資源簡介

第07講 離散型隨機變量及其分布列、數字特征
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：離散型隨機變量的分布列 4
知識點2：離散型隨機變量的均值與方差 5
題型一：離散型隨機變量 7
題型二：求離散型隨機變量的分布列 8
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質 9
題型四：離散型隨機變量的均值 10
題型五：離散型隨機變量的方差 12
題型六：決策問題 15
04真題練習·命題洞見 19
05課本典例·高考素材 20
06易錯分析·答題模板 21
易錯點：隨機變量分布列的性質用錯 21
答題模板：求離散型隨機變量的分布列及數字特征 22
考點要求 考題統計 考情分析
（1）離散型隨機變量的分布列 （2）離散型隨機變量的均值與方差 2024年II卷第18題，17分 2023年I卷第21題，12分 2023年甲卷（理）第19題，12分 2023年上海卷第19題，14分 2023年北京卷第18題，13分 從近五年的全國卷的考查情況來看，本節是高考的熱點，特別是解答題中，更是經常出現．隨著計算機技術和人工智能的發展，概率統計逐步成為應用最廣泛的數學內容之一．這部分內容作為高考數學的主干內容之一，會越來越受到重視．主要以應用題的方式出現，多與經濟、生活實際相聯系，需要在復雜的題目描述中找出數量關系，建立數學模型，并且運用數學模型解決實際問題．
復習目標： （1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念． （2）理解并會求離散型隨機變量的數字特征．
知識點1：離散型隨機變量的分布列
1、隨機變量
在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現哪個結果．這種試驗就是隨機試驗．
（2）有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，是常數，則也是隨機變量．
2、離散型隨機變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．
（2）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：①如果隨機變量的可能取值是某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量；②離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不能一一列出．
3、離散型隨機變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1），；（2）．
注意：
①性質（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數．
②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
【診斷自測】（多選題）已知隨機變量的分布列如下表：
-1 0 1 2
若，則（ ）
A． B． C． D．
知識點2：離散型隨機變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；
（2）根據均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現象的規律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．
2、均值的性質
（1）（為常數）．
（2）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨立，則．
3、方差
若離散型隨機變量的分布列為
則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；
（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．
4、方差的性質
（1）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（2）方差公式的變形：．
【診斷自測】2024年7月26日第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎開幕，為了保證奧運賽事的順利組織和運行，以及做好文化交流、信息咨詢、觀眾引導等多方面的工作，每項比賽都需要若干名志愿者參加服務，每名志愿者可服務多個項目.8月7日100米跨欄、200米、400米、800米、1500米、5000米比賽在法蘭西體育場舉行.
(1)志愿者湯姆可以在以上6個項目中選擇3個參加服務，求湯姆在選擇200米服務的條件下，選擇1500米服務的概率；
(2)為了調查志愿者參加服務的情況，從僅參加1個項目的志愿者中抽取了10名同學，其中6名參加5000米服務，4名參加800米服務.現從這10名同學中再選3名同學做進一步調查.將其中參加800米服務的人數記作，求隨機變量的分布列和數學期望.
題型一：離散型隨機變量
【典例1-1】一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機變量可能為（ ）
A．所取球的個數
B．其中含紅球的個數
C．所取白球與紅球的總數
D．袋中球的總數
【典例1-2】一串鑰匙有6把，只有一把能打開鎖，依次試驗，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗次數的可能取值為（ ）
A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5
【方法技巧】
離散型隨機變量判斷方法總結：關鍵在于隨機變量的所有取值是否可以一一列出。若隨機變量取值有限個或可列無窮多個，則為離散型隨機變量.
【變式1-1】在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個問題的總得分的所有可能取值的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】下面給出四個隨機變量：
①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；
②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；
③某派出所一天內接到的報警電話次數；
④某同學上學路上離開家的距離．
其中是離散型隨機變量的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-3】某袋中裝有大小相同的10個紅球，5個黑球．每次隨機抽取1個球，若取到黑球，則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止，若抽取的次數為X，則表示“放回5個球”的事件為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-4】袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（ ）
A．取到的球的個數 B．取到紅球的個數
C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率
【變式1-5】某商場進行有獎促銷活動，滿500元可以參與一次擲飛鏢游戲.每次游戲可擲7只飛鏢，采取積分制，擲中靶盤，得1分，不中得0分，連續擲中2次額外加1分，連續擲中3次額外加2分，以此類推，連續擲中7次額外加6分.小明購物滿500元，參加了一次游戲，則小明在此次游戲中得分的可能取值有（ ）種
A．10 B．11 C．13 D．14
題型二：求離散型隨機變量的分布列
【典例2-1】數字1，2，3，4任意排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數的分布列 ．
【典例2-2】假如一段樓梯有11個臺階，現規定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數的分布列是 ．
【方法技巧】
求解離散型隨機變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計算
計算隨機變量取每一個值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗概率之和是否為.
（4）求解
根據均值、方差公式求解其值.
【變式2-1】一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的分布列是 ．
【變式2-2】將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數記為X，則X的分布列是 ．
【變式2-3】甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．則比賽停止時已打局數的分布列是 ．
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質
【典例3-1】已知隨機變量的概率分布為，則 .
【典例3-2】設隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
則 ．
【方法技巧】
離散型隨機變量的分布列性質的應用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關參數的取值范圍或值；
（2）利用“隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據性質及，判斷所求的分布列是否正確．
【變式3-1】設隨機變量的分布為，則 ．
【變式3-2】設隨機變量的概率分布列為
0 1
則常數 ．
【變式3-3】設隨機變量的分布列如下：
1 2 3 4 5
①；
②當時，；
③若為等差數列，則；
④的通項公式可能為．
其由所有正確命題的序號是 ．
【變式3-4】（2024·高三·江蘇·期末）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是 .
0 1
0 1
題型四：離散型隨機變量的均值
【典例4-1】（2024·高三·上海·單元測試）已知集合，，從集合中任取3個不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則隨機變量的期望為 ．
【典例4-2】口袋中裝有兩個紅球和三個白球，從中任取兩個球，用X表示取出的兩個球中白球的個數，則X的數學期望 .
