焦點 D．
題型八：利用第一定義求解軌跡
【典例16-1】動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，則動點的軌跡方程是 .
【典例16-2】 中，，，AC，AB邊上的兩條中線之和為39，則的重心的軌跡方程為 .
【方法技巧】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標志的定點連起來做判斷． 焦點往往有以下的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當看到滿足以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
【變式16-1】已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為 .
【變式16-2】一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
【變式16-3】已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為 ．
【變式16-4】已知在中，AB＝8，以AB的中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設，，若，則點P的軌跡方程為 ．
【變式16-5】已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
【變式16-6】（2024·遼寧鞍山·二模）在平面直角坐標系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，存在非零實數(shù)，使得，則頂點C的軌跡方程為 ．
【變式16-7】（2024·湖南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知兩定點，，動點P到，的距離之和為，若存在一點P滿足的面積為，寫出滿足條件的一個動點P的軌跡方程 ．
【變式16-8】（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為 .
【變式16-9】已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為 ．
題型九：橢圓的實際應用
【典例17-1】（2024·全國·模擬預測）我國在2022年完成了天宮空間站的建設，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個焦點上．已知某次變軌任務前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍，則此次變軌任務前的橢圓軌道的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.若某行星距太陽表面的最大距離為，最小距離，太陽半徑為，則該行星運行軌跡橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
橢圓在實際應用中極為廣泛，體現(xiàn)在建筑、產(chǎn)品設計、物理學、工程學及計算機科學等多個領域。例如，在建筑中，橢圓形設計用于體育場館和會展中心等，增強視覺效果與空間利用率；在物理學中，橢圓軌道描述行星繞太陽的運動路徑；在密碼學中，橢圓曲線密碼保障互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)安全；在圖形圖像處理中，橢圓擬合技術(shù)助力物體輪廓檢測。橢圓的應用多樣且重要，展現(xiàn)了其在現(xiàn)代科技中的核心價值。
【變式17-1】（2024·河北·一模）中國國家大劇院的外觀被設計成了半橢球面的形狀.如圖，若以橢球的中心為原點建立空間直角坐標系，半橢球面的方程為（，，且a，b，c不全相等）.若該建筑的室內(nèi)地面是面積為的圓，給出下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式17-2】 2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調(diào)整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【變式17-3】（2024·江蘇泰州·模擬預測）我國自主研發(fā)的“嫦娥四號”探測器成功著陸月球，并通過“鵲橋”中繼星傳回了月球背面影像圖．假設“嫦娥四號”在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，其軌道的離心率為e，設月球的半徑為R，“嫦娥四號”到月球表面最近的距離為r，則“嫦娥四號”到月球表面最遠的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-4】（2024·云南曲靖·模擬預測）某單位使用的圓臺形紙杯如圖所示，其內(nèi)部上口直徑 下口直徑 母線的長度依次等于，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當水面恰好到達杯底（到達底面圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于 .
【變式17-5】（多選題）（2024·河北·三模）已知一個裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為，玻璃杯高為（玻璃厚度忽略不計），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，表示水平桌面．當玻璃杯傾斜時，瓶內(nèi)水面為橢圓形，陰影部分為瓶內(nèi)水的正視圖．設，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，橢圓的離心率為
B．當橢圓的離心率最大時，
C．當橢圓的焦距為4時，
D．當時，橢圓的焦距為6
【變式17-6】甲 乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內(nèi)是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲 乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A B兩點處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲 乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質(zhì)，即從一個焦點發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)已知橢圓：上一點M，過點M作切線l，A，B兩點為左右焦點，，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為 .
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學真題）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
1．已知橢圓，直線．橢圓上是否存在一點，使得：
（1）它到直線l的距離最小？最小距離是多少？
（2）它到直線l的距離最大？最大距離是多少？
2．如圖，矩形ABCD中，，．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，，，是線段CF的四等分點．證明直線ER與、ES與、ET與的交點L，M，N都在橢圓上．
3．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線
4．如圖，軸，垂足為D，點M在DP的延長線上，且，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
5．如圖，圓的半徑為定長，是圓內(nèi)一個定點，是圓上任意一點．線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是什么？為什么？

易錯點：橢圓焦點位置考慮不周全
易錯分析： 考慮橢圓焦點位置時，易錯點在于未全面分析橢圓的長短軸與坐標軸的關系。若僅依據(jù)直觀判斷，可能誤設焦點位置，導致后續(xù)計算錯誤。因此，應準確判斷橢圓的長軸、短軸與x、y軸的相對位置，再確定焦點坐標，避免誤判。
【易錯題1】已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，焦距等于，離心率等于，則此橢圓的方程是（ ）
A． B． C． D．
【易錯題2】已知橢圓的長軸長為8，離心率為，則此橢圓的標準方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
答題模板：求橢圓的標準方程
1、模板解決思路
求橢圓的標準方程一般“先定型，再定量”，即先確定焦點是在x 軸上還是在y軸上，再設出相應的標準方程，由已知條件確定的值.
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點位置，設出橢圓的方程.
第二步：根據(jù)已知條件建立方程，求出待定系數(shù)。
第三步：寫出橢圓的方程.
【典型例題1】中心位于坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓的上、下焦點分別為，右頂點為，若的長軸長為，，則的標準方程為 ．
【典型例題2】已知是橢圓的左 右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且.若坐標原點到直線的距離為3，則橢圓的標準方程為 .
