資源簡介

第04講 直線與圓、圓與圓的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線與圓的位置關系 4
知識點2：圓與圓的位置關系 4
解題方法總結 5
題型一：直線與圓的位置關系的判斷 6
題型二：弦長與面積問題 6
題型三：切線問題、切線長問題 7
題型四：切點弦問題 8
題型五：圓上的點到直線距離個數問題 9
題型六：直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題 10
題型七：圓與圓的位置關系 12
題型八：兩圓的公共弦問題 13
題型九：兩圓的公切線問題 13
04真題練習·命題洞見 14
05課本典例·高考素材 15
06易錯分析·答題模板 16
易錯點：求與圓的切線有關的問題 16
答題模板：已知直線與圓、圓與圓的位置關系求參數 17
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與圓的位置關系 （2）圓與圓的位置關系 2024年甲卷（文）第12題，5分 2023年乙卷（理）第12題，5分 2023年I卷第6題，5分 2023年II卷第15題，5分 2022年I卷第14題，5分 高考對直線與圓、圓與圓的位置關系的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，但命題形式上比較靈活，備考時應熟練掌握相關題型與方法，除了直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷外，還特別要重視直線與圓相交所得弦長及相切所得切線的問題．
復習目標： （1）能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系． （2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．
知識點1：直線與圓的位置關系
1、幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
2、代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
【診斷自測】已知圓C：，直線：，則直線與圓C的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
知識點2：圓與圓的位置關系
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：
設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內切；
兩圓內含（時兩圓為同心圓）
設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征
代數特征 無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
公切線條數 4 3 2 1 0
【診斷自測】（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A．外切 B．相交 C．內切 D．沒有公共點
解題方法總結
關于圓的切線的幾個重要結論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
題型一：直線與圓的位置關系的判斷
【典例1-1】（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【典例1-2】已知集合，，則的子集個數為（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
【方法技巧】
判斷直線與圓的位置關系的常見方法
（1）幾何法：利用d與r的關系．
（2）代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．
（3）點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．
【變式1-1】已知圓經過三點，則直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切
C．相交且直線過圓心 D．相交且直線不過圓心
【變式1-2】直線與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【變式1-3】集合，集合，若中有8個元素，則值可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式1-4】已知，則圓與直線的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
題型二：弦長與面積問題
【典例2-1】（2024·江西上饒·模擬預測）直線被圓截得最大弦長為 ．
【典例2-2】（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知直線與圓交于A，B兩點，若鈍角的面積為，則實數a的值是 ．
【方法技巧】
弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．
【變式2-1】（2024·高三·北京·開學考試）直線被圓所截得的弦長為 .
【變式2-2】（2024·天津武清·模擬預測）已知直線與圓C：相交于A，B兩點，且，則實數 .
【變式2-3】在平面直角坐標系中，已知圓：，過點的動直線與圓交于點，，若的面積最大值為，則的最大值為 .
【變式2-4】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為 .
【變式2-5】直線與圓：交于，兩點，若，則 .
【變式2-6】已知直線與圓交于，兩點，為坐標原點，則 ， .
【變式2-7】（2024·江蘇南京·三模）已知圓，過點的直線交圓于，兩點，且，則直線的方程為 .
題型三：切線問題、切線長問題
【典例3-1】圓在點處的切線方程為 .
【典例3-2】已知圓C：，過直線上點P引圓C的切線，切點為A，B，則當△ABC的面積最大時，點P的坐標為 ．
【方法技巧】
（1）圓的切線方程的求法
①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
【變式3-1】（2024·河北邢臺·一模）已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則 ，該直線的方程為 ．
【變式3-2】（2024·高三·貴州安順·期末）在平面直角坐標系中，一條光線從點時出，經直線反射后，與圓相切，寫出一條反射后光線所在直線的方程 .
【變式3-3】（2024·安徽·三模）已知曲線與曲線在第一象限交于點A，記兩條曲線在點A處的切線的傾斜角分別為，則 ．
【變式3-4】關于曲線有以下五個結論：
①當時，曲線C表示圓心為，半徑為的圓；
②當，時，過點向曲線C作切線，切點為A，B，則直線AB的方程為；
③當，時，過點向曲線C作切線，則切線方程為；
④當時，曲線C表示圓心在直線上的圓系，且這些圓的公切線方程為或；
⑤當，時，直線與曲線C表示的圓相離.
以上正確結論的序號為 .
【變式3-5】圓，直線，若直線上存在點，過點作圓的兩條切線，切點是，使得，則實數的取值范圍是 ．
題型四：切點弦問題
【典例4-1】已知點P是直線上的動點，過點P作圓O：的兩條切線，切點分別為，則點到直線的距離的最大值為 .
【典例4-2】（2024·高三·黑龍江牡丹江·期中）過原點作圓的兩條切線，設切點分別為，則直線的方程為 .
【方法技巧】
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．
【變式4-1】（2024·貴州·高三凱里一中校聯考開學考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為 .
