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微專題43　圓的綜合題
類型一　與銳角三角函數(shù)結(jié)合
1. 如圖，AB為☉O的直徑，△BCD內(nèi)接于☉O，連接DA并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，且∠E＝∠ABC.
（1）求證：BC＝EC；
（2）若EC＝20，tan ∠BCD＝，求☉O的半徑.
第1題圖
2. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，對角線BD為☉O的直徑，對角線AC是∠BCD的平分線，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CB的延長線于點(diǎn)E.
（1）求證：AE是☉O的切線；
（2）若∠AEB＝60°，BD＝2，求AC的長.
第2題圖
3. （2021廣東24題10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.
（1）求證：CF⊥FB；
（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積.
第3題圖
類型二　與全等三角形結(jié)合
1. 如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，以直角邊AB為直徑作☉O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD.
（1）若∠C＝30°，求的值；
（2）過點(diǎn)D作☉O的切線，交BC于點(diǎn)E，求證：E是BC的中點(diǎn).
第1題圖
2. （2024梅州模擬）如圖，P為☉O外一點(diǎn)，PA，PB為☉O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線PO交☉O于點(diǎn)D，E，交AB于點(diǎn)C.
（1）求證：∠ADE＝∠PAE；
（2）若∠ADE＝30°，連接BD，求證：四邊形ADBP是菱形.
第2題圖
3. 如圖，BC為☉O的弦，點(diǎn)A為劣弧的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作☉O的切線AE，連接CE，CE∥AD，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，AF＝BD，連接AB，AC，CF.
（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）當(dāng)BD＝EF＝AB時(shí)，求證：AC＝AD.
第3題圖
4. （2023廣東22題12分）綜合探究
如圖①，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A'.連接AA'交BD于點(diǎn)E，連接CA'.
（1）求證：AA'⊥CA'；
（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓.
①如圖②，☉O與CD相切，求證： AA'＝CA'；
②如圖③，☉O與CA'相切，AD＝1，求☉O的面積.
第4題圖
類型三　與相似三角形結(jié)合
[6年2考：2020.22（2），2019.24（3）]
1. 如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，AB是☉O的直徑，D是☉O上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作☉O的切線交DB的延長線于點(diǎn)E，且DE⊥CE.
（1）求證：AC＝CD；
（2）若☉O的半徑為5，BC＝6，求BD的長.
第1題圖
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，△ADE的外接☉O與BC交于點(diǎn)F，連接AF，AF平分∠BAC.
（1）求證：BC為☉O的切線；
（2）若AD·CE＝8，求☉O的半徑.
第2題圖
3. （2024珠海一模）如圖，AB是☉O的直徑，C是半圓AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，連接CD交AB于E，點(diǎn)F是AB延長線上一點(diǎn)，且EF＝DF.
（1）求證：DF是☉O的切線；
（2）連接BC，BD，AD，若tan ∠BCD＝，DF＝3，求☉O的半徑.
第3題圖
4. 如圖①，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，AB＝AC，且△ABC內(nèi)接于☉O.
（1）當(dāng)BC為☉O直徑時(shí)，求證：BC＝AB；
（2）如圖②，當(dāng)CD與☉O相切時(shí)，求證：四邊形ABCD是菱形；
（3）如圖③，當(dāng)CD與☉O相交于點(diǎn)E時(shí)，連接BE，交AC于點(diǎn)F，若EF·AB＝CE2，求∠D的度數(shù).
第4題圖
類型一　與銳角三角函數(shù)結(jié)合
1. (1)證明：如解圖，連接AC，
∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∵∠E＝∠ABC，∴AE＝AB，∴BC＝EC；
第1題解圖
(2)解：∵∠DAB＝∠BCD，
∴tan∠DAB＝tan∠BCD＝，
∵AB是☉O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠DAB＝＝，
設(shè)AD＝7x，則BD＝24x，
∴AB＝＝25x，
∴由(1)知，AE＝AB＝25x，
∴DE＝AE＋AD＝25x＋7x＝32x，
∵CE＝20，
∴BE＝2CE＝40，
在Rt△BDE中，
∵BD2＋DE2＝BE2，
∴(24x)2＋(32x)2＝402，解得x＝1(負(fù)值已舍去)，
∴AB＝25x＝25，
∴☉O的半徑為.
2. (1)證明：如解圖，連接OA，
∵AC是∠BCD的平分線，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠AOB＝∠AOD，
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵BD∥AE，
∴∠OAE＝∠AOD＝90°，
∵OA是☉O的半徑，
∴AE是☉O的切線；
(2)解：如解圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，
∵AE∥BD，∴∠AEB＝∠CBD＝60°，
∵BD是☉O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝30°，∴BC＝BD＝，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF＝BF＝BC·sin 45°＝1，
∵∠BAC＝∠BDC＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝，
∴AC＝AF＋CF＝＋1.
