資源簡介

第06講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：條件概率 4
知識點2：相互獨立 4
知識點3：全概率公式 5
題型一：條件概率 7
題型二：相互獨立事件的判斷 7
題型三：相互獨立事件概率的計算 9
題型四：相互獨立事件概率的綜合應用 10
題型五：全概率公式及其應用 13
題型六：貝葉斯公式及其應用 14
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用 15
04真題練習·命題洞見 18
05課本典例·高考素材 19
06易錯分析·答題模板 20
易錯點：混淆互斥與獨立 20
答題模板：求條件概率 21
考點要求 考題統計 考情分析
（1）條件概率 （2）相互獨立 （3）全概率公式 2024年天津卷第13題，5分 2024年II卷第18題，17分 2023年甲卷（理）第6題，5分 2022年乙卷（理）第10題，5分 2022年I卷第20題，12分 本節內容是概率的基礎知識，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現．出題多會集中在隨機事件的關系以對應的概率求解．全概率公式將會是一個新的出題點，思維難度會略大．但整體而言，本節內容在高考中的難度處于中等偏易．
復習目標： （1）了解兩個事件相互獨立的含義． （2）理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率．
知識點1：條件概率
（一）定義
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
（二）性質
（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發生會影響事件發生的概率，那么；
（2）已知發生，在此條件下發生，相當于發生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發生的概率，即．
【診斷自測】（2024·江西九江·二模）將甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三個社區服務，每人分配到一個社區且每個社區至多分配一人，則在乙分配到社區的條件下，甲分配到社區的概率為 ．
知識點2：相互獨立
（一）相互獨立事件的概念及性質
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（4）兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．
（二）事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
【診斷自測】（2024·廣東廣州·模擬預測）擲出兩枚質地均勻的骰子，記事件“第一枚點數小于3”，事件“第二枚點數大于4”，則與關系為（ ）
A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等
知識點3：全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．
（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．
（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．
【診斷自測】若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型一：條件概率
【典例1-1】袋子中有6個大小相同的小球，其中4個紅球，2個白球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為 ；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為 .
【典例1-2】對于隨機事件，若，，，則 .
【方法技巧】
用定義法求條件概率的步驟
（1）分析題意，弄清概率模型；
（2）計算，；
（3）代入公式求．
【變式1-1】從一副去掉大小王的52張撲克牌中無放回地任意抽取兩次.在第一次抽到的條件下，第二次也抽到的概率為 .（結果用最簡分數表示）
【變式1-2】（2024·天津北辰·模擬預測）甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為 ；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 .
【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預測）甲乙二人同時向某個目標射擊一次．甲命中的概率為，乙命中的概率為，且兩人是否命中目標互不影響．若目標恰被擊中一次，則甲命中目標的概率為 ．
【變式1-4】（2024·湖南益陽·一模）在某世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊進入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b，c對d，然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名.若a對b、a對d的勝率均為0.6，a對c、c對d的勝率均為0.5，則a獲得冠軍的概率為 .
題型二：相互獨立事件的判斷
【典例2-1】（2024·江蘇·模擬預測）一個質地均勻的正八面體的八個面上分別標有數字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數字依次為，事件：，事件，事件，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．互斥 D．相互獨立
【典例2-2】（2024·山東泰安·三模）盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（ ）
A．與相互獨立 B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【方法技巧】
判斷事件是否相互獨立的方法
（1）定義法：事件，相互獨立 ．
（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．
（3）條件概率法：當時，可用判斷．
【變式2-1】考慮以為樣本空間的古典概型．設X和Y定義上，取值的成對分類變量，則“與獨立”是“與獨立”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）設A，B是兩個隨機事件，且，，則下列正確的是（ ）
A．若，則A與B相互獨立 B．
C． D．A與B有可能是對立事件
【變式2-3】拋擲一枚質地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（ ）
A．當時， B．當時，事件與事件不獨立
C．當時， D．當時，事件與事件不獨立
【變式2-4】（2024·上海奉賢·二模）有個相同的球，分別標有數字，，，，，從中有放回地隨機取兩次，每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，則（ ）．
A．甲與乙相互獨立 B．乙與丙相互獨立
C．甲與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立
題型三：相互獨立事件概率的計算
【典例3-1】（2024·天津南開·二模）連續拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，每次結果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結果等可能，則3次結果中有正面向上，也有反面向上的概率為 ；3次結果中最多一次正面向上的概率為 .
【典例3-2】（2024·山東濟寧·三模）甲和乙兩個箱子中各裝有6個球，其中甲箱子中有4個紅球、2個白球，乙箱子中有2個紅球、4個白球，現隨機選擇一個箱子，然后從該箱子中隨機取出一個球，則取出的球是白球的概率為 .
【方法技巧】
（1）求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的．
②求出每個事件的概率，再求積．
（2）使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．
【變式3-1】（2024·遼寧·二模）某運動員在亞運會田徑比賽中準備參加100米、200米兩項比賽，根據以往成績分析，該運動員100米比賽未能獲得獎牌的概率為，200米比賽未能獲得獎牌的概率為，兩項比賽都未能獲得獎牌的概率為，若該運動員在100米比賽中獲得了獎牌，則他在200米比賽中也獲得獎牌的概率為 .
【變式3-2】（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑 白方塊記錄數據符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構成的二維碼門禁，現用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內被破譯的概率不高于，則的最小值為 .
【變式3-3】（2024·江西南昌·二模）一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）. 已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為 .
【變式3-4】（2024·天津河西·模擬預測）甲、乙兩名同學在電腦上進行答題測試，每套測試題可從題庫中隨機抽取.在一輪答題中，如果甲單獨答題，能夠通過測試的概率是，如果乙單獨答題，能夠通過測試的概率是.若甲單獨答題三輪，則甲恰有兩輪通過測試的概率為 ；若在甲，乙兩人中任選一人進行測試，則通過測試的概率為 .（結果均以既約分數表示）
題型四：相互獨立事件概率的綜合應用
【典例4-1】（2024·江西新余·模擬預測）小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對弈，勝者繼續與上一場輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場比賽，則其為最終獲勝者.
(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？
(2)求最終小金獲勝的概率.
(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.
