資源簡介

第01講 直線的方程
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線的傾斜角和斜率 4
知識點2：直線的方程 5
題型一：傾斜角與斜率的計算 6
題型二：三點共線問題 8
題型三：過定點的直線與線段相交問題 11
題型四：直線的方程 16
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題 20
題型六：兩直線的夾角問題 27
題型七：直線過定點問題 30
題型八：中點公式 32
題型九：軌跡方程 35
04真題練習·命題洞見 39
05課本典例·高考素材 41
06易錯分析·答題模板 43
易錯點：錯誤理解斜率與傾斜角間的關系 43
答題模板：求斜率的取值范圍 44
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線的傾斜角與斜率 （2）直線的方程 2008年江蘇卷第9題，5分 2006年上海卷第11題，4分 高考對直線方程的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法等，特別要重視直線方程的求法.
復習目標： （1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. （2）根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)．
知識點1：直線的傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2、直線的斜率
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關系
當時，直線平行于軸或與軸重合；
當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；
3、過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4、三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
【診斷自測】過點和點的直線的傾斜角為，則的值是 .
【答案】
【解析】，，
，則，
解得．
故答案為：．
知識點2：直線的方程
1、直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2、直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于軸的直線
斜截式 不含垂直于軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
3、求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
4、線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．
5、兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
【診斷自測】過點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】設所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點，
因為，，所以，
所以過點且與平行的直線為：即，
因為，，所以線段的中點為，
所以過點與線段的中點為的直線的方程為：，
即，
所以這條直線的方程是：或，
故選：.
題型一：傾斜角與斜率的計算
【典例1-1】直線的傾斜角為 .
【答案】
【解析】由題意可將原直線方程變形，
則直線的斜率為，
由傾斜角的取值范圍，所以傾斜角為.
故答案為：.
【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
【答案】
【解析】由直線方程：得的傾斜角為，
所以的傾斜角為，即的斜率為.
故答案為：.
【方法技巧】
正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據該公式求出經過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數在上的圖像來認識．
【變式1-1】（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是 ．
【答案】
【解析】由直線方程，得直線斜率，
所以.
故答案為：
【變式1-2】若過點，的直線的斜率等于1，則m的值為 ．
【答案】1
【解析】由已知可得，
過點，的直線的斜率，
解得，
故答案為： .
【變式1-3】若過點，的直線的傾斜角為銳角，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因為直線的斜率，
又因為直線的傾斜角為銳角，
所以，解得.
故答案為：
【變式1-4】（2024·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：直線的斜率，即直線的傾斜角為.
故選：A
題型二：三點共線問題
【典例2-1】若點、、在同一直線上，則實數k的值為 ．
【答案】
【解析】因為三點、、在同一直線上，
∴的斜率和的斜率相等，
即，
∴.
故答案為：．
【典例2-2】若三點，， (其中)共線，則 .
【答案】
【解析】由于，，三點共線且、，
顯然、的斜率存在，則，
所以，所以，所以.
故答案為：
【方法技巧】
斜率是反映直線相對于 軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．
【變式2-1】若三點共線，則的值為 ．
【答案】
【解析】依題意有，即，解得.
【變式2-2】數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程為 .
【答案】
【解析】由題可知，的重心為，
可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，
則方程為，即，
直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為，
則方程為，即，
聯立方程，解得，即的垂心為，
則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，
故的歐拉線方程為.
故答案為：.
【變式2-3】已知，，三點在同一條直線上，則實數 m 的值為 ．
【答案】
【解析】由題意易得A，B，C三點所在直線不可能垂直于x軸，因此其中任意兩點所確定的直線斜率都存在，
設直線AB，BC的斜率分別為，．
由斜率公式可得，．
因為A，B，C三點在同一條直線上，則，即，
整理得，解得或．
故答案為：.
【變式2-4】已知三點在同一條直線上，則實數的值為 ．
【答案】5
【解析】根據題意可得：，
即：，，
解得或；
又當時，是同一個點，不滿足題意，故舍去；
綜上所述，實數的值為：.
故答案為：.
題型三：過定點的直線與線段相交問題
【典例3-1】已知，若點在線段上，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設，則，，
點是線段上的任意一點，
的取值范圍是，，
故答案為：，
【典例3-2】已知點過點A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
如圖，要使過點A的直線與線段BC相交，需使直線的傾斜角介于直線的傾斜角之間，
即需使斜率滿足，
因，，故.
