資源簡介

第03講 二項式定理
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：二項式展開式的特定項、特定項的系數問題 4
知識點2：二項式展開式中的最值問題 5
知識點3：二項式展開式中系數和有關問題 6
題型一：求二項展開式中的參數 7
題型二：求二項展開式中的常數項 9
題型三：求二項展開式中的有理項 11
題型四：求二項展開式中的特定項系數 13
題型五：求三項展開式中的指定項 15
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數 17
題型七：求二項式系數最值 19
題型八：求項的系數最值 21
題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和 24
題型十：求奇數項或偶數項系數和 27
題型十一：整數和余數問題 30
題型十二：近似計算問題 32
題型十三：證明組合恒等式 34
題型十四：二項式定理與數列求和 39
題型十五：楊輝三角 43
04真題練習·命題洞見 46
05課本典例·高考素材 48
06易錯分析·答題模板 51
易錯點：混淆項的系數與二項式系數 51
答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數 51
考點要求 考題統計 考情分析
（1）二項式定理 （2）二項式系數的性質 2024年北京卷第4題，4分 2024年甲卷（理）第13題，5分 2023年北京卷第5題，4分 2023年天津卷第11題，5分 2023年上海卷第10題，5分 2022年I卷第13題，5分 (1)今后在本節的考查形式依然以選擇或者填空為主,以考查基本運算和基本方法為主,難度中等偏下,與教材相當. (2)本節內容在高考中的比重可能會持續降低,但仍然是備考的重要內容.
復習目標： （1）能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理． （2）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．
知識點1：二項式展開式的特定項、特定項的系數問題
（1）二項式定理
一般地，對于任意正整數，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數，
（2）二項式的展開式的特點：
①項數：共有項，比二項式的次數大1；
②二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
③次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到；字母升冪排列，次
數從到，每一項中，，次數和均為；
④項的系數：二項式系數依次是，項的系數是與的系數（包括二項式系
數）．
（3）兩個常用的二項展開式：
①（）
②
（4）二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；
②字母的次數和組合數的上標相同；
③與的次數之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
【診斷自測】已知在的二項展開式中，各項系數和為，則展開式中，含項的系數為 .
【答案】
【解析】由題意，，
故二項式為，其通項公式為，
所以時，有，故含項的系數為.
故答案為：
知識點2：二項式展開式中的最值問題
（1）二項式系數的性質
①每一行兩端都是，即；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即．
②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即．
③二項式系數和令，則二項式系數的和為，變形式．
④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
⑤最大值：
如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式系數最大；
如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項，的二項式系數，相等且最大．
（2）系數的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來．
【診斷自測】設為整數，展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，若，則 ．
【答案】5
【解析】展開式的二項式系數的最大值為，
展開式的二項式系數的最大值為，
因為，所以，即，解得，
故答案為：5．
知識點3：二項式展開式中系數和有關問題
常用賦值舉例：
（1）設，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設為偶數），再結合①可得：
．
（2）若，則
①常數項：令，得．
②各項系數和：令，得．
③奇數項的系數和與偶數項的系數和
（i）當為偶數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為偶數，奇數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當為奇數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為奇數，偶數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．
【診斷自測】設，則 .
【答案】728
【解析】因為，
所以，
令,可得，
令,可得，
所以.
故答案為：728.
題型一：求二項展開式中的參數
【典例1-1】在展開式中的系數為，則的值為 .
【答案】
【解析】因為展開式的通項為，
令，解得，
因為的系數為，解得.
故答案為：.
【典例1-2】已知二項式的展開式中的常數項為，則 .
【答案】1
【解析】由題意可知展開式的通項為，
令，解得，
可得，即.
故答案為：1.
【方法技巧】
在形如的展開式中求的系數，關鍵是利用通項求，則．
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預測）在的展開式中，常數項為90，則 ．
【答案】
【解析】二項式展開式的通項公式，
令，解得，所以常數項（負根舍去）.
故答案為：
【變式1-2】在的展開式中，的系數為12，則的值為 ．
【答案】
【解析】因為的展開式的通項為：
，
又因為的系數為12，
所以當時，，
所以，
解得.
故答案為：
【變式1-3】（2024·高三·上海·開學考試）已知二項式的展開式中存在常數項，正整數的最小值為 ．
【答案】4
【解析】二項式的通項為，
若展開式中存在常數項，只需，
則，所以正整數最小取4.
故答案為：4．
【變式1-4】（2024·高三·山西呂梁·開學考試）已知展開式中的系數為80，則 .
【答案】
【解析】通項公式，
令，則，
因為的系數為，故.
故答案為：
題型二：求二項展開式中的常數項
【典例2-1】（2024·高三·浙江·開學考試）的展開式中，常數項為 ．
【答案】3
【解析】由展開式中的通項公式為：，
令，則，
故展開式中的常數項為：，
故答案為：3.
【典例2-2】（2024·高三·江蘇·開學考試）展開式中的常數項為 .
【答案】/
【解析】二項式展開式的通項，
（且），
令，解得， 所以展開式中常數項為.
故答案為：
【方法技巧】
寫出通項，令指數為零，確定，代入．
【變式2-1】 的展開式中的常數項為 .（請用數字作答）
【答案】10
【解析】展開式的通項，
為了得到常數項，與相乘的項需滿足，即，
與1相乘的項需滿足，即，
因此常數項為.
故答案為：10
【變式2-2】二項式的展開式中的常數項為 ．
【答案】240
【解析】二項式展開式的通項公式為，
令，解得，則常數項為.