【變式4-2】（2024·重慶·統考模擬預測）若圓關于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知圓，為直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，當四邊形的面積最小時，則直線的方程為 .
【變式4-4】已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，的中點為Q，若點T的坐標為，則的最小值為 .
【變式4-5】（2024·廣東湛江·一模）已知點P為直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為 ．
【變式4-6】（2024·四川·模擬預測）已知點在拋物線上運動，過點的兩直線與圓相切，切點分別為，當取最小值時，直線的方程為 .
題型五：圓上的點到直線距離個數問題
【典例5-1】（2024·廣東·一模）已知直線與直線相交于點M，若恰有3個不同的點M到直線的距離為1，則（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
臨界法
【變式5-1】已知圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則實數的值為
A．或 B． C． D．或
【變式5-2】（2024·江蘇南京·模擬預測）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式5-3】設點P是函數圖象上任意一點，點Q的坐標，當取得最小值時圓C：上恰有2個點到直線的距離為1，則實數r的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2024·山西·二模）已知是坐標原點，若圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
題型六：直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題
【典例6-1】（2024·江西·模擬預測）已知實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【典例6-2】（2024·河南·三模）已知為圓上兩點，且，點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．
【變式6-1】直線與直線交于點，當變化時，點到直線的距離的最大值是 ．
【變式6-2】（2024·四川綿陽·模擬預測）直線，與圓相交于、兩點，點為直線上一動點，則的最小值是 .
【變式6-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為 ．
【變式6-4】已知、滿足：，，，則代數式的取值范圍是 .
【變式6-5】若，則的最小值為 .
表示點到點的距離，
表示點到直線的距離，設點在直線上的射影點為，
【變式6-6】（2024·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知圓與直線相切，函數過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為 .
，
【變式6-7】（2024·山東青島·三模）已知向量，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．－1 B． C．2 D．1
題型七：圓與圓的位置關系
【典例7-1】（2024·吉林長春·模擬預測）已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（ ）
A．內含 B．相切 C．相交 D．外離
【典例7-2】（2024·山東·模擬預測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相交 C．內切 D．內含
【方法技巧】
已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內切；
（5）兩圓內含；
【變式7-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，，若圓上存在點P滿足，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·陜西榆林·模擬預測）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則b的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·江西鷹潭·三模）已知，直線與的交點在圓：上，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】（2024·北京·三模）已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-5】（2024·甘肅張掖·模擬預測）若圓上存在唯一點，使得，其中，則正數的值為（ ）
A． B． C． D．
題型八：兩圓的公共弦問題
【典例8-1】（2024·湖南衡陽·三模）已知圓，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于A，B兩點，且，則圓和圓的公共弦所在的直線方程為 .
【典例8-2】（2024·四川·模擬預測）圓與圓的公共弦長為 .
【方法技巧】
兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．
【變式8-1】圓與圓的公共弦所在直線被圓：所截得的弦長為 ．
【變式8-2】已知圓與圓相交于兩點，則 .
【變式8-3】已知以1為半徑的圓的圓心在軸上，以2為半徑的圓的圓心在軸上，且兩圓公共弦所在直線為，則這兩個圓的公共弦長為 .
題型九：兩圓的公切線問題
【典例9-1】（2024·高三·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【典例9-2】圓和圓的公切線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【方法技巧】
待定系數法
【變式9-1】（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式9-2】若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經過點的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式9-4】（2024·高三·全國·單元測試）若直線是與的公切線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-5】已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時相切的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
1．已知，，三點，點P在圓上運動，求的最大值和最小值．
2．已知點和以點Q為圓心的圓．
（1）畫出以為直徑，點為圓心的圓，再求出圓的方程；
（2）設圓Q與圓相交于A，B兩點，直線PA，PB是圓Q的切線嗎？為什么？
（3）求直線AB的方程．
3．如圖，圓內有一點，AB為過點且傾斜角為的弦．
（1）當時，求AB的長．
（2）是否存在弦AB被點平分？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．
4．已知圓，直線，b為何值時，圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1？
5．求圓與圓的公共弦的長．
易錯點：求與圓的切線有關的問題
易錯分析： 求過某點的圓的切線問題時，應先確定點與圓的位置關系，再確定方程．若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條．此時應注意斜率不存在的情況．
【易錯題1】寫出一個過點且與圓相切的直線方程 ．
【易錯題2】已知圓，直線過點且與圓相切，若直線與兩坐標軸交點分別為、，則 ．
答題模板：已知直線與圓、圓與圓的位置關系求參數
1、模板解決思路
