資源簡介

微專題34　圖形的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理
1. 軸對稱圖形與中心對稱圖形(6年3考)
軸對稱圖形 中心對稱圖形
圖形
判斷 步驟 (1)找對稱軸； (2)圖形沿對稱軸折疊； (3)對稱軸兩邊的圖形完全重合 (1)找對稱中心； (2)圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°； (3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形完全重合
2. 軸對稱與中心對稱
軸對稱 中心對稱
圖形
性質(zhì) (1)成軸對稱的兩個圖形是全等圖形； (2)對稱點(diǎn)所連線段被對稱軸垂直平分 (1)成中心對稱的兩個圖形是全等圖形； (2)對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心所平分
3. 圖形的折疊(6年3考)
實(shí)質(zhì) 折疊的實(shí)質(zhì)是軸對稱變換
性質(zhì) (1)位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕①　　　 (2)折疊前后的兩部分圖形全等，對應(yīng)邊、角、線段、周長、面積都分別相等 (3)折疊前后對應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分
4. 圖形的平移
要素 平移方向和②　　　　
性質(zhì) (1)平移前后，對應(yīng)線段③　　　(或共線)且相等，對應(yīng)角相等 (2)對應(yīng)點(diǎn)所連的線段④　　　　　　(或共線)且相等 (3)平移前、后的圖形⑤　　　　　
5. 圖形的旋轉(zhuǎn)(6年3考)
要素 旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和⑥　　　　
性質(zhì) (1)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離⑦　　 (2)任何一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角都⑧　　　旋轉(zhuǎn)角 (3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形⑨　　
練考點(diǎn)
1. 下列消防安全標(biāo)識圖，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)
2. 如圖是由6個大小相同的正方形組成的中心對稱圖形，則此圖形的對稱中心是(　　)
第2題圖
A. 點(diǎn)M　　　 B. 點(diǎn)N
C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q
3. 如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，沿過點(diǎn)B的直線將△ABC折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E落在AB上，則AE的長為　　　　.
第3題圖
4. 如圖，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝1，則CF的長為　　　　.
第4題圖
5. 如圖，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，將三角形ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到三角形ADE，則∠CAD的度數(shù)是　　　°.
第5題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　圖形的對稱 (6年3考)
例1　(北師八下習(xí)題改編)如圖所示是我國部分城市的地鐵標(biāo)志.
(1)軸對稱的圖形有　　　　；
(2)中心對稱的圖形有　　　　；
(3)既是軸對稱圖形又是中心對稱的圖形有　　　　.
例1題圖
變式1　(2024佛山南海區(qū)二模)第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動會將于2024年舉行，下列圖形是本屆奧運(yùn)會運(yùn)動項(xiàng)目圖標(biāo)，其中屬于軸對稱圖形的是(　　)
變式2　(2024綏化)下列所述圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(　　)
A. 平行四邊形 B. 等腰三角形
C. 圓 D. 菱形
例2　 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，3)，點(diǎn)B(2，1)，P是x軸上一個動點(diǎn)，連接PA，PB，則PA＋PB的最小值為(　　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 5
例2題圖
變式3　(2023廣州)如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝1，F(xiàn)為對角線BD上一動點(diǎn)，連接CF，EF，則CF＋EF的最小值為　　　　.
變式3題圖
考點(diǎn)2　圖形的平移
例3　 如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE與AC交于點(diǎn)G，連接A D.
(1)若∠B＝60°，∠ACB＝30°，則∠EDF的度數(shù)為　　　　°；
(2)四邊形ACFD的形狀為　　　　　；
(3)判斷AD，BC，BF之間的數(shù)量關(guān)系為　　　　　；
(4)若AB＝3，DF＝4，CE＝2，△DEF的周長為12，則△ABC平移的距離為　　　　.
例3題圖
變式4　(2024臨夏州)如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A'滿足AA'＝AD，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是　　　　.
變式4題圖
考點(diǎn)3　圖形的旋轉(zhuǎn) (6年3考)
例4　 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△DEC，點(diǎn)D恰好落在AB邊上.
例4題圖
(1)旋轉(zhuǎn)中心為　　　　，旋轉(zhuǎn)角為　　　　；
(2)與EC相等的邊是　　　　；
(3)若AC＝4，則DE的長為　　　　；
(4)△ACD的形狀為　　　　；
(5)BC與DE的位置關(guān)系為　　　　.
變式5　(2024佛山一模)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D'，當(dāng)點(diǎn)C，B'，C'三點(diǎn)共線時，AB'交DC于點(diǎn)E，則DE的長度是(　　)
變式5題圖
A. B. C. D.
真題及變式
命題點(diǎn)1　對稱圖形的識別 (6年3考) 　
1. (2024廣東2題3分)下列幾何圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是(　　)
2. (2023廣東2題3分)下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的為(　　)
3. (2019廣東5題3分)下列四個銀行標(biāo)志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是(　　)
命題點(diǎn)2　圖形的平移 　
拓展訓(xùn)練
4. (2024英德一模)如圖，將長為6，寬為4的長方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到長方形A'B'CD'，則陰影部分的面積為　　　　.
第4題圖
5. 如圖，在 ABCD中，點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C(0，6)在y軸上，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，將 ABCD沿x軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　.