故答案為：.
【方法技巧】
一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．
【變式3-1】已知點，，直線是過點且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是
【答案】
【解析】因為，，，
所以，．
直線過點且與線段相交，如下圖所示：
或，
直線的斜率的取值范圍是：．
故答案為：．
【變式3-2】已知曲線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】函數，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數圖象如下所示：
當時，即，當時，則，
表示曲線上的點與連線的斜率，令，
又，，
由圖可得或，
即的取值范圍為.
故答案為：
【變式3-3】已知直線，若直線與連接兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍是 ．
【答案】
【解析】如下圖，由題意，
直線方程可化為，
由解得，
則直線過定點，
又，
則由直線與連接兩點的線段總有公共點知:
直線的斜率滿足或，
又當直線的斜率存在時，，
所以或，
則直線的傾斜角為或，
又也符合題意，
則直線的傾斜角范圍是.
故答案為：.
【變式3-4】一質點在矩形內運動，從的中點沿一確定方向發射該質點，依次由線段、、反射.反射點分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點）.若、、和，則的斜率的取值范圍是 .

【答案】
【解析】由題意知：，，設，則線段的斜率：，
為使點落在線段上（不包括端點），所以得：當落到點，點時為相應的兩種臨界位置，
當落到點時：
由題意知：點為的中點，且從點出發又回到點，所以可得：此時位于線段的中點位置，
所以得此時的斜率：；
當落到點時：
點與點重合，如下圖所示，設，可得：，且，
所以得：，，，
所以得：，解之得：，
所以此時斜率：，
綜上所述：可得的斜率范圍為：，即.
故答案為：.
【變式3-5】已知直線和以為端點的線段相交，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】直線，過定點，
則，
直線和以為端點的線段相交，
由圖可知，或，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
題型四：直線的方程
【典例4-1】已知為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為 .
【答案】
【解析】因為中線CE所在直線方程為，
所以可設，
由AC中點為，可得，
所以，
為等腰直角三角形，CE為中線，
，，
①，
又是的中點，，
，，
化簡得： ②，
由①②解得，
所以點，又因為，
所以直線方程為，
即所求方程為.
故答案為：
【典例4-2】已知直線過點，它在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則此直線的方程為 ．
【答案】或
【解析】當直線經過原點時，直線方程為：．
當直線不經過原點時，設直線方程為：，
把點代入，解得．
直線方程為．
綜上可得直線方程為：或，
故答案是：或．
【方法技巧】
要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．
【變式4-1】已知點，直線與軸相交于點，則中，邊上的高所在直線的方程是 .
【答案】
【解析】直線與軸交點的斜率，
所以邊上的高的斜率，
所以所在直線方程為.
故答案為：
【變式4-2】已知的頂點，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點）、垂心（三條高線點）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點的坐標是 .
【答案】或
【解析】設頂點的坐標是，則的重心坐標為，
由題意可知：，即，
可知線段的中點為，斜率，
則線段的中垂線的方程為，即，
聯立方程，解得，即的外心坐標為，
由，即，
可得，解得或，
即或，
經檢驗或均符合題意.
故答案為：或.
【變式4-3】若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先計算AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，設B（x0，y0），AB的中點M為，根據解得答案.由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，
聯立直線AC與直線CM方程得 解得
頂點C的坐標為C（4，3）.設B（x0，y0），AB的中點M為 ，
由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
聯立 解得 所以頂點B的坐標為（－1，－3）.
于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.
故答案為：6x－5y－9＝0
【變式4-4】如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】聯立，解得，即，
因為，所以，即，
設的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，
則，
即的角平分線所在直線的斜率為，
所以的角平分線所在直線的方程為，即.
故選：A.
【變式4-5】已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，邊上的高所在直線方程為，
所以，
所以邊所在直線的方程為，即.
又邊上的中線所在直線方程為，
由，解得，
所以.
設，則線段的中點，
則
解得
即，
所以所在直線的方程為.
故選：D
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題
【典例5-1】在平面直角坐標系中，已知射線，過點作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點A、B．
(1)當AB的中點為P時，求直線AB的一般式方程；
(2)求面積的最小值．
【解析】（1）由題意可設、，且、．
當AB的中點為P時，則，解得，，
所以、．
所以直線AB的方程為，即一般式方程為：．
（2）當過點的直線斜率不存在時，、，
此時．
當過點的直線斜率存在時，
設直線AB的方程為．
直線AB與相交，可得，
直線AB與x軸正半軸相交于B，可得．
由，解得或．
則．
令，則（或），
可得，
由或，可得或，，
當，即，時，，
即，則，
此時、符合題意．
綜上，．
【典例5-2】已知直線過點.