對于直線與圓，利用點到直線距離公式及圓心到直線距離與半徑關系判斷位置；對于圓與圓，利用圓心距與兩圓半徑之和、之差的關系判斷位置。結合這些位置關系，可以設立方程或不等式求解未知參數。
2、模板解決步驟
第一步：根據直線與圓的距離公式或圓與圓的圓心距公式，建立與位置關系對應的方程或不等式；
第二步：解這個方程或不等式，得到參數的取值范圍或具體值；
第三步：驗證解的正確性。
【典型例題1】已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典型例題2】已知點，圓，若圓上存在點使得，則實數的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 直線與圓、圓與圓的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線與圓的位置關系 4
知識點2：圓與圓的位置關系 5
解題方法總結 5
題型一：直線與圓的位置關系的判斷 6
題型二：弦長與面積問題 9
題型三：切線問題、切線長問題 13
題型四：切點弦問題 18
題型五：圓上的點到直線距離個數問題 23
題型六：直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題 27
題型七：圓與圓的位置關系 34
題型八：兩圓的公共弦問題 38
題型九：兩圓的公切線問題 40
04真題練習·命題洞見 44
05課本典例·高考素材 47
06易錯分析·答題模板 49
易錯點：求與圓的切線有關的問題 49
答題模板：已知直線與圓、圓與圓的位置關系求參數 51
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與圓的位置關系 （2）圓與圓的位置關系 2024年甲卷（文）第12題，5分 2023年乙卷（理）第12題，5分 2023年I卷第6題，5分 2023年II卷第15題，5分 2022年I卷第14題，5分 高考對直線與圓、圓與圓的位置關系的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，但命題形式上比較靈活，備考時應熟練掌握相關題型與方法，除了直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷外，還特別要重視直線與圓相交所得弦長及相切所得切線的問題．
復習目標： （1）能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系． （2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．
知識點1：直線與圓的位置關系
1、幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
2、代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
【診斷自測】已知圓C：，直線：，則直線與圓C的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【解析】由直線，可得，所以直線過定點，
又，所以點在圓內部，所以直線與圓相交.
故選：A.
知識點2：圓與圓的位置關系
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：
設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內切；
兩圓內含（時兩圓為同心圓）
設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征
代數特征 無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
公切線條數 4 3 2 1 0
【診斷自測】（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A．外切 B．相交 C．內切 D．沒有公共點
【答案】A
【解析】直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，
即，得.
圓的圓心坐標為，半徑為，
其圓心在圓上，所以兩圓相交.
故選：B
解題方法總結
關于圓的切線的幾個重要結論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
題型一：直線與圓的位置關系的判斷
【典例1-1】（2024·安徽·模擬預測）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【答案】B
【解析】因為直線，即，
當時，，解得，
所以直線表示過定點，且除去的直線，
將圓的方程化為標準方程為，因為，點在圓上，
所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時直線為，不合題意，
所以直線與圓相交.
故選：C.
【典例1-2】已知集合，，則的子集個數為（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【解析】集合表示直線上點的集合，集合表示圓上點的集合．
圓的圓心坐標為，半徑為3，
點到直線的距離為，
所以直線與圓相交，
所以共有2個元素，所以的子集個數為．
故選：C．
【方法技巧】
判斷直線與圓的位置關系的常見方法
（1）幾何法：利用d與r的關系．
（2）代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．
（3）點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．
【變式1-1】已知圓經過三點，則直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切
C．相交且直線過圓心 D．相交且直線不過圓心
【答案】A
【解析】設圓的一般方程為，，
則，解得，
所以圓的方程為，即，
所以圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為.
所以直線與圓相交且直線l不過圓心.
故選：D.
【變式1-2】直線與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】A
【解析】由題意知，圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.
故選：A.
【變式1-3】集合，集合，若中有8個元素，則值可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由，當時，上式變為，
當時，上式變為，
當時，上式變為，
當時，上式變為，
其對應圖象如圖所示正方形，集合表示以坐標原點為圓心，為半徑的圓，
由含有8個元素即圖中正方形與圓有8個公共點，即圓與正方形的關系介于內切與外接之間，
則，解得.
故選：B.
【變式1-4】已知，則圓與直線的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
【答案】A
【解析】圓心到直線的距離，
因為，
即，所以圓與直線的位置關系是相交，
故選：B
題型二：弦長與面積問題
【典例2-1】（2024·江西上饒·模擬預測）直線被圓截得最大弦長為 ．
【答案】
【解析】由已知，圓的標準方程為，圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，解得，
所以弦長為，因為，
所以，所以弦長，
當即時，弦長有最大值.
故答案為：.
【典例2-2】（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知直線與圓交于A，B兩點，若鈍角的面積為，則實數a的值是 ．
【答案】/
【解析】由圓，即，
可得圓心坐標為，半徑為，
因為鈍角的面積為，可得，
解得，因為，所以，
可得，
設圓心到直線的距離為，又由圓的弦長公式，可得，解得，
根據點到直線的距離公式，解得．
故答案為：．
【方法技巧】
弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．
【變式2-1】（2024·高三·北京·開學考試）直線被圓所截得的弦長為 .
【答案】
【解析】化為標準方程得，
則圓心為，半徑，
顯然直線過圓心，則所截得弦為直徑，其長為.