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第05講 橢圓及其性質(zhì)
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：橢圓的定義 4
知識點2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì) 4
解題方法總結(jié) 7
題型一：橢圓的定義與標準方程 8
題型二：橢圓方程的充要條件 13
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題 15
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題 20
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題 25
題型六：離心率的值及取值范圍 28
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換 28
方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式 32
方向3：利用最大頂角滿足 34
方向4：坐標法 37
方向5：找?guī)缀侮P系，利用余弦定理 40
方向6：找?guī)缀侮P系，利用正弦定理 43
方向7：利用基本不等式 45
方向8：利用焦半徑的取值范圍為 48
方向9：利用橢圓第三定義 51
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題 53
題型八：利用第一定義求解軌跡 60
題型九：橢圓的實際應用 66
04真題練習·命題洞見 73
05課本典例·高考素材 75
06易錯分析·答題模板 78
易錯點：橢圓焦點位置考慮不周全 78
答題模板：求橢圓的標準方程 79
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）橢圓的定義及其標準方程 （2）橢圓的幾何性質(zhì) 2024年II卷第5題，5分 2023年甲卷（理）第20題，12分 2023年I卷II卷第5題，5分 2023年北京卷第19題，15分 2023年甲卷（理）第12題，5分 2022年甲卷（理）第10題，5分 橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)．
復習目標： （1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程． （2）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）． （3）掌握橢圓的簡單應用．
知識點1：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當時，點的軌跡是線段；
當時，點的軌跡不存在．
【診斷自測】已知點，，動點滿足，則動點P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在
【答案】A
【解析】由題設知，
則動點P的軌跡不存在．
故選：D
知識點2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍 且 且
頂點 、 、 、 、
軸長 長軸長，短軸長 長軸長，短軸長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準線方程
點和橢圓 的關系
切線方程 （為切點） （為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積 ①，（為短軸的端點） ② ③ 焦點三角形中一般要用到的關系是
焦半徑 左焦半徑： 又焦半徑： 上焦半徑： 下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
弦長公式 設直線與橢圓的兩個交點為，，， 則弦長 （其中是消后關于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
【診斷自測】一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，故，
且，故，
所以橢圓的標準方程為.
故選：B
解題方法總結(jié)
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
題型一：橢圓的定義與標準方程
【典例1-1】（2024·全國·模擬預測）過四點，，，中的三點的一個橢圓標準方程可以是 ，這樣的橢圓方程有 個．
【答案】 或（寫一個即可） 2
【解析】因為點，關于軸對稱，所以橢圓過四點中的三點，只有，，和，，兩種情況．
設橢圓方程為（，，）．
當橢圓過，，三點時，將，的坐標代入橢圓方程，得
，解得，所以橢圓的方程為．
同理可得當橢圓經(jīng)過，，三點時，代入橢圓方程有，得
，得；
該橢圓的方程為．
故答案為：或（寫一個即可）；
【典例1-2】已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的長軸長與焦距的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，結(jié)合題設有，，
由，則，
化簡得，故的長軸長與焦距的比值為.
故選：D.
【方法技巧】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
【變式1-1】方程表示的曲線是 ，其標準方程是 .
【答案】 橢圓
【解析】方程，
表示點到兩點的距離之和等于，而，
所以方程表示的曲線是橢圓，
且長軸長，焦距，所以，
所以半短軸長，
所以其標準方程為.
故答案為：橢圓；.
【變式1-2】已知橢圓的焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和兩點，則橢圓的標準方程為 .
【答案】
【解析】設所求橢圓方程為：(，，)將和的坐標代入方程得：
，解得，
所求橢圓的標準方程為：.
故答案為：.
【變式1-3】已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為 ．
【答案】
【解析】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過點，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標準方程為：.
故答案為：.
【變式1-4】（2024·高三·廣東揭陽·期末）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標準方程為 .
【答案】
【解析】設O為坐標原點，直線AB交x軸于點C，如圖所示：
由題意知：，直線AB的斜率為，即，
所以，.
由橢圓的性質(zhì)知：，，則，所以，，
則，故直線AB的方程為.
聯(lián)立，解得：或，
所以，故，
則，解得：.
又，所以，即，則E的標準方程為.
故答案為：.
【變式1-5】過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是 ．
【答案】
【解析】由題意設橢圓的方程為，，
將點代入，，
整理可得：，
解得或（舍，
所以橢圓的方程為：，
故答案為：．
【變式1-6】（2024·山西太原·三模）已知點 分別是橢圓 的左、右焦點，是上一點，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓 的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，設橢圓的方程為，由在上，得，
顯然的內(nèi)切圓與直線相切，則該圓半徑為1，而，
又，于是，，因此，解得，
所以橢圓 的標準方程是.
故選：B
題型二：橢圓方程的充要條件
【典例2-1】（2024·山西呂梁·二模）若函數(shù)，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過定點為，則，
所以，
當且僅當，即時等號成立.
故選：C.
【典例2-2】方程表示橢圓的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】若表示橢圓，則有，
解得或.
故選：D.
【方法技巧】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）命題“實數(shù)”是命題“曲線表示橢圓”的一個（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由題意“曲線表示橢圓”等價于“曲線表示橢圓”，
而“曲線表示橢圓”，等價于，解得或，
所以命題“實數(shù)”是命題“曲線表示橢圓”的一個必要不充分條件.