故答案為：240
【變式2-3】 的二項展開式中的常數項為 .（結果用數值表示）
【答案】
【解析】由可得，
令，即，則，
即的二項展開式中的常數項為.
故答案為：.
【變式2-4】（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數為6，則其展開式中的常數項為 ．
【答案】15
【解析】因為的展開式中第2項的二項式系數為6，所以，，
的展開式的通項公式為，
令，得，故展開式中的常數項為．
故答案為：15.
題型三：求二項展開式中的有理項
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）的展開式中，有理項是第 項．
【答案】3
【解析】的展開式的通項，
其中，
當為有理項時，為整數，結合，
所以，即有理項是展開式中的第3項，
故答案為：3
【典例3-2】（2024·山東煙臺·三模）已知的展開式中共有項，則有理項共 項．（用數字表示）
【答案】
【解析】因為的展開式中共有項，所以，
則通項，
當時，，相應項為有理項，故有理項共有4項.
故答案為：4
【方法技巧】
先寫出通項，再根據數的整除性確定有理項．
【變式3-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中有理項的個數為 ．
【答案】2
【解析】的展開式有項,因為僅有第5項的二項式系數最大,所以
當時,,當時,,符合題意
所以展開式中有理項的個數為2
故答案為：2
【變式3-2】（2024·高三·上海·單元測試）二項式的展開式中，系數為有理數的項的個數為 ．
【答案】5
【解析】因為展開式的通項為，
要使系數為有理數的項，需為整數，所以，共5項．
故答案為：5.
【變式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在的展開式中，有理項的個數為 ．
【答案】7
【解析】展開式中的第項為，
當時為有理項，共7項．
故答案為：7.
【變式3-4】在 的展開式中，系數為有理數的項共有 項．
【答案】6
【解析】由題意知，展開式的通項公式為，
當（）為整數時，的系數為有理數，
所以，即展開式中系數為有理數的項共有6個.
故答案為：6
【變式3-5】已知的展開式中第4項與第6項的二項式系數相等，寫出展開式中的一個有理項 ．
【答案】，，（寫出其中一個即可）
【解析】由題意知，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以的展開式的通項為：
，，．
若為有理項，則，所以，4，8，
故展開式中所有的有理項為：，
，．
故答案為：，，
題型四：求二項展開式中的特定項系數
【典例4-1】二項式展開后的第三項是
【答案】
【解析】因為
所以.
故答案為：
【典例4-2】（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為 .
【答案】
【解析】的展開式的通項為，
令，得
故答案為：.
【方法技巧】
寫出通項，確定r，代入．
【變式4-1】（2024·陜西渭南·二模）展開式中的項是 .
【答案】
【解析】依題意，展開式中的項是.
故答案為：
【變式4-2】（2024·湖北·模擬預測）展開式中項的系數為 .
【答案】30
【解析】展開式的通項表達式為，
當時，，
.
故答案為:30.
【變式4-3】二項式的展開式的中間項為
【答案】-252
【解析】設展開式為，
總共項，中間項為第項，此時，所以.
故答案為：.
【變式4-4】（2024·高三·上海浦東新·期中）的展開式的第8項的系數為 （結果用數值表示）.
【答案】960
【解析】因為，展開式的第8項為，
所以，的展開式的第8項的系數為960.
故答案為：960
題型五：求三項展開式中的指定項
【典例5-1】（2024·高三·江蘇南京·開學考試）的的展開式中的系數為（ ）
A．30 B． C．20 D．
【答案】D
【解析】從5個含有的括號中，其中1個括號中取，一個括號中取，3個括號中取，乘在一起構成這一項，
這一項為，所以的系數為.
故選：D
【典例5-2】（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數為（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【解析】由題意可知：的通項為，
且的通項為，
令，解得，
所以的系數為．
故選：A
【方法技巧】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數．
【變式5-1】（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）的展開式中的系數是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【答案】C
【解析】依題意，的展開式中項是5個多項式中取3個用，
余下2個取1個用，最后1個用的積，即，
所以的展開式中的系數是20.
故選：C
【變式5-2】（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數為（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【答案】B
【解析】展開式中，的項為，
則的系數為30．
故選：．
【變式5-3】（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數為（ ）
A．10 B． C．60 D．
【答案】C
【解析】由多項式 展開式的通項為，
令，可得，
又由展開式的通項為，
當時，可得，
所以展開式中項系數為，
故選：C.
【變式5-4】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】相當于6個因式相乘，其中一個因式取，有種取法，
余下5個因式中有2個取，有種取法，最后3個因式中全部取，有種取法，故展開式中的系數為.
故選：A.
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數
【典例6-1】（2024·高三·全國·課后作業）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．7168 D．
【答案】A
【解析】由題意可得
，
令，解得，令，解得，
含項為，即，
所以的系數為，故A正確.
故選：A
【典例6-2】（2024·北京大興·三模）在的展開式中，x的系數為（ ）
A．9 B．15 C． D．
【答案】A
【解析】
易知，的展開式中，沒有x項；
因為的展開式的通項為：，
令，即，所以展開式中，x的系數為；
又因為的展開式的通項為：，
令，即，所以展開式中，x的系數為；
綜上，在的展開式中，x的系數為，
故選：A.