【方法技巧】
計算各可能取值與其概率的乘積之和。
【變式4-1】如圖，一個質點在隨機外力作用下，從原點O處出發，每次等可能地向左或者向右移動一個單位.

(1)求質點移動5次后移動到1的位置的概率；
(2)設移動5次中向右移動的次數為X，求X的分布列和期望.
【變式4-2】（2024·高三·四川成都·開學考試）甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結果相互獨立．若比賽最多進行5局，則比賽結束時比賽局數的期望的最大值為 ．
【變式4-3】（2024·湖北·模擬預測）如圖：一張的棋盤，橫行編號：豎排編號.一顆棋子目前位于棋盤的處，它的移動規則是：每次移動到與自身所在格不相鄰的異色格中.例如該棋子第一次移動可以從移動到或.棋子每次移動到不同目的地間的概率均為.

(1)①列舉兩次移動后，該棋子所有可能的位置.
②假設棋子兩次移動后，最終停留到第1，2，3行時，分別能獲得分，設得分為，求的分布列和數學期望.
(2)現在于棋盤左下角處加入一顆棋子，他們運動規則相同，并且每次移動同時行動.移動次后，兩棋子位于同一格的概率為，求的通項公式.
【變式4-4】（2024·高三·江蘇·開學考試）足球比賽積分規則為：球隊勝一場積分，平一場積分，負一場積分．常州龍城足球隊年月將迎來主場與隊和客場與隊的兩場比賽．根據前期比賽成績，常州龍城隊主場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為；客場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為，且兩場比賽結果相互獨立．
(1)求常州龍城隊月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率；
(2)用表示常州龍城隊月與隊和隊比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．
【變式4-5】不透明的盒子中裝有大小質地相同的4個紅球、2個白球，每次從盒子中摸出一個小球，若摸到紅球得1分，并放回盒子中搖勻繼續摸球；若摸到白球，則得2分且游戲結束．摸球次后游戲結束的概率記為，則 ；游戲結束后，總得分記為，則的數學期望 ．
題型五：離散型隨機變量的方差
【典例5-1】某種種子每粒發芽的概率都為，現播種了粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種粒，補種的種子數記為，則的方差為 ．
【典例5-2】（2024·上海浦東新·三模）一袋中裝有大小與質地相同的2個白球和3個黑球，從中不放回地摸出2個球，記2球中白球的個數為X，則 .
【方法技巧】
均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
【變式5-1】（2024·河南鄭州·模擬預測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．
(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．
【變式5-2】（2024·湖北·模擬預測）某農戶購入一批種子，已知每粒種子發芽的概率均為0.9，總共種下n粒種子，其中發芽種子的數量為X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：設隨機變量X的期望為，方差為，則對任意均有，切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布末知的情況下，對事件的概率作出估計．
①當隨機變量X為離散型隨機變量，證明切比雪夫不等式（可以直接證明，也可以用下面的馬爾科夫不等式來證明切比雪夫不等式）；
②為了至少有的把握使種子的發芽率落在區間，請利用切比雪夫不等式估計農戶種下種子數的最小值．
注：馬爾科夫不等式為：設X為一個非負隨機變量，其數學期望為，則對任意，均有．
【變式5-3】（2024·浙江溫州·模擬預測）某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個數為 .若記取出3個球中黑球的個數為，則 .
【變式5-4】（2024·廣東·模擬預測）設離散型隨機變量X，Y的取值分別為，．定義X關于事件“”的條件數學期望為：．已知條件數學期望滿足全期望公式：．解決如下問題：
為了研究某藥物對于微生物A生存狀況的影響，某實驗室計劃進行生物實驗．在第1天上午，實驗人員向培養皿中加入10個A的個體．從第1天開始，實驗人員在每天下午向培養皿中加入該種藥物．當加入藥物時，A的每個個體立即以相等的概率隨機產生1次如下的生理反應（設A的每個個體在當天的其他時刻均不發生變化，不同個體的生理反應相互獨立）：
①直接死亡；②分裂為2個個體．
設第n天上午培養皿中A的個體數量為．規定，．
(1)求；
(2)求；
(3)已知，證明：隨著n的增大而增大．
【變式5-5】（2024·江蘇南京·二模）在三維空間中，單位立方體的頂點坐標可用三維坐標表示，其中.而在維空間中，以單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標，其中.現有如下定義：在維空間中，，兩點的曼哈頓距離為
(1)在3維單位立方體中任取兩個不同頂點，試求所取兩點的曼哈頓距離為1的概率；
(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離
（i）求出的分布列與期望；
（ii）證明：隨機變量的方差小于.
【變式5-6】（2024·山東·模擬預測）已知隨機變量，其中，隨機變量的分布列為
0 1 2
表中，則的最大值為 ．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當，且取最大值時， ．
題型六：決策問題
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現設置300萬元獎金，若甲在前3局中已經勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的，如果再繼續比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的，第4局甲失敗，甲拿走獎金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎金．
【典例6-2】（2024·河南·模擬預測）某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數據：
日銷售量/十盒 7 8 9 10
天數 8 12 16 4
假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規律保持不變，將頻率視為概率.
(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數為X（單位：十盒），求X的分布列和數學期望；
(2)以兩天內銷售草莓獲得利潤較大為決策依據，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？
【方法技巧】
均值與方差在決策中的應用
（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應用策略
①當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策.
【變式6-1】一個小型制冰廠有3臺同一型號的制冰設備，在一天內這3臺設備只要有一臺能正常工作，制冰廠就會有利潤，當3臺都無法正常工作時制冰廠就因停業而虧本（3臺設備相互獨立，3臺都正常工作時利潤最大）.每臺制冰設備的核心系統由3個同一型號的電子元件組成，3個元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當系統中有不少于的電子元件正常工作時，此臺制冰設備才能正常工作.
(1)當時，求一天內制冰廠不虧本的概率；
(2)若已知當前每臺設備能正常工作的概率為0.6，根據以往經驗可知，若制冰廠由于設備不能正常工作而停業一天，制冰廠將損失1萬元，為減少經濟損失，有以下兩種方案可供選擇參考：
方案1：更換3臺設備的部分零件，使每臺設備能正常工作的概率為0.85，更新費用共為600元.