故選：C.
【變式2-2】（2024·高三·遼寧大連·期末）已知曲線“表示焦點在軸上的橢圓”的一個充分非必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若表示焦點在軸上的橢圓，
則有，即，即，
故A、D選項為既不充分也不必要條件，B選項為充要條件，
C選項為充分非必要條件，故C選項符合要求.
故選：C.
【變式2-3】對于方程表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線 B．若為負角，則曲線為雙曲線
C．若為正角，則曲線為橢圓 D．若為橢圓，則其焦點在軸上
【答案】A
【解析】對A，當，即時，曲線的方程為，
此時曲線為兩條平行的直線，故A錯誤；
對B，若為負角，即，則，
此時曲線為雙曲線，故B正確；
對C，若為正角，即，當時，，
則曲線的方程為1，是圓，故C錯誤；
對D，若為橢圓，則，又可變形為，
則為焦點在軸上的橢圓，故D錯誤．
故選：B．
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
【典例3-1】已知雙曲線：與橢圓：有公共的焦點，，且與在第一象限的交點為M，若的面積為1，則a的值為 ．
【答案】
【解析】設，分別為左、右焦點，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義可得
所以，，
所以，
由余弦定理可得，
所以，
故，
因此的面積為，
解得．
故答案為：.
【典例3-2】（2024·廣東惠州·模擬預測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】橢圓的方程為，則，，，
連接，，
則由橢圓的中心對稱性可知，
可知為平行四邊形，則，
可得的周長為，
當AB位于短軸的端點時，取最小值，最小值為，
所以周長為．
故選：C.
【方法技巧】
焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.
【變式3-1】（2024·高三·廣東深圳·期中）已知分別為橢圓的左 右焦點，為橢圓上一點且，則的面積為 .
【答案】
【解析】由橢圓可知，
故，結(jié)合，
可得，而，
故為等腰三角形，其面積為.
故答案為：.
【變式3-2】該橢圓的左右焦點為，點是上一點，滿足，則的面積為 ．
【答案】9
【解析】解法一：由，得，則，
設，則由題意得
，
由，得，
所以，得，
所以的面積為
解法二：由，得，
因為
所以由焦點三角形的面積公式得．
故答案為：9
【變式3-3】（2024·云南昆明·昆明市第三中學校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設橢圓的長半軸為，則
設關于平分線的對稱點為Q，
由橢圓對稱性及角平分線性質(zhì)可知P，，Q三點共線且
又因為，所以是正三角形，
設，
由橢圓定義可得，，
又，
所以，
所以，即，，
所以的面積.
故選：C.
【變式3-4】（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點分別為，點為上異于長軸端點的任意一點，的角平分線交線段于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為的角平分線交線段于點，
所以，
所以由正弦定理得，，
又因為，，
所以，即，不妨設，如圖：
則，解得，
所以，
由題意，，所以，
故選：D
【變式3-5】（2024·高三·河北秦皇島·開學考試）已知橢圓的上頂點為，左焦點為，線段的中垂線與交于兩點，則的周長為 ．
【答案】
【解析】設橢圓的右焦點為，連接，，，
依題意可得長半軸長，半焦距，且，
所以為等邊三角形，則直線過，
所以
，即的周長為.
故答案為：
【變式3-6】設分別是離心率為的橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以．設，則．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故選：D．
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題
【典例4-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知為橢圓上一點，若的右焦點的坐標為，點滿足，，若的最小值為，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，∵，∴，
又∵，∴，即，，
∴，
∴當點為橢圓的右頂點時，取最小值，，
此時的最小值，
解得（舍）或，∴，
∴橢圓的方程為.
故選：B.
【典例4-2】已知是橢圓的上頂點，點是橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，且，
所以
，
又因為，所以當時取最大值，
所以，
故選：C.
【方法技巧】
利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化.
【變式4-1】如果點P是橢圓上一個動點，是橢圓的左焦點，那么的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 10 2
【解析】由橢圓方程可得，，則.
則當點位于右端點時，；
當點位于左端點時，.
故答案為：10；2
【變式4-2】已知動點在橢圓上，過點P作圓的切線，切點為M，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】圓的圓心，
橢圓的焦點為，，
因為，
即求焦半徑的最小值.
先證焦半徑公式：
設是橢圓上任一點，
是橢圓的兩焦點，
則
因為，所以，.
由焦半徑公式知，則當時，
取得最小值，
則.
故答案為：

【變式4-3】（2024·山東濰坊·二模）如圖，菱形架ABCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用鉸鏈首尾連接而成.已知A，C可在帶滑槽的直桿上滑動；另一根帶滑槽的直桿DH長度為4，且一端記為H，另一端用鉸鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子（可在帶滑槽的直桿上滑動）.若將H，B固定在桌面上，且兩點之間距離為2，轉(zhuǎn)動桿HD，則點P到點B距離的最大值為 .
【答案】
【解析】如圖，連接，故點的軌跡為以為焦點的橢圓，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析運算.
因為為菱形，則為線段的垂直平分線，故，
所以，
故點的軌跡為以為焦點的橢圓，
可得，即，
所以的最大值為.
故答案為：3.
