資源簡介

微專題36　統　計
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 調查方式
類別 定義 適用范圍
全面 調查 考察全體對象的調查叫做全面調查 一般當調查的范圍小，調查不具有破壞性，數據要求準確全面時，如乘飛機安檢
抽樣 調查 抽取一部分對象進行調查，然后根據調查數據推斷全體對象的情況，這種方法稱為抽樣調查 當所調查對象涉及面大，范圍廣或受條件限制，或具有破壞性時，如調查全國中學生對數學傳統文化的了解情況
2. 總體、個體、樣本、樣本容量
(1)總體：所要考察對象的全體
(2)個體：總體中的每一個對象
(3)樣本：從總體中所抽取的一部分個體
(4)樣本容量：樣本中個體的數目
3. 數據的分析(6年3考)
名稱 定義 意義或應用
平均 數 算術平均數：對于n個數x1，x2，…，xn，其算術平均數＝①　　　　　　　　　 (1)反映數據的總體水平，但易受極端值的影響； (2)去掉一個數，若平均數變大，則說明去掉的數比平均數??；若平均數變小，則說明去掉的數比平均數大； (3)根據同年級兩個班期末考試數學成績的平均數，評價哪個班數學整體水平較高
加權平均數：＝(x1 f1＋x2 f2＋…＋xk fk)，其中f1， f2，…， fk分別表示x1， x2，…，xk出現的次數，n＝f1＋f2＋…＋fk
中位 數 將一組數據按大小順序排列，如果數據的個數是奇數，則中位數是位于②　　　的數據，如果數據的個數是偶數，則中位數是中間兩個數據的③　　　 (1)去掉最大數和最小數，中位數不變； (2)判斷某一數據在某組數據中所處的位置，比中位數大即位于前50％，比中位數小即位于后50％
眾數 一組數據中出現次數④　　的數據 日常生活中“最滿意”“最受關注”等，都與眾數有關，它能反映一組數據的集中程度
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的算術平均數，s2為數據的方差 反映數據的波動程度，方差越大，則數據的波動⑤　　　，越不穩定；反之亦成立
4. 頻數與頻率
(1)頻數：數據分組后落在各小組內數據的個數，頻數之和等于數據總數
(2)頻率：每一組數據頻數與數據總數相比，頻率之和等于⑥　　　
5. 統計圖(表)的特點(6年6考)
名稱 圖(表)中所含信息 優點
扇形 統計圖 (1)各百分比之和等于⑦　 (2)圓心角的度數＝百分比×⑧ 　 能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比
條形 統計圖 各組數據之和等于抽樣數據總數(樣本容量) 能清楚地表示出每個項目的具體數目，反映事物某一階段屬性的大小變化
頻數分 布直方圖 (1)各組頻數之和等于抽樣數據總數(樣本容量) (2)各組頻率之和等于⑨　 (3)數據總數×各組的頻率＝相應組的⑩　　　 能清楚地表示出收集或調查到的數據，能顯示出各頻數分布情況以及各組頻數之間的差異
頻數 分布表 各組頻率之和等于 　　　 —
折線 統計圖 各組數據之和等于抽樣數據總數(樣本容量) 能清楚地反映事物的變化趨勢
教材改編題練考點
1. 要調查下列問題：①調查某種燈泡的使用壽命；②了解我們班同學的視力情況；③調查同一批插線板的合格率；④發射前對“神舟十七號”載人飛船零部件的檢測.其中適合抽樣調查的是　　　　，適合全面調查的是　　　　.
2. 為了解某校2 000名學生對校園環境的滿意度，從中隨機抽取100名學生進行調查.在此數據分析中，總體是　　　　　　　　　，個體是　　　　　　　，樣本是　　　　　　　　，樣本容量是　　　　　.
3. 射擊比賽中，某隊員的10次射擊成績(單位：環)如下：
9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
則這10次射擊成績的平均數是　 　；中位數是　 　；眾數是　　　　?。环讲钍恰　　　?
4. 拋一枚硬幣100次，其中正面朝上的次數是52，在此過程中正面朝上的頻數是　　，頻率是　　　　.
