資源簡介

第03講 圓的方程
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：圓的定義和圓的方程 4
知識點2：點與圓的位置關系判斷 4
題型一：求圓多種方程的形式 5
題型二：直線系方程和圓系方程 6
題型三：與圓有關的軌跡問題 7
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 9
題型五：點與圓的位置關系判斷 10
題型六：數形結合思想的應用 11
題型七：與圓有關的對稱問題 11
題型八：圓過定點問題 12
04真題練習·命題洞見 13
05課本典例·高考素材 14
06易錯分析·答題模板 15
易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件 15
答題模板：求圓的方程 16
考點要求 考題統計 考情分析
(1)圓的方程 (2)點與圓的位置關系 2024年北京卷第3題，5分 2023年乙卷（文）第11題，5分 2023年上海卷第7題，5分 2022年甲卷（文）第14題，5分 2022年乙卷（文）第15題，5分 高考對圓的方程的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握圓的標準方程與一般方程的求法，除了待定系數法外，要特別要重視利用幾何性質求解圓的方程．
復習目標： （1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程． （2）能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．
知識點1：圓的定義和圓的方程
1、平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
2、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數方程：
①的參數方程為（為參數）；
②的參數方程為（為參數）．
【診斷自測】已知點，，，則外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
知識點2：點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
【診斷自測】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數）外，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型一：求圓多種方程的形式
【典例1-1】已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·高三·北京·開學考試）圓心為，且與軸相切的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數法是求圓的方程常用的方法．
（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等．
【變式1-1】過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】圓心在直線上，且經過點，的圓的方程為 ．
【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為 .
【變式1-4】與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：直線系方程和圓系方程
【典例2-1】過圓：和圓：的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】圓經過點，且經過兩圓和圓的交點，則圓的方程為 ．
【方法技巧】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
【變式2-1】經過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為 .
【變式2-2】曲線與的四個交點所在圓的方程是 ．
【變式2-3】過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A． B．．
C． D．
題型三：與圓有關的軌跡問題
【典例3-1】已知定點B（3，0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是 ．
【典例3-2】（2024·貴州畢節·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為 ．
【方法技巧】
要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關系，根據題目條件，直接找到或轉化得到與動點有關的數量關系，是解決此類問題的關鍵所在．
【變式3-1】（2024·高三·青海西寧·期中）已知，，C為平面內的一個動點，且滿足，則點C的軌跡方程為 ．
【變式3-2】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現將三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為 ；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區域的面積為 .
【變式3-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為 ．
【變式3-4】如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y＝2上運動，過點B作圓O的切線，切點為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為 ．
【變式3-5】點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-6】已知動點與兩個定點，的距離之比為，則動點的軌跡方程為 .
【變式3-7】已知是圓內的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
【變式3-8】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
【變式3-9】如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【變式3-10】已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程．
(2)若，求線段中點的軌跡方程．
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
【典例4-1】若方程表示一個圓，則m可取的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例4-2】（2024·高三·全國·課后作業）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【方法技巧】
方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
【變式4-1】若方程表示圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-3】已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型五：點與圓的位置關系判斷
【典例5-1】（2024·高三·廣東·開學考試）“”是“點在圓內”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【典例5-2】（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
在處理點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數的制約．
【變式5-1】（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·陜西西安·三模）若過點可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【變式5-4】（2024·高三·全國·課后作業）已知兩直線與的交點在圓的內部，則實數k的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
題型六：數形結合思想的應用
【典例6-1】已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
研究曲線的交點個數問題常用數形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數式進行等價變形，以防出現錯誤．
【變式6-1】（多選題）關于曲線：，下列說法正確的是（ ）
A．曲線圍成圖形的面積為
B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸
C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形
D．曲線是以為圓心，為半徑的圓
【變式6-2】已知直線l：與曲線有兩個交點，則實數k的取值范圍為 .
【變式6-3】直線與曲線的交點個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式6-4】若兩條直線：，：與圓的四個交點能構成矩形，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
題型七：與圓有關的對稱問題
【典例7-1】圓 關于直線對稱的圓的方程為 .
【典例7-2】已知圓關于直線l對稱的圓為圓，則直線l的方程為 .
