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微專題49 代數推理試題
1. “鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數乘法和簡單的加法運算.淇淇受其啟發，設計了如圖①所示的“表格算法”，圖①表示132×23，運算結果為3 036.圖②表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖②中現有數據進行推斷，正確的是（　　）
A. “20”左邊的數是16 B. “20”右邊的“”表示5
C. 運算結果小于6 000 D. 運算結果可以表示為4 100a＋1 025
第1題圖
2. 若k為任意整數，則（2k＋3）2－4k2的值總能（　　）
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
3. 在多項式x－y－z－m－n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”.
例如：x－y－｜z－m｜－n＝x－y－z＋m－n，｜x－y｜－z－｜m－n｜＝x－y－z－m＋n，….
下列說法：
①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；
③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果.
其中正確的個數是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. （2024德陽）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別填入如圖的八個圓圈內，使得任何兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1.經過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圓的數字a，b，你認為a可以是　　　　（填上一個數字即可）.
第4題圖
5. （2024內江）一個四位數，如果它的千位與十位上的數字之和為9，百位與個位上的數字之和也為9，則稱該數為“極數”.若偶數m為“極數”，且是完全平方數，則m＝ 　　　　.
6. 一個三位正整數，它的百位數字與個位數字相等，我們把這樣的三位正整數叫作“對稱數”，如101，232，555等都是“對稱數”.
（1）填空：
①101－（1＋0＋1）＝　　　　＝　　　　×11；
②232－（2＋3＋2）＝　　　　＝　　　　×25；
③555－（5＋5＋5）＝　　　　＝　　　　×60；
（2）小紅觀察（1）后有一個猜想：將“對稱數”減去其各位數字之和，所得結果能夠被9整除.請你再任意寫出另外兩個“對稱數”，并通過計算驗證小紅的猜想；
（3）設為一個對稱數，請你通過計算和推理說明小紅的猜想是正確的.
7. （2024涼山州）閱讀下面材料，并解決相關問題：
下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…
第7題圖
容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10.
（1）探索：三角點陣中前8行的點數之和為 　　　　，前15行的點數之和為 　　　　，那么，前n行的點數之和為 　　　　.
（2）體驗：三角點陣中前n行的點數之和　　　　 （填“能”或“不能”）為500.
（3）運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆…第n排2n盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？
8. （2024福建）已知實數a，b，c，m，n滿足3m＋n＝，mn＝.
（1）求證：b2－12ac為非負數；
（2）若a，b，c均為奇數，m，n是否可以都為整數？說明你的理由.
1. D　【解析】如解圖，由題意得，A＝5，B＝1，C＝4，D＝2，E＝8，F＝a，G＝4a，∴K＝5，H＝22，I＝8＋a，J＝4a.∴運算結果可以表示為：1 000(4a＋1)＋100a＋25＝4 100a＋1 025.
第1題解圖
2. B　【解析】(2k＋3)2－4k2＝4k2＋12k＋9－4k2＝12k＋9＝3(4k＋3)，∵k為任意整數，∴(2k＋3)2－4k2的值總能被3整除.
3. C　【解析】｜x－y｜－z－m－n＝x－y－z－m－n，故說法①正確；要使其運算結果與原多項式之和為0，則運算結果應為－x＋y＋z＋m＋n，由x＞y＞z＞m＞n可知，無論怎樣添加絕對值符號，結果都不可能出現－x＋y＋z＋m＋n，故說法②正確；當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是｜x－y｜－z－m－n＝x－y－z－m－n；x－｜y－z｜－m－n＝x－y＋z－m－n；x－y－｜z－m｜－n＝x－y－z＋m－n；x－y－z－｜m－n｜＝x－y－z－m＋n；當添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是｜x－y｜－｜z－m｜－n＝x－y－z＋m－n；｜x－y｜－z－｜m－n｜＝x－y－z－m＋n；x－｜y－z｜－｜m－n｜＝x－y＋z－m＋n.共有7種情況；有兩對運算結果相同，故共有5種不同運算結果，故說法③不符合題意.
4. 1(或8)
5. 1 188或4 752　【解析】設四位數m的個位數字為x，十位數字為y，(x是0到9的整數，y是0到8的整數)，∴m＝1 000(9－y)＋100(9－x)＋10y＋x＝99(100－10y－x)，∵m是四位數，∴99(100－10y－x)是四位數，即1 000≤99(100－10y－x)＜10 000，∵＝3(100－10y－x)，∴30≤3(100－10y－x)＜303，∵是完全平方數，∴3(100－10y－x)既是3的倍數也是完全平方數，∴3(100－10y－x)只有36，81，144，225這四種可能，∴是完全平方數的所有m值為1 188或2 673或4 752或7 425，∵m是偶數，∴m＝1 188或4 752.
6. 解：(1)①99，9；②225，9；③540，9；
(2)舉例：363，363－(3＋6＋3)＝351＝9×39；
888，888－(8＋8＋8)＝864＝9×96；(答案不唯一)
(3)設＝100a＋10b＋a，
則：100a＋10b＋a－(a＋b＋a)
＝100a＋10b＋a－a－b－a
＝99a＋9b
＝9(11a＋b)，
∵9(11a＋b)能被9整除，
∴100a＋10b＋a－(a＋b＋a)能被9整除，
∴小紅的猜想是正確的.
7. 解：(1)36，120，；
(2)不能；【解法提示】＝500，n為正整數，當n＝31時，＝496，n＝32時，＝528，故不能.
(3)擺放n排需要花數為2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋1)，n(n＋1)＝420，解得n＝20(負值已舍去)，
答：一共能擺放20排.
8. (1)證明：∵3m＋n＝，mn＝，
∴b＝a(3m＋n)，c＝amn.
則b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn
＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn
＝a2(9m2－6mn＋n2)
＝a2(3m－n)2.
∵a，m，n是實數，
∴a2(3m－n)2≥0，
∴b2－12ac為非負數；
(2)解：m，n不可能都為整數.
理由：若m，n都為整數，其可能情況有：
①m，n都為奇數；
②m，n為整數，且其中至少有一個為偶數.
①當m，n都為奇數時，則3m＋n必為偶數.
又∵3m＋n＝，∴b＝a(3m＋n).
∵a為奇數，
∴a(3m＋n)必為偶數，這與b為奇數矛盾；
②當m，n為整數，且其中至少有一個為偶數時，則mn必為偶數.
又∵mn＝，∴c＝amn.
∵a為奇數，∴amn必為偶數，這與c為奇數矛盾.
綜上所述，m，n不可能都為整數.

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