資源簡介

拔高點突破03 圓錐曲線背景下的新定義問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：定義新曲線 2
題型二：雙扭線 4
題型三：卡西尼卵形線 9
題型四：心形線 12
題型五：四葉草曲線 18
題型六：定義新圖形 22
題型七：定義新性質 27
題型八：綜合問題 33
03 過關測試 44
圓錐曲線背景下的新定義問題，關鍵在于理解新定義的本質，并將其與常規圓錐曲線知識相結合。
方法總結如下：
1、明確新定義：首先仔細閱讀題目，明確新定義的內容、符號及其含義。
2、聯系常規知識：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標準方程等常規知識聯系起來，找出它們的相似之處或轉換關系。
3、建立數學模型：根據新定義，建立相應的數學模型或方程，利用解析幾何或代數方法進行求解。
4、驗證與推理：在求解過程中，注意驗證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。
5、靈活應用：對于復雜問題，可能需要綜合運用多種數學知識和方法，靈活應對。
題型一：定義新曲線
【典例1-1】若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由“對偶橢圓”定義得：短半軸長b與半焦距c相等的橢圓是“對偶橢圓”，
對于A，，即，A是“對偶橢圓”；
對于B，，即，B不是“對偶橢圓”；
對于C，，即，C不是“對偶橢圓”；
對于D，，即，D不是“對偶橢圓”.
故選：A
【典例1-2】（多選題）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論中正確的是（ ）
A．點P的軌跡方程是
B．直線是“最遠距離直線”
C．平面上有一點，則的最小值為5
D．點P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）
【答案】ABC
【解析】對于A，設，因為點P到點F的距離是點P到直線l距離的一半，
所以，化簡可得，故選項A正確；
對于B，聯立方程組，可得，
解得，故存在點，
所以直線是“最遠距離直線”，故選項B正確；
對于C，過點P作垂直直線，垂足為B，
由題意可得，，則，
由圖象可知，的最小值即為點A到直線的距離5，故選項C正確；
對于D，由可得，
即圓心為，半徑為1，
易得點P的軌跡與圓C交于點，故選項D錯誤.
故選：ABC.
【變式1-1】（多選題）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數學之美的新logo.設計師的靈感來源于曲線C：.其中星形線E：常用于超輕材料的設計.則下列關于星形線說法正確的是（ ）
A．E關于y軸對稱
B．E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過
C．E上的點到原點距離的最小值為
D．曲線E所圍成圖形的面積小于2
【答案】ABD
【解析】若在星形線E上，則也在E上，故E關于y軸對稱，A正確；
由，則當且僅當時等號成立，B正確；
由，當且僅當時等號成立，故E上的點到原點距離的最小值為，C錯誤；
曲線E過，，由，則在所圍成的區域內部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成圖形的面積小于2，D正確.
故選：ABD
題型二：雙扭線
【典例2-1】（多選題）（2024·高三·湖北鄂州·期末）中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的游戲呈現.它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數學曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結論正確的是（ ）
A．曲線的圖象關于原點對稱
B．曲線經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3
D．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】把代入得，
所以曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；
令解得，或，即曲線經過，
結合圖象，，
令，得，令，得，
因此結合圖象曲線只能經過3個整點，，故B錯誤；
可得，
所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即都不超過3，
故 C正確；
直線與曲線一定有公共點，
若直線與曲線只有一個交點，
所以，整理得無解，
即，解得，故D正確.
故選：ACD.
【典例2-2】“四二一廣場”是重慶第一中學校的文化地標（如圖1），廣場中心的建筑形似火炬宛若花開，三朵“花瓣”都是拓撲學中的莫比烏斯帶（如圖2）.將莫比烏斯帶投影到平面上，會得到無窮大符號“∞”.在平面直角坐標系中，設線段AB長度為2a（），坐標原點O為AB中點且點A，B均在x軸上，若動點P滿足，那么點P的軌跡稱為雙紐線，其形狀也是無窮大符號“∞”（如圖3）.若，點P在第一象限且，則（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】，設，
由雙紐線的定義得，
即，
化簡得，
顯然，設，則，
代入方程，得，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以.
故選：C.
【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.若，點為雙紐線上任意一點，則下列結論正確的個數是（ ）
①關于軸不對稱
②關于軸對稱
③直線與只有一個交點
④上存在點，使得
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】①設到定點的距離之積為4，
可得.，整理得，
即曲線的方程為，
由用代換，方程沒變，可知曲線關于軸對稱，
由用代換，方程沒變，可知曲線關于軸對稱，
由用代換，用同時代換，方程沒變，可知曲線關于原點對稱，
圖象如圖所示：
所以①不正確，②正確；
③聯立方程組，可得，即，所以，
所以直線與曲線只有一個交點，所以③正確.
④原點滿足曲線的方程，即原點在曲線上，則，
即曲線上存在點與原點重合時，滿足，所以④正確.
故選:C.
【變式2-2】在平面上，定點、之間的距離.曲線是到定點、距離之積等于的點的軌跡.以點、所在直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系.已知點是曲線上一點，下列說法中正確的有（ ）
①曲線是中心對稱圖形：
②曲線上有兩個點到點、距離相等；
③曲線上的點的縱坐標的取值范圍是；
④曲線上的點到原點距離的最大值為
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】依題意，令設點 是曲線上任意一點，則有，
顯然，
即點關于原點對稱點在曲線上，因此曲線是中心對稱圖形，①正確；
曲線上點滿足，則點在軸上，由得，解得，
因此曲線上只有一個點到點距離相等，②不正確；
當時，，即，
當且僅當，即，
亦即時取等號，此時，
而點在曲線上，即成立，因此，
曲線上的點的縱坐標的取值范圍是，③正確；
因為，則，
當時，由余弦定理得，
于是得，
當時，或，有或，
因此曲線上的點到原點距離的最大值為，④正確，所以說法中正確的有①③④.
故選：C.
【變式2-3】（2024·內蒙古赤峰·一模）2022年卡塔爾世界杯中的數字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知是雙紐線上的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．雙紐線關于原點成中心對稱
B．
C．雙曲線上滿足的點有兩個
D．的最大值為
【答案】B
【解析】由到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，
得，
將 替換方程中的 ，方程不變，故雙紐線關于原點成中心對稱，故A正確；
由等面積法得，則 ，
所以，故B正確；
令 ，得 ，解得 ，所以雙曲線上滿足的點有一個，故C錯誤；
因為 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的最大值為，故D正確，
故選：C.
題型三：卡西尼卵形線
【典例3-1】（多選題）我們在解析幾何學習過程中知道橢圓 雙曲線定義分別是到兩定點距離之和 距離之差的絕對值等于某個定值.天文學家卡西尼在研究土星及其衛星運行規律時發現了到兩定點距離之積為常數的點的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.已知兩定點，動點滿足，設的軌跡為曲線，則下列命題正確的是（ ）
A．曲線過原點
B．的橫坐標最大值是
C．的縱坐標最大值是
D．
【答案】ABD
【解析】依題意，，即，
整理得，
對于A，當時，，因此曲線過原點，A正確；
對于B，由，得，整理得，
解得，的橫坐標最大值是，B正確；
對于C，，當且僅當時取等號，
因此的縱坐標最大值是1，C錯誤；
對于D，，令，
上述不等式等價于，
令函數，求導得，
函數在上單調遞增，，即成立，
因此，D正確.