故答案為：
【變式2-2】（2024·天津武清·模擬預測）已知直線與圓C：相交于A，B兩點，且，則實數 .
【答案】
【解析】根據題意，圓，
即，其圓心為，半徑，
若，則圓心到直線即的距離，
又由圓心到直線的距離，
則有，解可得：.
故答案為：.
【變式2-3】在平面直角坐標系中，已知圓：，過點的動直線與圓交于點，，若的面積最大值為，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因為圓：，即，可知圓心，半徑，
設圓心到動直線的距離為d，設其最大值為，可知，
則，
可得的面積，
令，可知在上的最大值為，
令，解得或，
結合二次函數對稱性可知，即，即圓心到動直線的距離的最大值為2，
此時點在以為圓心，2為半徑的圓M上，
又因為即為點與點連線的斜率，
顯然當直線與圓M相切于第一象限時，斜率最大，
此時，可知，
即的最大值為為.
故答案為：.
【變式2-4】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為 .
【答案】
【解析】由題意得，直線的斜率存在，設，，直線MN的方程為，與聯立，得，，得，，.因為，所以，則，于是，（由點A及C在y軸上可判斷出，同號）
所以，兩式消去，得，滿足，所以.
故答案為：
【變式2-5】直線與圓：交于，兩點，若，則 .
【答案】
【解析】設、，線段的中點坐標為，
則，
且∴，
即.
∵，兩點在圓上，
∴，，
又∵，
∴.
∴.
故答案為：.
【變式2-6】已知直線與圓交于，兩點，為坐標原點，則 ， .
【答案】
【解析】圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
所以，
設，，
由，消去整理得，則，，
又，，
所以
.
故答案為：；
【變式2-7】（2024·江蘇南京·三模）已知圓，過點的直線交圓于，兩點，且，則直線的方程為 .
【答案】或
【解析】當直線的斜率不存在時，設的方程為，
由，可得，或，
所以，符合題意；
當直線的斜率存在時，設的方程為，
因為，所以圓心到直線的距離，
由，得，
所以直線的方程為，
則直線的方程為或.
故答案為：或.
題型三：切線問題、切線長問題
【典例3-1】圓在點處的切線方程為 .
【答案】
【解析】因為圓的圓心為，，
易知點在圓上，又，所以切線的斜率為，
故切線方程為，即.
故答案為：.
【典例3-2】已知圓C：，過直線上點P引圓C的切線，切點為A，B，則當△ABC的面積最大時，點P的坐標為 ．
【答案】或
【解析】由題，所以時，最大，
由于PA，PB與圓相切，所以四邊形PACB是正方形，此時，
又點P在直線上，所以設點，則，
解得或，所以點P的坐標為或.
故答案為：或.
【方法技巧】
（1）圓的切線方程的求法
①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
【變式3-1】（2024·河北邢臺·一模）已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則 ，該直線的方程為 ．
【答案】 1
【解析】若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，
則一定在圓上，可得，
解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，
又直線斜率為，設該直線的斜率為，
顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，
化簡得直線方程為，
故答案為：1；
【變式3-2】（2024·高三·貴州安順·期末）在平面直角坐標系中，一條光線從點時出，經直線反射后，與圓相切，寫出一條反射后光線所在直線的方程 .
【答案】（答案不唯一，另一條為）
【解析】依題意，點關于直線的對稱點，
由光的反射定理知，從點射出的光線經直線反射后，與圓相切，
相當于從點發出的光線與圓相切，顯然該切線斜率存在，設方程為，
因此圓心到直線的距離，解得，
所以所求直線方程為或.
故答案為：
【變式3-3】（2024·安徽·三模）已知曲線與曲線在第一象限交于點A，記兩條曲線在點A處的切線的傾斜角分別為，則 ．
【答案】/
【解析】，解得，，故，
設曲線在點A處的切線為，即，
曲線在點A處的切線為，
由可得其圓心為，半徑為，
則有，即，解得，
對，有，則，則，
即，，
則.
故答案為：.
【變式3-4】關于曲線有以下五個結論：
①當時，曲線C表示圓心為，半徑為的圓；
②當，時，過點向曲線C作切線，切點為A，B，則直線AB的方程為；
③當，時，過點向曲線C作切線，則切線方程為；
④當時，曲線C表示圓心在直線上的圓系，且這些圓的公切線方程為或；
⑤當，時，直線與曲線C表示的圓相離.
以上正確結論的序號為 .
【答案】②④
【解析】對于①，當時，曲線，當時，C表示點，當時，曲線C表示圓心為，半徑為的圓，錯誤.
對于②，當，時，曲線，因此曲線C表示圓心為，半徑為的圓.
由于過點（記為點D）向曲線C作切線，切點為A，B，且點到點的距離為，
根據勾股定理可得，因此A，B可看作圓與圓的交點.