【方法技巧】
分配系數法
【變式6-1】（2024·西藏·模擬預測）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【解析】在的展開式中，通項公式為，
故，的系數分別為，，
所以在的展開式中，的系數為．
故選：D．
【變式6-2】已知展開式中的系數為28，則該展開式的各項系數和為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】根據的展開式通項，
當與配對時，，故的系數為,
當與配對時，，故的系數為，
所以，故；
故令，則各項的系數和為．
故選：D．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．3 D．27
【答案】C
【解析】的展開式的通項公式為．
當時，；
當時，．
因此的展開式中的系數為，
故選：C．
【變式6-4】（2024·福建福州·模擬預測）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．34 D．74
【答案】B
【解析】的展開式為，1，2，3，4，，
的展開式，1，2，3，，
當，時，的系數為；
當，時，的系數為；
當，時，的系數為，
故的系數為．
故選：．
題型七：求二項式系數最值
【典例7-1】（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數最大的項的系數是 .（用數字作答）
【答案】
【解析】因為，所以二項式系數最大的項為第項，
又的展開式的通項公式為，
令，得到，所以二項式系數最大的項的系數是，
故答案為：.
【典例7-2】已知的二項展開式中，二項式系數最大的項為a，系數最大的項為b，則 ．
【答案】/
【解析】由題意得，通項，
當滿足時，系數最大，
，即，解得
又
解得，
所以，
故．
故答案為：
【方法技巧】
利用二項式系數性質中的最大值求解即可．
【變式7-1】 的展開式中所有二項式系數的最大值是 （用數字作答）．
【答案】
【解析】因為，所以的展開式中所有二項式系數的最大項為第項，
所以的展開式中所有二項式系數的最大值是，
故答案為：.
【變式7-2】已知的展開式中二項式系數最大的項只有第8項，則 ．
【答案】14
【解析】由的展開式中二項式系數最大的項只有第8項，得的展開式共有15項，
所以.
故答案為：14
【變式7-3】已知的展開式中，第四項的系數與倒數第四項的系數之比為，則展開式中二項式系數最大的項的系數為 .
【答案】280或560
【解析】由二項式的展開式的通項公式，
由題知，，解得，
所以，展開式中二項式系數最大的項為第4項或第5項，
則展開式中二項式系數最大的項的系數為或，
即展開式中二項式系數最大的項的系數為280或560.
故答案為：280或560.
【變式7-4】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）設為正整數， 展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，若，則 .
【答案】
【解析】由展開式的二項式系數的最大值為，則有，
由展開式的二項式系數的最大值為，則有，
由，故有，
即，即，即，
解得.
故答案為：.
題型八：求項的系數最值
【典例8-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，所以，
所以展開式的通項公式為，要使展開式中系數的最小值，則為奇數，取值為1，3，5，7，所以當或5時，系數最小，則展開式中系數的最小值為，
故選：C
【典例8-2】已知的展開式中僅第4項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的項是第（ ）項
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由題意二項式系數僅最大，故，
所以二項式為，其通項公式為，
設二項式展開式中第項的系數最大，則有，
，即，故，經經驗符合題意，
所以展開式中系數最大的項是第3項.
故選：B.
【方法技巧】
有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數有關，如有關系，則轉化為二項式系數最值問題；如無關系，則轉化為解不等式組：，注意：系數比較大小．
【變式8-1】（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數和為256，則展開式中系數最大的項為（ ）
A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項
【答案】C
【解析】由已知，故，故通項為（，1，…，8），故奇數項的系數為正數，偶數項的系數為負數，
故最大，因此第七項的系數最大，
故選：C．
【變式8-2】已知為滿足能被整除的正整數的最小值，則的展開式中，系數最大的項為（ ）
A．第6項 B．第7項 C．第11項 D．第6項和第7項
【答案】B
【解析】因為，
所以，
所以，
則
，
顯然為正整數，
所以能被整除，
又且能被整除，所以能被整除，
所以，則，
所以，
所以，
所以在的展開式中，二項式系數最大的項為第項和第項，
又的展開式的通項公式為，
因為第項的系數為負數，第項的系數為正數，
所以第項的系數最小，第項的系數最大.
故選：B．
【變式8-3】 的展開式中，系數最大的項是（ ）
A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項
【答案】C
【解析】因為的展開通項公式為，
又當時，取最大值，
則系數最大的項是第13項．
故選：C.
【變式8-4】（2024·四川雅安·一模）的展開式中，系數最小的項是（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【答案】C
【解析】依題意，的展開通項公式為，其系數為，
當為奇數時，才能取得最小值，
又由二項式系數的性質可知，是的最大項，
所以當時，取得最小值，即第6項的系數最小.
故選：C．
題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和
【典例9-1】（2024·四川樂山·三模）設，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】C
【解析】由，令，得；
令，得，
所以．
故選：C．
【典例9-2】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對兩邊求導，
得.
令，得.
故選：D.
【方法技巧】
二項展開式二項式系數和：；奇數項與偶數項二項式系數和相等：．
系數和：賦值法，二項展開式的系數表示式：（是系數），令得系數和：．
【變式9-1】若，則（ ）
A．4048 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】的展開式的通項公式為，
結合，知均為負值，
，
令，得，
故，
故選：D.
【變式9-2】（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數和為243，則（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【解析】因為，
令可得，解得，
令可得，
令可得，
所以.
故選：B
【變式9-3】已知，則下列描述正確的是（ ）
A．
B．除以5所得的余數是1
C．
D．
【答案】B
【解析】，
令，可得，再令，可得，
,故A錯誤．
由于，即展開式各項系數和系數和，
故，，故C錯誤．
由題意，，
顯然，除了最后一項外，其余各項均能被5整除，除以5所得的余數是1，故B正確．
因為，
所以，
所以，故D錯誤．
故選：B．
【變式9-4】已知，則（ ）
A． B．14 C． D．7
【答案】A
【解析】等式兩邊同時求導可得，令，得，
故選：A.