【典例3-2】天文學家卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現：平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡是卡西尼卵形線（Cassini Oval）．在平面直角坐標系中，設定點為，，點O為坐標原點，動點滿足（且為常數），化簡得曲線E：．下列命題中正確序號是 ．
①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；
②的最小值為2a；
③當時，的最大值為；
④面積不大于．
【答案】①③④
【解析】①：以代x，得：，所以曲線關于縱軸對稱；
以代y，得：，所以曲線關于橫軸對稱；
同時以代x，以代y得：，所以曲線關于原點對稱，所以曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形，故正確；
②：因為，所以當時，有，
當時，顯然P與，中一點重合，故此時，故錯誤；
③：當時，由，化簡得，
因此有，所以，故正確；
④：面積為：，
當時，面積的最大值為，故正確.
故答案為：①③④
【變式3-1】卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內與兩個定點(叫做焦點)的距離之積等于常數的點的軌跡．某同學類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進行了相關性質的探究，設，是平面內的兩個定點，(是定長)，得出卡西尼卵形線的相關結論：①該曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；②若，則曲線過原點；③若，則曲線不存在；④若，則.其中正確命題的序號是 ．
【答案】①②④
【解析】由題意設，則，
即，
對于①：由原方程可知，點也在曲線上，故曲線關于軸對稱，
由曲線方程可知，也在曲線上，故曲線關于原點對稱，故①正確；
對于②：若，將代入曲線方程可知，方程成立，則曲線過原點，故②正確；
對于③：令，則，解得，所以曲線存在，故③錯誤；
④若，對方程化簡整理可得，
，
由題意易知，當點在軸上時，達到最大，即，
即，從而，
故，
故④正確.
故答案為：①②④．
【變式3-2】（2024·河南濮陽·模擬預測）在數學史上，平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，動點到兩個定點，的距離之積等于3，化簡得曲線C：，下列結論不正確的是（ ）
A．曲線C關于y軸對稱
B．的最小值為
C．面積的最大值為
D．的取值范圍為
【答案】B
【解析】對A：因為用代替，方程不變，所以曲線關于軸對稱，故A正確；
對B：，當點在軸上取得等號，故B正確；
對C：因為，
因為，所以.
所以.故C錯誤；
對D：因為；
所以.
所以，所以，故D正確.
故選：C
題型四：心形線
【典例4-1】（多選題）（2024·高三·浙江·開學考試）數學家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數學表達式：，克里斯蒂娜用極坐標知識畫出了該曲線圖象“心形線
”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關系式和可將信中表達式轉化為直角坐標系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點，則（ ）
A．
B．曲線經過點
C．當點在曲線上時，
D．當點在曲線上時，
【答案】ABD
【解析】因為，所以，
利用關系式得，…（*）
A選項：因為曲線圖象過點，所以此時，
代入（*）得，所以，故A正確；
B選項：因為，所以（*）化為，
所以直角坐標系下的曲線方程為，
代入點滿足，故B正確；
C選項：，設，
則，令，得或，
時，，所以，
時，，
則有極值，由對稱性，所以，故C錯誤；
D選項：方法1：由兩邊平方整理得:
，令，
則（*），由判別式，得.
令，由于方程（*）在有解，
（1）當對稱軸，即或時，
由得，所以；
（2）當對稱軸，即時，
由，得，所以，
綜上，.故D正確.
方法2：，
所以.故D正確.
故選：ABD
【典例4-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）“心形線”體現了數學之美，某研究小組用函數圖象：，和拋物線的部分圖象圍成了一個封閉的“心形線”，過焦點的直線交（包含邊界點）于，兩點，是或上的動點，下列說法正確的是（ ）

A．拋物線的方程為
B．的最小值為5
C．的最大值為7
D．若在上，則的最小值為
【答案】ABD
【解析】可變形為，
表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分；
可變形為，
表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分．
對于A選項，拋物線過點，解得，
，故A選項正確；
對于B選項，拋物線的準線為，
過點作，垂足為，
則，則，
故B選項正確；
對于C選項，不妨設，顯然離最遠的點在上，
且，
聯立，消去整理得，
，
則，，
則，
由對稱性只考慮情況，在點時，，所以，
所以
，
設，易得在上單調遞增，
所以的最大值為，故C選項錯誤；
對于D選項，設的中點為，
聯立，消去整理得，
則，，
，，
，
所以，，
，
最小，即最大，也即最小，
又的中點位于圓心的左側，
故當在位置時，最小，最小，
所以
，
故D選項正確.
故選：ABD．
【變式4-1】（多選題）（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標方程可表示為，圖形如圖所示．當時，點在這條心形線C上，且，則下列說法正確的是（ ）

A．若，則
B．若，則
C．
D．C上有4個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
【答案】ACD
【解析】依題意，心形線C的直角坐標方程為，
過原點,由，可知三點共線，
可設直線，由
消去y，得．
不妨設，
則．
∴，故A正確；
，
當時，，故B錯誤；
設點在心形線C上，，角以x軸非負半軸為起始邊，
則心形線C的方程轉化為，
即，
∴，又，
∴，故C正確；
由，可知．
令，則心形線C的方程可化為：，
∴，
當，或，進而可得或0，
當時，方程無整數解；
當時，，故
∴C上有4個整點，故D正確，
故選:ACD．
題型五：四葉草曲線
【典例5-1】（2024·云南昆明·模擬預測）數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）.給出下列四個結論：
①曲線C關于直線對稱；
②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區域內（含邊界）；
③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內（含邊界）；
④曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積等于1.
其中，正確結論的序號是 .
【答案】①③
【解析】在曲線C上任取一點P（x，y），關于對稱的點為Q，
顯然也滿足方程，故①正確；
顯然曲線關于y＝x對稱，令y＝x，代入曲線C的方程，解得，
顯然點不在一個以原點為中心，邊長為1的正方形內，
所以存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區域內（含邊界），②錯誤；
由，
所以，即：，
當取等號，此時，點在曲線上，
而，所以③正確，
因為，所以④錯誤，
故答案為：①③
【典例5-2】（2024·云南昆明·模擬預測）數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結論：
①曲線C關于直線交于不同于原點的兩點，則
②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區域內（含邊界）；
③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內（含邊界）；
④曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積大于.
其中，正確結論的序號是 ．
【答案】①③
【解析】曲線關于原點對稱，所以，所以①正確；
由，所以，
即：，當取等號，此時，點在曲線上，
而，所以②錯誤，③正確，
因為，所以④錯誤，綜上所述，①③正確．
故答案為：①③．
【變式5-1】（2024·四川內江·三模）數學中有許多形狀優美 寓意美好的曲線，如圖：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：
①曲線有四條對稱軸；
②曲線上的點到原點的最大距離為；
③在第一象限內，過曲線上一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積的最大值為；
④四葉草面積小于.
其中，所有正確結論的序號是 .
【答案】①③④
【解析】①；以代，不變代入方程中得，，
所以圖形關于縱軸對稱；
以代，不變代入方程中得，，所以圖形關于橫軸對稱；
以代，以代代入方程中得：，所以圖象關于直線對稱；
以代，以代代入方程中得：
，所以圖象關于直線對稱，因此圖象有四個對稱軸，故結論正確；
②：由對稱軸性不妨設四葉草曲線與直線在第一象限的交點為，
，
所以曲線上的點到原點的最大距離為，故本結論不正確；
③：在第一象限內，設曲線上一點，
因為，所以（當且僅當時，取等號），所以本結論正確；
④：通過②可知：四葉草曲線在以原點為圓心半徑為的圓內及圓上，所以四葉草的面積小于圓的面積，故本結論正確，
故答案為：①③④
【變式5-2】（多選題）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則（ ）

A．曲線有兩條對稱軸
B．曲線上的點到原點的最大距離為
C．曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的圖形面積最大值為
D．四葉草面積小于
【答案】ACD
【解析】對于A：當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；
當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；
當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；
當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；
綜上可知：有四條對稱軸，錯誤；
對于B：因為，所以，所以，所以，
取等號時，所以最大距離為，正確；
對于C：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，
因為，所以，所以，
取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，正確；
對于D：由B可知，所以四葉草包含在圓的內部，
因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，正確.
