資源簡介

微專題39　實際應用題
類型一　方程（組）與不等式的實際應用（6年5考）
1. 《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書大約在一千五百年前.書中記載了這樣一個問題：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？請解答上述問題.
2. （2024佛山模擬）某學校組織學生社團活動，打算恰好用1 100元經費購買圍棋和象棋，其中圍棋每套40元，象棋每套30元.所購買圍棋的套數能否是所購買象棋套數的2倍？若能，請求出所購買的圍棋和象棋的套數；若不能，請說明理由.
3. 為了提高道路的通行效率，廣東某市對一擁堵路段實行了燈控路口智能化改進，優化了交通信號燈配時，駕駛員只需要控制好車速，便可達到“一路綠燈”的效果.據了解該路段總長約6公里，改進后通過該路段的車輛的行駛速度平均提高了50％，行駛時間平均減少3分鐘，求該路段改進前，通過該路段的車輛平均每小時行駛的路程.
4. （2024順德區二模）某單位為響應綠色環保倡議，提出要節約用紙，逐步走向“無紙化”辦公.據統計，該單位2月份A4紙的用紙量為1 000張，到了4月份A4紙的用紙量降到了640張.
（1）求該單位A4紙的用紙量月平均降低率；
（2）根據（1）的結果，估算5月份該單位A4紙的用紙量.
5. （2024貴州）為增強學生的勞動意識，養成勞動的習慣和品質，某校組織學生參加勞動實踐.經學校與勞動基地聯系，計劃組織學生種植甲、乙兩種作物.如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學生.
根據以上信息，解答下列問題：
（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學生？
（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學生人數不超過55人，至少種植甲作物多少畝？
6. （2024梅州一模）周末，小明和他的爸爸來到如圖所示的環形運動場進行跑步鍛煉，繞環形運動場一圈的路程為400米.
（1）若兩人同時同起點相向而跑，則經過36秒后首次相遇；若兩人同時同起點同向而跑，則經過180秒后，爸爸首次從后面追上小明，問小明和他的爸爸的速度各為多少？
（2）假設爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒.兩人進行400米賽跑，同時同起點同向出發，等爸爸跑到半圈時，故意降速為4米/秒.按此繼續比賽，小明能否在400米終點前追上爸爸，如果能，求追上時距離終點還有多少米；如果不能，請說明理由.
第6題圖
類型二　函數的實際應用（6年4考）
1. （2024東莞模擬）如圖，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數，當x＝6時，y＝2.
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）若火焰的像高為3 cm，求小孔到蠟燭的距離.
第1題圖
2. 比葉面積是指葉片的單葉面積與單葉干重之比，可作為葉片遮蔭度的指數使用.通過對某種溫帶森林植物的研究，發現某種植物的比葉面積y（m2/kg）與年均降水量x（mm）之間近似滿足一次函數關系，部分數據如下表：
年均降水量x（mm） … 400 430 500 570 600 …
比葉面積y（m2/kg） … 22.62 23.82 26.62 29.42 30.62 …
根據以上信息，解答下列問題：
（1）求出y與x之間的函數表達式；
（2）當年均降水量為530 mm時，這種植物的比葉面積是多少？
3. （2024中山模擬）隨著電動車技術的日益發展和環保節能的優勢，越來越多的購車者選擇了新能源汽車，影響新能源汽車發展的重要瓶頸就是續航里程及充電時間（如圖①）.某公司用兩種充電樁對目前電量為20％的新能源汽車充電.經測試，在用快速充電樁和普通充電樁對汽車充電時，其電量y與充電時間x（單位：小時）的函數圖象分別為圖②中的線段AB，AC.根據以上信息，回答下列問題：
（1）求線段AB和線段AC所代表的函數表達式（寫出取值范圍）；
（2）在某次出行之前，李梅要對余電10％的電車充電，先用快速充電樁充電，再用普通充電樁充電，要求用2.5小時完成充電，請你設計一個合理的充電方案.
第3題圖
4. （2024珠海模擬）在“鄉村振興”行動中，某村辦企業以A，B兩種農作物為原料開發了一種有機產品.A原料的單價是B原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購B原料少100 kg.生產該產品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg，每盒還需其他成本9元.市場調查發現：該產品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.
（1）求每盒產品的成本（成本＝原料費＋其他成本）；
（2）當每盒產品的售價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？
5. 毽球俗稱“毽子”，也稱為“燕子”，并有詩句“踢碎香風拋玉燕”的描述，是一項傳統的民間體育活動.某校為進一步推進傳統體育項目進校園，計劃組織毽球比賽，并購買一批毽球作為獎品，現有甲、乙兩種品牌的毽球可供選擇.已知乙品牌毽球單價比甲品牌貴1元，且用130元購買甲品牌毽球個數是用70元購買乙品牌毽球個數的兩倍.