【方法技巧】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
【變式7-1】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知點A，B在圓上，且A，B兩點關于直線對稱，則圓的半徑的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【變式7-3】已知直線，圓，若圓C上存在兩點關于直線l對稱，則的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．20
【變式7-4】如果圓關于直線對稱，那么（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-5】圓關于直線對稱后的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型八：圓過定點問題
【典例8-1】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【典例8-2】圓恒過的定點是 .
【方法技巧】
特殊值法
【變式8-1】已知圓，點，平面內一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為 ．
【變式8-2】（2024·高三·上海閔行·期中）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為 ．
【變式8-3】對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為 .
【變式8-4】設有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經過原點．
1．（2024年北京高考數學真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年新高考北京數學高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2020年山東省春季高考數學真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022年高考全國甲卷數學真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
5．（2022年高考全國乙卷數學真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
1．平面直角坐標系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？
2．已知圓的一條直徑的端點分別是A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：此圓的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．
3．如圖，在四邊形ABCD中，，，且，，AB與CD間的距離為3．求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．
4．在半面直角坐標系中，如果點P的坐標滿足，其中為參數．證明：點P的軌跡是圓心為，半徑為r的圓．
5．已知動點M與兩個定點，的距離的比為，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
6．長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件
易錯分析： 易忽視圓的一般方程：表示圓的條件而導致錯誤.
【易錯題1】已知點為圓外一點，則實數的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【易錯題2】已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
答題模板：求圓的方程
1、模板解決思路
求圓的方程，首先確定圓的類型。若已知圓心坐標和半徑，直接代入標準方程；若已知圓上三點，通過構造方程組求解圓心坐標和半徑；若已知直徑，則先求圓心，再計算半徑后代入方程。
2、模板解決步驟
第一步：根據題意，設出圓的方程或圓心、半徑.
第二步：根據條件列出關于 a，b，r或 D，E，F的方程組， 并求解。
第三步：根據第二步所得結果，寫出圓的方程.
【典型例題1】寫出與直線和軸都相切，半徑為的一個圓的方程： ．
【典型例題2】已知點，其中一點在圓內，一點在圓上，一點在圓外，則圓的方程可能是 ．（答案不唯一，寫出一個正確答案即可）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 圓的方程
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：圓的定義和圓的方程 4
知識點2：點與圓的位置關系判斷 5
題型一：求圓多種方程的形式 5
題型二：直線系方程和圓系方程 8
題型三：與圓有關的軌跡問題 11
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 17
題型五：點與圓的位置關系判斷 19
題型六：數形結合思想的應用 21
題型七：與圓有關的對稱問題 25
題型八：圓過定點問題 28
04真題練習·命題洞見 31
05課本典例·高考素材 34
06易錯分析·答題模板 36
易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件 36
答題模板：求圓的方程 37
考點要求 考題統計 考情分析
(1)圓的方程 (2)點與圓的位置關系 2024年北京卷第3題，5分 2023年乙卷（文）第11題，5分 2023年上海卷第7題，5分 2022年甲卷（文）第14題，5分 2022年乙卷（文）第15題，5分 高考對圓的方程的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握圓的標準方程與一般方程的求法，除了待定系數法外，要特別要重視利用幾何性質求解圓的方程．
復習目標： （1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程． （2）能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．
知識點1：圓的定義和圓的方程
1、平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
2、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數方程：
①的參數方程為（為參數）；
②的參數方程為（為參數）．
【診斷自測】已知點，，，則外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題
得是直角三角形，且，
所以圓的半徑為，圓心為，
所以外接圓的方程為.
故選：B.
知識點2：點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
【診斷自測】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數）外，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，
故，
又由圓的一般方程，
可得，即，
即或，
所以實數的范圍為.
故選：C.
題型一：求圓多種方程的形式
【典例1-1】已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，設（），圓的半徑為，
，解得，
所以圓心，半徑，
所以圓的方程為.
故選：D.
【典例1-2】（2024·高三·北京·開學考試）圓心為，且與軸相切的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，圓心坐標為，可知AB錯誤；
設圓心半徑為，且圓心到軸的距離為，
則由圓與軸相切可得，
故圓的方程為：.
