資源簡介

微專題27　正方形
考點(diǎn)精講
構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理
1. 正方形的性質(zhì)與判定(6年8考)
(1)定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形
(2)正方形的性質(zhì)
邊 四條邊都相等，對邊平行
角 四個(gè)角都是直角
對角線 對角線相等且互相①　　　　； 每一條對角線平分一組對角
對稱性 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有4條對稱軸，對稱中心是兩條②　　　　的交點(diǎn)
(3)正方形的判定
邊 有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是③　　　　的平行四邊形是正方形(定義)； 有一組鄰邊④　　　　的矩形是正方形
角 有一個(gè)角是⑤　　　　的菱形是正方形
對角線 對角線⑥　　　　的矩形是正方形； 對角線⑦　　　　的菱形是正方形； 對角線互相⑧　　　　　的四邊形是正方形
2. 正方形面積
面積計(jì)算公式：S＝a2＝l2(a表示邊長，l表示對角線長)
3. 平行四邊形與四邊形、特殊四邊形之間的關(guān)系
4. 中點(diǎn)四邊形
概念 依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形
原圖形 任意四 邊形 矩形 菱形 正方形 對角線相等的 四邊形 對角線垂直的 四邊形 對角線垂直且 相等的四邊形
中點(diǎn)四 邊形形狀 平行四 邊形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
【溫馨提示】連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形面積是原圖形面積的一半
練考點(diǎn)
1. 如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且BD＝4，E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE.
第1題圖
(1)∠ACB的度數(shù)為　　　；
(2)AO的長為　　　　；
(3)正方形ABCD的周長為　　　，面積為　　　；
(4)若∠ABE＝15°，則BE的長為　　　　.
2. 下列說法中，正確的是(　　)
A. 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
B. 對角線相等的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
3. 如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是　　　.(填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”)
第3題圖
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1　與正方形有關(guān)的證明及計(jì)算 (6年8考)
例1　已知四邊形ABCD為正方形，邊長為4，點(diǎn)M為BD上一點(diǎn)，連接AM.
(1)如圖①，過點(diǎn)M分別作AB，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：四邊形BEMF是正方形；
例1題圖①
(2)如圖②，若BM＝3DM，求AM的長；
例1題圖②
(3)如圖③，連接AC交BD于點(diǎn)O，若AM平分∠DAC，延長AM交CD于點(diǎn)N，求的值；
例1題圖③
(4)如圖④，過點(diǎn)B作BE⊥AM于點(diǎn)E，分別延長BE，AM交AD于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)N，連接DE，若N是CD的中點(diǎn)，求∠DEN的度數(shù).
例1題圖④
考點(diǎn)2　中點(diǎn)四邊形
例2　如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).請你添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是(　　)
例2題圖
A. AB＝CD B. AC⊥BD C. CD＝BC D.AC＝BD
變式1　(2024山西)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)O.若四邊形ABCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為(　　)
互相垂直平分 B. 互相平分且相等
C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等
真題及變式
命題點(diǎn)　與正方形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 (6年8考) 　
1. (2024廣東7題3分)完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，則正方形的邊長是(　　)
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
2. (2019廣東10題3分)如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點(diǎn)E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長FG交DC于點(diǎn)M，連接AM，AF，H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB，AM交于點(diǎn)N，K .則下列結(jié)論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正確的結(jié)論有(　　)
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
第2題圖
2.1變條件——增加線段DF
如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點(diǎn)E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，連接DF，H是DF的中點(diǎn)，連接BH，則BH的長為　　　　.
變式2.1題圖
3. (2023廣東15題3分)邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第3題圖
3.1變條件——增加線段改變陰影區(qū)域的位置
如圖，邊長分別為5，3，2的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上，圖中陰影部分的面積分別為S1，S2，則的值為　　　　.
變式3.1題圖
新考法
4. [數(shù)學(xué)文化](人教八下習(xí)題改編)2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么(a＋b)2的值為(　　)
第4題圖
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
考點(diǎn)精講
①垂直平分　②對角線　③直角(90°)　④相等
⑤直角(90°)　⑥互相垂直　⑦相等　⑧垂直平分且相等
練考點(diǎn)
1. (1)45°；(2)2；(3)16，16；(4)
2. C
3. 平行四邊形
高頻考點(diǎn)
例1　(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥BC，
∴四邊形BEMF是矩形.