又圓的方程化成一般式為，
于是直線AB的方程為，
即直線AB的方程為，正確.
對于③，當，時，曲線，
圓的切線方程可設為（直線系方程），由于切線過點，因此，
又，解得或因此過點的切線方程為或，錯誤.
對于④，當時，曲線，因此曲線C表示圓心為，半徑為的圓.
于是曲線C的圓心在直線上，又圓心到直線的距離為，到直線的距離為，
因此曲線C表示圓心在直線上的圓系，且這些圓的公切線方程為或，正確.
對于⑤，當，時，曲線，因此曲線C表示圓心為，半徑為的圓.
將直線變形為，可知直線過定點，又點在圓內，
因此直線與曲線C表示的圓相交，錯誤.
綜上所述，正確的有②④.
故答案為：②④
【變式3-5】圓，直線，若直線上存在點，過點作圓的兩條切線，切點是，使得，則實數的取值范圍是 ．
【答案】或
【解析】由可得，由可得
，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，
其方程為．又點在直線上，
故直線與圓有公共點，所以，
解得，所以或．
故答案為：或
題型四：切點弦問題
【典例4-1】已知點P是直線上的動點，過點P作圓O：的兩條切線，切點分別為，則點到直線的距離的最大值為 .
【答案】1
【解析】設，過點P作圓O：的兩條切線，切點分別為，
則在以為直徑的圓上，該圓的方程為，
將和相減得：，
即得到直線的方程為，
又因為點P是直線，故，
則直線的方程為，即，
當且，即，時該方程恒成立，
所以直線AB過定點，
當Q與M的連線垂直于直線AB時，點Q到直線AB的距離最大，
此時最大值即為Q，M之間的距離，而，
即點到直線AB的距離的最大值為1，
故答案為：1
【典例4-2】（2024·高三·黑龍江牡丹江·期中）過原點作圓的兩條切線，設切點分別為，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】圓配方可得，
其圓心為，半徑，
過原點作圓的兩條切線，切點分別為，
則，
又點在圓上，
則直線為圓與圓的公共弦所在的直線，
兩圓方程相減可得，
即直線的方程為.
故答案為：.
【方法技巧】
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．
【變式4-1】（2024·貴州·高三凱里一中校聯考開學考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，
如圖所示，
根據圓的切線長公式，可得，
則，
當取最小值時，取最小值，此時，則，
則.
故答案為：.
【變式4-2】（2024·重慶·統考模擬預測）若圓關于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知：圓的圓心在直線上，
即有 ，
設點 ，則 ，
故以為直徑的圓的方程為： ，
將和相減，
即可得直線的方程，即 ，
則直線恒過定點，
故選：C
【變式4-3】已知圓，為直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，當四邊形的面積最小時，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】由，得到，所以圓心，半徑，
如圖，，
所以四邊形的面積，
所以當最小時，也最小，此時，，
故的方程為，即，
聯立解得：，，即，
所以直線的方程為，
化簡得：.
故答案為：.
【變式4-4】已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，的中點為Q，若點T的坐標為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】圓心，半徑，
設，則切點弦所在直線的方程為，
化簡得：，
所以直線過定點，
如圖，顯然，所以點Q的軌跡是以為直徑的圓，
其圓心為，，
因為，所以.
故答案為：
【變式4-5】（2024·廣東湛江·一模）已知點P為直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為 ．
【答案】
【解析】設，則滿足；
易知圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，如下圖所示：
易知，所以，即，整理可得；
同理可得，
即是方程的兩組解，
可得直線的方程為，聯立，即；
令，可得，即時等式與無關，
所以直線恒過定點，可得；
又在圓內，當，且點為的延長線與圓的交點時，點到直線的距離最大；
最大值為；
故答案為：
【變式4-6】（2024·四川·模擬預測）已知點在拋物線上運動，過點的兩直線與圓相切，切點分別為，當取最小值時，直線的方程為 .
【答案】
【解析】如圖，設，設與交于，
由題意知，，
中，，
而，則，
當最小時，取最小值.
而，
當且僅當時，取得最小值，此時，，，
則以為圓心，為半徑的圓的方程為：，
與圓的方程相減，可得的直線方程為：，即，
故答案為：
題型五：圓上的點到直線距離個數問題
【典例5-1】（2024·廣東·一模）已知直線與直線相交于點M，若恰有3個不同的點M到直線的距離為1，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
即過定點，
由可得，
即過定點，
又，所以的軌跡是以為直徑的圓（不含點），
其中圓心為，半徑為，
所以圓上恰有3個不同的點M到直線的距離為1，
只需圓心到直線的距離等于1，即，解得，
此時 到直線的距離不為1，故符合.