5. 下列說法不正確的是(　　)
A. 為了描述某市城區十天空氣質量的變化情況，最適合用的統計圖是折線統計圖
B. 為了更直觀地介紹某品牌牛奶的各項營養指標占比，最適合用的統計圖是扇形統計圖
C. 為了直觀反映出我國近五年的GDP增速變化，最適合用的統計圖是折線統計圖
D. 為了能夠直觀地了解到全球平均地表溫度的變化情況，最適合用的統計圖是扇形統計圖
高頻考點
考點1　與數據代表有關的計算 (6年3考)
例1　(2024梅州模擬)“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高(單位：cm)分別是：23，24，23，25，26，23，25.則這組數據的眾數和中位數分別是(　　)
A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24
變式1　(2024東莞模擬)某校準備從甲、乙、丙、丁四名隊員中選派一名隊員代表學校參加全市跳繩比賽，下表是這四名隊員幾次選拔賽成績的平均數和方差，你覺得最適合的隊員是(　　)
甲 乙 丙 丁
平均數(個/分鐘) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 7.4
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
考點2　頻數與頻率
例2　《數書九章》是我國南宋數學家秦九韶所著的數學著作，標志著中國古代數學的高峰.書中記載有這樣一道題目：糧倉開倉收糧，有人送來米2 000石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得300粒米內夾谷36粒，則這批米內夾谷約為　　　　石.
變式2　(2024北京)某廠加工了200個工件，質檢員從中隨機抽取10個工件檢測了它們的質量(單位：g)，得到的數據如下：
50.03　　49.98　　50.00　　49.99　　50.02
49.99　　50.01　　49.97　　50.00　　50.02
當一個工件的質量x(單位：g)滿足49.98≤x≤50.02時，評定該工件為一等品.根據以上數據，估計這200個工件中一等品的個數為　　　　個.
考點3　統計圖(表) (6年6考)
例3　 為積極響應號召，某中學對全校學生進行了一次革命傳統和中華優秀傳統文化宣講活動，為了解宣講效果，隨機抽取了一部分學生進行問卷測試(滿分：20分).根據測試結果，繪制出如下的統計圖①和圖②.請根據相關信息，解答下列問題：
例3題圖
(1)本次隨機接受測試的學生人數為　　　　名，補全條形統計圖；
(2)圖①中m的值為　　　　；16分所對圓心角的度數為　　　　°；
(3)統計的學生測試成績數據的平均數為　　　??；眾數為　　　??；中位數為　　　??；
(4)若測試成績17分及以上為優秀，根據樣本數據，估計該校1 300名學生中測試成績為“優秀”的學生有多少？
(5)請對本次宣講活動效果作出合理評價.
真題及變式
命題點1　與數據代表有關的計算 (6年3考) 　
1. (2020廣東2題3分)一組數據2，4，3，5，2的中位數是(　　)
A. 5 B.3.5 C.3 D. 2.5
2. (2024廣東11題3分)數據5，2，5，4，3的眾數是　　　　.
拓展訓練
3. (2024綏化)某品牌女運動鞋專賣店，老板統計了一周內不同鞋碼運動鞋的銷售量如下表：
鞋碼 36 37 38 39 40
平均每天銷售量/雙 10 12 20 12 12
如果每雙鞋的利潤相同，你認為老板最關注的銷售數據是下列統計量中的(　　)
A. 平均數 B. 中位數 C. 眾數 D. 方差
命題點2　統計圖(表)的分析 (6年6考) 　
4. (2020廣東19題6分)某中學開展主題為“垃圾分類知多少”的調查活動，調查問卷設置了“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、 “不太了解” 四個等級，要求每名學生選且只能選其中一個等級，隨機抽取了120名學生的有效問卷，數據整理如下：
(1)求x的值；
(2)若該校有學生1 800人，請根據抽樣調查結果估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”垃圾分類知識的學生共有多少人？
等級 非常了解 比較了解 基本了解 不太了解
人數(人) 24 72 18 x
5. (2023廣東21題9分)小紅家到學校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周(5個工作日)選擇A線路，第二周(5個工作日)選擇B線路，每天在固定時間段內乘車2次并分別記錄所用時間.數據統計如下：(單位：min)
數據統計表
試驗序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A線路所用時間 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B線路所用時間 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
平均數 中位數 眾數 方差
A線路所用時間 22 a 15 63.2
B線路所用時間 b 26.5 c 6.36
第5題圖
根據以上信息解答下列問題：
(1)填空：a＝　　　?。籦＝　　　??；c＝　　　??；
(2)應用你所學的統計知識，幫助小紅分析該如何選擇乘車線路.
