資源簡介

第02講 兩條直線的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線平行與垂直的判定 4
知識點2：三種距離 4
解題方法總結 5
題型一：兩直線位置關系的判定 6
題型二：兩直線的交點與距離問題 8
題型三：有關距離的最值問題 9
題型四：點關于點對稱 11
題型五：點關于線對稱 11
題型六：線關于點對稱 12
題型七：線關于線對稱 13
題型八：直線系方程 13
04真題練習·命題洞見 14
05課本典例·高考素材 15
06易錯分析·答題模板 17
易錯點：兩平行直線間的距離公式應用錯誤 17
答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數 17
考點要求 考題統計 考情分析
（1）兩條直線的平行與垂直 （2）兩直線的交點與距離問題 2022年上海卷第7題，5分 2020年III卷第8題，5分 2020年上海卷第7題，5分 高考對兩條直線的位置關系的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握兩條直線的位置關系、距離公式、對稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關系以及點到直線的距離公式這兩個考點．
復習目標： （1）能根據斜率判定兩條直線平行或垂直． （2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標． （3）掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
知識點1：直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現，如表所示．
兩直線方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一個為0，另一個不存在．
【診斷自測】（多選題）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為
C．若，則 D．若，則直線，一定相交
知識點2：三種距離
1、兩點間的距離
平面上兩點的距離公式為．
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離
2、點到直線的距離
點到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．
（2）設，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數要相等．
4、雙根式
雙根式型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．
【診斷自測】（多選題）已知點到直線的距離為3，則實數等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
解題方法總結
1、點關于點對稱
點關于點對稱的本質是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據中點坐標公式，有
可得對稱點的坐標為
2、點關于直線對稱
點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
3、直線關于點對稱
法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4、直線關于直線對稱
求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯立算出交點
第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點
第三步：利用兩點式寫出方程
5、常見的一些特殊的對稱
點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于點的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
6、過定點直線系
過已知點的直線系方程（為參數）．
7、斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數）．
8、平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數）．
9、垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數）．
10、過兩直線交點的直線系
過直線與的交點的直線系方程：（為參數）．
題型一：兩直線位置關系的判定
【典例1-1】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點考試數學試題）已知兩條直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例1-2】已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
【解題方法總結】
判斷兩直線的位置關系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設（不全為0），（不全為0），則：
當時，直線相交；
當時，直線平行或重合，代回檢驗；
當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
【變式1-1】直線與直線相交，則實數的值為（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【變式1-2】點為直線上不同的兩點，則直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．不確定
【變式1-3】（2024·高三·廣東·開學考試）已知直線，直線，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【變式1-4】（2024·高三·上海寶山·開學考試）已知集合，，則下列結論正確的是（ ）
A．存在，使得
B．當時，
C．當時，
D．對任意的，都有
題型二：兩直線的交點與距離問題
【典例2-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）已知直線與直線交于，則原點到直線距離的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【典例2-2】若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結構．
【變式2-1】已知點，，，則的面積為 ．
【變式2-2】已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則 .
【變式2-3】已知直線，則點到直線的距離的最大值為 .
【變式2-4】已知點，若直線l過點，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為 .
【變式2-5】，與直線平行，則直線與的距離為 .
【變式2-6】若恰有兩組的實數對滿足關系式，則符合題意的的值為 .
【變式2-7】（2024·全國·模擬預測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
題型三：有關距離的最值問題
【典例3-1】我國著名數學家華羅庚曾經說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，根據上述觀點，當取得最小值時，實數的值為（ ）
A． B．3 C． D．4
【典例3-2】設，其中.則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C． D．
【方法技巧】
數學結合，利用距離的幾何意義進行轉化．
【變式3-1】已知，，，為四個實數，且，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
【變式3-2】已知為直線上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
【變式3-3】的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】已知實數，滿足，，，則的最小值是 ．
【變式3-5】已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
【變式3-6】（多選題）已知兩點，點是直線：上的動點，則下列結論中正確的是（ ）
A．存在使最小 B．存在使最小
C．存在使最小 D．存在使最小
【變式3-7】（多選題）已知直線和三點，，，過點C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點．下列結論正確的是（ ）
A．P在直線l上，則的最小值為
B．直線l上一點使最大
C．當最小時的方程是
D．當最小時的方程是
【變式3-8】已知點在直線，點在直線上，且，的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
【變式3-9】過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【變式3-10】已知，為實數，代數式的最小值是 .
