資源簡介

第01講 計數原理
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：分類加法計數原理 4
知識點2：分步乘法計數原理 4
知識點3：兩個計數原理的綜合應用 5
題型一：分類加法計數原理的應用 5
題型二：分步乘法計數原理的應用 6
題型三：兩個計數原理的綜合應用 7
04真題練習·命題洞見 8
05課本典例·高考素材 9
06易錯分析·答題模板 11
易錯點：對兩種計數原理的概念理解不夠深刻 11
答題模板：計數原理的應用 12
考點要求 考題統計 考情分析
（1）分類加法計數原理 （2）分步乘法計數原理 2020年上海卷第10題，5分 2016年上海卷第8題，3分 今后在本節的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當．
復習目標： （1）理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理． （2）會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．
知識點1：分類加法計數原理
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
【診斷自測】4．已知 A，B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有（ ）
A．24種 B．70種 C．48種 D．50種
知識點2：分步乘法計數原理
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
注意：兩個原理及其區別
分類加法計數原理和“分類”有關，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分類加法計數原理．
分步乘法計數原理和“分步”有關，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個步驟，而且這幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這個步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分步乘法計數原理．
當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數原理或分步計數原理，有時可能同時用到兩個計數原理．即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數可能會采取分類的思想求方法數．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法．
【診斷自測】14．如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發光時，一共可以有（ ）種燈光組合.
A． B． C． D．
知識點3：兩個計數原理的綜合應用
如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理．
【診斷自測】1．用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
題型一：分類加法計數原理的應用
【典例1-1】（2024·高三·江蘇南通·開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學生會任職，女生人數不多于男生人數，那么不同的選法種數有（ ）種.
A．23 B．22 C．24 D．26
【方法技巧】
分類標準的選擇
（1）應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．根據題目特點恰當選擇一個分類標準．
（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏．
【變式1-1】（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E 5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數共有（ ）
A．36種 B．42種 C．48種 D．60種
【變式1-2】在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字的共有（ ）個
A．44 B．45 C．54 D．55
【變式1-3】紅黃藍三種不同顏色的小球各兩個，分別放置在正八面體的6個頂點上，共有幾種不同的放置方法（ ）
A．7 B．8 C．4 D．5
【變式1-4】定義“各位數字之和為8的三位數叫幸運數”，比如116，431，則所有幸運數的個數為（ ）
A．18 B．21 C．35 D．36
【變式1-5】某校高中三年級一班有優秀團員8人，二班有優秀團員10人，三班有優秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地．推選1名優秀團員為總負責人，不同的選法種數是（ ）
A．480 B．24 C．14 D．18
【變式1-6】書架上有10 本不同的自然科學圖書和9本不同的社會科學圖書，甲同學想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（ ）
A．9種 B．10種 C．19種 D．90種
題型二：分步乘法計數原理的應用
【典例2-1】（2024·云南大理·模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4個同學順序不變，不同的方法共有（ ）種
A．10 B．20 C．30 D．60
【典例2-2】編號為1，2，3，4的四位同學參觀某博物館，該博物館共有編號為1，2，3，4的四個門，若規定編號為1，2，3，4的四位同學進入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位同學用不同的方式進入博物館的方法種數為（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256
【方法技巧】
利用分步乘法計數原理解題的策略
（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．
（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
【變式2-1】已知乘積展開后共有60項，則的值為（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
【變式2-2】（2024·高三·江蘇徐州·開學考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（ ）
A．18種 B．48種 C．108種 D．192種
【變式2-3】某農學院計劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實驗田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實驗田中，其他三塊實驗田選種水稻品種，則不同種法有（ ）
1 2 3 4 5
A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種
【變式2-4】（2024·高三·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創造力的培養．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個側面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側棱用同一種顏色，且在積木的6個面中，除側棱的顏色相同外，則染法總數為（ ）
A．216 B．360 C．720 D．1080
【變式2-5】（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，，則滿足方程的解的個數為（ ）
A． B． C． D．
題型三：兩個計數原理的綜合應用
【典例3-1】（2024·高三·全國·自主招生）展開式共 項.
