資源簡介

微專題42　幾何最值問題
類型一　利用“垂線段最短”解決最值問題
方法解讀
類型 一定一動型 一定兩動型
條件 P是直線l外的定點，H是直線l上的動點 M是∠BAC內部的定點，N，P分別是AB，AC上的動點
圖示
結論 線段PH是點P到直線l的最短距離 PM＋PN的最小值為M'N的長
1. （人教八上練習改編）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點D是BC邊上的動點，則線段AD的最小值是　　　　.
第1題圖
2. （2024東莞模擬）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點P是邊BC上的動點，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACQ，點D是AC邊的中點，連接DQ，則DQ的最小值是　　　　.
第2題圖
3. 如圖，在△ABC中，∠ABC＝35°，D是邊AC上一點，E，F分別是射線BA，BC上異于點B的動點，連接DB，DE，EF，若∠CBD＝10°，BD＝6，則DE＋EF的最小值為　　　　.
第3題圖
4. （2024中山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是　　　　.
第4題圖
5. （2024梅州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x＋6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P在線段AB上，PC⊥x軸于點C，則△PCO周長的最小值為　　　　.
第5題圖
6. 如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，點P，Q，R分別為邊BC，AB，AC上（均不與端點重合）的動點，當△PQR的周長最小時，則∠PQR＋∠PRQ的度數為　　　　.
第6題圖
類型二　利用“兩點之間線段最短”解決最值問題
方法解讀
類型 兩定點＋一動點型 一定點＋兩動點型 兩定點＋定長型
條件 異側 同側 P是∠AOB內部的定點，M，N分別是OA，OB上的動點 A，B是定點，M，N分別是l1，l2上的動點，且MN⊥l1
A，B是定點，P是直線l上的動點
圖示
結論 PA＋PB的最小值為AB的長 PA＋PB的最小值為AB'的長 △PMN周長的最小值為P'P″的長 AM＋MN＋BN的最小值為A'B＋MN的長
1. （北師九上隨堂練習改編）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E為邊AB上一點，且AE＝1，F為對角線BD上一動點，連接EF，CF，則EF＋CF的最小值為　　　　.
第1題圖
2. 如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，AC＝3，BC的垂直平分線DE分別交AB，BC邊于點D，E，F為AC邊的中點，P為線段DE上一動點，若△ABC的面積是9，則PC＋PF的最小值為　　　　.
第2題圖
3. 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點A，B（4，0），與y軸交于點C（0，－3）.點P是拋物線對稱軸上一點，連接AP、CP，當AP＋CP的值最小時，點P的坐標為　　　　.
第3題圖
4. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分別是AB，CD上的動點，EF∥BC，則AF＋EF＋CE的最小值為　　　　.
第4題圖
5. （2024香洲區二模）如圖，點A（1，m）和B（n，2）在反比例函數y＝的圖象上，點C，D分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的動點，連接AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD周長的最小值為　　　　.
第5題圖
類型三　與圓有關的最值問題（6年5考）
考向1　點圓、線圓最值問題
方法一　點圓最值問題
方法解讀
條件：如圖，平面內一定點D和☉O，E是☉O上的動點，連接DE.
結論：當圓心O在線段DE上時，DE取得最大值（圖①），當圓心O在DE的延長線上時，DE取得最小值（圖②）.
1. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，☉O的半徑為1，若圓心O在矩形ABCD的邊上運動，則點C到☉O上的點的距離的最大值為　　　　.
第1題圖
2. （2024珠海模擬）如圖，☉M的半徑為4，圓心M的坐標為（6，8），點P是☉M上的任意一點，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點.若點A，點B關于原點O對稱，則當AB取最小值時，點A的坐標為　　　　.
第2題圖
3. （2024東莞一模）如圖，拋物線y＝x2－4與x軸交于A，B兩點，P是以點C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，連接PA，點Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最大值是　　　　.
第3題圖
方法二　線圓最值問題
方法解讀
條件：如圖，☉O與直線l相離，設☉O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，P是☉O上的動點.
結論：點P到直線l的最小距離為d－r（圖①），最大距離為d＋r（圖②）.
4. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以點B為圓心，1為半徑作圓，P是☉B上一動點，Q是對角線AC上一動點，則PQ的最小值為　　　　.
第4題圖
5. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O為矩形ABCD的中心，以點D為圓心，1為半徑作☉D，P為☉D上的一個動點，連接AP，OP，OA，則△AOP面積的最大值為　　　　.
第5題圖
6. 如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，半徑為1的☉O在斜邊AC上滾動，點D是☉O上一點，則四邊形ABCD的最大面積為　　　　.