題型四：點關于點對稱
【典例4-1】直線l經過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時， .
【典例4-2】已知，，點是線段的中點，則 .
【方法技巧】
求點關于點中心對稱的點，由中點坐標公式得
【變式4-1】已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為 .
【變式4-2】設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于
【變式4-3】已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為 ．
【變式4-4】已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為 .
題型五：點關于線對稱
【典例5-1】將一張坐標紙對折，如果點與點重合，則點與點 重合.
【典例5-2】點關于直線對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求點關于直線對稱的點
方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點
方法二：先求經過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得
【變式5-1】若直線和直線關于直線對稱，則直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】一條光線從點射出，經直線反射后經過點，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光從點P出發經反射后又回到點P，反射點為Q，R，若光線QR經過的重心，則 .
題型六：線關于點對稱
【典例6-1】直線關于點對稱的直線方程為 ．
【典例6-2】直線關于點對稱的直線方程為 ．
【方法技巧】
求直線l關于點中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點關于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．
【變式6-1】直線關于點對稱的直線的方程為 ．
【變式6-2】直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為 ．
【變式6-3】在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
題型七：線關于線對稱
【典例7-1】若直線與直線關于直線對稱，則直線的一般式方程為 .
【典例7-2】直線與直線關于直線對稱，則直線的傾斜角是 ．
【方法技巧】
求直線l關于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
【變式7-1】已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為 ．
【變式7-2】若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為 .
【變式7-3】直線：關于直線：的對稱直線方程為 ．
【變式7-4】直線關于直線的對稱直線的方程為 .
題型八：直線系方程
【典例8-1】過兩直線和的交點且過原點的直線方程為 ．
【典例8-2】經過點和兩直線；交點的直線方程為 .
【方法技巧】
利用直線系方程求解．
【變式8-1】已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為 .
【變式8-2】設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
【變式8-3】已知直線的方程為，求坐標原點到的距離的最大值 .
1．（2021年全國新高考II卷數學試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅲ））點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
1．已知點和，點P在x軸上，且為直角，求點P的坐標.
2．已知四邊形ABCD的四個頂點是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．
3．如圖，已知直線與直線，在上任取一點A，在上任取一點B，連接AB，取AB的靠近點A的三等分點C，過點C作的平行線，求與間的距離．
4．三條直線，與相交于一點，求a的值．
5．已知AO是邊BC的中線，用坐標法證明．
6．已知，．
（1）求證：，并求使等式成立的條件．
（2）說明上述不等式的幾何意義．
7．已知為任意實數，當變化時，方程表示什么圖形？圖形有何特點？
易錯點：兩平行直線間的距離公式應用錯誤
易錯分析： 應用兩平行直線間的距離公式一定要注意兩平行直線的方程對應x，y的系數相等時，才可利用兩平行線間的距離公式求解.
【易錯題1】，與直線平行，則直線與的距離為 .
