資源簡介

微專題30　與圓有關的計算
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 弧長與扇形面積(6年5考)
圓周長 　C＝①　　　　　 r為圓(扇形)的半徑； n°為弧所對的圓心角的度數； l是扇形的弧長
扇形弧長 　l＝② 　　　　
圓面積 　S＝③　　　　
扇形面積 S扇形＝④　　　＝lr
注：陰影部分圖形的面積計算，方法講解詳見本書P136～P137微專題　三種方法求陰影部分面積
2. 圓錐的相關計算(6年2考)
相關 計算 (1)圓錐的側面展開圖是扇形； (2)圓錐的母線長l為扇形的⑤　　　； (3)圓錐底面圓的周長2πr為扇形的⑥　　　； (4)圓錐的高為h，則r2＋h2＝l2； (5)圓錐的底面圓周長：C＝2πr； (6)圓錐的底面圓面積：S＝πr2； (7)圓錐的側面積：S＝πrl r為底面圓半徑 l為圓錐的母線長
3. 正多邊形與圓
名稱 公式 圖例
中心角 正n邊形的每個中心角θ為⑦　　　 R：半徑 r：邊心距 a：邊長 θ：中心角
邊心距 正n邊形的邊心距r＝
周長 正n邊形的周長l＝na
面積 正n邊形的面積S＝⑧　　　　rl(l為正n邊形的周長)
練考點
1. 已知扇形AOB的半徑為4，圓心角為60°，則該扇形的弧長＝　　　，面積＝　　　.
2. 如圖，扇形的半徑為6，圓心角為120°，用這個扇形圍成一個圓錐的側面，則所得圓錐的底面半徑為　　　　.
第2題圖
3. 如圖，☉O是正六邊形ABCDEF的外接圓.
(1)∠FAO的度數為　　　　　　　；
(2)若☉O的半徑OA為6，則圓心到邊AB的距離為　　　　.
第3題圖
高頻考點
考點1　與弧長、扇形面積有關的計算 (6年5考)
例1　(2024佛山南海區一模)如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD為直徑的圓與AD交于點E，則的長是(　　)
A. 3π B. C. 4π D. 5π
例1題圖
例2　(2024山西)如圖①是小區圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖(陰影部分為花窗).通過測量得到扇形AOB的圓心角為90°，OA＝1m，點C，D分別為OA，OB的中點，則花窗的面積為　　　　m2.
例2題圖
考點2　與圓錐有關的計算 (6年2考)
例3　(2024珠海金灣區一模)如圖，已知一圓在扇形AOB的外部，沿扇形的，從點A滾動一周(無滑動)，恰好到達點 B.如果OA＝24 cm，∠AOB＝60°，圓的半徑為　　　　cm.
例3題圖
變式1　(2024煙臺)如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF 中，以點 F為圓心，以 FB的長為半徑作 ，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為　　　　.
變式1題圖
考點3　正多邊形與圓
例4　(2024甘孜州)如圖，正六邊形ABCDEF內接于☉O，OA＝1，則AB的長為(　　)
A. 2 B. C. 1 D.
例4題圖
變式2　(2024佛山順德區一模)我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”：通過圓內接正多邊形割圓，邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長.如圖，由圓內接正六邊形可算出π≈3.若利用圓內接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率π約為(　　)
變式2題圖
A. 12sin 30° B. 12cos 30° C. 12sin 15° D. 12cos 15°
真題及變式
命題點1　與圓錐有關的計算 (6年2考) 　
1. (2020廣東16題4分)如圖，從一塊半徑為1 m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為　　　　m.
　第1題圖
命題點2　與扇形面積有關的計算 (6年5考) 　
2. (2022廣東15題3分)扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積(結果保留π)為　　　　.
3. (2021廣東13題4分·北師九下習題改編)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分別以點B，點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB，BC，AC于點D，E，F，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
　第3題圖
4. (2019廣東22題7分)在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點均在格點上，以點A為圓心的與BC相切于點D，分別交AB，AC于點E，F.
(1)求△ABC三邊的長；
(2)求圖中由線段EB，BC，CF及所圍成的陰影部分的面積.
