資源簡介

微專題18　等腰三角形與直角三角形
考點精講
構建知識體系
考點梳理
1. 等腰三角形與直角三角形的性質(6年7考)
圖形名稱 等腰三角形 等邊三角形 直角三角形 等腰直角 三角形
圖形
性 質 邊 兩腰①　 　 三邊相等 勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，則有 　　 兩直角邊相等
角 兩底角② 　 三角相等，且每一個角都等于⑧ 　 兩銳角之和等于 　 兩銳角相等且都等于45°
特殊 性質 等腰三角形頂角的③　　、④　　　、⑤ 　　　 相互重合(簡記為“三線合一”) 滿足“三線合一” (1)斜邊上的中線等于 　　　 (2)30°角所對的直角邊等于 　 　 1.滿足“三線合一” 2.斜邊上的中線等于 　　　
對稱 性 等腰三角形是軸對稱圖形，有⑥　　條對稱軸，對稱軸是 ⑦　 　 等邊三角形是軸對稱圖形，有⑨　　條對稱軸，對稱軸是 ⑩ — 等腰直角三角形是軸對稱圖形，有 　 　　條對稱軸，對稱軸是 　　　
面積計 算公式 S＝ S＝ah＝ 　　　 S＝ch＝ 　　 S＝ch＝ 　　　
2. 等腰三角形與直角三角形的判定(6年6考)
練考點
1. 在△ABC中，AB＝AC.
(1)若△ABC的周長為12，一邊長為5，則BC＝　　　　；
(2)若△ABC的一個內角為80°，則∠B＝　　　　°；
(3)如圖，延長BC至點D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于點E，若AB＝5，AD＝8，則CE＝　　　　.
第1題圖
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線.
第2題圖
(1)若∠B＝2∠C，則∠B＝　　　　；
(2)在(1)的條件下，若AB＝4，則AD＝　　　　，∠ADB＝　　　　°；
(3)若△ABC中兩邊長分別為3，4，則△ABC的周長為　　　　.
3. 如果△ABC的三邊長a，b，c滿足a∶b∶c＝1∶1∶，那么△ABC是(　　)
A. 等邊三角形
B. 鈍角三角形
C. 銳角三角形
D. 等腰直角三角形
高頻考點
考點1　等腰三角形的相關證明及計算 (2020.20)
例1　 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，F為CA的延長線上一點，過點F作FG⊥BC于點G，交AB于點E.
(1)求證：AD∥FG；
(2)試判斷△AEF的形狀，并說明理由；
(3)如圖②，連接CE，若CE⊥AB，AB＝13，BC＝10，求CE的長；
(4)若∠B＝60°，BC＝8，E為AB的中點，求BG的長.
圖①
圖②
例1題圖
考點2　直角三角形的相關證明及計算 (6年3考)
例2　 如圖①，已知在△ABC中，CD是邊AB上的高，∠A＝∠BC D.
(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)若∠A＝30°，BD＝，求AC的長；
(3)若AC＝，BD＝4，求AD的長；
(4)如圖②，AE平分∠CAB交CD于點F，交CB于點E，求證：CE＝CF.
圖①
圖②
例2題圖
真題及變式
命題點1　特殊三角形的判定 (6年7考，常在計算題中涉及考查)
1. (2020廣東20題6分·人教七上習題改編)如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊上的點，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于點F.求證：△ABC是等腰三角形.
第1題圖
(2020廣東21(2)題5分)若a＝－4，b＝12，一個三角形的一條邊的長為2，另外兩條邊的長是關于x的方程x2＋ax＋b＝0的解.試判斷該三角形的形狀，并說明理由.
2.1變條件——將已知條件變為與非負性結合
已知△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)2＋＋｜c－3｜＝0，則△ABC是(　　)
A. 等邊三角形　　B. 鈍角三角形
C. 銳角三角形 D. 等腰直角三角形
命題點2　與特殊三角形有關的計算 (6年7考，常在幾何題中涉及考查) 　
3. (2021廣東20題6分·北師八下習題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°.作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝A B.
(1)若AE＝1，求△ABD的周長；
(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值.
第3題圖
新考法
4. [綜合與實踐]
數學活動課上，同學們以“黃金三角形”為主題展開探究活動.
【查閱資料】在等腰三角形中，若底與腰的比是，則這個三角形是黃金三角形.