【易錯題2】兩平行直線與之間的距離為 ．
答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數
1、模板解決思路
當需要通過兩直線的平行或垂直關系來求解參數的值時，一般的做法是首先考察這兩條直線的斜率。
如果兩條直線平行，那么它們的斜率相等；如果兩條直線垂直，那么它們的斜率之積為-1。
這里需要特別注意，當直線垂直于x軸時，斜率不存在，此時應單獨考慮。
2、模板解決步驟
第一步：將兩條直線的方程均化成斜截式．
第二步：根據兩直線平行或垂直，列出方程（組）．
第三步：解方程（組），求出參數的值，由兩直線平行求參數后要檢驗兩直線是否重合．
【典型例題1】已知直線，若，則 ．
【典型例題2】已知直線和垂直且，則的最小值為 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 兩條直線的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線平行與垂直的判定 4
知識點2：三種距離 5
解題方法總結 5
題型一：兩直線位置關系的判定 7
題型二：兩直線的交點與距離問題 9
題型三：有關距離的最值問題 14
題型四：點關于點對稱 23
題型五：點關于線對稱 25
題型六：線關于點對稱 27
題型七：線關于線對稱 29
題型八：直線系方程 31
04真題練習·命題洞見 33
05課本典例·高考素材 34
06易錯分析·答題模板 37
易錯點：兩平行直線間的距離公式應用錯誤 37
答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數 37
考點要求 考題統計 考情分析
（1）兩條直線的平行與垂直 （2）兩直線的交點與距離問題 2022年上海卷第7題，5分 2020年III卷第8題，5分 2020年上海卷第7題，5分 高考對兩條直線的位置關系的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握兩條直線的位置關系、距離公式、對稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關系以及點到直線的距離公式這兩個考點．
復習目標： （1）能根據斜率判定兩條直線平行或垂直． （2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標． （3）掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
知識點1：直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現，如表所示．
兩直線方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一個為0，另一個不存在．
【診斷自測】（多選題）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為
C．若，則 D．若，則直線，一定相交
【答案】AD
【解析】兩條直線，的方程分別為與，它們不重合，
若，則，得，檢驗符合，故A選項正確；
若，由A選項可知，：，直線的方程可化為，
故兩條平行直線之間的距離為，故B選項不正確；
若，則，得，故C選項不正確；
由A選項知，當時，，所以若，則直線，一定相交，故D選項正確.
故選：AD.
知識點2：三種距離
1、兩點間的距離
平面上兩點的距離公式為．
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離
2、點到直線的距離
點到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．
（2）設，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數要相等．
4、雙根式
雙根式型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．
【診斷自測】（多選題）已知點到直線的距離為3，則實數等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
【答案】AB
【解析】依題意，即,解得或.
故選：AB.
解題方法總結
1、點關于點對稱
點關于點對稱的本質是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據中點坐標公式，有
可得對稱點的坐標為
2、點關于直線對稱
點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
3、直線關于點對稱
法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4、直線關于直線對稱
求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯立算出交點
第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點
第三步：利用兩點式寫出方程
5、常見的一些特殊的對稱
點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于點的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
6、過定點直線系
過已知點的直線系方程（為參數）．
7、斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數）．
8、平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數）．
9、垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數）．
10、過兩直線交點的直線系
過直線與的交點的直線系方程：（為參數）．
題型一：兩直線位置關系的判定
【典例1-1】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點考試數學試題）已知兩條直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，，則，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
【典例1-2】已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，直線，，且，
，即．
則，當且僅當時，等號成立，
故的最小值為8，
故選：B．
【方法技巧】
【解題方法總結】
判斷兩直線的位置關系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設（不全為0），（不全為0），則：
當時，直線相交；
當時，直線平行或重合，代回檢驗；
當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
【變式1-1】直線與直線相交，則實數的值為（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【答案】A
【解析】由直線與直線相交，得，
即，解得且，
所以實數k的值為且.
故選：D
【變式1-2】點為直線上不同的兩點，則直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．不確定
【答案】A
【解析】由點為直線上不同的兩點，
則直線與直線的斜率存在時一定為，
可以把這兩個斜率看成直線上兩點到原點的斜率的倒數，
由已知可得，則，即兩直線不可能平行與重合，則只能相交;
若直線與直線的斜率有一個不存在，則另一個斜率必存在，也能判定兩直線相交；
故選：A.
【變式1-3】（2024·高三·廣東·開學考試）已知直線，直線，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】因為或，
所以是的充分不必要條件．
故選：A．
【變式1-4】（2024·高三·上海寶山·開學考試）已知集合，，則下列結論正確的是（ ）
A．存在，使得
B．當時，
C．當時，
D．對任意的，都有
【答案】A
【解析】對于A，表示過定點，且斜率不為的直線，
集合表示直線上所有的點，，A錯誤；
對于B，當時，，，
由得：，，B錯誤；
對于C，當時，，滿足；
當，即時，直線與平行，
，解得：；
綜上所述：當時，或，C錯誤；
對于D，若，則且直線與重合，
，方程組無解，，D正確.
