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微專題40　尺規作圖
1. （2024佛山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）尺規作圖：在AC上確定一點D，使點D到CB，AB的距離相等（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，過點D作DE⊥AB，交AB于點E，若AC＝6，AB＝10，求△ADE的周長.
第1題圖
2. 如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點，連接AE，AC.
（1）實踐與操作：作BF∥AE交AC于點F；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應用與計算：在（1）的條件下，若AE＝3，BE＝，∠BFC＝∠ABE，求BC的長.
第2題圖
3. （2024廣東黑白卷）如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的高.
（1）實踐與操作：利用尺規，以CD為邊在CD下方作等邊△CDE，延長ED交AB于點M；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應用與證明：在（1）的條件下，證明CE＝BM.
第3題圖
4. （2024廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°.
（1）尺規作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，連接AD，CD，求證：四邊形ABCD是矩形.
第4題圖
5. 如圖，△ABC為等腰三角形.
（1）實踐與操作：求作菱形AEDF，使得∠A為菱形的一個內角，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應用與計算：在（1）的條件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF的面積.
第5題圖
6. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.
（1）實踐與操作：在邊AC上取點O，以OC為半徑作☉O，使得☉O與AB相切；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應用與計算：在（1）的條件下，若AO＝BC，求的值.
第6題圖
7. （2024香洲區二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°＋∠A，以AB為直徑的☉O交AC于D.
（1）實踐與操作：過點B作EB⊥AB，交AC于點E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應用與計算：在（1）的條件下，當BE＝OA，BC＝10時，求DE的長度.
第7題圖
8. （2024佛山一模）綜合與實踐
數學活動課上，同學們用尺規作圖法探究在菱形內部作一點到該菱形三個頂點的距離相等.
【動手操作】如圖，已知菱形ABCD，求作點E，使得點E到三個頂點A，D，C的距離相等.小紅同學設計如下作圖步驟；
①連接BD；
②分別以點A，D為圓心，大于AD的長為半徑分別在AD的上方與下方作弧；AD上方兩弧交于點M，下方兩弧交于點N，作直線MN交BD于點E；
③連接AE，EC，則EA＝ED＝EC.
（1）根據小紅同學設計的尺規作圖步驟，在圖中完成作圖過程.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）.
【證明結論】
（2）證明：EA＝ED＝EC.
【拓展延伸】
（3）當∠ABC＝72°時，求△EBC與△EAD的面積比.
1. 解：(1)如解圖，點D即為所求；
第1題解圖
(2)如解圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠C＝90°＝∠BED，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED(AAS)，
∴CD＝DE，BC＝BE，
∴EA＝BA－BE＝BA－CB＝2，
∴△ADE的周長＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝6＋2＝8.
2. 解：(1)如解圖①或解圖②，點F即為所求；(作法不唯一)
第2題解圖
(2)∵BF∥AE，
∴∠BFC＝∠EAC，
∵∠BFC＝∠ABE，
∴∠EAC＝∠ABE，
∵∠AEC＝∠AEB，
∴△ABE∽△CAE，
∴＝，∴＝，
解得CE＝3，
∴BC＝CE－BE＝2.
3. (1)解：如解圖①，△CDE即為所求作的三角形；(答案不唯一)
一題多解法
如解圖②，△CDE即為所求作的三角形.
第3題解圖
(2)證明：∵△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的高，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BD＝CD，
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠ECD＝60°，∴∠B＝∠ECD，
∵∠MDB＝∠EDC，
∴△BMD≌△CED(ASA)，
∴CE＝BM.
4. (1)解：如解圖①，線段BO即為所求；
第4題解圖①
(2)證明：如解圖②，由題可得AO＝CO，由旋轉可得BO＝DO，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD為矩形.
第4題解圖②
5. 解：(1)如解圖，菱形AEDF即為所求(作法不唯一，合理即可)；
第5題解圖
(2)如解圖，設AD與EF交于點O，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，
∵EF⊥AD，
∴EF∥BC.
∵AO＝OD，
∴E，F分別為AB和AC的中點，
∴EF＝BC＝4，
∴S菱形AEDF＝AD·EF＝4.
6. 解：(1)如解圖①②，☉O即為所求；
第6題解圖
(2)如解圖③，連接OD，
∵☉O與AB相切，
∴OD＝OC，OD⊥AB，
∵∠ABC＝90°，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC，
∴＝＝.
∵AO＝BC，OD＝OC，
∴＝＝，
即AO2＝OC2＋OC·AO，
∴＝＋，
即1＝()2＋，
設＝a，則1＝a2＋a，
整理得a2＋a－1＝0，
解得a＝(負值已舍去)，
∴＝.
第6題解圖③
7. 解：(1)如解圖，BE即為所求；
第7題解圖
(2)如解圖，連接DB.
∵AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°＋∠A，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴＝＝＝＝，
∵BC＝10，
∴CE＝5，CA＝20，
∴AE＝AC－CE＝20－5＝15，
∵AB是☉O的直徑，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∵∠A＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
∴△ADB∽△BDE，
∴＝＝＝2，
∴BD＝2DE，AD＝2BD＝4DE，
∴DE＝AE＝3.
8. (1)解：根據小紅同學設計，完成作圖過程如解圖所示；
第8題解圖
(2)證明：在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDE，AD＝DC，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE＝EC，
∵MN垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝EC；
(3)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180°－∠ABC＝108°.
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠ADB＝36°，
∴∠EAD＝∠ABD＝36°，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，即AD2＝BD·DE.
∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝72°，∠BEA＝∠EAD＋∠ADE＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB.
設AB＝x＝BE，DE＝a(其中x，a＞0)，
則x2＝(x＋a)·a，
∴x2－ax－a2＝0，解得x＝a或x＝a(舍去)，
∴＝，
設點A到BD距離為h，則點C到BD的距離為h，
∴S△AED＝DE·h，
S△EDC＝DE·h，
∴S△AED＝S△EDC，
∴＝＝＝＝.

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