（1）這兩種品牌毽球的單價各是多少？
（2）若購買兩種品牌的毽球共150個，且購買甲品牌毽球的個數不能超過乙品牌的一半，求購買的最低費用.
6. （2024東莞模擬）綜合與實踐：
【問題情景】某生物小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似的用如圖所示的圖象表示.國家規定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路.
【實踐探究】（1）求部分雙曲線BC的函數表達式；
【問題解決】（2）參照上述數學模型，假設某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上9：00能否駕車出行？請說明理由.
　第6題圖
類型三　解直角三角形的實際應用（6年2考：2024，2023.18）
1. （2024佛山一模）“醒獅”是嶺南文化名城佛山一塊閃亮的招牌，是國家非物質文化遺產之一，舞獅者用獅嘴將懸于高處、寓意著吉祥的“生菜”采摘下來的過程稱為“采青”.舞獅者腳站立的位置與獅嘴可觸摸到“生菜”的位置之間的距離稱為“采摘距離”.如圖，舞獅者站在梅花樁AB上，AB與“生菜”放置點D的水平距離BC為1.1米，∠D＝53°.已知該舞獅者采摘距離為1.43米，請利用所學知識判斷該舞獅者能否“采青”成功，并說明理由.（參考數據：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）
第1題圖
2. （2024甘肅省卷）甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖，已知一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側，CD＝EF＝1.6 m，點C與點E相距182 m（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得筒尖頂點A的仰角為45°，在F處測得筒尖頂點A的仰角為53°.求風電塔筒AH的高度.（參考數據：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈.）
第2題圖
3. 如圖①，明代科學家徐光啟所著的《農政全書》中記載了中國古代的一種采桑工具——桑梯，其簡單示意圖如圖②，已知AB＝AC＝1.8 m，AD＝1.6 m，AC與AB的夾角∠BAC為α.為保證安全，農夫將桑梯放置在水平地面上，將夾角α調整為42°，并用鐵鏈鎖定B，C兩點，此時農夫站在離頂端D處0.6 m的E處時可以高效且安全地采桑.求此時農夫所在的E處到地面的高度.（結果精確到0.1 m，參考數據：sin 21°≈0.36，cos 21°≈0.93，tan 21°≈0.38）
第3題圖
4. 定滑輪的工作原理是改變力的方向，使得施力方向轉變為容易出力的方向.某班“綜合與實踐”小組的同學發現校園內，工人師傅利用定滑輪運輸物體，于是把“測量定滑輪距地面的高度”作為一項課題，利用課余時間完成了實踐報告，并完成了如下活動報告.
課題 測量定滑輪距地面的高度
測量工具 測角儀、皮尺等
測量示意圖 第4題圖 說明：小組成員站在A處，拉動繩子，使得物體移動，且點A，B，B'，C，C'，O均在同一豎直平面內.
測量數據 繩子與水平面的夾角
物體移動前 物體移動后 物體的高度BC 物體移動后繩 子收回的長度
37° 53° 0.5 m 4.5 m
…
請根據活動報告，求定滑輪O距地面的高度.（結果精確到1 m，參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33）
5. 為了提升居民的居住環境和品質，許多小區采用高層、小高層結合的模式建造.如圖，某小區有前后兩棟樓分別是高層AB和小高層CD，兩棟樓的樓間距BD為40米，當小明站在高層樓頂點A處時，測得對面小高層樓頂C點的俯角為45°，測得對面小高層樓底D點的俯角為58°，已知小高層CD每層高為3米.（參考數據：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，結果精確到1米）
第5題圖
（1）求該小區高層AB的高度；
（2）求該小區小高層有多少層？
6. （2024江西）圖①是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”.如圖②，“大碗”的主視圖由“大碗”主體ABCD和矩形碗底BEFC組成，已知AD∥EF，AM，DN是太陽光線，AM⊥MN，DN⊥MN，點M，E，F，N在同一條直線上.經測量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.（結果精確到0.1 m）
（1）求“大碗”的口徑AD的長；
（2）求“大碗”的高度AM的長.
（參考數據：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88）
第6題圖
類型一　方程(組)與不等式(組)的實際應用
1. 解：設木條長x尺，繩子長y尺，
根據題意可得方程組，
解得，
答：木條長6.5尺.
2. 解：能.
設購買象棋x套，則購買圍棋2x套，
根據題意，得40×2x＋30x＝1 100，
解得x＝10，
∴2x＝20(套)，
答：能恰好用1 100元經費購買圍棋和象棋，使所購買圍棋的套數是所購買象棋套數的2倍，則購買了象棋10套，圍棋20套.