【變式9-5】（2024·全國·模擬預測）已知，若，且，則m的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于，
令，得，故，
令，得，
故，
令，得，則等式變為，
則，又，所以，故．
故選：B.
【變式9-6】（2024·福建福州·模擬預測）設是常數，對于，都有，則（ ）
A．2019 B．2020 C．2019! D．2020!
【答案】A
【解析】因為，令可得，
對兩邊關于求導得，
，
令，則，
所以，
所以，
故，
所以.
故選：A.
【變式9-7】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因（*）
對于A項，當時，代入（*）可得，故A項錯誤；
對于B項，當時，代入（*）可得，故B項錯誤；
對于C項，當時，代入（*）可得，
則，故C項錯誤；
對于D項，當時，代入（*）可得，
則，故D項正確.
故選：D.
題型十：求奇數項或偶數項系數和
【典例10-1】設，則 ．
【答案】
【解析】，
令，可得，①
令，可得，②
①+②可得.
故答案為：.
【典例10-2】（2024·高三·河北保定·開學考試）若，則 .
【答案】121
【解析】
令，則，
令，則，
故.
故答案為：121
【方法技巧】
，令得系數和：①；
令得奇數項系數和減去偶數項系數和：②，聯立①②可求得奇數項系數和與偶數項系數和．
【變式10-1】（2024·廣東·一模）若 ，則 .
【答案】
【解析】令，得 ，
令，得 ，
則 ，
且 ，
故 .
故答案為：.
【變式10-2】已知多項式，則 ．
【答案】
【解析】令即得（1），
令即得（2），
（1）（2）得，所以，
故答案為：．
【變式10-3】（2024·浙江·模擬預測）當，則 ．
【答案】
【解析】對于，
當時，代入可得
當時，代入可得①
當時，代入可得②
由①+②可得：，
即，
故.
故答案為：.
【變式10-4】（2024·湖南邵陽·一模）已知，則 .
【答案】
【解析】由，
令，可得，
即
令，可得，
即，
聯立方程組，求得，
再令，可得，
所以.
故答案為：.
題型十一：整數和余數問題
【典例11-1】（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】
其中是9的整數倍.
故被9除的余數為4.
故選：B.
【典例11-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
【答案】B
【解析】，
故
．
前面7項均能被7整除，則被7整除余5，
故天后是星期二．
故選：B.
【變式11-1】中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，設均為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為，如9和21被6除得的余數都是3，則記．若，且，則的值可以是（ ）
A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
【答案】B
【解析】因為，
又，故，
又，，，
，結合選項可知只有B符合題意.
故選：B
【變式11-2】若能被25整除，則正整數的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因為能被25整除，
所以當時，，此時，，
當時，；
當時，
，
因此只需能夠被整除即可，可知最小正整數的值為，
綜上所述，正整數的最小值為，
故選：C
【變式11-3】（2024·山西晉中·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究.設均為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為，如和被除得的余數都是，則記.若，且，則的值可以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【答案】A
【解析】
，
即被除得的余數為，結合選項可知只有被除得的余數為.
故選：A.
【變式11-4】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數，若它們除以正整數所得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】依題意，
，
顯然是8的整數倍，因此除以8的余數是6，
而2021，2022，2023，2024除以8的余數分別為5，6，7，0，
所以的值可以是2022.
故選：B
題型十二：近似計算問題
【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結果保留一位小數）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【答案】B
【解析】存入大額存款10萬元，按照復利計算，
每年末本利和是以10為首項，為公比的等比數列，
所以本利和．
故選：B．
【典例12-2】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復利計算10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【答案】D
【解析】存入大額存款元，按照復利計算，
可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
可得，
故選：D.
【變式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物質的質量每年比前一年衰減，其初始質量為，年后的質量為，則下列各數中與最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知
故選：C
【變式12-2】（2024·江西南昌·一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：
對于任意實數，
當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：
.
用這樣的方法，估計的近似值約為（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【答案】B
【解析】.
故選：B.
【變式12-3】二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克 牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為 .（精確到小數點后兩位數）
【答案】3.07
【解析】.
故答案為：3.07
【變式12-4】用二項式定理估算 .（精確到0.001）
【答案】1.105
【解析】
.
故答案為：1.105
【變式12-5】 （精確到0.01）
【答案】30.84
【解析】原式
故答案為：30.84．
題型十三：證明組合恒等式
【典例13-1】求證：
【解析】由基本恒等式，即得
因為，
所以，
即
【典例13-2】求證：
【解析】因為，
所以，所以
【變式13-1】求證：
【解析】考慮恒等式：，
有
．
左邊展開式中的系數為：
，
而右邊展開式中項的系數為零．
所以.
即得所證等式．
【變式13-2】（2024·山東濟南·三模）高斯二項式定理廣泛應用于數學物理交叉領域.設 ，記 ，并規定.記，并規定.定義.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)證明：
【解析】（1）若，
而
（2）當時，
，
當時，由
可得 ；
綜上所述，.
（3）結合第二問結論知，
要證
只需證
，
令，易知，
則，
所以，
一方面，
另一方面，，
當且時， 由于，
比較兩式中的系數可得：，
則
由 可知=，
當時，由
可知：，
此時命題也成立.