【典例3-2】（2024·高三·上海·開學考試）若從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是 .
【方法技巧】
利用兩個計數原理解題時的三個注意點
（1）當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．
（2）分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．
（3）對于復雜問題，一般是先分類再分步．
【變式3-1】用，，，，，這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第個數是 ．
【變式3-2】（2024·高三·上海·開學考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數函數，對數函數，冪函數中至少有兩個函數在上嚴格增函數的有序數對的個數是
【變式3-3】從六個數字中選5個數字組成的無重復數字的五位偶數，且3不在百位，共有 種．
【變式3-4】如圖，一只螞蟻位于點M處，去搬運位于N處的糖塊，的最短路線有 條．
1．（2006 年普通高等學校招生考試數學（文）試題（上海卷））如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
2．（2007年普通高等學校招生考試數學（文）試題（大綱卷Ⅱ））5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．25種 D．32種
3．（2006年普通高等學校春季招生考試數學試題（上海卷））電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式 .（結果用數值表示）
1．2160有多少個不同的正因數？
2．在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現同一人連續值班2天，有多少種可能的安排方法？
易錯點：對兩種計數原理的概念理解不夠深刻
易錯分析：對分類加法計數原理和分步乘法計數原理的理解不夠深刻導致錯誤.
【易錯題1】某校計劃在五四青年節期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（ ）
A．80種 B．90種 C．100種 D．120種
【易錯題2】有6名男醫生、5名女醫生，從中選出3名醫生組成一個醫療小組，且醫療小組中男、女醫生都要有，則不同的選法共有（ ）
A．135種 B．150種 C．165種 D．270種
答題模板：計數原理的應用
1、模板解決思路
在解決計數原理相關的應用問題時，首要步驟是進行深入的分析，明確在計算之前是需要進行分類討論還是分步操作.分類時必須確保每一類別獨立且完整，無重疊也無遺漏；分步時則需保證每個步驟的連貫性和完整性.隨后，根據問題的具體需求，選擇恰當的計數原理來進行計算，以確定總的方法數或可能性.
2、模板解決步驟
(1)分類加法計數原理
第一步：將完成一件事情的方案分成若干類.
第二步：求出每一類的方法數.
第三步：將每一類的方法數相加得到結果.
(2)分步乘法計數原理
第一步：將完成一件事的過程分成若干步.
第二步：求出每一步的方法數.
第三步：將每一步的方法數相乘得到結果.
【經典例題1】用這六個數字，可以排成沒有重復數字的三位偶數的個數為 （用數字作答）
【經典例題2】已知均為集合中的元素，則對應的所有可能的直線有 條．
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01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：分類加法計數原理 4
知識點2：分步乘法計數原理 4
知識點3：兩個計數原理的綜合應用 6
題型一：分類加法計數原理的應用 6
題型二：分步乘法計數原理的應用 9
題型三：兩個計數原理的綜合應用 11
04真題練習·命題洞見 15
05課本典例·高考素材 16
06易錯分析·答題模板 17
易錯點：對兩種計數原理的概念理解不夠深刻 17
答題模板：計數原理的應用 18
考點要求 考題統計 考情分析
（1）分類加法計數原理 （2）分步乘法計數原理 2020年上海卷第10題，5分 2016年上海卷第8題，3分 今后在本節的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當．
復習目標： （1）理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理． （2）會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．
知識點1：分類加法計數原理
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
【診斷自測】4．已知 A，B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有（ ）
A．24種 B．70種 C．48種 D．50種
【答案】D
【解析】根據題意，分三種情況：
①A公司承包2項工程，剩余4項工程B公司承包，則有種方式，
②A公司承包3項工程，剩余3項工程B公司承包，則有種方式，
③A公司承包4項工程，剩余2項工程B公司承包，則有種方式，
所以承包方式共有種方式.