故選：C.
【方法技巧】
（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數法是求圓的方程常用的方法．
（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等．
【變式1-1】過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圓，得到圓心，由題意知O、A、B、P四點共圓，的外接圓即四邊形的外接圓， 又，從而的中點坐標為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.
故選：A
【變式1-2】圓心在直線上，且經過點，的圓的方程為 ．
【答案】
【解析】圓經過點和，，AB中點為，
所以線段AB的垂直平分線的方程是．
聯立方程組，解得．
所以，圓心坐標為，半徑，
所以，此圓的標準方程是．
故答案為：.
【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為 .
【答案】
【解析】由于直線與平行，且均與相切，
兩直線之間的距離為圓的直徑，即，
又在上，所以為切點，
故過且與垂直的直線方程為，
聯立，
所以與相切于點，
故圓心為與的中點，即圓心為，
故圓的方程為，
故答案為：
【變式1-4】與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，過圓的圓心作直線的垂線，垂足為，
則以為直徑的圓(設其半徑為)即為所求圓.理由如下：
另作一個圓，與圓相切，與直線切于點，設其半徑為，
由圖知，即，即，即圓是符合要求的最小圓.
由點到直線的距離為，則，
設點，由可得，，即①，
由點到直線的距離等于可得②，
聯立①②可解得，或，由圖知僅符合題意，
即得，故所求圓的方程為.
故選：C.
題型二：直線系方程和圓系方程
【典例2-1】過圓：和圓：的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】經過圓：和圓：交點的圓可設為，即，
圓心在直線上，故，解得，
所以圓的方程為.
故選：A.
【典例2-2】圓經過點，且經過兩圓和圓的交點，則圓的方程為 ．
【答案】
【解析】設圓的方程為：，
整理得到：，
因為圓過，代入該點得到：即，
故圓的方程為：即，
故答案為：.
【方法技巧】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
【變式2-1】經過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為 .
【答案】
【解析】設過已知直線和圓的交點的圓系方程為：
∵所求圓過點
∴
解得
所以圓的方程為，化簡得.
故答案為：.
【變式2-2】曲線與的四個交點所在圓的方程是 ．
【答案】
【解析】根據題意得到：，化簡得到答案.，，故，
化簡整理得到：，即.
故答案為：.
【變式2-3】過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A． B．．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意設所求圓的方程為，
即，
圓心坐標為，代入中，
即，解得，
將代入中，即，
滿足，
故所求圓的方程為，
故選：A
題型三：與圓有關的軌跡問題
【典例3-1】已知定點B（3，0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是 ．
【答案】．
【解析】設，則，
設，
由為的角平分線，
可得，
即有，
可得，，
即，，
可得，，
則，
即為．
故答案為：．
【典例3-2】（2024·貴州畢節·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】因為，所以直線過點，
直線過點，
因為，所以，設，
所以，所以，
所以，化簡可得：.
故答案為：.
【方法技巧】
要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關系，根據題目條件，直接找到或轉化得到與動點有關的數量關系，是解決此類問題的關鍵所在．
【變式3-1】（2024·高三·青海西寧·期中）已知，，C為平面內的一個動點，且滿足，則點C的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】依題意，設，由，得，
即，整得得，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：
【變式3-2】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現將三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為 ；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區域的面積為 .
【答案】
【解析】設，
如圖，當三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動時，
開始時，先繞旋轉，當旋轉到時，旋轉到，此時，
然后再以為圓心旋轉，旋轉后旋轉到，此時，
當三角形再旋轉時，不旋轉，此時旋轉到，
當三角形再旋轉后，必以為圓心旋轉，旋轉后旋轉到，
點從開始到時是一個周期，故的周期為，
如圖，為相鄰兩個零點，
在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：
.
故答案為：.
【變式3-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】圓，所以圓心為，半徑為2，設，
由線段的中點為，可得，即有，
即，所以點的軌跡方程為．
故答案為：
【變式3-4】如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y＝2上運動，過點B作圓O的切線，切點為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為 ．
【答案】，
【解析】設，，連結，，
則，，是切線，
，，，
四邊形是菱形．
，得，
又，滿足，
所以，即是所求軌跡方程．
故答案為：，
【變式3-5】點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設點的坐標為，因為點是線段的中點，
可得，點在圓上，
則，即.