當時， 也成立.
綜上所述，.
【變式13-3】萊布尼茨（德國數學家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數學家）三角數陣（如圖2所示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和. 現記萊布尼茨三角第1行的第2個數字為，第2行的第2個數字為，第行的第2個數字為.
(1)求的值；
(2)將楊輝三角中的每一個數都換成就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質，也是二項式系數和組合數性質，請你類比這個性質寫出萊布尼茨三角的性質，并證明你的結論.
【解析】（1）由圖1可知：
由每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和，可得 ，
故，同理，
故
；
（2）萊布尼茨三角的性質：
證明：
.
.
故結論正確.
【變式13-4】（1）求證：；
（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.
（3）已知等差數列的首項為，公差為，求證：對于任意正整數，函數總是關于的一次函數.
【解析】證明：（1）因為、，，
由組合數公式可得，故結論成立；
（2）因為、，，
則，
則
；
（3）因為等差數列的首項為，公差為，則，
則
，
所以，
總是關于的一次函數.
題型十四：二項式定理與數列求和
【典例14-1】 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，兩邊求導得，
，兩邊乘以后得，
，兩邊求導得，
，
取得.
故選：A
【典例14-2】已知，展開式中的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，展開式中的系數為，
∴則
，
故選：B．
【變式14-1】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，
當時，，
于是得
.
故選：B
【變式14-2】（2024·河南洛陽·三模）若，則的值為（　　）
A． B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】根據，
令，可得，再令，可得，
所以．
故選：D．
【變式14-3】若，且，則實數的值為 .
【答案】
【解析】因為，
令，得，
令，得，
所以，
，
則，
所以，解得，
故答案為：
【變式14-4】對于，將n表示為，當時，.當時，為0或1.記為上述表示中為0的個數，（例如，，故，）.若，則 .
【答案】
【解析】，
設，且為整數，
則，
中6個數都為0或1，
其中沒有一個為1時，有種情況，即有個；
其中有一個為1時，有種情況，即有個；
其中有2個為1時，有種情況，即有個；
…
故，同理可得：，
…
，
,
則.
故答案為:．
【變式14-5】已知等差數列，對任意都有成立，則數列的前項和 ．
【答案】
【解析】設等差數列的公差為，則，因為，
所以
，
所以，所以對恒成立，
所以，，所以等差數列的通項公式，
所以，
所以數列的前項和．
故答案為：.
【變式14-6】設是正整數，化簡 .
【答案】
【解析】設，
，
所以有，
故答案為：
題型十五：楊輝三角
【典例15-1】如圖所示的“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．記“楊輝三角”第行的第個數為，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，，則
當時，=
當時，，也符合上式．
綜上，．
故答案為：
【典例15-2】如圖是我國古代著名數學家楊輝在《詳解九章算術》給出的一個用數排列起來的三角形陣，請通過觀察圖象發現遞推規律，并計算從第三行到第十五行中，每行的第三位數字的總和為 .
【答案】
【解析】第三行的第三位數字是，第四行的第三位數字是，
第五行的第三位數字是，，第十五行的第三位數字是，
由
，
則
.
故答案為：.
【變式15-1】我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數列，則 ；若數列的前項和為，則 .
【答案】
【解析】由題意可知是第5行第4個數，所以；
使得每行的序數與該行的項數相等，則第行最后項在數列中的項數為：
設位于第行，則：，解得：
且第行最后一項在數列中的項數為：，
位于楊輝三角數陣的第行第個
而第一行各項和為，第二行各項和為，第三行各項的和為
依此類推，第行各項的和為
故答案為：4，.
【變式15-2】在“楊輝三角”中，每一個數都是它“肩上”兩個數的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第 行會出現三個相鄰的數，其比為2:3:4.

【答案】34
【解析】由題意可知第行第個數為，
根據題意，設所求的行數為，則存在正整數，使得連續三項，，，
有且．化簡得，，
聯立解得，．
故第34行會出現滿足條件的三個相鄰的數．
故答案為：34.
【變式15-3】如圖所示的梯形數陣中，第行第個數的值為

【答案】
【解析】觀察、歸納梯形數陣規律，
第一行每一個數提取系數，第二行每一個數提取系數，，
第行每一個數提取系數.
提取系數之后，各數的分子均為，分母恰好成二項式系數所構成的楊輝三角分布，
所以可求得第行第個數的值為.
故答案為：.
【變式15-4】我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就．在“楊輝三角”中，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記作數列，若數列的前n項和為，則 ．
【答案】
【解析】根據題意，為楊輝三角的第三行中去除后的數，共1個，
為楊輝三角的第四行去除后的數，共2個，
為楊輝三角第五行去除后的數，共3個，，
故可設去除后，楊輝三角從第)行開始，共有個數在數列中，
則前行共有個數，
又當時，，時，，
故中包括了楊輝三角從第3行開始至第12行去除1后所有的數，以及第13行去除1后的第一個數，
故
.
故答案為：.
1．（2024年北京高考數學真題）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．（2022年新高考北京數學高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【解析】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
3．（2024年上海市1月春考數學試題） 展開式中的系數為 .
【答案】15
【解析】 展開式中令的項為，
所以 展開式中的系數為15.
故答案為：15
4．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）的展開式中，各項系數中的最大值為 ．
【答案】5
【解析】由題展開式通項公式為，且，
設展開式中第項系數最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數最大的項是第9項，且該項系數為.
故答案為：5.