故選：D.
題型二：兩直線的交點與距離問題
【典例2-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）已知直線與直線交于，則原點到直線距離的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】因為兩直線交于，
則，即，且，則；
由原點到直線的距離
由，
則，當且僅當時，取最大值，此時.
即兩直線重合時，原點到直線的距離最大.
故選：B.
【典例2-2】若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即交點為，
因為交點在第一象限，所以.
故選：A
【方法技巧】
兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結構．
【變式2-1】已知點，，，則的面積為 ．
【答案】5
【解析】設邊上的高為，則就是點C到AB所在直線的距離．
易知．
由兩點式可得邊所在直線的方程為，即．
點到直線的距離，
所以的面積為．
故答案為：5
【變式2-2】已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則 .
【答案】/4.5
【解析】依題意，直線，而點，
所以.
故答案為：
【變式2-3】已知直線，則點到直線的距離的最大值為 .
【答案】
【解析】直線，即，
由,解得，，所以直線恒過定點，
當直線l與直線AP垂直時，點到直線的距離的最大，
最大值為，
所以點到直線的距離的最大值為，
故答案為：
【變式2-4】已知點，若直線l過點，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為 .
【答案】或
【解析】依題意，到直線的距離相等.
的中點為，
當過以及時，
直線的方程為.
直線的斜率為，
當直線過并與平行時，
直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
故答案為：或
【變式2-5】，與直線平行，則直線與的距離為 .
【答案】
【解析】因為//，所以，解得，
， ，
由兩平行直線的距離公式可得：，
故答案為：
【變式2-6】若恰有兩組的實數對滿足關系式，則符合題意的的值為 .
【答案】/
【解析】可以看成點到直線：的距離，
可以看成點到直線：的距離，
由已知可得，，：不過原點，
又由恰有兩組的實數對滿足關系式，
所以可以看成有且僅有兩條直線滿足，直線方程：，
所以滿足題意的直線：
第一條是線段的垂直平分線，當：是的垂直平分線時，
因為，所以，符合題意；
第二條只能取自與直線平行的兩條直線中的一條，且此時另一條直線過原點，
此時第二條直線的方程為，
所以此時，即，符合題意；
所以.
故答案為：.
【變式2-7】（2024·全國·模擬預測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令直線的傾斜角分別為，則，
當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；
當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，或，
因為，且，解得，
所以，或；
當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，則.
故選：D．
題型三：有關距離的最值問題
【典例3-1】我國著名數學家華羅庚曾經說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，根據上述觀點，當取得最小值時，實數的值為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】，
表示平面上點與點，的距離和，
連接，與軸交于，此時直線方程為，
令，則
的最小值為，此時
故選：C．
【典例3-2】設，其中.則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】A
【解析】設，則表示：，
，則直線的方程為，令，則，
所以直線與軸相交于點，
所以，
所以，當點P為時，等號成立，故的最小值為9.
故選：B.
【方法技巧】
數學結合，利用距離的幾何意義進行轉化．
【變式3-1】已知，，，為四個實數，且，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】設，則，
所以
，
而可看做軸上動點與兩定點的距離和，如圖，
由圖可知當運動到時，最小，最小值為，
所以的最小值為.
故選：D
【變式3-2】已知為直線上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】如圖，為點到原點和到點的距離之和，
即．設關于直線對稱的點為，則得，即．
易得，當A，，三點共線時，取到最小值，且最小值為．
故選：A．
【變式3-3】的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，
，
設，
則的幾何意義為的值，
如圖，作點關于x軸的對稱點，連接，
與x軸的交點即為所求點P，此時取得最小值，為.
而，
即的最小值為，
所以的最小值為.
故選：D
【變式3-4】已知實數，滿足，，，則的最小值是 ．
【答案】/
【解析】依題意，方程、分別表示以原點為圓心，2、3為半徑的圓，
令，即點分別在、上，如圖，
顯然，，即有，
，取線段中點，連接，則，
因此點在以原點為圓心，為半徑的圓上，
而，
即表示點到直線的距離和的倍，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點，
于是，，
，原點到直線的距離，
顯然，當且僅當點共線，且點在線段上時取等號，
所以.
