資源簡介

微專題26　菱　形
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 菱形的性質與判定(6年3考)
(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(2)菱形的性質
邊 對邊平行，四條邊①　　　
角 對角②　　　
對角線 對角線互相③　　　　，并且每一條對角線④　　　　一組對角(人教獨有)
對稱性 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有⑤　　條對稱軸，對稱軸為兩條對角線所在的直線，對稱中心是兩條對角線的交點
(3)菱形的判定
邊 ①有一組⑥　　　　的平行四邊形是菱形(定義)； ②⑦　　　　相等的四邊形是菱形
對角線 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
　　　　　　　
2. 菱形面積
面積計算公式：S＝ah＝(a表示一條邊長，h表示此邊上的高，m，n表示對角線的長).
練考點
1. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，E為BC的中點，連接OE，已知OE＝1.
第1題圖
(1)∠ABD＝　　　　°，∠BAD＝　　　　°；
(2)菱形ABCD的周長為　　　　　　　；
(3)△BOE的形狀為　　　　　　　；
(4)AC＝　　，BD＝　　；
(5)菱形ABCD的面積為　　　　　　　.
2. 如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且互相平分，添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是(　　)
第2題圖
A. BC＝CD
B. AB＝AC
C. AC⊥BD
D. ∠ABD＝∠CBD
高頻考點
考點1　與菱形有關的證明及計算 (6年3考)
例　 如圖①，在矩形ABCD中，E，F分別是線段AD，BC邊上的點，EF與BD相交于點O，且EF⊥BD，連接BE，DF，BE＝DF.
例題圖①
(1)求證：四邊形BEDF為菱形；
(2)核心設問 若∠ABE＝30°，且四邊形BEDF的面積為4，求四邊形BEDF的周長；[2022廣東13題考查]
(3)若∠ADB＝30°，EF＝2，求AD的長；
(4)若AD＝6，AB＝4，求的值.
(5)如圖②，連接OC，若AB＝4，BF＝5，求tan ∠OCB的值.
例題圖②
真題及變式
命題點　與菱形性質有關的計算 (6年3考) 　
1. (2022廣東13題3分)菱形的邊長為5，則它的周長為　　　　.
2. (2024廣東15題3分)如圖，菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
第2題圖
2.1　變圖形——將菱形背景變為矩形
如圖，矩形ABCD的面積為36，E，F，G分別為AB，BC，CD的中點，H為AD上任一點，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式2.1題圖
3. (2017廣東21題7分)如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD為銳角.
第3題圖
(1)求證：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度數.
拓展訓練
4. (2024遼寧)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形AOBC的頂點A在x軸負半軸上，頂點B在直線y＝x上，若點B的橫坐標是8，則點C的坐標為(　　)
第4題圖
A. (－1，6)
B. (－2，6)
C. (－3，6)
D. (－4，6)
新考法
5. [注重過程性](2024重慶A卷)
在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論.根據他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
(1)如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點.用尺規過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F，連接AF，CE(不寫作法，保留作圖痕跡)；
(2)已知：矩形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴　　①　　 ，∠FCO＝∠EAO.
∵點O是AC的中點，
∴　　②　　　.
∴△CFO≌△AEO (AAS).
∴　　③　　　.
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形.
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：　　 ④　　.
　第5題圖
考點精講
①相等　②相等　③垂直平分　④平分　⑤2　⑥鄰邊相等　⑦四條邊
教材改編題練考點
1. (1)30，120　(2)8　(3)等腰三角形　(4)2，2　(5)2
2. B
高頻考點
例　(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴AE＝CF.
∵AD＝BC，
∴DE＝BF.
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
又∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF為菱形；
(2)解：∵∠ABE＝30°，
∴∠EBF＝60°.
由(1)知四邊形BEDF是菱形，
∴BE＝BF，∠EBO＝30°，
∴△BEF為等邊三角形，OB＝OE，即BD＝EF，
∴BE＝EF，
∵S四邊形BEDF＝4，
∴BD·EF＝×EF2＝4，
解得EF＝2(負值已舍去)，
∴BE＝BF＝DE＝DF＝EF＝2，
∴四邊形BEDF的周長＝BE＋BF＋DE＋DF＝8；
(3)解：∵四邊形BEDF是菱形，
∴DE＝DF.
∵BD⊥EF，∠ADB＝30°，
∴∠EDF＝2∠ADB＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE＝DF＝EF＝BF＝2.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴在Rt△CDF中，CF＝DF＝1，
∴AD＝BC＝BF＋CF＝2＋1＝3；
(4)解：∵四邊形BEDF是菱形，
∴BF＝DF.
∵AD＝BC＝6，
設CF＝x，則DF＝BF＝BC－CF＝6－x.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD2＋CF2＝DF2，
即42＋x2＝(6－x)2，
解得x＝，
∴CF的長為，
∴DF＝6－CF＝.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得DB＝＝2，
∴＝＝；
(5)解：∵四邊形BEDF為菱形，
∴BF＝DF＝5，BO＝DO，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴在Rt△BCD中，O為BD中點，
∴OC＝BD＝BO，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵CD＝AB＝4，
∴CF＝＝3，
∴BC＝3＋5＝8，
∴tan∠OCB＝tan∠OBC＝＝＝.
真題及變式
1. 20　【解析】∵菱形的四條邊都相等，且邊長為5，∴菱形的周長為20.
2. 10　【解析】如解圖①，連接BD，∵E是AB的中點，∴S△AED＝S△ABD＝S菱形ABCD＝6，連接EC，同理可得S△BEC＝S△AED＝6，∵S△BEF＝4，∴S△BEF＝S△BEC，∴FC＝BC，∴S△DFC＝S△BCD＝S菱形ABCD＝4，∴S陰影＝S菱形ABCD－S△AED－S△BEF－S△DFC＝24－6－4－4＝10.
第2題解圖①
一題多解法
如解圖②，延長DE，CB交于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BG，∴∠GBE＝∠DAE，∵E是AB中點，∴BE＝AE，∵∠GEB＝∠DEA，∴△AED≌△BEG(ASA)，∴GE＝DE，∴E為DG中點，∴S△DEF＝S△FGE＝S△BEF＋S△BEG＝4＋S△AED＝4＋24×＝10.
第2題解圖②
變式2.1　18　【解析】如解圖，連接CH，在矩形ABCD中，設AD＝a，AB＝b，則AE＝b＝GC，BF＝a，∴S陰影＝S長方形ABCD－S△AEH－S△HFC－S△HCG＝36－AE·AH－FC·AB－HD·CG＝36－AD·AE－FC·AB＝36－ab＝18.
變式2.1題解圖
3. (1)證明：∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝AD＝AF，
∴△ABF是等腰三角形，
又∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF； (3分)
(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
由(1)知AB＝AD＝AF，
又∵BF＝BC，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠BAF＝60°， (5分)
∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°. (7分)
4. B　【解析】∵菱形AOBC的頂點B在直線y＝x上，且點B的橫坐標為8，∴當x＝8時，解得y＝6，∴點B的坐標為(8，6)，由勾股定理得OB＝10，∵四邊形AOBC為菱形，∴OA∥BC，BC＝OB＝10，∵點A在x軸負半軸上，∴點C的坐標為(－2，6)，故選項B正確.
5. 解：(1)作圖如解圖；(畫法不唯一)
(2)①∠CFO＝∠AEO
②OC＝OA
③OF＝OE
④過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形
第5題解圖

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