【典例4-2】（2024·浙江·二模）小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數字．
(1)求五張卡片上的數字都不相同的概率；
(2)證明：這五張卡片上最大的數字最可能是5．
【方法技巧】
1、求復雜事件的概率一般可分三步進行
（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當的符號表示它們；
（2）理清各事件之間的關系，恰當地用事件間的“并”“交”表示所求事件；
（3）根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算．
2、計算事件同時發生的概率常用直接法，當遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對立事件，用間接法處理．
【變式4-1】（2024·陜西銅川·三模）學校團委和工會聯合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經多輪比賽后，由教師甲 乙作為代表進行決賽.決賽共設三個項目，每個項目勝者得10分，負者得分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結果相互獨立.甲 乙獲得冠軍的概率分別記為.
(1)求甲教師總得分為0分的概率；
(2)判斷甲 乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若，則認為甲 乙獲得冠軍的實力有明顯差別，否則認為沒有明顯差別.）.
【變式4-2】（2024·山東·模擬預測）已知，，，四名選手參加某項比賽，其中，為種子選手，，為非種子選手，種子選手對非種子選手種子選手獲勝的概率為，種子選手之間的獲勝的概率為，非種子選手之間獲勝的概率為．比賽規則：第一輪兩兩對戰，勝者進入第二輪，負者淘汰；第二輪的勝者為冠軍.
(1)若你是主辦方，則第一輪選手的對戰安排一共有多少不同的方案？
(2)選手與選手相遇的概率為多少？
(3)以下兩種方案，哪一種種子選手奪冠的概率更大？
方案一：第一輪比賽種子選手與非種子選手比賽；
方案二：第一輪比賽種子選手與種子選手比賽．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現設置300萬元獎金，若甲在前3局中已經勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的，如果再繼續比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的，第4局甲失敗，甲拿走獎金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎金．
【變式4-4】（2024·新疆·二模）目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．
(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；
(2)若未來10天內虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數為．
①判斷為何值時，最大；
②記，求．
題型五：全概率公式及其應用
【典例5-1】（2024·高三·上?！ら_學考試）某工廠有四條流水線生產同一產品，已知這四條流水線的產量分別為30000只、40000只、60000只和70000只，又知這四條流水線的產品合格率依次為0.95、0.96、0.97和0.98，則從該廠的這一產品中任取一件，抽到不合格品的概率是 .
【典例5-2】（2024·高三·北京·開學考試）已知甲盒中有3個白球，2個黑球；乙盒中有1個白球，2個黑球．若從這8個球中隨機選取一球，該球是白球的概率是 ；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是 ．
【方法技巧】
全概率公式在解題中體現了“化整為零、各個擊破”的轉化思想，可將較為復雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮．
【變式5-1】（2024·江蘇南京·模擬預測）在概率論中，全概率公式指的是：設為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對任意的事件，有．若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有個白球、3個紅球、2個黑球，現從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為 ．
【變式5-2】（2024·天津河西·模擬預測）甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設次傳球后球在甲手中的概率為，則 ； ．
【變式5-3】（2024·廣東肇慶·模擬預測）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數為，恰有1個黑球的概率為，則的值是 ；的數學期望是 .
【變式5-4】近年來，我國外賣業發展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線．某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設事件第次取單恰好是從1號店取單是事件發生的概率，顯然，則
題型六：貝葉斯公式及其應用
【典例6-1】托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的問題中得到了一個公式：．這個定理在實際生活中有著重要的應用價值．假設某種疾病在所有人群中的感染率是，醫院現有的技術對于該疾病檢測準確率為，即已知患病情況下，的可能性可以檢查出陽性，正常人的可能性檢查為正常．如果從人群中隨機抽一個人去檢測，經計算檢測結果為陽性的全概率為0.01098，請你用這個公式估計在醫院給出的檢測結果為陽性的條件下這個人得病的概率（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為.若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為 .
【方法技巧】
1、利用貝葉斯公式求概率的步驟
第一步：利用全概率公式計算，即；
第二步：計算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關系，即．
【變式6-1】（2024·高三·江蘇揚州·期末）有一個郵件過濾系統，它可以根據郵件的內容和發件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統的測試具有以下結果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為 .
【變式6-2】（2024·浙江·二模）小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發現自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數列，則小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·天津·模擬預測）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元．ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中，某學習小組設計了如下問題進行研究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為 ；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 ．
【變式6-4】隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式有自駕 坐公交車 騎共享單車三種，某天早上他選擇自駕 坐公交車 騎共享單車的概率分別為，而他自駕 坐公交車 騎共享單車遲到的概率分別為，則小明這一天遲到的概率為 ；若小明這一天遲到了，則他這天是自駕上班的概率為 .
【變式6-5】（2024·高三·浙江·開學考試）隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是 ．
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
【典例7-1】（2024·高三·湖南衡陽·開學考試）假設在數字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機干擾，當傳送信號0時，接收到信號為0的概率為0.8，當傳送信號1時，接收到信號為1的概率為0.9.求：
(1)當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率；
(2)在信息傳送過程中，當第一個人接收到信息后，將信息發送給第二個人，這樣依次傳遞下去，在n次傳遞中，0出現的次數為，求.
【典例7-2】假定用血清甲胎球蛋白法診斷肝癌，，，這里表示被檢驗者患有肝癌這一事件，表示判斷被檢驗者患有肝癌這一事件．又設在自然人群中．現在若有一人被此檢驗法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
【方法技巧】
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式．
【變式7-1】在數字通信中，由于存在隨機干擾，因此接收到的信號與發出的信號可能不同，為了確定發出的信號，通常需要計算各種概率，下面只討論一種比較簡單的模型——二進位信道．若發報機分別以0.7和0.3的概率發出信號0和1（譬如分別用低電平與高電平表示），由于隨機干擾的影響，當發出信號0時，接收機不一定收到0，而是分別以概率0.8和0.2收到0和1；同樣地，當發報機發出信號1時，接收機分別以概率0.9和0.1收到信號1和0．計算當接收機收到信號0時，發報機發出信號0的概率．
【變式7-2】某中學即將迎來百年校慶，校方準備組織校史知識競猜比賽.比賽規則如下：比賽分成三輪，每輪比賽沒有通過的學生直接淘汰，通過的學生可以領取獎品結束比賽，也可以放棄本輪獎品繼續下一輪比賽，三輪都通過的學生可獲得獎品一紀念版手辦.已知學生每輪通過的概率都為，通過第一輪比賽后領取獎品結束比賽的概率為，通過第二輪比賽后領取獎品結束比賽的概率為.
