資源簡介

微專題25　矩　形
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 矩形的性質與判定(6年5考，常在幾何題中涉及考查)
(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
(2)矩形的性質
邊 對邊平行且相等
角 四個角都是直角
對角線 矩形的對角線互相平分且相等
對稱性 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有①　　　條對稱軸，對稱中心為兩條②　　　　的交點
(3)矩形的判定
角 ①有一個角是③　　　　的平行四邊形是矩形； ②有三個角是④　　　　的四邊形是矩形
對角線 對角線⑤　　　　的平行四邊形是矩形
2. 矩形面積
面積計算公式：S＝ab(a，b表示邊長).
練考點
1. 如圖，在矩形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，AE⊥BD于點E.
(1)若對角線BD長為4，∠AOB＝60°，則AB的長為　　　，BC的長為　　　；
(2)若∠DAE＝2∠BAE，則∠EAC的度數為　　　　；
(3)若BE∶ED＝1∶3，AB＝2，則AD的長為　　　　.
第1題圖
2. 如圖，要使平行四邊形ABCD成為矩形，需添加的條件是(　　)
第2題圖
A. AB＝BC　 B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
3. 已知矩形的一邊長為6 cm，一條對角線的長為10 cm，則矩形的面積為　　　　cm2.
高頻考點
考點　與矩形有關的證明及計算 (6年5考，常在幾何題中涉及考查)
例　 如圖①，在 ABCD中，∠ACB＝90°，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E.
(1)求證：四邊形ACED是矩形；
例題圖①
(2)若AB＝13，AC＝12，求四邊形ADEB的面積；
(3)如圖②，連接BD，若tan ∠ABC＝2，求證BD＝2AD；
例題圖②
(4)如圖③，過點A作CD的垂線，交DE于點G，在(3)的條件下，試判斷AB與AG的數量關系，并說明理由.
例題圖③
真題及變式
命題點　與矩形性質有關的計算 (6年5考，常在幾何題中涉及考查) 　
拓展訓練
1. (北師八下習題改編)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，M，N分別是BC，OC的中點.若MN＝2，則AC的長為　　　　.
第1題圖
2. 如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按圖②操作，將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在邊AB上的點E處，折痕為AF；再按圖③操作，沿過點F的直線折疊，使點C落在EF上的點H處，折痕為FG，則A，H兩點間的距離為　　　　　.
第2題圖
3. (2024廣東黑白卷)北宋數學家賈憲提出一個定理“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等(如圖①中S矩形AEOM＝S矩形CFON)”.問題解決：如圖②，M是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點M作EF∥BC分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，DF＝2，則MF＝　　　　.
第3題圖
4. 如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C.
(1)設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1　　S2＋S3(用“＞”“＝”或“＜”填空)；
(2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.
第4題圖
新考法
5. [代數推理](人教八下習題改編)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，兩條對角線相交于點O.以OB，OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB1C，對角線相交于點A1，再以A1B1，A1C為鄰邊作第2個平行四邊形A1B1C1C，對角線相交于點O1；再以O1B1，O1C1為鄰邊作第3個平行四邊形O1B1B2C1…依此類推.則第6個平行四邊形的面積為(　　)
第5題圖
A. 6 B. 3
C. 15 D. 12
6. [條件開放](2024貴州)如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列條件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)在(1)的條件下，若AB＝3，AC＝5，求四邊形ABCD的面積.
第6題圖
考點精講
①2　②對角線　③90°(或直角)　④90°(或直角)　⑤相等
教材改編題練考點
1. (1)2，2；(2)30°；(3)2
2. C
3. 48
高頻考點
例　(1)證明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BC的延長線上，
∴AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∵∠ACE＝90°，
∴四邊形ACED是矩形；
(2)解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴在Rt△BCD中，BC＝＝＝5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠E＝90°，
∴四邊形ADEC是矩形，
∴BC＝AD＝CE＝5，
∴BE＝2BC＝10，
∵AD∥BE，AC⊥BE，
∴S四邊形ADEB＝×(5＋10)×12＝90，
∴四邊形ADEB的面積為90；
(3)證明：∵四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC＝DE，AD＝BC＝CE.
在Rt△ABC中，
∵tan∠ABC＝，
∴＝2，即AC＝2BC.
設AD＝BC＝a，則AC＝DE＝2a，BE＝2BC＝2a，
又∵DE⊥BE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝BE＝2a，
∴＝＝，
∴BD＝2AD；
(4)解：AB＝2AG，理由如下：
∵AG⊥CD，
∴∠AGD＋∠CDE ＝∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠AGD＝∠DCE，∴△ADG∽△DEC，
∴＝.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ACED是矩形，
∴AB＝DC，AD＝CE，∠DCE＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠ECE＝＝2，即DE＝2CE，
∴＝＝＝，
∴AB＝2AG.
真題及變式
1. 8　【解析】∵M，N分別是BC，OC的中點，∴MN＝OB，∵MN＝2，∴OB＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB，∴AC＝BD＝2OB＝8.
2. 　【解析】如解圖，連接AH.由折疊性質可知，CF＝HF，AE＝AD＝3，∵AB＝5，∴BE＝CF＝HF＝2，在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF－HF＝3－2＝1，∴AH＝＝＝.
第2題解圖
3. 6　【解析】如解圖，過點M作GH∥AB分別交AD，BC于點G，H，∴四邊形BEMH與四邊形DGMF均為矩形，由定理知S矩形BEMH＝S矩形DGMF，∴S△BEM＝S△DFM，∴BE·EM＝DF·MF.∵BE＝CF＝4，EM＝3，DF＝2，∴MF＝＝＝6.
第3題解圖
4. 解：(1)＝；【解法提示】∵S1＝BD·ED，S矩形BDEF＝BD·ED，∴S1＝S矩形BDEF，∴S2＋S3＝S矩形BDEF，∴S1＝S2＋S3.
(2)答案不唯一，如：△BCD∽△CFB∽△DEC.
選擇△BCD∽△DEC.
證明：∵四邊形ABCD和BDEF均為矩形，∴∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，
∴∠EDC＝∠CBD，
又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，
∴△BCD∽△DEC.
5. B　【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，∴BC＝16，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝192，OB＝OC，∵以OB，OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB1C，∴平行四邊形OBB1C是菱形，∴A1B1⊥BC，OB1＝AB＝12，∴＝BC·OB1＝×16×12＝96，易得 AB1C1C為矩形，∴＝A1C·A1B1＝48，∴第n個平行四邊形的面積為，∴第6個平行四邊形的面積是＝3.
6. 解：(1)選擇①AB∥CD，
證明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
或選擇②AD＝BC，
證明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
(2)∵AB＝3，AC＝5，四邊形ABCD為矩形，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12.

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