方案2：對設備進行維護，使每臺設備能正常工作的概率為0.75，設備維護總費用為元.請從期望損失最小的角度判斷如何決策？
【變式6-2】貝葉斯公式中，稱為先驗概率，稱為后驗概率．先驗概率表達了對事件的初始判斷，當新的信息出現后，我們可以利用貝葉斯公式求出后驗概率，以此修正自己的判斷并校正決策．利用這種思想方法我們來解決如下一個實際問題．
某趣味抽獎活動準備了三個外觀相同的不透明箱子，已知三個箱子中分別裝有10個紅球、5個紅球5個白球、10個白球(球的大小、質地相同)．抽獎活動共設計了兩個輪次：
第一輪規則：抽獎者從三個箱子中隨機選擇一個箱子，并從該箱子中取出兩球（分兩次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的兩個球都是紅球則可以進入第二輪，否則抽獎活動結束(無獎金)．
第二輪規則：進入第二輪的抽獎者可以選擇三種抽獎方案．方案一：就此停止，并獲得獎金300元；方案二：繼續從第一輪抽取的箱子中再取一球，若為紅球則可獲得獎金400元，若為白球獎金變為0元；方案三：不再從第一輪抽取的箱子中取球，而是從另外兩個箱子中隨機選擇一個箱子，并從中取出一球，若為紅球則可獲得獎金800元，若為白球獎金變為80元．
(1)求抽獎者在第一次取出紅球的條件下，能進入第二輪的概率；
(2)在第二輪的三種抽獎方案中，從抽獎者獲得獎金的數學期望的角度，找出三種抽獎方案的最佳方案．
【變式6-3】（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標號為1，2，3的空心小球，球內裝有難度不同的謎語．每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標號為1，2，3的小球個數比為1：2：1，且取到異號球的概率為．
(1)求盒中2號球的個數；
(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）
球號 1號球 3號球
答對概率 0.8 0.5
獎金 100 500
【變式6-4】某種藥材的種植加工過程，受天氣、施肥、管理等因素影響，農民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.
(1)若在去年生產的藥材中隨機抽取4箱，設X為上等藥材的箱數，求X的分布列和數學期望；
(2)已知每箱藥材的利潤如表：
等級 上等藥材 中等藥材 普通藥材
利潤（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市場需求增加，某農戶計劃增加產量，且生產的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相應增加元，假設你為該農戶決策，你覺得目前應不應該增加產量？如果需要增加產量，增加多少箱最好？如果不需要增加產量，請說明理由.
1．（2018年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（新課標III卷））某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，，，則（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
3．（2022年新高考浙江數學高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則 ， ．
4．（2021年浙江省高考數學試題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
1．設，a是不等于的常數，探究X相對于的偏離程度與X相對于a的偏離程度的大小，并說明結論的意義．
2．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為：
甲品牌的走時誤差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
易錯點：隨機變量分布列的性質用錯
易錯分析：離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量的取值范圍及取每一個值時的概率。離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和. 一定要注意這一性質在解題中的應用.
【易錯題1】隨機變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【易錯題2】已知隨機變量ξ只能取三個值：，，，其概率依次成等差數列，則公差d的取值范圍是 .
答題模板：求離散型隨機變量的分布列及數字特征
1、模板解決思路
求離散型隨機變量的分布列及數字特征，關鍵是找出隨機變量X的所有可能取值，并明確每一個取值所表示的意義，然后進行相應的計算即可.
2、模板解決步驟
第一步：理解隨機變量X的意義，找出X的所有可能取值.
第二步：求出X取每一個值時的概率。
第三步：寫出X的分布列.
第四步：由均值或方差的定義求出均值或方差.
【經典例題1】袋子中裝有5個白球和3個紅球，現從袋子中不放回地摸取4個球，取到1個白球得2分，取到1個紅球得1分，設摸球所得分數之和為隨機變量．
(1)求摸球得分不低于6分的概率；
(2)求摸球所得分數之和的方差．
【經典例題2】國慶節前，某學校計劃選派部分優秀學生干部參加宣傳活動，報名參加的學生需進行測試，共設4道選擇題，規定必須答完所有題，且每答對一題得1分，答錯得0分，至少得3分才能成為宣傳員；甲、乙、丙三名同學報名參加測試，他們答對每道題的概率都為，且每個人答題相互不受影響．
(1)求甲、乙、丙三名同學恰有兩名同學成為宣傳員的概率；
(2)用隨機變量表示三名同學能夠成為宣傳員的人數，求的數學期望與方差．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第07講 離散型隨機變量及其分布列、數字特征
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：離散型隨機變量的分布列 4
知識點2：離散型隨機變量的均值與方差 5
題型一：離散型隨機變量 7
題型二：求離散型隨機變量的分布列 10
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質 14
題型四：離散型隨機變量的均值 17
題型五：離散型隨機變量的方差 24
題型六：決策問題 31
04真題練習·命題洞見 37
05課本典例·高考素材 39
06易錯分析·答題模板 42
易錯點：隨機變量分布列的性質用錯 42
答題模板：求離散型隨機變量的分布列及數字特征 44
考點要求 考題統計 考情分析
（1）離散型隨機變量的分布列 （2）離散型隨機變量的均值與方差 2024年II卷第18題，17分 2023年I卷第21題，12分 2023年甲卷（理）第19題，12分 2023年上海卷第19題，14分 2023年北京卷第18題，13分 從近五年的全國卷的考查情況來看，本節是高考的熱點，特別是解答題中，更是經常出現．隨著計算機技術和人工智能的發展，概率統計逐步成為應用最廣泛的數學內容之一．這部分內容作為高考數學的主干內容之一，會越來越受到重視．主要以應用題的方式出現，多與經濟、生活實際相聯系，需要在復雜的題目描述中找出數量關系，建立數學模型，并且運用數學模型解決實際問題．
復習目標： （1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念． （2）理解并會求離散型隨機變量的數字特征．
知識點1：離散型隨機變量的分布列
1、隨機變量
在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現哪個結果．這種試驗就是隨機試驗．
（2）有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，是常數，則也是隨機變量．
2、離散型隨機變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．
（2）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：①如果隨機變量的可能取值是某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量；②離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不能一一列出．
3、離散型隨機變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1），；（2）．
注意：
①性質（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數．
②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
【診斷自測】（多選題）已知隨機變量的分布列如下表：
-1 0 1 2
若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】依題意，，所以.
