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微專題44　反比例函數綜合題
1. 如圖，已知點A（1，m）、B（n，1）在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，過點A的一次函數y＝kx＋b的圖象與y軸交于點C（0，1）.
（1）求m、n的值和一次函數的表達式；
（2）連接AB，求點C到線段AB的距離.
第1題圖
2. 如圖，已知一次函數y1＝x－3的圖象與反比例函數y2＝的圖象相交于點A（4，n），與x軸相交于點B.
（1）求n和k的值；
（2）以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，雙曲線交CD于點E，連接AE，BE，求△ABE的面積.
　第2題圖
3. 如圖，點A是第一象限內直線y＝2x上一點，過點A作AB⊥x軸于點B（a，0）（a＞0），將△ABO繞點A逆時針旋轉90°得到△ACD，點B的對應點C恰好落在反比例函數y＝（k≠0，x＞0）的圖象上.
（1）若AO＝2，求k的值；
（2）設直線y＝2x與反比例函數y＝（k≠0，x＞0）的圖象交于點P，且點P橫坐標為m.求證：為定值.
第3題圖
4. 如圖，一次函數y＝－x＋2的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，C為AB的中點，雙曲線的一支y＝（x＞0）過點C，連接OC，將線段OC沿著y軸向上平移至EF，線段EF交y＝（x＞0）的圖象于點D.
（1）求該反比例函數的表達式；
（2）若DE∶DF＝1∶2，求點D的坐標.
第4題圖
5. 如圖，Rt△OAB的頂點A的坐標為（2，2），∠ABO＝90°，且點B在x軸上，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點E（2，）且與AO相交于點D，點C與點O關于點B對稱，連接AC，BD，作直線DE.
（1）試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；
（2）求直線DE的表達式和△BDE的面積.
第5題圖
6. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA，OC分別在y軸和x軸上，點D為AB邊上的動點（不與點A，B重合），過點D的反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象與BC交于點E，連接OD，OE，DE.
（1）設S△AOD＝S1，S△OEC＝S2，當S1＋S2＝3時，求該反比例函數的表達式；
（2）若OA＝6，AB＝8，記S＝S△ODE－S△BDE，求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在點D，使得△BDE沿直線DE折疊后點B的對應點B'恰好落在OC邊上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.
第6題圖　　　　　備用圖
1. 解：(1)∵點A(1，m)，B(n，1)在反比例函數y＝的圖象上，
∴m＝3，n＝3.
又∵一次函數y＝kx＋b的圖象過點A(1，3)，C(0，1)，
∴解得
∴一次函數的表達式為y＝2x＋1；
(2)如解圖，連接BC，過點A作AD⊥BC，垂足為D，過點C作CE⊥AB，垂足為E.
∵C(0，1)，B(3，1)，
∴BC∥x軸，BC＝3.
∵點A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC于點D，
∴點D(1，1)，AD＝2，DB＝2.
在Rt△ADB中，AB＝＝2.
又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，
即×3×2＝×2·CE，
∴CE＝，即點C到線段AB的距離為.
第1題解圖
2. 解：(1)把A點坐標代入y1＝x－3中，得n＝×4－3＝3，
∴A(4，3)，
∵A點在反比例函數圖象上，
∴k＝3×4＝12；
(2)如解圖，過點A作AH⊥BC，垂足為H，連接AC，
∵A(4，3)，∴AH＝3，
當y1＝0時，得x－3＝0，
解得x＝2，
∴點B的坐標為(2，0)，
∴AB＝＝，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝，AB∥CD，
∴S△ABE＝S△ABC＝BC·AH＝××3＝.
