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拔高點突破02 圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達、光學性質問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 6
題型一：仿射變換問題 6
題型二：非對稱韋達問題 8
題型三：橢圓的光學性質 10
題型四：雙曲線的光學性質 12
題型五：拋物線的光學性質 14
03 過關測試 16
一、仿射變換問題
仿射變換有如下性質：
1、同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；
2、結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；
3、其它不變關系．
我們以橢圓為例闡述上述性質．
橢圓，經過仿射變換，則橢圓變為了圓，并且變換過程有如下對應關系：
（1）點變為；
（2）直線斜率變為，對應直線的斜率比不變；
（3）圖形面積變為，對應圖形面積比不變；
（4）點、線、面位置不變（平 直線還是平 直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；
（5）弦長關系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變
總結可得下表：
變換前 變換后
方程
橫坐標
縱坐標
斜率
面積
弦長
不變量 平行關系；共線線段比例關系；點分線段的比
二、非對稱韋達問題
在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數關系：，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理之類的結構，但在有些問題時，我們會遇到涉及的不同系數的代數式的應算，比如求或之類的結構，就相對較難地轉化到應用韋達定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數不對等的情況，這些式子是非對稱結構，稱為“非對稱韋達”．
三、光學性質問題
1、橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點（如圖1）．
【引理1】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理2】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理3】設橢圓方程為，分別是其左、右焦點，若點在橢圓外，則．
2、雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線的另一個焦點（如圖）．
【引理4】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理5】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理6】設雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．
3、拋物線的光學性質
從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經反射后都通過焦點．
【結論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）
【結論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點，入射光線從點發出射到拋物線上的點，求證：反射光線平行于軸．
題型一：仿射變換問題
【典例1-1】如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點，且在直線的上方，則△內切圓的圓心所在的定直線方程為 ．
【典例1-2】Р是橢圓上任意一點，O為坐標原點，，過點Q的直線交橢圓于A，B兩點，并且，則面積為 ．
【變式1-1】已知橢圓的標準方程為．
(1)設動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．
(2)設動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．
【變式1-2】已知橢圓經過點，其離心率為，設，，是橢圓上的三點，且滿足，其中為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)證明：的面積是一個常數．
【變式1-3】對于橢圓，令，，那么在坐標系中，橢圓經伸縮變換得到了單位圓，在這樣的伸縮變換中，有些幾何關系保持不變，例如點、直線、曲線的位置關系以及點分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變為原先的，由此我們可以借助圓的幾何性質處理一些橢圓的問題．
(1)在原坐標系中斜率為k的直線l，經過，的伸縮變換后斜率變為，求k與滿足的關系；
(2)設動點P在橢圓上，過點P作橢圓的切線，與橢圓交于點Q，R，再過點Q，R分別作橢圓的切線交于點S，求點S的軌跡方程；
(3)點）在橢圓上，求橢圓上點B，C的坐標，使得△ABC的面積取最大值，并求出該最大值．
【變式1-4】在平面直角坐標系xOy中，若在曲線的方程中，以（為非零的正實數）代替得到曲線的方程，則稱曲線關于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比.
(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線的方程；
(2)射線的方程，如果橢圓經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點A、B，且，求橢圓的方程；
(3)對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換，得拋物線；如此進行下去，對拋物線作變換，得拋物線，…若，，求數列的通項公式.
題型二：非對稱韋達問題
【典例2-1】（2024·湖北宜昌·二模）已知、分別是離心率的橢圓的左右頂點，P是橢圓E的上頂點，且.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關于y軸對稱，求證：直線恒過定點.
【典例2-2】已知、分別是橢圓的右頂點和上頂點，、在橢圓上，且，設直線、的斜率分別為、，證明：為定值．
【變式2-1】已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，分別為左右頂點，直線：與橢圓交于兩點，當時，是橢圓的上頂點，且的周長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線交于點，證明：點在定直線上．
(3)設直線的斜率分別為，證明：為定值．
【變式2-2】（2024·河南新鄉·三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．
【變式2-3】已知橢圓過點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．
【變式2-4】（2024·湖北·一模）如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．
題型三：橢圓的光學性質
【典例3-1】歐幾里德生活的時期，人們就發現橢圓有如下的光學性質:從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點.現有橢圓，長軸長為，從的左焦點發出的一條光線，經內壁上一點反射后恰好與軸垂直，且.
(1)求的方程;
(2)設點，若斜率不為0的直線與交于點均異于點，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.
【典例3-2】阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進一步研究了圓錐曲線的光學性質，例如橢圓的光學性質：（如圖1）從橢圓一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上．在對該性質證明的過程中（如圖2），他還特別用到了“角平分線性質定理”：，從而得到，而性質得證
根據上述材料回答以下問題
(1)如圖3，已知橢圓的左右焦點分別為，一束光線從射出，經橢圓上點反射：處法線（與橢圓在處切線垂直的直線）與軸交于點，已知，求橢圓方程（直接寫出結果）
(2)已知橢圓，長軸長為，焦距為，若一條光線從左焦點射出，經過橢圓上點若干次反射，第一次回到左焦點所經過的路程為，求橢圓的離心率
(3)對于拋物線，猜想并證明其光線性質．
【變式3-1】（2024·高三·安徽池州·期末）已知橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線射向橢圓上任一點，經橢圓反射后必經過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發出的光線，經過兩次反射之后回到點，光線經過的路程為8，橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)如圖，若橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，動直線l交橢圓C于P、Q兩點，且始終滿足，作交于點M，求的最大值．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線射向橢圓上任一點，經橢圓反射后必經過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發出的光線，經過兩次反射之后回到點，光線經過的路程為8，T的離心率為．
(1)求橢圓T的標準方程；
(2)設，且，過點D的直線l與橢圓T交于不同的兩點M，N，是T的右焦點，且與互補，求面積的最大值．
題型四：雙曲線的光學性質
【典例4-1】雙曲線在物理學中有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠鏡利用了其光學性質等等．
(1)已知A、B是在直線l兩側且到直線l的距離不相等的兩點，P為直線l上一點．試探究當點P的位置滿足什么條件時，取最大值；
(2)若光線在平滑曲線上發生反射時，入射光線與反射光線關于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱．證明：由雙曲線的一個焦點射出的光線，在雙曲線上發生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點．
【典例4-2】（2024·遼寧丹東·一模）我們所學過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學性質，且這些光學性質都與它們的焦點有關．如從雙曲線的一個焦點處出發的光線照射到雙曲線上，經反射后光線的反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，從處出發的光線照射到雙曲線右支上的點P處（點P在第一象限），經雙曲線反射后過點．

(1)請根據雙曲線的光學性質，解決下列問題：
當，，且直線的傾斜角為時，求反射光線所在的直線方程；
(2)從處出發的光線照射到雙曲線右支上的點處，且三點共線，經雙曲線反射后過點，，，延長，分別交兩條漸近線于，點是的中點，求證：為定值．
(3)在（2）的條件下，延長交y軸于點，當四邊形的面積為8時，求的方程．
【變式4-1】（2024·安徽安慶·一模）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為、，從發出的光線經過圖2中的、兩點反射后，分別經過點和，且，.