第4題圖
新考法
5. [真實問題情境](2024呼倫貝爾)為了促進城鄉協調發展，實現共同富裕，某鄉鎮計劃修建公路.如圖，與是公路彎道的外、內邊線，它們有共同的圓心O，所對的圓心角都是72°，點A，C，O在同一條直線上，公路彎道外側邊線比內側邊線多36米，則公路寬AC的長是 　　　　米.(π取3.14，計算結果精確到0.1)
第5題圖
6. [綜合與實踐](2024廣東21題9分)
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖①所示：
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過濾漏斗.
第6題圖①
【實踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖②所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖①所示漏斗中.
第6題圖②
【實踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內壁(忽略漏斗管口處)？用你所學的數學知識說明；
(2)當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結果保留π)
考點精講
①2πr　②　③πr2　④　⑤半徑　⑥弧長
⑦　⑧
練考點
1. ，
2. 2
3. (1)60°；(2)3
高頻考點
例1　C　【解析】如解圖，取CD的中點O，連接OE，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，∴的長是＝4π.
例1題解圖
例2　(－)　【解析】∵點C，D分別為OA，OB的中點，OA＝1 m，∴OC＝OA＝ m，OD＝OB＝ m.∴S陰影＝S扇形AOB－S△OCD＝－OC·OD＝(－)m2.
例3　4　【解析】設圓的半徑為r cm，2πr＝，解得r＝4.
變式1　　【解析】設圓錐的底面半徑為r，∵正六邊形邊長為6，∴AB＝AF＝6，∠BAF＝120°，∴∠AFB＝30°，∴BF＝2AF·cos 30°＝6，∵∠BFD＝∠AFE－2∠AFB＝60°，∴＝2πr，解得r＝.
例4　C　【解析】∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AB＝OA＝1.
變式2　C　【解析】如解圖，連接OA1，OA2，過點O作OM⊥A1A2，垂足為點M，設☉O的半徑為R，∵十二邊形A1A2…A12是圓內接正十二邊形，∴∠A1OA2＝＝30°，又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R·sin 15°，∴A1A2＝2A1M＝2R·sin 15°，∴正十二邊形A1A2…A12的周長為12A1A2＝2R·sin 15°×12，∴2πR＝2R·sin 15°×12，解得π＝12sin 15°.
變式2題解圖
真題及變式
1. 　【解析】設圓錐的底面圓半徑為R m，根據扇形的弧長等于底面圓周長，可得到＝2πR，解得R＝.
2. π　【解析】扇形面積為＝π.
3. 4－π　【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝BC＝2，∵BC＝4，∴BE＝CE＝BC＝2，∴S陰影＝S△ABC－S扇形BDE－S扇形CEF＝×2×2－－＝4－π.
4. 解：(1)根據題圖可知AB2＝22＋62＝40，
∴AB＝2. (1分)
∵AC2＝22＋62＝40，
∴AC＝2. (2分)
∵BC2＝42＋82＝80，
∴BC＝4； (3分)
(2)如解圖，連接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°. (4分)
∵以點A為圓心的與BC相切于點D，
∴AD⊥BC，
∴AD＝BC＝2. (5分)
∵S△ABC＝BC·AD＝×4×2＝20，
S扇形EAF＝π×(2)2＝5π， (6分)
∴S陰影＝S△ABC－S扇形EAF＝20－5π. (7分)
第4題解圖
5. 28.7　【解析】根據題意，得的長為，的長為，∵公路彎道外側邊線比內側邊線多36米，∴－＝36，∴＝36，即＝36，解得AC＝≈≈28.7.
6. 解：(1)能，理由如下： (1分)
設圓錐濾紙底面周長為C，半徑為r，母線為l，
漏斗底面半徑為R＝ cm，母線長L＝7 cm，濾紙直徑d＝10 cm，
由題意得πd＝C＝2πr，
r＝ cm，l＝＝5 cm，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴濾紙可緊貼漏斗內壁； (6分)
(2)設濾紙圍成圓錐形的高為h cm，
由(1)可知h＝＝ cm，
∴V圓錐＝πr2h＝×π×()2×＝(cm3). (9分)

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