故選：D
知識點2：分步乘法計數原理
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
注意：兩個原理及其區別
分類加法計數原理和“分類”有關，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分類加法計數原理．
分步乘法計數原理和“分步”有關，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個步驟，而且這幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這個步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數時，就用分步乘法計數原理．
當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數原理或分步計數原理，有時可能同時用到兩個計數原理．即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數可能會采取分類的思想求方法數．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法．
【診斷自測】14．如圖，無人機光影秀中，有架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發出種不同顏色的光，至號的無人機顏色必須相同，、號無人機顏色必須相同，號無人機與其他無人機顏色均不相同，則這架無人機同時發光時，一共可以有（ ）種燈光組合.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據題意可知，至號的無人機顏色有4種選擇；
當、號無人機顏色與至號的無人機顏色相同時，號無人機顏色有3種選擇；
當、號無人機顏色與至號的無人機顏色不同時，、號無人機顏色有3種選擇，號無人機顏色有2種選擇；
再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得共有種.
故選：D
知識點3：兩個計數原理的綜合應用
如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理．
【診斷自測】1．用數字，，，，，組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，這三位數是偶數，則說明其個位數為偶數，即0，2，4，有3種選擇，
而由于這是一個三位數，所以百位數不能是0，有5種選擇，因為存在重復數字，由此分類討論:
①當個位數為0時，則百位數有5種選擇，十位數有兩種情況，
與百位數一樣，只有一種選擇，
與個位數一樣，也只有一種選擇;
②當個位數為2時，
如果百位數為2，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為2，則百位數有4種選擇，此時十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇:
當個位數為4時，
如果百位數為4，則十位數有6種選擇，
如果百位數不為4，則百位數有4種選擇，十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇
綜上所述，.
故選：B.
題型一：分類加法計數原理的應用
【典例1-1】（2024·高三·江蘇南通·開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
【答案】D
【解析】若兩人所選影片均不同，此時小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，
小華從剩余的3部中選擇兩部，此時共有種方案，
若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，
若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，
再給小華從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，
綜上，共有種方案.
故選：D
【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學生會任職，女生人數不多于男生人數，那么不同的選法種數有（ ）種.
A．23 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【解析】由題意知，選取的3人中女生人數不多于男生人數，包括2男1女和3男0女兩種情況.
若3人中有2男1女，則不同的選法共有（種）；
若3人中有3男0女，則不同的選法共有（種）.
根據分類計數原理，所有不同的選法共有（種）.
故選：B
【方法技巧】
分類標準的選擇
（1）應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．根據題目特點恰當選擇一個分類標準．
（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏．
【變式1-1】（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E 5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數共有（ ）
A．36種 B．42種 C．48種 D．60種
【答案】B
【解析】①A校去乙地有種；
②A校與另一所學校去丙地有種，
③A校單獨去丙地有種，
所以共有種，
故選：B．
【變式1-2】在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字的共有（ ）個
A．44 B．45 C．54 D．55
【答案】B
【解析】對于一個兩位數，個位上的數字能取的值分別為：0~9之間的任意一個數字，
十位上的數字能取的值為：1~9之間的任意一個數字，
為使個位上的數字小于十位上的數字，
當個位上的數字是0時，十位上的數字可以取1~9之間的任意一個數字，共9種情況；
當個位上的數字不是0時，只需從1~9之間任取兩個數字，
較大的數字當做十位上的數字即可，此時共有.
故滿足題意的兩位數共有個.
故選：B
【變式1-3】紅黃藍三種不同顏色的小球各兩個，分別放置在正八面體的6個頂點上，共有幾種不同的放置方法（ ）
A．7 B．8 C．4 D．5
【答案】D
【解析】如圖，用對角線線段代表正八面體的6個頂點上小球及顏色，
所以共五種.
故選：D.