(1)求雙曲線的方程；
(2)設、為雙曲線實軸的左、右頂點，若過的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由．
【變式4-2】鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現代建筑與藝術的完美結合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡爾坐標系中的方程與在平面直角坐標系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學中具有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線 反射式天文望遠鏡利用了其光學性質等等.
（1）已知，是在直線兩側且到直線距離不相等的兩點，為直線上一點.試探究當點的位置滿足什么條件時，取最大值；
（2）若光線在平滑曲線上發生反射時，入射光線與反射光線關于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個焦點射出的光線，在雙曲線上發生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點.
題型五：拋物線的光學性質
【典例5-1】拋物線具有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標原點，點在拋物線上，且其縱坐標為，滿足.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數的值.
【典例5-2】拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后反射光線或其反向延長線必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點．一束平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點反射后，再經C上另一點反射后，沿直線射出，經過點．
(1)求證：；
(2)若PB平分，求點B到直線QP的距離．
【變式5-1】拋物線具有如下光學性質：由其焦點發出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.如圖，已知拋物線的焦點為，為坐標原點.一條平行于軸的光線從上方射向拋物線，經拋物線上，兩點反射后，又沿平行于軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距離為.
（1）求拋物線的方程；
（2）過向拋物線的準線作垂線，垂足為，證明：，，三點共線.
【變式5-2】（2024·高三·青海西寧·開學考試）根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發出的光線經該拋物線反射后與對稱軸平行．已知拋物線C：，如圖，點F為C的焦點，過F的光線經拋物線反射后分別過點，．

(1)求C的方程；
(2)設點，若過點的直線與C交于R，T兩點，求面積的最小值．
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
2．拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高三·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數學家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質.其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點發出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發出的光線經過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
4．橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左 右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關于的對稱點為，若，，則（ ）
注：表示面積.
A．2 B． C．3 D．
5．（多選題）（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發出的兩條光線經過的右支上的兩點反射后，分別經過點和，其中共線，則（ ）
A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為
B．當點的坐標為時，光線由經過點到達點所經過的路程為6
C．當時，的面積為12
D．當時，
6．過橢圓的右焦點F的直線與橢圓交于A，B兩點，則面積最大值為 .
7．已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實數），求 .
8．橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．是上的動點，點，若的最大值為6，動直線為此橢圓的切線，右焦點關于直線的對稱點，則橢圓的離心率為；的取值范圍為 ．
9．如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為，，由發出的光經橢圓兩次反射后回到經過的路程為8c．利用橢圓的光學性質解決以下問題：
橢圓C的離心率為 ；點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為l，在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為 ．
10．如圖所示，由圓錐曲線的光學性質知道：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射（即經橢圓在該點處的切線反射）后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C相切于點，過點P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則 ．

11．圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學性質.我們知道，拋物線的光學性質是平行于拋物線對稱軸的光線經拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學性質是從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠鏡就是應用這些性質設計的.下圖為卡式望遠鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡，副鏡是雙曲線左支的旋轉面型凸雙曲面鏡，主鏡對應拋物線的頂點與副鏡對應雙曲線的中心重合，當平行光線投射到主鏡上時，經過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點處，但光線尚未匯聚時，又受到以為焦點的凸雙曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點處.以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系.若米，凹拋物面鏡的口徑為米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為 米.
12．點是橢圓的左右頂點，若過定點且斜率不為0的直線與橢圓交于M，N兩點，求證：直線AM與直線的交點在一條定直線上.
13．如圖，橢圓有兩頂點，，過其焦點的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，且直線l的斜率大于1，直線AC與直線BD交于點Q.

(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
14．如圖，已知是長軸為的橢圓上的三點，點是長軸的右頂點，過橢圓中心，且，．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過關于軸對稱的點作橢圓的切線，則與有什么位置關系？證明你的結論．
15．如圖，已知橢圓：，直線：與圓：相切且與橢圓交于A，B兩點．

(1)若線段AB中點的橫坐標為，求m的值；
(2)過原點O作的平行線交橢圓于C，D兩點，設，求的最小值．
16．（2024·安徽合肥·一模）已知曲線C：，從曲線C上的任意點作壓縮變換得到點．
(1)求點所在的曲線E的方程；
(2)設過點的直線交曲線E于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關系，并寫出分析過程．
17．設為坐標原點，橢圓：經過升縮變換后變為曲線，是曲線上的點.
（1）求曲線的方程.
（2）設點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點.
18．生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點現橢圓C的焦點在x軸上，中心在坐標原點，從左焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到右焦點，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；
(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．
19．如圖，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知橢圓：的左 右焦點分別為，，左 右頂點分別為，，一光線從點射出經橢圓上點反射，法線（與橢圓在處的切線垂直的直線）與軸交于點，已知，.求橢圓的方程.
20．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線.
已知圖乙中，橢圓 的中心在坐標原點，焦點為，由 發出的光線經橢圓兩次反射后回到 經過的路程為 .
(1)點 是橢圓 上除頂點外的任意一點，橢圓 在點 處的切線為在 上的射影 滿足，利用橢圓的光學性質求橢圓 的方程；
(2)在: （1）的條件下，設橢圓 上頂點為 ，點 為 軸上不同于橢圓頂點的點，且，直線 分別與橢圓 交于點 （異于點 ），，垂足為 ，求 的最小值.
21．已知點為橢圓：（）內一點，過點的直線與交于兩點．當直線經過的右焦點時，點恰好為線段的中點．
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的光學性質是指：從橢圓的一個焦點出發的一束光線經橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點．設從橢圓的左焦點出發的一束光線經過點，被直線反射，反射后的光線經過橢圓二次反射后恰好經過點，由此形成的三角形稱之為“光線三角形”．求此時直線的方程，并計算“光線三角形”的周長．
22．橢圓滿足這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點發射光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.如果沒有阻擋，此過程可以不斷重復進行下去.