故答案為：
【變式3-5】已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】易知，作出圖象如下，過點作直線，則，
直線，過作直線，與直線交于點，易知四邊形為平行四邊形，
故，且到直線的距離等于到的距離，
設，則，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，顯然，
故的最小值為．
故答案為：．
【變式3-6】（多選題）已知兩點，點是直線：上的動點，則下列結論中正確的是（ ）
A．存在使最小 B．存在使最小
C．存在使最小 D．存在使最小
【答案】ABD
【解析】對于A：設點關于直線的對稱點為，所以，所以，所以，
所以，當且僅當為與交點時滿足題意，
又因為，即，
所以，所以，所以，故A正確；
對于B：設，所以，
所以，當且僅當時有最小值，
此時，所以，故B正確；
對于C：如下圖，根據與的位置關系可判斷出有最大值，無最小值，故C錯誤；
對于D：因為，取等號時，即為垂直平分線與的交點，
因為垂直平分線方程為，即，
所以，所以，所以，故D正確；
故選：ABD.
【變式3-7】（多選題）已知直線和三點，，，過點C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點．下列結論正確的是（ ）
A．P在直線l上，則的最小值為
B．直線l上一點使最大
C．當最小時的方程是
D．當最小時的方程是
【答案】AC
【解析】對于A：設點關于直線l的對稱點為，
則，解得
，
當三點共線時取最小值.A錯誤；
對于B：，當三點共線時取最大值，
又，即，
聯立，解得，
即直線l上一點使最大，B正確；
對于C：設，
當時，，當時，，
即，
，
當且僅當，即時等號成立，
此時，即，C正確；
對于D：，
當且僅當，即時等號成立，
此時，即，D錯誤.
故選：BC.
【變式3-8】已知點在直線，點在直線上，且，的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】由已知表示點到點的距離，
表示點到點的距離，
所以，
過點作，垂足為，
因為直線的方程為，，
所以，
又直線與直線平行，，
所以，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以，
又，當且僅當三點共線時等號成立，
所以當點為線段與直線的交點時，
取最小值，最小值為，
因為過點與直線垂直的直線的方程為，
聯立，可得，
所以點的坐標為，所以，
所以的最小值為，
故選：D.
【變式3-9】過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由題意知過定點,
動直線即過定點，
對于直線和動直線滿足，
故兩直線垂直，
因此點M在以為直徑的圓上，，
則，
所以，
當且僅當時等號成立，
故的最大值為，
故選：C
【變式3-10】已知，為實數，代數式的最小值是 .
【答案】10
【解析】設點，
則
，
當且僅當分別為連線與兩坐標軸的交點時，等號成立.
故答案為：10.
題型四：點關于點對稱
【典例4-1】直線l經過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時， .
【答案】
【解析】設，，
∵P為AB中點，∴，
解得，，
即，，
所以
故答案為：.
【典例4-2】已知，，點是線段的中點，則 .
【答案】
【解析】由中點坐標公式知：，，解得：，，.
故答案為：.
【方法技巧】
求點關于點中心對稱的點，由中點坐標公式得
【變式4-1】已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為 .
【答案】
【解析】在平面直角坐標系中，，
則為直角三角形，且為斜邊，
故.
故答案為：
【變式4-2】設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于
【答案】
【解析】根據點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，利用中點坐標公式得到A，B的坐標，再利用兩點間的距離公式求解.因為點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，
所以，
所以，
故答案為：
【變式4-3】已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為 ．
【答案】
【解析】設，則．由點Q在直線上，得，．故．
所以直線l的斜率為，所以
故答案為
【變式4-4】已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】因為直線與直線和的交點分別為，
設，
因為點是線段的中點，由中點公式可得，
解得，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
題型五：點關于線對稱
【典例5-1】將一張坐標紙對折，如果點與點重合，則點與點 重合.
【答案】
【解析】已知點與點，可知線段的中點為，
且，則線段的中垂線的斜率，
則線段的中垂線方程為，即，
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
所以所求點為.
