資源簡介

微專題24　平行四邊形與多邊形
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 平行四邊形的性質與判定(6年7考)
(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
(2)平行四邊形的性質
邊 兩組對邊分別平行，兩組對邊分別①　
角 兩組對角分別②　　　
對角線 對角線互相③　　　
對稱性 是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(北師獨有)
(3)平行四邊的判定
邊 1. 兩組對邊分別④　　　　的四邊形是平行四邊形(定義)； 2. 兩組對邊分別⑤　　　　的四邊形是平行四邊形； 3. 一組對邊⑥　　　　的四邊形是平行四邊形
角 兩組對角分別⑦　　　　的四邊形是平行四邊形(人教獨有)
對角線 對角線⑧　　　　的四邊形是平行四邊形
2. 平行四邊形面積
面積計算公式：S＝ah(a表示一條邊長，h表示此邊上的高).
【拓展知識】
①每條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形；
②平行四邊形中的面積關系：
S1＝S2＝S3＝S4
S1＝S2
(源于人教八下P51習題)
S1＋S3＝S2＋S4
S1·S3＝S2·S4
(源于北師八下P158習題)
3. 多邊形(6年2考)
(1)概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形
(2)多邊形的性質(n≥3，n為整數)
內角和定理 n邊形的內角和等于⑨　　　
外角和定理 任意多邊形的外角和等于⑩　　　
對角線 過n邊形一個頂點可引(n－3)條對角線，把這個n邊形分成(n－2)個三角形，n邊形共有條對角線
【溫馨提示】n(n＞3)邊形具有不穩定性
(3)正多邊形的性質(n≥3，n為整數)
邊 正n邊形各條邊 　　　
內角 各個內角相等，正n邊形的每個內角為 　　　
外角 各個外角相等，正n邊形的每個外角為 　　　
練考點
1. 如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.
第1題圖
(1)若∠BCD－∠ADC＝60°，則∠ADC＝　　　　°；
(2)若 ABCD的周長為42，AB∶BC＝3∶4，則AB＝　　，AD＝　　　；
(3)若AC＋BD＝26，AB＝11，則△OCD的周長為　　　　　　　.
2. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點O，再添加一個條件，不一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(　　)
A. AD＝BC　　 B. AB∥CD
C. AB＝CD D. OA＝OC
第2題圖
3. 如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，線段EF過點O，分別交AB，CD于點E，F.陰影部分的面積之和為10，則 ABCD的面積為(　　)
第3題圖
A. 16 　　　 B. 18
C. 20 D. 24
4. 九邊形的內角和為　　　　.
5. 若正多邊形的一個內角是120°，則這個正多邊形的邊數為　　　　.
高頻考點
考點1　與平行四邊形性質有關的證明及計算 (6年4考)
例1　 已知在 ABCD中，AB＞AD，E是AB邊上一點，連接DE.
(1)核心設問 如圖①，若DE⊥AB，AB＝6，AD＝2，∠C＝45°，求BE的長；[2023廣東19(1)題考查]
例1題圖①
(2)核心設問 如圖②，連接CE，若CE平分∠BCD，AE＝3，EB＝5，DE＝4.[2021廣東16題考查]
①求證：∠DEA＝90°；
②求CE的長；
例1題圖②
(3)如圖③，連接CE，若E是AB的中點，∠CED＝90°，DE＝4，且＝，求四邊形BCDE的面積；
例1題圖③
(4)如圖④，若DE平分∠ADC交AB于點E，AF平分∠DAB交DC于點F，過點E作ED的垂線交DC于點G.求證：FG＝B C.
例1題圖④
考點2　平行四邊形的判定
例2　 (北師八下習題改編)如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，分別過點B，D作AC的垂線，垂足為E，F.
(1)如圖①，若四邊形ABCD是平行四邊形，分別延長BE，DF，交AD于點G，交BC于點H，求證：四邊形BGDH是平行四邊形；
例2題圖①
(2)如圖②，連接DE，BF，若BE＝DF，AF＝CE.