故選：BCD.
題型六：定義新圖形
【典例6-1】（2024·浙江舟山·模擬預測）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用．如圖，在平面直角坐標系xOy中，螺線與坐標軸依次交于點，并按這樣的規律繼續下去．
(1)求．
(2)求證：不存在正整數，使得三角形的面積為2022;
(3)求證：對于任意正整數，三角形為銳角三角形．
【解析】（1）由兩點間距離公式得，
由題意得，，所以.
（2），，而不可能等于，
故不存在正整數，使得三角形的面積為.
（3），，，
因為，所以在三角形中，
為最大角，由余弦定理得，，則為銳角，
即三角形為銳角三角形．
【典例6-2】（2024·河北衡水·一模）在空間直角坐標系下，由方程所表示的曲面叫做橢球面（或稱橢圓面）.如果用坐標平面分別截橢球面，所得截面都是橢圓（如圖所示），這三個截面的方程分別為，，上述三個橢圓叫做橢球面的主截線（或主橢圓）.已知橢球面的軸與坐標軸重合，且過橢圓與點，則這個橢球面的方程為 .

【答案】
【解析】設橢球面的方程為：，
橢球面過點，，解得：，
橢球面的方程為：.
故答案為：.
【變式6-1】（2024·山東青島·三模）在平面內，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當軸時，直線為的等線.
(1)求的方程;
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;
(3)設，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線
【解析】（1）由題意知，顯然點在直線的上方，
因為直線為的等線，所以，
解得，所以的方程為
（2）設，切線，代入得:
故，
該式可以看作關于的一元二次方程，
所以，即方程為
當的斜率不存在時，也成立
漸近線方程為，不妨設在上方，
聯立得，故，
所以是線段的中點，因為到過的直線距離相等，
則過點的等線必定滿足:到該等線距離相等，
且分居兩側，所以該等線必過點，即的方程為，
由，解得，故 .
所以，
所以，
所以，所以
（3）
設，由，所以，
故曲線的方程為
由（*）知切線為，也為，即，即
易知與在的右側，在的左側，分別記到的距離為，
由（2）知，
所以
由得
因為，
所以直線為的等線 .
【變式6-2】（2024·河南信陽·模擬預測）在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點的坐標均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標的點均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉一周所得的旋轉面，已知直線過C上一點，且以為方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說明理由；
(2)證明：直線在曲面上；
(3)若過曲面上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設直線在曲面上，且過點，求異面直線與所成角的余弦值.
【解析】（1）根據坐標平面內點的坐標的特征可知，坐標平面的方程為，
已知曲面的方程為，
當時，平面截曲面所得交線上的點滿足，
即，
也即在平面上到原點距離為定值1，
從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點為圓心，1為半徑的圓.
（2）設是直線上任意一點，
由，均為直線的方向向量，有，
從而存在實數，使得，即，
則，解得，
所以點的坐標為，
于是，
因此點的坐標總是滿足曲面的方程，從而直線在曲面上.
（3）直線在曲面上，且過點，
設是直線上任意一點，直線的方向向量為，
由，均為直線的方向向量，有，
從而存在實數，使得，即，
則，解得，
所以點的坐標為，
∵在曲面上，∴，
整理得，
由題意，對任意的，有恒成立，
∴，且，
∴，或，
不妨取，則，或，
∴，或，
又直線的方向向量為，
則異面直線與所成角的余弦值均為
題型七：定義新性質
【典例7-1】（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P，
(1)已知平面內點，點，把點B繞點A逆時針旋轉得到點P，求點P的坐標：
(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉所得的斜橢圓C，
（i）求斜橢圓C的離心率；
（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
【解析】（1）由已知可得，則，
設，則，
所以，，即點P的坐標為；
（2）（i）由與交點為和，則，
由與交點為和，
則，所以，；
（ⅱ）法一：設直線：，、，
與斜橢圓聯立：，
有，
∵，，
∴
，
設直線：，代入斜橢圓，
有，
∴，∴，
故.
法二：將橢圓順時針旋轉，由①可得橢圓方程為，
點Q旋轉后的坐標為，
當直線旋轉后斜率不存在時，，，，
當直線旋轉后斜率存在時，設直線旋轉后為，
旋轉后、，
與橢圓方程聯立，即，
可得，
，，
，
設直線旋轉后為，代入橢圓方程中，
有，，
.
綜上所述，.
【典例7-2】（多選題）黃金分割比例具有嚴格的比例性、藝術性，和諧性，蘊含著豐富的美學價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（ ）
A．橢圓是“黃金橢圓”
B．若橢圓的右焦點為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”
C．設橢圓的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
D．設橢圓的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
【答案】ABC
【解析】對于A：由題意得，，
故，故橢圓是“黃金橢圓”，故A正確；
對于B：，即，故，
解得或（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”， 故B正確；
對于C：由得，化簡可知，
解得或（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”， 故C正確；
對于D：由，得，
則（負值舍去），故該橢圓不是“黃金橢圓”， 故D錯誤．
故選：ABC
【變式7-1】（2024·遼寧大連·模擬預測）曲率半徑可用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點處的彎曲程度越小．已知橢圓上點處的曲率半徑公式為．若橢圓C上所有點相應的曲率半徑的最大值是最小值的倍，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】因為點在橢圓上，故，
即，
則
，
而，所以，則，
故，
因為橢圓C上所有點相應的曲率半徑的最大值是最小值的倍，
故，即，
所以橢圓離心率為，
故答案為：
【變式7-2】（2024·高三·北京順義·期末）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標系中，定義為兩點、之間的“出租車距離”.
給出下列四個結論：①若點，點，則；
②到點的“出租車距離”不超過的點的集合所構成的平面圖形面積是；
③若點，點是拋物線上的動點，則的最小值是；
④若點，點是圓上的動點，則的最大值是.
其中，所有正確結論的序號是 .
【答案】①③④
【解析】對于①，，①對；
對于②，設點滿足，即.
對于方程，當，時，；當，時，；
當，時，；當，時，.
作出集合所表示的平面區域如下圖中的陰影部分區域所表示：
平面區域是邊長為的正方形，該區域的面積為，②錯；
對于③，設點，則，令.
當時，，
當時，；
當時，；
當時，.
綜上所述，，③對；
對于④，設點，則，
所以，的最大值是，④對.
故答案為：①③④.
【變式7-3】（2024·山東棗莊·模擬預測）設為平面上兩點，定義、已知點P為拋物線上一動點，點的最小值為2，則 ；若斜率為的直線l過點Q，點M是直線l上一動點，則的最小值為 ．
【答案】 2
【解析】設，則，
，即，時取得最小值；
易知，，聯立有，
顯然無解，即直線與拋物線無交點，如下圖所示，
過作交l于N，過作，
則（重合時取得等號），
設，則，所以，
故答案為：2，
題型八：綜合問題
【典例8-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數的點的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；
(3)設，作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
【解析】（1）設“橢圓”上任意一點為，則，
即，即，
所以“橢圓”的方程為；
（2）由方程，得，
因為，所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“橢圓”的范圍為，，
將點代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關于軸對稱，
將點代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關于軸對稱，
將點代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關于原點對稱，
所以“橢圓”關于軸，軸，原點對稱；
（3）由題意可設橢圓的方程為，
將點代入得，解得，
所以橢圓的方程為，，
由題意可設直線的方程為，
聯立，得，
恒成立，
則，
因為的中點為，
所以直線的中垂線的方程為，
同理直線的中垂線的方程為，
設，則是方程的兩根，
即是方程的兩根，
所以，
又因，
所以，
兩式相比得，所以，
所以，
所以直線與的斜率之積為定值．
【典例8-2】（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡曲線，求滿足的關系式；
(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.