故選：A.
【變式3-6】已知動點與兩個定點，的距離之比為，則動點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設點，則，整理得，所以動點的軌跡方程為.
故答案為：.
【變式3-7】已知是圓內的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
【解析】連接AB，PQ，設AB與PQ交于點M，如圖所示．
因為四邊形APBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點，連接OM.
由垂徑定理可知
設
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故點M的軌跡是圓．
因為點M是PQ的中點，設
則
代入點M的軌跡方程中得，
整理得，即為所求點Q的軌跡方程．
【變式3-8】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
【解析】分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系．
如圖所示，則點、、、，
設動點，，
由知：，則．
當時，直線AR：①，直線DQ：，則②，
①×②得：，化簡得．
當時，點P與原點重合，坐標也滿足上述方程．
故點P的軌跡方程為．
【變式3-9】如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【解析】設動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，
由重心坐標公式得，
則代入，
整理得
故所求軌跡方程為.
【變式3-10】已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程．
(2)若，求線段中點的軌跡方程．
【解析】（1）設中點為，
由中點坐標公式可知，點坐標為
∵點在圓上，∴．
故線段中點的軌跡方程為．
（2）設的中點為，在中，，
設為坐標原點，則，所以，
所以．
故線段中點的軌跡方程為．
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
【典例4-1】若方程表示一個圓，則m可取的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由方程分別對進行配方得：，
依題意它表示一個圓，須使，解得：或，在選項中只有D項滿足.
故選：D.
【典例4-2】（2024·高三·全國·課后作業）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】A
【解析】關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是
，即，且，.
故選：D
【方法技巧】
方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
【變式4-1】若方程表示圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】若方程表示圓，則，
解得：或.
故選：C
【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】，即，
∴曲線是圓，∴“”是“”的必要不充分條件.
故選：A.
【變式4-3】已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為方程表示圓，
所以，解得.
故選：D
題型五：點與圓的位置關系判斷
【典例5-1】（2024·高三·廣東·開學考試）“”是“點在圓內”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】點在圓內，
所以“”是“點在圓內”的充分不必要條件.
故選：A.
【典例5-2】（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為可化為，則，所以．
又點在圓的外部，所以，故，
綜上，．
故選：A.
【方法技巧】
在處理點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數的制約．
【變式5-1】（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】聯立，解得，即點在圓的內部，
即有，解得.
故選：D.
【變式5-2】（2024·陜西西安·三模）若過點可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓，即圓，則，解得．
過點有兩條切線，則點P在圓外，，即，解得．
故．
故選：C
【變式5-3】點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如圖所示：
設，因為，
所以，
則，即，
因為點P在圓上，
所以，
令，得，
，即，
解得，
所以的最大值為2，
故選：C
【變式5-4】（2024·高三·全國·課后作業）已知兩直線與的交點在圓的內部，則實數k的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑為，
由得，則兩直線與的交點為，
依題意得，解得.
故選：B
題型六：數形結合思想的應用
【典例6-1】已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】曲線整理得，
則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線，即，
則令，解得，則其過定點，
如圖，當時，曲線與直線有兩個不同的交點，
由，得或，所以，
，
所以實數的取值范圍是.
故選：C．
【典例6-2】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直線恒過定點，
曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側的半圓（包括點，）．
當直線經過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；
當與半圓相切時，由，得，切線記為．
分析可知當時，與曲線有兩個不同的交點，
故選：A．
【方法技巧】
研究曲線的交點個數問題常用數形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數式進行等價變形，以防出現錯誤．
【變式6-1】（多選題）關于曲線：，下列說法正確的是（ ）
A．曲線圍成圖形的面積為
B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸
C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形
D．曲線是以為圓心，為半徑的圓
【答案】AC
【解析】曲線：如圖所示：
對于A：圖形在各個象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以為圓心，為半徑的圓的一半加一個直角三角形所得，，所以曲線圍成圖形的面積為，故A正確；
對于B，由圖可知，曲線所表示的圖形對稱軸有軸，軸，直線，直線四條，故B錯誤；
對于C，由圖可知，曲線所表示的圖形是關于原點對稱的中心對稱圖形，故C正確；
對于D，曲線的圖形不是一個圓，故D錯誤.
