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微專題38　簡單幾何證明與計算
類型一　與三角形有關的證明與計算
1. 如圖，已知△ABC是銳角三角形，過點A作AD⊥BC于點D，延長DA至點E，使DE＝BC，點F在邊AC上，連接DF，EF，使∠CDF＝∠BAD，FD＝AB.求證：FE＝AC.
第1題圖
2. （2024浙江）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1.
（1）求BC的長；
（2）求sin ∠DAE的值.
第2題圖
3. 如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，DE⊥DF，∠DEF＝45°.
第3題圖
（1）求證：△BDE∽△CEF；
（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的長.
類型二　與四邊形有關的證明與計算（2021.23）
考向1　與圖形性質有關
1. 如圖，在正方形ABCD的外側，以CD邊為腰作等腰△CDE，使得DE＝CD，連接AE.
（1）求證：∠DAE＝∠DEA；
（2）若DE＝4，∠CDE＝30°，求∠DAE的度數和△ADE的周長.
第1題圖
2. （2024東莞一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊上一點，∠EAB＝∠EBC.
（1）求證：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的長.
第2題圖
3. 如圖，在△ABC中，D是AB上一點，DE垂直平分AC，交AC于點E，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，連接CD，AF，BE.
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若∠ABC＝90°，BE＝5，BC＝6，求△BDC的面積.
第3題圖
考向2　與圖形變化有關（2021.23）
1. 如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，C'為點C的對應點，C'B與AD交于點E.
（1）求證：BE＝DE；
（2）若BE＝2EC'，求∠DBC的度數.
第1題圖
2. （2024梅州模擬）如圖，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.將線段BP繞點B逆時針旋轉90°得到線段BP'，連接AP'，PP'；
（1）求證：△PBC≌△P'BA；
（2）求∠BPC的度數.
第2題圖
3. 在正方形ABCD中，BD為對角線，點E在BD上（不與點B，D重合），作點E關于直線AB的對稱點F，連接DF，且G為DF的中點，連接AG，EG.
（1）若DF平分∠ADB，求證：EG⊥DF；
（2）若DE＝4，求線段AG的長.
第3題圖
類型一　與三角形有關的證明與計算
1. 證明：∵AD⊥BC，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵∠CDF＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADF，
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE(SAS)，
∴FE＝AC.
2. 解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴由勾股定理，得BD＝＝8，
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14；
(2)∵AE是BC邊上的中線，
∴BE＝CE＝7，
∴DE＝BD－BE＝1，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝＝，
∴sin∠DAE＝＝.
3. (1)證明：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝135°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠BED＋∠CEF＝180°－∠DEF＝135°，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
(2)解：如解圖，過點E作EH⊥AB，垂足為點H，
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，
∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，
∵∠ADF＋∠EDB＝90°，∠ADF＋∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠EDB，
∵∠A＝∠EHD＝90°，
∴△ADF≌△HED，
∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，
∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，
∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD＋DH＋HB＝4，
∵BC＝AB＝4，
∴EC＝BC－BE＝3.
第3題解圖
類型二　與四邊形有關的證明與計算
考向1　與圖形性質有關
1. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA；
(2)解：如解圖，過點D作DF⊥AE于點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝120°，
由(1)知，∠DAE＝∠DEA，AD＝DE＝4，
∴∠DAE＝∠DEA＝30°，
AF＝AD＝2，AF＝EF，
∴AE＝2AF＝4，
∴△ADE的周長＝AD＋DE＋AE＝8＋4.
第1題解圖
2. (1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，
又∵∠EAB＝∠EBC，
∴△ABE∽△BEC；
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC＝AB＝4，
∵DE＝3，
∴CE＝1，
由(1)知△ABE∽△BEC，
∴＝，
∴BE2＝AB·CE＝4×1＝4，
∴BE＝2(負值已舍去).
3. (1)證明：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，∠AED＝∠CEF＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF(ASA)，
∴DE＝FE，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵DE⊥AC，
∴四邊形ADCF是菱形；
(2)解：∵∠ABC＝90°，E是AC的中點，
∴AE＝CE＝BE＝5，∴AC＝10，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝8，
由(1)知，四邊形ADCF是菱形，
∴AD＝CD，
設BD＝x，則AD＝CD＝8－x，
在Rt△CDB中，CD2＝BD2＋CB2，
即(8－x)2＝x2＋62，
解得x＝，即BD＝，
∴S△BDC＝BD·BC＝××6＝.
考向2　與圖形變化有關
1. (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
由折疊的性質得，∠CBD＝∠C'BD，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴BE＝DE；
(2)解：∵BE＝DE，BE＝2EC'，
∴DE＝2EC'.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
由折疊的性質得，∠DC'E＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△DEC'中，sin∠EDC'＝＝，
∴∠EDC'＝30°，∴∠DEC'＝60°，∴∠BED＝120°，
∵BE＝DE，∴∠DBC＝∠DBE＝(180°－∠BED)＝30°.
2. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，線段BP繞點B逆時針旋轉90°得到線段BP'，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，BP＝BP'，∠P'BP＝90°，
∴∠P'BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠PBC，
∴∠P'BA＝∠PBC，
在△PBC和△P'BA中，
，
∴△PBC≌△P'BA(SAS)；
(2)解：由(1)知，△PBC≌△P'BA，
∵PA＝3，PB＝2，PC＝1，
∴P'A＝PC＝1，PP'＝PB＝2，
∴P'A2＋P'P2＝1＋8＝32＝PA2，
∴∠AP'P＝90°，
∵BP＝BP'，∠P'BP＝90°，
∴∠BP'P＝45°，
∴∠BPC＝∠AP'B＝∠AP'P＋∠BP'P＝90°＋45°＝135°.
3. (1)證明：如解圖，連接EF交AB于點H，由對稱的性質，得EF⊥AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，∴AD∥EF，
∴∠ADF＝∠F.
∵DF平分∠ADB，
∴∠ADF＝∠BDF，
∴∠F＝∠BDF，
∴△DEF為等腰三角形.
又∵G是DF的中點，
∴EG⊥DF；
第3題解圖
(2)解：如解圖，連接HG并延長交AB于點I，
由(1)知，AD∥EF，
∴∠GDI＝∠F.
在△DGI和△FGH中，
，
∴△DGI≌△FGH(ASA)，
∴GI＝GH.
在Rt△AHI中，∵G是HI的中點，
∴AG＝GH＝HI.
又∵G是DF的中點，H是EF的中點，
∴GH是△DEF的中位線，
∴DE＝2GH，
∴AG＝GH＝DE＝2.

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