【解析】（1）由定義可知，與相切，
則圓的圓心到直線的距離等于1，
則，.
（2）點不在直線族的任意一條直線上，
所以無論取何值時，無解.
將整理成關于的一元二次方程，
即.
若該方程無解，則，即.
證明：在上任取一點在該點處的切線斜率為，
于是可以得到在點處的切線方程為：，
即.
今直線族中，
則直線為，
所以該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對任意都是拋物線在點處的切線.
所以直線族的包絡曲線為.
（3）法一：已知，設，
則，；
由（2）知在點處的切線方程為；
同理在點處的切線方程為；
聯立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：過分別作準線的垂線，連接，如圖所示：
則，因為，顯然.
又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，
所以，即.
則.
所以成立.
【變式8-1】（2024·河南南陽·一模）在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點和下頂點分別為，且，設過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）且直線.
(1)證明：，的交點在直線上;
(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.
【解析】（1）根據題意，蒙日圓的半徑為，所以.
因為，可知，則，
所以橢圓的標準方程為，
因為直線過點，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，
可設直線，
聯立方程，消去可得，
由根與系數的關系可得：
因為，可得直線，直線，
所以
即，解得，
所以直線的交點在直線上.
（2）設直線與直線的交點分別為，
則由（1）可知：直線，直線.
聯立方程和，
解得
因為，
又因為點到直線的距離，
可得，只需求的最小值.
由弦長公式可得
令，則.
可得，
當且僅當，即時等號成立.
即的最小值為，可得面積的最小值為.
故直線圍成的三角形面積的最小值為.
【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預測）行列式是代數學中線性代數的重要分支，是一個方陣所對應的一個標量值.行列式具有簡潔 對稱 優美的特點，可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.利用行列式進行求解，則可以簡化運算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：；三階行列式定義為：例如：.在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標為，，則的面積公式可表示為：
(1)已知，求的面積.
(2)已知點，若點是圓上的動點，求面積的最小值.
(3)已知橢圓，它的左焦點坐標為，右頂點坐標為，設點的坐標為，過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值.
【解析】（1）由題意得
；
（2），
設，
則
，
因為，所以當時，取得最小值，
最小值為；
（3）由題意得，故，
故橢圓方程為，
過原點的直線交橢圓于點，設，
由對稱性可知，
故
，
故當時，面積取得最大值，最大值為4.
【變式8-3】（2024·吉林·模擬預測）直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點且斜率存在的直線族，表示斜率為1的直線族.直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若直線族的包絡曲線是圓，求滿足的關系式；
(2)若點不在直線族的任意一條直線上，對于給定的實數，求的取值范圍和直線族的包絡曲線；
(3)在（2）的條件下，過直線上一個動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求原點到直線距離的最大值.
【解析】（1）由題可知，直線族與圓
相切即圓心到直線族的距離為4
滿足的關系式為.
（2）點不在直線族的任意一條直線上
則對，方程無解
即的取值范圍為.
猜想：直線族的包絡曲線為.
證明如下：
①設曲線上任意一點
曲線在點處的切線斜率為
曲線在點處的切線方程為，
即
令，則切線方程為
即曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
②，直線族中的每條直線都是曲線在點處的切線.
綜上①②，直線族的包絡曲線為.
（3）法一：
設
由（2）知，直線的方程為①
直線的方程為②
由①②得：
設直線的方程為
由得
在直線上即
直線的方程過定點
當時，原點到直線距離的最大值為.
法二：
設
由（2）知，直線的方程為，直線的方程為設，則
兩點滿足上述方程
直線的方程為
又在直線上
即直線過定點
當時，原點到直線距離的最大值為.
法三：
設點，則
由題意可知，過點與曲線相切的直線斜率存在，
故可設直線方程為
由聯立得
且
設直線的斜率分別為，則是方程的根
則
由題意可知，直線的斜率一定存在，
設直線的方程為，
設，則
由聯立得：
則
則
即
直線的方程為過定點
當時，原點到直線距離的最大值為
1．數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結論：
①曲線關于直線對稱；
②曲線上任意一點到原點的距離都不超過1；
③存在一個以原點為中心 邊長為的正方形，使曲線在此正方形區域內（含邊界）.
其中，正確結論的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】對于①，用替換方程中的，方程形式不變，
所以曲線關于直線對稱，故①正確，
對于②，設點是曲線上任意一點，則，
則點到原點的距離為，
由，解得，當且僅當時取等號，故②正確，
對于③，由②可知，包含該曲線的以原點為圓心的最小的圓的半徑為1，
所以最小圓應該是包含該曲線的最小正方形的內切圓，即正方形的邊長最短為2，故③錯誤.
故選：A
2．（多選題）（2024·高三·河南·開學考試）雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數學曲線領域占有至關重要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯數字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（ ）
A．曲線的圖象關于原點對稱
B．曲線經過7個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3
D．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】A項，設曲線上任意一點，則坐標滿足曲線方程，
即方程成立，
可得成立，
即點關于原點的對稱點也適合曲線方程，
所以曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；
B項，方程可化為，
令，則方程，
由判別式，可得，
若是整數，則.
令，，解得或3或，有三個整點，，；
令，，解得或5，此時無整點；
所以曲線共經過3個整點，故B錯誤；
C項，設曲線C上任一點，
當為原點時，到原點的距離為，滿足題意；
當不為原點時，，
則由可得，，
所以點到原點的距離，且；
綜上，曲線C上任一點到原點的距離都不超過3，故C正確；
D項，直線恒過原點，且曲線C經過，
則直線與曲線至少一個公共點，
又與曲線C只有一個公共點，故除原點外無其他公共點.
聯立，
消得，
當時，方程僅一解，滿足題意；
當時，當時，方程恒成立，即恒有一解，
當時，方程化簡得，即當時，方程無解，滿足題意；
綜上，，解得或，故D正確.
故選：ACD.
3．（多選題）（2024·高三·廣東·開學考試）到兩個定點的距離之積為大于零的常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.設和且，動點滿足，動點的軌跡顯然是卡西尼卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線，則下列描述正確的是（ ）
A．曲線的方程是
B．曲線關于坐標軸對稱
C．曲線與軸沒有交點
D．的面積不大于
【答案】ABD
【解析】設，由，
得，
化簡得，故A正確；
該方程中把改為或把改為方程均不變，故B正確；
在方程中，令得，
當時，或，當時，，當時，，故C不正確；
，故D正確.
故選：ABD.
4．（多選題）卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是平面內與兩個定點（叫做焦點）距離之積等于常數的點的軌跡.設焦點是平面內兩個定點，（是定長），特別地，當時的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學通過類比橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進行了相關性質的探究，得到下列結論，其中正確的是（ ）
A．曲線過原點
B．關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱
C．方程為
D．曲線上任意點，，
【答案】ABC
【解析】設，時，，
化簡得到：，故C正確；
曲線過原點，A正確；關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱，B正確；
驗證知在曲線上，故D錯誤.
故選：ABC.
5．在平面直角坐標系中，過橢圓外一動點作的兩條切線，且.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)對于給定非空點集，若中的每個點在中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.已知直線與曲線相交于兩點，若分別是線段和曲線上所有點構成的集合，為曲線上一點，當的面積最大時，求.
【解析】（1）當的斜率不存在或者為0時，
由題意可知點的坐標為或；
當切線的斜率存在且不為0時，
設過作橢圓的切線的斜率為，
則切線的方程為，將其與橢圓方程聯立，
并化簡得
由題意得，，
設的斜率分別為，則是上式的兩個根，且，
所以，則，
又，則，即，
綜上所述，動點的軌跡的方程為；
（2）過圓心作直線的垂線，垂足為，設，
則，
由題意，
又，.