①求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
例2題圖②
②求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
變式1　(2024佛山二模)如圖，點E是 ABCD邊AD延長線上一點，連接BE，CE，BD，BE與CD交于點F，添加以下條件，不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是(　　)
A. DE＝DA B. ∠ABD＝∠DCE C. EF＝FB D. ∠DEB＝∠BCD
變式1題圖
考點3　多邊形 (6年2考)
例3　 如圖①是一個八角亭，亭子的八個立柱在地面上圍出了一個正八邊形結構，如圖②，若從其中一個頂點出發，分別連接這個頂點與其他頂點，該多邊形被分成的三角形個數為(　　)
例3題圖
A. 5 B. 6 C. 8 D. 16
變式2　(人教八下習題改編)如圖是一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個正多邊形的邊數是(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
變式2題圖
變式3　(2024佛山模擬)如圖，在正五邊形ABCDE中，∠BCD的平分線交AE于點F，連接CE，則∠ECF的度數為(　　)
變式3題圖
A. 15° B. 18° C. 36° D. 54°
真題及變式
命題點1　與平行四邊形性質有關的計算 (6年7考) 　
1. (2022廣東8題3分)如圖，在 ABCD中，一定正確的是(　　)
A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC
第1題圖
2. (2021廣東16題4分)如圖，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝.過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin ∠BCE＝　　　　.
第2題圖
2.1　變條件——將邊的高線變為角平分線
如圖，在 ABCD中，AD＝8，∠A＝60°，CE平分∠BCD交AB于點E，連接DE.若BE＝2AE，則DE的長為　　　　.
變式2.1題圖
拓展訓練
3. (2024棗莊)如圖，點E為 ABCD的對角線AC上一點，AC＝5，CE＝1，連接DE并延長至點F，使得EF＝DE，連接BF，則BF為(　　)
第3題圖
A. 　　　　　　　 B. 3　　　　　　　 C. 　　　　　　　 D. 4
命題點2　多邊形 (6年2考) 　
4. (2020廣東4題3分·人教八上習題改編)若一個多邊形的內角和是540°，則該多邊形的邊數為(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.1　變條件——結合內外角的倍數關系
若一個正多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個正多邊形的邊數為　　　　.
拓展訓練
5. (2023陜西)如圖，正八邊形的邊長為2，對角線AB，CD相交于點E，則線段BE的長為　　　　.
第5題圖
新考法
6. [綜合與實踐](2024達州改編)
【主題】在學習特殊的平行四邊形時，我們發現正方形的對角線等于邊長的倍，某數學興趣小組以此為方向對菱形的對角線和邊長的數量關系進行探究.
【探究發現】步驟具體如下：
如圖①，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AB2＝AO2＋BO2.
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝　　　　＋　　　　.
化簡整理得AC2＋BD2＝　　　　.
【猜想與探究】
(1)補全【探究發現】中的步驟；
(2)如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數量關系.
第6題圖
考點精講
①相等　②相等　③平分　④平行　⑤相等　⑥平行且相等　⑦相等　⑧互相平分　⑨(n－2)×180°
⑩360°　 相等　 　
練考點
1. (1)60；(2)9，12；(3)24
2. C
3. C　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△AOD＝S△BOC，S△BOE＝S△DOF，S△FOC＝S△AOE，∴S ABCD＝2(S△AOD＋S△BOE＋S△COF)＝2×10＝20.
4. 1260°
5. 6　【解析】設所求正多邊形邊數為n，則120°·n＝(n－2)·180°，解得n＝6.
高頻考點
例1　(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C＝45°.
∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠A＝45°，
∴AE＝AD·cos A＝2×＝2，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4；
(2)①證明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，32＋42＝52，
∴AE2＋DE2＝AD2，
∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；
②解：由(1)可知，∠DEA＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，
在Rt△EDC中，由勾股定理得CE＝＝＝4，
∴CE的長為4；
(3)解：如解圖，取CD的中點F，連接EF，過點E作EH⊥CD，垂足為H.
∵E，F分別是AB，CD的中點，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BE∥CF，BE＝CF，即四邊形BCFE為平行四邊形.
又∵∠CED＝90°，F為CD的中點，
∴EF＝CD＝CF.
∴四邊形BCFE為菱形.
∴BC＝CF＝CD.
∵＝，
∴CE＝BC＝CD，
∴＝，
∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，
∵DE＝4，
∴CD＝2DE＝8，EH＝DE·sin 60°＝4×＝2.
∴BE＝AB＝CD＝4，
∴S四邊形BCDE＝(BE＋CD)·EH＝×(8＋4)×2＝12；
例1題解圖
(4)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，DA＝BC，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵DE平分∠ADC，AF平分∠DAB，
∴∠ADE＝∠ADC，∠DAF＝∠DAB，
∴∠DAF＋∠ADE＝90°，
∴DE⊥AF，
∵DE⊥EG，
∴AF∥EG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴FG＝AE，
∵DC∥AB，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴DA＝AE，
∴FG＝BC.