【變式4-4】點在圓上移動，點在橢圓上移動，則線段的最大值為 ．
【答案】
【解析】如圖，設點在圓上，設，而,
則，
故, 此時，
又因為，
所以的最大值是.

故答案為：.
【變式4-5】已知點，P是橢圓上的動點，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】設，
，
，
，
當時，取得最大值，
故答案為：
【變式4-6】已知圓，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】如圖，
設圓的半徑為，則，，
則，
的軌跡為橢圓，焦點為，，
，即，，．
橢圓方程為：．
由，得，故，
，要使的值最大，則最大，
為橢圓的左焦點，故
即．
故選：D．
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
【典例5-1】已知點 在橢圓 上，點 ，則 的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】
作橢圓的左焦點，則，
當且僅當點為線段的延長線與橢圓的交點時取得，由兩點間距離公式得，
故，C正確，
故選：C
【典例5-2】已知橢圓的右焦點為，點，點是上的動點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】若為橢圓左焦點且，則，故，
所以，
而，所以，僅當共線時取等號，
綜上，的最小值為，取值條件為共線且在之間.
故選：B
【方法技巧】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
【變式5-1】設橢圓的右焦點為，動點在橢圓上，點是直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意知橢圓的右焦點坐標為，左焦點坐標為，
根據(jù)橢圓的定義可知，所以，
則，
所以最小時，即最小，
定點到直線最短距離是過定點直線的垂線段，
根據(jù)點到直線的距離公式可得，
所以.
故選：C
【變式5-2】已知橢圓方程是其左焦點，點是橢圓內(nèi)一點，點是橢圓上任意一點，若的最大值為，最小值為，那么（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【解析】由題意，設橢圓的右焦點為，連接，
則，
如圖：

當點P在位置M時，取到最大值，
當點P在位置N時，取到最小值，
所以的取值范圍是，即，
所以的最大值，最小值，
所以.
故選：C.
【變式5-3】設是橢圓上一點，，分別是兩圓和上的點，則的最小值、最大值分別為（ ）
A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11
【答案】B
【解析】的圓心為，的圓心為，兩圓半徑均為，
由于，，所以橢圓的兩個焦點分別為和，
由橢圓定義可知：，
所以的最大值為，的最小值為.
故選：C
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
【典例6-1】（2024·高三·江蘇南京·開學考試）已知是橢圓上一點，是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，設，，延長交于，
由題意知，為的中點，故為中點，
又，即，則，
又點在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，
因此，
則，
可得，，
又，則，
因此可得，
又在中，，則，
將， 代入得，
即，由所以，
所以，.
故選：A.
【典例6-2】橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，設雙曲線的實軸長為，
因為與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，
則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，
所以，，則，
設橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，
因為，則，故.
故選：B.
【變式6-1】橢圓C：的左、右焦點分別為、，直線過且與橢圓交于A、B兩點（A在B左側(cè)），若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，
則，故，
由橢圓的定義知，，
設，則，故，
所以，解得（正值舍去），
所以，
如圖，作，M為垂足，由，得為的中點，
所以，則，故.
故選：A
【變式6-2】已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為 .
【答案】/
【解析】取橢圓的左焦點，連結(jié)，
由為等邊三角形，則，
可知為直角三角形，且，
設，則，，
可得，則，
所以橢圓的離心率是.
故答案為：.
方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式
【典例7-1】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知橢圓的左 右焦點分別為上一點滿足，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，
在中，，
則，
即，
整理得，
所以的離心率.
故選：D.
【典例7-2】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，延長交橢圓于，根據(jù)橢圓的對稱性，得，，
當分別位于的左、右頂點時，有最大值，
又因為不重合，所以，即，
解得，
所以的離心率的取值范圍為．
故選：C．
【變式7-1】已知直線過橢圓的一個焦點與交于兩點，若當垂直于軸時，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，不妨設直線經(jīng)過橢圓的右焦點，因垂直于軸，由圖形對稱性知，橢圓經(jīng)過點，
代入橢圓方程可得，，整理得，，
把代入整理得，，
兩邊同除以，即得，，解得或，
因，故得，.
故選：C.
【變式7-2】已知，分別是橢圓的左、右焦點，是坐標原點，是橢圓上一點，與軸交于點．若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】由，得，則，則，
則，即，解得，
則，
因為，所以，
即，整理得，
則，解得或，
故或．
故選：B.
方向3：利用最大頂角滿足
【典例8-1】（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，
，
點的軌跡是以原點為圓心，半焦距為半徑的圓，
又點總在橢圓內(nèi)部，
該圓內(nèi)含于橢圓，即，，
，．
故選：A．
【典例8-2】設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
【答案】
【解析】設點，易知，，則，
故點的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，
由圖可知，即，可得，又因為，故．
故答案為：．
【變式8-1】已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
【答案】
【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知
橢圓的離心率最小值為
根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知
故答案為：
【變式8-2】（2024·廣東·廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由橢圓的定義可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，當且僅當時等號成立，
故，
所以，，解得：.
故答案為：
方向4：坐標法
【典例9-1】焦點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設橢圓的標準方程為，
不妨設矩形的對角線所在的直線方程為：（假設），
聯(lián)立，則，解得：，，
所以矩形的面積為：，
當且僅當時取等，
因為點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，
所以，則，即，
，即，
解得：，即.
故選：C.