5．（2024年天津高考數學真題）在的展開式中，常數項為 ．
【答案】20
【解析】因為的展開式的通項為，
令，可得，
所以常數項為.
故答案為：20.
1．在的展開式中，含的項的系數是（ ）
A．74 B．121 C． D．
【答案】D
【解析】因為在，
所以含的項為：，
所以含的項的系數是的系數是，
，
故選：D
2．在的展開式中，的系數是 .
【答案】0
【解析】，
的展開式通項為，
的展開式通項為，
令，得，，
因此，的系數為.
故答案為：0.
3．證明：
（1）的展開式中常數項是；
（2）的展開式的中間一項是.
【解析】（1）展開式的通項為，
令，所以常數項為，
又
，
所以的展開式中常數項是，故得證.；
（2）展開式的通項為，
中間項對應的，所以中間項為，
又
，
所以的展開式中間一項是，故得證.
4．用二項式定理證明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
【解析】（1），
上式中的每一項都可以被整除，故能被整除；
（2）
，
上式中的每一項都可以被整除，故能被1000整除.
5．求證：.
【解析】左邊=
=1=右邊.
積，而二項式系數僅與二項式的冪的指數和項數有關。在解題時，需仔細區分這兩者，避免出錯。
【易錯題1】的展開式中含的項的二項式系數是 （用數字作答）.
【答案】10
【解析】，含的項是時的項，
所以二項式系數為.
故答案為：10.
【易錯題2】的展開式的二項式系數的和等于64，則展開式中含有項的系數為 .
【答案】240
【解析】二項式系數之和，解得，
則其二項展開式的通項為，
令，解得，則展開式中含有項的系數為.
故答案為：240.
答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數
1、模板解決思路
在求解二項展開式中的特定項或項的系數時，關鍵在于首先寫出二項展開式的通項公式。然后，根據題目給出的條件，我們可以設立一個方程來找到滿足條件的k值。這里，k代表二項展開式中項的序號，其取值范圍是0到n。一旦找到k，我們就可以將其代回通項公式，從而求解出所需的項或項的系數。
2、模板解決步驟
第一步：根據二項式定理寫出二項展開式的通項，并化簡.
第二步：根據已知條件，列出方程并求解.
第三步：代回二項展開式的通項，求出特定項或項的系數.
【經典例題1】若的展開式中的系數為 ．（用數字作答）
【答案】
【解析】的通項公式為，
當時，，當時，，
，
故的展開式中的系數為．
故答案為：
【經典例題2】展開式中常數項為 .
【答案】
【解析】展開式中,通項公式為，
令，求得，
可得展開式中的常數項為.
故答案為：15.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 二項式定理
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：二項式展開式的特定項、特定項的系數問題 4
知識點2：二項式展開式中的最值問題 5
知識點3：二項式展開式中系數和有關問題 6
題型一：求二項展開式中的參數 7
題型二：求二項展開式中的常數項 7
題型三：求二項展開式中的有理項 8
題型四：求二項展開式中的特定項系數 8
題型五：求三項展開式中的指定項 9
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數 10
題型七：求二項式系數最值 10
題型八：求項的系數最值 11
題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和 12
題型十：求奇數項或偶數項系數和 13
題型十一：整數和余數問題 13
題型十二：近似計算問題 14
題型十三：證明組合恒等式 15
題型十四：二項式定理與數列求和 17
題型十五：楊輝三角 18
04真題練習·命題洞見 20
05課本典例·高考素材 21
06易錯分析·答題模板 22
易錯點：混淆項的系數與二項式系數 22
答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數 23
考點要求 考題統計 考情分析
（1）二項式定理 （2）二項式系數的性質 2024年北京卷第4題，4分 2024年甲卷（理）第13題，5分 2023年北京卷第5題，4分 2023年天津卷第11題，5分 2023年上海卷第10題，5分 2022年I卷第13題，5分 (1)今后在本節的考查形式依然以選擇或者填空為主,以考查基本運算和基本方法為主,難度中等偏下,與教材相當. (2)本節內容在高考中的比重可能會持續降低,但仍然是備考的重要內容.
復習目標： （1）能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理． （2）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．
知識點1：二項式展開式的特定項、特定項的系數問題
（1）二項式定理
一般地，對于任意正整數，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數，
（2）二項式的展開式的特點：
①項數：共有項，比二項式的次數大1；
②二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
③次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到；字母升冪排列，次
數從到，每一項中，，次數和均為；
④項的系數：二項式系數依次是，項的系數是與的系數（包括二項式系
數）．
（3）兩個常用的二項展開式：
①（）
②
（4）二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；
②字母的次數和組合數的上標相同；
③與的次數之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
【診斷自測】已知在的二項展開式中，各項系數和為，則展開式中，含項的系數為 .
知識點2：二項式展開式中的最值問題
（1）二項式系數的性質
①每一行兩端都是，即；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即．
②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即．
③二項式系數和令，則二項式系數的和為，變形式．
④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
⑤最大值：
如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式系數最大；
如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項，的二項式系數，相等且最大．
（2）系數的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來．
【診斷自測】設為整數，展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，若，則 ．
知識點3：二項式展開式中系數和有關問題
常用賦值舉例：
（1）設，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設為偶數），再結合①可得：
．
（2）若，則
①常數項：令，得．
②各項系數和：令，得．
③奇數項的系數和與偶數項的系數和
（i）當為偶數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為偶數，奇數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當為奇數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為奇數，偶數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．
【診斷自測】設，則 .
題型一：求二項展開式中的參數
【典例1-1】在展開式中的系數為，則的值為 .