(1)求學生小杰獲得獎品的概率；
(2)已知學生小杰獲得獎品，求他至少通過兩輪比賽的概率；
(3)求學生小杰通過的比賽輪數的分布列與數學期望.
【變式7-3】（2024·福建廈門·模擬預測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.
【變式7-4】（2024·安徽·模擬預測）現需要抽取甲 乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商品，稱為首次檢驗. 將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢驗. 首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為.
(1)求首次檢驗抽到合格產品的概率；
(2)在首次檢驗抽到合格產品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；
(3)將首次檢驗抽出的合格產品放回原來的箱子，繼續進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗選到的箱子中抽?。环桨付?，從另外一個箱子中抽取. 比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.
【變式7-5】（2024·湖南·二模）現有甲、乙、丙三個工廠生產某種相同的產品進入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生產的產品能達到優秀等級的概率分別為，，，現有某質檢部門，對該產品進行質量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨機選擇一個工廠，然后從該工廠生產的產品抽取一件進行檢測.
(1)若該質檢部門的一次抽檢中，測得的結果是該件產品為優秀等級，求該件產品是從乙工廠抽取的概率；
(2)因為三個工廠的規模大小不同，假設三個工廠進入市場的產品的比例為2∶1∶1，若該質檢部門從已經進入市場的產品中隨機抽取10件產品進行檢測，求能達到優秀等級的產品的件數的分布列及數學期望.
1．（2024年上海市1月春考數學試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件：所選盒中有中國結，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立
2．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
3．（2021年全國新高考I卷數學試題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
4．（2014年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（全國Ⅱ卷））某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
1．分析如下三個隨機試驗及指定的隨機事件，并解答下面的問題．
：拋擲兩枚質地均勻的硬幣；事件“兩枚都正面朝上”．
：向一個目標射擊兩次，每次命中目標的概率為0.6；事件“命中兩次目標”．
：從包含2個紅球、3個黃球的袋子中依次任意摸出兩球；事件“兩次都摸到紅球”
(1)用適當的符號表示試驗的可能結果，分別寫出各試驗的樣本空間；
(2)指出這三個試驗的共同特征和區別；
(3)分別求A，B，C的概率．
2．如圖，一個正八面體，八個面分別標以數字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數字，得到樣本空間為．構造適當的事件A，B，C，使成立，但不滿足A，B，C兩兩獨立．
（2）如果此人患流感，求此人選自地區的概率.
8．甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球.擲一枚質地均勻的骰子，如果點數為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球.求摸到紅球的概率.
易錯點：混淆互斥與獨立
易錯分析： 相互獨立事件的獨立性，在統計學上被稱作“統計獨立性”，這種獨立性是基于事件的“概率”來定義的。重要的是要理解，一個事件對另一個事件“發生的概率”沒有影響，并不意味著它對“事件本身”沒有影響。在判斷兩個事件是否相互獨立時，必須依據它們的概率計算來進行判斷，而不能僅僅依靠直觀感覺或表面現象。簡而言之，要確定事件間的獨立性，概率分析是關鍵，直觀判斷可能誤導。
【易錯題1】拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數，若用表示紅色骰子的點數，用表示綠色骰子的點數，用表示一次試驗結果，設事件；事件：至少有一顆點數為5；事件；事件.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件為互斥事件 B．事件與事件為互斥事件
C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立
【易錯題2】若古典概型的樣本空間，事件，，則（ ）
A．B包含A B．A與B對立 C．A與B互斥 D．A與B相互獨立
答題模板：求條件概率
1、模板解決思路
條件概率是求解在某一事件A發生的條件下，另一事件B發生的概率。解決條件概率問題的思路主要包括以下幾步：首先，明確題目中給出的所有事件以及它們之間的關系；其次，根據條件概率的定義；最后，將已知的概率值代入公式進行計算，得出條件概率的結果。這一過程中，需要注意事件的獨立性和互斥性，以及如何利用這些性質簡化計算。
2、模板解決步驟
第一步：求出事件發生的概率．
第二步：求出事件與事件同時發生的概率．
第三步：利用公式求得條件概率．
【經典例題1】“端午節”是我國四大傳統節日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、歡慶娛樂和飲食為一體的民俗大節，其民間活動也是豐富多彩，有賽龍舟、鳳舟、吃粽子、飲雄黃、懸艾葉、驅五毒等等．某市為迎接端午，組織各式活動，其中賽龍舟競爭最為激烈，最終兩隊爭奪賽事第一，若奪標賽為“三局兩勝制”，甲隊在每局比賽中獲勝的概率為，且每場比賽結果相互獨立，則在甲隊獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進行了3局比賽的概率為 ．
【經典例題2】已知甲同學在上學途中要經過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續遇到紅燈的概率為0.4，則甲同學在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率是 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第06講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：條件概率 4
知識點2：相互獨立 5
知識點3：全概率公式 6
題型一：條件概率 7
題型二：相互獨立事件的判斷 10
題型三：相互獨立事件概率的計算 13
題型四：相互獨立事件概率的綜合應用 16
題型五：全概率公式及其應用 22
題型六：貝葉斯公式及其應用 25
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用 30
04真題練習·命題洞見 35
05課本典例·高考素材 37
06易錯分析·答題模板 41
易錯點：混淆互斥與獨立 41
答題模板：求條件概率 42
考點要求 考題統計 考情分析
（1）條件概率 （2）相互獨立 （3）全概率公式 2024年天津卷第13題，5分 2024年II卷第18題，17分 2023年甲卷（理）第6題，5分 2022年乙卷（理）第10題，5分 2022年I卷第20題，12分 本節內容是概率的基礎知識，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現．出題多會集中在隨機事件的關系以對應的概率求解．全概率公式將會是一個新的出題點，思維難度會略大．但整體而言，本節內容在高考中的難度處于中等偏易．
復習目標： （1）了解兩個事件相互獨立的含義． （2）理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率．
知識點1：條件概率
（一）定義
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
（二）性質
（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發生會影響事件發生的概率，那么；
（2）已知發生，在此條件下發生，相當于發生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發生的概率，即．
【診斷自測】（2024·江西九江·二模）將甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三個社區服務，每人分配到一個社區且每個社區至多分配一人，則在乙分配到社區的條件下，甲分配到社區的概率為 ．
【答案】/
【解析】將甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三個社區服務，
每人分配到一個社區且每個社區至多分配一人，且乙分配到社區，
基本事件總數，
在乙分配到社區的條件下，甲分配到社區包含的基本事件個數，
在乙分配到社區的條件下，甲分配到社區的概率為．
故答案為：．
知識點2：相互獨立
（一）相互獨立事件的概念及性質
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（4）兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．
（二）事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
【診斷自測】（2024·廣東廣州·模擬預測）擲出兩枚質地均勻的骰子，記事件“第一枚點數小于3”，事件“第二枚點數大于4”，則與關系為（ ）
A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等
【答案】C
【解析】由題意，擲出兩枚質地均勻的骰子共有基本事件個，
其中事件有，共12個，
事件有，共12個，事件有，共4個基本事件，
所以,
所以，故相互獨立，
答選：C
知識點3：全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．
（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．
（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．
【診斷自測】若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設檢驗結果呈現陽性為事件，此人患病為事件，
，
，
則.
