資源簡介

微專題22　相似三角形(含位似)
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 比例
(1)比例線段
比例線段 在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即＝，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段
比例中項 如果a∶b＝b∶c或＝或①　　　，那么b叫做a和c的比例中項
比例的性質
性質1(基本 性質) 如果＝，那么②　　　　＝bc(b，d≠0)(反之也成立)
性質2(合比 性質) 如果＝，那么 ＝③　　　　(b，d≠0)
性質3(等比 性質) 如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝
2. 平行線分線段成比例
(1)定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例(基本事實).
(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成④　　　
3. 黃金分割比例(2023.6)
圖示
定義 如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，且＝⑤　　　，那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫黃金比，即＝≈0.618，≈0.382，簡記為＝＝
【滿分技法】一條線段上有兩個黃金分割點
4. 相似三角形的性質與判定(6年11考)
性質 (1)相似三角形的對應角⑥　　　　，對應邊⑦　　　　； (2)相似三角形中的所有對應線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于相似比； (3)相似三角形的周長比等于⑧　　　　，面積比等于⑨　　　　
判定 方法 兩角分別相等的兩個三角形相似 兩邊成比例且⑩　　　相等的兩個三角形相似 三邊 　　　　的兩個三角形相似
5. 位似
(1)定義：兩個圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心
(2)性質：①位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比；
②在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形上的對應點的坐標的比等于k或－k
練考點
1. 已知＝＝＝，則＝　　　　.
2. 如圖是五條等距離的平行線，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上，若線段AB＝4，則線段BC的長為　　　　.　
第2題圖
3. 如圖，若線段AB＝2，點C為AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC的長為　　　　.
第3題圖
4. 若兩個相似三角形的邊長之比為1∶2，則它們的面積比是　　　　.
5. 如圖，AB與CD交于點O.若＝＝，則＝　　　　　　　.
第5題圖
6. 如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB∶OE＝2∶3，若△ABC的周長為4，則△DEF的周長為　　　　.
第6題圖
高頻考點
考點1　平行線分線段成比例
例1　(北師九上習題改編)如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于點A，C，E，B，D，F，下列結論正確的是(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
例1題圖
變式1　(人教九下習題改編)如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥C D.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，則的值為　　　　.
變式1題圖
考點2　相似三角形的性質與判定 (6年9考)
模型一　A字型
[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]
模型分析
類型 正“A”字型 斜“A”字型
模型展示
模型特點 有共用的一組角∠A，并且有另外一組角相等，形似“字母A”
解題思路 找同側的一組相等角 找異側的一組相等角
結論 △ADE∽△ABC ＝＝ △ADE∽△ACB ＝＝
例2　(人教九下練習改編)如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點，∠AED＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，則CE的長為　　　　.
例2題圖
變式2　如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，若AC＝6，BD＝5，則sin B的值為　　　　　　　.
變式2題圖
變式3　如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E，若BE＝2，BC＝3，則＝　　　　.
變式3題圖
模型二　8字型
[2021.23，2019.10③]
模型分析
類型 正“8”字型 斜“8”字型
模型展示
模型特點 有一組角為對頂角，并且有另外一組角相等，形似“數字8”
解題思路 找對頂角之外的另一組角相等，或對頂角的兩邊對應成比例
結論 △AOB∽△DOC ＝＝ △AOB∽△COD ＝＝
例3　如圖，線段AE，BD交于點C，連接AB，DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，則AB＝　　　　.
例3題圖
變式4　 如圖，正方形ABCD的邊長為5，正方形EFGC的邊長為3，點B，C，G在一條直線上，連接BF，交CD于點H，則圖中陰影部分的面積為　　　　.
變式4題圖
模型三　手拉手型
[2024.22(2)]
模型分析
模型展示：
模型特點：1. 如圖①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；
2. 如圖②，將△ADE繞點A旋轉一定角度后，連接BD，CE，延長BD交CE于點F
結論：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，則△ABD≌△ACE
例4　在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE，將△ADE繞點A逆時針旋轉到如圖所示的位置，連接BD'，CE'，若AD＝AE，BD'＝4，則CE'的長為　　　　.
例4題圖
變式5　如圖，在△ABC和△ADE中，點D在BC邊上，∠B＝∠ADE＝30°，∠BAC＝∠DAE＝90°，則的值為　　　　.
變式5題圖
模型四　一線三垂直型
[2021.23]
模型分析
類型 類型一 類型二
模型特點 ∠1，∠2，∠3的頂點在同一條直線上，∠1＝∠2＝∠3＝90°
模型展示
結論 △ABD∽△CEB
例5　如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，點E，F分別在邊AB，BC上，且EF⊥DF.若CF＝2BE，則BF的長為　　　　.
例5題圖
變式6　如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點A的坐標為(0，2)，頂點C在反比例函數y＝(x＞0)的圖象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，則k的值為　　　　.
變式6題圖
考點3　位似
例6　如圖，線段AB的兩個端點的坐標分別為A(1，2)，B(2，0)，以原點為位似中心，將線段AB放大得到線段CD，若點D的坐標為(5，0)，則點C的坐標為　　　　.
例6題圖
真題及變式
命題點1　黃金分割數 (2023.6) 　
1. (2023廣東6題3分)我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻.優選法中有一種0.618法應用了(　　)
A. 黃金分割數 B. 平均數 C. 眾數 D. 中位數
拓展訓練
2. (2024東莞一模)寬與長的比是(約0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，給我們以協調和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點E，F，連接EF：以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是(　　)
第2題圖
A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH
命題點2　相似三角形的性質與判定 (6年11考) 　
拓展訓練
3. (2024梅州一模改編)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，與CD相交于點F.若∠ABE＝30°，＝，則的值為　　　　.