【典例1-2】已知二項式的展開式中的常數項為，則 .
【方法技巧】
在形如的展開式中求的系數，關鍵是利用通項求，則．
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預測）在的展開式中，常數項為90，則 ．
【變式1-2】在的展開式中，的系數為12，則的值為 ．
【變式1-3】（2024·高三·上海·開學考試）已知二項式的展開式中存在常數項，正整數的最小值為 ．
【變式1-4】（2024·高三·山西呂梁·開學考試）已知展開式中的系數為80，則 .
題型二：求二項展開式中的常數項
【典例2-1】（2024·高三·浙江·開學考試）的展開式中，常數項為 ．
【典例2-2】（2024·高三·江蘇·開學考試）展開式中的常數項為 .
【方法技巧】
寫出通項，令指數為零，確定，代入．
【變式2-1】 的展開式中的常數項為 .（請用數字作答）
【變式2-2】二項式的展開式中的常數項為 ．
【變式2-3】 的二項展開式中的常數項為 .（結果用數值表示）
【變式2-4】（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數為6，則其展開式中的常數項為 ．
題型三：求二項展開式中的有理項
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）的展開式中，有理項是第 項．
【典例3-2】（2024·山東煙臺·三模）已知的展開式中共有項，則有理項共 項．（用數字表示）
【方法技巧】
先寫出通項，再根據數的整除性確定有理項．
【變式3-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中有理項的個數為 ．
【變式3-2】（2024·高三·上海·單元測試）二項式的展開式中，系數為有理數的項的個數為 ．
【變式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在的展開式中，有理項的個數為 ．
【變式3-4】在 的展開式中，系數為有理數的項共有 項．
【變式3-5】已知的展開式中第4項與第6項的二項式系數相等，寫出展開式中的一個有理項 ．
題型四：求二項展開式中的特定項系數
【典例4-1】二項式展開后的第三項是
【典例4-2】（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為 .
【方法技巧】
寫出通項，確定r，代入．
【變式4-1】（2024·陜西渭南·二模）展開式中的項是 .
【變式4-2】（2024·湖北·模擬預測）展開式中項的系數為 .
【變式4-3】二項式的展開式的中間項為
【變式4-4】（2024·高三·上海浦東新·期中）的展開式的第8項的系數為 （結果用數值表示）.
題型五：求三項展開式中的指定項
【典例5-1】（2024·高三·江蘇南京·開學考試）的的展開式中的系數為（ ）
A．30 B． C．20 D．
【典例5-2】（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數為（ ）
A．60 B． C．120 D．
【方法技巧】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數．
【變式5-1】（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）的展開式中的系數是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【變式5-2】（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數為（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【變式5-3】（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數為（ ）
A．10 B． C．60 D．
【變式5-4】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數為（ ）
A． B． C． D．
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數
【典例6-1】（2024·高三·全國·課后作業）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．7168 D．
【典例6-2】（2024·北京大興·三模）在的展開式中，x的系數為（ ）
A．9 B．15 C． D．
【方法技巧】
分配系數法
【變式6-1】（2024·西藏·模擬預測）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．4 C． D．8
【變式6-2】已知展開式中的系數為28，則該展開式的各項系數和為（ ）
A． B． C．0 D．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．3 D．27
【變式6-4】（2024·福建福州·模擬預測）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C．34 D．74
題型七：求二項式系數最值
【典例7-1】（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數最大的項的系數是 .（用數字作答）
【典例7-2】已知的二項展開式中，二項式系數最大的項為a，系數最大的項為b，則 ．
【方法技巧】
利用二項式系數性質中的最大值求解即可．
【變式7-1】 的展開式中所有二項式系數的最大值是 （用數字作答）．
【變式7-2】已知的展開式中二項式系數最大的項只有第8項，則 ．
【變式7-3】已知的展開式中，第四項的系數與倒數第四項的系數之比為，則展開式中二項式系數最大的項的系數為 .
【變式7-4】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）設為正整數， 展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，若，則 .
題型八：求項的系數最值
【典例8-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知的展開式中僅第4項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的項是第（ ）項
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧】
有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數有關，如有關系，則轉化為二項式系數最值問題；如無關系，則轉化為解不等式組：，注意：系數比較大小．
【變式8-1】（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數和為256，則展開式中系數最大的項為（ ）
A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項
【變式8-2】已知為滿足能被整除的正整數的最小值，則的展開式中，系數最大的項為（ ）
A．第6項 B．第7項 C．第11項 D．第6項和第7項
【變式8-3】 的展開式中，系數最大的項是（ ）
A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項
【變式8-4】（2024·四川雅安·一模）的展開式中，系數最小的項是（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和
【典例9-1】（2024·四川樂山·三模）設，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【典例9-2】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
二項展開式二項式系數和：；奇數項與偶數項二項式系數和相等：．
系數和：賦值法，二項展開式的系數表示式：（是系數），令得系數和：．
【變式9-1】若，則（ ）
A．4048 B． C．1 D．
【變式9-2】（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數和為243，則（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【變式9-3】已知，則下列描述正確的是（ ）
A．
B．除以5所得的余數是1
C．
D．
【變式9-4】已知，則（ ）
A． B．14 C． D．7
【變式9-5】（2024·全國·模擬預測）已知，若，且，則m的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-6】（2024·福建福州·模擬預測）設是常數，對于，都有，則（ ）
A．2019 B．2020 C．2019! D．2020!