故選：AC
【變式6-2】已知直線l：與曲線有兩個交點，則實數k的取值范圍為 .
【答案】
【解析】直線l：，得，可知直線l過定點，
如圖，曲線表示以O為圓心，1為半徑的上半圓，
當直線l與半圓相切時，，解得，
曲線與x軸負半軸交于點，，
因為直線l與曲線有兩個交點，所以.
故答案為：.
【變式6-3】直線與曲線的交點個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【解析】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，
聯立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.
聯立，解得或，所以直線與有兩個交點.
所以直線與曲線的交點個數為2個.
故選：B
【變式6-4】若兩條直線：，：與圓的四個交點能構成矩形，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由題意直線平行，且與圓的四個交點構成矩形，
則可知圓心到兩直線的距離相等，
由圓的圓心為：，
圓心到的距離為：
，
圓心到的距離為：
，
所以，
由題意，
所以，
故選：A.
題型七：與圓有關的對稱問題
【典例7-1】圓 關于直線對稱的圓的方程為 .
【答案】
【解析】圓的圓心為，
則關于對稱的點設為：，故.
與的中點為：，
中點在直線上，所以.
解得：，所以對稱圓的圓心為：.
所以圓 關于直線對稱的圓的方程為：
.
故答案為：.
【典例7-2】已知圓關于直線l對稱的圓為圓，則直線l的方程為 .
【答案】
【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
圓與圓關于直線對稱，可得兩圓心和關于直線對稱，
又由，可得，且的中點為，
所以直線的方程為，即.
故答案為：
【方法技巧】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
【變式7-1】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圓，圓心，半徑，
，圓心，半徑，
由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，
，，的中點，
圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，
故的方程：，即，故C正確．
故選：C．
【變式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知點A，B在圓上，且A，B兩點關于直線對稱，則圓的半徑的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】A
【解析】因為，化為標準方程為，
設圓的半徑為，由題可知圓心在直線上，于是有，
則，當時，
取得最小值2，故的最小值為.
故選：B
【變式7-3】已知直線，圓，若圓C上存在兩點關于直線l對稱，則的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．20
【答案】A
【解析】圓的圓心坐標為，
圓C上存在兩點關于直線l對稱，則直線l過圓心，即，有，
，
當時，有最小值20.
故選：D
【變式7-4】如果圓關于直線對稱，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為圓的圓心為，
由圓的對稱性知，圓心在直線上，故有，即.
故選：B.
【變式7-5】圓關于直線對稱后的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心 半徑為 ，由得，
設圓心關于直線對稱點的坐標為，則
，解得，
所以對稱圓的方程為.
故選：A.
題型八：圓過定點問題
【典例8-1】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【解析】設點，則線段的中點為，
圓的半徑為，
所以，以為直徑為圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，以為直徑的圓經過定點坐標為、.
故選：D.
【典例8-2】圓恒過的定點是 .
【答案】
【解析】圓方程化為，
由解得故圓恒過點.
故答案為：
【方法技巧】
特殊值法
【變式8-1】已知圓，點，平面內一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為 ．
【答案】
【解析】設，且，
，
因為為定值，設，
化簡得：，與點位置無關，
所以，
解得：或，
因為異于點，所以定點N為.
故答案為：.
【變式8-2】（2024·高三·上海閔行·期中）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為 ．
【答案】
【解析】設拋物線交軸于點，交軸于點、，
由題意可知，由韋達定理可得，，
所以，線段的中點為，設圓心為，
由可得，解得，
，則，則，
所以，圓的方程為，
整理可得，
方程組的解為.
因此，的外接圓恒過的定點坐標為.
故答案為：.
【變式8-3】對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為 .
【答案】、
【解析】由由得，故，解得或.
故填：、.