第2題解圖
3. (1)證明：∵CD＝DF，
∴設(shè)∠DCF＝∠DFC＝α，
∴∠FDC＝180°－2α，
∵CD∥AB，
∴∠BAF＝180°－(180°－2α)＝2α，
又∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝＝90°－α，
∴∠CFB＝180°－∠DFC－∠AFB＝180°－α－(90°－α)＝90°，
∴CF⊥FB；
(2)證明：如解圖①，取AD的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠DCB＝90°，
又∵OM⊥BC，
∴OM∥AB，
∴點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴OM＝(AB＋CD)，
又∵AF＝AB，DF＝DC，
∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD＝2OM，
∴OM＝AD＝OD，
∴OM是以AD為直徑的圓的半徑，
又∵OM⊥BC，
∴以AD為直徑的圓與BC相切；
(3)解：∵∠DFE＝120°，∠ABC＝90°，CD∥EF，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠CDF＝60°，∠BAF＝120°，∠AFE＝60°，∠CEF＝∠BEF＝∠EBA＝90°，
又∵DC＝DF，
∴△DCF為等邊三角形，∠DFC＝60°，
∴∠CFE＝60°，
由(1)得∠CFB＝90°，
∴∠EFB＝∠CFB－∠CFE＝30°，
∵EF＝2，
∴在Rt△BFE中，BE＝EF·tan 30°＝，
在Rt△CEF中，CE＝EF·tan 60°＝2，
如解圖②，過點(diǎn)D，A分別作EF的垂線，交直線EF于點(diǎn)H，N，
則四邊形CEHD，四邊形EBAN均為矩形，∴CE＝DH＝2，BE＝AN＝，
∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA
＝EF·DH＋EF·AN
＝EF·(DH＋AN)
＝×2×(2＋)
＝.
第3題解圖
類型二　與全等三角形結(jié)合
1. (1)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵AB為☉O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝BD，CD＝BD，
∴＝＝；
(2)證明：如解圖，連接OD，OE，
∵DE是☉O的切線，
∴∠ODE＝90°，
在Rt△OBE與Rt△ODE中，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠DBE，
∵∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠C，
∴DE＝CE，
∴BE＝CE，
∴E是BC的中點(diǎn).
第1題解圖
2. 證明：(1)如解圖①，連接OA，
第2題解圖①
∵DE是☉O的直徑，
∴∠DAE＝90°，
即∠DAO＋∠OAE＝90°，
∵PA為☉O的切線，
∴∠PAO＝90°，
即∠PAE＋∠OAE＝90°，
∴∠DAO＝∠PAE，
∵AO＝DO，
∴∠DAO＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠PAE；
(2)如解圖②，連接OA，OB，
∵∠ADE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵PA為☉O的切線，
∴∠PAO＝90°，
∴∠APO＝90°－∠AOE＝30°，
∴AD＝AP，
∵PA，PB為☉O的切線，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵PO＝PO，OA＝OB，
∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠ADE＝∠BPO，
∴AD∥PB，
∵PA＝PB＝AD，
∴四邊形ADBP是平行四邊形，
又∵AD＝AP，
∴四邊形ADBP是菱形.
第2題解圖②
3. 證明：(1)如解圖，連接OA，
∵點(diǎn)A為劣弧的中點(diǎn)，AE是☉O的切線，
∴OA⊥BC，DA⊥AE，
∴AE∥BC，即AE∥CD，
∵CE∥AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形；
第3題解圖
(2)∵BD＝AF，BD＝EF，
∴AF＝EF，∴BD＝AE，
∵點(diǎn)A為劣弧的中點(diǎn)，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝AB，
∴BD＝AC，∴AC＝AE，
由(1)得AE∥CD，
∴∠ACB＝∠CAF，
∴∠ABD＝∠CAF，
∴△ABD≌△CAF(SAS)，
∴AD＝CF，
由(1)知四邊形ADCE為平行四邊形，
∴AD＝CE，∴CF＝CE，
∴∠E＝∠EFC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝∠EFC，
∴△EFC∽△ECA，∴＝，
設(shè)EF＝x，則AC＝AE＝2x，
∴＝，∴CE＝x，∴AD＝x，
∴＝＝，∴AC＝AD.