【變式9-7】若，則（ ）
A． B．
C． D．
題型十：求奇數項或偶數項系數和
【典例10-1】設，則 ．
【典例10-2】（2024·高三·河北保定·開學考試）若，則 .
【方法技巧】
，令得系數和：①；
令得奇數項系數和減去偶數項系數和：②，聯立①②可求得奇數項系數和與偶數項系數和．
【變式10-1】（2024·廣東·一模）若 ，則 .
【變式10-2】已知多項式，則 ．
【變式10-3】（2024·浙江·模擬預測）當，則 ．
【變式10-4】（2024·湖南邵陽·一模）已知，則 .
題型十一：整數和余數問題
【典例11-1】（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【典例11-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
【變式11-1】中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，設均為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為，如9和21被6除得的余數都是3，則記．若，且，則的值可以是（ ）
A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
【變式11-2】若能被25整除，則正整數的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式11-3】（2024·山西晉中·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究.設均為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為，如和被除得的余數都是，則記.若，且，則的值可以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【變式11-4】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數，若它們除以正整數所得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
題型十二：近似計算問題
【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結果保留一位小數）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【典例12-2】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復利計算10年后得到的本利和為，下列各數中與最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【變式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物質的質量每年比前一年衰減，其初始質量為，年后的質量為，則下列各數中與最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式12-2】（2024·江西南昌·一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：
對于任意實數，
當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：
.
用這樣的方法，估計的近似值約為（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【變式12-3】二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克 牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為 .（精確到小數點后兩位數）
【變式12-4】用二項式定理估算 .（精確到0.001）
【變式12-5】 （精確到0.01）
題型十三：證明組合恒等式
【典例13-1】求證：
【典例13-2】求證：
【變式13-1】求證：
【變式13-2】（2024·山東濟南·三模）高斯二項式定理廣泛應用于數學物理交叉領域.設 ，記 ，并規定.記，并規定.定義.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)證明：
【變式13-3】萊布尼茨（德國數學家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數學家）三角數陣（如圖2所示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和. 現記萊布尼茨三角第1行的第2個數字為，第2行的第2個數字為，第行的第2個數字為.
(1)求的值；
(2)將楊輝三角中的每一個數都換成就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質，也是二項式系數和組合數性質，請你類比這個性質寫出萊布尼茨三角的性質，并證明你的結論.
【變式13-4】（1）求證：；
（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.
（3）已知等差數列的首項為，公差為，求證：對于任意正整數，函數總是關于的一次函數.
題型十四：二項式定理與數列求和
【典例14-1】 （ ）
A． B． C． D．
【典例14-2】已知，展開式中的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式14-1】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式14-2】（2024·河南洛陽·三模）若，則的值為（　　）
A． B．1 C．0 D．
【變式14-3】若，且，則實數的值為 .
【變式14-4】對于，將n表示為，當時，.當時，為0或1.記為上述表示中為0的個數，（例如，，故，）.若，則 .
【變式14-5】已知等差數列，對任意都有成立，則數列的前項和 ．
【變式14-6】設是正整數，化簡 .
題型十五：楊輝三角
【典例15-1】如圖所示的“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．記“楊輝三角”第行的第個數為，則 ．
【典例15-2】如圖是我國古代著名數學家楊輝在《詳解九章算術》給出的一個用數排列起來的三角形陣，請通過觀察圖象發現遞推規律，并計算從第三行到第十五行中，每行的第三位數字的總和為 .
【變式15-1】我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數列，則 ；若數列的前項和為，則 .
【變式15-2】在“楊輝三角”中，每一個數都是它“肩上”兩個數的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第 行會出現三個相鄰的數，其比為2:3:4.

【變式15-3】如圖所示的梯形數陣中，第行第個數的值為

【變式15-4】我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就．在“楊輝三角”中，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記作數列，若數列的前n項和為，則 ．
1．（2024年北京高考數學真題）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年新高考北京數學高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
3．（2024年上海市1月春考數學試題） 展開式中的系數為 .

(1)在上述發展過程中，無論是推廣還是證明，都是從特殊到一般，如今，數學研究的一個發展趨勢就是盡可能地一般化．請你試一試，從推廣到（m，）．
(2)請你查閱相關資料，細化上述歷程中的某段過程，例如從3次到n次，從二項到m項等，說說數學家是如何發現問題和解決問題的．
易錯點：混淆項的系數與二項式系數
易錯分析：項的系數與二項式系數雖然相關，但概念不同。項的系數是二項式系數與其他數字因數的積，而二項式系數僅與二項式的冪的指數和項數有關。在解題時，需仔細區分這兩者，避免出錯。
【易錯題1】的展開式中含的項的二項式系數是 （用數字作答）.
【易錯題2】的展開式的二項式系數的和等于64，則展開式中含有項的系數為 .
答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數
1、模板解決思路
在求解二項展開式中的特定項或項的系數時，關鍵在于首先寫出二項展開式的通項公式。然后，根據題目給出的條件，我們可以設立一個方程來找到滿足條件的k值。這里，k代表二項展開式中項的序號，其取值范圍是0到n。一旦找到k，我們就可以將其代回通項公式，從而求解出所需的項或項的系數。
2、模板解決步驟
第一步：根據二項式定理寫出二項展開式的通項，并化簡.
第二步：根據已知條件，列出方程并求解.
第三步：代回二項展開式的通項，求出特定項或項的系數.
【經典例題1】若的展開式中的系數為 ．（用數字作答）
【經典例題2】展開式中常數項為 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