【典例9-2】（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左 右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，，所以圓的方程為，
令，則，由圖可知，
令，則或，所以.
設點，因為的面積為，
所以，解得，
又因為直線的方程為，因為點在直線上，
所以令，得，所以，
因為點在橢圓上，所以，即，
所以，化簡得，
所以，所以，因為，所以，
所以.
故選：C.
【變式9-1】（2024·新疆烏魯木齊·三模）設M，N，P是橢圓上的三個點，O為坐標原點，且四邊形OMNP為正方形，則橢圓的離心率為 ；
【答案】/
【解析】
因為四邊形OMNP為正方形，結(jié)合圖形可知，可設，
則，則，的坐標為，
所以，所以，
所以橢圓的離心率.
故答案為：.
【變式9-2】（2024·山東泰安·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，點M，N在C上，且滿足且，若，則C的離心率為 .
【答案】/
【解析】如圖所示，設，且，，
由，得，，
所以，即①，
又，可化為，
將①式代入得，，
即，配方整理得，，
所以，即，則，
又由，，得，，
因為，所以，
所以，根據(jù)余弦定理，
，
，
所以，解得，所以.
方向5：找?guī)缀侮P系，利用余弦定理
【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
我們首先來證明一個引理：若，則，
證明如下：設，則由余弦定理有
，即，
所以，
所以，從而引理得證；
根據(jù)題意可得， ，解得，
因為，所以，解得，
由，，可得三角形為等邊三角形，
所以，所以，
所以，所以是的中點，
所以，所以，即，
所以.
故選：C.
【典例10-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，顯然點不在x軸上，，
則，
由余弦定理得，
因此，而，
于是，整理得，則，
所以的離心率為.
故選：C
【變式10-1】（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于點，與軸交于點，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，因為，所以，，
由對稱性可得，又，所以，
所以，，
又，所以，，又，
所以由余弦定理，
所以，的離心率.
故選：A.
方向6：找?guī)缀侮P系，利用正弦定理
【典例11-1】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
【典例11-2】已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【答案】A
【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.
因為為橢圓上一點，所以，即，
整理得，所以，解得.故選D.
【變式11-1】過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
【變式11-2】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由題意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以橢圓的離心率.
故選：B.
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，點為橢圓上的一點，
由橢圓的定義，可得，
因為，當且僅當時，等號成立，
又，所以，可得，
因為，可得，
則，其中，
當或時，，
又，所以，可得，則，
所以橢圓的離心率為.
故選：C.
【典例12-2】設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示：
設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
【變式12-1】設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可設直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性不妨設為第一象限的點，即，
則，，因為，
所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
【變式12-2】（2024·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設P在x軸上方，設，，
∴
當且僅當取等號，
∵直線l上存在點P滿足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為
【典例13-1】在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
【典例13-2】（2024·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】設點的橫坐標為，，
則由橢圓的定義可得，
，由題意可得，
，
，，
則該橢圓的離心率的取值范圍是，，
故答案為：，．
【變式13-1】已知P為橢圓上一點，為橢圓焦點，且，則橢圓離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由P為橢圓上一點，.
又，所以
又，即.
即 ，得，即
故選：D
【變式13-2】（2024·全國·模擬預測）若直線與橢圓相交于兩點，以為直徑的圓經(jīng)過左焦點，且，則橢圓的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】如圖，設橢圓的右焦點為，由橢圓的對稱性知，四邊形為平行四邊形，
因為以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，所以四邊形為矩形，
故．
設，則．
在中，，
所以，所以，
所以．令，得，
由，得．
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
即，則，故，
所以，
所以橢圓的離心率的取值范圍是,

故答案為：.
方向9：利用橢圓第三定義
【典例14-1】已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設，
由點P在橢圓上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
【典例14-2】（2024·全國·模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓上異于的一點．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，
由直線與橢圓交于兩點可知兩點關于原點對稱，
所以且，
由題意知：，兩式相減得：
，
即，
又，
由橢圓的離心率的取值范圍是，
即，
所以，
即，
故選：D.
【變式14-1】（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學校考模擬預測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，橢圓的左頂點為，
因為點是橢圓上關于軸對稱的兩點，可設，則，
所以，可得，
又因為，即，
代入可得，所以離心率為.
故選：D.
【方法技巧】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關系，知道中任意兩者間的等式關系或不等關系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標法.
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
【典例15-1】（多選題）（2024·高三·廣西南寧·開學考試）橢圓C：的焦點為，，上頂點為A，直線與橢圓C的另一個交點為B，若，則（ ）
A．橢圓C的焦距為2 B．的周長為8
C．橢圓C的離心率為 D．的面積為
【答案】ABD
【解析】由題意可知，，，
故為等邊三角形，則，，
又，
所以，，，
所以焦距，A正確；
離心率，C錯誤；
由橢圓定義可知，的周長，B正確．
設，則，又，
由余弦定理可得，
所以，D正確，
故選：ABD．
【典例15-2】（多選題）已知橢圓，且兩個焦點分別為，，是橢圓上任意一點，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為 B．的周長為12
C．的最小值為3 D．的最大值為16
【答案】AD
【解析】橢圓，則
對于A：，故A錯誤；
對于B：的周長為，故B正確；
對于C：的最小值為，故C錯誤；
對于D：，當且僅當時等號成立，故D正確．
故選：BD．
【方法技巧】
標準方程
圖形
性質(zhì) 焦點 ， ，
焦距
范圍 ， ，
對稱性 關于軸、軸和原點對稱
頂點 ， ，
軸 長軸長，短軸長
離心率 （注：離心率越小越圓，越大越扁）
【變式15-1】（多選題）（2024·安徽·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（ ）
A．C的離心率為 B．
C．的最大值為 D．使為直角的點P有4個
【答案】ACD
【解析】由原方程可得橢圓標準方程為，
，，故A錯誤；
由橢圓定義可知，故B正確；
由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；
易知以線段為直徑的圓（因為）與C有4個交點，故滿足為直角的點有4個，故D正確.