3. 解：設改進前車輛平均每小時行駛x公里，則改進后平均每小時行駛(1＋50％)x公里，
根據題意，得－＝，
解得x＝40，
經檢驗，x＝40是原分式方程的根，且符合題意.
答：該路段改進前，通過該路段的車輛平均每小時行駛的路程為40公里.
4. 解：(1)設該單位A4紙的用紙量月平均降低率為x，
根據題意，得1 000(1－x)2＝640，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8(不符合題意，舍去).
答：該單位A4紙的用紙量月平均降低率為20％；
(2)根據題意，得640×(1－20％)＝512(張).
答：估算5月份該單位A4紙的用紙量為512張.
5. 解：(1)設種植1畝甲作物需要x名學生，種植1畝乙作物需要y名學生，
根據題意，得，
解得，
答：種植1畝甲作物需要5名學生，種植1畝乙作物需要6名學生；
(2)設種植甲作物m畝，則種植乙作物(10－m)畝，
根據題意，得5m＋6(10－m)≤55，
解得m≥5.
答：至少種植甲作物5畝.
6. 解：(1)設小明的速度為x米/秒，他的爸爸的速度為y米/秒，
由題意，得，
解得，
答：小明的速度為米/秒，他的爸爸的速度為米/秒；
(2)能.
∵小明到400米終點需要的時間為400÷5＝80(秒)，他的爸爸到400米終點需要的時間為＋＝(秒)，
∵80＝＜，
∴小明能在400米終點前追上爸爸，
設小明追上爸爸需要的時間為m秒，則追上時距離終點還有(400－5m)米，
由題意，得5m＝200＋4(m－)，
解得m＝，
∴400－5m＝400－5×＝(米)，
答：小明能在400米終點前追上爸爸，追上時距離終點還有米.
類型二　函數的實際應用
1. 解：(1)由題意設y＝(k≠0)，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y關于x的函數表達式為y＝；
(2)把y＝3代入y＝中，得x＝4，
∴小孔到蠟燭的距離為4 cm.
2. 解：(1)設y與x之間的函數表達式y＝kx＋b(k≠0)，
將(400，22.62)，(500，26.62)分別代入，
得，
解得，
∴y與x之間的函數表達式為y＝0.04x＋6.62；
(2)將x＝530代入y＝0.04x＋6.62中，
得y＝0.04×530＋6.62＝27.82，
∴當年均降水量為530 mm時，這種植物的比葉面積是27.82 m2/kg.
3. 解：(1)設線段AB所代表的表達式為y＝kx＋20％(k≠0)，把(1，100％)代入得，
100％＝k＋20％，
解得k＝80％，
∴線段AB所代表的函數表達式為y＝80％x＋20％(0≤x≤1)；
設線段AC所代表的表達式為y＝k'x＋20％(k≠0)，把(6，100％)代入
得，100％＝6k'＋20％，
解得k'＝，
∴線段AC所代表的表達式為y＝x＋20％(0≤x≤6)；
(2)設快速充電m小時，則普通充電(2.5－m)小時，
根據題意得，80％m＋(2.5－m)＝100％－10％，
解得m＝0.85，
∴2.5－m＝2.5－0.85＝1.65，
答：快速充電0.85小時，普通充電1.65小時可完成充電.
4. 解：(1)設B原料單價為m元，則A原料單價為1.5m元，
根據題意，得－＝100，
解得m＝3，
經檢驗m＝3是方程的解，且符合題意，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒產品的成本是4.5×2＋3×4＋9＝30(元)，
答：每盒產品的成本為30元；
(2)設每盒產品的售價是x元(x是整數)，每天的利潤是w元，
根據題意，得w＝(x－30)[500－10(x－60)]＝－10x2＋1 400x－33 000＝－10(x－70)2＋16 000，
∵－10＜0，
∴當x＝70時，每天的利潤最大，最大利潤為16 000元，
答：當每盒產品的售價定為70元時，每天的利潤最大，最大利潤是16 000元.
5. 解：(1)設甲品牌毽球的單價是x元，則乙品牌毽球的單價是(x＋1)元，
由題意，得＝×2，解得x＝13，
經檢驗，x＝13是原分式方程的解，且符合實際，
∴x＋1＝14(元).
答：甲品牌毽球的單價是13元，乙品牌毽球的單價是14元；
(2)設購買費用為w元，購買甲品牌毽球a個，則購買乙品牌毽球(150－a)個，
由題意，得w＝13a＋14(150－a)＝13a＋2 100－14a＝－a＋2 100，
∵購買甲品牌毽球的個數不能超過乙品牌的一半，
∴a≤，解得a≤50.