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；
(2)若直線分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于、兩點，為原點.若的面積為，求直線的方程.
【解析】（1）與直線垂直的直線的方程可設為，
將點的坐標代入直線的方程得，解得，
所以直線的方程為.
（2）設直線的方程為，
由題意可的，解的，
所以直線的方程為，即.
【方法技巧】
（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．
（2）在求直線方程時，要恰當地選擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以根據已知條件恰當地選擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．
【變式5-1】過點的直線可表示為，若直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】A
【解析】可化為①，
要使與兩坐標軸能圍成三角形，則且，
由①令得；令得，
依題意，
，所以或，
所以或，
設，則或，
則或
解得或，
即或，
即或，
所以這樣的直線有條.
故選：D
【變式5-2】已知直線和直線，當實數的值在區間內變化時，
(1)求證直線恒過定點，并指出此定點的坐標.
(2)求直線與兩坐標軸的正半軸圍成的四邊形面積的最小值.
【解析】（1）解法1
當時，，無論為何值，直線過定點；
當時，，直線過定點；
綜上：直線恒過定點；
解法2：將直線化為，
由，得，即直線恒過定點.
（2）將直線化為，得直線恒過定點，
在直線中，由于，令得，
令，故直線與軸正半軸交于點，
同理在直線中，令，得，故與軸正半軸交于點，
如圖，在平面直角坐標系中取點，連接，當實數的值在區間內變化時，過點作出直線的大致圖象，與軸交于點與軸交于點.
則點的坐標為，點的坐標為.
因為，所以，
在中邊上的高為2，在中邊上的高為2，
所以
，
所以當時，所求四邊形的面積最小，最小值為.
【變式5-3】（2024·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A 與y軸正半軸交于點B.
（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；
（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.
【解析】（1）設l的方程為，由直線過點知，即，由基本不等式得，即，當且僅當時等號成立，
又知，所以時等號成立，
此時l直線的方程為，
即面積最小時直線l的方程為.
（2）易知直線l的斜率存在，所以可設直線l的方程為，所以得，，所以，得，等號成立時有k，得，
此時直線的方程為，即.
故的最小值是24，取最小值時直線l的方程是.
【變式5-4】（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學校聯考階段練習）已知直線經過定點P．
(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；
(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當取最小值時，求直線l的方程．
【解析】（1）證明：由可得：，
由 可得，所以l經過定點；
即直線l過定點，且定點在第二象限，
所以無論k取何值，直線l始終經過第二象限．
（2）設直線l的傾斜角為，則，
可得，
所以，
令，
因為，可得，
即，
將兩邊平方可得：，
所以，
所以，
因為在上單調遞增，所以，
故，所以，當且僅當時取等號，
此時，
可得，所以，
所以直線的方程為．
【變式5-5】（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）已知直線過定點，且交軸負半軸于點 交軸正半軸于點．點為坐標原點．
（1）若的面積為4，求直線的方程；
（2）求的最小值，并求此時直線的方程；
（3）求的最小值，并求此時直線的方程．
【解析】設，，.
（1）設，因為過點，所以，
所以，由解得，
所以直線的方程為，即；
（2），
所以，
當且僅當，時取等號，所以直線的方程為；
（3）依題意可知三點共線，在線段上（且與不重合），
所以
，
當且僅當，時取等號，所以直線的方程為．
【變式5-6】已知直線．
(1)當時，求直線與直線的交點坐標；
(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②已知點，當取最小值時，求直線的方程．
【解析】（1）當時，直線為，則，解得，
故所求交點為；
（2）①由題意，設，故直線的方程為，
因為直線過定點，代入方程可得，所以，
所以，當且僅當時等號成立，則，
所以的面積的最小值是4，此時，解得；
所以此時直線的方程為；
②法1：由題意，設，則，
，
令，則，故
且，則，
在上單調遞增，當時取最大值，此時取最小值，
當時，有，解得，
所以直線的傾斜角為，則，故直線方程為．
法2：由題設知，
由三點共線，設的中點為，所以，
且，而，
當且僅當，即時取等號，此時直線方程為.