當且僅當，即時，等號成立，
此時，
由題意得，.
6．在平面上，我們把與定點距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，為該曲線的兩個焦點．已知曲線是一條伯努利雙紐線．
(1)求曲線的焦點的坐標；
(2)判斷曲線上是否存在兩個不同的點、（異于坐標原點），使得以為直徑的圓過坐標原點．如果存在，求點、坐標；如果不存在，請說明理由．
【解析】（1）設焦點，
由題意得，，即，
整理得，，又，
則，解得，因為，所以，
所以．
（2）假設曲線上存在兩點，使得以為直徑的圓過原點，則，
由，令，，即，
解得，所以直線的斜率均存在，
不妨設直線的方程為，直線的方程為，
將直線的方程與曲線聯立，得，
因為、異于坐標原點，即，
所以，解得，
同理可得，
所以不成立，則假設不成立，
即曲線上不存在兩點，使得以為直徑的圓過原點．
7．中國結是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛. 它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結”對應著數學曲線中的伯努利雙紐線. 在平面上，我們把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點. 數學家雅各布 伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究. 已知曲線是一條伯努利雙紐線.
(1)求曲線C的焦點，的坐標；
(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異于坐標原點O），使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.如果存在，求出A，B坐標；如果不存在，請說明理由.
【解析】（1）方法一：設焦點，，
曲線與x軸正半軸交于點，
由題意知，
于是，，
因此，；
方法二：設焦點，，
由題意知，
即，
整理得，于是，.
因此，，；
（2）假設曲線C上存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O，即，
由題意知直線OA，OB斜率均存在，
不妨設直線OA的方程為，直線OB的方程為，
將直線OA的方程與曲線C聯立，得，
即.
解得，同理，
因此不可能成立，于是假設不成立，
即曲線C上不存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.
8．（2024·全國·模擬預測）定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點為橢圓上異于其左、右頂點的任意一點．
(1)當時，若與橢圓有且只有一個公共點的直線恰好相交于點，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當（e為橢圓的離心率）時，設直線與橢圓交于點，直線與橢圓交于點，求的值．
【解析】（1）設，則直線的方程為，即，
記，則的方程為，
將其代入橢圓的方程，消去，得，
因為直線與橢圓有且只有一個公共點，
所以，即，
將代入上式，整理得，
同理可得，，
所以為關于的方程的兩根，
所以，．
又點在橢圓上，
所以，
所以．
（2）由橢圓，得其離心率，
所以當，即時，橢圓的標準方程為，
所以，，，恰好為橢圓的左、右焦點，
易知直線的斜率均存在且不為，
所以，
因為在橢圓上，所以，即，
所以．
設直線的斜率為，則直線的斜率為，
所以直線的方程為．
由，得，
設，則，，
所以
，
同理可得，
所以．
9．已知橢圓的左、右焦點分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.
(1)設，若的焦距為2，l過點，求l的方程；
(2)設，若是上的一點，且，l與交于不同的兩點A、B，Q為的上頂點，求面積的最大值；
(3)設是l的一個法向量，M是l上一點，對于坐標平面內的定點N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關系，提出一個關于l與位置關系的真命題，給出該命題的證明.
【解析】（1）設橢圓的左焦點的坐標為，則橢圓的右焦點的坐標為，
因為的焦距為2，所以，故，所以左焦點的坐標為，
因為l過點，直線l的斜率為，
所以直線l的方程為；
（2）因為是上的一點，所以，化簡可得，
因為，所以，所以，，所以的方程為，
因為直線l的斜率為k，在y軸上的截距，所以直線l的方程為，
設，由對稱性可得，
因為的面積，為坐標原點，
所以，又，
所以，此時直線l的斜率為0，
所以面積的最大值為2；
（3）因為直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m，所以直線l的方程為，則向量為直線l的一個法向量，
取，因為M是l上一點，故設，
設橢圓的左焦點的坐標為，則橢圓的右焦點的坐標為，
則，，
由已知，，
所以，
提出如下命題：橢圓的左、右焦點分別為，
直線l的方程為，若，則直線與橢圓相切，證明如下：
聯立方程，化簡可得，
所以，
方程的判別式，
因為，，所以，
所以，所以，所以方程組只有一組解，
所以直線與橢圓只有一個交點，所以直線與橢圓相切.
10．在平面直角坐標系中，對于直線和點，，記，若，則稱點，被直線l分離，若曲線c與直線l沒有公共點，且曲線c上存在點，被直線l分隔，則稱直線l為曲線c的一條分隔線．
（1）求證：點，被直線分隔；
（2）若直線是曲線的分隔線，求實數k的取值范圍；
（3）動點M到點的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為曲線E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
【解析】（1）證明：由題得
∴點A，B被直線分隔．
（2）直線與曲線有公共點的充要條件是方程組有解，即．
∵是曲線的分隔線，故它們沒有公共點，即，
當時，對于直線，曲線上的點和滿足，即點和被分隔．
故實數k的取值范圍是．
（3）證明：設M的坐標為，則曲線E的方程為，即．
對任意的，不是上述方程的解，即y軸與曲線E沒有公共點．
又曲線E上的點和對于y軸滿足，
即點和被y軸分隔．∴y軸為曲線E的分隔線．
若過原點的直線不是y軸，設其為，由得，令，
∵，
∴方程有實數解．
即直線與曲線E有公共點，故直線不是曲線E的分隔線．
綜上可得，通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
11．設直線，曲線．若直線與曲線同時滿足下列兩個條件：①直線與曲線相切且至少有兩個切點；②對任意都有．則稱直線為曲線的“上夾線”．
（1）已知函數．求證：為曲線的“上夾線”；
（2）觀察下圖：
根據上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．
【解析】（1）由，令，得，
當時，，
此時，，
因為，所以是直線與曲線的一個切點；
當時，，
此時，，
因為，所以是直線與曲線的一個切點；
所以直線與曲線相切且至少有兩個切點；
對任意，，
所以.
因此直線是曲線的“上夾線”．
（2）推測：的“上夾線”的方程為，
①先檢驗直線與曲線相切，且至少有兩個切點：
設：，
，
令，得：，
當時，，
故：過曲線上的點的切線方程為：
，化簡得：．
即直線與曲線相切且有無數個切點．
不妨設，
②下面檢驗，
，
所以直線是曲線的“上夾線”．
12．在平面直角坐標系中，定義：如果曲線和上分別存在點，關于軸對稱，則稱點和點為和的一對“關聯點”．
(1)若上任意一點的“關聯點”為點，求點所在的曲線方程和的最小值；
(2)若上任意一點的“關聯點”為點，求的最大值；
(3)若和在區間上有且僅有兩對“關聯點”，求實數的取值范圍．
【解析】（1）設點，則點的“關聯點”為，
代入，得，即，
所以點所在的曲線方程為；
根據對稱性，，則，
由，又，得，即，
當且僅當且，
即，或，時取等號．
故當，或，時，；
（2）設，則根據對稱性，得，
設，，，
代入，得，
所以．
方法一：令，則，
所以，
當時，；當，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以是的最大值點，即，
故；
方法二：
，
當且僅當，即時取等號，所以，
故；
（3）和在區間上有且僅有兩對“關聯點”，
等價于曲線和有且僅有兩個交點．
設函數，
則在區間上有兩個零點．
，，
①當時，恒成立，則在上單調遞增，
不可能有兩個零點；
②當時，由，得；由，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
因為，
又，，所以存在，使得，
所以；
設，，則，
當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
所以在處取得極大值，也是最大值，．
所以，從而，
即．
取，則；
因此，要使有兩個零點，只需，
即，
化簡得
令函數，
因為，所以在上單調遞增；
又，所以當時，，
從而，得解集為.