∵∠ABD＝45°，∠MEB＝90°，
∴∠EBM＝∠EMB＝45°，
∴BE＝EM，
∴四邊形BEMF是正方形；
(2)解：如解圖①，連接AC交BD于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OD.
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴OA＝OD＝AD＝2.
∵BM＝3DM，
∴點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，
∴OM＝，
在Rt△AOM中，
由勾股定理得AM＝＝；
例1解圖①
(3)解：如解圖②，過點(diǎn)N作NG⊥AC于點(diǎn)G，
例1題解圖②
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，
∵AM平分∠DAC，
∴DN＝GN.
設(shè)DN＝x，則GN＝x，CN＝4－x.
∵∠NCG＝45°，
∴△NGC是等腰直角三角形，
∴CN＝CG，即4－x＝x，解得x＝4－4，
∴＝－1；
(4)解：如解圖③，過點(diǎn)D作DG⊥DE交AN的延長線于點(diǎn)G，
∵BF⊥AN，
∴∠ABF＋∠AFB＝∠DAN＋∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠DAN.
又∵AB＝DA，∠BAF＝∠ADN＝90°，
∴△ABF≌△DAN，
∴AF＝DN，∠AFB＝∠DNA，
∴∠DFE＝∠DNG.
∵N是CD的中點(diǎn)，
∴DN＝CD＝AD＝AF，
∴F為AD的中點(diǎn)，
∴DF＝DN.
∵DE⊥DG，
∴∠EDF＋∠EDN＝∠GDN＋∠EDN，即∠EDF＝∠GDN，
∴△DEF≌△DGN，
∴DE＝DG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEN的度數(shù)為45°.
例1題解圖③
例2　D　【解析】應(yīng)添加的條件是AC＝BD，∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AC＝BD，∴EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，HG＝AC，EF＝AC，∴EH＝HG＝GF＝EF，則四邊形EFGH為菱形.
變式1　A　【解析】∵在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如解圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，BD，AC，∴EF＝AC，F(xiàn)G＝BD，GH＝AC，EH＝BD.∵四邊形ABCD的對角線相等，即AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG與FH互相垂直平分.
變式1題解圖
真題及變式
1. B　【解析】由題意得每個(gè)正方形的面積為100÷4＝25，∴正方形的邊長為5.
2. C　【解析】∵四邊形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點(diǎn)，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正確；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②錯(cuò)誤；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正確；易知四邊形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝ AN·FG＝×1×2＝1，S△ADM＝ AD·DM＝ ×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正確，∴選C.
變式2.1　　【解析】如解圖，連接BD，BF，在正方形ABCD和正方形EFGB中，∠ABD＝∠GBF＝45°，∴∠DBF＝90°.由題意，得EB＝2，BC＝4，∴BF＝EB＝2，BD＝BC＝4，在Rt△DBF中，由勾股定理，得DF＝＝2，又∵H是DF的中點(diǎn)，∴BH＝DF＝.
變式2.1題解圖
3. 15　【解析】如解圖，∵四邊形ABCD，ECGF，IGHK均為正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴＝＝，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S陰影＝S梯形EJLF＝(EJ＋FL)·EF＝×(1＋4)×6＝15.
第3題解圖
變式3.1　　【解析】如解圖，設(shè)AH分別交CD，F(xiàn)G，BM于點(diǎn)K，I，L，BM分別交CD，F(xiàn)G于點(diǎn)P，Q，AH＝m，∵正方形ABCD，正方形CEFG和正方形GHMN的一邊在同一條直線上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5＋3＋2＝10，HC＝3＋2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴＝＝，∴HL＝＝＝，AL＝＝＝.∵IG∥AB，∴＝＝＝，∴IH＝AH＝m，∴LI＝m－m＝m，∵AD∥HC，∴△AKD∽△HKC，∴＝＝＝1，∴AK＝HK＝AH＝m，∴LK＝m－m＝m，∵IQ∥KP，∴△QLI∽△PLK，∴＝()2＝.
變式3.1題圖
4. C　【解析】根據(jù)題意，得a2＋b2＝13，4×ab＝13－1＝12，即2ab＝12，則(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25.

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