題型六：兩直線的夾角問題
【典例6-1】如果直線與的斜率分別是一元二次方程的兩個根，那么兩直線的夾角為 .
【答案】/60°
【解析】設直線與的斜率分別為， ，與夾角為.
∵直線的斜率分別為二次方程的兩個根
且
∴，
∴
∵
∴，
故答案為：.
【典例6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為 ．
【答案】/
【解析】設直線與直線的傾斜角分別為，
則，且，
所以，
因為，
所以，即兩條直線的夾角為，
故答案為：.
【方法技巧】
若直線與直線的夾角為，則.
【變式6-1】當 時，直線與直線的夾角為60°．
【答案】0或
【解析】由的傾斜角為，
所以直線的傾斜角為或，故或.
故答案為：0或
【變式6-2】（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個可能值為 .
【答案】或
【解析】設直線的傾斜角為，由已知得，設直線的傾斜角為，
則，因為在等邊三角形中，，所以，
當，，
所以
當，，
所以
綜上，或，
故答案為：或
【變式6-3】（2024·高三·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于
【答案】
【解析】直線，即，則其斜率為，傾斜角為；
直線，即，則其斜率，
設直線的傾斜角為，則，
又，所以，
所以，，而，
所以兩直線的夾角為，
又因為，
則
所以，
故所求夾角的余弦值為.
故答案為：.
【變式6-4】（2024·全國·模擬預測）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為 .
【答案】3
【解析】直線的斜率，直線的斜率，
設底邊所在直線為，
由題意，與的夾角等于與的夾角，
于是有，即，
化簡得，解得或，
因為原點在等腰三角形的底邊上，所以.
故答案為：3.
【變式6-5】直線與直線的夾角為 .
【答案】
【解析】由直線與直線的方程可知，
兩直線的斜率分別為：，∴，∴，∴兩直線的夾角為.
故答案為：.
題型七：直線過定點問題
【典例7-1】不論k為任何實數，直線恒過定點，若直線過此定點其m，n是正實數，則的最小值是 .
【答案】/
【解析】直線即，
由題意，解得，即直線恒過點，
因為直線過此定點，其中m，n是正實數，所以，
則
，當且僅當即時取等號，
所以的最小值是.
故答案為：
【典例7-2】不論m，n取什么值，直線必過一定點為 .
【答案】
【解析】由題意，在
令，解得，
不論m，n取什么值，直線必過一定點.
故答案為：
【方法技巧】
合并參數
【變式7-1】直線恒過定點
【答案】
【解析】直線，化為，
令，解得，
所以直線恒過定點，
故答案為：
【變式7-2】直線與直線相交于點，對任意實數，直線分別恒過定點，則的最大值為 .
【答案】4
【解析】直線化為，
當，得，即直線恒過點，即點，
直線化為，
當，得，即直線恒過點，即點，
且兩條直線滿足，
，即，
，
，當且僅當時，等號成立，
的最大值為4.
故答案為：4.
【變式7-3】已知函數且過定點，直線過定點，則
【答案】5
【解析】，；
由得：，直線恒過定點；.
故答案為：.
題型八：中點公式
【典例8-1】若直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，且線段AB的中點為，則直線l的方程為： ．
【答案】
【解析】依題知，直線與x軸y軸的截距都存在且都不為0，
設直線方程為，
又線段AB的中點為，則，即
則直線方程為，即.
故答案為：
【典例8-2】過點的直線，被直線，所截得的線段的中點恰好在直線上，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】設中點為，
因為，所以在直線上，
由在直線上，
聯立可得，解得，即中點為，
所以直線的斜率，所以的方程為，即．
故答案為：．
【方法技巧】
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則
【變式8-1】已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】因為直線與直線和的交點分別為，
設，
因為點是線段的中點，由中點公式可得，
解得，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
【變式8-2】過點的直線被兩平行直線與所截線段的中點恰在直線上，則直線的方程是 ．
【答案】
【解析】設線段的中點為，因為點到與的距離相等，
故，解得，則點．
直線的方程為，即．
故答案為：
【變式8-3】已知點A，B分別是直線和直線上的點，點P為的中點，設點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點的直線與曲線C，x軸分別交于點M，N，若點D為的中點，求直線的方程.
【解析】（1）設點，，，
因為點P為的中點，可得，，
又由，，
兩式相加，可得，所以，即，
所以曲線C的方程為.