【變式1-4】定義“各位數字之和為8的三位數叫幸運數”，比如116，431，則所有幸運數的個數為（ ）
A．18 B．21 C．35 D．36
【答案】D
【解析】按照百位數字進行分類討論：
當百位數是1，后兩位相加為7，有8種；當百位數是2，后兩位相加為6，有7種；
當百位數是3，后兩位相加為5，有6種；當百位數是4，后兩位相加為4，有5種；
當百位數是5，后兩位相加為3，有4種；當百位數是6，后兩位相加為2，有3種；
當百位數是7，后兩位相加為1，有2種；當百位數是8，后兩位相加為0，有1種；
總共有種.
故選：D.
【變式1-5】某校高中三年級一班有優秀團員8人，二班有優秀團員10人，三班有優秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地．推選1名優秀團員為總負責人，不同的選法種數是（ ）
A．480 B．24 C．14 D．18
【答案】B
【解析】采用分類計數原理，有種方法.
故選：B
【變式1-6】書架上有10 本不同的自然科學圖書和9本不同的社會科學圖書，甲同學想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（ ）
A．9種 B．10種 C．19種 D．90種
【答案】C
【解析】由分類加法計數原理知，不同的選法種數為.
故選 C.
題型二：分步乘法計數原理的應用
【典例2-1】（2024·云南大理·模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4個同學順序不變，不同的方法共有（ ）種
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【解析】4個同學站成一排有5個空，甲加入排列有5種情況，隊列變成5個人有6個空，乙加入排列有6種情況，
由分步計數原理得，共有種不同的方法.
故選：C
【典例2-2】編號為1，2，3，4的四位同學參觀某博物館，該博物館共有編號為1，2，3，4的四個門，若規定編號為1，2，3，4的四位同學進入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位同學用不同的方式進入博物館的方法種數為（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256
【答案】C
【解析】因不能走與自己編號相同的門，安排編號為1的同學進入博物館有3種選法；
同理編號為2，3，4的同學進入博物館各有3種方法，
由分步乘法計數原理，共有種方法．故C正確.
故選：C.
【方法技巧】
利用分步乘法計數原理解題的策略
（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．
（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．
【變式2-1】已知乘積展開后共有60項，則的值為（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
【答案】C
【解析】根據多項式的乘法法則，展開后的項數為，
所以．
故選：C.
【變式2-2】（2024·高三·江蘇徐州·開學考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（ ）
A．18種 B．48種 C．108種 D．192種
【答案】D
【解析】因甲不去北京，應該分步完成：
第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；
第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有中選法；
由分步乘法計數原理，可得不同選法有：種．
故選：D．
【變式2-3】某農學院計劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實驗田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實驗田中，其他三塊實驗田選種水稻品種，則不同種法有（ ）
1 2 3 4 5
A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種
【答案】C
【解析】由題得相鄰兩塊實驗田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類；
第一類在1和2上種植小麥，“1”有7種選擇，“2”有6種選擇，剩下3塊實驗田種植水稻，
分別有種選擇，所以共計種；
第二、三、四類和第一類種數相同．綜上總計有種方法．
故選：C.
【變式2-4】（2024·高三·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創造力的培養．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個側面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側棱用同一種顏色，且在積木的6個面中，除側棱的顏色相同外，則染法總數為（ ）
A．216 B．360 C．720 D．1080
【答案】D
【解析】根據題意，如圖：
分3步進行分析：
①要求側棱用同一種顏色，則側棱有5種選色的方法，
②對于上底，有4種顏色可選，則有，
③對于下底，每條邊與上底和側棱的顏色不同，有種選法，
則共有種選法．
故選：D．
【變式2-5】（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，，則滿足方程的解的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題設，得，
又，其中都為質數，
所以，
因為x，，所以可能為，，，
所以的取值個數為，
方程的整數解的個數為．
故選：B．
題型三：兩個計數原理的綜合應用
【典例3-1】（2024·高三·全國·自主招生）展開式共 項.