故選：C
題型一：條件概率
【典例1-1】袋子中有6個大小相同的小球，其中4個紅球，2個白球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為 ；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為 .
【答案】 / /
【解析】兩次都摸到紅球的概率為，
第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率，可通過縮小樣本空間得出.
故答案為：；
【典例1-2】對于隨機事件，若，，，則 .
【答案】
【解析】，又，
所以，
因為，所以.
故答案為：
【方法技巧】
用定義法求條件概率的步驟
（1）分析題意，弄清概率模型；
（2）計算，；
（3）代入公式求．
【變式1-1】從一副去掉大小王的52張撲克牌中無放回地任意抽取兩次.在第一次抽到的條件下，第二次也抽到的概率為 .（結果用最簡分數表示）
【答案】
【解析】記事件第一次抽到，事件第二次抽到，
則，，
因此，.
故答案為：.
【變式1-2】（2024·天津北辰·模擬預測）甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為 ；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 .
【答案】
【解析】記事件表示“至少抽到一個紅球”，事件表示“2個球都是紅球”，
,,
所以.
設事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，
事件表示“抽到紅球”，則
,
所以,
所以.
故答案為：①，②.
【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預測）甲乙二人同時向某個目標射擊一次．甲命中的概率為，乙命中的概率為，且兩人是否命中目標互不影響．若目標恰被擊中一次，則甲命中目標的概率為 ．
【答案】
【解析】事件記為目標恰被擊中一次，則，
事件記為甲命中目標，則
若目標恰被擊中一次，則甲命中目標的概率為,
故答案為：.
【變式1-4】（2024·湖南益陽·一模）在某世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊進入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b，c對d，然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名.若a對b、a對d的勝率均為0.6，a對c、c對d的勝率均為0.5，則a獲得冠軍的概率為 .
【答案】
【解析】a獲得冠軍，第一輪中必須勝出，概率為，
由題意可得，第二輪比賽中可以分兩種情況，勝，概率為，然后勝，由獨立事件的乘法公式可得a獲得冠軍的概率為；
第二種情況為勝，概率為，然后勝，由獨立事件的乘法公式可得a獲得冠軍的概率為；
由分類原理可得a獲得冠軍的概宰為，
故答案為：.
題型二：相互獨立事件的判斷
【典例2-1】（2024·江蘇·模擬預測）一個質地均勻的正八面體的八個面上分別標有數字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數字依次為，事件：，事件，事件，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．互斥 D．相互獨立
【答案】D
【解析】對于A:事件發生時，事件不一定發生，所以A錯；
對于B: 時，事件發生同時不發生，所以B錯；
對于C: 時，A,B同時發生，所以C錯；
對于D: ，則相互獨立，所以D正確.
故選：D
【典例2-2】（2024·山東泰安·三模）盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（ ）
A．與相互獨立 B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】D
【解析】依題意得，，，故A項錯誤；
，，故B項錯誤；
，故C項錯誤；
，，故D項正確.
故選：D.
【方法技巧】
判斷事件是否相互獨立的方法
（1）定義法：事件，相互獨立 ．
（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．
（3）條件概率法：當時，可用判斷．
【變式2-1】考慮以為樣本空間的古典概型．設X和Y定義上，取值的成對分類變量，則“與獨立”是“與獨立”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】與獨立，則，
即，
.
即，故“與獨立.反之亦然.
故選：A.
【變式2-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）設A，B是兩個隨機事件，且，，則下列正確的是（ ）
A．若，則A與B相互獨立 B．
C． D．A與B有可能是對立事件
【答案】A
【解析】對A：由，故，則有，
故與相互獨立，故與相互獨立，故A正確；
對B：，故B錯誤；
對C：，由未定，故C錯誤；
對D：，故與不是對立事件，故D錯誤.
故選：A.
【變式2-3】拋擲一枚質地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（ ）
A．當時， B．當時，事件與事件不獨立
C．當時， D．當時，事件與事件不獨立
【答案】D
【解析】當時，表示一正一反，故，故A正確；
此時，，
，故B正確；
當時，表示并非每次都是正面朝上，
故，故C正確；
此時，，
，所以，故D錯誤.
故選：D.
【變式2-4】（2024·上海奉賢·二模）有個相同的球，分別標有數字，，，，，從中有放回地隨機取兩次，每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，則（ ）．
A．甲與乙相互獨立 B．乙與丙相互獨立
C．甲與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立
【答案】A
【解析】由題意得，甲，乙，丙， 丁.
對于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲與乙相互獨立，故A正確；
對于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙與丙不是相互獨立，故B不正確；
對于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲與丙不是相互獨立，故C不正確；
對于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙與丁不是相互獨立，故D不正確.
故選：A.
題型三：相互獨立事件概率的計算
【典例3-1】（2024·天津南開·二模）連續拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，每次結果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結果等可能，則3次結果中有正面向上，也有反面向上的概率為 ；3次結果中最多一次正面向上的概率為 .
【答案】 / /
【解析】設為所拋擲三枚硬幣正面向上的枚數，
事件為3次結果中有正面向上，也有反面向上，
事件為3次結果中最多一次正面向上，
則；
.
故答案為：；.
【典例3-2】（2024·山東濟寧·三模）甲和乙兩個箱子中各裝有6個球，其中甲箱子中有4個紅球、2個白球，乙箱子中有2個紅球、4個白球，現隨機選擇一個箱子，然后從該箱子中隨機取出一個球，則取出的球是白球的概率為 .
