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微專題19　遇到中點如何添加輔助線
一階　方法訓練
方法解讀
情形一　已知三角形一邊(兩邊)中點
原理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半
作法：1.如圖①，連接一邊中點與另一邊中點構造中位線；
2.如圖②，倍長另一邊構造中位線
圖①
圖②
結論：DE∥BC，DE＝BC
情形二　已知三角形一邊中點
原理：1.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)；
2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
3.三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分
作法：連接中點與頂點
(1)等腰三角形 (2)直角三角形
　　　
結論：AD⊥BC，AD平分∠BAC　
結論：BD＝AD＝CD＝AC
(3)一般三角形
結論：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC
情形三　已知三角形一邊上的中線或三角形一邊上的中點與另一邊上一點的連線
原理：當三角形出現中線或與中線有關的線段，考慮倍長中線或倍長類中線構造全等三角形，利用全等三角形性質進行解題
作法一：構造倍長中線
延長AD至點E，使得AD＝DE，連接BE；
結論：△BDE≌△CDA；
作法二：構造倍長類中線
延長MD至點N，使MD＝DN，連接CN；
結論：△BDM≌△CDN
方法一　遇到中點，考慮構造中位線
例1　(北師九上習題改編)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，過點E作EF⊥BC于點F，連接DF，若BC＝8，EF＝3，則DF的長為(　　)
例1題圖
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
例2　如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且BD＝CD，F是AD的中點，若BF＝2，則AC的長為　　　　.
例2題圖
例3　如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上一點，∠BAC＝2∠DEC，若CE＝8，AE＝2，則AB的長為　　　　.
例3題圖
方法二　遇到中點，考慮構造中線(2020.17)
例4　如圖，在△ABC中，D是BC上的點，AD＝AB，E，F分別是AC，BD的中點，AC＝6，則EF的長為　　　　.
例4題圖
例5　(人教八上習題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，D為AB邊的中點，E為BC延長線上一點，連接DE，∠B＝2∠E，則CE的長為　　　　.
例5題圖
例6　 如圖，在△ABC中，D是AB邊上任意一點，E是CD的中點，F是BE的中點，若△ABF的面積為6，則△ABC的面積為　　　　.
例6題圖
方法三　遇到中線(類中線)，考慮倍長中線(類中線)構造全等三角形(2024.15)
例7　如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，則BC的長為　　　　.
例7題圖
例8　 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE.
證法一(構造倍長中線)：
例8題圖
證法二(構造倍長類中線)：
二階　綜合應用
1. (人教八上習題改編)如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E為AC的中點，連接BE交AD于點F，若AF＝BC＝4，則△ABC的面積為(　　)
第1題圖
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
2. 如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，F分別是邊AB，BC的中點，連接EF，DF，若EF＝2，則DF的長為　　　　.
第2題圖
3. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是AC的中點，點E在邊BC上，連接ED，若∠A＝∠BED，則ED的長為　　　　.
第3題圖
4. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，D，E分別為線段BC，AC上的動點，且BD＝EC，連接AD，BE交于點F，若點F為BE的中點，求線段BD的長.
第4題圖
一階　方法訓練
例1　B　【解析】如解圖，連接DE，∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝4，∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠DEF＝180°－∠BFE＝90°，∵EF＝3，∴由勾股定理得DF＝＝5.
例1題解圖
例2　4　【解析】如解圖，延長DB至點G，使GB＝BD，連接AG.∵點F是AD的中點，∴BF是△ADG的中位線，∴AG＝2BF＝4，∵BD＝CD，∴DG＝DC，∵AD⊥BC，∴AC＝AG＝4.
例2題解圖
例3　6　【解析】如解圖，過點D作DF∥AB交AC于點F，則∠DFC＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠DEC，∠DFC＝∠DEC＋∠EDF，∴∠DEC＝∠EDF，∴EF＝DF，∵D為BC邊的中點，∴DF為△ABC的中位線，∴EF＝DF＝AB，CF＝AF，∴CE＝CF＋EF＝AF＋EF＝AE＋EF＋EF＝2＋2EF＝2＋AB＝8，∴AB＝6.
例3題解圖
例4　3　【解析】如解圖，連接AF，∵AD＝AB，F是BD的中點，∴AF⊥BD，在Rt△AFC中，E是AC的中點，∴EF＝AC＝×6＝3.
