資源簡介

微專題23　銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用
考點精講
構(gòu)建知識體系
考點梳理
1. 銳角三角函數(shù)(6年5考)
圖①
定義：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A為△ABC中的一銳角，則∠A的正弦：sin A＝＝，∠A的余弦：cos A＝＝①　　　，∠A的正切：tan A＝＝②　　　
2. 特殊角的三角函數(shù)值(6年8考)
示意圖
α 30° 45° 60°
sin α ③　
cos α ④　 ⑤　
tan α ⑥　 1 ⑦　
3. 銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用(6年3考)
(1)仰角、俯角：如圖②，圖中仰角是∠1，俯角是∠2
(2)坡度(坡比)、坡角：如圖③，坡角為α，坡度(坡比)i＝tan α＝
(3)方向角：如圖④，A點位于O點的北偏東30°方向，B點位于O點的南偏東60°方向，C點位于O點的北偏西45°方向
練考點
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，則cos B的值為　　　　.
第1題圖
2. 如圖，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan ∠CAD＝，則BC的長為　　　.
第2題圖
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝60°，則sin A＝　　　　，cos A＝　　　　；
(2)若tan A＝1，則∠A＝　　　　　　　°.
4. 如圖，從熱氣球P看一面墻底部B的俯角是　　　　.(用字母表示)
第4題圖
高頻考點
考點1　銳角三角函數(shù) (6年5考)
例1　(2024東莞一模)如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan A的值是(　　)
A. B. C. D. 2
例1題圖
變式1　(2024江西)將圖①所示的七巧板，拼成圖②所示的四邊形ABCD，連接AC，則tan ∠CAB＝　　　　.
變式1題圖
考點2　銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 (6年3考)
例2　 小明家與小華家住在同一棟樓，他倆對所住樓對面商業(yè)大廈的高MN進行了測量.(結(jié)果均保留整數(shù))
(1)如圖①，小明與小華在樓下點A處測得點A到M的距離為50 m，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為58°，試求商業(yè)大廈的高MN；
(參考數(shù)據(jù)：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
例2題圖①
(2)現(xiàn)在商場樓下停了一輛車，沒辦法直接測量出AM的長度，小華想了其他辦法也可以測量.
①如圖②，小明與小華在樓頂?shù)腂處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°，測得商業(yè)大廈底部M的俯角為60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝56 m，試求商業(yè)大廈的高MN；
(參考數(shù)據(jù)sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)
例2題圖②
②如圖③，小華站在點A處測得塔尖商業(yè)大廈頂部N的仰角為45°，向前走了35 m到達點B處測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為61°，已知小華眼睛到地面的高度AC(BD)為1.6 m，點A，B，M在同一水平線上，MN⊥AB，試求商業(yè)大廈的高MN；
(參考數(shù)據(jù)：sin 61°≈0.87，cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)
例2題圖③
(3)如圖④，大廈樓頂上有一信號塔EF(F，E，H三點共線)，小明和小華想測得塔尖F到地面的高度，小明在樓頂?shù)腂處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°，小華在大廈樓頂G處測得信號塔頂部F的仰角為60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，EF⊥NE，AB＝56 m，AM＝50 m，GE＝10 m，試求塔尖F到地面的高度.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)
例2題圖④
真題及變式
命題點　銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 (6年9考) 　
模型分析
模型 模型分析 模型 模型分析
背對背型 基礎(chǔ)模型 AB＝AD＋BD 母子型 基礎(chǔ)模型 AD＝AC－CD
模型演變 AB＝AD＋CE＋BF 模型演變 FG＝AD＋DC，BG＝BC＋AF
1. (2022廣東11題3分)sin 30°＝　　　　.
2. (2019廣東15題4分·人教九下例題改編)如圖，某校教學(xué)樓AC與實驗樓BD的水平間距CD＝15米，在實驗樓頂部B點測得教學(xué)樓頂部A點的仰角是30°，底部C點的俯角是45°，則教學(xué)樓AC的高度是　　　　米(結(jié)果保留根號).
第2題圖
3. (2023廣東18題7分)2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC＝BC＝10 m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離.(結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
第3題圖
4. (2024廣東18題7分)中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個停車位.經(jīng)測量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.
根據(jù)以上信息回答下列問題：(結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)≈1.73)
(1)求PQ的長；
(2)該充電站有20個停車位，求PN的長.
第4題圖
拓展訓(xùn)練
5. (2024中山一模)中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，其由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時為各類用戶提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時服務(wù).如圖，小敏一家準(zhǔn)備自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛10千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風(fēng)景區(qū)C，小敏發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東15°方向.
(1)求∠C的度數(shù)；
(2)求B，C兩地的距離.(如果運算結(jié)果有根號，請保留根號)
第5題圖
新考法
6. [項目式學(xué)習(xí)](2024蘭州)單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置.某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下.
實驗主題 探究擺球運動過程中高度的變化
實驗用具 擺球，擺線，支架，攝像機等
實驗說明 如圖①，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動.(擺線的長度變化忽略不計) 如圖②，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；當(dāng)擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA.(點O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi))
實驗圖示 第6題圖
解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長.(結(jié)果精確到0.1 cm)
參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
考點精講
①　②　③　④　⑤　⑥　⑦
教材改編題練考點
1.
