資源簡介

微專題29　與圓有關的位置關系
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 點與圓的位置關系
點在圓外 d＝OA①　　　　r
點在圓上 d＝OB②　　　　r
點在圓內 d＝OC③　　　　r
2. 直線與圓的位置關系(2024年首次涉及考查)
位置關系 相離 相切 相交
d與r的 關系 d④　　　r d⑤　　　r d⑥　　　r
交點的 個數 沒有公共點 有且只有一個公共點 有兩個公共點
示意圖
3. 切線的性質與判定(6年6考)
(1)性質定理：圓的切線⑦　　　　于過切點的半徑(或直徑)
(2)性質：①切線和圓只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切線垂直于過切點的半徑；④經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；⑤經過切點且垂直于切線的直線必過圓心
(3)判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
(4)判定方法：①直線與圓公共點已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點未知：作垂直，證半徑
4. 切線長與切線長定理
圖示
切線長 在經過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧　　　　之間的線段的長度，叫做這點到圓的切線長
切線長定理 從圓外一點可以引圓的⑨　　　條切線，它們的切線長⑩　　，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(探索并證明切線長定理*選學)
5. 三角形的內切圓
(1)定義：與三角形各邊都相切的圓
(2)圓心O：內心(三角形的內切圓圓心或三角形三條 　　　　的交點)
(3)性質：三角形的內心到三角形 　　　　的距離相等
(4)角度關系：如圖③，圖④，∠BOC＝90°＋∠BAC
【知識拓展】
任意三角形的內切圓 直角三角形的內切圓
圖③ 圖④
利用等面積法可得：r＝ 利用等面積法可得：r＝ 利用切線長定理可得：r＝
練考點
1. 已知☉O的半徑為3，P為平面內一點，OP＝4，則點P在☉O　　　　.(填“內”“上”或“外”)
2. 已知圓的半徑為3，圓心到某直線的距離為2，則此直線與圓的位置關系為　　　　.(填“相交”“相切”或“相離”)
3. 如圖，AC是☉O的直徑.
(1)若BC是☉O的切線，則∠ACB＝　　　　°；
(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，則BC與☉O　　　　.(填“相交”“相切”或“相離”)
第3題圖
4. 如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，連接AB，OA，OB，PO，PO交☉O于點C，交AB于點D，∠OAB＝30°.
第4題圖
(1)∠APB的度數為　 　??；
(2)若OA＝4，則OP的長為　　　　.
5. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內切圓半徑r＝　　　　.
第5題圖
6. 如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，則△ABC的面積為　　　　.
第6題圖
高頻考點
考點　與切線有關的證明及計算 (6年6考)
一、切線的判定(6年4考)
方法解讀
1. 利用平行證垂直：
當需要證明的切線有一條垂線時，可證明過切點的半徑與這條垂線平行.
2. 利用等角轉換證垂直：
題干中直接給出角度關系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角代換來證明.
3. 利用三角形全等證垂直：
常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構造全等三角形來證得垂直.
4. 作垂直，證半徑：
過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑.
方法一　連半徑、證垂直
例1　(利用平行證垂直)核心設問 如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的☉O交BC于點E，過點E作EF⊥AB于點F.求證：EF是☉O的切線.[2019廣東24(2)題考查]
例1題圖
例2　(利用等角轉換證垂直)如圖，AB是☉O的直徑，C是圓上一點，過點C的直線CD交BA延長線于點D，且∠DCA＝∠B，求證：CD是☉O的切線.
例2題圖
例3　(利用三角形全等證垂直)核心設問 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作☉O，交AB于點D，點E為AC上一點，連接DE.若DE＝CE，求證：DE是☉O的切線.[2020廣東22(1)題考查]
例3題圖
方法二　作垂直、證半徑
例4　核心設問 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一點O為圓心，OC長為半徑作☉O，連接BO，若BO平分∠ABC，求證：AB是☉O的切線.[2024廣東17(2)題考查]
例4題圖
二、切線性質的相關證明及計算(6年2考)
方法解讀
1. 證明角相等的方法：
(1)根據直角三角形中兩銳角互余，進行等量代換找到對應的角；
(2)根據平行線與等腰三角形的性質，進行等量代換找到相對應的角；
(3)通過證明兩個三角形全等，得到對應的角相等.