(1)橢圓 ，分別為其左、右焦點.試問，從 發射的光線，經橢圓反射后第一次回到時，光線經過的路程的最大值和最小值分別為多少？（寫出結論即可，無須說明）
(2)如圖，橢圓 的左、右焦點分別為，從 發射的光線，經橢圓上兩點 處分別反射后，光線回到，已知 ， ，求橢圓 的離心率的值.
23．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為，由發出的光經橢圓兩次反射后回到經過的路程為．利用橢圓的光學性質解決以下問題：
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為在l上的射影H在圓上，求橢圓C的方程．
24．圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質，這些性質均與它們的焦點有關.如：從橢圓的一個焦點處出發的光線照射到橢圓上，經過反射后通過橢圓的另一個焦點；從拋物線的焦點處出發的光線照射到拋物線上，經反射后的光線平行于拋物線的軸.某市進行科技展覽，其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質，此展品的一個截面由一條拋物線和一個“開了孔”的橢圓構成（小孔在橢圓的左上方）.如圖，橢圓與拋物線均關于軸對稱，且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點，，為橢圓的焦點，同時也為拋物線的焦點，其中橢圓的短軸長為，在處放置一個光源，其中一條光線經過橢圓兩次反射后再次回到經過的路程為8.由照射的某些光線經橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.
（1）求拋物線的方程；
（2）若由發出的一條光線經由橢圓上的點反射后穿過小孔，再經拋物線上的點反射后剛好與橢圓相切，求此時的線段的長；
（3）在（2）的條件下，求線段的長.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)拔高點突破02 圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達、光學性質問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 6
題型一：仿射變換問題 6
題型二：非對稱韋達問題 13
題型三：橢圓的光學性質 20
題型四：雙曲線的光學性質 26
題型五：拋物線的光學性質 35
03 過關測試 39
一、仿射變換問題
仿射變換有如下性質：
1、同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；
2、結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；
3、其它不變關系．
我們以橢圓為例闡述上述性質．
橢圓，經過仿射變換，則橢圓變為了圓，并且變換過程有如下對應關系：
（1）點變為；
（2）直線斜率變為，對應直線的斜率比不變；
（3）圖形面積變為，對應圖形面積比不變；
（4）點、線、面位置不變（平 直線還是平 直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；
（5）弦長關系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變
總結可得下表：
變換前 變換后
方程
橫坐標
縱坐標
斜率
面積
弦長
不變量 平行關系；共線線段比例關系；點分線段的比
二、非對稱韋達問題
在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數關系：，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理之類的結構，但在有些問題時，我們會遇到涉及的不同系數的代數式的應算，比如求或之類的結構，就相對較難地轉化到應用韋達定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數不對等的情況，這些式子是非對稱結構，稱為“非對稱韋達”．
三、光學性質問題
1、橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點（如圖1）．
【引理1】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理2】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理3】設橢圓方程為，分別是其左、右焦點，若點在橢圓外，則．
2、雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光從雙曲線的一個焦點發出的光線經過雙曲線的另一個焦點（如圖）．
【引理4】若點在直線的同側，設點是直線上到兩點距離之和最小的點，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線和直線的交點．
【引理5】若點在直線的兩側，且點到直線的距離不相等，設點是直線上到點距離之差最大的點，即最大，當且僅當點是點關于直線的對稱點與點連線的延長線和直線的交點．
【引理6】設雙曲線方程為，分別是其左、右焦點，若點在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．
3、拋物線的光學性質
從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經反射后都通過焦點．
【結論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）
【結論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點，入射光線從點發出射到拋物線上的點，求證：反射光線平行于軸．
題型一：仿射變換問題
【典例1-1】如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點，且在直線的上方，則△內切圓的圓心所在的定直線方程為 ．
【答案】
【解析】如圖，作仿射變換：，橢圓變為，直線的斜率變為直線的斜率，變為
，
由垂徑定理平分，其方程為，
平分，
△內切圓的圓心所在的定直線方程為．
故答案為：
【典例1-2】Р是橢圓上任意一點，O為坐標原點，，過點Q的直線交橢圓于A，B兩點，并且，則面積為 ．
【答案】
【解析】作變換之后橢圓變為圓，方程為，
是的重心，又O是的外心
′是等邊三角形，
∴．
故答案為：
【變式1-1】已知橢圓的標準方程為．
(1)設動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．
(2)設動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）設橢圓上一點為，橢圓上的點，，
令，橢圓的方程為，，
可得是以為圓心，半徑為2的圓上的點，記仿射變換下，在圓上對應的點為，，
直線與的斜率之積為
．可得.
，四邊形為正方形，于是，
則點的軌跡方程為，因此點的軌跡方程為，即.，
由橢圓的定義可得，存在符合題意的點，坐標為（即橢圓的兩個焦點）．
（2），由（1）可知，此時四邊形為矩形，于是，點的軌跡方程為，因此點的軌跡方程為，即.，，
直線為橢圓的右準線.
由橢圓的定義可得，存在符合題意的點，坐標為（即橢圓的右焦點）．
【變式1-2】已知橢圓經過點，其離心率為，設，，是橢圓上的三點，且滿足，其中為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)證明：的面積是一個常數．
【解析】（1）依題意可得，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）令，所以，
設，，是圓上的三點，且，，
所以
，
所以，所以，
所以，即的面積是一個常數．
法二：設，，，
可得，，，
由，
可得，
即有，，
可得
，
即有，由，
可得，
又
，
由，，且，
即為，即，
又．
則的面積是一個常數1．
【變式1-3】對于橢圓，令，，那么在坐標系中，橢圓經伸縮變換得到了單位圓，在這樣的伸縮變換中，有些幾何關系保持不變，例如點、直線、曲線的位置關系以及點分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變為原先的，由此我們可以借助圓的幾何性質處理一些橢圓的問題．
(1)在原坐標系中斜率為k的直線l，經過，的伸縮變換后斜率變為，求k與滿足的關系；
(2)設動點P在橢圓上，過點P作橢圓的切線，與橢圓交于點Q，R，再過點Q，R分別作橢圓的切線交于點S，求點S的軌跡方程；
(3)點）在橢圓上，求橢圓上點B，C的坐標，使得△ABC的面積取最大值，并求出該最大值．
【解析】（1）設上兩點的坐標為，；
經伸縮變換后變為，，
則；；
，；則．
（2）作，的伸縮變換，橢圓變換得到了單位圓；
橢圓變換得到了以原點為圓心的圓；
P，Q，R，S變換得到，，，．
O，，均在中垂線上，則O，，共線．
，，則，
則，，
則軌跡方程為：，
代入，，則S軌跡方程為：．
（3）作，的伸縮變換，橢圓變換得到了單位圓，
點A變換得到了，
即為，并設B，C變換得到了，．
熟知：在單位圓內接三角形中，面積最大為內接正三角形．
則，分別為繞O點逆時針和順時針旋轉120°得到．
則，坐標分別為，．
即為，，
即B、C坐標分別為，，
單位圓內接正三角形面積為，則△ABC面積為．
綜上，所求B，C坐標分別為，或其交換，△ABC面積最大值為．
【變式1-4】在平面直角坐標系xOy中，若在曲線的方程中，以（為非零的正實數）代替得到曲線的方程，則稱曲線關于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比.