故選：B
【典例5-2】若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出到直線的距離為1的點的軌跡，得到與直線平行，
且到直線的距離等于1的兩條直線，
圓的圓心為原點，
原點到直線的距離為，
兩條平行線中與圓心距離較遠的一條到原點的距離為，
又圓上有4個點到直線的距離為1，
兩條平行線與圓有4個公共點，即它們都與圓相交．
由此可得圓的半徑，
即，實數的取值范圍是．
故選：．
【方法技巧】
臨界法
【變式5-1】已知圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則實數的值為
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解析】 由圓的方程，可得圓的圓心為原點，半徑為，若圓上恰有個點到直線的距離等于，因為半徑為，則到直線：的距離等于，直線的一般方程為：，，解得，故選D.
【變式5-2】（2024·江蘇南京·模擬預測）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】圓C：的圓心，半徑R
點C到直線的距離為
圓C上恰好存在2個點到直線的距離為1，則
故選：B
【變式5-3】設點P是函數圖象上任意一點，點Q的坐標，當取得最小值時圓C：上恰有2個點到直線的距離為1，則實數r的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，兩邊平方得：，即點P在以為圓心，2為半徑的圓的位于x軸下方部分（包含x軸上的部分），如圖所示：
因為Q的坐標為，則在直線，過點A作⊥l于點，與半圓交于點，此時長為的最小值，則，所以直線：，與聯立得：，所以，解得：，則圓C：，則，圓心到直線的距離為，要想圓C上恰有2個點到直線的距離為1，則.
故選：C
【變式5-4】（2024·山西·二模）已知是坐標原點，若圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心，半徑，
設與直線平行且距離為2的直線方程為，
則，解得，直線，，
點到直線的距離，到直線的距離，
由圓上有且僅有2個點到直線的距離為2，得圓與直線相交，且與直線相離，
則，即，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：A
題型六：直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題
【典例6-1】（2024·江西·模擬預測）已知實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】由題意知點在曲線上，
則圓心到直線的距離，
即，
又，
所以的最小值2．
故選：B.
【典例6-2】（2024·河南·三模）已知為圓上兩點，且，點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設線段的中點為，圓：的圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，所以，
故點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，
設點的軌跡為圓，圓上的點到直線的最短距離為．
所以．
故選:A.
【方法技巧】
直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．
【變式6-1】直線與直線交于點，當變化時，點到直線的距離的最大值是 ．
【答案】
【解析】直線過定點，直線過定點，
且直線與直線垂直，
所以點在以為直徑的圓上，圓心，半徑，
其方程為．
因為圓心到直線的距離為，
所以點到直線的距離的最大值為．
故答案為：
【變式6-2】（2024·四川綿陽·模擬預測）直線，與圓相交于、兩點，點為直線上一動點，則的最小值是 .
【答案】
【解析】因為直線，則直線恒過點，
由可得圓的圓心 ，半徑，則直線恒過圓心，
因為，，
所以①，②
②①得
因為點到直線的距離為：，則，
的最小值是,
故答案為：
【變式6-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為 ．
【答案】4
【解析】由題可得：，
所以表示，兩點到直線距離之和的倍，
根據題意作出圖形如下：
如圖，設，的中點為，
且，，在直線的投影分別為，，，
圓心到直線的距離，
所以直線與圓相離，易得，即，
所以點在以為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，
由圖可得：
由于到直線的距離，
所以，
即的最小值為.
故答案為：4
【變式6-4】已知、滿足：，，，則代數式的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設、，，，，
故、在圓上，
且，其中為坐標原點，
因為，則，
因為，則是腰長為的等腰三角形，且，
（1）當點、在直線的同側時，
設直線交圓于、兩點，如下圖所示：
記，，記，則，其中，
則，，
所以，
，
因為，則，所以，，
則；
（2）當點、在直線的異側時，
設直線交圓于、兩點，如下圖所示：
記，，記，則，其中，
則，，
所以，
，
因為，則，則，
則；
（3）當點、中有一點在直線上時，
則.
綜上所述，代數式的取值范圍是.
故答案為：.
【變式6-5】若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】曲線表示的是以點為圓心，以為半徑的圓，
表示點到點的距離，
表示點到直線的距離，設點在直線上的射影點為，
則，
當且僅當、、三點共線且點為線段與圓的交點時，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
【變式6-6】（2024·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知圓與直線相切，函數過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為 .
【答案】5
【解析】由題意圓與直線相切，
圓心為，半徑為，
函數過定點
如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，
，
所以四邊形OEMF為矩形，
已知，，
設圓心O到AC、BD的距離分別為、，
則
四邊形ABCD的面積為：，
從而：，
當且僅當時即取等號，
故四邊形ABCD的面積最大值是5，
故答案為：5.
【變式6-7】（2024·山東青島·三模）已知向量，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．－1 B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】由題意設，，，
則，即，且，
解得，或.
由可得 ，即，
則，即的終點在以為圓心，1為半徑的圓上,
故.
由圓的對稱性，不妨令，即，
如圖，連接，交圓于，
由點與圓的位置關系可知，.
故選：A.