2. 求線段長的方法：
(1)若題干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出現三角函數sin、cos、tan時，考慮利用三角函數求線段長；
(2)若題干無特殊角或三角函數，觀察圖形發現已知邊與所求邊分別所在的三角形存在相似關系，考慮作輔助線將所求線段轉化到直角三角形中，利用相似三角形求線段長.
3. 證明線段平行的方法：
(1)通過角之間的等量代換，利用同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補的方法證明兩直線平行.
(2)設法將兩條線段放在同一個三角形中，利用中位線(或等分點)的性質證明兩直線平行.
例5　 如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一點，以BE為直徑的☉O與AC相切于點D，連接BD，DE.
例5題圖①
(1)求證：∠ABD＝∠CDE；
(2)求證：BD平分∠ABC；
(3)若∠ABD＝30°，AD＝，求OC的長；
(4)如圖②，若F為CD的中點，連接EF，∠C＝30°，求證：EF∥A B.
例5題圖②
真題及變式
命題點　切線的判定及性質 (6年6考) 　
1. (2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直徑，CO平分∠BC D.
(1)求證：直線CD與☉O相切；
(2)如圖②，記(1)中的切點為E，P為優弧上一點，AD＝1，BC＝2.求tan ∠APE的值.
　第1題圖
2. (2019廣東24題9分·北師九下習題改編)如圖①，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交☉O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF.
(1)求證：ED＝EC；
(2)求證：AF是☉O的切線；
(3)如圖②，若點G是△ACD的內心，BC·BE＝25，求BG的長.
　第2題圖
新考法
3. [真實問題情境] 陀螺(如圖①)是中國民間最早的娛樂工具之一，歷經千年發展成為備受世界喜愛的一項運動.玩木制陀螺時需要掌握一定的技巧，其中發動陀螺尤為重要.某數學興趣小組畫出如圖②所示的示意圖，陀螺的截面圖記作☉O，將鞭繩纏繞陀螺后余下的鞭繩為AC，點C為接頭，繩桿為PC，發動陀螺時需將手放在優弧處固定陀螺，連接AB，AP，AP交☉O于點D，連接BD且∠ABC＝∠ADB.
(1)求證：PC與☉O相切；
(2)實踐中發現，當AC與☉O相切于點A，且AC⊥PC時，發動陀螺更加穩定，若陀螺半徑r＝4 cm，∠BAP＝30°，求繩桿CP的長度.
第3題圖
考點精講
①＞　②＝　③＜?、埽尽、荩健、蓿肌、叽怪薄、嗲悬c
⑨兩?、庀嗟取?角平分線　 三條邊
練考點
1. 外
2. 相交
3. (1)90；(2)相切
4. (1)60°；(2)8
5. 1
6. 32
高頻考點
例1　證明：如解圖，連接OE，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE是☉O的半徑，
∴EF是☉O的切線.
例1題解圖
例2　證明：如解圖，連接OC，
∵AB是☉O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
又∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA＝∠CAB＋∠B＝90°，
即CD⊥OC.
∵OC是☉O的半徑，
∴CD是☉O的切線.
例2題解圖
例3　證明：如解圖，連接OD，OE，
在△ODE與△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE(SSS)，
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
即OD⊥DE，
∵OD是☉O的半徑，
∴DE是☉O的切線.
例3題解圖
例4　證明：如解圖，過點O作OD⊥AB于點D，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO平分∠ABC，
∴OD＝OC，
∵OC是☉O的半徑，
∴OD是☉O的半徑，
∴AB是☉O的切線.
例4題解圖
例5　(1)證明：∵BE為☉O的直徑，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADB＋∠CDE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠CDE；
(2)證明：如解圖①，連接OD，
∵AC是☉O切線，
∴∠ODC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴AB∥OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ABD＝∠OBD，
∴BD平分∠ABC；
例5題解圖①
(3)解：如解圖①，連接OD，
由(1)知∠ABD＝∠CDE，由(2)知∠ABD＝∠OBD，
∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，
∴∠OBD＝∠ODB＝∠CDE＝30°，BD＝2，
∴∠DOC＝60°，
∵AC與☉O相切于點D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠C＝90°－60°＝30°，
∴∠CDE＝∠C，
∴DE＝CE，
∵∠BDE＝90°，
∴BE＝＝4，DE＝BE＝2，
∴CE＝DE＝2，
∴OC＝4；
(4)證明：如解圖②，連接OD，
由(2)得∠ODC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE為等邊三角形，
∴∠ODE＝60°，
∴∠CDE＝90°－60°＝30°，
∴∠CDE＝∠C，
∴CE＝DE＝OE，
∴點E是OC的中點.