(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線的方程；
(2)射線的方程，如果橢圓經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點A、B，且，求橢圓的方程；
(3)對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換，得拋物線；如此進行下去，對拋物線作變換，得拋物線，…若，，求數列的通項公式.
【解析】（1）由條件得，整理得，所以的方程為；
（2）因為，關于原點“伸縮變換”，
對作變換，得，
聯立，解得點的坐標為，
聯立，解得點的坐標為，
所以，所以或，
所以或；
因此橢圓的方程為或；
（3）對作變換，
得拋物線，得，
又因為，所以，即，
當時，，
得，適用上式，
所以數列的通項公式.
題型二：非對稱韋達問題
【典例2-1】（2024·湖北宜昌·二模）已知、分別是離心率的橢圓的左右頂點，P是橢圓E的上頂點，且.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關于y軸對稱，求證：直線恒過定點.
【解析】（1）由題意得，，，
則，所以，
又，所以，，所以橢圓E的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，設直線，，，則，
由，消去y得.由，
得，所以，.
，
直線的方程為，
即，
因為，，所以，
直線的方程為可化為，則直線恒過定點.
當直線的斜率不存在時，直線也過點，綜上知直線恒過定點.
【典例2-2】已知、分別是橢圓的右頂點和上頂點，、在橢圓上，且，設直線、的斜率分別為、，證明：為定值．
【解析】證明：由題意得，，則，
設直線的方程為，設點、．
由，消去得，
，可得，且有，
由韋達定理可得，，
，
，
又由得，代入上式得：
，
所以，為定值.
【變式2-1】已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，分別為左右頂點，直線：與橢圓交于兩點，當時，是橢圓的上頂點，且的周長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線交于點，證明：點在定直線上．
(3)設直線的斜率分別為，證明：為定值．
【解析】（1）當時，直線：，令，得，即橢圓的上頂點為，則，
又的周長為，即，，又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，，設，依題意，點A，B不在x軸上，
由消去并整理得：，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線、的方程得，
由得代入上式，得
，于是得，
所以直線交點在定直線上．
（3）由（2）知，，由得：，
所以為定值．
【變式2-2】（2024·河南新鄉·三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．
【解析】（1）由得，，
由橢圓的定義得，，，
，所以點P的坐標為，
將點P的坐標代入橢圓的方程中有，
又，，
解得或，
當，，故舍去；
當，，
所以橢圓的標準方程為：.
（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設直線l的方程為，設，則，
聯立方程組，得， ，
解得，，，
又，，設直線的方程為，
，
當時，，所以直線過定點.
【變式2-3】已知橢圓過點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．
【解析】(Ⅰ)設橢圓方程為：，由題意可得：
，解得：，
故橢圓方程為：.
(Ⅱ)[方法一]：
設，，直線的方程為：，
與橢圓方程聯立可得：，
即：，
則：.
直線MA的方程為：，
令可得：，
同理可得：.
很明顯，且，注意到，
，
而
，
故.
從而.
[方法二]【最優解】：幾何含義法
①當直線l與x軸重合，不妨設，由平面幾何知識得，所以．
②當直線l不與x軸重合時，設直線，由題意，直線l不過和點，所以．設，聯立得．由題意知，所以．且．
由題意知直線的斜率存在．．
當時，
．
同理，．所以．
因為，所以．
【整體點評】方法一直接設直線的方程為：，聯立方程消去y，利用韋達定理化簡求解；方法二先對斜率為零的情況進行特例研究，在斜率不為零的情況下設直線方程為，聯立方程消去x，直接利用韋達定理求得P,Q的縱坐標，運算更為簡潔，應為最優解法.
【變式2-4】（2024·湖北·一模）如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．
【解析】（1）由題意可知：,，又，
有，故橢圓的方程為：．
（2）由題意知直線的斜率存在，設其方程為，用的橫坐標表示的縱坐標，再聯立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達定理化簡的縱坐標后可得所求的定值.
設（），
聯立直線方程和橢圓方程得，消去得，
,，且有，
又，，
由得，
故，整理得到
，故
．
故點的縱坐標為3．
題型三：橢圓的光學性質
【典例3-1】歐幾里德生活的時期，人們就發現橢圓有如下的光學性質:從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓內壁反射后必經過該橢圓的另一焦點.現有橢圓，長軸長為，從的左焦點發出的一條光線，經內壁上一點反射后恰好與軸垂直，且.
(1)求的方程;
(2)設點，若斜率不為0的直線與交于點均異于點，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.
【解析】（1）不妨設是的右焦點,
則軸,
又,
,
不妨設點,則,
又,
的方程為.
（2）設,直線的方程為,
由，整理得,
則
故,
點在以MN為直徑的圓上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,
當時,直線,過定點,
易知點在橢圓內,
當時,直線,過定點,
此時定點為點，兩點中的一個與點重合,所以舍去,
直線方程:, 且直線恒過定點
點到的距離最大值為.
【典例3-2】阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進一步研究了圓錐曲線的光學性質，例如橢圓的光學性質：（如圖1）從橢圓一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上．在對該性質證明的過程中（如圖2），他還特別用到了“角平分線性質定理”：，從而得到，而性質得證
根據上述材料回答以下問題
(1)如圖3，已知橢圓的左右焦點分別為，一束光線從射出，經橢圓上點反射：處法線（與橢圓在處切線垂直的直線）與軸交于點，已知，求橢圓方程（直接寫出結果）
(2)已知橢圓，長軸長為，焦距為，若一條光線從左焦點射出，經過橢圓上點若干次反射，第一次回到左焦點所經過的路程為，求橢圓的離心率
(3)對于拋物線，猜想并證明其光線性質．
【解析】（1）從橢圓的定義知，，則，
又，，所以，
由光學性質可知是的角平分線，所以，
即，所以得，從而
故橢圓的方程為.