第6題圖
考向2　利用輔助圓求最值（6年4考）
方法一　定點定長作圓（2021.10）
方法解讀
原理：圓的定義：圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合.
情形：在平面內，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定.
動點軌跡：動點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓或圓弧的一部分.
1. （2020廣東17題4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為　　　　.
第1題圖
2. （2024煙臺）如圖，在 ABCD 中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10.E為邊CD的中點，F為邊AD上的一動點，將△DEF 沿EF翻折得△D'EF， 連接AD'，BD'.則△ABD'面積的最小值為 　　　　.
第2題圖
3. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，E為BC上一動點，連接DE，作點C關于直線DE的對稱點F，連接BF，則BF的最小值為　　　　.
第3題圖
方法二　定弦定角作圓（6年2考：2021.10、17）
方法解讀
情形：如圖，在△ABC中，∠C（α）為定角，所對的弦AB長度固定.
動點軌跡：（1）當0＜α＜90°時，點C的軌跡如圖①所示，即；（2）當α＝90°時，點C的軌跡如圖②所示，即☉O（不含A，B兩點）；（3）當90°＜α＜180°時，點C的軌跡如圖③所示，即.
第4題圖
4. （2024梅州市一模）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點P是△ABC內一點，滿足∠CBP＝∠ACP，則PA的最小值為　　　　.
5. （2021廣東17題4分）在△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為　　　　.
6. （2021廣東10題改編）設O為坐標原點，點A，B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB.連接點A，B，過點O作OC⊥AB于點C，則點C到y軸距離的最大值為　　　　.
方法三　四點共圓（6年2考：2024.22，2023.23）
方法解讀
條件 情況一（同側型）：如圖①②，線段AB長度為定值，點C，D為AB同側兩動點，且∠ACB＝∠ADB 情況二（異側型）：如圖③，由點A，B，C，D構成的四邊形中，∠ADC＋∠ABC＝180°
類型 圖① 圖② 圖③
結論 A，B，C，D四點共圓
7. （人教八上練習改編）如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為　　　　.
第7題圖
8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是斜邊AB上一動點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE，DE，O是DE的中點，連接OC，OA，則AO的最小值為　　　　.
第8題圖
9. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且AF＝BE，連接CF與AE交于點G，連接DG，則DG的最大值為　　　　.
第9題圖
類型四　利用二次函數性質解決最值問題
[6年2考：2022.23（2），2021.9]
方法解讀
要求y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值，可將解析式化為頂點式，確定其對稱軸是否在自變量x的取值范圍內，再畫出圖象，利用數形結合思想及所給端點與對稱軸的距離，依據二次函數增減性求最值.
1. （2021廣東9題3分）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c， 記p＝，則其面積S＝.這個公式也被稱為海倫－秦九韶公式.若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（　　）
A. B. 4 C. 2 D. 5
2. 如圖，二次函數y＝－x2－x＋2的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且D（m，n）是第二象限內拋物線上一點，則四邊形OCDA的面積的最大值為　　　　.
第2題圖
3. 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，點D是AC的中點，點E是AB上一動點，點F是BC上一動點，且點E不與端點重合，∠DEF＝45°，則BF的最大值為　　　　.
第3題圖
類型一　利用“垂線段最短”解決最值問題
1. 2　【解析】如解圖，過點A作AD'⊥BC于點D'，根據垂線段最短可知，當點D與點D'重合時，AD的值最小.∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝4，∴BD'＝CD'＝BC＝2，∴AD'＝＝2，∴線段AD的最小值是2.
第1題解圖
2. 　【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝6，如解圖，過點D作DQ'⊥CQ于點Q'，由旋轉可得∠ACQ＝∠B＝60°，∴點Q為射線CQ上的動點，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵點D是AC邊的中點，∴CD＝AC＝3，當DQ⊥CQ時，DQ的長最小，此時，點Q與Q'重合，∠CDQ'＝30°，∴CQ'＝CD＝，∴DQ'＝＝，∴DQ的最小值是.
第2題解圖
3. 3　【解析】如解圖，作點D關于BA的對稱點D'，連接DD'，BD'，過點D'作BC的垂線交BA于點E，交BC于點F，由對稱的性質得D'E＝DE，∴DE＋EF＝D'E＋EF＝D'F，此時DE＋EF的值最小，最小值為線段D'F的長.∵∠ABC＝35°，∠CBD＝10°，BD＝6，∴∠DBA＝∠D'BA＝∠ABC－∠CBD＝25°，BD'＝BD＝6，∴∠CBD'＝35＋25°＝60°，∴D'F＝BD'·sin 60°＝6×＝3，∴DE＋EF的最小值為3.