4. (1)證明：∵點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A'，
∴AE＝A'E，AA'⊥BD，即AA'⊥OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE是△ACA'的中位線，
∴OE∥CA'，
∴AA'⊥CA'； (3分)
(2)①證明：如解圖①，設(shè)CD與☉O相切于點(diǎn)F，連接FO并延長，交AB于點(diǎn)G，
∴FG⊥CD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝BD，AB∥CD，F(xiàn)G⊥AB，
∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)， (5分)
∴OG＝OF＝OE，
由(1)知AA'⊥BD，
∵OG⊥AB，
∴Rt△DEA≌Rt△OGA(HL)，
∴∠EAO＝∠GAO，
∴∠GBO＝∠EAO，
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，
∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由(1)知AA'⊥CA'，
∴tan∠EAO＝＝，
∴AA'＝CA'； (7分)
第4題解圖①
②解：如解圖②，設(shè)CA'與☉O相切于點(diǎn)H，連接OH，
∵☉O與CA'相切，
∴OH⊥CA'，
由(1)知，AA'⊥CA'，AA'⊥BD，OA＝OC，
∴四邊形OHA'E為矩形，
∵OE＝OH，
∴四邊形OHA'E為正方形，
∴AA'＝2A'E＝2OH，CA'＝2A'H＝2OE，
∴AA'＝CA'，
∴∠A'AC＝∠A'CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA'＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
設(shè)AE＝DE＝x，則OD＝OA＝x，
∴DE＝OD－OE＝(－1)x，
在Rt△ADE中，x2＋[(－1)x]2＝12，
∴x2＝，即AE2＝OE2＝，
∴S☉O＝π·OE2＝. (12分)
第4題解圖②
類型三　與相似三角形結(jié)合
1. (1)證明：如解圖，連接OC，AD，
∵CE是☉O的切線，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠OCB＝∠CBE.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBE＝∠OBC.
∵四邊形ACBD內(nèi)接于☉O，
∴∠CAD＝∠CBE.
∵∠ADC＝∠ABC＝∠CBE，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴AC＝CD；
第1題解圖
(2)解：∵☉O的半徑為5，
∴AB＝10，
在Rt△ABC中，BC＝6，∴CD＝AC＝＝8.
∵∠BAC＝∠BDC，∠ACB＝∠CED＝90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴＝＝，即＝＝，解得DE＝，CE＝.
在Rt△BCE中，BE＝＝，
∴BD＝DE－BE＝.
2. (1)證明：如解圖，連接OF，
∵∠BAC＝90°，∴DE是☉O的直徑，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°，∴∠DOF＝2∠DAF＝90°，
∵DE∥BC，∴∠OFB＝180°－∠DOF＝90°，
∵OF為☉O的半徑，
∴BC為☉O的切線；
(2)解：如解圖，連接DF，EF，
∵四邊形ADFE是☉O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADF＋∠AEF＝180°，
又∵∠CEF＋∠AEF＝180°，
∴∠ADF＝∠CEF，
∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，
∵∠DAF＝∠DEF，
∴∠DAF＝∠EFC，
∴△DAF∽△EFC，∴＝，
∴EF·DF＝DA·EC＝8，
∵∠DAF＝∠CAF＝45°，
∴EF＝DF，∴EF2＝8，
∴EF＝2，
∵OE＝OF，
∴OE＝EF＝2，
∴☉O的半徑為2.
第2題解圖
3. (1)證明：如解圖，連接OD，OC，
∵C是半圓AB的中點(diǎn)，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠OCE＋∠OEC＝90°.
∵∠OEC＝∠DEF，
∴∠DEF＋∠OCD＝90°.
∵EF＝DF，
∴∠DEF＝∠EDF，
∴∠EDF＋∠OCD＝90°.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠EDF＋∠ODC＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∵OD為☉O的半徑，
∴DF是☉O的切線；
(2)解：∵∠BCD＝∠A，tan∠BCD＝，
∴tan A＝tan ∠BCD＝，
∵AB是☉O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴tan A＝＝，
∵∠ODF＝∠ADB＝90°，
∴∠ODA＝∠BDF，
又∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠BDF＝∠A，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDA，
∴＝＝＝，
∵DF＝3，
∴FB＝，AF＝6，
∴AB＝AF－BF＝6－＝，
∴☉O的半徑為×＝.
第3題解圖
4. (1)證明：∵△ABC內(nèi)接于☉O，BC為☉O直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB；
(2)證明：如解圖①，連接CO并延長交AB于點(diǎn)K，
∵CD與☉O相切，
∴OC⊥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∴CK⊥AB，∴AK＝BK，
∴直線CK垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；
第4題解圖①
(3)解：如解圖②，連接AE，
∵EF·AB＝CE2，
∴＝，
由(2)得四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠ACD，∠BAD＋∠D＝180°，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，∴EF＝CF，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴∠CEF＝∠CAE，即∠BEC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC＝∠ACE，
∵四邊形ABCE內(nèi)接于☉O，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°，
∵∠AEC＋∠AED＝180°，
∴∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC＝∠D＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC，
設(shè)∠BAC＝α，則∠ABC＝∠ACB＝∠D＝＝90°－α，∠CAE＝∠DAE＝α，
∵∠BAD＋∠D＝180°，
∴3α＋90°－α＝180°，
解得α＝36°，
∴∠D＝90°－α＝90°－×36°＝72°.
第4題解圖②

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