（2）根據題意，設，，
因為點為的中點，所以，解得，，
即，所以直線的方程為，整理得，
即直線的方程.
【變式8-4】已知直線.
(1)求證：直線經過定點，并求出定點P；
(2)經過點P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.
【解析】（1）證明：將直線l的方程改寫為，
令，且，
兩式聯立，解得，，
所以直線過定點.
（2）如圖，
設直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，
設點A，B的坐標分別是，，
則有，，
又A，B兩點分別在直線，上，
所以，，
由以上四個式子解得，，即，
所以直線AB的方程為.
題型九：軌跡方程
【典例9-1】（2024·高三·全國·課后作業）若過點且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點，則中點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設，則，連接，
，，即，化簡即得.
故答案為：
【典例9-2】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知點，若點滿足（，且），則點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】點滿足（，且），
，
，，
由共線向量定理可知，三點共線，點的軌跡為直線，
又，
直線的方程為：，
整理得：，
故點的軌跡方程為，
故答案為：
【方法技巧】
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
【變式9-1】已知，點在直線上運動，，則點的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設，，，則，
故，點在直線，故，
整理得到.
故答案為：.
【變式9-2】已知的頂點A、C的坐標分別為、，頂點D在直線上移動，則頂點B的軌跡方程為 ．
【答案】（除點外）
【解析】設點，在中，對角線AC的中點為，于是得點，
而點在直線上，則有，即，
直線的方程為：，即，由解得，
在中，點A，B，C不共線，因此點不在點B的軌跡上，
所以頂點B的軌跡方程為：（除點外）.
故答案為：（除點外）
【變式9-3】已知滿足方程，則M的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
【答案】A
【解析】滿足方程，
即滿足方程，
幾何意義為：點M到直線x-2y+3=0和到點（-1，1）的距離相等，
又因為點（-1，1）在直線x-2y+3=0上，
所以點M的軌跡為一條直線，
故選：A
【變式9-4】在平面直角坐標系中，已知的頂點坐標分別為、、，點在直線上運動，動點滿足，求點的軌跡方程．
【解析】設點、，直線的斜率為，
直線的方程為，即，
，，，，
由可得，
所以，，可得，
因為點在直線上，則，即，整理可得，
因此，點的軌跡方程為.
【變式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.
【解析】（1），所在直線的斜率為：.
所在直線方程是，即；
（2）設點的坐標是，點的坐標是，
由平行四邊形的性質得點的坐標是，
是線段的中點，，，
于是有，，
點在線段上運動，
，
，即，
由得，
線段的中點的軌跡方程為.
【變式9-6】如圖，已知點是直線上任意一點，點是直線上任意一點，連接，在線段上取點使得.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【解析】（1）設，，，
由，
，
又，
得：，
把①②代入上式得，即為點的軌跡方程.
（2）設，由，得，
又點滿足，
聯立得方程組，解得或.
故存在點滿足條件，點的坐標為或.
1．（2008年普通高等學校招生考試數學（文）試題（四川卷））直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移1個單位，所得到的直線為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當直線繞原點逆時針旋轉時，所得直線斜率為，此時，該直線方程為，
再將該直線向右平移1個單位可得：，即.
故選：A.
2．（2002年普通高等學校春季招生考試數學（文）試題（北京卷））到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設點，則到兩坐標軸距離相等，即，即.
故選：D
3．（2004 年普通高等學校招生考試數學（文）試題（湖北卷））已知點和．直線與線段的交點M分有向線段的比為，則m的值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】設，且，
則，得，解得：，
代入直線，，得.
故選：D
4．（2004年普通高等學校招生考試數學（文）試題（浙江卷））直線與直線的夾角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，
兩條直線的夾角為，
故選：A
5．（2020年山東省春季高考數學真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】結合圖像易知，，，
則角是第四象限角，
故選：D.
1．判斷，，三點是否共線，并說明理由．
【解析】因為，，，
所以，
因為，
所以A，B，C三點共線.
2．菱形的兩條對角線分別位于x軸和y軸上，其長度分別為8和6，求菱形各邊所在直線的方程．
【解析】由題意作出菱形圖形，如圖，
直線的方程：，即，
直線的方程：，即，
直線的方程：，即，
直線的方程：，即
3．求經過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程．
【解析】（1）當截距為0時：直線為。
（2）當截距不為0時，設截距為，則直線為，將代入解得，
所以直線為.
綜上所述：直線為或.