第3題解圖
4. 22　【解析】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG(ASA)，∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC＋CG＋GH＋AH＝AB＋AC＋GH＝14＋GH，如解圖，當GH最小時，即GH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，GH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝AC＝8，∴四邊形ACGH周長的最小值為14＋8＝22.
第4題解圖
5. 3＋6　【解析】由直線y＝x＋6的解析式得，當x＝0時，y＝x＋6＝6，當y＝0時，x＋6＝0，解得x＝－6，∵一次函數y＝x＋6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴A(－6，0)，B(0，6)，則OA＝OB＝6，∴△ABO是等腰直角三角形，由題意，可設點P的坐標為(a，a＋6)(－6＜a＜0)，∵PC⊥x軸，∴OC＝－a，PC＝a＋6，∴△PCO的周長為OC＋PC＋OP＝－a＋a＋6＋OP＝6＋OP，則求△PCO周長的最小值只要求出OP的最小值即可，如解圖，過點O作OD⊥AB于點D，則OP的最小值為OD的長，即此時點P與點D重合，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴OD＝AB＝×＝3，∴△PCO周長的最小值為6＋OD＝3＋6.
第5題解圖
6. 90°　【解析】如解圖，作點P關于AB的對稱點P'，關于AC的對稱點P″，連接P'P″，分別交AB，AC于點Q，R，連接AP'，AP″.則P'Q＝PQ，P″R＝PR，AP＝AP'＝AP″，∠P'AQ＝∠PAQ，∠P″AR＝∠PAR，∴C△PQR＝PQ＋QR＋PR＝P'Q＋QR＋P″R＝P'P″，∠P'AP″＝∠P'AQ＋∠PAQ＋∠P″AR＋∠PAR＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴△AP'P″為等腰直角三角形，AP＝AP'＝AP″，∴P'P″＝AP，當AP⊥BC時，AP最短，即△PQR周長最小，此時∠AP'Q＝∠APQ＝45°，∠AP″R＝∠APR＝45°，∴∠QPR＝90°，∴∠PQR＋∠PRQ＝90°.
第6題解圖
類型二　利用“兩點之間線段最短”解決最值問題
1. 5　【解析】如解圖，連接CE交BD于點F'，∴EF＋CF≥CE，∴當點F與點F'重合，即C，F，E三點共線時，EF＋CF有最小值，最小值為CE的長.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∵AE＝1，∴BE＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝＝5，∴EF＋CF的最小值為5.
第1題解圖
2. 6　【解析】如解圖，連接BP.∵DE是線段BC的垂直平分線，∴點B與C關于DE對稱，BP＝CP，∴PC＋PF＝BP＋PF≥BF，當B，P，F三點共線時，PC＋PF最小.∵F為AC邊的中點，AB＝BC，∴BF⊥AC，∴S△ABC＝AC·BF＝9.∵AC＝3，∴BF＝6，∴PC＋PF的最小值為6.
第2題解圖
3. (，－)　【解析】如解圖，連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時AP＋CP的值最小，∵拋物線過(4，0)，(0，－3)兩點，∴，解得，∴拋物線表達式為y＝x2－x－3，∴拋物線對稱軸為直線x＝，設直線BC的表達式為y＝mx＋n(m≠0)，將B(4，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n中，得，解得，∴直線BC的表達式為y＝x－3，當x＝時，y＝－.∴點P的坐標為(，－).
第3題解圖
4. 7　【解析】由題意知EF＝BC＝AD＝2，如解圖，過點F作FG∥CE，交BC延長線于點G，連接AG，∵EF∥BC，∴四邊形EFGC為平行四邊形，∴CE＝GF，CG＝EF＝2，則AF＋CE＝AF＋FG≥AG，∴當A，F，G三點共線時，AF＋CE取得最小值，最小值為AG的長，∵BG＝BC＋CG＝4，∴在Rt△ABG中，AG＝＝5，∴AG＋EF＝7，∴AF＋EF＋CE的最小值為7.
第4題解圖
5. 4　【解析】∵點A(1，m)和B(n，2)在反比例函數y＝的圖象上，∴m＝4，n＝2，∴A(1，4)，B(2，2)，∴AB＝，如解圖，分別作點A關于y軸的對稱點A'，作點B關于x軸的對稱點B'，連接A'B'交y軸于點D，交x軸于點C，此時四邊形ABCD的周長最小，最小值為A'B'＋AB的值.根據對稱的性質，得A'(－1，4)，B'(2，－2)，∴A'B'＝3，∴四邊形ABCD周長的最小值為3＋＝4.