∵點F是CD的中點，
∴EF是△ODC的中位線，
∴EF∥OD，
由(2)知，OD∥AB，
∴EF∥AB.
例5題解圖②
真題及變式
1. (1)證明：如解圖①，過點O作OE⊥CD于點E，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OEC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
又∵CO＝CO，
∴△BOC≌△EOC(AAS)，
∴OE＝OB，
∵OB為☉O的半徑，
∴OE為☉O的半徑，
又∵OE⊥CD，
∴直線CD與☉O相切； (3分)
(2)解：如解圖②，連接OD，OE，
由(1)得OE＝OB，
∴OE＝OA，
∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，
∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，
∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝∠AOE，
∴∠APE＝∠AOE＝∠3，
由(1)得△BOC≌△EOC，
∴CE＝BC＝2，
∴CD＝DE＋CE＝3. (5分)
過點D作DF⊥BC，垂足為點F，則四邊形ABFD為矩形，
∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝1，
在Rt△DFC中，DF＝＝2，
∴OA＝AB＝DF＝，
∴tan∠APE＝tan∠3＝＝＝. (8分)
　第1題解圖
一題多解法
如解圖③，連接BE，AE，并延長AE交BC的延長線于點F，
由題意得∠APE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，AB為☉O直徑，
∴AD與☉O相切，∴DE＝AD＝1，同理可得CE＝CB＝2，
∵AD∥BC，
∴＝＝，即FE＝2AE， (5分)
∵AB是☉O的直徑，
∴BE⊥AF，
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，
∴∠BAE＝∠FBE，
∴△ABE∽△BFE，
∴＝＝，即BE2＝2AE2，
∴＝(負值已舍去)，
∴tan∠APE＝tan∠ABE＝＝. (8分)
　第1題解圖③
2. (1)證明：如解圖①，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3.
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∴ED＝EC； (2分)
　第2題解圖①
(2)證明：如解圖②，連接OA，OB，OC，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AO是BC的垂直平分線，
∴AO⊥BC.
∵由(1)得∠2＝∠3，
∴AB∥DF.
∵AB＝AC＝CF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AF∥BC，
∴AO⊥AF.
∵OA是☉O的半徑，
∴AF是☉O的切線； (5分)
　第3題解圖②
(3)解：如解圖③，連接AG，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5.
∵G是△ADC的內心，
∴∠7＝∠8，
∵∠BAG＝∠5＋∠7，
∠6＝∠1＋∠8，
∴∠BAG＝∠6，
∴AB＝BG.
∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BE·BC＝25，
∴AB＝5(負值已舍去)，
∴BG＝5. (9分)
　第3題解圖③
3. (1)證明：如解圖①，連接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠ADB＝∠AOB＝(180°－2∠OBA)＝90°－∠OBA，
∴∠ADB＋∠OBA＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABC＋∠OBA＝90°，
∴∠OBC＝90°，即OB⊥PC，
∵OB是☉O的半徑，
∴PC與☉O相切；
第3題解圖
(2)解：如解圖②，連接OA，OB，OD，
∵AC與☉O相切于點A，OA是☉O的半徑，
∴AC⊥PC，由(1)知，OB⊥BC，
∴∠OAC＝∠C＝∠CBO＝90°，
∴∠AOB＝90°.
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，四邊形OACB為正方形，
∵∠BAP＝30°，OB＝OD，
∴∠BOD＝2∠BAP＝60°，
∴△OBD為等邊三角形，OB＝BD，
∴AB＝OB＝BD，∴AC＝OA＝CB＝4，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABP＝∠BDP，
∵∠P＝∠P，
∴△ABP∽△BDP，
∴＝＝，
∴設BP＝x，則AP＝x，CP＝4＋x，
在Rt△APC中，AC2＋PC2＝AP2，
∴42＋(4＋x)2＝(x)2，
解得x＝4＋4(負值已舍去)，
∴繩桿CP的長度為(8＋4)cm.

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