故實數的取值范圍是.
13．定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”．
如圖，為橢圓的“共軛點對”，已知，且點在直線上，直線過原點．

(1)求直線的方程；
(2)已知是橢圓上的兩點，為坐標原點，且．
（i）求證：線段被直線平分；
（ii）若點在第二象限，直線與相交于點，點為的中點，求面積的最大值．
【解析】（1）由已知，點在直線上，
又因為直線過原點，
所以所求直線的方程為：．
（2）（i）方法1：因為，所以
設，則，
兩式相減得，
整理得，
即，所以線段的中點在直線上．
所以線段被直線平分．
方法2：因為，，
所以設，
由，
由韋達定理得，于是，
從而，所以線段的中點在直線上．
（ii）由（i）可知為的中點，而為的中點，
所以．
由解得，設，
由，
由，
由韋達定理得．
點到直線的距離，
令，則，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
所以，所以的最大值為．
14．（2024·高三·湖北·開學考試）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面S和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點的坐標均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標的點均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.
(1)寫出坐標平面的方程（無需說明理由），并說明平面截曲面所得交線是什么曲線；
(2)已知直線過曲面上一點，以為方向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點均在曲面上）；
(3)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉一周所得的旋轉面；同時，過曲面上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設直線在曲面上，且過點，求異面直線（第二間中的直線）與所成角的余弦值.
【解析】（1）根據坐標平面內點的坐標的特征可知，坐標平面的方程為，
已知曲面的方程為，
當時,平面截曲面所得交線上的點滿足，
從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點為對稱中心，
焦點在軸上，實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線.
（2）設是直線上任意一點，由，
均為直線的方向向量，有，
從而存在實數，使得，即，
則，解得，，，
所以點的坐標為，
于是，
因此點的坐標總是滿足曲面的方程，從而直線在曲面上.
（3）直線在曲面上，且過點,
設是直線上任意一點，直線!的方向向量為，
由，均為直線的方向向量，有，
從而存在實數，使得，即，
則，解得，，，
所以點的坐標為，
在曲面C上，
，
整理得，
由題意，對任意的，有恒成立，
，且，
或，不妨取，或，
，或，
又直線的方向向量為
則異面直線與所成角的余弦值均為.
15．定義非零向量的“相伴函數”為，向量稱為函數的“相伴向量”其中為坐標原點記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為.
(1)設，求證：；
(2)求（1）中函數的“相伴向量”模的取值范圍；
(3)已知點滿足：，向量的“相伴函數”在處取得最大值.當點運動時，求的取值范圍.
【解析】（1），
函數的相伴向量，
；
（2），
，，的取值范圍為；
（3）的相伴函數，
其中，，在處取得最大值，
，，即，，
，
，其中為直線的斜率.
圓的圓心，半徑為1，直線的方程為.
由題意點在圓上運動，，解得，
又，所以，
令，則，，
又在上單調遞增，當時，，
當無限趨向于0時，趨向于負無窮大，
，.
16．（2024·高三·四川達州·開學考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作．已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求證：有兩個點滿足“共軛點對”，并求出的坐標；
(3)設（2）中的兩個點分別是，設為坐標原點，點在橢圓上，且，順時針排列且，證明：四邊形的面積小于．
【解析】（1）由題，橢圓的另一焦點為，
因此，
所以，
所以橢圓的標準方程為．
（2）設“共軛點對”中點的坐標為，
根據“共軛點對”定義：
點的坐標滿足所以或
于是有兩個點滿足，且點的坐標為．
（3）設．
設所在直線為，則的方程為．
設點，則
兩式相減得．
又，于是，則，所以線段的中點在直線上．
所以線段被直線平分．
設點到直線的距離為，
則四邊形的面積．
又，則有．
設過點且與直線平行的直線的方程為，則當與相切時，取得最大值．
由消去得
令，解得．
當時，方程為，即，解得，
則此時點或點必有一個和點重合，不符合條件，
從而直線與不可能相切，
即小于直線和平行直線（或）的距離，
所以．
17．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線和，其中.與在第一象限內的交點為.與在點處的切線分別為和，定義和的夾角為曲線的夾角.
(1)若的夾角為，，求的值；
(2)若直線既是也是的切線，切點分別為，當為直角三角形時，求出相應的值.
【解析】（1）設點，
聯立方程，解得，即.
設和的斜率分別為和，
因為在第一象限內，
對于，考慮函數，求導，
根據導數的幾何意義，代入點橫坐標，得；
對于，考慮函數，求導，
根據導數的幾何意義，代入點橫坐標，得.
因為的夾角為，根據定義可知和的夾角為，所以，
由夾角公式得：，
化簡為，即，得.
（2）顯然不與坐標軸平行，設其方程為.
聯立可得，.
和只有一個公共點，所以，即.
同理聯立，可得，
，即.
聯立方程，可得.
又點縱坐標為，點橫坐標為，
所以.
設，則.
若為直角，則，，
解得，；
若為直角，則，，
，；
若為直角，則，，無解.
綜上，或為所求.
18．（2024·高三·上海徐匯·期中）如圖定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點作軸的垂線交其“伴隨圓”于點（、在同一象限內），稱點為點的“伴隨點”．已知橢圓上的點的“伴隨點”為．

(1)求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
(2)求的最大值，并求此時“伴隨點”的坐標；
【解析】（1）因為橢圓過點，伴隨圓過點，所以，解得，
∴橢圓的方程；伴隨圓的方程為．
（2）設，則；
，
當且僅當，即時等號成立，此時．
19．（2024·寧夏銀川·模擬預測）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓E過，直線與橢圓E交于A、B．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設直線TA、TB的斜率分別為，，證明：；
(3)直線是過點T的橢圓E的切線，且與直線l交于點P，定義為橢圓E的弦切角，為弦TB對應的橢圓周角，探究橢圓E的弦切角與弦TB對應的橢圓周角的關系，并證明你的論．
【解析】（1）由題意知，，所以，
又橢圓經過T（2,1），所以，
解得，，所以橢圓方程為；
（2）聯立直線與橢圓方程，得，
所以，∴，
則，解得，
設，則，，
所以
，
即；
（3）橢圓E的弦切角與弦TB對應的橢圓周角相等.證明如下：
設切線方程為，即，
由，得，
所以，
，解得，
則，又，所以，所以，
設切線與x軸交點為Q，TA、TB分別與x交于C，D，
因為，所以，又，
，，
所以.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)拔高點突破03 圓錐曲線背景下的新定義問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：定義新曲線 2
題型二：雙扭線 3
題型三：卡西尼卵形線 5
題型四：心形線 6
題型五：四葉草曲線 7
題型六：定義新圖形 9
題型七：定義新性質 11
題型八：綜合問題 13
03 過關測試 15
圓錐曲線背景下的新定義問題，關鍵在于理解新定義的本質，并將其與常規圓錐曲線知識相結合。
方法總結如下：
1、明確新定義：首先仔細閱讀題目，明確新定義的內容、符號及其含義。
2、聯系常規知識：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標準方程等常規知識聯系起來，找出它們的相似之處或轉換關系。
3、建立數學模型：根據新定義，建立相應的數學模型或方程，利用解析幾何或代數方法進行求解。
4、驗證與推理：在求解過程中，注意驗證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。
5、靈活應用：對于復雜問題，可能需要綜合運用多種數學知識和方法，靈活應對。
題型一：定義新曲線
【典例1-1】若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（多選題）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論中正確的是（ ）
A．點P的軌跡方程是
B．直線是“最遠距離直線”
C．平面上有一點，則的最小值為5
D．點P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）
【變式1-1】（多選題）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數學之美的新logo.設計師的靈感來源于曲線C：.其中星形線E：常用于超輕材料的設計.則下列關于星形線說法正確的是（ ）
A．E關于y軸對稱
B．E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過
C．E上的點到原點距離的最小值為
D．曲線E所圍成圖形的面積小于2
題型二：雙扭線
【典例2-1】（多選題）（2024·高三·湖北鄂州·期末）中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的游戲呈現.它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數學曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結論正確的是（ ）
A．曲線的圖象關于原點對稱
B．曲線經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3
D．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為
【典例2-2】“四二一廣場”是重慶第一中學校的文化地標（如圖1），廣場中心的建筑形似火炬宛若花開，三朵“花瓣”都是拓撲學中的莫比烏斯帶（如圖2）.將莫比烏斯帶投影到平面上，會得到無窮大符號“∞”.在平面直角坐標系中，設線段AB長度為2a（），坐標原點O為AB中點且點A，B均在x軸上，若動點P滿足，那么點P的軌跡稱為雙紐線，其形狀也是無窮大符號“∞”（如圖3）.若，點P在第一象限且，則（ ）