故選：BCD
【變式15-2】（多選題）（2024·安徽合肥·一模）已知橢圓的左 右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（ ）
A．存在點，使
B．
C．的最小值為
D．周長的最大值為8
【答案】ACD
【解析】
對于A,設橢圓的上頂點為，則直角三角形中，，則，故A錯誤；
對于B，設，則，，且，即，又,
則，
又，故，則B正確；
對于C，，，，
則當時，取最小值為，故C正確；
對于D，設橢圓的右焦點為,
的周長為：,
當且僅當三點共線時，等號成立，故D正確，
故選：BCD.
【變式15-3】（多選題）（2024·高三·安徽合肥·期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（ ）
A． B．的最大值為8
C．的取值范圍是 D．的取值范圍是
【答案】BD
【解析】由橢圓定義得，，，A錯誤；
，當時取等號，B錯誤；
，設，則，，，
，由，得，C正確；
，，D正確.
故選：CD
【變式15-4】（多選題）（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設在上，則（ ）
A．“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為 B．的離心率為
C．旋轉(zhuǎn)前的橢圓標準方程為 D．
【答案】ACD
【解析】由題意可知，斜橢圓關于和對稱，聯(lián)立直線與，可得，聯(lián)立直線與，可得，所以兩焦點所在直線方程為，A選項錯誤；
由可知，與相交的兩點之間距離等于短軸為，與相交的兩點之間距離等于長軸為，故焦距為，故的離心率為，選項正確；
旋轉(zhuǎn)不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉(zhuǎn)前的橢圓焦點在軸上，曲線方程為選項正確；
因為，關于的方程有解，所以，解得，所以選項正確，
故選：BCD．
【變式15-5】（多選題）已知橢圓的左 右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，若的最小值為4，則（ ）
A．橢圓的短軸長為
B．的最大值為8
C．離心率為
D．橢圓上不存在點，使得
【答案】AD
【解析】
易知當軸時，即線段為通徑時，最短，，解得，橢圓方程為，
對于，橢圓的短軸長為，故A錯誤；
對于，因為的周長為，且，故B正確；
對于C，離心率，故C錯誤；
對于，易知當點位于短軸頂點時，最大，此時，又為三角形內(nèi)角，橢圓上不存在點，使得，故D正確，
故選:BD.
【變式15-6】（多選題）（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．橢圓的離心率為
C．是橢圓的一個焦點 D．
【答案】ACD
【解析】橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，
得到橢圓的方程：，
設點在該橢圓上，則其關于的對稱點代入橢圓方程有
，即，則該對稱點位于橢圓方程上，
同理其關于的對稱點代入橢圓方程有
，即，則該對稱點位于橢圓方程上，
則關于對稱，
所以，故D正確；
將代入可得，
可得橢圓長軸的頂點為，所以，故A正確；
將代入可得，
可得橢圓長軸的頂點為，所以，
則，則，故B錯誤；
所以焦點坐標為或，所以C正確；
故選：ACD
題型八：利用第一定義求解軌跡
【典例16-1】動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，則動點的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】因為動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，
所以，即，
整理可得：，即，
故答案為：.
【典例16-2】 中，，，AC，AB邊上的兩條中線之和為39，則的重心的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，設的重心為，因為，邊上的兩條中線之和為39，所以，根據(jù)橢圓定義可知，點軌跡是以、為焦點的橢圓，且，，因此的重心的軌跡方程為.
故答案為：.
【方法技巧】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標志的定點連起來做判斷． 焦點往往有以下的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當看到滿足以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
【變式16-1】已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】連接，由題意，，則，
由橢圓的定義可得動點D的軌跡為橢圓，其焦點坐標為，長半軸長為2，
故短半軸長為1，故軌跡方程為：.
故答案為：.
【變式16-2】一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，
所以，所以圓心的軌跡為橢圓.
其中，，故，
因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.
故答案為：.
【變式16-3】已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為 ．
【答案】（）．
【解析】設，
因為橢圓的長軸端點為，
設直線和的交點為，
因為三點共線，所以，，
因為三點共線，所以，
兩式相乘得，（）,
因為，所以，即，
所以，整理得（），
所以直線和的交點的軌跡方程（）.
故答案為：（）.
【變式16-4】已知在中，AB＝8，以AB的中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設，，若，則點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題得
，
則，即，
又，為的內(nèi)角，則，則有，故，
由題可設，，，則，
所以且，則，即.
