資源簡介

微專題28　圓的基本性質
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 圓的基本概念及性質
圓 在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓
弦 連接圓上任意兩點的線段叫做弦
直徑 經過①　　　　的弦叫做直徑
弧 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧；小于半圓的弧叫做劣弧
圓周角 在圓中，頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角
圓心角 頂點在②　　　　并且兩邊都與圓相交的角叫做圓心角
弦心距 圓心到弦的垂直距離
與圓有關的性質
(1)對稱性：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，③　　　　是它的對稱中心
(2)旋轉不變性：圓繞圓心旋轉任意角度都與自身重合
3. 垂徑定理及其推論
(1)定理：垂直于弦的直徑④　　　弦，并且⑤　　　弦所對的兩條弧(2022年版課標將探索并證明垂徑定理調整為考查內容)
(2)推論：平分弦(不是直徑)的直徑⑥　　　　于弦，并且⑦　　　弦所對的兩條弧
4. 弦、弧、圓心角之間的關系
(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧⑧　　　，所對的弦⑨　　　　
(2)推論：①在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角⑩　　　，所對的弦 　　　　
②在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角 　　　，所對的優弧與劣弧分別 　　　　
5. 圓周角定理及其推論(6年6考)
定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 　　　
推論 (1)同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角 　　　　； (2)直徑(或半圓)所對的圓周角是 　　　　，90°的圓周角所對的弦是 　　　　
常見 圖形 及結論 圖① 圖② 圖③
∠APB＝∠AOB
應用 如圖①，已知AP是☉O的直徑，點B是圓上一點(不與A，P重合)，連接AB，則有∠ABP＝90°
6. 三角形的外接圓
圖示
外心 三角形外接圓圓心或三角形 　　　　　　　　的交點叫做外心
性質 三角形的外心到三角形的 　　　　的距離相等
角度關系 ∠BOC＝ 　　　　∠A
7. 圓的內接四邊形
概念 四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓的內接四邊形
性質 (1)圓內接四邊形的對角 　　　　，如圖，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角，如圖，∠DCE＝ 　　　
練考點
1. 下列結論正確的是(　　)
A. 長度相等的兩條弧是等弧
B. 半圓是弧
C. 相等的圓心角所對的弧相等
D. 弧是半圓
2. 如圖，已知AB是☉O的直徑，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足為E，連接O C.
(1)若AB＝10，CD＝8，則cos ∠OCE＝　　　　；
(2)若CD＝4，AE＝6，則☉O的半徑為　　　　；
(3)若☉O的半徑為7，P是CD上一點，且PC＝4，PD＝6，則OP＝　　　　.
第2題圖
3. 如圖，在☉O中，AB和CD是兩條弦，OE⊥AB于點E，OF⊥CD于點F.
對于下列命題：
第3題圖
①如果OE＝OF，那么∠AOB＝∠COD；
②如果＝，那么OE＝OF；
③如果OE＝OF，那么AB＝CD；
④如果OE＝OF，那么OB＝CD，
其中真命題是　　　　　　　.
4. 如圖，若AB是☉O的直徑，點C在☉O上(不與A，B重合)，則∠ACB的度數為　　　　　　　.
第4題圖
5. 如圖，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，∠BOD＝100°，則∠BAD＝　　　　，∠BCD＝　　　　.
第5題圖
高頻考點
考點1　圓基本性質的相關證明及計算 (6年6考)
例1　 (2022廣東22題改編)如圖，四邊形ABCD內接于☉O，AC為☉O的直徑，∠ADB＝∠CDB.
　例1題圖①
(1)核心設問 試判斷△ABC的形狀，并給出證明；[2022廣東22(1)題考查]
(2)核心設問 若AB＝，AD＝1，求CD的長度；[2022廣東22(2)題考查]
(3)核心設問 如圖②，連接DO并延長，交于點G，若∠ADB＝2∠BDG，求證：AB∥DG；[2018廣東24(1)題考查]
　例1題圖②
(4)如圖③，BD交AC于點H，且AH＝OH，求sin ∠ACD的值.