【答案】286
【解析】可以看作10個相同的小盒子，每個盒子里都4個不同的數，
展開式的每一項都是從10個盒子里取一個數，然后相乘構成的，
若選一個數，能構成不同的項種，
若選2個數，先選2個數有種選法，然后把10個盒子分給這2個數，利用隔板法可得分法為種，故能構成不同的項種，
若選3個數，同理可知能構成不同的項種，
若選4個數，可構成不同的項種，
由分類加法計數原理可得，共有種，
故答案為：286
【典例3-2】（2024·高三·上海·開學考試）若從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是 .
【答案】180
【解析】根據題意，可將四位數分成兩類：
第一類，數字0被取到，則可從2，4中任選一個，再從1，3，5中任選兩個，
接著從除0外的另外三個數中取一個排在首位，剩下的在三個數位上全排，
此時共有個四位數；
第二類，數字0沒被取到，故2，4全被取到，只需從1，3，5中任選兩個，
再與2，4共4個數字在四個數位上全排，此時共有個四位數.
根據分類加法計數原理，不同的四位數的個數是.
故答案為：180.
【方法技巧】
利用兩個計數原理解題時的三個注意點
（1）當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．
（2）分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．
（3）對于復雜問題，一般是先分類再分步．
【變式3-1】用，，，，，這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第個數是 ．
【答案】
【解析】①千位為，個位為，有個；
②千位為，個位為，有個；
③千位為，個位為，有個；
④千位為，個位為，有個；
⑤千位為，個位為，有個；
⑥千位為，百位為，個位為（或），各有個．共個．
接下來有,,,,，，第個數是．
故答案為：3140.
【變式3-2】（2024·高三·上海·開學考試）已知集合，若且互不相等，則使得指數函數，對數函數，冪函數中至少有兩個函數在上嚴格增函數的有序數對的個數是
【答案】24
【解析】由題意可知，滿足指數函數且，
對數函數且的取值只有4個，分別為；
而使它們在上嚴格增函數的取值都只有兩個，分別是；
而滿足冪函數的的取值有6個（全部），
使得冪函數在上是嚴格增函數的取值有4個，即；
由于且互不相等，有三種情況：
第一種：指數函數，對數函數在上是嚴格增函數，
而冪函數不滿足，共有種；
第二種：指數函數，冪函數在上是嚴格增函數，
而對數函數不滿足，共有種；
第三種：對數函數，冪函數在上是嚴格增函數，
而指數函數不滿足，共有種；
第四種：三個函數在上都是嚴格增函數，共有種；
利用分類加法計數原理可得共有種；
故答案為：24
【變式3-3】從六個數字中選5個數字組成的無重復數字的五位偶數，且3不在百位，共有 種．
【答案】
【解析】第一種情況，5個數字沒有3時，
0在個位有種方法，
0不在個位有種方法，
共種方法，
第二種情況，有3無0，有種方法，
第三種情況，有3無2，
個位排0，有種方法，
個位不排0，3排首位有種方法，
個位不排0，3不排首位，有種方法，
共有種方法，
第四種情況，有3無4，這種情況和有3無2一樣，所以也有種方法，
第五種情況，有3無1，
個位排0，有種方法，
個位不排0，3排首位有種方法，
個位不排0，3不排首位，有種方法，
所以共有種方法，
第六種情況，有3無5，和有3無1的情況一樣，所以也是46種情況，
綜上可知，共有種方法.
故答案為：
【變式3-4】如圖，一只螞蟻位于點M處，去搬運位于N處的糖塊，的最短路線有 條．
【答案】150
【解析】由題可知，的最短路線必經過兩點，
則的最短路線有種，的最短路線有種；
的最短路線有種，的最短路線有種；
因為的最短路線有和，
所以的最短路線有種，
故答案為：150．
1．（2006 年普通高等學校招生考試數學（文）試題（上海卷））如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【解析】正方體的兩個頂點確定的直線有棱、面對角線、體對角線，
對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有（個）；
對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個，
不存在四個頂點確定的平面與體對角線垂直，
所以正方體中“正交線面對”共有（個）.