（2）由題意知光線經過的路程為，所以.
（3）拋物線的光學性質：從焦點發出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，
設焦點，動點，設過點的切線方程為，
聯立，消去得，
由直線為拋物線的切線，
故且，所以，
所以，所以，所以,所以，
過點的切線斜率為
則入射光線的斜率為，設反射光線的斜率為
則
則命題得證.
【變式3-1】（2024·高三·安徽池州·期末）已知橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線射向橢圓上任一點，經橢圓反射后必經過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發出的光線，經過兩次反射之后回到點，光線經過的路程為8，橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)如圖，若橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，動直線l交橢圓C于P、Q兩點，且始終滿足，作交于點M，求的最大值．
【解析】（1）由橢圓的性質可知，左焦點發出的光線，經過兩次反射之后回到點，
可得光線經過的路程為，解得，
又由橢圓的離心率為，可得，所以，
故，故橢圓C的標準方程為．
（2）橢圓，可得，則， ，
設，直線的方程為，
聯立方程組，整理得，
則且，
因為，可得，
所以
，
化簡為，
而到直線的距離為，
即有M的軌跡方程為；
法1、設，則
，
表示點與點的距離的平方，減去的差；
由點與的即離為，可得M與點的距離的最大值為，
則的最大值為.
法2、令，設，
所以
（其中），
當且僅當時，取“等號”．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線射向橢圓上任一點，經橢圓反射后必經過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發出的光線，經過兩次反射之后回到點，光線經過的路程為8，T的離心率為．
(1)求橢圓T的標準方程；
(2)設，且，過點D的直線l與橢圓T交于不同的兩點M，N，是T的右焦點，且與互補，求面積的最大值．
【解析】（1）由橢圓的性質可知，左焦點發出的光線，
經過兩次反射之后回到點，光線經過的路程為，解得．
又橢圓的離心率為，得，
所以，
故，
故橢圓T的標準方程為；
（2）由題意得，設，．
因為與互補，
所以，即，
化簡整理，可得，
設直線MN的方程為，
得．
聯立直線MN與橢圓的方程得，
整理得，
，可得，
則，，
所以，
解得，
故直線MN的方程為．
點到直線MN的距離，
，
，
所以，
由，可得，，即．
記，則，，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立．
故面積的最大值為．
題型四：雙曲線的光學性質
【典例4-1】雙曲線在物理學中有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠鏡利用了其光學性質等等．
(1)已知A、B是在直線l兩側且到直線l的距離不相等的兩點，P為直線l上一點．試探究當點P的位置滿足什么條件時，取最大值；
(2)若光線在平滑曲線上發生反射時，入射光線與反射光線關于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱．證明：由雙曲線的一個焦點射出的光線，在雙曲線上發生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點．
【解析】（1）不妨設A點到直線l的距離比B點到直線l的距離大，作點A關于直線l的對稱點．
當、B、P三點共線，即l為的平分線時，有；
當、B、P三點不共線，即l不是的平分線時，取這樣的點，
則、B、能構成一個三角形，故（兩邊之差小于第三邊），
因此，當且僅當P的位置使得l為的平分線時，取最大值．
（2）不妨設雙曲線的焦點在軸上，實半軸長為，虛半軸長為b，左右焦點分別為，，
入射光線從出射，入射點，反射光線，
雙曲線在點處的切線，在點處的垂線，
由光的反射定律，，關于對稱，故，關于對稱，
要證：反射光線過點，
只要證：是的角平分線，
定義雙曲線焦點所在區域為雙曲線的內部，漸近線所在區域為雙曲線的外部，
由雙曲線的定義，，雙曲線上任意一點滿足方程為，
若，滿足不等式，即與焦點同在雙曲線內部；
若，滿足不等式，即在雙曲線外部.
故對于雙曲線內部的任意一點，有，
對于雙曲線外部的任意一點，有，
又是雙曲線在點處的切線，故在上有且僅有一點使得，
上其他點均有，
故是上唯一使得取最大值的點，
又，到直線距離不相等，根據(1)中結論，可知是的角平分線，
故反射光線過點，命題得證.
【典例4-2】（2024·遼寧丹東·一模）我們所學過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學性質，且這些光學性質都與它們的焦點有關．如從雙曲線的一個焦點處出發的光線照射到雙曲線上，經反射后光線的反向延長線會經過雙曲線的另一個焦點（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，從處出發的光線照射到雙曲線右支上的點P處（點P在第一象限），經雙曲線反射后過點．

(1)請根據雙曲線的光學性質，解決下列問題：
當，，且直線的傾斜角為時，求反射光線所在的直線方程；
(2)從處出發的光線照射到雙曲線右支上的點處，且三點共線，經雙曲線反射后過點，，，延長，分別交兩條漸近線于，點是的中點，求證：為定值．
(3)在（2）的條件下，延長交y軸于點，當四邊形的面積為8時，求的方程．
【解析】（1）因為，，所以，，
故雙曲線方程為，直線的方程為，
由，解得，即，
所以，
所以反射光線所在的直線方程為，即；
（2）因為為直角三角形，，
可令，則，
由雙曲線的定義可得，
即，所以，
所以，
所以，
在直角中，，
所以直線的方程為，
由，
得，所以，所以，
所以兩條漸近線得方程為，
聯立，得，
設，
則，
故，
所以，
所以，
所以，
所以為定值；
（3）由雙曲線得光學性質可得，直線平分，
所以，
在中，由正弦定理得，則，
在中，由正弦定理得，則，
因為，所以，
所以，所以，
所以，故，
而，
所以，
所以直線的方程為，故點的坐標為，
設四邊形的面積為，
則，
所以，故，
所以求的方程為．
【變式4-1】（2024·安徽安慶·一模）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為、，從發出的光線經過圖2中的、兩點反射后，分別經過點和，且，.

(1)求雙曲線的方程；
(2)設、為雙曲線實軸的左、右頂點，若過的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由．
【解析】（1）如圖所示：
延長與交于，因為，，
則，即，
令，則，
所以，，
由雙曲線的定義可得，則，
，則，
又因為，即，解得，
所以，，，
由勾股定理可得，則，
故，
因此，雙曲線的方程為.