A． B． C． D．2
【變式2-1】（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.若，點為雙紐線上任意一點，則下列結論正確的個數是（ ）
①關于軸不對稱
②關于軸對稱
③直線與只有一個交點
④上存在點，使得
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2-2】在平面上，定點、之間的距離.曲線是到定點、距離之積等于的點的軌跡.以點、所在直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系.已知點是曲線上一點，下列說法中正確的有（ ）
①曲線是中心對稱圖形：
②曲線上有兩個點到點、距離相等；
③曲線上的點的縱坐標的取值范圍是；
④曲線上的點到原點距離的最大值為
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【變式2-3】（2024·內蒙古赤峰·一模）2022年卡塔爾世界杯中的數字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知是雙紐線上的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．雙紐線關于原點成中心對稱
B．
C．雙曲線上滿足的點有兩個
D．的最大值為
題型三：卡西尼卵形線
【典例3-1】（多選題）我們在解析幾何學習過程中知道橢圓 雙曲線定義分別是到兩定點距離之和 距離之差的絕對值等于某個定值.天文學家卡西尼在研究土星及其衛星運行規律時發現了到兩定點距離之積為常數的點的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.已知兩定點，動點滿足，設的軌跡為曲線，則下列命題正確的是（ ）
A．曲線過原點
B．的橫坐標最大值是
C．的縱坐標最大值是
D．
【典例3-2】天文學家卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現：平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡是卡西尼卵形線（Cassini Oval）．在平面直角坐標系中，設定點為，，點O為坐標原點，動點滿足（且為常數），化簡得曲線E：．下列命題中正確序號是 ．
①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；
②的最小值為2a；
③當時，的最大值為；
④面積不大于．
【變式3-1】卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內與兩個定點(叫做焦點)的距離之積等于常數的點的軌跡．某同學類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進行了相關性質的探究，設，是平面內的兩個定點，(是定長)，得出卡西尼卵形線的相關結論：①該曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；②若，則曲線過原點；③若，則曲線不存在；④若，則.其中正確命題的序號是 ．
【變式3-2】（2024·河南濮陽·模擬預測）在數學史上，平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，動點到兩個定點，的距離之積等于3，化簡得曲線C：，下列結論不正確的是（ ）
A．曲線C關于y軸對稱
B．的最小值為
C．面積的最大值為
D．的取值范圍為
題型四：心形線
【典例4-1】（多選題）（2024·高三·浙江·開學考試）數學家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數學表達式：，克里斯蒂娜用極坐標知識畫出了該曲線圖象“心形線
”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關系式和可將信中表達式轉化為直角坐標系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點，則（ ）
A．
B．曲線經過點
C．當點在曲線上時，
D．當點在曲線上時，
【典例4-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）“心形線”體現了數學之美，某研究小組用函數圖象：，和拋物線的部分圖象圍成了一個封閉的“心形線”，過焦點的直線交（包含邊界點）于，兩點，是或上的動點，下列說法正確的是（ ）

A．拋物線的方程為
B．的最小值為5
C．的最大值為7
D．若在上，則的最小值為
【變式4-1】（多選題）（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標方程可表示為，圖形如圖所示．當時，點在這條心形線C上，且，則下列說法正確的是（ ）

A．若，則
B．若，則
C．
D．C上有4個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
題型五：四葉草曲線
【典例5-1】（2024·云南昆明·模擬預測）數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）.給出下列四個結論：
①曲線C關于直線對稱；
②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區域內（含邊界）；
③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內（含邊界）；
④曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積等于1.
其中，正確結論的序號是 .
【典例5-2】（2024·云南昆明·模擬預測）數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結論：
①曲線C關于直線交于不同于原點的兩點，則
②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區域內（含邊界）；
③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內（含邊界）；
④曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積大于.
其中，正確結論的序號是 ．
【變式5-1】（2024·四川內江·三模）數學中有許多形狀優美 寓意美好的曲線，如圖：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：
①曲線有四條對稱軸；
②曲線上的點到原點的最大距離為；
③在第一象限內，過曲線上一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積的最大值為；
④四葉草面積小于.
其中，所有正確結論的序號是 .
【變式5-2】（多選題）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則（ ）

A．曲線有兩條對稱軸
B．曲線上的點到原點的最大距離為
C．曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的圖形面積最大值為
D．四葉草面積小于
題型六：定義新圖形
【典例6-1】（2024·浙江舟山·模擬預測）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用．如圖，在平面直角坐標系xOy中，螺線與坐標軸依次交于點，并按這樣的規律繼續下去．
(1)求．
(2)求證：不存在正整數，使得三角形的面積為2022;
(3)求證：對于任意正整數，三角形為銳角三角形．
【典例6-2】（2024·河北衡水·一模）在空間直角坐標系下，由方程所表示的曲面叫做橢球面（或稱橢圓面）.如果用坐標平面分別截橢球面，所得截面都是橢圓（如圖所示），這三個截面的方程分別為，，上述三個橢圓叫做橢球面的主截線（或主橢圓）.已知橢球面的軸與坐標軸重合，且過橢圓與點，則這個橢球面的方程為 .

【變式6-1】（2024·山東青島·三模）在平面內，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當軸時，直線為的等線.
(1)求的方程;
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;
(3)設，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線
【變式6-2】（2024·河南信陽·模擬預測）在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點的坐標均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標的點均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉一周所得的旋轉面，已知直線過C上一點，且以為方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說明理由；
(2)證明：直線在曲面上；
(3)若過曲面上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設直線在曲面上，且過點，求異面直線與所成角的余弦值.
題型七：定義新性質
【典例7-1】（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P，
(1)已知平面內點，點，把點B繞點A逆時針旋轉得到點P，求點P的坐標：
(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉所得的斜橢圓C，
（i）求斜橢圓C的離心率；
（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
【典例7-2】（多選題）黃金分割比例具有嚴格的比例性、藝術性，和諧性，蘊含著豐富的美學價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（ ）
A．橢圓是“黃金橢圓”
B．若橢圓的右焦點為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”
C．設橢圓的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
D．設橢圓的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”
【變式7-1】（2024·遼寧大連·模擬預測）曲率半徑可用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點處的彎曲程度越小．已知橢圓上點處的曲率半徑公式為．若橢圓C上所有點相應的曲率半徑的最大值是最小值的倍，則橢圓C的離心率為 ．
【變式7-2】（2024·高三·北京順義·期末）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標系中，定義為兩點、之間的“出租車距離”.