題型七：圓與圓的位置關系
【典例7-1】（2024·吉林長春·模擬預測）已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（ ）
A．內含 B．相切 C．相交 D．外離
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
則，故，所以兩圓內含；
故選：A
【典例7-2】（2024·山東·模擬預測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相交 C．內切 D．內含
【答案】A
【解析】圓：，所以圓心，半徑為.
由點到直線距離公式得：，且，所以.
又圓的圓心，半徑為：1.
所以，.
由，所以兩圓內含.
故選：D
【方法技巧】
已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內切；
（5）兩圓內含；
【變式7-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，，若圓上存在點P滿足，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設點，則，，
所以，
所以P的軌跡方程為，圓心為，半徑為3．
由此可知圓與有公共點，
又圓的圓心為，半徑為2，
所以，解得，
即的取值范圍是．
故選：A．
【變式7-2】（2024·陜西榆林·模擬預測）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則b的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為圓C上存在點P，使得，
所以，以為直徑的圓與圓有交點，
又以為直徑的圓，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，
所以，即，即.
故選：A
【變式7-3】（2024·江西鷹潭·三模）已知，直線與的交點在圓：上，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知直線恒過定點，
直線恒過定點，
且，易知直線與互相垂直，即可得，
所以點軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點，半徑為；
可得點軌跡方程為；
又因為點在圓上，所以可得圓與圓有公共點，
當兩圓內切（圓在外）時，取得最大值；
此時滿足，解得.
故選：D
【變式7-4】（2024·北京·三模）已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】說明在以為直徑的圓上，
而又在圓上，因此兩圓有公共點，
則圓心距位于半徑差的絕對值與半徑和的閉區間中，
所以，即，又，解得.
故選：B
【變式7-5】（2024·甘肅張掖·模擬預測）若圓上存在唯一點，使得，其中，則正數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題得圓的圓心坐標為，半徑為，
設，則，，
因為，可得，
化簡得，故點在以為圓心，半徑為的圓上，
又因為存在唯一的點也在圓上，所以兩圓是外切或內切，
所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對值，
即或，
解得或，因為是正數，所以.
故選：B.
題型八：兩圓的公共弦問題
【典例8-1】（2024·湖南衡陽·三模）已知圓，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于A，B兩點，且，則圓和圓的公共弦所在的直線方程為 .
【答案】
【解析】由圓與軸相切于點，可設圓的方程為，
由，則，所以圓的方程為，
圓與圓的方程相減得，即為兩圓的相交弦所在直線方程.
故答案為：
【典例8-2】（2024·四川·模擬預測）圓與圓的公共弦長為 .
【答案】
【解析】將兩個圓的方程作差得：，即公共弦所在的直線為，
又知，，則到直線的的距離為：
，所以公共弦長為，
故答案為：.
【方法技巧】
兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．
【變式8-1】圓與圓的公共弦所在直線被圓：所截得的弦長為 ．
【答案】
【解析】圓與圓的兩方程作差得，
即公共弦所在直線方程為，
又圓的圓心為，半徑，
所以圓心到直線的距離，
則圓被直線所截得的弦長為.
故答案為：.
【變式8-2】已知圓與圓相交于兩點，則 .
【答案】2
【解析】由題意可知兩圓公共弦所在的直線方程為，如下圖所示：
所以點到直線的距離為，
又易知，所以向量在向量方向上的投影為，
所以，同理可得，
所以.
故答案為：
【變式8-3】已知以1為半徑的圓的圓心在軸上，以2為半徑的圓的圓心在軸上，且兩圓公共弦所在直線為，則這兩個圓的公共弦長為 .
【答案】
【解析】設兩圓方程分別為、，
即、，
兩式相減為：，
則有，解得或，
此時圓A的圓心為或，關于原點對稱，
可知圓心A到直線的距離均為
由圓的弦長公式，
則，
故答案為：.
題型九：兩圓的公切線問題
【典例9-1】（2024·高三·山東·開學考試）圓和圓的公切線方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解析】，圓心，半徑，
，圓心，半徑，
因為，
所以兩圓相內切，公共切線只有一條，
因為圓心連線與切線相互垂直，，
所以切線斜率為，
由方程組解得，
故圓與圓的切點坐標為，
故公切線方程為，即．
故選：A.
【典例9-2】圓和圓的公切線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為3，
圓的圓心為，半徑為2．
兩圓的圓心距為，所以兩圓外切，
故兩圓的公切線的條數為3，故C正確.
故選：C
【方法技巧】
待定系數法
【變式9-1】（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，
則，故兩圓外切，則兩圓公切線的條數為.
故選：C.
【變式9-2】若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示，設直線交軸于點，
由于直線與圓，圓都相切，切點分別為、，
則，，，
，為的中點，為的中點，，
由勾股定理可得.
故選：C.
【變式9-3】（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經過點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
若圓與圓恰有一條公切線，則兩圓內切，
所以，即，所以點的軌跡為圓，
對于A，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故A不符合；
對于B，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故B不符合；
對于C，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故C不符合；
對于D，圓心到直線的距離為，則該直線不過點，故D符合；
故選：D.