故選：AD
知識點2：離散型隨機變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；
（2）根據均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現象的規律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．
2、均值的性質
（1）（為常數）．
（2）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨立，則．
3、方差
若離散型隨機變量的分布列為
則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；
（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．
4、方差的性質
（1）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（2）方差公式的變形：．
【診斷自測】2024年7月26日第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎開幕，為了保證奧運賽事的順利組織和運行，以及做好文化交流、信息咨詢、觀眾引導等多方面的工作，每項比賽都需要若干名志愿者參加服務，每名志愿者可服務多個項目.8月7日100米跨欄、200米、400米、800米、1500米、5000米比賽在法蘭西體育場舉行.
(1)志愿者湯姆可以在以上6個項目中選擇3個參加服務，求湯姆在選擇200米服務的條件下，選擇1500米服務的概率；
(2)為了調查志愿者參加服務的情況，從僅參加1個項目的志愿者中抽取了10名同學，其中6名參加5000米服務，4名參加800米服務.現從這10名同學中再選3名同學做進一步調查.將其中參加800米服務的人數記作，求隨機變量的分布列和數學期望.
【解析】（1）設“湯姆選擇中有200米服務”為事件；“湯姆選擇中有1500米服務”為事件，
則，，
所以.
（2）的值可能為：0，1，2，3.
且，
，
，
.
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以.
題型一：離散型隨機變量
【典例1-1】一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機變量可能為（ ）
A．所取球的個數
B．其中含紅球的個數
C．所取白球與紅球的總數
D．袋中球的總數
【答案】B
【解析】對于A：所取球的個數為2個，是定值，故不是隨機變量，故選項A不正確；
對于B：從中任取2個其中含紅球的個數為是隨機變量，故選項B正確；
對于C：所取白球與紅球的總數為2個，是定值，故不是隨機變量，故選項C不正確；
對于D：袋中球的總數為7個，是定值，故不是隨機變量，故選項D不正確；
故選：B.
【典例1-2】一串鑰匙有6把，只有一把能打開鎖，依次試驗，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗次數的可能取值為（ ）
A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5
【答案】A
【解析】由試驗次數的含義可知，至少試驗一次才可能剛好打開，
如果第五次依然沒有打開，此時不管開鎖是否成功，那第六次將是最后一次開鎖試驗了.
所以的所有可能取值為：.
故選：A.
【方法技巧】
離散型隨機變量判斷方法總結：關鍵在于隨機變量的所有取值是否可以一一列出。若隨機變量取值有限個或可列無窮多個，則為離散型隨機變量.
【變式1-1】在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個問題的總得分的所有可能取值的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】依題意每題回答正確得分，回答不正確得分，
則選手甲回答這三個問題的總得分的可能取值為，，，共種情況.
故選：D
【變式1-2】下面給出四個隨機變量：
①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；
②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；
③某派出所一天內接到的報警電話次數；
④某同學上學路上離開家的距離．
其中是離散型隨機變量的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①，十分鐘內經過的車輛數可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；
對于②，沿軸進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；
對于③，一天內接到的報警電話次數可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；
對于④，某同學上學路上離開家的距離可為某一區間內的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，
所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．
故選：B．
【變式1-3】某袋中裝有大小相同的10個紅球，5個黑球．每次隨機抽取1個球，若取到黑球，則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止，若抽取的次數為X，則表示“放回5個球”的事件為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】第一次取到黑球，則放回1個球；第二次取到黑球，則放回2個球……共放了五回，第六次取到了紅球，試驗終止，故.
故選：C
【變式1-4】袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（ ）
A．取到的球的個數 B．取到紅球的個數
C．至少取到一個紅球 D．至少取到一個紅球的概率
【答案】B
【解析】選項A的取值是一個固定的數字，不具有隨機性，故A錯誤；
選項B取到紅球的個數是一個隨機變量，它的可能取值是0，1，2，故B正確；
選項C是一個事件而非隨機變量，故C錯誤；
選項D中一個事件的概率值是一個定值而非隨機變量，故D錯誤．
故選：B.
【變式1-5】某商場進行有獎促銷活動，滿500元可以參與一次擲飛鏢游戲.每次游戲可擲7只飛鏢，采取積分制，擲中靶盤，得1分，不中得0分，連續擲中2次額外加1分，連續擲中3次額外加2分，以此類推，連續擲中7次額外加6分.小明購物滿500元，參加了一次游戲，則小明在此次游戲中得分的可能取值有（ ）種
A．10 B．11 C．13 D．14
【答案】C
【解析】由題意得，我們知道所產生的不同得分的情況種數如下，
首先，我們把中記為，不中記為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
情況數為，此時得分為，
其它情況未產生其它得分情況，故省略，
故產生的不同得分的情況種數如下，共種.
故選：C
題型二：求離散型隨機變量的分布列
【典例2-1】數字1，2，3，4任意排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數的分布列 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】的可能取值是0、1、2、4，
，，
，．
的分布列為：
0 1 2 4
P
故答案為：
0 1 2 4
P
【典例2-2】假如一段樓梯有11個臺階，現規定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數的分布列是 ．
【答案】
1 3 5 7 9 11
P
【解析】據題意，的可能取值為1，3，5，7，9，11，
＝1時，還需走5個兩階，共六步走完，所以共有種不同的走法；
同理，＝3時，有種；＝5時，有種；＝7時，有種；
＝9時，有種；＝11時，有1種，
所以，走完這段樓梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144種不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
故答案為：
1 3 5 7 9 11
P
【方法技巧】
求解離散型隨機變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計算
計算隨機變量取每一個值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗概率之和是否為.
（4）求解
根據均值、方差公式求解其值.