【動手操作】如圖①是老師展示的一張郵票，同學們發現郵票中五角星的五個角都是36°，并制作了相同五角星如圖②所示，∠A的度數為36°，且AD＝AB＝1，于是猜測△ABD是黃金三角形.
【解決問題】
(1)∠CBD＝　　　　°；
(2)求證：△ABD是黃金三角形；
(3)如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝1，求AB的長.
第4題圖
考點精講
①相等　②相等　③平分線　④底邊上的高　⑤底邊上的中線　⑥1　⑦底邊上的高(或底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線　⑧60°　⑨3　⑩每條邊上的高(或中線或內角平分線)所在的直線　 a2＋b2＝c2
90°　 斜邊的一半　 斜邊的一半　 斜邊的一半 一　 斜邊上的高(或中線或頂角的平分線)所在的直線　 ah　 a2　 ab　 a2　 90°(直角)
60°　 相等　
練考點
1. (1)2或5；(2)50或80；(3)3
2. (1)60°；(2)4，60；(3)12或7＋
3. D
高頻考點
例1　(1)證明：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG；
(2)解：△AEF等腰三角形，理由如下：
∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，
∴∠BAD＝∠CAD，
由(1)知AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF是等腰三角形；
(3)解：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，
∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，根據勾股定理，得AD＝＝＝12，
∵CE⊥AB，
∴S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，
即×10×12＝×13×CE，解得CE＝；
(4)解：∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝8，
∵FG⊥BC，
∴∠BEG＝90°－∠B＝30°，
∵E是AB的中點，
∴BE＝AB＝4，
∵在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，
∴BG＝BE＝2.
例2　(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵CD是邊AB上的高，
∴∠ADC＝90°，即∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠BCD，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ACB，
∴△ABC是直角三角形；
(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵CD是斜邊AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
∴AB＝4BD；
∴AB＝4，BC＝2，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝6；
(3)解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝BD＋AD，
∴＝，
∵AC＝，BD＝4，
∴＝，
解得AD＝－5(舍去)或AD＝1，
∴AD＝1；
(4)證明：在Rt△AEC中，∠CEA＝90°－∠1，
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°－∠2，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∴∠AFD＝∠CEF，
又∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF.
真題及變式
1. 證明：在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠DBF＋∠FBC＝∠ECF＋∠FCB，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
2. 解：該三角形是等腰直角三角形，理由如下：
∵a＝－4，b＝12，∴關于x的方程x2＋ax＋b＝0即為x2－4x＋12＝0，
解得x1＝x2＝2，
∴該三角形是等腰三角形，
∵(2)2＋(2)2＝(2)2，
∴該三角形是等腰直角三角形.
變式2.1　D　【解析】由題意得，解得，∵a2＋b2＝c2，且a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形.
3. 解：(1)如解圖，設DF交BC于點F，由題意得AB＝CE，DF垂直平分BC，連接BD，
∴BD＝DC，
∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝CE＋AC＝AE＝1；
(2)設AD＝x，由AD＝BD，得BD＝3x，在Rt△ABD中，∠A＝90°，
∴AB＝＝2x，
由(1)得CD＝BD＝3x，
∴AC＝AD＋CD＝4x，
∴tan∠ABC＝＝＝.
第3題解圖
4. (1)解：36；
【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝(180°－∠A)＝72°，又∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝∠ADB－∠C＝36°.
(2)證明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，
∴AB＝BC＝1，∴△BDC∽△ABC，∴＝.
設BD＝x，則AC＝1＋x，∴＝，
整理得x2＋x－1＝0，解得x1＝，x2＝(不符合題意舍去)，
∴＝＝＝，
∴△ABD是黃金三角形；
(3)解：如解圖①，延長BC至點D，使得BC＝CD，連接AD，則BD＝2BC＝2.
∵∠ACB＝90°，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∴AB＝AD，
∴∠BAD＝2∠BAC＝36°，
由(2)可知，等腰△ABD是黃金三角形，
∴＝，即＝，
解得AB＝＋1.
第4題解圖①
一題多解法
如解圖②，記AB的中點為E，連接CE，
即AE＝CE＝BE＝AB，
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ACE＝2∠BAC＝36°，
又∵BE＝CE，
∴由(2)可知，等腰△BCE是黃金三角形，
∴＝，即＝，解得BE＝，
∴AB＝2BE＝2×＝＋1.
第4題解圖②

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