　例1題圖③
考點2　圓內接四邊形
例2　(2024珠海香洲區二模)如圖，已知四邊形ABCD，過點A，B，C的圓交AD于點E，連接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，則∠DCE的度數為(　　)
A. 10° B. 30° C. 50° D. 60°
例2題圖
變式1　(2024吉林省卷)如圖，四邊形ABCD內接于☉O，過點B作BE∥AD，交CD于點E.若∠BEC＝50°，則∠ABC的度數是(　　)
變式1題圖
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
真題及變式
命題點　與圓周角定理及其推論有關的計算 (6年6考) 　
1. (2023廣東9題3分)如圖，AB是☉O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝(　　)
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第1題圖
1.1變思維方式——融入中點
如圖，點A，B，C，D均在☉O上，連接AB，AD，CD，CA，∠BAD＝90°，∠ADC＝59°，若點A是的中點，則∠BAC的度數為(　　)
變式1.1題圖
31°　　　　　　　　 B. 28°　　　　　　　　
C. 14°　　　　　　　　 D. 4°
2. (2021廣東7題3分)如圖，AB是☉O的直徑，C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則☉O的直徑為(　　)
第2題圖
A. B. 2 C. 1 D. 2
2.1變條件——與內接四邊形結合
如圖，四邊形ABCD內接于☉O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，則AC的長為(　　)
變式2.1題圖
5　　　　　 　　 B. 3　　　　　　　
C. 2　　　　　　　 D. ＋2
拓展訓練
3. (2024長沙)如圖，在☉O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離OE＝4，則☉O的半徑長為(　　)
A. 4 B. 4 C. 5 D. 5
第3題圖
新考法
4. [真實問題情境](2024涼山州)數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交于點C，測出AB＝40 cm，CD＝10 cm，則圓形工件的半徑為(　　)
第4題圖
A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm
5. [數學文化](2024珠海香洲區二模)《九章算術》是我國古代數學著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數學語言可表述為：“如圖，CD為☉O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長.”則CD＝　　　　寸.
第5題圖
考點精講
①圓心　②圓心　③圓心　④平分　⑤平分　⑥垂直
⑦平分　⑧相等　⑨相等　⑩相等　 相等　 相等
相等　 一半　 相等　 90°　 直徑　 三條垂直平分線　 三個頂點　 2　 互補　 ∠BAD
練考點
1. B
2. (1)；(2)；(3)5
3. ①②③
4. 90°
5. 50°，130°
高頻考點
例1　(1)解：△ABC為等腰直角三角形.
證明：∵AC為☉O的直徑，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°.
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△ABC為等腰直角三角形；
(2)解：由(1)知△ABC為等腰直角三角形，
∵AB＝，
∴AC＝AB＝×＝2，
又∵在Rt△ACD中，AD＝1，
∴CD＝＝＝；
(3)證明：∵∠ADB＝∠CDB＝2∠BDG，
∴∠BDG＝∠CDG，
∴＝，
由題意知DG為☉O的直徑，
∴DG⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DG；
(4)解：如解圖，連接OB，過點H作HK⊥AB，交AB于點K，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，AB＝CB，OB⊥AC，
設AB＝CB＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝2x，
∴OA＝OB＝x，
∵AH＝OH，
∴AH＝OH＝OA＝x，
∴HK＝AH·sin 45°＝x，
在Rt△OBH中，由勾股定理得BH＝＝x，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝＝＝.
例1題解圖
例2　B　【解析】∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠CED＝∠B＝70°，∵∠D＝80°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝30°.
變式1　C　【解析】∵BE∥AD，∠BEC＝50°，∴∠D＝∠BEC＝50°，∵四邊形ABCD內接于☉O，∴∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＝180°－50°＝130°.
真題及變式
1. B　【解析】∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵＝，∴∠D＝∠B＝40°.
變式1.1　C　【解析】如解圖，連接BD，∵點A是的中點，∴＝，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝(180°－∠BAD)＝45°.∵∠ADC＝59°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝14°，∵＝，∴∠BAC＝∠BDC＝14°.
變式1.1題解圖
2. B　【解析】如解圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB是☉O的直徑，∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3－1＝2，在Rt△ADE中，∵DE＝AD，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CAB＝30°，∴AD＝BD，∴點O與點E重合，∴OA＝＝，∴AB＝2OA＝2.
第2題解圖
變式2.1　C　【解析】如解圖，過點A作AE⊥CD，交CD延長線于點E，∵四邊形ABCD內接于☉O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥DE，∴DE＝AD·cos 60°＝1，AE＝AD·sin 60°＝，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝＝＝2.
變式2.1題解圖
3. B　【解析】∵圓心O到AB的距離OE＝4，∴OE⊥AB，∴AE＝AB＝4，∴在Rt△OAE中，OA＝＝4.
4. C　【解析】如解圖，在CD的延長線上找一點O，設點O為圓心，連接OA，則△OAD為直角三角形，OA2＝AD2＋OD2，結合OA＝OC＝OD＋CD＝OD＋10，AB＝40可得AD＝20，OD＝OA－10，即OA2＝202＋(OA－10)2，解得OA＝25，即圓形工件的半徑為25 cm.
第4題解圖
5. 26　【解析】如解圖，連接OA，設☉O的半徑為r寸，則OA＝r寸，OE＝(r－1)寸，∵AB⊥DC，CD為☉O直徑，∴AE＝BE＝AB＝5(寸)，在Rt△OAE中，52＋(r－1)2＝r2，解得r＝13，∴直徑CD的長為26寸.
第5題解圖

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