4．求直線（A，B不同時為0）的系數A，B，C分別滿足什么關系時，這條直線有以下性質：
（1）與兩條坐標軸都相交；
（2）只與x軸相交；
（3）只與y軸相交；
（4）是x軸所在的直線；
（5）是y軸所在的直線．
【解析】（1）直線（A，B不同時為0）與x軸相交時，
方程組有唯一解，所以，
同理直線（A，B不同時為0）與y軸相交時，
方程組有唯一解，所以，
所以當，時，直線與兩條坐標軸都相交；
（2）已知直線只與x軸相交，
所以直線與y軸平行或重合，
所以當，時，直線只與x軸相交；
（3）已知直線只與y軸相交，
所以直線與x軸平行或重合，
所以當，時，直線只與y軸相交；
（4）當，，時，直線是x軸所在的直線；
（5）當，，時，直線是y軸所在的直線；
5．畫出直線，并在直線l外取若干點，將這些點的坐標代入，求它的值；觀察有什么規律，并把這個規律表示出來．
【解析】畫出直線的圖象，如圖：
取點，
把點代入直線方程，
代入分別為與；
將代入分別為與；
可得如下規律：
在直線的左上方的點，坐標代入，值小于；
在直線的右下方的點，坐標代入，值大于；
在直線上的點，坐標代入，值等于；
易錯點：錯誤理解斜率與傾斜角間的關系
易錯分析： 斜率與傾斜角是直線在平面幾何中的兩個重要屬性，它們之間存在緊密的關系，但也容易被誤解。斜率表示直線的傾斜程度，是縱坐標差與橫坐標差之商；而傾斜角則是直線與x軸正方向之間的夾角。誤解常在于將斜率與傾斜角的正弦值混淆，或忽視了斜率不存在（即直線垂直于x軸）時傾斜角為90度這一特殊情況。
【易錯題1】若經過兩點A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角是直線4x－3y＋2 019＝0的傾斜角的一半，則y的值為 .
【答案】
【解析】因為直線4x－3y＋2 019＝0的斜率為，
所以由傾斜角的定義可知直線4x－3y＋2 019＝0的傾斜角α滿足，
因為，所以，
所以，解得，
由已知及傾斜角與斜率的關系得，所以.
故答案為：.
【易錯題2】直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設的傾斜角為，
由題意可知：直線的斜率，
即，且，所以.
故選：C.
答題模板：求斜率的取值范圍
1、模板解決思路
求解斜率的取值范圍問題時，通常的做法是先通過關鍵點計算出相關的斜率值，這些值往往作為臨界值存在。接著，結合圖形的直觀分析，判斷斜率的取值范圍是位于這些臨界值的中間區域，還是分布在臨界值的兩側。簡而言之，就是先找臨界斜率，再結合圖形確定取值范圍是居中還是分居兩側。
2、模板解決步驟
第一步：確定直線與幾何圖形有公共點的邊界點.
第二步：求出已知點與邊界點所在直線的斜率.
第三步：分析直線的變化范圍，寫出直線的斜率的取值范圍.
【經典例題1】已知兩點，，過點的直線與線段（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，
直線逆時針旋轉到的位置才能保證過點的直線與線段有交點，
從轉到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，
此時斜率，所以此時；
從旋轉到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負無窮開始變大，
此時斜率，所以此時，
綜上可得直線的斜率的取值范圍為.
故選：A
【經典例題2】已知直線和以，為端點的線段相交，則實數k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為直線恒過定點，如圖.
又因為，，所以直線的斜率k的范圍為.
故選：C.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 直線的方程
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線的傾斜角和斜率 4
知識點2：直線的方程 5
題型一：傾斜角與斜率的計算 6
題型二：三點共線問題 7
題型三：過定點的直線與線段相交問題 8
題型四：直線的方程 9
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題 10
題型六：兩直線的夾角問題 12
題型七：直線過定點問題 13
題型八：中點公式 14
題型九：軌跡方程 15
04真題練習·命題洞見 17
05課本典例·高考素材 18
06易錯分析·答題模板 19
易錯點：錯誤理解斜率與傾斜角間的關系 19
答題模板：求斜率的取值范圍 19
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線的傾斜角與斜率 （2）直線的方程 2008年江蘇卷第9題，5分 2006年上海卷第11題，4分 高考對直線方程的考查比較穩定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法等，特別要重視直線方程的求法.