【變式9-4】（2024·高三·全國·單元測試）若直線是與的公切線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知的圓心，半徑是的圓心是，半徑是2．
由題知直線是和的公切線，
當時，直線為，此時直線與圓不相切，所以，
由，解得，
則有．
故選：A．
【變式9-5】已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時相切的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意知：，
所以圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2，
對于A，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，
圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，
即直線是兩圓的一條公切線；
對于B，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，
圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，
即直線是兩圓的一條公切線；
對于C，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，
圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，
即直線是兩圓的一條公切線；
對于D，圓的圓心到直線的距離為，不滿足相切條件，
即直線不可能是兩圓的公切線；
故選：D.
1．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】因為直線，即，令，
則，所以直線過定點，設，
將圓化為標準式為，
所以圓心，半徑，
當時，的最小，
此時.
故選：C
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】因為成等差數列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，
設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，
，此時.
故選：C
3．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】B
【解析】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設切線方程為，即，
則，整理得，且
設兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.
1．已知，，三點，點P在圓上運動，求的最大值和最小值．
【解析】設，
因為，，三點，
所以
，
，
因為點P在圓上運動，
則，解得，
所以，
當時，取的最大值88，
當時，取的最小值72.
2．已知點和以點Q為圓心的圓．
（1）畫出以為直徑，點為圓心的圓，再求出圓的方程；
（2）設圓Q與圓相交于A，B兩點，直線PA，PB是圓Q的切線嗎？為什么？
（3）求直線AB的方程．
【解析】(1)易知，所以PQ的中點，
又因為 ，圓的半徑為，
所以圓的方程為.作圖如下：
(2)因為PQ為直徑，在圓Q上，所以,
所以直線PA，PB是圓Q的切線.
(3) 圓的方程可化為，
圓Q的方程可化為，
兩圓方程相減，得，
所以直線AB的方程為.
3．如圖，圓內有一點，AB為過點且傾斜角為的弦．
（1）當時，求AB的長．
（2）是否存在弦AB被點平分？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）依題意，直線AB的斜率為，又直線AB過點，
所以直線AB的方程為：，
圓心到直線AB的距離為，則，
所以；
（2）當弦被點平分時，AB與垂直，
因為，所以，
直線AB的點斜式方程為
即.
4．已知圓，直線，b為何值時，圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1？
【解析】因為圓的方程為，所以圓心為，半徑為
因為圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1，
所以只需要圓心到直線的距離為即可滿足條件，
直線的一般式方程為：，
所以圓心到直線的距離為：，解得，
故當時，圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1.
5．求圓與圓的公共弦的長．
【解析】圓與圓，兩式相減得，即公共弦方程為，圓的圓心坐標為，半徑，圓心到公共弦的距離，故公共弦
易錯點：求與圓的切線有關的問題
易錯分析： 求過某點的圓的切線問題時，應先確定點與圓的位置關系，再確定方程．若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條．此時應注意斜率不存在的情況．
【易錯題1】寫出一個過點且與圓相切的直線方程 ．
【答案】或（答案不唯一，寫出一個即可）
【解析】依題意，將圓化為標準方程可得，則圓表示以為圓心，半徑的圓，
當切線的斜率不存在時，過的直線正好與圓相切；
當切線的斜率存在時，設切線方程為，則，解得，此時切線方程為．
由于只需寫出一個過點且與圓相切的直線方程，
故答案為：或（答案不唯一，寫出一個即可）
【易錯題2】已知圓，直線過點且與圓相切，若直線與兩坐標軸交點分別為、，則 ．
【答案】
【解析】由于，所以在圓上，
又，故,
故切線的斜率為，進而切線方程為，即，分別令，
故,故，
故答案為：
答題模板：已知直線與圓、圓與圓的位置關系求參數
1、模板解決思路
對于直線與圓，利用點到直線距離公式及圓心到直線距離與半徑關系判斷位置；對于圓與圓，利用圓心距與兩圓半徑之和、之差的關系判斷位置。結合這些位置關系，可以設立方程或不等式求解未知參數。
2、模板解決步驟
第一步：根據直線與圓的距離公式或圓與圓的圓心距公式，建立與位置關系對應的方程或不等式；
第二步：解這個方程或不等式，得到參數的取值范圍或具體值；
第三步：驗證解的正確性。
【典型例題1】已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直線過定點，
又由曲線，可得，
作出曲線與直線的圖象，如圖所示，
因為直線，可得，
又由，解得，
若直線與曲線有公共點，則，
即實數的取值范圍為.
故選：B.
【典型例題2】已知點，圓，若圓上存在點使得，則實數的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】根據題意，點，若，則點的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，設該圓為圓，
圓，若圓上存在點使得，則圓與圓有公共點，
則，解得，即的取值范圍為，
故的最小值為0．
故選：C．
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