第2題解圖
3. (1)解：∵AB⊥x軸于點B(a，0)，點A是直線y＝2x上一點，
∴A(a，2a)，
∴OB＝a，AB＝2a，
在Rt△ABO中，
∵AO＝2，AB2＋OB2＝AO2，
∴(2a)2＋a2＝(2)2，
解得a＝2(負值已舍去)，
∴AB＝4，BO＝2，
根據旋轉的性質，得AC＝AB＝4，∠ACD＝∠ABO＝90°，
∴C(6，4)，
∵點C在反比例函數y＝圖象上，
∴k＝6×4＝24；
(2)證明：由旋轉可得OB＝CD＝a，由(1)知A(a，2a)，
∴AC＝AB＝2a，
∴點C的坐標為(3a，2a)，
∴k＝2a·3a＝6a2.
∵直線y＝2x與反比例函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象交于點P，點P的橫坐標為m，
∴2m＝，即＝3.
由題意得，點P在第一象限內，
∴m＞0且a＞0，
∴＝，
∴為定值.
4. 解：(1)在一次函數y＝－x＋2中，當x＝0時，y＝2，當y＝0時，x＝4，
∴一次函數y＝－x＋2的圖象交x軸于點A(4，0)，交y軸于點B(0，2)，
∵C為AB的中點，
∴點C(2，1)，
∵點C(2，1)在反比例函數y＝(x＞0)的圖象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函數的表達式為y＝；
(2)如解圖，連接FC，過點D作x軸的平行線與FC交于點N，與y軸交于點M，
由題意可得FC∥y軸，
∴△EMD∽△FND，
∴＝＝，
∴MD＝MN＝×2＝，
即點D的橫坐標為，
∵點D在反比例函數圖象上，
∴當x＝時，y＝＝3，
∴點D(，3).
第4題解圖
5. 解：(1)BD∥AC，BD＝AC.理由如下：
∵反比例函數y＝的圖象經過點E(2，)，
∴k＝2×＝1，
∴反比例函數的表達式為y＝.
又∵點A的坐標為(2，2)，
∴OA所在直線表達式為y＝x，令y＝，解得x＝1或x＝－1(舍去)，
∴D(1，1)，
∴點D為OA的中點，
∵點C與點O關于點B對稱，
∴點B為OC的中點，即BD為△AOC的中位線，
∴BD∥AC，BD＝AC；
(2)設直線DE的表達式為y＝ax＋b(a≠0)，
將D(1，1)，E(2，)分別代入，
得，解得，
∴直線DE的表達式為y＝－x＋.
∵點A的坐標為(2，2)，∠ABO＝90°，點B在x軸上，
∴點B的坐標為(2，0)，
∴BE＝，
∴S△BDE＝BE×(｜xE｜－｜xD｜)＝××(2－1)＝.
6. 解：(1)∵點D，E在反比例函數y＝(k＞0，x＞0)的圖象上，
∴設D(x1，)，E(x2，)，x1＞0，x2＞0，x2＞x1，
∴S1＝x1·＝，S2＝x2·＝.
∵S1＋S2＝3，
∴＋＝3，
∴k＝3，
∴反比例函數的表達式為y＝(x＞0)；
(2)由題意得，D(，6)，E(8，)，
∴S△BDE＝BD·BE＝(8－k)(6－k)，
∴S△ODE＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝6×8－k－k－S△BDE＝48－k－S△BDE，
∴S＝S△ODE－S△BDE＝48－k－2S△BDE＝48－k－2×(8－k)(6－k)，
∴S＝－k2＋k.
∵－＜0，
∴當k＝－＝24時，S有最大值，最大值為－×242＋24＝12；
(3)存在.如解圖，過點D作DF⊥OC于點F.
由題意得，DF＝AO＝6，DB＝DB'＝8－k，B'E＝BE＝6－k，∠DB'E＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠DB'F＋∠EB'C＝∠EB'C＋∠B'EC＝90°，
∴∠DB'F＝∠B'EC.
又∵∠DFB'＝∠B'CE＝90°，
∴△DFB'∽△B'CE，
∴＝，
∴＝＝，
∴B'C＝.
∵B'C2＋CE2＝B'E2，
∴()2＋()2＝(6－k)2，解得k＝，
∴DB'＝DB＝8－＝，
∴AD＝AB－DB＝，
∴存在符合條件的點D，點D的坐標為(，6).
第6題解圖

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