故答案為：
【變式16-5】已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
【答案】
【解析】設動圓P的圓心為，半徑為，
由題意得，
所以，
所以點P的軌跡為以為焦點的橢圓，
則，即，，則，
所以動圓圓心的軌跡方程為，
故答案為：
【變式16-6】（2024·遼寧鞍山·二模）在平面直角坐標系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，存在非零實數(shù)，使得，則頂點C的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設，因為，所以是的重心，
因為，所以，
所以, 所以點在的角平分線上，
因為∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，所以點為的內(nèi)心.
所以點，即，
又，所以與軸平行，又，
所以,
所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，，
當是橢圓的長軸的端點時，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長軸的端點；
當是橢圓的短軸的端點時，與已知存在非零實數(shù)，使得矛盾，所以不能取到橢圓的短軸的端點.
又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為.
所以點的軌跡方程為.
故答案為：
【變式16-7】（2024·湖南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知兩定點，，動點P到，的距離之和為，若存在一點P滿足的面積為，寫出滿足條件的一個動點P的軌跡方程 ．
【答案】
【解析】由題可知，動點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，
橢圓方程可設為，
橢圓的焦點三角形面積，
所以題中所謂的焦點三角形面積，
即，
所以，
所以橢圓方程為，
寫出一個符合題意的橢圓方程，則可以是，
故答案為：.
【變式16-8】（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設圓的半徑為，則，則，
所以點的軌跡為以A，B為焦點，長軸長為6的橢圓．
則，所以，
所以動圓的圓心的軌跡方程為．
故答案為：.
【變式16-9】已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為 ．
【答案】.
【解析】設點，
由得點，而點P為橢圓上的任意一點，
于是得，整理得：，
所以點M的軌跡方程是.
故答案為:
題型九：橢圓的實際應用
【典例17-1】（2024·全國·模擬預測）我國在2022年完成了天宮空間站的建設，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個焦點上．已知某次變軌任務前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍，則此次變軌任務前的橢圓軌道的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設變軌前橢圓的長半軸長和離心率分別為，則半焦距為，
設變軌后橢圓的長半軸長為，顯然變軌后橢圓離心率為，半焦距為，
依題意，，整理得，即，
而，解得，
此次變軌任務前的橢圓軌道的離心率為.
故選：C
【典例17-2】開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.若某行星距太陽表面的最大距離為，最小距離，太陽半徑為，則該行星運行軌跡橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓的焦距為，長軸長為，
則由已知可得，
兩式相加可得，兩式相減可得，
則，，
所以離心率.
故選：A.
【方法技巧】
橢圓在實際應用中極為廣泛，體現(xiàn)在建筑、產(chǎn)品設計、物理學、工程學及計算機科學等多個領域。例如，在建筑中，橢圓形設計用于體育場館和會展中心等，增強視覺效果與空間利用率；在物理學中，橢圓軌道描述行星繞太陽的運動路徑；在密碼學中，橢圓曲線密碼保障互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)安全；在圖形圖像處理中，橢圓擬合技術(shù)助力物體輪廓檢測。橢圓的應用多樣且重要，展現(xiàn)了其在現(xiàn)代科技中的核心價值。
【變式17-1】（2024·河北·一模）中國國家大劇院的外觀被設計成了半橢球面的形狀.如圖，若以橢球的中心為原點建立空間直角坐標系，半橢球面的方程為（，，且a，b，c不全相等）.若該建筑的室內(nèi)地面是面積為的圓，給出下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】在中，令可得該建筑室內(nèi)地面對應的曲線方程為，
由室內(nèi)地面是面積為的圓，故，①對；
且，則，又不全相等，故，②錯；
若，則，可得，與不全相等矛盾，③錯；
若，則，故，④對.
故選：B.
【變式17-2】 2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調(diào)整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【答案】A
【解析】設橢圓的方程為（），
由橢圓的性質(zhì)可知橢圓上的點到焦點距離的最小值為，最大值為，
根據(jù)題意可得近火點滿足①，
遠火點滿足②，
由得，
故選：A
【變式17-3】（2024·江蘇泰州·模擬預測）我國自主研發(fā)的“嫦娥四號”探測器成功著陸月球，并通過“鵲橋”中繼星傳回了月球背面影像圖．假設“嫦娥四號”在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，其軌道的離心率為e，設月球的半徑為R，“嫦娥四號”到月球表面最近的距離為r，則“嫦娥四號”到月球表面最遠的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】橢圓的離心率，設衛(wèi)星近地點遠地點離月球表面的距離分別為
則
故選：B
【變式17-4】（2024·云南曲靖·模擬預測）某單位使用的圓臺形紙杯如圖所示，其內(nèi)部上口直徑 下口直徑 母線的長度依次等于，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當水面恰好到達杯底（到達底面圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于 .
【答案】
【解析】由教材章頭圖知識知道，用平面截對接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線.對于本題，如圖，水面到達杯底（底面圓“最高處”）的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長軸，是橢圓的短軸.是圓臺的軸線，作于，則
，
，
記與的交點為的中點為，則，
，
，
，
由實際情形知，點在圓臺的過軸線的中點且與軸線垂直的截面圓上，.由垂徑定理知垂直平分，
，
記橢圓的離心率為，長半軸長 短半軸長 半焦距為，
則.
故答案為：.