【變式2-1】一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的分布列是 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】將這個小正方體拋擲1次，則向上的數為0的概率為；向上的數為1的概率為；向上的數為2的概率為．
將這個小正方體拋擲2次，向上的數之積可能為，
，，
，，
則的分布列是
0 1 2 4
P
故答案為：
0 1 2 4
P
【變式2-2】將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數記為X，則X的分布列是 ．
【答案】
X 1 2 3
P
【解析】由題意知X的可能取值為1，2，3
； ；
故答案為：
X 1 2 3
P
【變式2-3】甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．則比賽停止時已打局數的分布列是 ．
【答案】
2 3 4 5 6
P
【解析】分別記為甲、乙、丙在第局獲勝，則．
由已知，可取．
表示事件“甲連勝兩局”或“乙連勝兩局”，
所以．
表示事件“甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝丙勝”，
所以．
表示事件“甲勝丙勝乙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝甲勝”，
所以．
表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝甲勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝乙勝”，
所以．
表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝丙勝”或“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝甲勝”，
所以．
所以，的分布列是
2 3 4 5 6
P
．
故答案為：
2 3 4 5 6
P
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質
【典例3-1】已知隨機變量的概率分布為，則 .
【答案】
【解析】由概率之和為可得，
即，解得.
故答案為：.
【典例3-2】設隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
則 ．
【答案】
【解析】，.
故答案為：
【方法技巧】
離散型隨機變量的分布列性質的應用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關參數的取值范圍或值；
（2）利用“隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據性質及，判斷所求的分布列是否正確．
【變式3-1】設隨機變量的分布為，則 ．
【答案】/0.4/
【解析】由題意知，的分布為，
所以，解得，
所以，
故答案為：．
【變式3-2】設隨機變量的概率分布列為
0 1
則常數 ．
【答案】
【解析】由題意得且
所以，
解得．
故答案為：
【變式3-3】設隨機變量的分布列如下：
1 2 3 4 5
①；
②當時，；
③若為等差數列，則；
④的通項公式可能為．
其由所有正確命題的序號是 ．
【答案】①②③．
【解析】對于①，，
，
，故①正確；
對于②，當時，，故②正確；
對于③，若為等差數列，則，，故③正確；
對于④，當的通項公式為時，
，故④錯誤．
故答案為：①②③．
【變式3-4】（2024·高三·江蘇·期末）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是 .
0 1
0 1
【答案】
【解析】根據已知公式，
得，
，
令，開口向下，對稱軸為，
在上，，
則，
則，
故答案為：
題型四：離散型隨機變量的均值
【典例4-1】（2024·高三·上海·單元測試）已知集合，，從集合中任取3個不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則隨機變量的期望為 ．
【答案】/
【解析】由題意的所有可能取值為：1，2，，
的所有可能取值為：3，4，5，，
所以.
故答案為：.
【典例4-2】口袋中裝有兩個紅球和三個白球，從中任取兩個球，用X表示取出的兩個球中白球的個數，則X的數學期望 .
【答案】/
【解析】從袋中1次隨機摸出2個球，記白球的個數為X，則X的可能取值是0，1，2；
則，
，
，
隨機變量X的概率分布為；
X 0 1 2
P
所以數學期望.
故答案為：.
【方法技巧】
計算各可能取值與其概率的乘積之和。
【變式4-1】如圖，一個質點在隨機外力作用下，從原點O處出發，每次等可能地向左或者向右移動一個單位.

(1)求質點移動5次后移動到1的位置的概率；
(2)設移動5次中向右移動的次數為X，求X的分布列和期望.
【解析】（1）由題意，從原點O處出發，每次等可能地向左或者向右移動一個單位，
可得質點向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，
要使得質點移動5次后移動到1的位置，則質點向右移動3次，向左移動2次，
所以概率為.
（2）由題意知，質點向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，
移動5次中向右移動的次數為，可得隨機變量可能取值為，
可得，，
，，
，，
所以變量的分布列為
0 1 2 3 4 5
則期望為.
【變式4-2】（2024·高三·四川成都·開學考試）甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結果相互獨立．若比賽最多進行5局，則比賽結束時比賽局數的期望的最大值為 ．
【答案】/3.25
【解析】設“甲獲勝”為事件，“乙獲勝”為事件，
每局比賽結果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為，則，
，
，
所以的分布列為
2 4 5
所以的期望
，
因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，
所以，故的最大值為．
故答案為：．
【變式4-3】（2024·湖北·模擬預測）如圖：一張的棋盤，橫行編號：豎排編號.一顆棋子目前位于棋盤的處，它的移動規則是：每次移動到與自身所在格不相鄰的異色格中.例如該棋子第一次移動可以從移動到或.棋子每次移動到不同目的地間的概率均為.

(1)①列舉兩次移動后，該棋子所有可能的位置.
②假設棋子兩次移動后，最終停留到第1，2，3行時，分別能獲得分，設得分為，求的分布列和數學期望.
(2)現在于棋盤左下角處加入一顆棋子，他們運動規則相同，并且每次移動同時行動.移動次后，兩棋子位于同一格的概率為，求的通項公式.
【解析】（1）①兩次移動的所有路徑可能如下：
；；；.
所以兩次移動后，該棋子所有可能的位置有：，，.
②棋子兩次移動后，最終停留在時，得1分，對應概率為：；
棋子兩次移動后，最終停留在時，得1分，對應概率為：；
棋子兩次移動后，最終停留在時，得3分，對應概率為：.
所以，.
所以最終得分的分布列為：
1 3
所以.
（2）將棋盤按如圖所示編號：
將棋子可以去的區域用箭頭連接起來，若從3可以連接到4或8，記做；從8可以連接3或1，記做；然后將它們串聯起來：.依次類推，可以串聯處環狀回路：，如下圖所示：
則棋子等價于在這個環狀回路中運動.
問題（2）可以轉化為將兩個棋子放在環狀回路中的3號、7號位置，每回合3號、7號棋子有四種運動模式：（順，順），（順，逆），（逆，順），（逆，逆），發生概率均為.