【答案】/0.5
【解析】依題意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件與取乙箱并取白球的事件的和，
顯然事件與互斥，，，
所以.
故答案為：
【方法技巧】
（1）求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的．
②求出每個事件的概率，再求積．
（2）使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．
【變式3-1】（2024·遼寧·二模）某運動員在亞運會田徑比賽中準備參加100米、200米兩項比賽，根據以往成績分析，該運動員100米比賽未能獲得獎牌的概率為，200米比賽未能獲得獎牌的概率為，兩項比賽都未能獲得獎牌的概率為，若該運動員在100米比賽中獲得了獎牌，則他在200米比賽中也獲得獎牌的概率為 .
【答案】/
【解析】設在200米比賽中獲獎為事件，在100米比賽中獲獎為事件，
則,
所以，
則,
所以該運動員在100米比賽中獲獎，在200米比賽中也獲獎的概率是.
故答案為：.
【變式3-2】（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑 白方塊記錄數據符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構成的二維碼門禁，現用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內被破譯的概率不高于，則的最小值為 .
【答案】7
【解析】由題意可知的二維碼共有個，
由可得，故，
由于，所以，
故答案為：7
【變式3-3】（2024·江西南昌·二模）一次知識競賽中，共有五個題，參賽人每次從中抽出一個題回答（抽后不放回）. 已知參賽人甲A題答對的概率為，B題答對的概率為，題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為 .
【答案】
【解析】甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：
抽中，剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對，則概率為：
；
抽中，且全部答對，則概率為：
；
抽中A，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：
；
抽中B，剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對，則概率為：
.
所以甲前3個題全答對的概率為.
故答案為：.
【變式3-4】（2024·天津河西·模擬預測）甲、乙兩名同學在電腦上進行答題測試，每套測試題可從題庫中隨機抽取.在一輪答題中，如果甲單獨答題，能夠通過測試的概率是，如果乙單獨答題，能夠通過測試的概率是.若甲單獨答題三輪，則甲恰有兩輪通過測試的概率為 ；若在甲，乙兩人中任選一人進行測試，則通過測試的概率為 .（結果均以既約分數表示）
【答案】
【解析】設“甲恰有兩輪通過測試”為事件A，則；
設“選中甲”為事件B，“選中乙”為事件C，“通過測試”為事件D，
根據題意得，，，，
則，
所以在甲，乙兩人中任選一人進行測試，通過測試的概率為.
故答案為：；.
題型四：相互獨立事件概率的綜合應用
【典例4-1】（2024·江西新余·模擬預測）小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對弈，勝者繼續與上一場輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場比賽，則其為最終獲勝者.
(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？
(2)求最終小金獲勝的概率.
(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.
【解析】（1）第一場比賽小郅獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小睿獲勝，滿足題意；
第一場比賽小睿獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小郅獲勝，滿足題意；
所以需要下第四場比賽的概率為
（2）由題意，最終小金獲勝的情況如下，
當小金第一場輪空，
第一場小郅勝小睿輸，第二場小金勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，此時，
第一場小睿勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，
則小金獲勝，
當小金第一場不輪空，
第一場小郅勝小金輸，第二場小睿勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，
第一場小金勝小郅輸，第二場小睿勝小金輸，第三場小郅勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，
第一場小金勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，此時，
所以第一場小郅與小金比賽，小金獲勝概率為，
同理，第一場小睿與小金比賽，小金獲勝概率為，
故小金獲勝概率為
（3）法一：設A：小金最終獲勝；B：小郅第一場未輪空且獲勝，則，
結合（2）知，
法二：第一場小睿輪空時，小金最終獲勝概率為，
第一場小金輪空時，小金最終獲勝概率為，
【典例4-2】（2024·浙江·二模）小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數字．
(1)求五張卡片上的數字都不相同的概率；
(2)證明：這五張卡片上最大的數字最可能是5．
【解析】（1）．
（2）記為這五張卡片上最大的數字，則．
由，
由，
所以這五張卡片上最大的數字最可能是5.
【方法技巧】
1、求復雜事件的概率一般可分三步進行
（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當的符號表示它們；
（2）理清各事件之間的關系，恰當地用事件間的“并”“交”表示所求事件；
（3）根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算．
2、計算事件同時發生的概率常用直接法，當遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對立事件，用間接法處理．
【變式4-1】（2024·陜西銅川·三模）學校團委和工會聯合組織教職員工進行益智健身活動比賽.經多輪比賽后，由教師甲 乙作為代表進行決賽.決賽共設三個項目，每個項目勝者得10分，負者得分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結果相互獨立.甲 乙獲得冠軍的概率分別記為.
(1)求甲教師總得分為0分的概率；
(2)判斷甲 乙獲得冠軍的實力是否有明顯差別（若，則認為甲 乙獲得冠軍的實力有明顯差別，否則認為沒有明顯差別.）.
【解析】（1）甲教師總得分為0分，
甲教師在三個項目比賽中贏一項輸兩項.
所求概率為.
（2）不妨設教師甲在三個項目中獲勝的事件依次為，
則教師甲獲得冠軍的概率
，
則教師乙獲得冠軍的概率，
，
，
甲 乙獲得冠軍的實力沒有明顯差別.
【變式4-2】（2024·山東·模擬預測）已知，，，四名選手參加某項比賽，其中，為種子選手，，為非種子選手，種子選手對非種子選手種子選手獲勝的概率為，種子選手之間的獲勝的概率為，非種子選手之間獲勝的概率為．比賽規則：第一輪兩兩對戰，勝者進入第二輪，負者淘汰；第二輪的勝者為冠軍.
(1)若你是主辦方，則第一輪選手的對戰安排一共有多少不同的方案？
(2)選手與選手相遇的概率為多少？
(3)以下兩種方案，哪一種種子選手奪冠的概率更大？
方案一：第一輪比賽種子選手與非種子選手比賽；
方案二：第一輪比賽種子選手與種子選手比賽．
【解析】（1）第一輪選手的對戰情況分別為，，，故總方案數3；
（2）設事件“選手與選手相遇”，
當對戰為時，，兩選手相遇的概率為1；
當對戰為時，，兩選手相遇的概率為；
當對戰為時，，兩選手相遇的概率為；
抽到三種對戰的概率均為，則.
綜上可知選手與選手相遇的概率為.