第5題圖
命題點(diǎn)3　圖形的旋轉(zhuǎn) (6年3考) 　
拓展訓(xùn)練
6. (2024廣元)如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD＝3，BC＝1，則AD的長為(　　)
A. B. C. 2 D. 2
第6題圖
新考法
7. [數(shù)學(xué)文化](2024甘肅省卷)圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子于點(diǎn)　　　　的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形.(填寫A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點(diǎn)上)
第7題圖
8. [真實(shí)問題情境](2024揚(yáng)州)如圖①，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABC D.
(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
(2)已知矩形紙條寬度為2 cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖②位置時，四邊形ABCD的面積為8 cm2，求此時直線AD，CD所夾銳角∠1的度數(shù).
第8題圖
考點(diǎn)精講
①成軸對稱　②平移距離　③平行　④平行　⑤全等
⑥旋轉(zhuǎn)角度　⑦相等　⑧等于　⑨全等
練考點(diǎn)
1. C
2. B
3. 2
4. 1
5. 20
高頻考點(diǎn)
例1　(1)③④⑤；(2)④；(3)④
變式1　C
變式2　B
例2　C　【解析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知PA＋PB的最小值即為A'B的長度，∵A(－2，3)，B(2，1)，∴A'(－2，－3)，∴A'B＝＝＝4.
變式3　　【解析】如解圖，連接AE交BD于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對稱，∴AF＝CF，∴CF＋EF＝AF＋EF＝AE，此時CF＋EF的值最小，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AB＝4，∠ABC＝90°，∵BE＝1，∴AE＝＝＝，故CF＋EF的最小值為.
變式3題解圖
例3　(1)90；(2)平行四邊形；(3)BF＝BC＋AD；(4)3
【解法提示】(1)由平移可得∠DEF＝∠B＝60°，∠F＝∠ACB＝30°，∴∠EDF＝180°－60°－30°＝90°；(2)由平移的性質(zhì)得AD＝CF，AD∥CF，∴四邊形ACFD是平行四邊形；(3)由平移的性質(zhì)得AD＝CF，∴BF＝BC＋CF＝BC＋AD；(4)由平移的性質(zhì)可知，△ABC的周長＝△DEF的周長＝12，∵AB＝3，DF＝4，∴AC＝DF＝4，∴BC＝12－3－4＝5，∴平移的距離BE＝BC－CE＝5－2＝3.
變式4　　【解析】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝×2＝1，由勾股定理得BD＝＝.∴AA'＝AD＝，∴A'D＝1－＝.如解圖，記A'B'與BD的交點(diǎn)為M，A'C'與CD的交點(diǎn)為N，由平移可知，∠A'MD＝∠B＝30°，在Rt△A'DM中，MD＝＝＝.∵A'M＝A'N，∴MN＝2MD＝，∴S重疊部分＝·MN·A'D＝××＝.
變式4題解圖
例4　(1)點(diǎn)C，∠ACD或∠BCE；(2)BC；(3)8；(4)等邊三角形；(5)垂直
變式5　A　【解析】如解圖，連接AC，AC'，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，由旋轉(zhuǎn)可知，BC＝B'C'＝3，AC＝AC'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AB'＝AB＝4，∴△ACC'是等腰三角形，且AB'⊥CC'，∴B'C＝B'C'＝3，∴AD＝B'C＝3，∵∠AED＝∠CEB'，∠D＝∠EB'C＝90°，∴△ADE≌△CB'E(AAS)，∴AE＝CE，DE＝B'E，設(shè)AE＝x，則B'E＝4－x＝DE，在Rt△ADE中，DE2＋AD2＝AE2，即(4－x)2＋32＝x2，解得x＝，∴DE＝4－＝.
變式5題解圖
真題及變式
1. C
2. A
3. C　【解析】逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng) 逐項(xiàng)分析 正誤
A 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
B 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
C 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 √
D 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
4. 12　【解析】由題意可得，陰影部分是矩形，其長為6－2＝4，寬為4－1＝3，∴陰影部分的面積＝4×3＝12.
5. (－2，6)　【解析】∵A(4，0)，C(0，6)，E是 ABCD對角線的交點(diǎn)，∴E(2，3)，當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時， ABCD沿x軸向左平移2個單位長度，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，6).
6. A　【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAE＝90°，AC＝AE，DE＝BC＝1，∴△ACE是等腰直角三角形，CE＝CD＋DE＝3＋1＝4，如解圖，過點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H，∴AH＝CE＝CH＝HE＝2，∴HD＝HE－DE＝2－1＝1，∴AD＝＝＝.
第6題解圖
7. A(或C)　【解析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，發(fā)現(xiàn)放在B，D處不能構(gòu)成軸對稱圖形，放在A或C處可以.
8. 解：(1)四邊形ABCD為菱形，理由如下：
由題可知，AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
如解圖①，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
則∠BEA＝∠DFA＝90°.
∵兩個矩形的寬度相等，
∴BE＝DF，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
第8題解圖①
(2)如解圖②，過點(diǎn)A作AG⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD的面積為8，
∴CD×AG＝8，
又∵AG＝2，
∴CD＝4.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝4，
在Rt△AGD中，AG＝2，AD＝4，∠AGD＝90°，
∴sin∠1＝＝＝，
∴∠1＝30°，
∴直線AD，CD所夾銳角∠1的度數(shù)為30°.
第8題解圖②

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