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微專題31　三種方法求陰影部分面積
一階　方法訓練
方法解讀
1. 公式法
所求陰影部分的面積是規則圖形，例如三角形、特殊四邊形、扇形時，直接用面積公式計算.
S陰影＝S△ABE
S陰影＝S正方形ABCO
S陰影＝S扇形MEN
方法一　公式法[6年2考：2023.15、22(2)②，2022.15]
例1　如圖，在 ABCD中，BC＝8，點E在AD邊上，連接BE，CE，若點A到直線BC的距離為4，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
例1題圖
變式1　如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形ABE的面積為　　　　.
變式1題圖
變式2　如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB為直徑的☉O交BC于點D，連接OD，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式2題圖
方法解讀
2. 和差法
(1)直接和差法
所求不規則陰影部分的面積若可以看成幾個規則圖形，則面積直接相加減.
S陰影＝S ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF
S陰影＝S扇形AOB－S△AOB
S陰影＝S△ABC－S扇形CAD
(2)構造和差法
所求不規則陰影部分的面積需要添加輔助線構造規則圖形，然后進行相加減.
S陰影＝S△ACE＋S△ACF
S陰影＝S△OBD＋S扇形DOC
S陰影＝S△ABC－S△BOD－S扇形DOC
方法二　和差法[6年2考：2021.13，2019.22(2)]
一、直接和差法
例2　如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E，F分別在邊AB，AD上，連接CE，CF，EF.若AE＝2BE，AF＝DF，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
例2題圖
變式3　如圖，△ABC內接于☉O，連接OA，OB，若OA＝10，∠ACB＝45°，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式3題圖
變式4　如圖，四邊形AOBC是邊長為1的正方形，以O為圓心的交OA的延長線于點D，則圖中陰影部分的面積等于　　　　.
變式4題圖
二、構造和差法
例3　如圖，四邊形ABCD，CEFG均為正方形，點D在CE上，其中正方形ABCD的面積為16 cm2，正方形CEFG的面積為36 cm2，則圖中陰影部分的面積為　　　　cm2.
例3題圖
變式5　如圖，AB為☉O的直徑，BC與☉O相切，連接AC，與☉O交于點D，☉O的半徑為2.若點D是的中點，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式5題圖
變式6　如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，以點B為圓心，分別以AB，BC的長為半徑畫弧，與BC，AD分別交于點E，F，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式6題圖
方法解讀
3. 等積轉化法
所求陰影部分的面積無法直接計算時，可利用等積轉化法將所求陰影部分的面積轉化為規則圖形的面積或規則圖形面積的和差.
(1)直接等面積轉化(AB∥CD)
S陰影＝S△ABC
S陰影＝S扇形COD
(2)全等轉化
S陰影＝S△AOB( ABCD)
S陰影＝S△ACD(D為AB的中點)
方法三　等積轉化法
例4　如圖，在 ABCD中，點E在AD邊上，連接BE，CE，若S ABCD＝20，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
例4題圖
變式7　如圖，已知點C，D是以AB為直徑的半圓O的三等分點，的長為，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式7題圖
變式8　如圖，AB為☉O的直徑，BC與☉O相切，連接AC，與☉O交于點D，☉O的半徑為2，若∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式8題圖
二階　綜合應用
1. 如圖，AB是☉O的直徑，OC＝6，∠BAC＝40°，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第1題圖
2. 如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AB，CD上的一點，連接DE，AF交于點P，連接CE，BF交于點Q，若四邊形EPFQ的面積為15，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第2題圖
3. 如圖，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，連接BD，則圖中陰影部分的面積為　　　　.(結果保留π)
第3題圖
4. 如圖，將邊長為的正方形ABCD繞點B逆時針旋轉30°，得到正方形A'BC'D'，點A，C，D分別對應點A'，C'，D'，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第4題圖
5. 如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E，F分別是AD，BC的中點，分別以點A，B為圓心，AE長為半徑作弧，兩弧交AB于點G，以EF為直徑在EF的右側作半圓，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第5題圖
6. 如圖，E為正方形ABCD內的一點，BE⊥CE，CE＝，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第6題圖
7. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E，F在AD邊上，點G，H分別是AB，CD的中點，GF和EH交于點M，若EF＝AD，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第7題圖
一階　方法訓練
例1　16　【解析】∵AD∥BC，點A到直線BC的距離為4，∴點E到直線BC的距離為4，∴S陰影＝×8×4＝16.
變式1　　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC＝，∴cos∠CBE＝＝，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°－30°＝60°，∴S扇形ABE＝＝.
變式2　　【解析】∵AB＝AC＝4，∠C＝30°，AB為☉O的直徑，∴∠B＝∠C＝30°，OA＝OB＝AB＝2，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴S陰影＝＝.
例2　20　【解析】∵AE＝2BE，AF＝DF，AB＝6，BC＝8，∴AE＝AB＝4，BE＝AB＝2，AF＝DF＝AD＝BC＝4，∴S陰影＝S矩形ABCD－S△AEF－S△BCE－S△CDF＝6×8－×4×4－×8×2－×6×4＝20.