（3）設采用方案一，二種子選手奪冠的概率分別為，，則
采用方案一，假設分組為，
第一輪兩種子選手獲勝，則第二輪種子選手一定奪冠：，
第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：，
第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：，
第一輪選手獲勝，則種子選手不能獲勝，
所以；
采用方案二：假設分組為，
第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：，
第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：，
第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：，
第一輪選手獲勝，第二輪獲勝：，
則，所以，
因此方案一種子選手奪冠的概率更大.
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現設置300萬元獎金，若甲在前3局中已經勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的，如果再繼續比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的，第4局甲失敗，甲拿走獎金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎金．
【解析】（1）站在甲的角度，甲在第3局中獲勝包含4種情況：勝勝勝，勝負勝，負勝勝，負負勝，
所以甲在第3局中獲勝的概率；
（2）方案一：停止比賽，甲拿到獎金的期望為（萬元）．
方案二；設甲在前3局中已經勝了2局的情況下第4局獲勝的事件為，
前三局的情況有：
勝勝負，概率；
勝負勝，概率；
負勝勝，概率．
再繼續比賽，第4局甲獲勝的概率
，
第4局甲失敗的概率，
所以甲拿到獎金的期望（萬元）．
因為，所以選擇停止比賽，拿到獎金的期望更高．
【變式4-4】（2024·新疆·二模）目前不少網絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．
(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；
(2)若未來10天內虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數為．
①判斷為何值時，最大；
②記，求．
【解析】（1）由已知小李第天和第天都沒有觀看虛擬主播直播的概率為，
所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.
（2）①由已知服從二項分布，所以，
由，
當時，，所以，即，
當時，，所以，即，
綜上，當時，最大.
②因為，所以或，
當時，，
，
當時，，
，
.
題型五：全概率公式及其應用
【典例5-1】（2024·高三·上?！ら_學考試）某工廠有四條流水線生產同一產品，已知這四條流水線的產量分別為30000只、40000只、60000只和70000只，又知這四條流水線的產品合格率依次為0.95、0.96、0.97和0.98，則從該廠的這一產品中任取一件，抽到不合格品的概率是 .
【答案】/
【解析】由題意可知這四條流水線的產品不合格率依次為0.05、0.04、0.03和0.02，
設“任取一件產品，結果是不合格品”，
“任取一件產品，結果是第條流水線的產品”，，，，，
根據已知題意得，，
，
，
，
，，，，
根據全概率公式可得
.
故答案為：.
【典例5-2】（2024·高三·北京·開學考試）已知甲盒中有3個白球，2個黑球；乙盒中有1個白球，2個黑球．若從這8個球中隨機選取一球，該球是白球的概率是 ；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是 ．
【答案】 /
【解析】根據題意，從這個8個球中隨機選取一球，該球是白球的概率是；
設“取出甲盒”為事件，“取出乙盒”為事件，“取到的球是白球”為事件，
則
.
所以從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是.
故答案為：；.
【方法技巧】
全概率公式在解題中體現了“化整為零、各個擊破”的轉化思想，可將較為復雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮．
【變式5-1】（2024·江蘇南京·模擬預測）在概率論中，全概率公式指的是：設為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對任意的事件，有．若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有個白球、3個紅球、2個黑球，現從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為 ．
【答案】6
【解析】設第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為，，，
從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為，
則，
可得
，
解得，則的最大值為6．
故答案為：6.
【變式5-2】（2024·天津河西·模擬預測）甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設次傳球后球在甲手中的概率為，則 ； ．
【答案】 /0.25
【解析】設“經過次傳球后，球在甲的手中”，則事件的概率即，則
依題意，，則
，
即，(*)
因代入解得，，；
由（*）可得，，且，
故數列是以為首項，為公比的等比數列，
于是，，則得，.
故答案為：；.
【變式5-3】（2024·廣東肇慶·模擬預測）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數為，恰有1個黑球的概率為，則的值是 ；的數學期望是 .
【答案】
【解析】考慮到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
記取0，1，2，3的概率分別為，，，，
推導的分布列：
，，，
則
，
則，
故
給合，可知.
故答案為： ;.
【變式5-4】近年來，我國外賣業發展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線．某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設事件第次取單恰好是從1號店取單是事件發生的概率，顯然，則
【答案】
【解析】由題意可知，由全概率公式可得，，
所以，
又因為，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以．
故答案為： ．
題型六：貝葉斯公式及其應用
【典例6-1】托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的問題中得到了一個公式：．這個定理在實際生活中有著重要的應用價值．假設某種疾病在所有人群中的感染率是，醫院現有的技術對于該疾病檢測準確率為，即已知患病情況下，的可能性可以檢查出陽性，正常人的可能性檢查為正常．如果從人群中隨機抽一個人去檢測，經計算檢測結果為陽性的全概率為0.01098，請你用這個公式估計在醫院給出的檢測結果為陽性的條件下這個人得病的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】記一個人得病為事件A，檢測結果為陽性為事件B，
則，，，
所以，
所以在醫院給出的檢測結果為陽性的條件下這個人得病的概率為，
故選：C．
【典例6-2】某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為.若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為 .
【答案】
【解析】設下午打籃球為事件，晚上跑步為事件，易知，，
∴，
∴.
故答案為：
【方法技巧】
1、利用貝葉斯公式求概率的步驟
第一步：利用全概率公式計算，即；
第二步：計算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關系，即．
【變式6-1】（2024·高三·江蘇揚州·期末）有一個郵件過濾系統，它可以根據郵件的內容和發件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統的測試具有以下結果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為 .
【答案】
【解析】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，則，，，
所以，，
故，
所以.
故答案為：
【變式6-2】（2024·浙江·二模）小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發現自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數列，則小明在第2天存入了100元概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】余額恰好成等差數列，即，
其中第天存入元的是，
故所求概率為.
故選：A
【變式6-3】（2024·天津·模擬預測）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元．ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中，某學習小組設計了如下問題進行研究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為 ；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 ．
【答案】 /0.4
【解析】記事件表示“抽出的2個球中有紅球”，事件表示“兩個球都是紅球”，
則，，
故，
即從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為；
設事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，
則，，
，，
所以
，
所以，
即若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.
故答案為：；
【變式6-4】隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式有自駕 坐公交車 騎共享單車三種，某天早上他選擇自駕 坐公交車 騎共享單車的概率分別為，而他自駕 坐公交車 騎共享單車遲到的概率分別為，則小明這一天遲到的概率為 ；若小明這一天遲到了，則他這天是自駕上班的概率為 .