給出下列四個結論：①若點，點，則；
②到點的“出租車距離”不超過的點的集合所構成的平面圖形面積是；
③若點，點是拋物線上的動點，則的最小值是；
④若點，點是圓上的動點，則的最大值是.
其中，所有正確結論的序號是 .
【變式7-3】（2024·山東棗莊·模擬預測）設為平面上兩點，定義、已知點P為拋物線上一動點，點的最小值為2，則 ；若斜率為的直線l過點Q，點M是直線l上一動點，則的最小值為 ．
題型八：綜合問題
【典例8-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數的點的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；
(3)設，作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
【典例8-2】（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡曲線，求滿足的關系式；
(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.
【變式8-1】（2024·河南南陽·一模）在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點和下頂點分別為，且，設過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）且直線.
(1)證明：，的交點在直線上;
(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.
【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預測）行列式是代數學中線性代數的重要分支，是一個方陣所對應的一個標量值.行列式具有簡潔 對稱 優美的特點，可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.利用行列式進行求解，則可以簡化運算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：；三階行列式定義為：例如：.在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標為，，則的面積公式可表示為：
(1)已知，求的面積.
(2)已知點，若點是圓上的動點，求面積的最小值.
(3)已知橢圓，它的左焦點坐標為，右頂點坐標為，設點的坐標為，過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值.
【變式8-3】（2024·吉林·模擬預測）直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點且斜率存在的直線族，表示斜率為1的直線族.直線族的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若直線族的包絡曲線是圓，求滿足的關系式；
(2)若點不在直線族的任意一條直線上，對于給定的實數，求的取值范圍和直線族的包絡曲線；
(3)在（2）的條件下，過直線上一個動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求原點到直線距離的最大值.
1．數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結論：
①曲線關于直線對稱；
②曲線上任意一點到原點的距離都不超過1；
③存在一個以原點為中心 邊長為的正方形，使曲線在此正方形區域內（含邊界）.
其中，正確結論的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．（多選題）（2024·高三·河南·開學考試）雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數學曲線領域占有至關重要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯數字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（ ）
A．曲線的圖象關于原點對稱
B．曲線經過7個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3
D．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為
3．（多選題）（2024·高三·廣東·開學考試）到兩個定點的距離之積為大于零的常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.設和且，動點滿足，動點的軌跡顯然是卡西尼卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線，則下列描述正確的是（ ）
A．曲線的方程是
B．曲線關于坐標軸對稱
C．曲線與軸沒有交點
D．的面積不大于
4．（多選題）卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是平面內與兩個定點（叫做焦點）距離之積等于常數的點的軌跡.設焦點是平面內兩個定點，（是定長），特別地，當時的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學通過類比橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進行了相關性質的探究，得到下列結論，其中正確的是（ ）
A．曲線過原點
B．關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱
C．方程為
D．曲線上任意點，，
5．在平面直角坐標系中，過橢圓外一動點作的兩條切線，且.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)對于給定非空點集，若中的每個點在中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.已知直線與曲線相交于兩點，若分別是線段和曲線上所有點構成的集合，為曲線上一點，當的面積最大時，求.
6．在平面上，我們把與定點距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，為該曲線的兩個焦點．已知曲線是一條伯努利雙紐線．
(1)求曲線的焦點的坐標；
(2)判斷曲線上是否存在兩個不同的點、（異于坐標原點），使得以為直徑的圓過坐標原點．如果存在，求點、坐標；如果不存在，請說明理由．
7．中國結是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛. 它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結”對應著數學曲線中的伯努利雙紐線. 在平面上，我們把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點. 數學家雅各布 伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究. 已知曲線是一條伯努利雙紐線.
(1)求曲線C的焦點，的坐標；
(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異于坐標原點O），使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.如果存在，求出A，B坐標；如果不存在，請說明理由.
8．（2024·全國·模擬預測）定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點為橢圓上異于其左、右頂點的任意一點．
(1)當時，若與橢圓有且只有一個公共點的直線恰好相交于點，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當（e為橢圓的離心率）時，設直線與橢圓交于點，直線與橢圓交于點，求的值．
9．已知橢圓的左、右焦點分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.
(1)設，若的焦距為2，l過點，求l的方程；
(2)設，若是上的一點，且，l與交于不同的兩點A、B，Q為的上頂點，求面積的最大值；
(3)設是l的一個法向量，M是l上一點，對于坐標平面內的定點N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關系，提出一個關于l與位置關系的真命題，給出該命題的證明.
10．在平面直角坐標系中，對于直線和點，，記，若，則稱點，被直線l分離，若曲線c與直線l沒有公共點，且曲線c上存在點，被直線l分隔，則稱直線l為曲線c的一條分隔線．
（1）求證：點，被直線分隔；
（2）若直線是曲線的分隔線，求實數k的取值范圍；
（3）動點M到點的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為曲線E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
11．設直線，曲線．若直線與曲線同時滿足下列兩個條件：①直線與曲線相切且至少有兩個切點；②對任意都有．則稱直線為曲線的“上夾線”．
（1）已知函數．求證：為曲線的“上夾線”；
（2）觀察下圖：
根據上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．
12．在平面直角坐標系中，定義：如果曲線和上分別存在點，關于軸對稱，則稱點和點為和的一對“關聯點”．
(1)若上任意一點的“關聯點”為點，求點所在的曲線方程和的最小值；
(2)若上任意一點的“關聯點”為點，求的最大值；
(3)若和在區間上有且僅有兩對“關聯點”，求實數的取值范圍．
13．定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”．
如圖，為橢圓的“共軛點對”，已知，且點在直線上，直線過原點．

(1)求直線的方程；
(2)已知是橢圓上的兩點，為坐標原點，且．
（i）求證：線段被直線平分；
（ii）若點在第二象限，直線與相交于點，點為的中點，求面積的最大值．
14．（2024·高三·湖北·開學考試）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面S和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點的坐標均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標的點均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.
(1)寫出坐標平面的方程（無需說明理由），并說明平面截曲面所得交線是什么曲線；
(2)已知直線過曲面上一點，以為方向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點均在曲面上）；
(3)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉一周所得的旋轉面；同時，過曲面上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設直線在曲面上，且過點，求異面直線（第二間中的直線）與所成角的余弦值.
15．定義非零向量的“相伴函數”為，向量稱為函數的“相伴向量”其中為坐標原點記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為.
(1)設，求證：；
(2)求（1）中函數的“相伴向量”模的取值范圍；
(3)已知點滿足：，向量的“相伴函數”在處取得最大值.當點運動時，求的取值范圍.
16．（2024·高三·四川達州·開學考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作．已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求證：有兩個點滿足“共軛點對”，并求出的坐標；
(3)設（2）中的兩個點分別是，設為坐標原點，點在橢圓上，且，順時針排列且，證明：四邊形的面積小于．
17．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線和，其中.與在第一象限內的交點為.與在點處的切線分別為和，定義和的夾角為曲線的夾角.
(1)若的夾角為，，求的值；
(2)若直線既是也是的切線，切點分別為，當為直角三角形時，求出相應的值.
18．（2024·高三·上海徐匯·期中）如圖定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點作軸的垂線交其“伴隨圓”于點（、在同一象限內），稱點為點的“伴隨點”．已知橢圓上的點的“伴隨點”為．

(1)求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
(2)求的最大值，并求此時“伴隨點”的坐標；
19．（2024·寧夏銀川·模擬預測）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓E過，直線與橢圓E交于A、B．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設直線TA、TB的斜率分別為，，證明：；
(3)直線是過點T的橢圓E的切線，且與直線l交于點P，定義為橢圓E的弦切角，為弦TB對應的橢圓周角，探究橢圓E的弦切角與弦TB對應的橢圓周角的關系，并證明你的論．
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