復習目標： （1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. （2）根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)．
知識點1：直線的傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2、直線的斜率
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關系
當時，直線平行于軸或與軸重合；
當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；
3、過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4、三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
【診斷自測】過點和點的直線的傾斜角為，則的值是 .
知識點2：直線的方程
1、直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2、直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于軸的直線
斜截式 不含垂直于軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
3、求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
4、線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．
5、兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
【診斷自測】過點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
題型一：傾斜角與斜率的計算
【典例1-1】直線的傾斜角為 .
【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
【方法技巧】
正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據該公式求出經過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數在上的圖像來認識．
【變式1-1】（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是 ．
【變式1-2】若過點，的直線的斜率等于1，則m的值為 ．
【變式1-3】若過點，的直線的傾斜角為銳角，則實數a的取值范圍為 ．
【變式1-4】（2024·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
題型二：三點共線問題
【典例2-1】若點、、在同一直線上，則實數k的值為 ．
【典例2-2】若三點，， (其中)共線，則 .
【方法技巧】
斜率是反映直線相對于 軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．
【變式2-1】若三點共線，則的值為 ．
【變式2-2】數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程為 .
【變式2-3】已知，，三點在同一條直線上，則實數 m 的值為 ．
【變式2-4】已知三點在同一條直線上，則實數的值為 ．
題型三：過定點的直線與線段相交問題
【典例3-1】已知，若點在線段上，則的取值范圍是 .
【典例3-2】已知點過點A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是 .
【方法技巧】
一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．
【變式3-1】已知點，，直線是過點且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是
【變式3-2】已知曲線，則的取值范圍是 ．
【變式3-3】已知直線，若直線與連接兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍是 ．
【變式3-4】一質點在矩形內運動，從的中點沿一確定方向發射該質點，依次由線段、、反射.反射點分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點）.若、、和，則的斜率的取值范圍是 .

【變式3-5】已知直線和以為端點的線段相交，則實數的取值范圍為 .
題型四：直線的方程
【典例4-1】已知為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為 .
【典例4-2】已知直線過點，它在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則此直線的方程為 ．
【方法技巧】
要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．
【變式4-1】已知點，直線與軸相交于點，則中，邊上的高所在直線的方程是 .
【變式4-2】已知的頂點，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點）、垂心（三條高線點）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點的坐標是 .
【變式4-3】若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為 .
【變式4-4】如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題
【典例5-1】在平面直角坐標系中，已知射線，過點作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點A、B．
(1)當AB的中點為P時，求直線AB的一般式方程；
(2)求面積的最小值．
【典例5-2】已知直線過點.
(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；
(2)若直線分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于、兩點，為原點.若的面積為，求直線的方程.
【方法技巧】
（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．
（2）在求直線方程時，要恰當地選擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以根據已知條件恰當地選擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．
【變式5-1】過點的直線可表示為，若直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【變式5-2】已知直線和直線，當實數的值在區間內變化時，
(1)求證直線恒過定點，并指出此定點的坐標.
(2)求直線與兩坐標軸的正半軸圍成的四邊形面積的最小值.
【變式5-3】（2024·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A 與y軸正半軸交于點B.
（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；
（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.
【變式5-4】（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學校聯考階段練習）已知直線經過定點P．
(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；
(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當取最小值時，求直線l的方程．
【變式5-5】（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）已知直線過定點，且交軸負半軸于點 交軸正半軸于點．點為坐標原點．
（1）若的面積為4，求直線的方程；
（2）求的最小值，并求此時直線的方程；
（3）求的最小值，并求此時直線的方程．
【變式5-6】已知直線．
(1)當時，求直線與直線的交點坐標；
(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②已知點，當取最小值時，求直線的方程．
題型六：兩直線的夾角問題
【典例6-1】如果直線與的斜率分別是一元二次方程的兩個根，那么兩直線的夾角為 .
【典例6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為 ．
【方法技巧】
若直線與直線的夾角為，則.
【變式6-1】當 時，直線與直線的夾角為60°．
【變式6-2】（2024·廣東·模擬預測）在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個可能值為 .
【變式6-3】（2024·高三·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于
【變式6-4】（2024·全國·模擬預測）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為 .
【變式6-5】直線與直線的夾角為 .
題型七：直線過定點問題
【典例7-1】不論k為任何實數，直線恒過定點，若直線過此定點其m，n是正實數，則的最小值是 .
【典例7-2】不論m，n取什么值，直線必過一定點為 .