為了轉化問題，現規定：“兩棋子之間的最短節點數”，例如：
特別規定兩棋子重合時，.并統計四種運動模式下會如何變化.
假設3號棋子順時針走過個節點可以與7號棋子重合；或逆時針走過個節點也可以與之重合.
為了簡化問題，不妨假設，于是有下表：
（順，順） （順，逆） （逆，順） （逆，逆）
設“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
則有：，
所以，
顯然：，，所以，
所以.
【變式4-4】（2024·高三·江蘇·開學考試）足球比賽積分規則為：球隊勝一場積分，平一場積分，負一場積分．常州龍城足球隊年月將迎來主場與隊和客場與隊的兩場比賽．根據前期比賽成績，常州龍城隊主場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為；客場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為，且兩場比賽結果相互獨立．
(1)求常州龍城隊月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率；
(2)用表示常州龍城隊月與隊和隊比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．
【解析】（1）設事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊七月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分”，
，
，
，
則，
∴常州龍城隊七月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率為；
（2）由題意可知的所有可能取值為，
，
，
，
，
，
，
∴的分布列為：
∴.
【變式4-5】不透明的盒子中裝有大小質地相同的4個紅球、2個白球，每次從盒子中摸出一個小球，若摸到紅球得1分，并放回盒子中搖勻繼續摸球；若摸到白球，則得2分且游戲結束．摸球次后游戲結束的概率記為，則 ；游戲結束后，總得分記為，則的數學期望 ．
【答案】
【解析】；
的可能取值為，且，
則，
則，
則，
則
，
即，
又，故.
故答案為：；.
題型五：離散型隨機變量的方差
【典例5-1】某種種子每粒發芽的概率都為，現播種了粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種粒，補種的種子數記為，則的方差為 ．
【答案】
【解析】將沒有發芽的種子數記為，則，，
又，.
故答案為：.
【典例5-2】（2024·上海浦東新·三模）一袋中裝有大小與質地相同的2個白球和3個黑球，從中不放回地摸出2個球，記2球中白球的個數為X，則 .
【答案】/
【解析】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，
則，，，
所以，，
.
故答案為：.
【方法技巧】
均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
【變式5-1】（2024·河南鄭州·模擬預測）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取m個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．
(1)若，，當袋中的球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元時，在員工所獲得的紅包數額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當袋中的球中有1個所標面值為元，2個為元，1個為元，1個為元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．
【解析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，
因為球中有個所標面值為元，1個為元，1個為元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）設X為員工取得的紅包數額，則可能取值為，
所以，，
，，
所以，
．
【變式5-2】（2024·湖北·模擬預測）某農戶購入一批種子，已知每粒種子發芽的概率均為0.9，總共種下n粒種子，其中發芽種子的數量為X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：設隨機變量X的期望為，方差為，則對任意均有，切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布末知的情況下，對事件的概率作出估計．
①當隨機變量X為離散型隨機變量，證明切比雪夫不等式（可以直接證明，也可以用下面的馬爾科夫不等式來證明切比雪夫不等式）；
②為了至少有的把握使種子的發芽率落在區間，請利用切比雪夫不等式估計農戶種下種子數的最小值．
注：馬爾科夫不等式為：設X為一個非負隨機變量，其數學期望為，則對任意，均有．
【解析】（1），由題意有，
解得，由于為整數，故．
（2）①證法1：設的分布列為，
其中，，記，則對任意，
．
證法2：由馬爾科夫不等式，得．
②，則，．
由題意，，即，，也即．
由切比雪夫不等式，有，
從而，，估計的最小值為45．
【變式5-3】（2024·浙江溫州·模擬預測）某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個數為 .若記取出3個球中黑球的個數為，則 .
【答案】 3 /0.36
【解析】設袋中黑球有n個，則從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，可得，該事件服從超幾何分布，
由題可知，取出3個球中黑球的個數的可能取值為1，2，3，
由超幾何分布事件分別計算對應概率，
，
，
可得分布列如下：
1 2 3
則，
.
故答案為：;
【變式5-4】（2024·廣東·模擬預測）設離散型隨機變量X，Y的取值分別為，．定義X關于事件“”的條件數學期望為：．已知條件數學期望滿足全期望公式：．解決如下問題：
為了研究某藥物對于微生物A生存狀況的影響，某實驗室計劃進行生物實驗．在第1天上午，實驗人員向培養皿中加入10個A的個體．從第1天開始，實驗人員在每天下午向培養皿中加入該種藥物．當加入藥物時，A的每個個體立即以相等的概率隨機產生1次如下的生理反應（設A的每個個體在當天的其他時刻均不發生變化，不同個體的生理反應相互獨立）：
①直接死亡；②分裂為2個個體．
設第n天上午培養皿中A的個體數量為．規定，．
(1)求；
(2)求；
(3)已知，證明：隨著n的增大而增大．
【解析】（1）在事件發生的條件下，如果在第五天下午加入藥物后，有K個個體分裂，
則，，
所以，．
（2）由（1）可類似得到：在事件發生的條件下，如果在第天下午加入藥物之后，
有個個體分裂，則的取值為．
在事件發生的條件下，令隨機變量Z表示第天下午加入藥物之后分裂的個體數目，
則且．
因此．
設的取值集合為，則由全期望公式可知
．
這表明是常數列，所以．
（3）由（2）可知
，
這表明是公差為10的等差數列．
又因為，所以，
從而．
可以看出，隨著n的增大而增大．
【變式5-5】（2024·江蘇南京·二模）在三維空間中，單位立方體的頂點坐標可用三維坐標表示，其中.而在維空間中，以單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標，其中.現有如下定義：在維空間中，，兩點的曼哈頓距離為
(1)在3維單位立方體中任取兩個不同頂點，試求所取兩點的曼哈頓距離為1的概率；
(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離
（i）求出的分布列與期望；
（ii）證明：隨機變量的方差小于.
【解析】（1）記“所取兩點的曼哈頓距離為1為事件A”，則
答：所取兩點的曼哈頓距離為1的概率為.
（2）（i）對于的隨機變量，在坐標與中有個坐標值不同，即，剩下個坐標值滿足.