變式3　25π－50　【解析】∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，又∵OA＝OB＝10，∴S陰影＝S扇形AOB－S△AOB＝－OA·OB＝－×10×10＝25π－50.
變式4　－　【解析】∵四邊形AOBC是邊長為1的正方形，∴AC＝AO＝1，∠OAC＝90°，∴OC＝，∠AOC＝45°，∴S陰影＝S扇形COD－S△AOC＝－×1×1＝－.
例3　10　【解析】∵四邊形ABCD，CEFG均為正方形，且面積分別為16 cm2，36 cm2，∴BC＝CD＝4 cm，CG＝CE＝6 cm，∴S陰影＝S△BEG－S△BDG＝×(4＋6)×6－×(4＋6)×4＝10 cm2.
變式5　2＋π　【解析】如解圖，連接OD，∵點D是的中點，∴∠AOD＝∠DOB＝90°，△AOD是等腰直角三角形，∵☉O的半徑為2，∴S陰影＝S△AOD＋S扇形DOB＝×2×2＋＝2＋π.
變式5題解圖
變式6　8　【解析】如解圖，連接BF，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，BF＝BC＝4，∴AF＝＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∠ABF＝∠CBF＝45°，∴S陰影＝S扇形CBF＋S△ABF－S扇形ABE＝＋×4×4－＝8.
變式6題解圖
例4　10　【解析】如解圖，連接BD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，S△BCD＝S ABCD＝10，∴S陰影＝S△BCD＝10.
例4題解圖
變式7　　【解析】如解圖，連接CD，OC，OD，∵C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC，△OCD是等邊三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵的長為π，設半圓O的半徑為r，∴＝π，解得r＝1，∴S陰影＝S扇形COD＝＝.
變式7題解圖
變式8　4　【解析】如解圖，連接BD，OD.∵BC與☉O相切，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴點D是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∵BC⊥AB，∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠BOD＝90°，∴扇形AOD的面積與扇形BOD的面積相等，易得S陰影＝S△BDC，∴在Rt△BDC中，S△BDC＝BD·CD＝×(AO)2＝4，即S陰影＝4.
變式8題解圖
二階　綜合應用
1. 8π　【解析】∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵OA＝OB，∴線段CO是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴S△AOC＝S△COB，∴S陰影＝S扇形BOC，∵∠BAC＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∵OC＝6，∴S扇形BOC＝＝8π，∴S陰影＝8π.
2. 15　【解析】如解圖，連接EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△EFC的邊FC上的高與△BCF的邊FC上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFC－S△FQC＝S△BCF－S△FQC，∴S△EFQ＝S△BQC，同理，S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△APD，∵S四邊形EPFQ＝S△EFP＋S△EFQ＝15，∴S陰影＝S△APD＋S△BQC＝S四邊形EPFQ＝15.
第2題解圖
3. π　【解析】如解圖，連接OE交BD于點F，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠FBE＝∠FDO，又∵AD為圓O的直徑，半圓O與BC相切于點E，∴OE⊥BC，易得BF＝DF，BE＝OD＝BC＝2，∴△BEF≌△DOF(SAS)，∴S陰影＝S扇形EOD＝πr2＝π×22＝π.
第3題解圖
4. 3－　【解析】如解圖，設AD，C'D'交于點E，連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由旋轉的性質，得∠CBC'＝30°，BC'＝BC，∠C'＝∠C＝90°，∴∠A＝∠C'＝90°，AB＝C'B，又∵BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△C'BE，∴∠ABE＝∠C'BE＝∠ABC'＝(90°－∠CBC')＝30°，S△C'BE＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝AB·tan∠ABE＝1，∴S陰影＝S正方形ABCD－S四邊形ABC'E＝×－2××1×＝3－.
第4題解圖
5. 8　【解析】如解圖，設EF的中點為O，連接GO并延長，交CD于點H，∵E為AD中點，AG＝AE，AD＝AB，∴點G為AB的中點，易得OE＝OF＝DE，扇形EOH與扇形GBF面積相等，扇形HOF與扇形EAG面積相等，可得S陰影＝S矩形ABFE，∵點E是AD的中點，AB＝AD＝4，∴AE＝2，∴S陰影＝S矩形ABFE＝4×2＝8.
第5題解圖
6. 　【解析】如解圖，過點D作DF⊥CE于點F，∴∠DFC＝90°，∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°，∴∠DFC＝∠CEB，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠DCF＋∠BCE＝90°，∵∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠CBE，∴△DCF≌△CBE，∴DF＝CE＝，∴S陰影＝CE·DF＝.
第6題解圖
7. 　【解析】如解圖，連接GH，過點M作MN⊥GH于點N，交AD于點Q，∵在矩形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，∴四邊形GHDA是矩形，∴GH＝AD＝BC＝10，GH∥AD，∴△GMH∽△FME，∴＝＝2，∵MN＋MQ＝AB＝3，∴MN＝2，MQ＝1，∴S△GHM＝GH·MN＝×10×2＝10，∴S△EFM＝EF·MQ＝×5×1＝，S矩形GHDA＝3×10＝30，∴S陰影＝S矩形GHDA－S△GHM－S△EFM＝30－10－＝.
第7題解圖

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