【答案】
【解析】由題意設事件表示“自駕”，事件表示“坐公交車”，
事件表示“騎共享單車”，事件表示“遲到”，
則.
由全概率公式可得小明這一天遲到的概率：
.
解法一：小明遲到了，由貝葉斯公式得
他自駕去上班的概率是.
解法二：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率.
故答案為：；.
【變式6-5】（2024·高三·浙江·開學考試）隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是 ．
【答案】
【解析】法1：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，
事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，
則；
，
小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，
法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率，
故答案為：．
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
【典例7-1】（2024·高三·湖南衡陽·開學考試）假設在數字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機干擾，當傳送信號0時，接收到信號為0的概率為0.8，當傳送信號1時，接收到信號為1的概率為0.9.求：
(1)當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率；
(2)在信息傳送過程中，當第一個人接收到信息后，將信息發送給第二個人，這樣依次傳遞下去，在n次傳遞中，0出現的次數為，求.
【解析】（1）記“傳送信號0”， “傳送信號1”， “接收信號0”.
可知，，，，
由貝葉斯公式得所求的概率為：
，
即當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率為.
（2）在一次傳送中，接收到0的概率為，
每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有，
所以.
【典例7-2】假定用血清甲胎球蛋白法診斷肝癌，，，這里表示被檢驗者患有肝癌這一事件，表示判斷被檢驗者患有肝癌這一事件．又設在自然人群中．現在若有一人被此檢驗法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
【解析】由題意，此人真正患有肝癌的概率為．由貝葉斯公式，
得.
【方法技巧】
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式．
【變式7-1】在數字通信中，由于存在隨機干擾，因此接收到的信號與發出的信號可能不同，為了確定發出的信號，通常需要計算各種概率，下面只討論一種比較簡單的模型——二進位信道．若發報機分別以0.7和0.3的概率發出信號0和1（譬如分別用低電平與高電平表示），由于隨機干擾的影響，當發出信號0時，接收機不一定收到0，而是分別以概率0.8和0.2收到0和1；同樣地，當發報機發出信號1時，接收機分別以概率0.9和0.1收到信號1和0．計算當接收機收到信號0時，發報機發出信號0的概率．
【解析】信號發出與接收的關系如圖所示，記為事件“發報機發出信號0”，為事件“發報機發出信號1”，為事件“接收機接到信號0”，
則我們要求的是．
由于，，，，
用貝葉斯公式，得
．
【變式7-2】某中學即將迎來百年校慶，校方準備組織校史知識競猜比賽.比賽規則如下：比賽分成三輪，每輪比賽沒有通過的學生直接淘汰，通過的學生可以領取獎品結束比賽，也可以放棄本輪獎品繼續下一輪比賽，三輪都通過的學生可獲得獎品一紀念版手辦.已知學生每輪通過的概率都為，通過第一輪比賽后領取獎品結束比賽的概率為，通過第二輪比賽后領取獎品結束比賽的概率為.
(1)求學生小杰獲得獎品的概率；
(2)已知學生小杰獲得獎品，求他至少通過兩輪比賽的概率；
(3)求學生小杰通過的比賽輪數的分布列與數學期望.
【解析】（1）記事件：學生通過第輪，事件：學生通過第輪就選擇獎品離開，
事件：學生通過第輪且繼續答題，），
由題意得，.
記事件：學生獲得獎品.則，
，
，
，
.
（2）學生小杰獲得獎品，則至少通過兩輪比賽的概率：.
（3）由題意，隨機變量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以期望為.
【變式7-3】（2024·福建廈門·模擬預測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.
【解析】（1）記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
則，，，
由全概率公式得：
.
（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
該球是取自甲箱的概率，
該球取自乙箱的概率，
因為，所以該球取自乙箱的可能性更大.
【變式7-4】（2024·安徽·模擬預測）現需要抽取甲 乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商品，稱為首次檢驗. 將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢驗. 首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為.
(1)求首次檢驗抽到合格產品的概率；
(2)在首次檢驗抽到合格產品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；
(3)將首次檢驗抽出的合格產品放回原來的箱子，繼續進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取. 比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.
【解析】（1）將首次檢驗選到甲箱記為事件，選到乙箱記為事件，首次檢驗抽到合格品記為事件.
則首次檢驗抽到合格品的概率
.
（2）在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率
.
（3）將二次檢驗抽到合格品記為事件.
由上一小問可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率，
則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率.
.
從而，在首次檢驗通過，即事件發生的條件下：
①若選擇方案一，則，.
故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率.
所以在方案一下，檢驗通過的概率；
②若選擇方案二，則，.
故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率.
所以在方案二下，檢驗通過的概率.
而，故選擇方案一檢驗通過的概率更大.
【變式7-5】（2024·湖南·二模）現有甲、乙、丙三個工廠生產某種相同的產品進入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生產的產品能達到優秀等級的概率分別為，，，現有某質檢部門，對該產品進行質量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨機選擇一個工廠，然后從該工廠生產的產品抽取一件進行檢測.
(1)若該質檢部門的一次抽檢中，測得的結果是該件產品為優秀等級，求該件產品是從乙工廠抽取的概率；
(2)因為三個工廠的規模大小不同，假設三個工廠進入市場的產品的比例為2∶1∶1，若該質檢部門從已經進入市場的產品中隨機抽取10件產品進行檢測，求能達到優秀等級的產品的件數的分布列及數學期望.
【解析】（1）設“抽的產品是優秀等級”， “產品是從甲工廠生產”，
“產品是從乙工廠生產”，“產品是從丙工廠生產”，
則，，
則
，
則.
所以該件產品是從乙工廠抽取的概率為.
（2）依題意，設從市場中任抽一件產品達到優秀等級的概率為，
則，
由題意可知，
則，
則的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
故.
1．（2024年上海市1月春考數學試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件：所選盒中有中國結，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立
【答案】B
【解析】選項A，事件和事件可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯誤；
選項B，，，，
，B正確；
選項C，事件與事件可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本或筆袋，C錯誤；
選項D，，，，
，
與不獨立，故D錯誤．
故選：B．
2．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【解析】同時愛好兩項的概率為，
記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，
則，
所以.
故選:.