（2）若直線與軸重合，則直線與雙曲線的交點為雙曲線的兩個頂點，不合乎題意，
設直線的方程為，設點、，
聯立可得，
由題意可得，解得，
由韋達定理可得，，
易知點、，則，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線、的方程并消去可得，
可得
，解得，
因此，直線與直線的交點在定直線上.
【變式4-2】鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現代建筑與藝術的完美結合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡爾坐標系中的方程與在平面直角坐標系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學中具有很多應用，比如波的干涉圖樣為雙曲線 反射式天文望遠鏡利用了其光學性質等等.
（1）已知，是在直線兩側且到直線距離不相等的兩點，為直線上一點.試探究當點的位置滿足什么條件時，取最大值；
（2）若光線在平滑曲線上發生反射時，入射光線與反射光線關于曲線在入射點處的切線在該點處的垂線對稱.證明：由雙曲線一個焦點射出的光線，在雙曲線上發生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的另一個焦點.
【解析】（1）不妨設點到直線的距離比點到直線的距離大，作點關于直線的對稱點.
當，，三點共線，即為的平分線時，
有，
當，，三點不共線，即不是的平分線時，取這樣的點，則，，能構成一個三角形，
故(兩邊之差小于第三邊)，
因此，當且僅當的位置使得為的平分線時，取最大值.
（2）不妨設雙曲線的焦點在軸上，實半軸長為，虛半軸長為b，左右焦點分別為，，入射光線從出射，入射點，反射光線，雙曲線在點處的切線，在點處的垂線，
由光的反射定律，，關于對稱，故，關于對稱，
要證：反射光線過點，
只要證：是的角平分線，
定義雙曲線焦點所在區域為雙曲線的內部，漸近線所在區域為雙曲線的外部，
由雙曲線的定義，，雙曲線上任意一點滿足方程為，
若，滿足不等式，即與焦點同在雙曲線內部；
若，滿足不等式，即在雙曲線外部.
故：對于雙曲線內部的任意一點，有，
對于雙曲線外部的任意一點，有，
又是雙曲線在點處的切線，故在上有且僅有一點使得，
上其他點均有，
故是上唯一使得取最大值的點，
又，到直線距離不相等，根據(1)中結論，可知是的角平分線，
故反射光線過點，命題得證.
題型五：拋物線的光學性質
【典例5-1】拋物線具有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標原點，點在拋物線上，且其縱坐標為，滿足.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知平行于軸的光線從點射入，經過拋物線上的點反射后，再經過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數的值.
【解析】（1）由題意可知，拋物線的焦點為，將代入拋物線方程可得，
即點，
由可得，解得，
故拋物線的標準方程為.
（2）由題意可知，直線的方程為，由可得，即點，
則，直線的方程為，
聯立可得，即點，
設直線的傾斜角為，則，
由題意可知，，且為銳角，，可得，所以，，
因為，可得，解得.
【典例5-2】拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后反射光線或其反向延長線必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點．一束平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點反射后，再經C上另一點反射后，沿直線射出，經過點．
(1)求證：；
(2)若PB平分，求點B到直線QP的距離．
【解析】（1）證明：拋物線，則其準線方程為，
由題意得平行于x軸，且過點，所以，
把代入拋物線的方程，解得，則，
由題知，直線AB經過焦點，
則直線AB的方程為，即，
聯立得，故．
（2）由光學性質可知AP平行于x軸，BQ平行于x軸，
則，有，
若PB平分，則，所以，所以．
由，
則，
可得，解得．
所以，直線QP的斜率為，
故直線QP的方程為，即，
故點B到QP的距離為．
【變式5-1】拋物線具有如下光學性質：由其焦點發出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.如圖，已知拋物線的焦點為，為坐標原點.一條平行于軸的光線從上方射向拋物線，經拋物線上，兩點反射后，又沿平行于軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距離為.
（1）求拋物線的方程；
（2）過向拋物線的準線作垂線，垂足為，證明：，，三點共線.
【解析】（1）設，，由方程，可得，
設直線的方程為：，
聯立方程組，整理得，
所以，，
則兩平行光線間的距離，當且僅當時等號成立
所以，即，故拋物線方程為.
（2）由（1）知拋物線方程為，可得準線為，
則，，可得，，
所以，
所以，又因為，所以，，三點共線.
【變式5-2】（2024·高三·青海西寧·開學考試）根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發出的光線經該拋物線反射后與對稱軸平行．已知拋物線C：，如圖，點F為C的焦點，過F的光線經拋物線反射后分別過點，．

(1)求C的方程；
(2)設點，若過點的直線與C交于R，T兩點，求面積的最小值．
【解析】（1）依題意，點的縱坐標，點的縱坐標，焦點，
顯然直線不垂直于軸，設直線的方程為，
由消去得：，
則，即，而，解得，
所以C的方程是.
（2）顯然直線不垂直于軸，設直線的方程為，，
由消去得：，，
則，，
由，，得，且軸，
因此的面積，當且僅當時取等號，
所以求面積的最小值為4.
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連接，根據題意，三點共線，三點共線.
而，且由知，
故.
所以，
故可設，，.
由于，
故.
從而，，故，.
而，結合余弦定理得.
故，解得，所以.
故選：C.
2．拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】拋物線的焦點為，準線為，由點在拋物線上，則，
直線方程為：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周長為.
故選：D
3．（2024·高三·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數學家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質.其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點發出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發出的光線經過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，，，由題意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故選：B.
4．橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左 右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關于的對稱點為，若，，則（ ）
注：表示面積.
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】如圖，由橢圓的光學性質可得三點共線.設，
則.
故，解得.
又，所以，所以.
故選：C.
5．（多選題）（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發出的兩條光線經過的右支上的兩點反射后，分別經過點和，其中共線，則（ ）
A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為
B．當點的坐標為時，光線由經過點到達點所經過的路程為6
C．當時，的面積為12
D．當時，
【答案】ABD
【解析】如圖所示，過點分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，
對于A中，由圖可知，當點均在的右支時，或，所以A正確；
對于B中，光線由經過點到達點所經過的路程為
，所以B正確；
對于C中，由，得，即，所以，
設，則，
因為，所以，整理得，
解得或（舍去），所以，，
所以的面積，所以C錯誤；
對于D項，在直角中，，
所以，所以D正確．
故選：ABD．
6．過橢圓的右焦點F的直線與橢圓交于A，B兩點，則面積最大值為 .
【答案】
【解析】作變換之后橢圓變為圓，方程為，，
由于，因此時面積最大，
此時，
那么，
故答案為：
7．已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實數），求 .