6. (2022廣東21題9分·人教八下例題改編)為振興鄉村經濟，在農產品網絡銷售中實行目標管理，根據目標完成的情況對銷售員給予適當的獎勵，某村委會統計了15名銷售員在某月的銷售額(單位：萬元)，數據如下：
10　4　7　5　4　10　5　4　4　18　8　3　5　10　8
(1)補全月銷售額數據的條形統計圖；
(2)月銷售額在哪個值的人數最多(眾數)？中間的月銷售額(中位數)是多少？平均月銷售額(平均數)是多少？
(3)根據(2)中的結果，確定一個較高的銷售目標給予獎勵，你認為月銷售額定為多少合適？
第6題圖
7. (2024廣東19題9分·北師八上例題改編)端午假期，王先生計劃與家人一同前往景區游玩.為了選擇一個最合適的景區，王先生對A，B，C三個景區進行了調查與評估.他依據特色美食、自然風光、鄉村民宿及科普基地四個方面，為每個景區評分(10分制).三個景區的得分如下表所示：
景區 特色美食 自然風光 鄉村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
第7題圖
(1)若四項所占百分比如圖所示，通過計算回答：王先生會選擇哪個景區去游玩？
(2)如果王先生認為四項同等重要，通過計算回答：王先生將會選擇哪個景區去游玩？
(3)如果你是王先生，請按你認為的各項“重要程度”設計四項得分的百分比，選擇最合適的景區，并說明理由.
新考法
8. [綜合與實踐](2024安徽)
【項目背景】
無核柑橘是我省西南山區特產，該地區某村有甲、乙兩塊成齡無核柑橘園.在柑橘收獲季節，班級同學前往該村開展綜合實踐活動，其中一個項目是：在日照、土質、空氣濕度等外部環境基本一致的條件下，對兩塊柑橘園的優質柑橘情況進行調查統計，為柑橘園的發展規劃提供一些參考.
【數據收集與整理】
從兩塊柑橘園采摘的柑橘中各隨機選取200個.在技術人員指導下，測量每個柑橘的直徑，作為樣本數據.柑橘直徑用x(單位：cm)表示.
將所收集的樣本數據進行如下分組：
組別 A B C D E
x 3.5≤x＜4.5 4.5≤x＜5.5 5.5≤x＜6.5 6.5≤x＜7.5 7.5≤x≤8.5
整理樣本數據，并繪制甲、乙兩園樣本數據的頻數直方圖，部分信息如下：
第8題圖
任務1　求圖①中a的值；
【數據分析與運用】
任務2　A，B，C，D，E五組數據的平均數分別取為4，5，6，7，8，計算乙園樣本數據的平均數；
任務3　下列結論一定正確的是　　　　(填正確結論的序號)；
①兩園樣本數據的中位數均在C組；
②兩園樣本數據的眾數均在C組；
③兩園樣本數據的最大數與最小數的差相等.
任務4　結合市場情況，將C，D兩組的柑橘認定為一級，B組的柑橘認定為二級，其它組的柑橘認定為三級，其中一級柑橘的品質最優，二級次之，三級最次.試估計哪個園的柑橘品質更優，并說明理由.
根據所給信息，請完成以上所有任務.
考點精講
①(x1＋x2＋…＋xn)?、谧钪虚g?、燮骄鶖怠、茏疃?br/>⑤越大?、??、?　⑧360°　⑨1?、忸l數　 1
練考點
1. ①③；②④
2. 2 000名學生對校園環境的滿意度；每名學生對校園環境的滿意度；抽取的100名學生對校園環境的滿意度；100
3. 7；7；7；1.2
4. 52，0.52
5. D
高頻考點
例1　C　【解析】這組數據中，出現次數最多的是23，共出現3次，∴眾數是23，將這組數據按從小到大排列，處在中間位置的數是24，∴中位數是24.
變式1　A　【解析】根據表格可知甲和丙隊員的平均成績高，而甲的方差又小于丙，即成績比丙穩定，∴最適合的隊員是甲.
例2　240　【解析】設這批米內夾谷約為x石，根據題意，得＝，解得x＝240.∴這批米內夾谷約為240石.
變式2　160　【解析】∵滿足49.98≤x≤50.02時，評定該工件為一等品，∴抽取10個工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共計8個，∴估計這200個工件中一等品的個數＝200×＝160(個).
例3　解：(1)50；補全條形統計圖如解圖；
例3題解圖
【解法提示】本次隨機接受測試的學生人數為＝50(名).成績得分為17分的人數為50×24％＝12(名).
(2)28；64.8；
【解法提示】由(1)得本次隨機接受測試的學生人數為50名，∴m％＝＝28％，∴m＝28.得分為16分所對圓心角的度數為360°×(1－24％－28％－20％－10％)＝64.8°.