2. 2＋1
3. (1)，；(2)45
4. ∠BPC
高頻考點
例1　C　【解析】如解圖，連接格點BD，CD.在Rt△ABD中，tan A＝＝.
例1題解圖
變式1　　【解析】根據(jù)題意，易知AB＝CD.設(shè)AB＝2，則CD＝BD＝2，∵∠ABD＝45°＋45°＝90°，∠BDC＝90°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.如解圖，設(shè)AC，BD交于點O，∴BO＝BD＝1，∴tan∠CAB＝＝.
變式1解圖
例2　解：(1)∵MN⊥AM，
∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝，∠MAN＝58°，AM＝50，
∴MN＝AM·tan 58°≈50×1.60＝80，
答：商業(yè)大廈的高MN約為80 m；
(2)①如解圖①，過點B作BC⊥MN于點C，
∴四邊形ABCM是矩形，
∴BA＝CM＝56，
在Rt△BCM中，tan∠MBC＝＝≈1.73，
∴BC＝≈32.4，
在Rt△BCN中，tan∠NBC＝，
∴NC＝BC·tan 37°≈32.4×0.75＝24.3，
∴MN＝CM＋NC＝56＋24.3＝80.3≈80，
答：商業(yè)大廈的高MN約為80 m；
例題解圖①
②如解圖②，連接CD并延長交MN于點E，
由題意可知，四邊形ABDC，BMED均為矩形，
AC＝BD＝ME＝1.6，CD＝AB＝35，
設(shè)EN＝x，
∵在Rt△CEN中，∠ECN＝45°，
∴EN＝CE＝x，
∴DE＝CE－CD＝x－35，
∵在Rt△DNE中，∠NDE＝61°，
∴tan∠NDE＝＝≈1.80，
解得x≈78.8，∴EN≈78.8，
∴MN＝EN＋ME≈78.8＋1.6＝80.4≈80，
答：商業(yè)大廈的高MN約為80 m；
例題解圖②
(3)如解圖③，過點B作BC⊥EH于點C，交MN于點D，F(xiàn)H即為F到地面的高度.
易得DN＝CE，AB＝DM＝CH＝56，
由題意得BD＝AM＝50，∠NBD＝37°，GE＝10，
在Rt△BDN中，DN＝BD·tan 37°≈37.5，
在Rt△EFG中，EF＝GE·tan 60°≈17.3，
∴FH＝EF＋CE＋CH＝EF＋DN＋AB≈17.3＋37.5＋56＝110.8≈111，
答：塔尖F到地面的高度約為111 m.
例題解圖③
真題及變式
1.
2. (15＋15)　【解析】如解圖，設(shè)過點B的水平線與AC交于點E，易得四邊形BDCE為矩形，則BE＝CD＝15，∵∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝15，在Rt△ABE中，AE＝BE·tan 30°＝15×＝15，∴AC＝AE＋EC＝(15＋15)米.
第2題解圖
3. 解：如解圖，連接AB，過點C作CD⊥AB于點D，
∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝∠ACB＝×100°＝50°， (3分)
∴AD＝AC·sin 50°≈10×0.766＝7.66(m)，
∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3(m)，
答：A，B兩點間的距離約為15.3 m. (7分)
第3題解圖
4. 解：(1)由題意，得∠Q＝90°，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴在Rt△ABQ中，∠BAQ＝30°，BQ＝5.4×cos 60°＝2.7 m，
AQ＝5.4×sin 60°＝ m， (1分)
∵四邊形ABCD為矩形，CE＝1.6 m，
∴∠ABC＝90°，∠CBE＝180°－∠ABC－∠ABQ＝30°，
在Rt△CBE中，BC＝＝ m，BE＝＝3.2 m，
∴BC＝AD＝ m，
同理可得，在Rt△PAD中，∠PAD＝60°，
∴PA＝AD·cos 60°＝×cos 60°＝ m， (3分)
∴PQ＝PA＋AQ＝＋＝≈6.1 m，
答：PQ的長約為6.1 m； (4分)
(2)∵充電站有20個停車位，
∴QM＝QB＋20BE，
由(1)得，QB＝2.7 m，BE＝3.2 m，
∴QM＝2.7＋3.2×20＝66.7 m，
∵四邊形PQMN為矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m，
答：PN的長為66.7 m. (7分)
5. 解：(1)如解圖，由題意，得∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，
∴∠C的度數(shù)為45°；
第5題解圖
(2)如解圖，過點B作BG⊥AC，垂足為G，
在Rt△ABG中，AB＝10千米，∠BAC＝60°，
∴BG＝AB·sin 60°＝10×＝5(千米)，
在Rt△BGC中，∠C＝45°，
∴BC＝＝＝5(千米)，
∴B，C兩地的距離為5千米.
6. 解：∵在Rt△OBD中，tan∠BOD＝，
∴OD＝≈＝10.
∵在Rt△OBD中，sin∠BOD＝，
∴OB＝≈≈22.78.
∴OC＝OB＝22.78.
∵在Rt△OCE中，cos∠COE＝，
∴OE＝OC·cos∠COE≈22.78×0.8＝18.224.
∴ED＝OE－OD＝18.224－10＝8.224≈8.2.
答：ED的長大約是8.2 cm.

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