【答案】1
【解析】解法1：可得點，設，則，
由可得，即有，
，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；
故答案為：．
解法2：作變換之后橢圓變為圓，方程為，
，
設，則，
，
∴，
，
∴.
故答案為：．
8．橢圓的光學性質，從橢圓一個焦點發出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．已知橢圓C：，為其左、右焦點．是上的動點，點，若的最大值為6，動直線為此橢圓的切線，右焦點關于直線的對稱點，則橢圓的離心率為；的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】根據橢圓定義得：，所以，
因為的最大值為6，因為，所以，即，解得，
所以離心率為，右焦點
關于直線的對稱點，設切點為，
由橢圓的光學性質可得：三點共線，
所以，即點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
圓心到直線的距離為，
則圓上的點到直線的距離最小值為，最大值為，
所以點到直線的距離為，
所以表示點到直線的距離的倍，
則，即.
故答案為：
9．如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為，，由發出的光經橢圓兩次反射后回到經過的路程為8c．利用橢圓的光學性質解決以下問題：
橢圓C的離心率為 ；點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為l，在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為 ．
【答案】 /
【解析】設橢圓C的長軸長為，
因為由發出的光經橢圓兩次反射后回到經過的路程為8c，
所以，得，
所以橢圓C的離心率為，
如圖，延長交于點，
在中，，由反射角等于入射角，可得，
所以，且為的中點，
在中，，
因為在l上的射影H在圓上，所以，
所以，
所以，
所以，
所以橢圓的方程為.
故答案為：，
10．如圖所示，由圓錐曲線的光學性質知道：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射（即經橢圓在該點處的切線反射）后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C相切于點，過點P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則 ．

【答案】/
【解析】因為直線與橢圓C相切于點，所以，解得，
由橢圓C的方程為，所以,,
由橢圓的定義可知：，
由橢圓的光學性質得到直線平分，可得.
故答案為：.
11．圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學性質.我們知道，拋物線的光學性質是平行于拋物線對稱軸的光線經拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學性質是從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠鏡就是應用這些性質設計的.下圖為卡式望遠鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡，副鏡是雙曲線左支的旋轉面型凸雙曲面鏡，主鏡對應拋物線的頂點與副鏡對應雙曲線的中心重合，當平行光線投射到主鏡上時，經過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點處，但光線尚未匯聚時，又受到以為焦點的凸雙曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點處.以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系.若米，凹拋物面鏡的口徑為米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為 米.
【答案】
【解析】因為曲線C的焦點坐標為，
所以，則拋物線C的方程為，
因為，
所以，則，解得,
，
設，又，所以，
易知，則
則，解得，
根據題意，從點反射，與軸的交點，此時孔洞半徑最小，即.
易知，則,
即，解得,直徑為.
所以要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為.
故答案為：.
12．點是橢圓的左右頂點，若過定點且斜率不為0的直線與橢圓交于M，N兩點，求證：直線AM與直線的交點在一條定直線上.
【解析】由題意得，，，
設，直線方程為，
聯立，化簡得，
易知，由韋達定理得，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立，即，解得，
則
，
故直線AM與直線BN的交點在定直線上.
13．如圖，橢圓有兩頂點，，過其焦點的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，且直線l的斜率大于1，直線AC與直線BD交于點Q.

(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
【解析】（1）依題意得.
因為，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）因為過其焦點的直線l與橢圓交于C，D兩點，
并與x軸交于點P，且直線l的斜率大于1，且直線AC與直線BD交一于點Q，
所以可設直線l的方程為，所以點P的坐標為，
設點C，D，Q的坐標依次為，，
其中，，聯立得，
所以，
顯然，由根與系數的關系可得，
因為直線的斜率為，所以直線AC的方程為.
因為直線的斜率為，
所以直線的方程為.
因為直線與直線交于點Q，
所以，
所以.
因為，所以，
同理，
所以，
.
因為，所以，所以，
所以.
14．如圖，已知是長軸為的橢圓上的三點，點是長軸的右頂點，過橢圓中心，且，．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過關于軸對稱的點作橢圓的切線，則與有什么位置關系？證明你的結論．
【解析】（1）
設橢圓方程為，
由過橢圓中心，且，，得三角形是等腰直角三角形，且，所以,代入橢圓方程得到，所以橢圓方程為；
故答案為：；
（2）證明：將橢圓通過拉伸變換為圓：令，
又關于軸對稱的點拉伸后變為，，，及，所以．
15．如圖，已知橢圓：，直線：與圓：相切且與橢圓交于A，B兩點．

(1)若線段AB中點的橫坐標為，求m的值；
(2)過原點O作的平行線交橢圓于C，D兩點，設，求的最小值．
【解析】（1）設AB中點坐標為，代入圓方程可得；
根據拉伸定理可知，
將代入可知，故；
（2）如圖：
，令，
拉伸后可知，最小時，AB與CD距離最大，
令拉伸后的參數方程為，
當上的點P離原點距離最大時，
即，
當時，，
此時過P作的切線，，．
16．（2024·安徽合肥·一模）已知曲線C：，從曲線C上的任意點作壓縮變換得到點．
(1)求點所在的曲線E的方程；
(2)設過點的直線交曲線E于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓與直線的位置關系，并寫出分析過程．
【解析】（1）由得，
代入得，
曲線E的方程為．
（2）由題知，當直線l的斜率存在時，設l：，
由消去y整理得，．
設，，則，
以AB為直徑的圓的圓心橫坐標為．
又
，
以AB為直徑的圓的半徑為，
圓心到直線的距離為，
，
即，以AB為直徑的圓與直線相離．
當直線l的斜率不存在時，易知以AB為直徑的圓的半徑為，
圓的方程是，該圓與直線相離．
綜上可知，以AB為直徑的圓與直線相離．
17．設為坐標原點，橢圓：經過升縮變換后變為曲線，是曲線上的點.
（1）求曲線的方程.
（2）設點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點.
【解析】（1）由可得
代入得即
因此曲線的方程為.
（2）由題意知.設，，則，，，，，
由得，又由（1）知，故.
所以，即.又過點存在唯一直線垂直于，所以過點且垂直于的直線過的左焦點.