【方法技巧】
合并參數
【變式7-1】直線恒過定點
【變式7-2】直線與直線相交于點，對任意實數，直線分別恒過定點，則的最大值為 .
【變式7-3】已知函數且過定點，直線過定點，則
題型八：中點公式
【典例8-1】若直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，且線段AB的中點為，則直線l的方程為： ．
【典例8-2】過點的直線，被直線，所截得的線段的中點恰好在直線上，則直線的方程為 ．
【方法技巧】
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則
【變式8-1】已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為 .
【變式8-2】過點的直線被兩平行直線與所截線段的中點恰在直線上，則直線的方程是 ．
【變式8-3】已知點A，B分別是直線和直線上的點，點P為的中點，設點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點的直線與曲線C，x軸分別交于點M，N，若點D為的中點，求直線的方程.
【變式8-4】已知直線.
(1)求證：直線經過定點，并求出定點P；
(2)經過點P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.
題型九：軌跡方程
【典例9-1】（2024·高三·全國·課后作業）若過點且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點，則中點的軌跡方程為 .
【典例9-2】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知點，若點滿足（，且），則點的軌跡方程為 ．
【方法技巧】
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
【變式9-1】已知，點在直線上運動，，則點的軌跡方程是 ．
【變式9-2】已知的頂點A、C的坐標分別為、，頂點D在直線上移動，則頂點B的軌跡方程為 ．
【變式9-3】已知滿足方程，則M的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
【變式9-4】在平面直角坐標系中，已知的頂點坐標分別為、、，點在直線上運動，動點滿足，求點的軌跡方程．
【變式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.
【變式9-6】如圖，已知點是直線上任意一點，點是直線上任意一點，連接，在線段上取點使得.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
1．（2008年普通高等學校招生考試數學（文）試題（四川卷））直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移1個單位，所得到的直線為（ ）
A． B． C． D．
2．（2002年普通高等學校春季招生考試數學（文）試題（北京卷））到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2004 年普通高等學校招生考試數學（文）試題（湖北卷））已知點和．直線與線段的交點M分有向線段的比為，則m的值為（ ）
A． B． C． D．4
4．（2004年普通高等學校招生考試數學（文）試題（浙江卷））直線與直線的夾角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020年山東省春季高考數學真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
1．判斷，，三點是否共線，并說明理由．
2．菱形的兩條對角線分別位于x軸和y軸上，其長度分別為8和6，求菱形各邊所在直線的方程．
3．求經過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程．
4．求直線（A，B不同時為0）的系數A，B，C分別滿足什么關系時，這條直線有以下性質：
（1）與兩條坐標軸都相交；
（2）只與x軸相交；
（3）只與y軸相交；
（4）是x軸所在的直線；
（5）是y軸所在的直線．
5．畫出直線，并在直線l外取若干點，將這些點的坐標代入，求它的值；觀察有什么規律，并把這個規律表示出來．
易錯點：錯誤理解斜率與傾斜角間的關系
易錯分析： 斜率與傾斜角是直線在平面幾何中的兩個重要屬性，它們之間存在緊密的關系，但也容易被誤解。斜率表示直線的傾斜程度，是縱坐標差與橫坐標差之商；而傾斜角則是直線與x軸正方向之間的夾角。誤解常在于將斜率與傾斜角的正弦值混淆，或忽視了斜率不存在（即直線垂直于x軸）時傾斜角為90度這一特殊情況。
【易錯題1】若經過兩點A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角是直線4x－3y＋2 019＝0的傾斜角的一半，則y的值為 .
【易錯題2】直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
答題模板：求斜率的取值范圍
1、模板解決思路
求解斜率的取值范圍問題時，通常的做法是先通過關鍵點計算出相關的斜率值，這些值往往作為臨界值存在。接著，結合圖形的直觀分析，判斷斜率的取值范圍是位于這些臨界值的中間區域，還是分布在臨界值的兩側。簡而言之，就是先找臨界斜率，再結合圖形確定取值范圍是居中還是分居兩側。
2、模板解決步驟
第一步：確定直線與幾何圖形有公共點的邊界點.
第二步：求出已知點與邊界點所在直線的斜率.
第三步：分析直線的變化范圍，寫出直線的斜率的取值范圍.
【經典例題1】已知兩點，，過點的直線與線段（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【經典例題2】已知直線和以，為端點的線段相交，則實數k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
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