第3題圖
4. 如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，連接BD，CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周長為2，求△AEC的周長.
第4題圖
5. 如圖為兩個全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，AD，AE分別交BC邊于點F，G，BC＝5.
(1)求證：AG2＝BG·FG；
(2)求證：△ABG∽△FCA；
(3)設BG＝x，CF＝y，求y與x之間的函數表達式，并寫出x的取值范圍.
第5題圖
新考法
6. [數學文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》記載：“執規矩，以度天下之方圓”.度方知圓，感悟數學之美.如圖，以面積為1的正方形ABCD的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，則四邊形A'B'C'D'的面積為(　　)
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
第6題圖
7. [數學文化]四分儀是一種古老的測量工具，可以追溯到公元2世紀的托勒密時代.如圖就是一種四分儀在距離測量上的應用，該四分儀是在邊長為1米的正方形ABCD的一個頂點處安裝一根方向桿.若將該四分儀的方向桿對準遠處的目標物E，在四分儀上讀出DF的長度為20厘米，已知點B，C，E在同一條直線上，則目標物E與點B之間的距離BE為(　　)
第7題圖
A. 1米 B. 4米 C. 5米 D. 6米
8. [跨物理學科](2024山西)黃金分割是漢字結構最基本的規律.借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀.已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“”的位置在AB的黃金分割點C處，且＝.若NP＝2 cm，則BC的長為 　　　　cm(結果保留根號).
第8題圖
9. [結合網格]如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為　　　　.
第9題圖
考點精講
①b2＝ac　②ad　③　④比例　⑤　⑥相等
⑦成比例　⑧相似比　⑨相似比的平方　⑩夾角
成比例
練考點
1. 　2. 2　3. －1　4. 1∶4　5. 　6. 6
高頻考點
例1　D　【解析】∵a∥b∥c，∴＝，＝，＝，∴選項A，B，C錯誤，不符合題意；D正確，符合題意.
變式1　　【解析】∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，∵AO＝2，OF＝1， FD＝2，∴＝＝.
例2　1　【解析】∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，解得CE＝1.
變式2　　【解析】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AD1＝－9(舍去)，AD2＝4，則sin∠B＝＝＝.
變式3　　【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.
例3　　【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴＝＝.∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴＝＝，∵DE＝3，∴AB＝.
變式4　　【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，∴＝＝，∴EH＝CE＝，∴S△EFH＝EH·EF＝××3＝.
例4　6　【解析】∵ D，E分別是AB，AC的中點，∴DE∥BC，∴＝，由旋轉得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴＝，∠DAD'＋∠D'AE＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽△ACE'，∴＝＝＝，∵BD'＝4，∴CE'＝6.
變式5　　【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝，tan∠ADE＝，∠B＝∠ADE＝30°，∴＝＝tan 30°＝.又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝.
例5　3　【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝90°.∵∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴＝.∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴＝，解得BF＝3.
變式6　3　【解析】如解圖，過點C作CH⊥y軸于點H.∵A(0，2)，OA＝OB，∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，∴＝＝＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，∴C(1，3)，∵點C在y＝的圖象上，∴k＝1×3＝3.
變式6題解圖
例6　(，5)　【解析】由題意得，△OAB與△OCD為位似圖形，∴△OAB∽△OCD，∵點B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB與△OCD的相似比為2∶5，∵點A坐標為(1，2)，∴點C的坐標為(1×，2×)，即(，5).
真題及變式
1. A
2. D　【解析】設正方形的邊長為2，則CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝，∴CG＝－1，∴＝，∴短形DCGH為黃金矩形.
3. 　【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，∴△DFB∽△EFC，∴∠DBF＝∠ECF＝30°，＝＝，在Rt△ECF中，∠ECF＝30°，∴EF＝CF，∴＝＝2×＝2×＝.
4. 解：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝.
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC；
∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，
∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.
∵C△ADB＝2，
∴C△AEC＝.
5. (1)證明：由題意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGF＝∠BGA，
∴△ABG∽△FAG，
∴＝，
∴AG2＝BG·FG；
(2)證明：由題意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45°.
∵∠AGF＝∠C＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∠CAF＝∠CAG＋∠FAG＝∠CAG＋45°，
∴∠AGF＝∠CAF.
∵∠B＝∠C，
∴△ABG∽△FCA；
(3)解：在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
∵AB＝AC，BC＝5，
∴AB＝AC＝5.
∵△ABG∽△FCA，
∴＝，即＝，
∴y＝，
∵當F與B重合時，BG最小，∠BAG＝∠DAE＝45°，
∴AG平分∠BAC，
∴G為BC的中點，
∴BG＝BC＝，
∴x的取值范圍為＜x＜5.
6. C　【解析】∵正方形ABCD的面積為1，AB∶A'B'＝1∶2，∴正方形ABCD的面積∶四邊形A'B'C'D'的面積＝1∶4.∴四邊形A'B'C'D'的面積＝4.
7. C　【解析】∵DF＝20厘米＝0.2米，∴CF＝1－0.2＝0.8(米).∵AD∥BE，∴∠ADF＝∠ECF，又∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝，即＝，解得CE＝4，∴BE＝BC＋CE＝1＋4＝5(米).
8. －1　【解析】由已知得AB＝NP＝2 cm，∵＝，∴BC＝(－1)cm.
9. 　【解析】如解圖，過點C分別作AB，DE的垂線，交AB，DE于點G，F，∴FG＝BE＝4，∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∵CG，CF分別為△ABC和△CDE的高，∴＝＝2，設CF＝x，則CG＝2x，CG＋CF＝4，∴2x＋x＝4，x＝，∴CG＝，∴S△ABC＝AB·CG＝.
第9題解圖

展開更多......

收起↑