【變式8-4】設有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經過原點．
【答案】②④
【解析】根據題意得：圓心坐標為，
圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項②正確；
考慮兩圓的位置關系：
圓：圓心，半徑為，
圓：圓心，即，半徑為，
兩圓的圓心距，
兩圓的半徑之差，
任取或時，（）， 含于之中，選項①錯誤；
若取無窮大，則可以認為所有直線都與圓相交，選項③錯誤，
將帶入圓的方程，則有，即（），
因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點，選項④正確．
故答案為②④.
1．（2024年北京高考數學真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，即，
則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
2．（2022年新高考北京數學高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
3．（2020年山東省春季高考數學真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.
故選：B.
4．（2022年高考全國甲卷數學真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三點共圓
∵點M在直線上，
∴設點M為，又因為點和均在上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(1，-1).， 的方程為.
故答案為：
5．（2022年高考全國乙卷數學真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圓的一般方程
依題意設圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）
設
（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點， 設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過 三點，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優解．
1．平面直角坐標系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？
【解析】設過三點的圓的一般方程為.
將三點代入得：.
所以圓的一般方程為.
將點代入得：，滿足方程.
所以四點在同一個圓上.
2．已知圓的一條直徑的端點分別是A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：此圓的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．
【解析】∵圓的一條直徑的端點分別是A（x1，y1），B（x2，y2），
∴圓心為C（，），半徑為，
∴此圓的方程是+，
即x2–（x1+x2）x++y2–（y1+y2）y+，
即x2–（x1+x2）x+x1 x2+y2–（y1+y2）y+y1 y2=0，
即（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．
3．如圖，在四邊形ABCD中，，，且，，AB與CD間的距離為3．求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．
【解析】由題意可知A (-3，0)，B (3，0)，C
設所求圓的方程為，
則.
解得，故所求圓的方程為，
其圓心坐標為，半徑長為.
4．在半面直角坐標系中，如果點P的坐標滿足，其中為參數．證明：點P的軌跡是圓心為，半徑為r的圓．
【解析】由可得，又因為，所以，即，所以點的軌跡是圓心為，半徑為的圓.
5．已知動點M與兩個定點，的距離的比為，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
【解析】設點.
則，化簡得：
為以為圓心2為半徑的圓.
6．長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
【解析】設線段AB的中點P（x，y），若A、B不與原點重合時，則△AOB是直角三角形，且∠O為直角，
則OPAB，而AB＝2a，
∴OP＝a，即P的軌跡是以原點為圓心，以a為半徑的圓，
方程為x2+y2＝a2（a＞0）；
若A、B有一個是原點，同樣滿足x2+y2＝a2（a＞0）．
故線段AB的中點的軌跡方程為：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圓心在原點半徑為的圓.
易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件
易錯分析： 易忽視圓的一般方程：表示圓的條件而導致錯誤.
【易錯題1】已知點為圓外一點，則實數的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因在圓外，則，得.
又表示圓，則，得.
綜上：.
故選：D
【易錯題2】已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，圓的標準方程為，
故，，
又點在圓外，所以，
，或，
所以m的取值范圍為．
故選：D.
答題模板：求圓的方程
1、模板解決思路
求圓的方程，首先確定圓的類型。若已知圓心坐標和半徑，直接代入標準方程；若已知圓上三點，通過構造方程組求解圓心坐標和半徑；若已知直徑，則先求圓心，再計算半徑后代入方程。
2、模板解決步驟
第一步：根據題意，設出圓的方程或圓心、半徑.
第二步：根據條件列出關于 a，b，r或 D，E，F的方程組， 并求解。
第三步：根據第二步所得結果，寫出圓的方程.
【典型例題1】寫出與直線和軸都相切，半徑為的一個圓的方程： ．
【答案】（答案不唯一）.
【解析】因為直線和軸都相切，所以圓心為，
當圓心為時，，解得或；
當圓心為時，，解得或．
所以圓的方程為或
或或．
故答案為：（答案不唯一）.
【典型例題2】已知點，其中一點在圓內，一點在圓上，一點在圓外，則圓的方程可能是 ．（答案不唯一，寫出一個正確答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為，所以，
，，
所以，以點為圓心，以為半徑，得到圓，滿足題意；
（或以點為圓心，以為半徑，作圓，滿足題意；或以點為圓心，以為半徑，作圓，滿足題意等）
故答案為：（答案不唯一）
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