【變式17-5】（多選題）（2024·河北·三模）已知一個裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為，玻璃杯高為（玻璃厚度忽略不計），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，表示水平桌面．當玻璃杯傾斜時，瓶內(nèi)水面為橢圓形，陰影部分為瓶內(nèi)水的正視圖．設，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，橢圓的離心率為
B．當橢圓的離心率最大時，
C．當橢圓的焦距為4時，
D．當時，橢圓的焦距為6
【答案】AD
【解析】過作于，如圖，
由，當時，在中，，
所以橢圓中，，故A正確；
因為橢圓的短軸長為定值6，，所以當橢圓的長軸最長時，橢圓的離心率最大，
由圖可知，橢圓長軸為時，橢圓的長軸最長，此時，故B錯誤；
當橢圓的焦距為4時，，即，
所以，所以，故C錯誤；
當時，，所以，
由勾股定理可得，即，，
所以，所以焦距，故D正確.
故選：AD
【變式17-6】甲 乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內(nèi)是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲 乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A B兩點處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲 乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質(zhì)，即從一個焦點發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)已知橢圓：上一點M，過點M作切線l，A，B兩點為左右焦點，，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為 .
【答案】
【解析】如圖，過M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點，，，由光學性質(zhì)可知MN平分，，
則，
因為，
故，
所以，
.
故答案為：.
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】設點，則，
因為為的中點，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點的軌跡方程為.
故選：A
2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學真題）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】方法一：因為，所以，
從而，所以．
故選：B.
方法二：
因為，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：設，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故選：A
1．已知橢圓，直線．橢圓上是否存在一點，使得：
（1）它到直線l的距離最小？最小距離是多少？
（2）它到直線l的距離最大？最大距離是多少？
【解析】設橢圓上點，
則點到直線距離
，其中，
（1）當時，，
此時，即，
所以，，
所以存在點到直線距離最小，最小值為；
（2）當時，，
此時，即，
所以，，
所以存在點到直線距離最大，最大值為；
2．如圖，矩形ABCD中，，．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，，，是線段CF的四等分點．證明直線ER與、ES與、ET與的交點L，M，N都在橢圓上．
【解析】由題得，，所以，
所以直線的方程為，（1）
由題得，所以，
所以直線的方程為，（2）
聯(lián)立方程（1）（2）解之得
所以直線的交點為，
代入橢圓方程得，
所以直線的交點在橢圓上.
同理ES與、ET與的交點M，N都在橢圓上．
3．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線
【解析】設動圓圓心為，半徑為，
設圓和圓的圓心分別為、，
將圓的方程分別配方得：圓，圓
當動圓與圓相外切時，有 …①
當動圓與圓相內(nèi)切時，有…②
將①②兩式相加，得，
∴動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，
所以點的軌跡是焦點為點、，長軸長等于的橢圓．
設該橢圓的長軸為，短軸為，焦距為；
∴，
∴
∴
∴動圓圓心軌跡方程為，軌跡為橢圓．
4．如圖，軸，垂足為D，點M在DP的延長線上，且，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
【解析】設點的坐標為，點，由題意可知，
則由題可得，即，
點P在圓上運動，
，
即點的軌跡方程為，點的軌跡為橢圓，除去與軸的交點.
5．如圖，圓的半徑為定長，是圓內(nèi)一個定點，是圓上任意一點．線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是什么？為什么？

【解析】連接、，如下圖所示：
因為線段的垂直平分線和半徑相交于點，
由中垂線的性質(zhì)可得，
因為點在半徑為的圓內(nèi)，則，
因為，
由橢圓的定義可知，點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓.
易錯點：橢圓焦點位置考慮不周全
易錯分析： 考慮橢圓焦點位置時，易錯點在于未全面分析橢圓的長短軸與坐標軸的關系。若僅依據(jù)直觀判斷，可能誤設焦點位置，導致后續(xù)計算錯誤。因此，應準確判斷橢圓的長軸、短軸與x、y軸的相對位置，再確定焦點坐標，避免誤判。
【易錯題1】已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，焦距等于，離心率等于，則此橢圓的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)焦距可得，再由，可得，由即可求解.由題意可得，解得，
又，可得，
，
焦點在軸上，
橢圓的方程是.
故選：C
【易錯題2】已知橢圓的長軸長為8，離心率為，則此橢圓的標準方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】∵橢圓的長軸為8，離心率是，
∴，，解得，，，
因此，當橢圓的焦點在x軸上時，其方程為；
當橢圓的焦點在y軸上時，其方程為．
故選：B．
答題模板：求橢圓的標準方程
1、模板解決思路
求橢圓的標準方程一般“先定型，再定量”，即先確定焦點是在x 軸上還是在y軸上，再設出相應的標準方程，由已知條件確定的值.
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點位置，設出橢圓的方程.
第二步：根據(jù)已知條件建立方程，求出待定系數(shù)。
第三步：寫出橢圓的方程.
【典型例題1】中心位于坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓的上、下焦點分別為，右頂點為，若的長軸長為，，則的標準方程為 ．
【答案】
【解析】由橢圓的長軸長為4，則可得，解得，
因為，由橢圓的對稱性可知，
所以，解得，所以，
又橢圓的焦點在軸上，所以的標準方程為.
故答案為：.
【典型例題2】已知是橢圓的左 右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且.若坐標原點到直線的距離為3，則橢圓的標準方程為 .
【答案】
【解析】由可得，
由可得，則△是等邊三角形，
設，則①，
∴直線的方程為，即，
∴到直線的距離為②，
又③，
聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.
故答案為：
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