例2　證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，即DG∥BH，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥DH，
∴四邊形BGDH是平行四邊形；
(2)①∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
②∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF，
即AE＝CF，
由①知AD＝CB，∠EAD＝∠FCB，∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE＝BF，
同理△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
變式1　D　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四邊形BCED是平行四邊形，故A正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠BDC＝∠DCE，∴BD∥CE，∴四邊形BCED是平行四邊形，故B正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FDE＝∠FCB，∠FED＝∠FBC，又∵EF＝FB，∴△EFD≌△BFC(AAS)，∴DE＝CB.∴四邊形BCED為平行四邊形，故C正確；由∠DEB＝∠BCD，得出∠DEB＝∠A，但不能得出四邊形BCED為平行四邊形，故D錯誤.
例3　B　【解析】n邊形從一個頂點出發，有(n－3)條對角線，則該八邊形從一個頂點可引出5條對角線，將八邊形劃分為6個不重合的三角形.
變式2　D　【解析】依題意，AB＝BC，∠ACB＝15°，∴∠BAC＝∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝150°，∴這個正多邊形的一個外角為180°－150°＝30°，∴這個正多邊形的邊數為＝12.
變式3　B　【解析】∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴∠BCD＝∠D＝×(5－2)×180°＝108°，CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝×(180°－∠D)＝36°，∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCD＝×108°＝54°，∴∠ECF＝∠DCF－∠DCE＝54°－36°＝18°.
真題及變式
1. C　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴根據平行四邊形兩組對邊分別相等可得C選項一定正確.
2. 　【解析】∵DE⊥AB，AB＝12，AD＝5，sin A＝，∴DE＝4，∴AE＝＝3，∴BE＝AB－AE＝9，如解圖，過點B作BF⊥CE于點F，在 ABCD中，AB＝CD＝12，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴DE⊥CD，∴CE＝＝4，由三角形面積公式可得BE·DE＝CE·BF，∴BF＝，∴sin∠BCE＝＝.
第2題解圖
變式2.1　4　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝60°，BC＝AD＝8，CD∥AB，∴∠BEC＝∠DCE.∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC＝8.∵BE＝2AE，∴2AE＝8，解得AE＝4，如解圖，過點E作EF⊥AD于點F，則∠AFE＝∠DFE＝90°，∴∠AEF＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴AF＝AE＝2，EF＝AE＝2，∴DF＝AD－AF＝6，在Rt△DEF中，由勾股定理，得ED＝＝4.
變式2.1題解圖
3. B　【解析】如解圖，連接BD交AC于點O.∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝5，CE＝1，∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO，∴OE＝CO－CE＝.∵EF＝DE，∴E為DF的中中點，又∵O為BD的中點，∴OE為△BDF的中位線，∴BF＝2OE＝3.
第3題解圖
4. B　【解析】設多邊形的邊數是n，則(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.
變式4.1　8　【解析】設正多邊形的邊數為n，由題意，得(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
5. 2＋　【解析】如解圖，由正八邊形的性質可得，CF∥AB，且正八邊形的每個外角為45°，∴∠CAB＝45°，同理可得∠ACD＝45°，∴AB⊥CD，過點F作FG⊥AB于點G，則四邊形CFGE為矩形，∵正八邊形的邊長為2，易得FG＝GB＝CE＝AE＝AC＝，EG＝CF＝2，∴BE＝EG＋BG＝2＋.
第5題解圖
6. 解：(1)AC2，BD2，4AB2；
(2)AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2，理由如下：
如解圖，過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF.
在△DAE和△CBF中，
，
∴△DAE≌△CBF(AAS)，
∴AE＝BF，DE＝CF，
在Rt△DBE中，BD2＝DE2＋BE2＝DE2＋(AB－AE)2，
在Rt△CAF中，AC2＝CF2＋AF2＝CF2＋(AB＋BF)2，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AC2＋BD2＝CF2＋(AB＋BF)2＋DE2＋(AB－AE)2＝2DE2＋AB2－2AB·AE＋AE2＋AB2＋2AB·AE＋AE2＝2(DE2＋AE2)＋2AB2＝2AD2＋2AB2，
∴AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2.
第6題解圖

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