3．（2021年全國新高考I卷數學試題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
【答案】B
【解析】 ，
故選：B
4．（2014年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（全國Ⅱ卷））某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【答案】A
【解析】記“一天的空氣質量為優良”，“第二天空氣質量也為優良”，由題意可知,所以，故選A.
考點：條件概率．
1．分析如下三個隨機試驗及指定的隨機事件，并解答下面的問題．
：拋擲兩枚質地均勻的硬幣；事件“兩枚都正面朝上”．
：向一個目標射擊兩次，每次命中目標的概率為0.6；事件“命中兩次目標”．
：從包含2個紅球、3個黃球的袋子中依次任意摸出兩球；事件“兩次都摸到紅球”
(1)用適當的符號表示試驗的可能結果，分別寫出各試驗的樣本空間；
(2)指出這三個試驗的共同特征和區別；
(3)分別求A，B，C的概率．
【解析】（1）中用有序數對，表示樣本點，
其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其樣本空間為；
中用有序數對，表示樣本點，
其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其樣本空間為；
中用有序數對，表示樣本點，
其中“0”表示摸到紅球，“1”表示摸到黃球反面朝上，其樣本空間為；
（2）三個實驗的共同特征：完成一次實驗都要觀察兩個指標，即樣本點中包含兩個要素，并且每個要素都只有兩種可能結果，
所以它們的樣本點都可以用有序數對來表示，并且具有相同的表達形式；
三個試驗的區別：中的樣本點具有等可能性， ，中的樣本點不具有等可能性.
（3）因為基本事件共有4個，
所以兩枚都正面朝上.
因為每次命中目標的概率為0.6；
所以命中兩次目標的概率為：，
因為是從包含2個紅球、3個黃球的袋子中依次任意摸出兩球；
所以兩次都摸到紅球的概率是.
2．如圖，一個正八面體，八個面分別標以數字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數字，得到樣本空間為．構造適當的事件A，B，C，使成立，但不滿足A，B，C兩兩獨立．
【解析】設事件，,
則
則,
滿足，
由于,,
即與, 與,與都不相互獨立，即不滿足A，B，C兩兩獨立
3．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別是，求；
(1)兩人都成功破譯的概率；
(2)密碼被成功破譯的概率．
【解析】（1）記“甲譯出密碼”的事件為，“乙譯出密碼”的事件為，
則，，
所以.
則兩人都成功破譯的概率為.
（2）記“甲譯出密碼”的事件為，“乙譯出密碼”的事件為，“密碼被成功破譯”的事件為，，，
則事件的對立事件的概率，事件的對立事件的概率，
則甲乙兩人都沒有成功破譯密碼的概率
所以.
則密碼被成功破譯的概率為.
4．證明：當時，.據此你能發現計算的公式嗎？
【解析】因為，
所以；
所以.
5．在孟德爾豌豆試驗中，子二代的基因型為、、，其中為顯性基因，為隱性基因，且這三種基因型的比為.如果在子二代中任意選取顆豌豆作為父本母本雜交，那么子三代中基因型為的概率是多大？
【解析】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，
則，，.
在子二代中任取顆豌豆作為父本母本雜交，分以下三種情況討論：
①若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；
②若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；
③若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為.
綜上所述，
.
因此，子三代中基因型為的概率是.
6．一批產品共有100件，其中5件為不合格品.收貨方從中不放回地隨機抽取產品進行檢驗，并按以下規則判斷是否接受這批產品：如果抽檢的第1件產品不合格，則拒絕整批產品；如果抽檢的第1件產品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產品合格，則接受整批產品，否則拒絕整批產品.求這批產品被拒絕的概率.
【解析】抽檢第1件產品不合格的概率為，
抽檢的第1件產品合格，第2件產品不合格的概率為，
所以這批產品被拒絕的概率為.
7．在、、三個地區爆發了流感，這三個地區分別有、、的人患了流感假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任意選取一個人.
（1）求這個人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人選自地區的概率.
【解析】（1）記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，
則，且、、彼此互斥，
由題意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由條件概率公式可得.
8．甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球.擲一枚質地均勻的骰子，如果點數為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球.求摸到紅球的概率.
【解析】從甲箱中摸紅球：擲到點數為1或2的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，
故從甲箱中摸到紅球的概率為；
對于D，因為，，，
所以事件與事件相互獨立，故正確.
故選：D.
【易錯題2】若古典概型的樣本空間，事件，，則（ ）
A．B包含A B．A與B對立 C．A與B互斥 D．A與B相互獨立
【答案】D
【解析】事件A與B包含沒有包含關系，A選項錯誤；
事件，所以A與B不互斥也不對立，BC選項錯誤；
，，，
，所以事件A與B相互獨立，D選項正確.
故選：D.
答題模板：求條件概率
1、模板解決思路
條件概率是求解在某一事件A發生的條件下，另一事件B發生的概率。解決條件概率問題的思路主要包括以下幾步：首先，明確題目中給出的所有事件以及它們之間的關系；其次，根據條件概率的定義；最后，將已知的概率值代入公式進行計算，得出條件概率的結果。這一過程中，需要注意事件的獨立性和互斥性，以及如何利用這些性質簡化計算。
2、模板解決步驟
第一步：求出事件發生的概率．
第二步：求出事件與事件同時發生的概率．
第三步：利用公式求得條件概率．
【經典例題1】“端午節”是我國四大傳統節日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、歡慶娛樂和飲食為一體的民俗大節，其民間活動也是豐富多彩，有賽龍舟、鳳舟、吃粽子、飲雄黃、懸艾葉、驅五毒等等．某市為迎接端午，組織各式活動，其中賽龍舟競爭最為激烈，最終兩隊爭奪賽事第一，若奪標賽為“三局兩勝制”，甲隊在每局比賽中獲勝的概率為，且每場比賽結果相互獨立，則在甲隊獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進行了3局比賽的概率為 ．
【答案】
【解析】由題可得，“甲獲得冠軍的概率”記為事件，則，
“甲、乙兩隊進行了3局比賽”記為事件，則，
故甲獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊比賽進行了3局的概率為．
故答案為：.
【經典例題2】已知甲同學在上學途中要經過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續遇到紅燈的概率為0.4，則甲同學在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率是 .
【答案】
【解析】令“第一個路口遇到紅燈”，“第二個路口遇到紅燈”
則，于是，
所以所求概率為.
故答案為：
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