此時所對應情況數為種.即
故分布列為：
1 2 …
…
數學期望
倒序相加得，
即.
（ii）
，
設，
兩邊求導得，，
兩邊乘以后得，，
兩邊求導得，，
令得，，
所以
．
【變式5-6】（2024·山東·模擬預測）已知隨機變量，其中，隨機變量的分布列為
0 1 2
表中，則的最大值為 ．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當，且取最大值時， ．
【答案】
【解析】由題意，可得，則，
因為，所以當時，取得最大值，
又由，可得，解得，
可得，
又因為，
可得，
所以.
故答案為：；
題型六：決策問題
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現設置300萬元獎金，若甲在前3局中已經勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的，如果再繼續比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的，第4局甲失敗，甲拿走獎金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎金．
【解析】（1）站在甲的角度，甲在第3局中獲勝包含4種情況：勝勝勝，勝負勝，負勝勝，負負勝，
所以甲在第3局中獲勝的概率；
（2）方案一：停止比賽，甲拿到獎金的期望為（萬元）．
方案二；設甲在前3局中已經勝了2局的情況下第4局獲勝的事件為，
前三局的情況有：
勝勝負，概率；
勝負勝，概率；
負勝勝，概率．
再繼續比賽，第4局甲獲勝的概率
，
第4局甲失敗的概率，
所以甲拿到獎金的期望（萬元）．
因為，所以選擇停止比賽，拿到獎金的期望更高．
【典例6-2】（2024·河南·模擬預測）某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數據：
日銷售量/十盒 7 8 9 10
天數 8 12 16 4
假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規律保持不變，將頻率視為概率.
(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數為X（單位：十盒），求X的分布列和數學期望；
(2)以兩天內銷售草莓獲得利潤較大為決策依據，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？
【解析】（1）日銷售量為7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次為：，
根據題意可得：的所有可能取值為14，15，16，17，18，19，20，
，，
，，
，，
，
所以的分布列為：
14 15 16 17 18 19 20
所以；
（2）當每兩天進16十盒時，利潤為，
當每兩天進17十盒時，利潤為，
，所以每兩天進17十盒利潤較大，故應該選擇每兩天進17十盒．
【方法技巧】
均值與方差在決策中的應用
（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應用策略
①當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策.
【變式6-1】一個小型制冰廠有3臺同一型號的制冰設備，在一天內這3臺設備只要有一臺能正常工作，制冰廠就會有利潤，當3臺都無法正常工作時制冰廠就因停業而虧本（3臺設備相互獨立，3臺都正常工作時利潤最大）.每臺制冰設備的核心系統由3個同一型號的電子元件組成，3個元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當系統中有不少于的電子元件正常工作時，此臺制冰設備才能正常工作.
(1)當時，求一天內制冰廠不虧本的概率；
(2)若已知當前每臺設備能正常工作的概率為0.6，根據以往經驗可知，若制冰廠由于設備不能正常工作而停業一天，制冰廠將損失1萬元，為減少經濟損失，有以下兩種方案可供選擇參考：
方案1：更換3臺設備的部分零件，使每臺設備能正常工作的概率為0.85，更新費用共為600元.
方案2：對設備進行維護，使每臺設備能正常工作的概率為0.75，設備維護總費用為元.請從期望損失最小的角度判斷如何決策？
【解析】（1）當時，每臺設備能正常工作的概率為：，
所以一天內制冰廠不虧本的概率為；
（2）若不采取措施，設總損失為，當前每臺設備能正常工作的概率為0.6，
故元；
設方案1、方案2的總損失分別為，，
采用方案1，更換3臺設備的部分零件，使得每臺設備能正常工作的概率為0.85，
故元；
采用方案2，對設備進行維護，使得每臺設備能正常工作的概率為0.75，
故元，
又，且，
因此，從期望損失最小的角度，當時，可以選擇方案1或2；
當時，選擇方案2；
當時，采取方案1.
【變式6-2】貝葉斯公式中，稱為先驗概率，稱為后驗概率．先驗概率表達了對事件的初始判斷，當新的信息出現后，我們可以利用貝葉斯公式求出后驗概率，以此修正自己的判斷并校正決策．利用這種思想方法我們來解決如下一個實際問題．
某趣味抽獎活動準備了三個外觀相同的不透明箱子，已知三個箱子中分別裝有10個紅球、5個紅球5個白球、10個白球(球的大小、質地相同)．抽獎活動共設計了兩個輪次：
第一輪規則：抽獎者從三個箱子中隨機選擇一個箱子，并從該箱子中取出兩球（分兩次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的兩個球都是紅球則可以進入第二輪，否則抽獎活動結束(無獎金)．
第二輪規則：進入第二輪的抽獎者可以選擇三種抽獎方案．方案一：就此停止，并獲得獎金300元；方案二：繼續從第一輪抽取的箱子中再取一球，若為紅球則可獲得獎金400元，若為白球獎金變為0元；方案三：不再從第一輪抽取的箱子中取球，而是從另外兩個箱子中隨機選擇一個箱子，并從中取出一球，若為紅球則可獲得獎金800元，若為白球獎金變為80元．
(1)求抽獎者在第一次取出紅球的條件下，能進入第二輪的概率；
(2)在第二輪的三種抽獎方案中，從抽獎者獲得獎金的數學期望的角度，找出三種抽獎方案的最佳方案．
【解析】（1）設第次取到紅球為事件，
從裝有10個紅球、5個紅球5個白球、10個白球的箱子取球分別為事件．
在第一次取出紅球的條件下，要進入第二輪只需第二次也取出紅球，
所以概率為．
（2）先分別求出在進入第二輪的條件下，第一輪在各個箱子取球的概率：
方案一：所獲得獎金為300；
方案二：繼續取出紅球的概率，
設所獲得獎金為X，則．
方案三：繼續取出紅球的概率，
設所獲得獎金為，則，
所以方案二最佳．
【變式6-3】（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標號為1，2，3的空心小球，球內裝有難度不同的謎語．每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標號為1，2，3的小球個數比為1：2：1，且取到異號球的概率為．
(1)求盒中2號球的個數；
(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）
球號 1號球 3號球
答對概率 0.8 0.5
獎金 100 500
【解析】（1）由題意可設1，2，3號球的個數分別為n，，n，
則取到異號球的概率，
，即．解得．
所以盒中2號球的個數為4個．
（2）若甲先回答1號球再回答3號球中的謎語，
因為猜對謎語的概率相互獨立，記為甲獲得的獎金總額，
則可能的取值為0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列為
X 0 100 600
P 0.2 0.4 0.4
的均值為，
若甲先回答3號球再回答1號球，因為猜對謎語的概率相互獨立，
記Y為甲獲得的獎金總額，則Y可能的取值為0元，500元，600元，
．
Y的分布列為
Y 0 500 600
P 0.5 0.1 0.4
的均值為，
因為，所以推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語．
【變式6-4】某種藥材的種植加工過程，受天氣、施肥、管理等因素影響，農民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.