∵－1＜0，
∴w隨a的增大而減小，
∴當a＝50時，w有最小值，最小值為－50＋2 100＝2 050(元).
答：購買的最低費用為2 050元.
6. 解：(1)設OA的函數表達式為y＝kx(k≠0)，根據題圖得
k＝20，
∴k＝60，
∴OA的函數表達式為y＝60x(0≤x≤)，
∴當x＝時，y＝90，
設部分雙曲線BC的函數表達式為y＝(m≠0)，
由圖象可知，當x＝3時，y＝90，
∴m＝270，
∴部分雙曲線BC的函數表達式為y＝(x≥3)；
(2)不能駕車出行，理由如下：
在y＝中，令y＜20，
可得＜20，
解得x＞13.5，
∵晚上20：00到第二天早上9：00的時間間隔為9＋4＝13時，13時＜13.5時，
∴某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上9：00時體內的酒精含量仍高于20(毫克/百毫升)，不能駕車出行.
類型三　解直角三角形的實際應用
1. 解：該舞獅者能“采青”成功，
理由：如解圖，過點A作AE⊥CD，垂足為點E，
由題意，得AE＝BC＝1.1(米)，
在Rt△AED中，∠D＝53°，
∴AD＝≈＝1.375(米)，
∵1.375米＜1.43米，
∴該舞獅者能“采青”成功.
第1題解圖
2. 解：如解圖，連接DF，交AH于點G.
由題意可得，DF∥CE，AH⊥CE，∴AH⊥DF，GH＝DC＝FE＝1.6 m，
∴∠AGD＝∠AGF＝90°.
在Rt△AGD中，∵∠ADG＝45°，
∴DG＝AG.
在Rt△AGF中，∵∠AFG＝53°，
∴GF＝＝≈＝AG.
∵DG＋GF＝DF＝CE＝182，
∴AG＋AG＝182.
∴AG＝104.∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6(m)，
∴風電塔筒AH的高度約為105.6(m).
第2題解圖
3. 解：如解圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點E作EG⊥BC于點G，
由題意可知AE＝AD－DE＝1.6－0.6＝1 m，AB＝AC＝1.8(m)，
∴CE＝AE＋AC＝1＋1.8＝2.8(m)，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝21°，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴∠CEG＝∠CAF＝21°，
在Rt△EGC中，EG＝CE·cos 21°≈2.8×0.93≈2.6(m)，
答：此時農夫所在的E處到地面的高度約為2.6 m.
第3題解圖
4. 解：如解圖，過點O作OD⊥CC'交CC'的延長線于點D，連接BB'并延長交OD于點E.
根據題意，得BC＝B'C'＝DE＝0.5 m，CD＝BE，
在Rt△BEO中，∠EBO＝37°，
sin∠EBO＝，∴OB＝，
在Rt△B'EO中，∵∠EB'O＝53°，
sin∠EB'O＝，即OB'＝.
∵繩子收回的長度為4.5(m)，
∴OB－OB'＝－＝4.5，
即－≈4.5，解得OE＝10.80，
∴OD＝OE＋DE＝10.80＋0.5≈11，
答：定滑輪O距地面的高度約為11 m.
第4題解圖
5. 解：(1)根據題意，易得∠ADB＝58°，AB⊥BD，
在Rt△ABD中，AB＝BD·tan 58°≈40×1.60＝64(米)，
∴該小區高層AB的高度約為64米；
(2)如解圖，過點C作CE⊥AB于點E，
根據題意，易得四邊形CDBE為矩形，∠ACE＝45°，
∴CE＝BD＝40(米)，CD＝BE，△AEC為等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝40(米)，
由(1)知，AB＝64(米)，
∴BE＝AB－AE＝24(米)，
∴CD＝BE＝24(米)，
∵小高層CD每層高為3米，
∴24÷3＝8(層)，
∴該小區小高層有8層.
第5題解圖
6. 解：(1)∵AD∥EF，且AM⊥MN，DN⊥MN，
∴四邊形AMND為矩形，
∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)；
(2)如解圖，過點B作BG⊥AM于點G，
則易得四邊形GMEB為矩形，
∴∠GBE＝90°，BG＝ME，GM＝BE，
∴∠ABG＝∠ABE－∠GBE＝152°－90°＝62°，
∵tan∠ABG＝，BG＝ME，
∴AG＝BG·tan 62°＝ME·tan 62°≈20×1.88＝37.6(m)，
∴AM＝AG＋GM＝AG＋BE＝37.6＋2.4＝40.0(m).
第6題解圖

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