第5題解圖
類型三　與圓有關的最值問題
考向1　點圓、線圓最值問題
1. 6　【解析】如解圖，在☉O上任取一點E'，連接OE'、CE'，則CE'≤CO＋OE'，當C、O、E'三點共線時，CE'取得最大值，即當點E與E'重合時，CE取最大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.連接AC，∵CO≤AC，∴當點O與點A重合時，CO取得最大值時.在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴點C到☉O上的點的距離的最大值為6.
第1題解圖
2. (－6，0)　【解析】如解圖，連接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵點A、點B關于原點O對稱，∴AO＝BO＝PO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM交☉M于點P'，當點P位于P'位置時，OP取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，∵M(6，8)，則OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10，又∵MP'＝r＝4，∴OP'＝MO－MP'＝10－4＝6，∴OA＝OP'＝6，∴點A坐標為(－6，0).
第2題解圖
3. 　【解析】如解圖，連接BP，當y＝0時，x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4，則A(－4，0)，B(4，0)，∴OB＝4，∵Q是線段PA的中點，∴OQ為△ABP的中位線，∴OQ＝BP，當BP最大時，OQ最大，當BP過圓心C時，PB最大，如解圖，當點P運動到P'位置時，BP最大，此時，OQ取得最大值，最大值為BP'，∵C(0，3)，∴OC＝3，∴BC＝＝5，∴BP'＝5＋2＝7，∴線段OQ的最大值是.
第3題解圖
4. 　【解析】如解圖，過點B作BQ⊥AC于點Q，交☉B于點P，此時PQ的值最小.∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，☉B的半徑為1，∴AC＝＝＝5，BP＝1，∴sin∠ACB＝＝＝，解得BQ＝.∴PQ＝BQ－BP＝－1＝.∴PQ的最小值為.
第4題解圖
5. 　【解析】如解圖，連接OC，當點P到AC的距離最大時，△AOP的面積最大，過點D作AC的垂線，與☉D在矩形ABCD外交于點P，交AC于點M，此時△AOP的面積最大.∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，AD＝4，∴OA＝，∵AD·DC＝AC·DM，∴DM＝，∴PM＝PD＋DM＝1＋＝，∴△AOP面積的最大值為OA·PM＝××＝.
第5題解圖
6. 4＋2　【解析】∵AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝2.∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S△ABC＝AB·BC＝4，∴當S△ACD取得最大值時，S四邊形ABCD有最大值.如解圖，過點D作DE⊥AC于點E，過點O作OF⊥AC于點F，連接OD，∵DE≤OD＋OF，∴當D，O，F三點共線，即當點E與點F重合時，DE取得最大值，最大值即為OD＋OF的值.∵☉O在AC上滾動，∴OF＝1，∴DE最大＝OD＋OF＝2，∴S△ACD最大＝AC·DE最大＝×2×2＝2，∴S四邊形ABCD最大＝S△ABC＋S△ACD最大＝4＋2.
第6題解圖
考向2　利用輔助圓求最值
1. 2－2　【解析】如解圖，連接BE，BD.由題意得BD＝＝2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，E為MN的中點，∴BE＝MN＝2，∴點E的運動軌跡是以點B為圓心，2為半徑的弧，∴當點E落在線段BD上時，DE的值最小，∴DE的最小值為2－2.
第1題解圖
2. 20－16　【解析】如解圖，以點E為圓心，EC長為半徑作圓，過點E作EG⊥AB交BA的延長線于點G，交☉E于點D'，此時△ABD'的面積最小，∵在 ABCD中，∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BC＝10，易得AB與CD間的距離為5，∴EG＝5，∵E為邊CD的中點，∴DE＝D'E＝CD＝4，∴GD'＝5－4，∴S△ABD'的最小值為×8×(5－4)＝20－16.
第2題解圖
3. 6－6　【解析】如解圖，連接DF，根據對稱性質可知DF＝CD，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝CD＝DF＝6，∴點F的運動軌跡為以點D為圓心，CD長為半徑的，連接BD交于點G，當B，F，D三點共線，即點F與點G重合時，BF的值最小，最小值為BG的長，過點A作AM⊥BD于點M，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，在Rt△ABM中，BM＝AB·cos 30°＝3，∴BD＝6，∵DG＝AD＝6，∴BG＝BD－DG＝6－6，即BF的最小值為6－6.