例4題解圖
例5　4　【解析】如解圖，連接CD，∵∠ACB＝90°，點D是AB邊的中點，∴CD＝BD＝AD＝AB＝4，∴∠B＝∠BCD，∵∠B＝2∠E，∠BCD＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠CDE，∴CE＝CD＝4.
例5題解圖
例6　24　【解析】如解圖，連接AE，∵點F是BE的中點，∴S△AEF＝S△ABF＝S△ABE.∵點E是CD的中點，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S△ADE＝S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝24.
例6題解圖
例7　6　【解析】如解圖，延長BD至點E，使DE＝BD，連接AE，∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠DEA＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.
例7題解圖
例8　證法一：證明：如解圖①，延長AD至點G，使AD＝DG，連接BG，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD.
在△ACD和△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD(SAS)，
∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，
∴AC＝BE.
例8題解圖①
證法二：證明：如解圖②，延長ED至點H，使ED＝DH，連接CH，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH(SAS)，
∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠CHD＝∠EAF，
∴CH＝AC，
∴AC＝BE.
例8題解圖②
二階　綜合應用
1. A　【解析】如解圖，連接DE，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中點，∵E是AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB且DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，∴DF＝AF＝2，∴AD＝AF＋DF＝4＋2＝6，∴S△ABC＝×4×6＝12.
第1題解圖
2. 2　【解析】如解圖，連接AF，AC，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∵E，F分別是邊AB，BC的中點，EF＝2，∴AC＝2EF＝4，AF⊥BC，∴AB＝AD＝AC＝4，∠AFB＝∠DAF＝90°，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin 60°＝2，在Rt△AFD中，DF＝＝2.
第2題解圖
3. 　【解析】如解圖①，連接BD，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵D是AC的中點，∴DB＝DC＝AC＝5，∴∠C＝∠DBE.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EDB，∴＝，即＝，解得ED＝.
第3題解圖①
一題多解法
如解圖②，過點D作DF∥AB交BC于點F，∴∠DFE＝∠B，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵點D是AC的中點，∴DF為△ABC的中位線，∴FD＝AB＝3.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EFD，∴＝，即＝，解得ED＝.
第3題解圖②
4. 解：如解圖①，過點F作FG∥AC交BC于點G，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AB＝6.
∵點F為BE的中點，FG∥AC，
∴FG為△BCE的中位線，
∴BG＝CG＝BC＝3.
設CE＝x(0＜x＜6)，則FG＝x，AE＝AC－CE＝6－x，
∵BD＝CE＝x，
∴DG＝3－x，CD＝6－x.
∵FG∥AC，
∴△DGF∽△DCA，
∴＝，即＝，
解得x＝－3＋9或x＝3＋9(舍去)，
∴BD＝－3＋9.
第4題解圖①
一題多解法
解法二：如解圖②，延長AF至點H，使得FH＝AF，連接BH，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AB＝6.
∵點F為BE的中點，
∴BF＝EF.
又∵∠BFH＝∠EFA，
∴△HFB≌△AFE，
∴∠H＝∠FAE，BH＝AE，
∴BH∥AE，
∴△BHD∽△CAD，
∴＝，
設CE＝BD＝x(0＜x＜6)，
∴DC＝AE＝BH＝6－x，
∴＝，
解得x＝－3＋9或x＝3＋9(舍去)，
∴BD＝－3＋9.
第4題解圖
解法三：如解圖③，過點F作FN∥AB交AC于點N，過點E作EM∥AD交BC于點M，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AB＝6.
設BD＝EC＝x(0＜x＜6)，
∵點F為BE的中點，FN∥AB，
∴FN為△ABE的中位線，
∴FN＝AB＝3，EN＝AN＝AE＝，∠FNE＝∠BAE＝60°.
∵EM∥AD，點F為BE的中點，
∴FD為△BME的中位線，
∴∠BDF＝∠BME，BD＝DM＝x，∴CM＝6－2x.
∵BD＝CE，∠ABD＝∠BCE，AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠BME，
∴∠ADC＝∠BEA＝∠EMC.
∵∠FNE＝∠C＝60°，
∴△EFN∽△MEC，
∴＝，即＝，
解得x＝－3＋9或x＝3＋9(舍去)，
∴BD＝－3＋9.

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