故答案為：.
【典例5-2】點關于直線對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設所求對稱點的坐標為，
則，解得，
故點關于直線對稱的點的坐標為.
故選：D.
【方法技巧】
求點關于直線對稱的點
方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點
方法二：先求經過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得
【變式5-1】若直線和直線關于直線對稱，則直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為直線過定點，
點關于直線對稱的點為，
故直線恒過定點.
故選：C
【變式5-2】一條光線從點射出，經直線反射后經過點，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設點關于直線的對稱點為，
則，化簡得，解得，
故反射光線過點，
則反射光線所在直線的方程為.
故選：B.
【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光從點P出發經反射后又回到點P，反射點為Q，R，若光線QR經過的重心，則 .
【答案】
【解析】依題意，以點A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸建立平面直角坐標系，如圖，
則，，，的重心G的坐標為，
設點P的坐標為，，則點P關系y軸對稱點，
設點P關于直線對稱點，顯然直線BC的方程為，
于是，解得，即點，
由光的反射定律知，光線過點，也過點，而光線經過的重心，因此點共線，
則有，整理得，解得，
所以.
故答案為：
題型六：線關于點對稱
【典例6-1】直線關于點對稱的直線方程為 ．
【答案】
【解析】在直線上取點、，
點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，
直線的斜率為，
所以，所求直線方程為，即.
故答案為：.
【典例6-2】直線關于點對稱的直線方程為 ．
【答案】
【解析】在對稱直線上任取一點,設關于點對稱的點為，由于在直線上，所以，即，
故答案為：
【方法技巧】
求直線l關于點中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點關于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．
【變式6-1】直線關于點對稱的直線的方程為 ．
【答案】
【解析】設為上任意一點，則關于點的對稱點為，
因為在直線l上，所以，即直線的方程為．
故答案為：
【變式6-2】直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為 ．
【答案】
【解析】由得：，當時，，；
設直線關于點對稱的直線方程為，
，解得：或（舍），
直線關于點對稱的直線方程為.
故答案為：.
【變式6-3】在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根據平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據對稱解得b＝，計算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋b，
則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b
取直線l上的一點 ，則點P關于點（2，3）的對稱點為 ，
，解得b＝.
∴直線l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案為：6x－8y＋1＝0
題型七：線關于線對稱
【典例7-1】若直線與直線關于直線對稱，則直線的一般式方程為 .
【答案】
【解析】設直線上任意一點，則點關于直線對稱點，
因為直線與直線關于直線對稱，所以在直線上，
即，得到直線的一般式方程為
故答案為：
【典例7-2】直線與直線關于直線對稱，則直線的傾斜角是 ．
【答案】
【解析】直線，故直線的斜率等于，
設直線的傾斜角等于，則，
且，故，
同理直線的傾斜角為，
所以直線與直線關于直線對稱，則直線的傾斜角是．
故答案為：.
【方法技巧】
求直線l關于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
【變式7-1】已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為 ．
【答案】.
【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，
設點關于直線的對稱點為，
則， 解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
【變式7-2】若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為 .
【答案】
【解析】由題意可得直線l與直線關于直線對稱，
由于直線上的任意一點關于直線的對稱點為，
因為已知直線，則的方程是，即，
故答案為：.
【變式7-3】直線：關于直線：的對稱直線方程為 ．
【答案】
【解析】設直線關于直線對稱的直線為，由，解得，
則點在直線上；
在直線上取一點，設其關于直線對稱的點為，
則，解得，即，
所以直線的方程為，即．
故答案為：
【變式7-4】直線關于直線的對稱直線的方程為 .
【答案】
【解析】設為所求直線上一點，它關于的對稱點為，
則可得，
由題可得在直線上，
所以，整理可得所求的對稱直線方程為.
故答案為：.
題型八：直線系方程
【典例8-1】過兩直線和的交點且過原點的直線方程為 ．
【答案】
【解析】令所求直線為，
又直線過原點，則，
所以所求直線為.
故答案為：
【典例8-2】經過點和兩直線；交點的直線方程為 .