18．生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點現橢圓C的焦點在x軸上，中心在坐標原點，從左焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到右焦點，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；
(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．
【解析】（1）由題意可知，
則，
所以，所以
（2）由（1）得橢圓C的方程為，則，設，
則，
因為點P在橢圓上，
所以，
則，
則，
所以當時，，
此時，
所以；
（3）證明：，
設直線l的方程為，
聯立，消y得，
則，
則
因為，
則，
即，
即，
即，
即，
化簡得，
解得或，
時過點A，舍去
所以，
所以直線l得方程為，
所以直線l過定點．
19．如圖，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知橢圓：的左 右焦點分別為，，左 右頂點分別為，，一光線從點射出經橢圓上點反射，法線（與橢圓在處的切線垂直的直線）與軸交于點，已知，.求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，則.
由光學性質可知是的角平分線，所以.
因為，所以，得，
從而，
故橢圓的方程為.
20．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線.
已知圖乙中，橢圓 的中心在坐標原點，焦點為，由 發出的光線經橢圓兩次反射后回到 經過的路程為 .
(1)點 是橢圓 上除頂點外的任意一點，橢圓 在點 處的切線為在 上的射影 滿足，利用橢圓的光學性質求橢圓 的方程；
(2)在: （1）的條件下，設橢圓 上頂點為 ，點 為 軸上不同于橢圓頂點的點，且，直線 分別與橢圓 交于點 （異于點 ），，垂足為 ，求 的最小值.
【解析】（1）
由題知 ，
延長，交于點，
在中，，
則且為中點，
在中，，則，
，即橢圓方程為.
（2）
由對稱性可知直線 的斜率不為0，所以可設直線，
聯立直線與 ，
則，①
，②
所以 ，令 ，得點橫坐標 ，
同理可得點 橫坐標 ，
故，
將 代入上式整理得：，
將②代入得 ，
若 ，則直線 ，恒過 不合題意；
若 ，則，恒過 ，
因為直線 恒過 ，且與 始終有兩個交點，
又，垂足為 ，
所以點 軌跡是以 為直徑的半圓（不含點 ，在直線 下方部分），
圓心 ，半徑為1，所以，當且僅當點 在線段 上時，
所以的最小值為.
21．已知點為橢圓：（）內一點，過點的直線與交于兩點．當直線經過的右焦點時，點恰好為線段的中點．
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的光學性質是指：從橢圓的一個焦點出發的一束光線經橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點．設從橢圓的左焦點出發的一束光線經過點，被直線反射，反射后的光線經過橢圓二次反射后恰好經過點，由此形成的三角形稱之為“光線三角形”．求此時直線的方程，并計算“光線三角形”的周長．
【解析】（1）設點，的坐標為．
將其代入橢圓方程可得，；
兩式相減可得，
整理可得．
其中為直線的斜率，
可利用點及點計算可得．
其中，代入上式可得，即可得，
根據橢圓三個參數間的關系：，可得．
綜上可得橢圓的方程為．
（2）設直線的方程為，設點關于直線的對稱點為，從橢圓的左焦點發射一束光線經過直線進行反射后的反射光線必經過點．
設過點且與直線垂直的直線為：．
直線與直線的交點為，從而可得點的坐標為，
為了保證經過橢圓反射后再回到點，根據橢圓的光學性質可知上述反射光線會經過橢圓的右焦點，
綜上可知點，，三點共線．
即可知，即有，經計算可得．
符合條件的直線方程為．
當直線為時，根據條件易知，．
根據橢圓的定義經過點的反射光線及經過橢圓的后的反射光線的和為．
此時光線閉合三角形的周長為．
當直線為時，根據條件易知，．
根據橢圓的定義經過點的反射光線及經過橢圓的后的反射光線的和為．
此時“光線三角形”的周長為．
22．橢圓滿足這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點發射光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.如果沒有阻擋，此過程可以不斷重復進行下去.
(1)橢圓 ，分別為其左、右焦點.試問，從 發射的光線，經橢圓反射后第一次回到時，光線經過的路程的最大值和最小值分別為多少？（寫出結論即可，無須說明）
(2)如圖，橢圓 的左、右焦點分別為，從 發射的光線，經橢圓上兩點 處分別反射后，光線回到，已知 ， ，求橢圓 的離心率的值.
【解析】（1）因為橢圓，
當從 發射的光線，射到左頂點，經橢圓壁反彈后再回到時，小球經過的路程是，
當從 發射的光線，射到右頂點，經橢圓壁反彈后再回到時，小球經過的路程是，
當從 發射的光線，射到橢圓一點，經橢圓壁反彈后再過橢圓上一點，反彈后回到時，小球經過的路程是，
所以光線經過的路程的最大值和最小值分別和；
（2）設，則，又，
在中，，所以，
根據橢圓定義的周長為，所以解得，
所以，
在中，，
所以即.
23．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為，由發出的光經橢圓兩次反射后回到經過的路程為．利用橢圓的光學性質解決以下問題：
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為在l上的射影H在圓上，求橢圓C的方程．
【解析】（1）設橢圓C的長軸長為，
由題意知：發出的光經橢圓兩次反射后回到經過的路程為，
∴．
（2）法一：如圖：
延長，交于點，
在中，，則且H為中點，
在中，，則，
，即橢圓方程為．
法二：設，在l上的射影分別為，連接，如圖：
設，則，
在中，可得，同理：，
∴，，
∵，
∴橢圓方程為．
24．圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質，這些性質均與它們的焦點有關.如：從橢圓的一個焦點處出發的光線照射到橢圓上，經過反射后通過橢圓的另一個焦點；從拋物線的焦點處出發的光線照射到拋物線上，經反射后的光線平行于拋物線的軸.某市進行科技展覽，其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質，此展品的一個截面由一條拋物線和一個“開了孔”的橢圓構成（小孔在橢圓的左上方）.如圖，橢圓與拋物線均關于軸對稱，且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點，，為橢圓的焦點，同時也為拋物線的焦點，其中橢圓的短軸長為，在處放置一個光源，其中一條光線經過橢圓兩次反射后再次回到經過的路程為8.由照射的某些光線經橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.
（1）求拋物線的方程；
（2）若由發出的一條光線經由橢圓上的點反射后穿過小孔，再經拋物線上的點反射后剛好與橢圓相切，求此時的線段的長；
（3）在（2）的條件下，求線段的長.
【解析】（1）設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，
由題可知：，，，
則，
故拋物線的焦點，拋物線的方程為.
（2）因為光線經過拋物線的焦點，所以光線經過拋物線反射后平行與軸，所以縱坐標為，故設，代入拋物線的方程得，即，
又，故.
（3）由（2）知，即，
又，得，
又，故.
設，，
又，在中，由余弦定理知
.
故線段的長為.
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