故選：D
2．（2007年普通高等學校招生考試數學（文）試題（大綱卷Ⅱ））5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．25種 D．32種
【答案】D
【解析】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.
故選：D
3．（2006年普通高等學校春季招生考試數學試題（上海卷））電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式 .（結果用數值表示）
【答案】48
【解析】由題意，可分步進行，
第一步，安排公益廣告，不同的安排方式有種，
第二步，安排商業廣告，不同的安排方式有種，
故總的不同安排方式有種，
故答案為：48
1．2160有多少個不同的正因數？
【解析】由題意，，
則2160的正因數，
因為可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；
所以2160有個不同的正因數.
2．在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現同一人連續值班2天，有多少種可能的安排方法？
【解析】第一天，每個人均可選，有7種選法；
從第二天至第七天，選出的人只需與前一天不同即可，均有6種選法；
所以符合題意的安排方法共有種.
3．口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現從中取出2個球.
（1）正好是白球、紅球各一個的取法有多少種？
（2）正好是兩個白球的取法有多少種？
（3）至少有一個白球的取法有多少種？
（4）兩球的顏色相同的取法有多少種？
【解析】（1）取出1個白球，有8種取法；取出1個紅球，有10種取法；
所以取出兩個球正好是白球、紅球各一個的取法有種；
（2）取出兩個球正好是兩個白球的取法有種；
（3）至少有一個白球分為白球、紅球各一個和兩個全是白球，共有種取法；
（4）兩球的顏色相同分為兩球全是白球和兩球全是紅球，
兩球全是紅球的選法有種，
所以兩球的顏色相同的取法有種.
4．（1）從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學，每人一件，有多少種不同的送法？
（2）有5個編了號的抽屜，要放進3本不同的書，不同的放法有多少種？（一個抽屜可放多本書）．
【解析】（1）從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學，每人一件，則共有種方法；
（2）有5個編了號的抽屜，要放進3本不同的書，因為一個抽屜可放多本書，
①三本書都放入一個抽屜，則只需要一個抽屜，有（種）
②三本書放入兩個抽屜，一個抽屜1本，一個抽屜2本，首先從三本書中選出兩本書有種，再兩份書放到2個抽屜中有種，按照分步乘法計數原理可得有（種）
【答案】A
【解析】不同的選法種數中，1男2女的選法有：種；
2男1女的選法種數有：種.
所以共有選法：種.
故選：A
答題模板：計數原理的應用
1、模板解決思路
在解決計數原理相關的應用問題時，首要步驟是進行深入的分析，明確在計算之前是需要進行分類討論還是分步操作.分類時必須確保每一類別獨立且完整，無重疊也無遺漏；分步時則需保證每個步驟的連貫性和完整性.隨后，根據問題的具體需求，選擇恰當的計數原理來進行計算，以確定總的方法數或可能性.
2、模板解決步驟
(1)分類加法計數原理
第一步：將完成一件事情的方案分成若干類.
第二步：求出每一類的方法數.
第三步：將每一類的方法數相加得到結果.
(2)分步乘法計數原理
第一步：將完成一件事的過程分成若干步.
第二步：求出每一步的方法數.
第三步：將每一步的方法數相乘得到結果.
【經典例題1】用這六個數字，可以排成沒有重復數字的三位偶數的個數為 （用數字作答）
【答案】60
【解析】最后一位數是偶數有：“2”，“4”，“6”，共3種選擇，
然后從剩下的五個數中選兩個數進行排列，
故所求為.
故答案為：60.
【經典例題2】已知均為集合中的元素，則對應的所有可能的直線有 條．
【答案】13
【解析】第一類：當取值相同時，，表示1條直線；
第二類：當取值不同時，分兩步：第一步，排分母，有4種情況，
第二步，排分子，有3種情況，共計12種情況，且值都不相等，
所以所有可能的直線有條．
故答案為：
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