【答案】
【解析】設所求直線方程為，
點在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
【方法技巧】
利用直線系方程求解．
【變式8-1】已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為 .
【答案】
【解析】依題意兩直線和的交點為，
所以在直線上，
所以過兩點所在直線方程為.
故答案為：
【變式8-2】設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
【答案】或
【解析】方法一：由，得，
所以兩條直線的交點坐標為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
【變式8-3】已知直線的方程為，求坐標原點到的距離的最大值 .
【答案】
【解析】直線的方程為，即
令，解得：
所以直線恒過定點，
所以原點到直線的距離，即到直線的距離的最大值為.
故答案為：.
1．（2021年全國新高考II卷數學試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】拋物線的焦點坐標為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
2．（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，
結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.
故選：A.
3．（2020年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅲ））點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由可知直線過定點，設，
當直線與垂直時，點到直線距離最大，
即為.
故選：B.
1．已知點和，點P在x軸上，且為直角，求點P的坐標.
【答案】或.
【解析】設，因為，
所以由勾股定理可得，
即，解得或，所以點的坐標是或.
故答案為：或.
2．已知四邊形ABCD的四個頂點是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．
【解析】因為四個點的橫坐標各不相等，所以四邊形四條邊所在直線的斜率都存在，
所以，，，，
所以，，，
所以四邊形四條邊兩兩垂直，所以四邊形四個內角都為，
所以四邊形是矩形.
3．如圖，已知直線與直線，在上任取一點A，在上任取一點B，連接AB，取AB的靠近點A的三等分點C，過點C作的平行線，求與間的距離．
【解析】過A做于D，交于E，如圖所示：
因為，且由題意得，
所以，所以，
又直線與間的距離，
所以求與間的距離.
4．三條直線，與相交于一點，求a的值．
【解析】解方程組，得，
∴交點坐標為：（4，﹣2），
代入直線ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，
∴a＝﹣1．
5．已知AO是邊BC的中線，用坐標法證明．
【解析】取BC邊所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，如圖
設，(其中)，則
，
所以，即證.
6．已知，．
（1）求證：，并求使等式成立的條件．
（2）說明上述不等式的幾何意義．
【解析】（1）證明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖：
則|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，
∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC|
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （當且僅當點P為正方形的對角線AC與OB的交點是取等號），
即x＝y時取等號．
∴．
（2）對于（1）中不等式，它的幾何意義是：邊長為1的正方形內任意一點到四個頂點的距離的和不小于兩條對角線的和.
7．已知為任意實數，當變化時，方程表示什么圖形？圖形有何特點？
【解析】因為方程化簡得：
為任意實數，方程表示直線.
因為，
所以當，直線恒成立，
故直線過定點.
易錯點：兩平行直線間的距離公式應用錯誤
易錯分析： 應用兩平行直線間的距離公式一定要注意兩平行直線的方程對應x，y的系數相等時，才可利用兩平行線間的距離公式求解.
【易錯題1】，與直線平行，則直線與的距離為 .
【答案】
【解析】因為//，所以，解得，
， ，
由兩平行直線的距離公式可得：，
故答案為：
【易錯題2】兩平行直線與之間的距離為 ．
【答案】/
【解析】由，可得，
所以與之間的距離為.
故答案為：.
答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數
1、模板解決思路
當需要通過兩直線的平行或垂直關系來求解參數的值時，一般的做法是首先考察這兩條直線的斜率。
如果兩條直線平行，那么它們的斜率相等；如果兩條直線垂直，那么它們的斜率之積為-1。
這里需要特別注意，當直線垂直于x軸時，斜率不存在，此時應單獨考慮。
2、模板解決步驟
第一步：將兩條直線的方程均化成斜截式．
第二步：根據兩直線平行或垂直，列出方程（組）．
第三步：解方程（組），求出參數的值，由兩直線平行求參數后要檢驗兩直線是否重合．
【典型例題1】已知直線，若，則 ．
【答案】0
【解析】①當時，②當時，若，可得與重合，不合題意．故．
故答案為：.
【典型例題2】已知直線和垂直且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意得，故，
因為，由基本不等式得
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