第3題解圖
4. 2　【解析】如解圖，取BC的中點O，以BC為直徑作☉O，與AB交于點E，連接OP，AO，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＋∠BCP＝90°，∵∠CBP＝∠ACP，∴∠CBP＋∠BCP＝90°，∴∠CPB＝90°，∴點P在以BC為直徑的圓弧CE上運動，AP≥AO－OP，∴當點P，A，O三點共線時，PA有最小值，∵點O是BC的中點，BC＝6，∠BPC＝90°，∴PO＝CO＝BC＝3，在Rt△ACO中，∵AC＝4，∴AO＝＝＝5，∴PA的最小值＝5－3＝2.
第4題解圖
5. －　【解析】如解圖，根據定弦定角，確定△ABD的外接圓☉O，點D在☉O的優弧上運動，連接AO，BO，DO，CD，OC，過點O作OF⊥BC于點F，∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，AB＝2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝，∠ABO＝45°，∴∠OBF＝∠ABC－∠ABO＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OF＝BF＝OB＝1，∵BC＝3，∴FC＝BC－BF＝2，∴OC＝＝，∵OD＋CD≥OC，∴當點D運動到OC與☉O的交點E時，CD的值最小，最小值為OC－OE，即－.
第5題解圖
6. 　【解析】設A(a，a2)，B(b，b2)，則直線OA的解析式為y＝ax，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴kOB＝－，∴直線OB的解析式為y＝－x，將點B(b，b2)代入y＝－x中，得b2＝－·b，∴b＝－，∴B(－，)，設直線AB的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝(a－)x＋1，如解圖，設AB與y軸交于點D，當x＝0時，y＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∵OC⊥AB，∴點C在以OD為直徑的圓上，當點C在半圓OD的中點處時，點C到y軸的距離最大，此時OC＝CD，過點C作CE⊥OD于點E，∵OD是直徑，∴∠OCD＝90°，∴CE＝DE＝OD＝.
第6題解圖
7. 6　【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴A，B，C，D四點共圓，AC為☉O的弦，如解圖，當AD為☉O的直徑時，AD取得最大值，此時∠ACD＝90°，∵AC＝6，∠ADC＝45°，∴AD＝AC＝6.
第7題解圖
8. 2　【解析】如解圖，過點C作CO'⊥AB于點O'，連接OO'，則∠AO'C＝90°，∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∴AB＝4，∴AO'＝BO'＝2，∵CE是由CD繞點C逆時針旋轉90°得到，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CDO＝45°，∵O為DE的中點，∴∠COD＝90°＝∠DO'C，∴C，D，O'，O四點共圓，∴∠CO'O＝∠CDO＝45°，∴點O在∠BO'C的平分線上運動，∵AO≥AO'，∴AO的最小值為2.
第8題解圖
9. 4　【解析】如解圖，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∴AB＝BC＝AC，∵BE＝AF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠AEB＝∠CFA.∵∠BAE＋∠AEB＝120°，∴∠FAG＋∠AFG＝120°，∴∠AGC＝120°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠AGC＋∠ADC＝180°，∴A，G，C，D四點共圓，點H是圓心，記點G在上，連接AH，CH，GH，DH，∵AB＝AC＝6，DH＝AH＝CH，易得☉H的半徑為2，∴HG＝HD＝2，∴當D，H，G三點共線時，DG最大，DG的最大值為4.
第9題解圖
類型四　利用二次函數性質解決最值問題
1. C　【解析】∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a＋b＝6，∴a＝6－b，∴S＝＝＝＝＝，令y＝－5(b－3)2＋20，∵－5＜0，∴函數有最大值，當b＝3時，y＝20，∴函數最大值為20，∴當b＝3時，S有最大值為＝2.
2. 8　【解析】如解圖，連接OD，∵點D在拋物線上，∴D(m，－m2－m＋2)，把x＝0代入到y＝－x2－x＋2中，得y＝2，∴C(0，2)，把y＝0代入到y＝－x2－x＋2中，解得x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)，B(1，0).∵S四邊形OCDA＝S△OAD＋S△OCD＝×4×(－m2－m＋2)＋×2×(－m)＝－m2－3m＋4－m＝－(m＋2)2＋8，∴當m＝－2時，四邊形OCDA的面積最大，最大值為8.
第2題解圖
3. 4　【解析】設AE＝x，BF＝y，∵AC＝CB＝4，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝4，∵D是AC中點，∴AD＝DC＝2，∵∠AED＋∠FEB＝180°－∠DEF＝180°－45°＝135°，∠FEB＋∠EFB＝180°－∠B＝180°－45°＝135°，∴∠AED＝∠EFB，∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEF，∴＝，∴＝，∴y＝－x2＋2x，∵y＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋4，∵－＜0，∴當x＝2時，y有最大值4，∴BF的最大值為4.

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