(1)若在去年生產的藥材中隨機抽取4箱，設X為上等藥材的箱數，求X的分布列和數學期望；
(2)已知每箱藥材的利潤如表：
等級 上等藥材 中等藥材 普通藥材
利潤（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市場需求增加，某農戶計劃增加產量，且生產的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相應增加元，假設你為該農戶決策，你覺得目前應不應該增加產量？如果需要增加產量，增加多少箱最好？如果不需要增加產量，請說明理由.
【解析】（1）X的可能取值為0，1，2，
，，，
X的分布列如表：
X 0 1 2
P
.
（2）按原計劃生產藥材每箱平均利潤為（元），
則增加箱藥材，利潤增加為元，成本相應增加元，
所以增加凈利潤為.
設（或），則，
當時，，
當時，，且，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，取得最大值，
所以需要增加產量，增加20箱最好.
1．（2018年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（新課標III卷））某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，，，則（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．
或
，
,可知
故答案選B.
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
【答案】/0.5
【解析】設甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.
從而.
記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，兩式相減即得，故.
所以甲的總得分不小于2的概率為.
故答案為：.
3．（2022年新高考浙江數學高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則 ， ．
【答案】 ， /
【解析】從寫有數字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案為：，.
4．（2021年浙江省高考數學試題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
【答案】 1
【解析】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
1．設，a是不等于的常數，探究X相對于的偏離程度與X相對于a的偏離程度的大小，并說明結論的意義．
【解析】設取的概率為，
又，所以X相對于的偏離程度為，
X相對于a的偏離程度為，
又因為，，，
所以
，
，即X相對于的偏離程度小于X相對于a的偏離程度，
結論的意義：X相對于的偏離程度（即的方差）是相對于任意常數a的偏離程度中最小的，從而方差能很好的反映一組數據的集中與離散程度.
2．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為：
甲品牌的走時誤差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
試比較甲、乙兩種品牌手表的性能．
【解析】由題意可得，
同理可得，
故可得
由于，故甲的質量更穩定些，
3．有A和B兩道謎語，張某猜對A謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元；猜對B謎語的概率為0.5，猜對得獎金20元，規則規定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應該選擇先猜哪一道謎語？
【解析】如果他先猜謎A，那么他將有的概率得0元，有概率得10元，
有概率得30元，此時，他的獎金期望是；
如果他先猜謎B，那么他的獎金期望是．
因為，所以他最好先猜謎A，
4．證明：．
【解析】證明：設離散型隨機變量X的分布列為：
… …
… …
設（a，b為常數），則Y也是離散型隨機變量，Y的分布列為：
Y … …
… …
由均值的性質可得，
5．隨機變量X的分布列為，，，若，求a和b．
【解析】由題意知，，
解得
即a和b分別為.
6．現要發行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎金額的均值是多少元？
【解析】由題意，設表示1張彩票中獎的金額，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為：
0 2 10 50 100 1000
0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
，
由，得
所以公差d的取值范圍是：
故答案為：
答題模板：求離散型隨機變量的分布列及數字特征
1、模板解決思路
求離散型隨機變量的分布列及數字特征，關鍵是找出隨機變量X的所有可能取值，并明確每一個取值所表示的意義，然后進行相應的計算即可.
2、模板解決步驟
第一步：理解隨機變量X的意義，找出X的所有可能取值.
第二步：求出X取每一個值時的概率。
第三步：寫出X的分布列.
第四步：由均值或方差的定義求出均值或方差.
【經典例題1】袋子中裝有5個白球和3個紅球，現從袋子中不放回地摸取4個球，取到1個白球得2分，取到1個紅球得1分，設摸球所得分數之和為隨機變量．
(1)求摸球得分不低于6分的概率；
(2)求摸球所得分數之和的方差．
【解析】（1）當摸球得分不低于6分時，摸球的情況有2白2紅、3白1紅、4白三種，所以得分不低于6分的概率為.
（2）的可能取值為，
且， ，
， ，
所以所得分數之和的期望為，
所以所得分數之和的方差為．
【經典例題2】國慶節前，某學校計劃選派部分優秀學生干部參加宣傳活動，報名參加的學生需進行測試，共設4道選擇題，規定必須答完所有題，且每答對一題得1分，答錯得0分，至少得3分才能成為宣傳員；甲、乙、丙三名同學報名參加測試，他們答對每道題的概率都為，且每個人答題相互不受影響．
(1)求甲、乙、丙三名同學恰有兩名同學成為宣傳員的概率；
(2)用隨機變量表示三名同學能夠成為宣傳員的人數，求的數學期望與方差．
【解析】（1）每個同學成為宣傳員需得3分或4分，即答對3道或4道試題，
所以每個同學成為宣傳員的概率為，
因為每個人答題相互不受影響，
所以三人是否成為宣傳員是相互獨立事件，
又因為每個人成為宣傳員的概率均為，
所以甲、乙、丙三名同學恰有兩名同學成為宣傳員的概率為．
（2）因為每個人成為宣傳員的概率均為，故為獨立重復試驗，又隨機變量表示能夠成為宣傳員的人數，
即3次獨立重復試驗中發生次的概率，所以隨機變量滿足二項分布，
所以，
．
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