(3)17.8；18；18；
【解法提示】平均數＝×(16×9＋17×12＋18×14＋19×10＋20×5)＝17.8；成績為18分的人數有14人，人數最多，故眾數為18；∵樣本容量為50，將成績按從小到大的順序排列后，中間位置的序號為25，26，對應的數據都是18，∴中位數為＝18.
(4)1 300×(24％＋28％＋20％＋10％)＝1 066(名).
答：估計該校1 300名學生中測試成績為“優秀”的學生有1 066名；
(5)成績在18分及以上的學生人數占比達到58％，說明學生對革命傳統和中華優秀傳統文化的了解較好.(答案不唯一，合理即可)
真題及變式
1. C　【解析】將數據2，4，3，5，2按從小到大的順序排列后為2，2，3，4，5，共有5個數據，處在最中間的數是3，∴這組數據的中位數是3.
2. 5　【解析】數據5，2，5，4，3中，5出現的次數最多，∴眾數是5.
3. C　【解析】∵眾數是數據中出現次數最多的數，∴老板最關注的銷售數據的統計量是眾數.
4. 解：(1)由題意得24＋72＋18＋x＝120，解得x＝6； (2分)
(2)1 800×＝1 440(人).
答：估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”垃圾分類知識的學生共有1 440人. (6分)
5. 解：(1)19；26.8；25； (3分)
【解法提示】將A線路所用時間按從小到大順序排列得14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中間兩個數是18，20，∴A線路所用時間的中位數為a＝＝19；由題意可知B線路所用時間的平均數為b＝(25＋29＋23＋25＋27＋26＋31＋28＋30＋24)÷10＝26.8；∵B線路所用時間中，出現次數最多的數據是25，∴B線路所用時間的眾數為c＝25.
(2)選擇A線路所用時平均數為22，選擇B線路所用時平均數為26.8，用時差不多，而方差63.2＞6.36，B線路所用時更穩定，為了確保能夠準時到達學校，便于規劃出發時間，所以選B線路更優.(答案不唯一，合理即可) (9分)
6. 解：(1)補全月銷售額數據的條形統計圖如解圖； (3分)
第6題解圖
(2)由統計圖可知，月銷售額的眾數為4，
將15名銷售員的銷售額按從小到大的順序排列，第8名的銷售額為5萬元，
∴中位數為5，
平均數為(3×1＋4×4＋5×3＋7×1＋8×2＋10×3＋18×1)÷15＝7(萬元)，
∴月銷售額在4萬元的人數最多，中間的月銷售額是5萬元，平均月銷售額是7萬元； (6分)
(3)如果想確定一個較高的銷售目標，這個目標可以定為7萬元(平均數)，將月銷售額定為每月7萬元是一個較高的目標，大約會有7名銷售員完成目標，人數接近總人數的一半. (9分)
7. 解：(1)A景區：6×30％＋8×15％＋7×40％＋9×15％＝7.15(分)，
B景區：7×30％＋7×15％＋8×40％＋7×15％＝7.4(分)，
C景區：8×30％＋8×15％＋6×40％＋6×15％＝6.9(分)， (2分)
∵7.4分＞7.15分＞6.9分，∴王先生會選擇B景區游玩； (3分)
(2)A景區：(6＋8＋7＋9)÷4＝7.5(分)，
B景區：(7＋7＋8＋7)÷4＝7.25(分)，
C景區：(8＋8＋6＋6)÷4＝7(分)， (5分)
∵7.5分＞7.25分＞7分，
∴王先生將會選擇A景區游玩； (6分)
(3)如果我是王先生，則認為各項“重要程度”為特色美食40％，自然風光40％，鄉村民宿10％，科普基地10％，會選擇C景區.理由如下：
A景區：6×40％＋8×40％＋7×10％＋9×10％＝7.2(分)，
B景區：7×40％＋7×40％＋8×10％＋7×10％＝7.1(分)，
C景區：8×40％＋8×40％＋6×10％＋6×10％＝7.6(分)，
∵7.6分＞7.2分＞7.1分，∴會選擇C景區.(本題答案不唯一，合理即可) (9分)
8. 解：任務1：a＝200－(15＋70＋50＋25)＝40；
任務2：
∵＝6，
∴乙園樣本數據的平均數為6；
任務3：①；
任務4：乙園的柑橘品質更優，理由如下：由樣本數據頻數直方圖可得，乙園的一級柑橘所占比例大于甲園，根據樣本估計總體，可以認為乙園的柑橘品質更優.(本答案僅供參考，其它答案請酌情賦分)

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